TUGASAN 3 (30%)Tugasan 3 melibatkan penerokaan terhadap idea utama matematik berkaitan dengan kalkulus yang berkenaan dengan Paradoks Zeno. Anda perlu melengkapkan tugasan ini secara INDIVIDU.

Arahan:

1. Zeno telah menghasilkan beberapa paradoks. Empat paradoks yang terkenal ialah Paradoks Dikotomi, Paradoks Achilles dan Kura-kura, Paradoks Anak Panah, dan Paradoks Stadium / Stadion. Anda dikehendaki mengkaji keempat-empat paradoks dan memilih dua paradoks sahaja untuk tugasan ini.

2. Sediakan satu laporan bertulis tentang dapatan anda. Laporan anda mesti mengandungi penerangan terperinci Paradoks Zeno yang anda pilih dan huraikan dengan terperinci berserta pembuktian rajah. Terangkan juga bagaimana paradoks tersebut boleh dijustifikasikan dengan penggunaan konsep kalkulus.

3. Senaraikan bahan rujukan / sumber maklumat yang berkaitan.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PARADOKS ZENO

Hampir kesemua yang kita tahu tentang Zeno of Elea (seorang ahli falsafah Greek) boleh didapati dalam buku Plato yang berjudul Permenides. Dari situ kita belajar bahawa Zeno berumur dalam lingkungan 40 tahun yang mana Socrates masih seorang yang muda (ada yang mengatakan dalam 20). Socrates lahir dalam tahun 469 SM, maka kita menggarkan bahawa Zeno lahir pada sekitar tahun 495 hingga 480 SM. Dalam lewat ini, kita mengetahui Zeno sangat rapat dengan Permenides (Plato melaporkan bahawa mereka ialah pasangan kekasih semasa Zeno masih muda), dan kerana itu Zeno menulis buku paradoks yang mempertahankan falsafah Parmenides.

Zeno dilahirkan di Itali dan merupakan sahabat serta pelajar kepada ahli falsafah Parmenides yang berusia 25 tahun lebih tua darinya. Zeno disifatkan sebagai seorang ahli falsafah dan ahli logikal, bukannya seorang ahli matematik. Pada awalnya Zeno telah menulis satu buku paradoks yang menyokong falsafah Parmenide. Namun demikian, buku tersebut tidak dapat bertahan dan lenyap begitu sahaja kerana idea-idea tersebut bukan berasal daripada dirinya sendiri. Hal ini berlaku kerana selepas Zeno membuat penemuam ini, ahli falsafah Greek iaitu Proclus dan Simplicius telah memberi komen dan kritikan terhadap buku tersebut. Selepas itu, Zeno telah menulis bukunya yang bertajuk Epicheiremata dan menyerang pihak-pihak yang tidak bersependapat dengan gurunya Parmenides.

Zeno amat dikenali dengan paradoks-paradoksnya. Paradoks ialah perkara yang dianggap benar atau betul tetapi sebenarnya salah dalam dunia realiti. Pada asalnya terdapat sekurang-kurangnya 40 paradoks yang dihasilkan oleh Zeno tetapi hanya lapan sahaja yang berkekalan. Zeno telah mencipta paradoks-paradoksnya kerana ahli falsafah lain banyak mengemukakan paradoks yang bertentangan dengan idea Parmenides. Kesemua idea yang dikemukan adalah untuk membela idea-idea gurunya. Parmenides percaya bahawa dunia realiti hanyalah satu dan tidak berubah. Pergerakan, perubahan, masa dan pluraliti semuanya dianggap hanya sebagai ilusi. Kepercayaan ini telah membawa kepada banyak kritikan.

Paradoks Zeno merupakan sebuah paradox yang terkenal dalam sejarah Yunani dan juga Matematik. Ianya terkenal kerana orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Paradoks yang dianggap seakan-akan 'keperluan' untuk percanggahan atau kemustahilan. Satu paradoks yang timbul secara logik daripada aksiom formal dipanggil antinomy. Paradoks yang sebenar boleh diklasifikasikan secara umumnya sebagai paradoks logik, paradoks-infiniti, paradoks pengetahuan, paradoks bahasa dan paradoks diri rujukan.

