modul transformasi

27
Modul Transformasi Matematika 1 Transformasi BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini, anda akan mempelajari transformasi yang terdiri atas refleksi, translasi, rotasi , dan dilatasi yang diidentifikasi berdasarkan ciri-cirinya. Refleksi merupakan pencerminan. Dalam geometri bidang pencerminan terdiri dari pencerminan terhadap sumbu x, sumbu y, y = x, y = -x, x = m, y = n, tehadap titik pusat O. Translasi merupakan perpindahan. Rotasi merupakan perputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat dan besar sudut. Titik pusat di O(0,0) dan di P(a,b), sedangkan untuk besar sudut positif berlawanan arah dengan arah jarum jam dan sebaliknya besar sudut negatif searah dengan arah jarum jam. Dilatasi merupakan transformasi yang merubah ukuran tetapi tidak merubah bentuk bangun. Dilatasi ditentukan oleh pusat dan faktor skala. B. Prasyarat Agar dapat mempelajari modul ini, anda harus mempelajari bangun datar dan sistem koordinat. C. Petunjuk Penggunaan Modul 1. Perhatikan langkah-langkah dalam setiap contoh sehingga mempermudah dalam memahami konsep transformasi geometri. 2. Apabila ada soal latihan, kerjakanlah soal-soal tersebut sebagai latihan untuk persiapan evaluasi. 3. Kerjakan soal-soal yang ada pada evaluasi. D.Tujuan akhir 1. Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi bidang 2. Melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi,refleksi, dilatasi, dan rotasi.

Upload: immochacha

Post on 08-Jul-2015

9.688 views

Category:

Education


9 download

TRANSCRIPT

Page 1: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 1

Transformasi

BAB I

PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini, anda akan mempelajari t r a n s fo rm a s i ya n g te rd i r i a t a s r e f l e ks i , t r a n s l as i , r o t as i , d a n d i l a t a s i yan g d i i d e n t i f i k a s i berdasarkan ciri-cirinya. Refleksi merupakan pencerminan. Dalam geometri bidang pencerminan terdiri dari pencerminan terhadap sumbu x, sumbu y, y = x, y = -x, x = m, y = n, tehadap titik pusat O. Translasi merupakan perpindahan. Rotasi merupakan perputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat dan besar sudut. Titik pusat di O(0,0) dan di P(a,b), sedangkan untuk besar sudut positif berlawanan arah dengan arah jarum jam dan sebaliknya besar sudut negatif searah dengan arah jarum jam. Dilatasi merupakan transformasi yang merubah ukuran tetapi tidak merubah bentuk bangun. Dilatasi ditentukan oleh pusat dan faktor skala.

B. Prasyarat

Agar dapat mempelajari modul ini, anda harus mempelajari bangun datar dan sistem koordinat.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

1. Perhatikan langkah-langkah dalam setiap contoh sehingga mempermudah dalam memahami konsep transformasi geometri.

2. Apabila ada soal latihan, kerjakanlah soal-soal tersebut sebagai latihan untuk persiapan evaluasi.

3. Kerjakan soal-soal yang ada pada evaluasi. D.Tujuan akhir

1. Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi bidang

2. Melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi,refleksi, dilatasi, dan rotasi.

Page 2: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 2

Transformasi

BAB II

PEMBELAJARAN

A. Kompetensi : Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah.

B. Sub Kompetensi : Mendefinisikan arti geometri dari suatu transformasi di bidang melalui pengamatan dari kajian pustaka.

a. Menentukan hasil transformasi geometri dari sebuah titik dan bangun. b. Menentukan operasi aljabar dari transformasi geometri dan mengubahnya ke

dalam persamaan matriks.

Page 3: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 3

Transformasi

Tahukah Anda?

Disadari atau tidak di sekeliling kita banyak karya seni yang motifnya mengandung unsur-unsur transformasi.Seorang pelukis yang bernama M. C. Esher banyak yaang menciptakan lukisan yang menggunakan unsur transformasi.

Perhatikan gambar berikut ini yang merupakan salah satu karya seni M.C. Esher.

