Program Ijazah Sarjana Muda Perguruan (Matematik Pendidikan Rendah) MTE 3108 KALKULUS ASAS Disediakan Oleh Dr HU LAEY NEE SI TONG YONG Jabatan Matematik Institut Pendidikan Guru Kampus Sarawak Januari 2013 MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, MiriKandunganTopik Muka Surat1 Fungsi Dan Graf 11.0 Pengenalan 11.1 Pola dan Perkaitan 11.2. Penggunaan Variabel Untuk Menyatakan Perkaitan 121.3. Mengecam Pola141.3.1 Fungsi Genap dan Ganjil 141.3.2 Fungsi Berkala 161.4 Domain Dan Julat 191.5. Konsep Fungsi 231.6. Fungsi Songsangan 281.7 Graf Bagi Fungsi Songsangan 351.8 Melakar Graf 381.8.1 Empat cara Menjelaskan Suatu Fungsi 381.8.2 Polinomial 391.8.3 Fungsi Kuasa 401.8.4 Fungsi Nisbah431.8.5 Fungsi Algebra431.8.6 Fungsi Trigonometri 441.8.7 Fungsi Eksponen 461.8.8 Fungsi Logaritma 461.9 Melakar graf dengan menggunakan Geometers Sketchpad (GSP)471.20 Melakar graf dengan menggunakan Graphmatica 492 Had Dan Keselanjaran 532.1 Idea Had 532.2 Definisi Had 572.3 Teorem Had Dan Sifat-sifat Had612.4 Had Satu Hujung Dan Dua Hujung 662.5 Had Tak Tertingga692.6 Konsep Keselanjaran 782.6.1 Keselanjaran Suatu Titik 782.6.2 Keselanjaran Pada Suatu Selang 842.7 Teorem Penyebit; Had Trigonometri912.8 Dua Sifat Asas Fungsi Keselanjaran942.8.1 Teorem Nilai Perantaraan 942.8.2 Kebatasan; Nilai Ekstrim 963 Terbitan 993.1 Terbitan 993.2 Kebolehbezaan Dan Selanjar 1003.3 Prinsip Pertama 1023.4 Beberapa Formula Terbitan 1063.5 Petua Rantai 1113.6. Terbitan Fungsi Trigonometri1143.7 Terbitan Fungsi Eksponen 1163.8 Terbitan Fungsi Logaritma 1173.9 Terbtian Peringkat Kedua Atau Lebih Tinggi 119MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri3.10 Fungsi Tersirat 1233.11 Aplikasi Terbitan 1263.10.1 Terbitan Sebagai Kadar Perubahan 1263.11.2 Terbitan Pertama Dan Terbitan Kedua Dalam Menguji Nilai Ekstrim Dan Melakar Graf 1283.11.3 Masalah-masalah Yang Melibatkan Maksimum Dan Minimum (Menyelesaikan Masalah Pengoptimuman) 1353.11.4 Terbitan Dalam Mendapatkan Persamaan Garis Tangen dan Garis Normal 1403.11.5 Terbitan Dalam Penggunaan Bidang DinamikGerakan zarah di Sepanjang Garis Lurus (Halaju dan Pecutan) 1403.11.6 Penghampiran : Perubahan kecil dan Ralat 1424 Kamiran4.1 Konsep Antiterbitan 1464.2 Kamiran Tentu Bagi Fungsi Selanjar 1474.3 Kamiaran Tak Tentu (Kamiran Tak Terhingga) 1494.4 Sifat Kamiran Tentu (Kamiran Terhingga) 1524.5 Teknik Kamiran 1574.5.1 Pengamiran Secara Gantian 1574.5.2 Pengamiran Bahagian Demi Bahagian 1604.5.3 Pengamiran Dengan Pecahan Separa1634.6 Aplikasi Kamiran 1704.6.1 Luas Satah 1704.6.2 Isipadu Oleh Keratan Rentas Selari; Cekera Dan Cincin / Isipadu Perkisaran 1834.6.2.1 Isipadu Bungkah Putaran Pada Paksi Koordinat 1834.6.2.2 Isipadu Bungkah Putaran Di Antara Dua Lengkungan Pada Paksi Koordinat 1884.6.3 Jarak, Halaju Dan Pecutan 193Rujukan 200FormulaMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri1TOPIK 1FUNGSI DAN GRAF1.0 PengenalanPersamaan lengkung dalam bentuk y = 'ungkapan dalam x'.Cara lain menulis adalah menggunakan tatatanda fungsi (functional notation),, x bagi fungsi) (x f y =Contoh,2x y = bolehditulissebagai 2) ( x x f = . Untukmenilaifungsiapabilax = 3, kita boleh tulis sebagai 9 3 ) 3 (2= = fKita katakan bahawa 9 adalah imej bagi 3 di bawah fungsi f. Ini serupa dengan menyatakan bila x = 3, y = 9. 1.1 Pola dan PerkaitanPenjelmaan (transformasi) Graf bagi FungsiEmpat fungsi bagi graf:(a) x x f = ) ( (b)2) ( x x f = (c)3) ( x x f = (d)xx f1) ( =1. Translasi selari dengan paksi yKatakan2) ( x x f = , e x 0. Lakaran graf bagif diberikan dalam rajah berikut:Ringkaskanungkapanbagi (i)1 ) ( + x f dan (ii)1 ) ( x f . Lakarkangrafbagi(i)dan(ii) pada paksi yang sama.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri2(i)1 ) ( + x f = 12+ x (ii)1 ) ( x f = 12 xDalamkes (i),graf f telahdianjakkan/ditranslasikan sebanyak 1unitselaridengan paksi y.Dalamkes(ii),grafftelahdianjakkan/ditranslasikan sebanyak -1unitselaridengan paksi y.Penjelmaan algebra Secara Umum:a x f + ) ( , di mana a adalah pemalar, menyebabkan tranformasi goemetri graf f , iaitu anjakan a unit selari dengan paksi y.Penjelmaan algebraa x f ) ( , di mana a adalah pemalar, menyebabkan tranformasi goemetri graf f , iaitu anjakan -a unit selari dengan paksi y.Contoh:1. Grafbagi3 ) (2+ = x x g adalahsamadengangraf 2) ( x x g = yangdianjakkan sebanyak 3 unit ke atas.2. Grafbagi3 ) (2 = x x g adalahsamadengangraf 2) ( x x g = yangdianjakkan sebanyak 3 unit ke bawah.Contoh:Fungsif ditakrifkansebagai3) ( x x f = , e x 0. Lakarkangrafbagif. Seterusnyalakarkan graf bagi 4 ) (3 = x x g .Penyelesaian:Memadangkan g(x) = f(x) 4, kita boleh melukis graf bagi g(x) dengan menterjemahkan f(x)dengan anjakan -4 unit selari dengan paksi y. Ini ditunjukkan seperti di bawah.