modul kd1

7/24/2019 Modul KD1

1/46

Modul Bahan KuliahModul Bahan Kuliah

Jurusan Teknik Sipil UNSOleh: Wibowo

7/24/2019 Modul KD1

2/46

Metode Energi adalah metode yang sangat baik

(powerful) untuk memformulasi hubungan gaya

dan perpindahan

Pembahasan Metode energi termasuk:

1. Energi Regangan (Strain Energy)2. Metode Kerja Nyata3. Metode Kerja Maya

7/24/2019 Modul KD1

3/46

Kerja Luar = Kerja Dalam

Sebagai ilustrasi misal sebuah elemen struktur dibebani gaya P dan q maka:

Kerja Luar (External Work) : adalah produk gaya luar

Kerja dalam (Internal Work) : adalah produk gaya dalam

7/24/2019 Modul KD1

4/46

J ika suatu struktur elastis bekerja beban Pi pada titik idan terjadi penambahan deformasi dvi oleh beban lain, sementaraPi konstan, maka kerja oleh Pi akibat perpindahan dvi adalah :

ii

v

ii

v

ii

ii

vPdvPdvPW

dvPdw

ii

===

=

00

Pi Pi

vidvi

7/24/2019 Modul KD1

5/46

Bila displacement diakibatkan oleh beban Pi itu sendiri maka:

K

1

Pi

vi

Displacement vi adalah proporsional terhadap penambahan beban Pi

iiiiiiiii vPKvdvvKdvKvdvPW 212

2

1=====

Pi

vi

iivPW

2

1

=

Complimentary work

7/24/2019 Modul KD1

6/46

z

y

x

dy

dx

dz

Gaya dalam merespon beban luar yang diaplikasikan padastruktur serta deformasinya. GD mempunyai kapasitasuntuk menghasilkan kerja dan menjaga struktur padakonfigurasi asalnya.

7/24/2019 Modul KD1

7/46

Energi dalam juga sering disebut energi regangan (strain energy)

Disimbolkan Ustrain

( ) == dvoldddxdydzdxdydzdUntuk material elastis : =.E , maka internal work elemen tak hingga :

== )()()( 21221 voldvoldEdvolEd Internal work system yang diaplikasikan tegangan aksial adalah integral

dari energi utk elemen tak hingga atas volumenya.

=== )())(( 212121 volddxdydzdxdydzUa

7/24/2019 Modul KD1

8/46

Suatu batang elastis dibebani beban P dan

kekakuannya K, maka energi elastisnya:

===== KP

PvKvKvdvPdvUa 2

2

212

21

Untuk batang dibebani beban aksial U mengakibatkan displacement u, maka

Energi elastisnya:

== dxuEAdxEAU

Ua 221

2

21 )'(

7/24/2019 Modul KD1

9/46

Untuk elemen yang mengalami lentur (flexural)

=

= dAydx

I

Mvold

I

My

E

UbE

2

2

121

2

21 )(

1

Inersia penampang

Maka:

== dxvEIdxEIM

Ub 221

2

21 )''(

7/24/2019 Modul KD1

10/46

Dengan cara yang sama, ekspresi energi elastis untuk Geser:

== dAdxGvoldGUs2

21

2

21 )(

Bila dimasukkan rumus tegangan geser di sembarang titik dipenampang:A

V =

== dAdxGV

dAdxG

VUs 2

2

21

22

21

= dA 21 Adalah shape factor maka,= dxGV

Us2

21

7/24/2019 Modul KD1

11/46

Untuk torsi:

== dxGJdxGJT

Ut 221

2

21 )'(

Bila lebih dari satu macam deformasi terjadi maka total energi regangan

adalah jumlah dari energi regangan dari berbagai deformasi tersebut.

7/24/2019 Modul KD1

12/46

Apa yang terjadi ketika struktur ber deformasi ?