1. Transformasi apa yang dapat digunakan untuk memperoleh Gambar 1 tersebut?

2. Transformasi apa saja yang dapat digunakan untuk memperoleh Gambar 2 tersebut? Setelah mempelajari bab ini tentu Anda dapat menjawab pertanyaan di atas.

Dalam bab ini Anda akan mempelajari tentang transformasi dan juga akan belajar tentang refleksi,translasi, rotasi dan dilatasi.

Pengertian Transformasi

Transformasi merupakan proses perpindahan suatu titik atau garis atau bidang menjadi bayangan titik atau garis atau bidang tersebut. Bisa juga dikatakan bahwa transformasi itu diartikan sebagai memindahkan objek dari suatu tempat ke tempat lain. Sebelum dipindahkan, objek tersebut disebut sebagai original objek, setelah dipindahkan disebut sebagai image. Jika sebelem dan sesudah di transformasi bentuk dan ukuran objek tetap maka disebut transformasi isometric. Yang termasuk dalam transformasi isometric adalah translasi, refleksi ,dilatasi dan rotasi.

Jenis-jenis transformasi :

1. Refleksi (pencerminan)

2. Translasi (Perpindahan)

3. Rotasi (perputaran)

4. Dilatasi (perbesaran)

A

Page 4: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 4

Transformasi

P’(2h-a,b)

a

h 2h-a

y

x

B.1

Materi Pembelajaran

REFLEKSI(PENCERMINAN)

Terlihat seorang bayi yang senang bermain dengan cermin. Kalian juga pasti sering

bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaantersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan.

Pada cermin datar, tampak oleh kita bahwa jarak objek dengan cermin adalah sama dengan

jarak bayangan objek tersebut ke cermin. Misalkan garis x = h adalah cermin dan titik P (a,b) adalah objek. Jarak titik P terhadap sumbu y adalah a. Jarak cermin x = h ke sumbu y adalah h. Karena jarak benda ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin maka jarak bayangan ke sumbu y adalah 2h sehingga jarak bayangan ke objek adalah 2h – a.

Dan sekarang, perhatikan lingkaran Q yang dicerminkan terhadap sumbu-y berikut ini.

Bayi sangat senang mencoba sesuatu yang baru dia lihat, seperti gambar di samping, bayi laki-laki ini tampak asik melihat bayangannya di cermin. Ketika bayi itu menempelkan salah satu tangannya, ternyata pada cermin, tangannya juga menempel.

P(a,b)

B

Page 5: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 5

Transformasi

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:

Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’. Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik

bayangannya ke cermin, yaitu QA’ =QA’ dan PB’ = P B’ . Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke

bayangannya adalah sudut siku-siku. Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.

Konsep di atas adalah pencerminan terhadap cermin dengan posisi vertikal. Bagaimana dengan posisi cermin yang miring? Misalkan cermin yang demikian adalah garis y = x. Dengan demikian, kita akan mencoba menemukan konsepnya dengan melakukan beberapa percobaan, yaitu dengan mencerminkan beberapa titik ke cermin tersebut dan melihat bayangan yang dihasilkan pada sumbu koordinat. Perhatikan gambar dan tabel di bawah ini. Beberapa titik dicerminkan pada garis y = x, kemudian dicari titik yang jaraknya ke cermin sama dengan jarak bayangannya ke cermin.

Page 6: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 6

Transformasi

sumbu X

y=x

Secara matematis, kita dapat menuliskan pencerminan terhadap garis y = x sebagai berikut:

A(a,b) D(b, a)

1. Melukis Bayangan Bangun Geometri oleh Refleksi terhadap Garis tertentu. Prosedur yang ditempuh untuk melukis bayangan geometri oleh refleksi terhadap

garis tertentu adalah sebagi berikut; a. Tetapkan garis yang akan berperan sebagi sumbu simetri atau sumbu cermin b. Buatlah garis tegak lurus yang ditarik dari titik-titik sudut bangun geometri

yang akan dilukis bayangannya, tegak lurus pada sumbu simetri atau sumbu cermin.

c. Lukislah titik-titik sudut bangun geometri bayangan dengan cara mengukur jarak antara titik sudut bangun geometri bayangan terhadap sumbu cermin sama dengan jarak titik sudut bangun geometri semula terhadap sumbu cermin

d. Hubungkan titik-titik sudut yang berdekatan yang diperoleh pada langkah c sehingga bangun geometri bayangan yang diminta terlukis.