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri32. Translasi selari dengan paksi xKatakan 1 4 ) ( = x x f , e x 0. Lakaran graf f diberikan dalam rajah berikut:Ringkaskan ungkapan bagi (i)) 2 ( + x f dan (ii)) 2 ( x f . Lakarkan graf bagi (i) dan(ii) pada paksi yang sama.(i) ( +2) = 4( +2) 1 dan (ii) ( 2) = 4( 2) 1= 4 +7 = 4 9f(x) = x3f(x) = x3g(x) = x3- 4MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri4Dalamkes(i),grafftelahdianjakkan/ditranslasikan sebanyak -2 unitselaridengan paksi x.Dalamkes(ii),grafftelahdianjakkan/ditranslasikan sebanyak2unitselaridengan paksi x.Penjelmaan algebra Secara Umum:) ( a x f + , di mana a adalah pemalar, menyebabkan tranformasi goemetri graf f, iaitu anjakkan -a unit selari dengan paksi x.Penjelmaan algebra) ( a x f , di mana a adalah pemalar, menyebabkan tranformasi goemetri graf f , iaitu anjakkan a unit selari dengan paksi x.Graf bagi fungsi 2) ( ) ( h x x f = boleh didapati darigraffungsi 2) ( x x f = . Graf bagifungsi 2) ( ) ( h x x f = inididapatidenganmelakukananjakanterhadapgraf2) ( x x f = sebanyakh unit ke kanan jika h > 0 dan |h| unit ke kiri jika h < 0. Contoh:Lakarkangrafbagi 2) ( x x f = ,2) 1 ( ) ( = x x f dan 2) 1 ( ) ( + = x x f padasatusetpaksiyang sama.Penyelesaian:MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri5Contoh:Fungsi f ditakrfikan sebagai 1 ) (2+ = x x f , e x 0.a)Lakarkan graf bagi f.b)Fungsig ditakrfikansebagai ) 3 ( ) ( + = x f x g . Cari ) (x g dalambentukteringkasdan seterusnya lakarkan graf bagi g.Penyelesaian:a) Lakarangraf1 ) (2+ = x x f adalah lengkungansepertiyangditunjukkandalamrajah (i) di bawah.(i) (ii)b) Fungsi g diberikan sebagai() =( +3)= ( +3)+1= +6 +9 +1 () = +6 +10Memandangkan () =( +3), graf g boleh diperolehi daripada graf fdengan anjakan -3 unit selari denganpaksix.Maka,graflakarangrafgadalahsepertiyang ditunjukkan dalam rajah (ii) di atas.Contoh:Diberikan fungsi f sebagai31) (+=xx f , e x 0, 3 = x . Lakarkan graf bagi f.Penyelesaian:Kitatahugrafbagi =adalahsepertiditunjukkandalamrajah(i)dibawah. Grafbagif boleh diperoleh dengan anjakan graf =sebanyak -3 unit selari dengan paksi x. Maka, graf f adalah seperti yang ditunjukkan dalam rajah (ii) di bawah.() = +6 +101 ) (2+ = x x f1 ) (2+ = x x fMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri6(i) (ii)3. PantulanKatakan 1 ) ( + = x x f , e x 0. Lakaran graf bagi f ditunjukkan dalam rajah berikut:Permudahkan ungkapan bagi (i)) (x f dan (ii)) ( x f . Lakarkan graf bagi (i) dan (ii) pada paksi yang sama.(i)() = ( +1) = 1(ii) () = () +1 = +1Dalam kes (i), graf f telah dipantulkan pada paksi x.Dalam kes (ii), graf f telah dipantulkan pada paksi y. =1 =1() =1 + 3MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri7Penjelmaanalgebra Secara umum:) (x f menyebabkantranformasigoemetrigraff,iaitupantulan padapaksi x.Penjelmaanalgebra) ( x f menyebabkantranformasigoemetrigraff,iaitupantulan padapaksi y.4. Regangan (Stretch transformations)Katakan 1 ) ( + = x x f , e x 0. Lakaran graf fungsif adalah seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut:Ringkaskanungkapan(i)) 2 ( x f dan (ii)) ( 2 x f . Lakarkangrafbagi(i)dan (ii)padapaksi yang sama.(i) (2) = (2) +1 dan (ii) 2() = 2( +1)= 2 +1 = 2 +2Dalam kes (i), graf f telah diregangkan selari dengan paksi x dengan faktor skala 21.Dalam kes (ii), graf f telah diregangkan selari dengan paksi y dengan faktor skala 2.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri8Penjelmaanalgebra Secara Umum:) (ax f , dimanaa adalahpemalar, menyebabkantranformasigoemetri graf f, iaitu regangan selari pada paksi x dengan faktor skala a1(stretch parallel to the x-axis by a scale factor of a1).Penjelmaanalgebra) (x af , dimanaa adalahpemalar, menyebabkantranformasigoemetri graf f, iaitu regangan selari pada paksi y dengan faktor skala a (stretch parallel to the y-axis by a scale factor of a.).Contoh:Lakarkan graf fungsi 2) ( x x f = ,221) ( x x f = dan 22 ) ( x x f = pada paksi yang sama.Penyelesaian:Grafbagi 221) ( x x f = adalahlebihlebarjikadibandingkandengangraf 2) ( x x f =sementara graf bagi 22 ) ( x x f = adalah lebih tirus atau kuncup.Contoh:Lakarkangraffungsi 2) ( x x f = ,2) ( x x f = ,221) ( x x f = dan 22 ) ( x x f = padapaksi yang sama.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri9Penyelesaian:Contoh:Fungsif ditakrifkansebagai 5 2 ) ( + = x x f , e x 0. Lakarkangrafbagifungsif. Perihalkan urutan tranformasi goemetri yang terlibat bagi graf fungsi berikut: (a)5 6 ) ( + = x x g (b) 16 6 ) ( + = x x hPenyelesaian:Lakarangrafbagi () = 2 +5 memberikangarislurussepertiyangditunjukkandalam rajah (i) di bawah.