Ketika Struktur berdeformasi gaya luar (external force) yang membebanistruktur tsb menunjukkan eksternal work (We). Pada saat bersamaan

struktur mengembangkan gaya dalam (internal force) yang melawan

eksternal force tsb. Kerja dari GD ini yang selaras dengan deformasi

disebut internal work (Wi).

Total Energi pada peristiwa ini tidak berubah, maka:

We = Wi

7/24/2019 Modul KD1

13/46

Hitung defleksi (v1) dari balok kantilever pada gambar:

P

L

v1

Modulus elastisitas E dan Momen Inersia Penampang I

7/24/2019 Modul KD1

14/46

Defleksi v1 diakibatkan oleh P, maka eksternal work adalah:

121PvWe=

Internal work adalah energi elastis pada saat balok mengalami momen:

PM = === L

bEI

lPdxx

EI

Pdx

EI

MU

0

322

22

21

62

ie WW = maka

EI

Plv

EIlPPv

3

6

3

1

32

121

=

=

7/24/2019 Modul KD1

15/46

Metode Kerja MayaMetode Kerja Maya

(Virtuil Work)(Virtuil Work) Jika struktur dalam keadaan setimbang maka akibatbeban luar akan menghasilkan gaya dalam yang sesuai.

Bila diaplikasikan tambahan displacement atau gaya luarmaya maka akan ada penambahan (penyesuaian) gayadalam yang terjadi.

Kerja dari real force pada virtual displacement atauvirtual force pada real displacement adalah yg disebutvirtual work (kerja maya) dari sebuah struktur.

Virtual work dari gaya luar dan gaya dalam adalah sama

7/24/2019 Modul KD1

16/46

Aplikasi untuk elemen dgn bebanAplikasi untuk elemen dgn beban

aksialaksial

u

ud

du +

U2

U1

x dx

L

Akibat beban aksial U maka displacement penampang pada x adalah u

dx

7/24/2019 Modul KD1

17/46

Virtual workVirtual work

=== l

i uuUdxuddUdxu

ddUW

0 12 )()()(

)( 121122 uuUuUuUWe ==

Internal work pada elemen di atas:

Eksternal work:

7/24/2019 Modul KD1

18/46

V W lanjutanV W lanjutan

Adxvold

dx

ud

AU

=

=

=

)(

)(

=vol

voldWi )(

Internal virtual work juga bisa dinyatakan dalam bentuk tegangandan regangan:

Maka:

7/24/2019 Modul KD1

19/46

VW lanjutanVW lanjutan

WeUs=

Jadi dari persamaan terakhir dapat digeneralisir bahwa internal workadalah sama dengan energi elastic dari system.

Dengan mengikuti prosedur yang mirip (dgn internal work), makauntuk semua system struktur dapat ditulis:

7/24/2019 Modul KD1

20/46

VW lanjutanVW lanjutan

=

=vol

n

i

ii vPvold1

)()(

=

=vol

n

iii Pvvold

1

)()(

Pada struktur dengan n beban nyata Pi menyebabkan terjadinya tegangan .Bila struktur tersebut diberlakukan virtual displacement yang menyebabkan

displacement vi searah dengan arah beban maka persamaan mejnadi:

Bila struktur dalam kondisi setimbang oleh beban maya Pi yg menyebabkan

tegangan dan dikenai beban Pi yang menyebabkan displacement vi dilokasi dan arah dari gaya maya akan memeberi pers:

7/24/2019 Modul KD1

21/46

Defleksi Struktur dgn VWDefleksi Struktur dgn VW

Prinsip Virtual Work dapat digunakanuntuk menghitung defleksi struktur.

Prinsip ini terutama cocok untuk struktur

yang diaplikasikan tegangan kombinasi danbeban yang diskontinyu.

Contoh struktur yang defleksinya dihitungdgn prinsip VW adalahTrussdanBeam.