2. Persamaan Transformasi Refleksi pada Bidang a. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap

Sumbu X Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap sumbu X, maka diperoleh hasil refleksi atau bayangan titik B(a’,b’), dengan persamaan transformasi refleksinya adalah a’= a b’= -b Transformasi refleksi itu dapat ditulis sebagai berikut A(a,b) B(a, b)

b. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap Sumbu Y Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap sumbu Y, maka diperoleh hasil refleksi atau bayangan titik C(a’,b’), dengan persamaan transformasi

Page 7: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 7

Transformasi

sumbu Y

y=x

y= -x

refleksinya adalah a’= -a b’= b Transformasi refleksi itu dapat ditulis sebagai berikut A(a, b)C (-a, b)

c. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap garis y=x Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap garis y=x, maka diperoleh hasil refleksi atau bayangan titik D(a’,b’), dengan persamaan transformasi refleksinya adalah a’= b b’= a Transformasi refleksi itu dapat ditulis sebagai berikut A(a,b) D(b, a)

d. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap garis y= -x Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap garis y= -x maka diperoleh hasil refleksi atau bayangan titik E(a’,b’), dengan persamaan transformasi refleksinya adalah a’= -b b’= -a Transformasi refleksi itu dapat ditulis sebagai berikut A(a, b) (-b,- a)

e. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap titik asal O(0, 0) Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap titik asal O(0, 0) maka diperoleh hasil refleksi atau bayangan titik F(a’,b’), dengan persamaan transformasi refleksinya adalah a’= -a b’= -b

Page 8: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 8

Transformasi

titik asal O(0, 0)

x = h

y = b

Transformasi refleksi itu dapat ditulis sebagai berikut A(a,b) F(- a, -b)

f. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap garis x = h Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap garis x= h, maka diperoleh hasil refleksi atau bayangan titik G(a’,b’), dengan persamaan transformasi refleksinya adalah a’= 2h - a b’= b Transformasi refleksi itu dapat ditulis sebagai berikut A(a, b) G(2h – a, b)

g. Persamaan Transformasi Refleksi terhadap garis y = k Jika titik A(a,b) direfleksikan terhadap garis y= k, maka diperoleh hasil refleksi atau bayangan titik H(a’,b’), dengan persamaan transformasi refleksinya adalah a’= a b’= 2k - b Transformasi refleksi itu dapat ditulis sebagai berikut A(x, y) (a, 2k - b) Bagaimana dua refleksi dikomposisikan?

Misalnya, titik A(a, b) dicerminkan terhadap garis x =h. Kemudian, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x =k.

Untuk mengetahui pencerminan ini, amatilah gambar berikut!

Page 9: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 9

Transformasi

Dari gambar, tampak bahwa:

A(a, b) A’(2h - a, b) A”(2(k - h) + a, b)

Contoh 1

Sebuah titik A(3,2) dicerminkan terhadap garis y =x kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = 4. Tentukanlah bayangan pencerminan tersebut! Jawab: A(a, b) A’(b,a) A'’(a,2k b) Dimana 푎 = 2 푎 = 푎 = 2 푏 = 3 푏′′ = 2.4 − 3= 5 Sehingga A’(2,3) sehingga A’’(2,5) Contoh 2

1. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(2,0), B(0,-5) danC(-3,1). Tentukan

koordinat bayangan segitiga ABC tersebut bila dicerminkan terhadap sumbu x Jawab :

Pencerminan terhadap sumbu x

P(x,y) P’(x, -y)

A(2,0) A’(2,0)

B(0,-5) B’ (0,5)

C(-3,1) C’ (-3,-1)

y= 4 y = x

x= h x= k

Page 10: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 10

Transformasi

2. Bayangan garis 3x – 2y + 5 = 0 oleh refleksi terhadap sumbu x adalah Jawab : Oleh pencerminan terhadap sumbu X maka: x’ = x

y’ = -y

disubstitusi ke kurva 3x – 2y + 5 = 0 diperoleh: 3x’ – 2(-y’) + 5 = 0

3x’ + 2y’ + 5 = 0

Jadi bayangannya adalah 3x + 2y + 5 = 0

3. Gambarlah setiap bangun geometri dan bayangannya, jika setiap bangun direflesikan terhadap garis h?

Jawab ; Bentuk dari lingkaran tersebut merupaka bayangan dari lingkaran itu oleh refleksi terhadap garis h.