(a) Memandangkan() = 6 +5= 2(3) +5 () =(3)Maka,grafbagigbolehdiperolehdenganmeregangkangraffselaridenganpaksix dengan faktor skala . Ini memberikan graf g seperti yang ditunjukkan dalam rajah (ii) di bawah.(i) (ii)() = 2 +5525256() = 2 +5() = 6 +5MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri10(b) Memandangkan () = 6 +16= 3(2 +5) +1 () = 3() +1Maka,grafbagihbolehdiperoleh dengan regangan graf f selari pada paksi ydenganfaktorskala3diikuti dengan anjakan1unitselaridenganpaksiy.Ini meberikangrafhsepertiyang ditunjukkan dalam rajah (iii) di sebelah.Cara lain,() = 6 +16= (2(3) +5) +11 () = (3) +11Maka,grafbagihjugabolehdiperoleh dengan regangan graf f selari pada paksi x denganfaktorskala diikutidengan anjakan 11 unit selari dengan paksi y.Contoh:Huraikanurutantranformasigeometriyangterlibatdanlakarkangrafbagi 3 ) 2 ( 2 ) (2 = x x f .PenyelesaianGraffungsiinibolehdidapatidari graffungsi 22 ) ( x x g = dengan melakukananjakansebanyak2unit kekanandankemudian3unitke bawah.Atau,Graffungsiinibolehdidapatidari graffungsi 22 ) ( x x g = dengan melakukan translasi 23(iii)MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri11Contoh:Fungsif ditakrifkansebagai 7 4 2 ) (2+ + = x x x f , e x 0. Ungkapkanf(x)dalambentukq p x a + +2) ( , dimana a,pdan q adalahpemalar. Seterusnya,huraikanurutantranformasi geometri yang terlibat bila menggunakan 2) ( x x g = untuk menghasilkan graf fungsi f.Penyelesaian:Dengan penyempurnaan kuasa dua menghasilkan() = 2+4 +7= 2 +2 += 2 ( +1) 1 += 2( +1)+5Maka, () = 2( +1) +5Graf bagi f boleh didapati dari graf () = dengan menggunakan tranformasi geometri mengikut urutan berikut: (i) Anjakan -1 unit selari dengan paksi x(ii) Regangan selari pada paksi y dengan faktor skala 2(iii) Anjakan 5 unit selari dengan paksi y.Contoh:Lakarkan graf bagi2 ) 3 ( ) (3+ = x x k .Penyelesaian:Graf bagi fungsi ini boleh didapati dengan melakukan anjakan 3 unit ke kanan dan kemudian 2 unit ke atas terhadap graf bagi fungsi 3) ( x x f = . Atau translasi 32 .MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri121.2 Penggunaan Variabel Untuk Menyatakan PerkaitanPemetaanbolehdiwakilidengangambarajahpemetaan.. Kitabiasanyamenunjukkan peraturanyangditentukansemasapemetaan/hubungan/perpadananunsur-unsurA dengan unsur-unsur B.Pemetaan (Mappings) / Perwakilan HubunganPertimbangkan hubungan semua unsur-unsur set A = {-2, -1, 0, 1, 2} dipadankan dengan unsur-unsur set B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.Kes 1:Setiap unsur A dipadankan kepada satu dan hanya satu unsur dalam B. Ini dipanggil sebagai pemetaan satu dengan satu / hubungan satu dengan satu (one-to-one mapping).Dalam kes ini, peraturan adalah tambah 4. Tatatanda fungsi ditulis sebagai4 ) ( + = x x f atau 4 : + x x f[setiap objek dalam domain dihubungkan kepada hanya satu imej dalam kodomain dan setiap unsur dalam julat dihubungi oleh satu objek dalam domain]Kes 2:MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri13Duaunsur A dipetakankepadasatuunsurB. Inidipanggilpemetaandua dengansatu/ hubungandua dengansatu /hubunganbanyakdengansatu(two-to-onemapping,or amany-to-one mapping).Dalam kes ini, peraturan dan tatatanda adalah2) ( x x f = atau2: x x f [Setiapobjekdihubungkandenganhanyasatuimej,tetapisesuatuunsurdalamjulat dihubungi oleh beberapa objek dalam domain]Hubungansatudengansatuatauhubunganbanyakdengansatudipanggilfungsi.Hubungan satu dengan banyak dan hubungan banyak dengan banyak bukan fungsi.Contoh:Untuk setiap hubunganf berikut, tentukan sama adaf adalah hubungan satu dengan satu.(a)2) ( x x f = , e x 0.(b) 12) ( + = xx f , e x 0.(c)3) ( x x f = , e x 0.Penyelesaian:(a) Pertimbangkan 2) ( x x f = ,Memadangkan (1) = (1)= 1dan (1) = (1)= 1, pemetaan () = bukan satu dengan satu. Ini juga jelas dilihat daripada graf pemetaan di sebelah.dua kepada satuMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri14(b) Graf () =+1 merupakangarislurus.Iaadalahjelasmerupakanpemetaansatu dengan satu berdasarkan graf (i) di bawah.