Oleh itu, Paradoks Zeno telah menunjukkan sisi yang bertentangan yang menyatakan bahawa dunia realiti adalah banyak, bercanggah dan tidak masuk akal. Justeru, penulisan ini akan memfokuskan kepada Paradoks Pergerakan yang terdiri daripada empat paradoks utama yang dikemukakan oleh Zeno. Paradoks-paradoks tersebut ialah Paradoks Dikotomi, Paradoks Achilles dan Kura-kura, Paradoks Anak Panah dan Paradoks Stadium.Paradoks Zeno memfokuskan kepada perkaitan berasingan kepada berterusan (discrete to the continuous), satu isu yang menjadi jantung kepada matematik. Secara umumnya, paradoks bermaksud pernyataan yang kelihatan benar / logik tetapi sebenarnya bercanggah / tidak logik. Zeno percaya bahawa sesuatu entiti boleh dibahagikan dan tidak boleh berubah dalam realiti. Dalam bahagian ini, saya hanya akan membincangkan Paradoks Achilles dan Kura-kura, Paradoks Anak Panah.

PARADOKS ACHILLES DAN KURA-KURA

Pahlawan AchillesParadoks ini sangat terkenal dalam sejarah Yunani kerana pada waktu itu, mereka gagal untuk menyangkal paradoks ini walaupun pada waktu ini tidak terlalu sulit untuk dijelaskan. Namun, para ahli falsafah dan matematik mengambil masa selama ribuan tahun untuk menjelaskannya. Achilles merupakan seorang pelumba terkenal di zaman Yunani yang ingin berlumba dengan seekor kura-kura yang lambat. Achilles digambarkan sebagai seorang pahlawan yang hebat pada ketika itu sehingga tiada siapa yang dapat menandinginya.

Paradoks Achilles dan Kura-kura telah diperkenalkan oleh guru kepada Zeno dan menamakannya sebagai Tortoise and Achilles Paradox. Tahun yang diperkenalkan tidak dapat dipastikan tetapi idea ini terus diperkembangkan oleh Zeno. Paradoks ini merupakan paradoks yang paling terkenal antara lapan paradoks yang diperkenalkan oleh Zeno dan ia juga menjadi terkenal kerana orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Paradoks ini dikenalkan sebagai hubungan antara jarak dengan masa dan dicetus melalui kisah perlumbaan antara Achilles dan Kura-kura. Achilles merupakan seorang pahlawan zaman Yunani Kuno yang terkenal dan menjadi kegilaan ramai wanita. Kura-kura pula sentiasa dianggap sebagai haiwan yang sangat lambat pergerakannya. Dalam perlumbaan ini, Achilles begitu yakin dengan kemenangannya telah memberikan kura-kura untuk mula dahulu. Achilles berusaha untuk menandingi kura-kura yang telah merangkak jauh darinya.

Pada awal perlumbaan, Achilles telah membenarkan kura-kura untuk memulakan perlumbaan dengan jarak jauh, contohnya 100 meter dari dirinya. Kedua-duanya berlumba dalam satu jarak yang lurus dan kelajuan yang sekata. Achilles perlu sampai ke tempat permulaan kura-kura untuk mengejar kura-kura tersebut. Namun begitu, apabila Achilles sampai ke tempat permulaan kura-kura, kura-kura telah pun bergerak ke hadapan. Sebagai contohnya, apabila Achilles telah berlari sejauh 100 meter (tempat permulaan kura-kura), kura-kura telah bergerak ke hadapan dengan jarak yang lebih pendek, contohnya 10 meter. Oleh itu, Achilles perlu berlari 10 meter lagi untuk sampai ke destinasi kura-kura yang baru. Perkara yang sama berlaku, iaitu apabila Achilles sampai ke titik 10 meter tersebut, kura-kura telah pun bergerak ke tempat baru yang jauh lebih ke depan. Ini bermakna Achilles, secepat mungkin dia berlari tidak akan dapat mendahului kura-kura (tidak kira berapa lambat kura melangkah).

Paradoks Achilles Dan Kura-KuraPernyataan:Ruang dan waktu adalah berterusan.

Bukti:Achilles tidak akan dapat memintas kura-kura.

Gambar paradoks zeno berkenaan Achilles dan kura-kura

Berdasarkan paradoks di atas, Achilles tidak akan dapat mengalahkan kura-kura yang bergerak terlebih dahulu. Zeno ingin membuktikan bahawa, ruang dan waktu adalah berterusan. Jika ada pergerakan, pergerakan itu adalah seragam. Di sini, Zeno membahagikan jarak Achilles kepada nombor yang infiniti.