4. Gambarlah setiap bangun geometri dan bayangannya, jika setiap bangun direflesikan terhadap garis h?

h

h A’

Page 11: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 11

Transformasi

Jawab:

Segi lima AB’C’D’E’ adalah bayangan dari segi lima ABCDE oleh refleksi terhadap garis h

Fotografi refleksi bisa menghasilkan foto "pencerminan", dengan menggunakan media cermin itu sendiri, permukaan refleksi dan juga air. Kita harus pandai menggali lebih dalam imajinasi kita untuk menghasilkan foto unik seperti ini. Kreatifitas dan kualitas foto tergantung dari fotografer itu sendiri.

Page 12: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 12

Transformasi

B.2

Sifat Refleksi

Jika suatu objek dicerminkan terhadap sumbu x, maka koordinat x tetap sama tetapi

koordinat y berubah menjadi berlawanan dengan posisi koordinat asal.

Refleksi terhadap garis y=mx pada bidang xy dapat dibuat merupakan kombinasi dari

transformasi translasi-rotasi-refleksi. Secara umum pertama-tama dilakukan translasi garis

mencapai titik potong koordinat. Kemudian garis dirotasi ke salah satu sumbu dan refleksi

objek menurut sumbu tersebut. Objek dan garis dirotasi sehingga mencapai sumbu lainnya.

Translasi(perpindahan)

Pernahkah kalian melihat kereta gantung?

Walaupun hanya lewat TV ataupun media

informasi yang lain tentunya kalian pernah

melihatnya, kereta tersebut berpindah dari

satu pos ke pos yang lain melalui lintasan tali

yang di rentangkan, sehingga kereta itu hanya bisa berjalan melalui tali, kereta gantung

yang berpindah merupakan sesuatu dari satu tempat ke tempat lain. Ini merupakan hal

yang disebut translasi, selain itu banyak hal yang ada disekitar kita yang berkaitan erat

dengan materi translasi ini. Mari pelajari konsep translasi.

Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.

Jarak bangun (objek) dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut

Page 13: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 13

Transformasi

Minggu lalu, Niko Sentera duduk di pojok kanan baris pertama dikelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Ucok. Ucok sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Martina.

Perhatikan perpindahan tempat duduk Niko Sentera dan Ucok ini

Niko Sentera berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini,

Niko Sentera telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai (-2, 2)

Kemudian, Ucok berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Ucok telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai (-2,-1)

Sehingga, translasi adalah transformasi paling

sederhana yang dapat diterapkan pada suatu objek grafis. Secara sederhana translasi adalah memindahkan objek grafis dari satu tempat ke tempat lain tanpa mengubah tampilan dan orientasi. Untuk menghasilkan translasi dari suatu objek grafis, kita menambahkan konstanta Tx pada koordinat x dan konstanta Ty pada koordinat Y, formula ini diterapkan pada semua titik pada objek yang akan ditranslasikan.

Pada prakteknya untuk mentranslasikan objek grafis, tentu saja kita tidak harus menghitung semua titik pada objek tersebut, tetapi cukup titik-titik pentingnya saja.Contoh untuk memindahkan garis, cukup dihitung titik awal dan akhir saja kemudian gambarkan garis dari lingkaran kemudian dengan

menggunakan algoritma penggambaran lingkaran, lingkaran dengan posisi baru bisa dibentuk.

Pernahkah Anda bermain flying fox di laut? Di laut yang indah Anda melakukan permainan ini tentu asyik bukan?

Page 14: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 14

Transformasi

2. Menentukan Koordinat Titik Bayangan oleh Translasi Tertentu

Jika translasi T =(a ,b) memetakan titik A(x, y) ke titik A´(x’, y’)maka persamaan transformasinya (persamaan yang menghubungkan (x, y) dengan (x’, y,)) adalah

x’ = x + a

y’ = y + b

Aturan yang mengaitkan titik A(x, y) translasi T = (a, b) dengan hasil translasi atau bayangan titik A’(x’, y’) dapat dituliskan sebagai berikut.

