modul kalkulus lanjut.1

5/26/2018 MODUL Kalkulus Lanjut.1

1/42

MODUL MATA KULIAH

KALKULUS LANJUT

OLEH :

1. Rizqi Tresnaningsih

2. Swasi Maharani

!RO"RAM STUDI !ENDIDIKAN MATEMATIKA

#AKULTAS !ENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU !EN"ETAHUAN ALAM

IKI! !"RI MADIUN

2$1$

Modul Kalkulus Lanjut 1


2/42

A. INTE"RAL RN"KA! 2

1. Inegra% Li&a D'a Aas Daerah !ersegi !an(ang

Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk fungsi banyak

peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral rangkap.

Pada integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada

selang tertutup di R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah

fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2.Berikut akan kita bahas tentang

integral lipat dua juga integral lipat tiga.

ambar 1.1

!etapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi"sisi sejajar sumbu"sumbu

koordinat, yakni misal # R # $%&,y' # ,bxa dxc (. Bentuk suatu partisi dengan )ara

membuat garis"garis sejajar sumbu & dan y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang

ke)il yang jumlahnya n buah, yang ditunjukkan dengan k * 1,2,...n. !etapkan kx dan ky


&

b

ad)

kR

',%kk yx

+

y


3/42

adalah panjang sisi"sisi kR dan kA * kx . ky adalah luas. Pada kR ambil sebuah titik

misal ',% kk yx dan bentuk penjumlahan Riemann k

n

k

kk Ayxf =',%

1

.

efinisi #

Integral lipat dua

-ndai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R,

jika #

.lim

IpI k

n

k

kk Ayxf

=

',%1

ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut

R

dAyxf ',% , yang disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh

R

dAyxf ',% * .lim

IpI k

n

k

kk Ayxf

=

',%1

Sifat-sifat Integral Lipat Dua :

1. /ika f%&,y' dan g%&,y' masing"masing kontinu dalam daerah R maka#

=R R

dAyxfkdAyxkf ',%',%

+=+R R R

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ',%',%'0,%',%

2. +=R R R

dAyxfdAyxfdAyxf

1 2

',%',%',%

. 3ifat pembanding berlaku jika f%&,y' g%&,y' untuk semua %&,y' di R, maka #

R R

dAyxgdAyxf ',%',%

Modul Kalkulus Lanjut


4/42

Perhitungan Integral Lipat dua

/ika f%&,y' *1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka integral lipat dua

merupakan luas R.

=R R

dAyxfkdAyxkf ',%',%

* R

dAk 1

* k.-%R'

4ontoh 3oal

1. -ndai f sebuah fungsi tangga yakni #

f%&,y' *

2,.,

21,.,2

1.,.,1

yx

yx

yx

hitung R

dAyxf ',% dengan R * $ (.,.#',% yxyx

ja5ab #

misal persegi panjang R1, R2, R

R1 * $ (1.,.#',% yxyx

R2* $ (21,.#',% yxyx

R * $ (2,.#',% yxyx , lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua,

sehingga #



5/42

=R

dAyxf ',% 1

',%R

dAyxf 7 2

',%R

dAyxf 7

',%R

dAyxf

* 1.-%R1' 7 2. -%R2' 7 .-%R'

* 1. 7 2. 7 .

* 18

2. 9ampiri R

dAyxf ',% dengan1:

8:6',%

2yxyxf

+= ,

R * $ (8.,6.#',% yxyx . Kerjakan dengan menghitung penjumlahan Riemann;

/a5ab #

Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar yang sama

dengan tiap"tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. !itik"titik )ontoh yang diperlukan dan nilai"

nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah #

',% 11 yx * %1,1', f ',% 11 yx *1:

1

a

b

-%&'

+*f%&,y'

b.2.=

y* 1%&' y* 2 %&'

z

-!I9-C


20/42

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

b. 1

. .

2

'2%

y

x dxdyye

..........................................................................................................................................

.

..........................................................................................................................................

.

..........................................................................................................................................

.

..........................................................................................................................................

.

..........................................................................................................................................

.

1. 4ari ?olume benda di oktan I, oleh silinder 2=22 =+ yx , 22= xy = ;

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................


-FD I3KU3I KGDHPDK...


21/42

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

2. engan menggunakan double integral, buktikan rumus luas lingkaran dengan

persamaan 222 Ayx =+ ; Buktikan dengan bentuk integral berikut#dydx dan

dxdy ;

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................



22/42

. 9itung isi benda yang dibatasi oleh tabung %silinder' 222 ayx =+ , + * , dan bidang

+ " y * ;

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

Ker(a)an sa%3sa% +eri)' ini/

1. 9itung isi benda yang dibatasi oleh bidang + *, permukaan 222 ++= yxz dan tabung

622 =+yx ;


KUIS


23/42

2. 9itung isi benda yang terjadi oleh pemotongan kedua silinder 222 azx =+ dan

222 azy =+ ;

.

a. +2

1

'%

y

y

dxdyyx

b. 1

.