(i)(ii)(c) Graf() = merupakanlengkungan.Grafjelasmenunjukkanpemetaansatu dengan satu berdasarkan graf (ii) di atas.1.3 Mengecam Pola (Pattern Recognition)1.3.1 Fungsi Genap dan Ganjil (Even and odd functions)Fungsif dipanggilfungsigenap jika f(-x)= f(x)untuksemuax kepunyaandomain f. Graf fungsi genap adalah simetri pada paksi y.Contoh:Fungsif(x) = x2) () ( ) (22x fxx x f== = adalah fungsi genap memandangkanGraff(x) = x2 adalah simetri pada paksi y sperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut.satu kepada satusatu kepada satuGaris simetri ()MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri15Fungsi f dipanggil fungsi ganjil jika f(-x) = -f(x) untuk semua x kepunyaan domain f. Graf fungsi ganjil adalah tidak berubah di bawah putaran 180opada asalan.Contoh:Fungsi f(x) = x3) () ( ) (33x fxx x f = = = adalah fungsi ganjil memandangkanGraffungsiganjiladalahtidakberubahdibawahputaran180opadaasalansepertiyang ditunjukkan dalam rajah berikut.Contoh:Tunjukkan fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi genap.(a) 1 2 ) (2 4 + = x x x f , e x 0.(b) | | 3 ) (2x x x f = , e x 0.Penyelesaian:(a) Kita mesti semak bahawa () = ().1 2 ) (2 4 + = x x x f() = 2()+()1= 2+1 () = () untuk semua x.Maka, fungsi f adalah fungsi genap.(b) Kita mesti semak bahawa () = ().| | 3 ) (2x x x f =() = 3()||= 3|| () = () untuk semua x.Maka, fungsi f adalah fungsi genap.Putaran 180di (0, 0). MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri16Contoh:Tunjukkan fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi ganjil.(a) x x x f =34 ) ( , e x 0.(b) xxx f + =1) ( , e x 0, 0 = x .Penyelesaian:(a) Kita mesti semak bahawa () = ().x x x f =34 ) (() = 4()()= 4+= (4) () = () untuk semua x.Maka, fungsi f adalah fungsi ganjil.(b) Kita mesti semak bahawa () = ().xxx f + =1) (() =()+()= = + () = () untuk semua x.Maka, fungsi f adalah fungsi ganjil.1.3.2. Fungsi Berkala (Periodic functions)Suatu fungsi yang grafnya berulang secara teratur disebut berkala. Sebagai contoh, graf di bawah ini adalah fungsi berkala.Perhatikan bahawa graf berulang setiap jarak a. Kita mengatakan bahawa tempoh fungsi iniadalah a.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri17Contoh:Fungsi f ditarifkansebagai () = 1 , untuk 0 x . Jadi domain bagi f adalah } 0 : { > x x . Oleh kerana semua nilai punca kuasa adalah tak negative maka julat bagi f adalah set semua nombor nyata tak negatif, ditulis sebagai} 0 ) ( : ) ( { > x f x f .Contoh:Cari julat bagi setiap fungsi yang berikut.(a) 1 2 ) ( = x x f , untuk 0 > x(b)4) (xx f = , untuk 1 < x(c)2) ( x x f = , untuk 3 1 < s xPenyelesaian:(a) Grafbagi1 2 ) ( = x x f ,untuk0 > x ditunjukkan di sebelah.Daripadagraf,apabila0 > x ,() 1.Maka,julatbagi fungsi ialah () 1.(b) Grafbagi() =,untukx 2.a)Nilaikan f(2).b)Cari nilai x jika f(x) = 4.Penyelesaian:(a) (2) = 2 +=(b) Jika () = 4, maka += 44 +3 = 0 (lakukan pemfaktoran untuk mencari nilai x)( 1)( 3) =0 1 = 0 3 = 0x = 1atau x = 3Memandangkan domain bagi f ialah {: 2}, hanya nilai x = 3 diperlukan.1.5 Konsep FungsiFungsi Gubahan (Composite Function) / Gabungan Fungsi Jika fungsi yang memetakan unsur-unsur dalam set A kepada unsur-unsur dalam set B ialah fdan fungsi yang memetakan unsur-unsur dalam set B kepada unsure-unsur dalam set C ialah g,makafungsiyangmemetakanunsur-unsurdalamsetA kepadaunsur-unsurdalamsetC ialah fungsi gubahan dan ditandakan dengan gf atauf g $ .Jika B A f :C B g :Maka C A gf :Katakana ialahsuatuunsurdalamsetA (domainbagif),makaimejbagia di bawah pemetaan f ialah f(a).Sekarang, f(a) menjadi unsur dalam set B (domain bagi g),maka imej bagif(a)dibawahpemetaang bolehditulissebagaig[f(a)] ataugf(a).Jadiimejbagia di bawah pemetaan gf ialah gf(a).Jika ) ( : a f a f )] ( [ ) ( : a f g a f g Maka ) ( : a gf a gf MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri24Dengan cara yang sama, jikaB A f :C B g :D C h :Maka fungsi gubahanhgf ialahD A hgf :Pertimbangkan dua fungsi f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x - 3, di mana domain bagi f adalah {1, 2, 3, 4} dan domain bagi g adalah julat bagi f.Fungsi yang ditunjukkan dalam rajah dengan domain {l, 2, 3, 4} dan julat {4, 6, 8, 10} adalah disebut fungsi gubahan (composite function) dan diwakili dengan gf atau f g $ .Fungsi gubahan adalah2 2x3 ) 5 2 () 5 2 ( ) (+ = + =+ =xx g x gfFungsigubahangfditakrifkansebagai gf(x)=2x+2dengandomain{l,2,3,4} dan julat{4, 6, 8, 10}.Fungsigmelaksanakanoperasipertamabagiset {1, 2, 3, 4}danf melaksanakanoperasi dalam julat g, rajah di bawah menunjukkan hubungannya. Domain bagi , fungsi gubahanJulat bagi Domain bagi , fungsi gubahanJulat bagi MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri25Fungsi gubahan dengan domain {1, 2, 3,4} dan julat {1, 3, 5, 7} ditulis sebagai fg atau g f $ .Fungsi gubahan fg(x) adalah1 - x 25 ) 3 ( 2) 3 ( ) (=+ = =xx f x fgFungsigubahan fg ditakrifkansebagai fg(x)=2x- 1 dengan domain{1,2,3,4} danjulat{1, 3, 5, 7}.Perhatian: Secara amnya, fungsi-fungsi gubahanfg gf = , Oleh yang sedemikian, imej-imej ) ( ) ( x fg x gf = kecuali untuk nilai-nilai x yang tertentu.Contoh:Fungsi