A(x,y) A’(x + a, y + b)

Contoh :

1. Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan

koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T = (1 ,3)

Jawab :

titik O (0,0) )3,1(T O’(0+1, 0+3) = O’(1,3)

titik A (3,0) 3,1T A’(3+1, 0+3) = A’(4,3)

titik B (3,5) )3,1(T B’ (3+1, 5+3) = B’(4,8)

2. Sebuah titik P(a,b + 2 + b) digeser dengan T(3,2b – a) sehingga hasil pergeseran adalah Q(3a + b, –3). Tentukanlah pergeseran titik R(2,4), oleh translasi T! Jawab:

P(a,2b + 2) )2,3( abT Q(3a + b,−3)

3a + b = a + 3 –3 = 2b + 2+2b-a 2a + b = 3 dan a = 4b + 5 Dengan mensubstitusi a = 4b + 5 ke 2a + b = 3 maka diperoleh: a = 4b + 5 dan 2a + b = 3 → 2(4b + 5) + b = 3

→ 9b + 10 = 3 → 9b = –7

T=(a, b)

Page 15: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 15

Transformasi

B.3

→ b = –7/9 Bila nilai b = -7/9 disubstitusi ke a = 3b + 5 maka a = -8/3 Dengan demikian, translasi yang dimaksud adalah T(3, 2b – a) = T (3,10/9). Pergeseran titik R (2, 4) oleh translasi T (3,-4) adalah:

R(2,4) )9/10,3(T S(2 + 3, 4 + (10/9) = S(5,46/9)

Rotasi(Perputaran)

Dengan menggunakan jangka, Arif membuat sebuah busur

lingkaran. Ia menusukkan jarum jangka pada titik O, kemudian memutar jangka dengan sudut putar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. Melalui peragaan ini, Arif telah melakukan rotasi sebesar dengan pusat titik O. Misalkan, posisi awal pensil jangka pada titik A(a, b). Setelah dirotasi sebesar dengan pusat titik O, posisi pensil jangka ini berada pada titik A(a’, b’) seperti pada gambar berikut.

Saat kita di taman hiburan,pasti kita akan melihat banyak permainan. Salah satunya adalah bianglala, anak-anak yang suka terhadap permainan ini. Bianglala selalu berputar pada porosnya. Dan permainan ini merupakan contoh dari rotasi.

Page 16: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 16

Transformasi

Sehingga, rotasi atau perputaran adalah transformasi dengan proses memutar sebarang titik lain terhadap titik tertentu(titik pusat rotasi). Suatu rotasi ditentukan oleh tiga unsur berikut ini.

a. Titik Pusat Rotasi Titik pusat rotasi adalah titik tetap yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi.

b. Besar Sudut Rotasi Besar atau jauh sudut rotasi menentukan jauh nya rotasi. Ukurannya dapat dinyatakan dalam derajat,radian, atau bilangan pecahan terhadap satu putaran yang penuh.

c. Arah Sudut Rotasi Suatu rotasi dikatakan mempunyai arah positif (+), jika rotasi itu berlawanan dengan arah jarum jam sedangkan rotasi dikatakan mempunyai arah negatif(-), jika rotasi itu searah dengan arah putaran jarum jam.

1. Melukis Bayangan Bangun Geometri oleh Rotasi Tertentu Bayangan bangun geometri pada suatu rotasi dapat dilukis , jika diketahui titik pusat rotasi, besar sudut rotasi dan arah sudut rotasi.

Masalah 1

Sebuah pesawat pada titik koordinat P(20,40) bergerak berputar sebesar 90° terhadap titik asal menuju titik Q. Setelah tiba di titik Q, pesawat melanjutkan rotasi sebesar 90° terhadap titik asal menuju titik R. Tunjukkanlah koordinat tujuan pesawat tersebut pada koordinat kartesius! Perhatikan gambar berikut ini!!