Kedudukan Achilles dan kura-kura dalam pertandingan

Ini dibenarkan (logik) kerana jarak dalam satu segmen tertentu boleh dibahagikan kepada beberapa jarak sehingga ke infiniti. Dengan itu, Zeno membahagikan jarak perlumbaan Achilles kepada bahagian-bahagian kecil sehingga infiniti tetapi dilaksanakan pada masa yang terhad. Berikut ialah hujah-hujah yang diketengahkan oleh ahli falsafah dan matematik dalam menyangkal paradoks Achilles dan kura-kura ini.

Andaikan, untuk Achilles mengejar kura-kura, dia mesti melalui jarak yang tidak terhad:100m + 50m + 25m + 12.5m + 6.25m + .Walaubagaimanapun, jumlah jarak tidak terhad merupakan satu jumlah jarak yang terhad. Jadi, bagaimana Zeno mengatakan jarak yang dilalui Achilles tadi adalah tidak terhad.Bukti:

Maka kita menggunakan janjang geometri untuk mencari jarak yang tidak terhad:

Oleh itu, jumlah jarak tidak terhad (yang dikatakan oleh Zeno) sebenarnya adalah merupakan satu jumlah jarak yang terhad. Paradoks ini dikeluarkan sebelum janjang geometri (geometric series) ditemukan. Jadi apabila adanya janjang, ia telah menyangkal paradoks Zeno ini.

PARADOKS ANAK PANAH

Paradoks anak panah ini membantah idea bahawa ruang atau masa itu berasingan (discrete). Zeno berpendapat bahawa satu objek yang sedang terbang, selalu menepati ruang yang sama besarnya dengan objek tersebut.

Paradoks Anak Panah yang diperkenalkan sekitar 2500 tahun yang lalu oleh Zeno dari Elea. Paradoks Anak Panah ini berkait antara ruang pergerakan dengan masa. Zeno berpendapat bahawa ruang dan masa adalah dua perkara yang seiring dan tidak boleh dipisahkan. Beliau menegaskan bahawa apabila terdapat satu objek yang sedang terbang atau bergerak, objek tersebut selalunya menepati ruang yang sama besar dengan objek tersebut. Contohnya, apabila satu anak panah dilepaskan daripada busur dan terbang kearah sasaran, ia tidak dapat dibezakan dengan anak panah lain yang dalam keadaan rehat atau statik pada kedudukan yang sama. Hal ini kerana masa anak panah itu dalam keadaan terbang dipanggil waktu kini (moment of now).

Paradoks Achilles Dan Kura-KuraPernyataan:Pergerakan adalah mustahil.

Bukti:Semua objek berada dalam keadaan pegun dan tidak bergerak.

Masa terdiri daripada ketika atau waktu sekarang (moment of now). Satu anak panah sedang dalam penerbangan, pada mana-mana suatu ketika, ia tidak dapat dibezakan dengan satu anak panah yang dalam keadaan rehat (pegun) pada kedudukan yang sama. Persoalannya pada ketika tersebut, adakah anak panah tersebut bergerak atau dalam keadaan pegun? Dan jika anak panah itu tidak bergerak, ia mestilah dalam keadaan pegun dan tidak dalam penerbangan.

Pada 1 saat ini, anak panah ini dalam keadaan pegun. Pada masa ini juga tiada jarak direkodkan kerana tiada pergerakan. Kesimpulannya, jika tiada jarak pada setiap saat, bila anak panah itu bergerak (berada dalam penerbangan).

Contohnya,Apabila sebuah anak panah dilemparkan dari busurnya ianya sebenarnya tidak bergerak melainkan setiap saat berhenti. Di setiap tempat anak panah itu berada, sebenarnya anak panah itu sedang berhenti dan diam disitu. Jadi, panah yang sedang terbang itu sebenarnya tidak bergerak melainkan dalam keadaan diam. Ia hanya kelihatan sahaja bergerak.Katakan anak panah yang berterbangan bergerak pada jarak, d = 20 meter dalam masa, t = 4 saat.

Halaju anak panah:

Anak panah yang berterbangan pada ketika 1 saat sebenarnya mempunyai:Jarak, d = 0 meter seperti yang dikatakan oleh Zeno sebenarnya mempunyai jarak, d yang boleh dikira.

Ini membuktikan bahawa terdapat pergerakan pada sesuatu ketika (sekarang) di mana pada ketika tersebut sebenarnya anak panah sedang bergerak. Sebenarnya, ruang dan masa adalah berasingan (descrete)

1