f dan g ditakrifkan sebagai f(x) = 3x - 5, e x 0 dan g(x) = 3 - 2x,e x 0.a)Cari nilai i) f(2), ii) fg(3).b)Fungsi gubahan h ditakrfikan sebagai h = gf. Cari h(x).Penyelesaian:(a) (i) Memandangkan () = 3 5, maka(2) = 3(2) 5 (2) = 1(ii) Untuk mencari (3), kita perlu mencari nilai (3) terdahulu.Memandangkan () = 3 2, maka(3) = 3 2(3) (3) = 3Maka,(3) = (3)=3(3) 5 (3) = 14(b) Diberikan bahawa h = gf. Makah() = ()=(3 5)=3 2(3 5)=3 6 +10 () = 13 6MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri26Contoh:Fungsi-fungsi f dan g ditakrikan oleh2) ( x x f = 4 0 s s xdan () = +3, Cari fungsi gubahan gf(x) dan nyatakan julat bagi fungsi ini.Penyelesaian:Memandangkan f merupakan fungsi pertamadalam fungsi gubahan gf,kita memerlukan julat bagi f iaituakan menjadi domain bagi g.Lakaran graf f(x) = x2, untuk 0 _ x _ 4,adalah seperti yang ditunjukkan di rajah (i) sebelahDaripada graf f, jelas.dilihat bahawa julatbagi f ialah 0 _ f (x) _ 16. Oleh itu, domainbagi g ialah 0 _ x _ 16 dan graf g seperti yang ditunjukkan pada rajah (ii) di bawahDaripada.graf g ia boleh dilihat bahawajulat bagi g (apabila domainnya 0 _ x _ 16)ialah 3 _ g(x) _ 19.Oleh itu, fungsi gubahan gf mempunyai julat 3 _ gf(x) _ 19.Alternatif,Memandangkan kitatahubahawagf (x) =x2+3 danmempunyaidomain 0_x_ 4,kita boleh lakarkan graf gf (x) seperti yang ditunjukkan dalam rajah (iii) di bawah. Daripada graf,jelas dilihat bahawa julat adalah 3 _ gf(x) _ 19.(i)Julat bagi f ialah 0 () 16(ii) (iii)Julat bagi g ialah 3 _ g(x)_ 19Julat bagi f ialah0 _ x_ 16. Ini ialah domain bagi gJulat ialah 3_ gf(x)_ 19MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri27Contoh:Fungsi f dan fungsi g ditakrifkan seperti yang berikut:13:+xxx f dan1 2 : + x x g ; 1 = x(a) Ungkapkan dalam bentuk yang sama(i) fg,(ii) gf.(b) Carikan nilai bagi fg(2) dan gf(2).(c) Carikan nilai x supaya) ( ) ( x gf x fg = .Penyelesaian:Contoh:Suatu fungsi f ditakrifkan oleh3 : + x x f . Carikan fungsi g jika(i) fungsi gubahan gf ialah5 7 :2+ + x x x gf ,(ii) fungsi gubahan gf ialah2 ,2) 1 ( 3: = xxxx fg .Penyelesaian:MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri28Contoh:Suatu fungsi f ditakrifkan oleh0 ,2) ( = = xxx f . Ungkapkan dalam bentuk yang serupa(i) f2, (ii) f3, (iii) f4Seterusnya, carikan nilai bagi f.20dan f21.Penyelesaian:1.6 Fungsi Songsangan(a) (b)Jika fungsi f memetakan unsur-unsur dalam set A kepada unsur-unsur dalam set B (Rajah (a)),maka fungsi yang memetakan unsur-unsur dalarn set B kepada unsur-unsur dalam set A ia!ah fungsi songsang bagi f dan ia ditandakan dengan, f-1jika(Rajah (b)). IaituB A f :maka A B f :1Perhatian:1. Di bawah pemetaan1 f , domain bagi1 f ialah julat bagi f (iaitu set B) dan julat bagi 1 f ialah domain bagi f (iaitu set A).2. Bukansemuafungsimempunyaifungsisongsang.Fungsif mempunyai fungsi songsang 1 f jikadanhanyajikafungsif merupakansuatufungsi satudengansatu dansemuaimejdalamjulatbagif menjadidomainbagi1 f . Terdapatduakaedah untuk menentukan samaa ada sesuatu fungsi mempunyai fungsi songsang atau tidak.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri29A. Kaedah gambarajah anak panah:B.Kaedah graf :Jikasetiapgarislurusufukyangdilukismelaluidomainmenyilangigrafitu padasatutitik sahaja,grafitumerupakansuatufungsisatudengansatudan oleh yang demikian fungsi itu mempunyai fungsi songsang, Misalnya,MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri303. x ff x f f = = 1 1) (4. ) ( ) ( ) (1 1x ff x ff = tetapi) ( ) ( ) (1 1 1x f f x ff = .Perhatian: ) ( ) ( ) (1 1 1x f g x fg = dan) ( ) ( ) (1 1 1x g f x gf = .Contoh:Pertimbangkanfungsi f yangditakrifkanoleh 3 ) ( + = x x f dengan domain{1, 2, 3}.Julat bagi f ialah {4, 5, 6}. Fungsi songsangan 1 f , mempunyai domain {4, 5, 6} dan julat {1, 2, 3}iaitu1 ) 4 (1=f 2 ) 5 (1=f dan 3 ) 6 (1=fFungsi songsangan,1 f , diberikan sebagai 3 ) (1 =x x fJulat bagi , fungsi songsangDomain bagi MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri31Teknik mencari formula fungsi songsang,1 fKita memerlukan fungsi1 f supaya x y f =) (1.Mencari formula untuk fungsi songsang adalah dengan menyatakan y = f(x) dan susun semula untuk x.Contoh:Untuk kes 3 ) ( + = x x fKatakan y = x + 3x = y - 3Maka 3 ) (1 =x x fFungsisatudengansatu,fungsisongsanganjugafungsisatudengan satu. Catatan:Namun, jika kita berusahauntuk mencari fungsi sangsangbagifungsibanyak dengan satu,kita akan mempunyai pemetaan satu denganbanyaksebagaisongsangannya. Tapi pemetaan satu denganbanyakbukanmerupakan fungsi. Dengan alasan ini, hanya fungsi satu dengan satu boleh mempunyai fungsi songsangannya.Jikasuatufungsimempunyaisongsang1 f ,makafungsigubahan 1 ff diberikansebagaix x ff =) (1, dan begitu juga fungsi gubahan f f1 diberikan sebagai x x f f =) (1.Contoh:Carikan fungsi songsang bagi setiap fungsi yang berikut:(i) 2 ,23: =+ xxx f (ii) 0 ,2) ( = = xxx gMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri32Penyelesaian:Contoh:Funsi f ditakrifkan oleh f(x) = 5x+4, e x 0. Cari ) (1x fdan tentusahkan bahawa x x ff =) (1.Penyelesaian:Untuk mencari (),Katakan = 5 +4,5 = 4, (susun semula x dalam sebutan y) =Maka, fungsi songsang adalah () =.Fungsi gubahan() adalah() = = 5 +4= Maka, ditentusahkan bahawa. ) (1x x ff =MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri33Contoh:Diberi fungsi-fungsi1 7 ) ( + = x x f e x 0dan 13) ( = xx g e x 0Cari fungsi songsangan 1 f dan1 g . Tunjukkan bahawa1 1 1) ( = f g fg .Penyelesaian:Untukmencarifungsisongsangbagif,katakany =7x +1.Susunsemulamenghasilkan =.Maka, () =.Untukmencarifungsisongsangbagig,katakan =1.Susunsemulamenghasilkanx =3y + 3.Maka, () = 3 +3Untuk menunjukkan ()= , lihat sebelah kiri persamaan() = 1= 7 1 +1=7 +1 () =6Mencarisongsanganbagi() =6 ,katakany =6 .Susunsemulauntukx menghasilkan =Maka, ()() =Seterusnya, lihat sebelah kanan persamaan. Kita lihat fungsi gubahan (()),(()) = = 3 +3=+3=Maka,(()) == ()ditunjukkan.Catatan:Kamitelahmenyatakan bahawa hanya fungsisatu dengan satu mempunyai songsangan. Walau bagaimanapun, fungsi banyak dengan satu boleh mempunyai songsangan denganmengehadkan/membatasi domain fungsi supaya bahawaia adalahfungsisatudengansatu.Sebagaicontoh, fungsif(x) = x2ditakrifkan untuksemuaxnyataialahfungsi duadengansatudan mempunyai graf (i)sepertiyang ditunjukkandi bawah.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri34Jikakitamengehadkan domain x > 0,fungsigrafituakanmenjadi (ii)sepertiyang ditunjukkandibawah iaitumempunyai fungsisatu dengansatuyang akan mempunyaisongsang. Songsangnya adalah () = +.(i) (ii)Contoh:Fungsif ditakrifkanoleh x x x f 2 ) (2 = , untuk x > 1. Terangkanmengapa1 f wujuddan cari ) (1x f. Nyatakan julat bagi fungsi 1 f .Penyelesaian:Graf bagi () = 2 untuk x > 1 adalah seperti yang dilakarkan di sebelah.Daripada graf, ia boleh dilihat bahawa julat bagi fialah f(x) > -1. Ia juga boleh dilihat bahawa fadalah fungsi satu dengan satu, maka f-1wujud.Untuk mencari f-1(x), katakan y = x22 = 0 2x.Susunkan semula untuk x akan memberikan kuadratik dalam x iaituMenggunakan formula kuadratik, =()()()()()== = 1 1 + Kita mahukan punca kuasa dua yang positif. Maka() = 1 +1 +Julat bagi f-1ialah domain bagi f. Maka julat bagi f-1ialah set {: 1} atau () 1Fungsi dua dengan satuJulat f ialah () 1Alternatif, guna kaedah penyempurnaan kuasa dua: = 2 = ( 1)1 +1 = ( 1) 1 = +1 = 1 +1MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri351.7 Graf Bagi Fungsi SongsanganGraf bagi fungsi songsang1 f ialah satu pantulan graf fungsi f pada garis lurus x y = .Misalnya:Pertimbangkanfungsif(x)=x +3dengansongsangan 3 ) (1 =x x f . Rajahdibawah merupakan graf bagi kedua-dua fungsi pada paksi yang sama.Grafbagifungsisongsanganf -11 fadalahpantulangraffungsifpadagarislurusy =x. Ini kerana untuk setiap titik (x, y) pada graf fungsi f wujud titik (y, x) pada graf fungsi .Contoh:Fungsif ditakrifkanoleh f(x)= 3x- 6 untuksetiapnilainyatax. Carifungsisongsang1 f .Lakarkan graf bagi f dan1 f pada paksi yang sama dan seterusnya cari titik persilangan graf fungsi f dan fungsi 1 f .Penyelesaian:Untuk mencari , katakan y = 3x 6. Susunkan semula untuk x memberikan =.Maka, () = .Lakaran graf bagi f dan f-1pada paksi yang sama adalah seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri36Titik persilangan graf f dan f-1adalahjuga titik persilangan garis y = x dengansetiap graf f dan f-1. Maka,untuk mencari koordinat titikpersilangan, kita perlu menyelesaikan secara serentak bagi persamaany = x dan y = 3x -6Penghapusan y memberikanx = 3x 62x = 6 = 3Gantikan x = 3 ke dalam y = x memberikan y = 3.Koordinat titik persilangan bagi graf f dan f-1ialah (3, 3).Contoh:Diberikanfungsi21 2) (++=xxx f , untuk x > -2. Cari fungsi songsang1 f dan dapatkan titik persilangan graf fungsif dan1 f .Penyelesaian:Untuk mencari f-1( +2) = 2 +1, katakan =. Susun semula untuk x memberikan +2 = 2 +1 2 = 1 2 ( 2) = 1 2 =