Page 17: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 17

Transformasi

Rotasi suatu image adalah memutar objek terhadap titik tertentu di bidang xy. Bentuk dan ukuran objek tidak berubah. Untuk melakukan rotasi perlu diketahui sudut rotasi dan pivot point (Xp,Yp) atau titik rotasi dimana objek dirotasi. Nilai positif dari sudut rotasi menentukan arah rotasi berlawanan dengan jarum jam dan sebaliknya nilai negatif akan memutar objek searah jarum jam. Perhatikan gambar berikut!

Contoh

1) Tentukanlah bayangan P(3,-5) jika dirotasi 90 derajat dengan pusat rotasi di A(1,2) dilengkapi dengan gambarnya! Solusi: P(3, -5) = P(a, b)

A(1, 2) = A(x, y)

Page 18: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 18

Transformasi

a’ = (a – x) cos a – (b – y) sin a + x

b’ = (a – x) sin a + (b – y) cos a + y

a’ = (3 – 1) cos 90o – (-5 – 2) sin 90o + 1 = 0

+ 7 + 1 = 8

b’ = (3 – 1) sin 90o – (-5 – 2) cos 90o + 2 = 2

+ 0 + 2 = 4

Jadi, bayangan P(3, 5) adalah P’(8, 4)

2) ABCD adalah persegi panjang. Gambarlah persegi panjang ABCD dan bayangannya persegi panjang A’B’C’D’, jika persegi panjang ABCD dirotasikan dengna titik pusat di A sejauh + 90 derajat Solusi: Persegi panjang ABCD adalah bayangan dari persegi panjang ABCD oleh rotasi yang berpusat di titik A sejauh +90 derajat

Sifat Rotasi

Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.

Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi

Seorang anak yang meluncur dari papan, lalu anak itu berputar sesuai geraknya.

Page 19: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 19

Transformasi

B.4

Dilatasi (Perbesaran/ Pengecilan)

Gambar gedung Pemkab Ponorogo

Andi memotret gedung Pemkab yang ada di kota di Ponorogo. Dimana gedung tersebut menjulang tinggi. Dari hasil potretannya, foto tersebut diperbesar dan juga diperkecil dari pencetakan. Foto tersebut sama dengan foto yang sesungguhnya,tetapi ukuran lebih diperkecil lagi.

Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.

Jika k < -1 atau k > 1, maka hasil dilatasinya diperbesar, Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil, Jika k = 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan.

Jika suatu objek diperbesar atau diperkecil, objek dapat diskalakan menggunakan faktor yang sama baik secara horisontal maupun vertikal sehingga proporsinya tetap atau bisa menggunakan faktor yang berbeda yang akan menyebabkan objek tersebut menjadi lebih tinggi, lebih pendek, lebih tipis atau lebih tebal. Di bawah ini ada gambar yang menujukkan dilatasi tersebut.

Page 20: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 20

Transformasi

Proses untuk mengubah ukuran objek, dengan cara, mengubah jarak setiap titik pada objek terhadap titik acuan. Objek dapat diskalakan dengan arah horizontal maupun vertical dengan cara mengalikan koordinat tiap objek dengan faktor konstanta.

Jenis penskalaan ada dua yaitu uniform dan diferensial. Penskalaan Uniform terjadi bila faktor vertikal sama dengan horizontal, sedangkan diferensial jika kedua faktor tersebut berbedaPenskalaan uniform untuk poligon, lingkaran dan elips, dapat dilihat pada table berikut:

Objek Penskalaan

Poligon Transformasikan titik-titik sudut Gambar ulang tiap garis

Lingkaran Transformasikan titik pusat Sesuaikan ukuran jari-jari Gambar ulang tiap titik

Objek Penskalaan

Ellips Transformasikan sumbu mayor dan minor Gambar ulang tiap titik

Page 21: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 21

Transformasi

Proses Dilatasi tidak mengubah bentuk, tetapai hanya mengubah ukuran

Contoh dilatasi :

Persegi panjang dengan koordinat (4,2), (10,2), (4,4), (10,4) dengan faktor skala ½

Koordinat persegi panjang sesudah transformasi (2,1), (5,1), (2,2), (5,2) Dilatasi merupakan suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.