7/24/2019 Modul KD1

22/46

Formulasi defleksi dgn VWFormulasi defleksi dgn VW

Prinsip Truss:

Eksternal VW yg dilakukan oleh gaya satuan = 1 x v

Internal VW oleh virtuil gaya batang (fi) =

ii lf=

ii lf

Persamaan VW truss :

Langkah-langkah:1. Hitung Gaya Batang akibat gaya luar2. Hilangkan Gaya luar, aplikasi beban 1 satuan di joint yg ditinjau, hit gaya batang3. Gunakan rumus VW utk menghitung defleksi

Persamaan defleksi truss : =i i

iii

A

lfF

E

1

7/24/2019 Modul KD1

23/46

Defleksi balok dgn VWDefleksi balok dgn VW

Analogi pada truss, pada balok perhitungan juga dilakukan denganaplikasi beban 1 satuan, hanya ekternal maupun internal force yangdihitung adalah momen

dAydxEI

mMvold

I

my

EI

My li == 0

2

2)(

=l

i dxEI

mM

0

7/24/2019 Modul KD1

24/46

TrussTruss

contoh

20 20 20 20

10

P1 P2 P3

1

2 4 6

3 5 7

8

P1=P2=P3=10 kips

E=29000 ksi

Panjang batang (l) dan luas (A)penampang disajikan dalam tabel

1 kips

7/24/2019 Modul KD1

25/46

PenyelesaianPenyelesaian

=i

ii lf

i

ii

i EA

lF

l =

=i i

iii

A

lfF

E

1

Untuk menyelesaikan soal diatas maka dilakukan aplikasi beban maya sbb:Kerja maya luar(ekternal vcirtual work) dilakukan dengan memberikanbeban satuan 1 x v, sementara kerja maya dalam (internal virtual work)dengan menghitung gaya batang akkibat beban maya satu satuan dikalikandisplacement terjadi.Jadi persamaan kerja maya:

Dimana li adalah:

Subtitusi pers di atas:

7/24/2019 Modul KD1

26/46

Perhitungan disajikan dalam tabelPerhitungan disajikan dalam tabel

Batang Ai Fi fi5 Fi x fi5 x /Ai

1-2 268.33 6 -33.54 -1.12 1679.96046

1-3 240 6 30 1 1200

2-3 120 4 0 0 0

2-4 240 6 -40 -2 3200

2-5 268.33 6 11.8 1.12 591.041547

3-5 240 6 30 1 1200

4-5 120 4 -10 0 0

4-6 240 6 -40 -2 3200

5-6 268.33 6 11.8 1.12 591.041547

5-7 240 6 30 1 12006-7 120 4 0 0 0

6-8 268.33 6 -33.54 -1.12 1679.96046

7-8 240 6 30 1 1200

Jml 15742.004

Defleksi pada titik 5 = 15742/E = 0.54282772 in

7/24/2019 Modul KD1

27/46

Defleksi balok dgn Virtuil WorkDefleksi balok dgn Virtuil Work

Tentukan defleksi pada ujung bebas balok balok sbb:

2 kip/ft

20 ft 5 ft

7/24/2019 Modul KD1

28/46

Penyelesaian:Penyelesaian:

kipsRkipsRR

25,3175,18252

75,180)5,1220(25220

2

11

====

kipsr

kipsrr

25,1)25,0(1

25,005120

2

11

====+

Reaksi perletakan akibat beban luar:

Reaksi perletakan akibat beban 1 satuan di ujung bebas balok:

7/24/2019 Modul KD1

29/46

Penyelesaian lanjutanPenyelesaian lanjutan

xm

xxxxM

25,0

75,182/275,18 22

===

xxxm

xxxxxM

+=+=+=+=

25)20(25,125,0

50625)20(25,312/275,18 22

Momen akibat beban luar bekerja:

Untuk x< 20 ft:

Untuk x> 20 ft:

7/24/2019 Modul KD1

30/46

Contoh soal 1Contoh soal 1

7/24/2019 Modul KD1

31/46

Contoh 2Contoh 2

7/24/2019 Modul KD1

32/46

Lanjutan contoh 2Lanjutan contoh 2

7/24/2019 Modul KD1

33/46

Contoh 3Contoh 3

7/24/2019 Modul KD1

34/46

Lanjutan contoh3Lanjutan contoh3

7/24/2019 Modul KD1

35/46

LanjutanLanjutan

+++=20

0

25

20

22

3 )25)(50625(1

)25,0)(75,18(1

dxxxxEI

dxxxxEI

v

EI

ftkipv

3

3

.75,2343=

Persamaan kerja maya:

Hasil integrasi:

7/24/2019 Modul KD1

36/46

Teorema CastiglianoTeorema Castigliano

=

=vol

n

i

ii vPvold1

)()(

0)(1

= =

n

iiiis vPvU

Teorema ini sangat berguna untuk menghitung defleksi stukturkhususnya yang mengalami beban lebih dari satu

Dengan mengassumsikan bahwa Us adaah fungsi dari virtuil displacement maka

Persamaan

Dapat ditulis:

7/24/2019 Modul KD1

37/46

=

=

n

ii

i

ss v

v

UU

1

Variasi dari Us dapat ditulis dalam variabel vi:

Maka persamaan sebelumnya menjadi:

01

=

=i

n

ii

i

s vPv

U

Penyelesaian persamaan di atas:

i

i

ii

s

v

UsP

atau

Pv

U

=

=

0

7/24/2019 Modul KD1

38/46

Diferensial parsiil dari energi elastic (Us) dari struktur yang sesuai dengandisplacementdari suatu titik adalah sama dengan gaya yang bekerja pada

titik tersebut dengan arah yang sama dengan displacementnya.

Dengan cara yang sama (similar):

i

si

P

Uv

=

1st theorem:

7/24/2019 Modul KD1

39/46

LanjutanLanjutan

=1

0

dxP

M

EI

Mv

i

i

2nd therem:

Differensial parsiil dari Energy Regangan/Elastik yang mempengaruhigaya Pi adalah sama dengan defleksi di lokasi yg sama dengan arah

sama dengan Pi.

Teorema ini bisa digunakan untuk menghitung gaya redundant (reaksiperletakan) dengan cara memasukkan harga defleksi = 0.

Untuk balok dimana Us = Ub maka ekpresi theorema kedua Castigliano:

7/24/2019 Modul KD1

40/46

Aplikasi Metode EnergiAplikasi Metode Energiuntuk perhitunganuntuk perhitungan

Slope Defleksi/rotasi danSlope Defleksi/rotasi danFixed End MomentFixed End Moment(Momen Primer)(Momen Primer)

7/24/2019 Modul KD1

41/46

Rotasi / Slope DefleksiRotasi / Slope Defleksi

Hitunglah rotasi di A

dgn metode kerja maya

7/24/2019 Modul KD1

42/46


A B

1

m pada x=0 = 1

m pada x=L = 0

Mx

=L

dxEI

mM

0

..

7/24/2019 Modul KD1

43/46

IntegrasiIntegrasi

=

L

dxL

xL

EI

xLxq

0

2

21 )(

=L

dxL

xxLx

EI

q

0

2 )1)((2

L

L

xx

xL

EI

q0

43

2

43

2

2

.

2 +=

EI

qL

24

3

=

7/24/2019 Modul KD1

44/46

Fixed End Momen (Momen Primer)Fixed End Momen (Momen Primer)

7/24/2019 Modul KD1

45/46


L

A B

A B

m = 1M

M M

Mx

mx

=L

dxEI

mM

0

..

7/24/2019 Modul KD1

46/46

Integrasi Kerja mayaIntegrasi Kerja maya

=L

dxEI

mM

0

..

[ ] =L

dxEI

MMxLxq

0

221 )(

0

( ) =L

dxMxLxqEI

M

0

2

21 )(

= Mx

xq

xqL

L

EI

M

32

3

21

2

21

0

( )MLqLEI

M= 3

1210

2

12

1

qLM=

modul kd1

Documents