Maka,() =Graf bagif danf-1bersilangpadatitikdimanagrafgarisy =x dany =f(x) bersilang.Untukmencarikoordinattitikpersilangan,kitaperlumenyelesaikansecaraserentak bagi persamaany = x dan =Penghapusan y memberikan =2 +1 +2( +2) = 2 +11 = 0( 1)( +1) = 0 = 1 atau x = -1.Apabila x = 1, y = 1 dan apabila x = -1, y = -1. Maka koordinat titik persilangan graf f dan f-1ialah (1, 1) dan (-1, -1).MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri37Latihan 1.2:1. Fungsi f dan g ditakrifkan sebagai: +3 : +5(a) Tulis dan ringkaskan ungkapan untuk (i) fg(x), (ii) gf(x).(b) Seterusnya selesaikan persamaan fg(x) = gf(x).2. Diberikan() = +1, dan () = , (a) cari ungkapan fg(x) dan nyatakan julatnya(b) cari ungkapan gf(x) dan nyatakan julatnya.3. Cari fungsi songsangan bagi setiap fungsi berikut.(a) : 3 +2 (b) : , 0(c) : , (d) : , 54. Diberikan : 3 4, ,(a) Cari ungkapan untuk fungsi songsang f-1(b) Lakarkan graf f(x) dan f(x).-1(c) Selesaikan persamaan f(x) = f(x) pada paksi yang sama.-1(x).5. Tentukan julat bagi setiap fungsi berikut.(a) : 2 3, , 2 < 6(b) : (+3), (c) : 6, , 0 6(d) : , , 1 96. Lakarkan graf bagi fungsi berikut dan nyatakan julatnya.(a) () = 3 +4 untuk 0 4 untuk4 6(b) () = 3( +2)untuk 3 24 + untuk 2 23( 2)untuk 2 3Jawapan Latihan 1.2:1. (a) (i) +10 +28 (ii) +8 (b) -22. (a) +1, () , () > 1(b) +1, () , () > 13. (a)(b), 0(c), 0 (d), 24. (a), (c) 25. (a) () , 1 < () 9 (b) () , () 9MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri38(c) () , 9 () 0 (d) () ,< () 6. (a) 4 () 36 (b) 0 () 4MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri381.8 Melakar Graf1.8.1 Empat cara Menjelaskan Suatu Fungsi (Four Ways to Represent a Function)Terdapat empat cara untuk perwakilan suatu fungsi- Secara lisan (denganpenjelasan dalam perkataan) /Suatufungsidijelaskansecaralisanjikafadalahdiwakilkan olehpenerangandalam perkataanVerbally(byadescriptionin words)Contoh:1. v(t) ialah pecutan serta merta pada masa t.2. h(t) ialah tinggi pada masa t bagi sebiji bola yang dilambungkan.3. A(r) ialah luas bagi bulatan dengan jejari r.4. T(t) ialah suhu pada masa t.Ianya menjadi tugas ahli sains dan/atau ahli matematik untuk menukarkan perwakilan fungsi di atas ke dalam salah satu daripada tiga cara perwakilan fungsi yang lain.- Berangka (dengan nilai dalam jadual) / Numerically (by a table of values)Perwakilan berangka bagi suatu fungsi f ialah nilai dalam jadual di mana pemasukan satu baris atau lajur adalah domain dan pemasukan satu lagi baris atau lajur ialahjulat.Contoh:x f(x) Yang berpadanan2351-211912-79f(2) = 11f(3) = 9f(5) = 12f(1) = -7f(-2) = 9- Visual (dengan graf) / Visually(by a graph)FungsifbolehdiwaklisecaragrafikjikaterdapatgrafGdalamsatahkoordinat sehingga titik (x, y) dalam G jika dan hanya jika y = f(x).- Beralgebra (dengan formula tak tersirat) /Algebraically (by an explicit formula)Fungsi f dikatakan perwakilan secara bersimbol atau beralgebra jika setiap x di dalam domain,f(x)adalahsamadenganbeberapaungkapanalgebrayangmelibatkanx. Memandangkanhampirsemuaoperasialgebramemberikankeputusanunik,dimana tiadamasalahdalammenentukanungkapanalgebramelibatkanxyangditakrifkan sebagai fungsi.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri39Contoh,memandangkankuasaduanombormemberikanjawapanunik,maka ungkapan f(x) = x2adalah fungsi.Ahlisainsmencubamemodelkansatufenomenayangdiberi,kitaakanmengidealkannya sepertibeberapaungkapanalgebradandalamurutanmendapatsuatuformulaalgebra, terdapat sejumlah langkah lain yang biasanya diambil yang menggunakan semua perwakilan berbeza ini:(i) Mengenal pasti dan mengatakan masalah (lisan)(ii) Menjalankan eksperimen dan mengutip dan menuliskan data (berangka)(iii)Guna data lakarkan satu graf (grafik)(iv)Gunakan graf untuk mendapatkan formula (algebra - ini dipanggil regresi)1.8.2 PolinomialSuatu fungsi P dikenali sebagai polinomial jika0 12211... ) ( a x a x a x a x a x Pnnnn+ + + + + =dimananadalahintegerbukannegatifdannombor na a a a ,..., , ,2 1 0adalahpemalaryang dikenali sebagai pekali bagi polinomial. Domain bagi sebarang polinomial ialah N = ) , ( .Jika pekali0 =na , maka darjah/peringkat polinomial ialah n. Sebagai contoh, fungsi2522 ) (3 4 6+ + = x x x x Pmerupakan polinomial berdarjah 6.Polinomial berdarjah satu adalah berbentuk P(x) = mx + b dan ianya dikenali sebagai fungsi linear.Contoh:(a) y = x + 1 (b) y = -x + 1Polinomial berdarjah dua adalah berbentuk P(x) = ax2+ bx + c dan ianya dikenali sebagai fungsi kuadrat . Parabola berbentuk jika a > 0 dan berbentuk jika a < 0.xyxyMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri40Contoh:(a) 12+ + = x x y (b) 1 3 22+ + = x x yPolinomialberdarjah3adalahberbentuk0 , ) (2 3= + + + = a d cx bx ax x p dandikenali sebagai fungsi kubik.Contoh:1.8.3 Fungsi KuasaFungsi berebntukf(x) = xa, di mana a adalah pemalar, dikenali sebagai fungsi kuasa.