1. Melukis Bayangan Dilatasi pada Bangun Geometri

Misalkan titik A dipetekan ke titik A’ oleh dilatasi [O, k] maka berlaku OA’ = k x OA. Letak dari A’ ditentukan oleh arah OA’, dan arah A’ = k x OA ditentukan oleh kesepakatan. Dan kesepakatan tesebut dapat dilihat sebagai berikut: 1. Jika k > 0, maka A’ = k x OA ditetapkan searah dengan OA 2. Jika k < 0, maka A’ = k x OA ditetapkan berlawanan arah dengan OA

Dengan menggunakan kesepakatan diatas, bayangan dari suatu bangun geometri oleh dilatasi, [O, k] dapat digambarmelalui langkah-langkah sebagai berikut: 1. Buatlah ruas garis dari titik O (titik pusat) ke titik yang hendak didilatasikan. 2. a. untuk k bernilai positif, bayangannya adalah sebuah titik yang berjarak k kali jarak

dari O ke titik yang didilatasikan dan dalam arah yang sama. b. untuk k bernilai negatif, bayangannya adalah sebuah titik yang berjarak |k| kali jarak

dari O ke titik yang didilatasikan tetapi dalam arah yang belawanan.

Page 22: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 22

Transformasi

A. Persamaan Transformasi Dilatasi dengan Titik Pusat O(0,0)

Jika titik A(x,y) didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala k atau [O, k], maka diperoleh hasil dilatasi atau bayangan titik A’(x’,y’), dengan persamaan transformasi dilatasinya adalah

x’ = kx y’ = ky Transformasi dilatasi itu dapat ditulis sebagai berikut

P(x, y) kO, P’(kx, ky)

B. Persamaan Transformasi Dilatasi dengan Titik Pusat di P(a, b)

Jika titik A(x,y) didilatasi terhadap titik pusat P(a, b) dengan faktor skala k atau [P, k], maka diperoleh hasil dilatasi atau bayangan titik A’(x’,y’), dengan persamaan transformasi dilatasinya adalah

x’ = a + k(x – a) y’ = b + k(y – b) Transformasi dilatasi itu dapat ditulis sebagai berikut

P(x, y) kP, P’(a + k(x – a),b+ k(y – b))

Sifat Dilatasi

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.

a) Jika k > 1, maka bangun akar diperbesar dan terletak secara terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. (k = 2)

b) Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.

c) Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. ( k = )

Gambar Dilatasi dengan [O, 2]

Gambar Dilatasi dengan [O, ퟏퟐ]

Page 23: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 23

Transformasi

d) Jika –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. ( k = - )

e) Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. ( k = -2) Contoh

1) Tentukanlah bayangan titik P(5, 6) jika didilatasikan oleh: a. [O, 2] b.[O, 3] Jawab : a. P(5, 6) 2,O

P’(5.2, 6.2) = P’(10, 12) Jadi, titik P’(10, 12) b. P(5, 6) 3,O

P’(5.3, 6.3) = P’(15, 18) Jadi, titik P’(15, 18)

2) Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di B. Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’

Jawab :

Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0) memotong sumbu Y di B(0,2) karena dilatasi [O,-2] maka

A’(kx,ky)→ A’(-6,0)

Gambar Dilatasi dengan [O,- ퟏퟐ]

Gambar Dilatasi dengan [O,-2]

Page 24: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 24

Transformasi

B’(kx,ky) → B’(0,-4)

Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga seperti pada gambar:

Sehingga luasnya = ½ x OA’ x OB’

= ½ x 6 x 4

= 12

3) Diberikan titik A(-2, 3) dan A’(-5, 8). Titik A’ adalah hasil dilatasi titik A oleh dilatasi dengan pusat P(a, b)dengan faktor skala 2.carilah koordinat titik P? Solusi: Untuk menentukan bayangan dari titik A(x, y)oleh dilatasi yang berpusat di P(a,b)dengan faktor skala k di tentukan oleh rumus berikut ini.