2

2

x

x

dydxxy

).

1

. .

2x

y

dydxxe

d. uas daerah yang dibatasi kur?a 2: xxy = dan y * &

e. uas daerah yang dibatasi kur?a 2xy = dan y * 2& 7

4. Inegra% Li&a D'a Da%a* Kr-ina K''+

/ika + * f%&,y' menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah kontinu dan

tak negatif, maka ?olume @ dari benda pejal diba5ah permukaan ini dan diatas R adalah

@ *R

dAyxf ',% ...... %1'

alam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk #

R * $ (,#',% brar


z


24/42

engan dan 2 . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai

+ * f%&,y' * ',%'sin,)os% rfrrf =


R

+*f%&,y'*%r, '

r5a

r5+

R

=

=

Rk

Rk

R

k

Partisi R dalam persegi panjang kutub yang

lebih ke)il R1, R2

, A. Rn. dengan menggunakan suatu kisi kutub

pada gambar diatas luas -%Rk' dapat ditulis #

kkkk rrRA ='% dengan kr adalah radius

rata"rata Rk. /adi @ kkkkn

k rrrf ',%

b.2.:

b.2.

9impunan r sederhana

b.2.1

9impunan sederhana

-!I9-C


27/42

2. !entukan ?olume benda pejal di ba5ah permukaan 22 yxz += ,diatas bidang &,y dan

di dalam tabung yyx 222 =+

/a5ab

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

. 9itung luas daerah di luar lingkaran r * 2 dan di dalam kardioid ')os1%2 +=r

/a5ab

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................



28/42

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

6. !enera&an Inegra% 2

Penerapan integral dua selain untuk men)ari ?olume benda pejal, penerapan lain yaitu

men)ari massa, pusat massa dan momen inersia.

a. Hassa

-ndai suatu lamina men)akup daerah s di bidang &y dan jika kerapatan %massaJ satuan

luas' di %&,y' dinyatakan oleh ',% yx . Partisikan s dalam persegi panjang ke)il



29/42

.21 ,..., kRRR -mbil titik % ', kk yx pada kR . Hassa kR se)ara hampiran

kARyx ',% dan massa total lamina se)ara hampiran '%',%1

k

n

k

kk RAyxm ==

Hassa %m' diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma partisi

mendekati nol, sehingga #

'%',%lim1

kkkk

n

PRAyx

=

imit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2#

=s

dAyxm ',%

b. Pusat Hassa

/ika nmmm ,..., 21 adalah kumpulan titik massa yang masing"masing ditempatkan di

% ', 11 yx ,% ', 22 yx ,.......,% ', nn yx pada bidang maka momen total terhadap sumbu y

dan sumbu &. =

=n

k

kky mxM1

, =

=n

k

kkx myM1

. Koordinat % ', yx dari pusat massa#

Koordinat % ', yx dari pusat massa.

==

s

sy

dAyx

dAyxx

m

Mx

',%

',%

dan

==

s

sx

dAyx

dAyxy

m

My

',%

',%

Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen %kerapatan tak sama', tapi jika

kerapatannya sama %homogen', maka pusat massa menjadi#

=

s

s

dA

xdA

x

dan

=

s

s

dA

ydA

y

). Homen Inersia

Modul Kalkulus Lanjut 2>


30/42

efinisi#

Homen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat jarak terpendek

dari partikel terhadap sumbu. /ika m adalah massa dan r adalah jarak, sehingga #

=

=++=n

k

kknn rmrmrmrmI1

222

22

2

11 ....

3uatu lamina tak homogen dengan kerapatan ',% yx yang men)akup suatu daerah s

dari bidang &y, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri momen inersia tiap

keping kR , ambil limit dan dba5a ke rumus diatas, sehingga momen inersia terhadap

sumbu &, y dan + adalah xI , yI , dan zI

=

==

n

k s

kkP

x dAyxyymI1

22

',%lim

=

==

n

k s

kkP

y dAyxxymI1

22

',%lim

+=+=s

yxz dAyxyxIII ',%'% 22

4otoh soal#

3ebuah lamina dengan kerpatan xyyx =',% dibatas sumbu &, garis & *8 , kur?a J2xy = .

!entukan #

a. Hassa

b. Pusat massa

). Homen inersia terhadap sumbu &, y dan +

Modul Kalkulus Lanjut


31/42

/a5ab #

a. =s

dAyxm ',%

* 8

. .

J2x

xydydx

* [ ] dxxy J2

2

8

2

1

* dxx8

.

J

modul kalkulus lanjut.1

Documents