P(x, y) kbaP ),,( P’(a + k(x – a),b+ k(y – b))

P(-2, 3) 2),,( baP P’(a + 2(-2 – a),b+ 2(3 – b)) =A’(-a -4, -b+6) =A’(-5, 8)

-a – 4 =-5 a = 1,

-b + 6 =8 b = -2

Jadi, koordinat titik P adalah (1, -2)

y

-6

4

A

B

x

Page 25: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 25

Transformasi

1. Diketahui titik A(2, 3), B(-4, 5), dan C(-3,-5). Tentukan bayangan titik A, B dan C jika

didilatasi [O, -2]

2. Tentukan bayangan titik A(-3,4) oleh dilatasi dengan pusat (2,3) dan fakator skala -1/2

3. Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y = 16. Tentukan bayangan lingkaran

jika dicerminkan terhadap garis y = x.

4. Diketahui titik A(2, -1), B(5, 3), dan C(-2, 4). Tentukan bayangan titik A, B, dan C,

jika dicerminkan terhadap:

a. sumbu x

b. sumbu y

c. garis x = 2

d. garis y = -3

e. garis y = x

f. garis y = -x

5. Diketahui persamaan garis 2x + 3y = 6. Tentukan bayangan garis tersebut jika

dicerminkan terhadap sumbu y

6. Diketahui titik A(-3,2), B(2,-5), dan C(5,4). Tentukan bayangan titik A, B, C jika

ditranslasi oleh T = (-2, 4)

7. Diketahui persamaan garis x – 2y + 4 = 0. Tentukan bayangan garis tersebut jika

ditranslasi oleh T = (2, 3)

8. Tentukan bayangan persamaan garis 2x + 3y = 6 oleh rotasi pada pusat O sebesar +900

9. Tentukan bayangan persamaan lingkaran (x-2)2 + (y-3)2 = 4 oleh rotasi pada O sebesar

+1800

10. Titik P(3,4) ditranslasikan oleh T=(a, b) menghasilkan Titik P’(7, -6). Tentukanlah

translasi T !

Asah Kemampuan

Page 26: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 26

Transformasi

C

Penutup

Berdasarkan sajian materi terkait berbagai konsep transoformasi di atas, beberapa hal

penting dapat kita rangkum sebagai berikut.

a. Transformasi adalah proses perpindahan suatu titik atau garis atau bidang

menjadi bayangan titik atau garis atau bidang tersebut. Bisa juga dikatakan

bahwa transformasi itu diartikan sebagai memindahkan objek dari suatu tempat ke

tempat lain.

b. Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik

pada sebuah bidang berdasarkan jarak dan arah tertentu. Misalkan x, y, a, dan b

adalah bilangan real, translasi titik A (x, y) dengan T(a,b) adalah menggeser absis x

sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sedemikian hingga diperoleh

A’(x + a, y + b), secara notasi dilambangkan dengan:

A(x, y) ),( baT A'(x + a, y + b) .

c. Refleksi atau pencerminan adalah satu jenis transformasi yang memindahkan setiap

titik pada suatu bidang dengan mengggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik

yang dipindahkan. Pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu x = h didefinisikan

dengan:

A(a, b) hx A'(2h - a, b) ,

sedangkan pencerminan titik A (a, b) terhadap sumbu y= k didefinisikan dengan:

A(a, b) ky A'(a, 2k + b) .

d. Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang memindahkan suatu titik ke titik lain

dengan perputaran terhadap titik pusat tertentu. Rotasi terhadap titik O(0,0) sebesar 900

dirumuskan dengan:

A(a,b) ]90),0,0([OR A'( b, a)

Page 27: modul transformasi

Modul Transformasi Matematika 27

Transformasi

e. Dilatasi atau perubahan skala adalah suatu transformasi yang memperbesar atau

memperkecil bangun tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan

faktor skala k dirumuskan dengan: A(a,b) ],[ kOD A'(ka,kb), sedangkan dilatasi

dengan pusat P(p,q) dan faktor skala k dirumuskan dengan:

A(a,b) kbaP ),,( A'[ p k(a p),q k(b q)].

Konsep transformasi yang telah dibahas di atas, kita peroleh dari situasi nyata

kehidupan. Konsep-konsep ini sangat berguna untuk pemecahan masalah yang kamu temukan

dalam kehidupan sehari-hari. Dan konsep- konsep tersebut banyak kita jumpai dalam

kehidupan nyata.