(i) a = n, di mana n adalah integer positifGraf bagi f(x) = xnuntuk n = 1, 2, 3, 4, dan 5 ditunjukkan dalam rajah di bawah (Polinomial dengansatusebutansahaja). Bentukgrafbagi y =x (garislurusmelaluiasalandengan kecerunan 1) dan y = x2[parabola].MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri41Graf bagi f(x) = xnuntuk n = 1, 2, 3, 4, 5Bentuk umum graf bagi f(x) = xnbergantung kepada n genap atau ganjil. Jika n genap, makaf(x) = xnadalah fungsi genap dan grafnya hampir serupa dengan parabola y = x2. Jika n ganjil,maka f(x) = xn adalah fungsi ganjil dan grafnya merupai graf y = x3.Contoh:Darirajah,didapatin bertambah, grafbagi y = xnmenjadimengangkat(flatter)dekat0 dancuram(steeper) apabila |x|> 1.(Jika x kecil, maka x2makinkecil, x3semakinkecil, x4lagi kecil, dan seterusnya)MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri42(ii) na1= , di mana n adalah integer positifFungsin nx x x f = =1) ( adalahfungsipunca (rootfunction). Untukn =2,iamerupakan fungsi punca kuasa dua x x f = ) ( , domain [0, ) dan graf adalah separuh atas parabola x =y2nx y = . Untuknilaigenapn yanglain, graf adalahmerupai x y = . Untukn =3,ia merupakan fungsi punca kuasa tiga3) ( x x f = , domain ialah N (ingat kembali bahawa setiap nombornyatamempunyaisatupuncakuasatiga) Grafbaginx y = untuk n ganjil (n >3) adalah merupai3x y = .Contoh:(a) x x f = ) ( (b)3) ( x x f =(iii) a = -1Grafbagifungsisalingan(reciprocalfunction)xx x f1) (1= =ditunjukkandalamrajahdi bawah. Grafnyamempunyaipersamaan xy1= atauxy=1,danmerupakansatuhiperbola dengan paksi koordinat sebagai asimptotnya (asymptotes).MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri431.8.4 Fungsi Nisbah (Rational Functions)Fungsi nisbah f adalah nisbah bagi dua polinomial:) () () (x Qx Px f =di mana P dan Q adalah polinomial. Domain mengandungi semua nilai x supaya Q(x) = 0.Contoh fungsi nisbah yang ringkas ialah fungsixx f1) ( = , domain { } 0 | = x x .Fungsi41 2) (22 4+ =xx xx f ialah fungsi nisbah dengan domain{ } 2 | = x x .Rajah: (a)xx f1) ( = (b)41 2) (22 4+ =xx xx f1.8.5 Fungsi Algebra (Algebraic Functions)Fungsi f dikenalisebagaifiungsialgebrajikaianbolehdibentukmelaluioperasialgebra (seperti penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian, dan mengenakan punca) bermua dengan polynomial. Sebarang fungsi nisbah adalah fungsi algebra. Contoh:1 ) (2+ = x x f32 41 ) 2 (16) ( + ++= x xx xx xx gBila kita lakaran graf bagi fungsi algebra (guna terbitan), kita When we sketch algebraic functions, pelbagai bentuk diperolehiMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri441.8.6 Fungsi TrigonometriSebagaicontoh,fungsif(x)=sinx, difahamisinussudutyangukuranradianialahx.Graf-graf sinus dan kosinus ditunjukkan di bawah:Kedua-duafungsisinusdankosinusmempunyaidomain(-, )danjulatadalahdalam selang tertutup [-1, 1].Maka, untuk semua nilai x, 1 sin 1 s s x dan 1 1 s s kosxFungsi tangen berkait dengan sinus dan kosinus dengan persamaanxxxcossintan =Dan grafnya ditunjukkan dalam rajah di bawah. Ianya tidak tertakrif bagi cos x = 0, iaitu bila,...23,2t t = x Julatnyaialah (-, ).Perhatikanbahawafungsitangentmempunyai tempoh tx x tan ) tan( = +t , untuk semua xMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri45y = tan xTigafungsitrigonometri(cosekan,sekan,dankotangen)merupakansalinganbagifungsi sinus, kosinus dan tangen.(a) y = kot x(b) y = kosek x (c) y = sek xMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri461.8.7 Fungsi EksponenFungsi eksponen berbentuk xa x f = ) ( di mana asas a adalah pemalar positif. Graf bagiy =2xdan y = (0.5)xditunjukkan dalam rajah.Kedua-dua kes mempunyai domain (-, ) dan julat (0, ).1.8.8 Fungsi LogaritmaFungsilogaritma x x falog ) ( = dimanaasas a adalahpemalarpositif.Iamerupakanfungsi songsanganbagifungsieksponen.Rajahdibawahmenunjukkangrafbagiempatfungsi logaritma dengan asas yang berbeza.Untuksetiapkes,domainnyaialah (0,), julatialah (-, ), danfungsibertambahsecara perlahan apabila x > 1.Contoh:Kalsifikasikanfungsi-fungsiberikutsebagaisatudaripadajenis-jenisfungsi-fungsitelah dibincangkan.(a)xx f 5 ) ( = (b)5) ( x x g =(c)xxx h+=11) ( (d)45 1 ) ( t t t u + =MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri47Penyelesaian:(a) () = 5ialah fungsi eksponen (x adalah eksponen).(b) () = ialahfungsikuasa(x adalahasas).Kitajugabolehpertimbangkannya sebafai polinomial berdarjah 5.(c) () =ialah fungsi algebra(d) () = 1 +5ialah polinomial berdarjah 4.1.9 Melakar graf dengan menggunakan Geometers Sketchpad (GSP) Untuk melakar graf dengan GSP, ikut langkah-langkah berikut:1. Buka GSP, paparan berikut akan ditayangkan. Kedudukan menu bar di atas dan tool bar di tepi kiri.2. Klik pada fungsi Graph di menu bar. Menu di bawah berikut akan dipaparkan. 3. Klik pada Define Coordinate System. Satah Cartes berikut akan ditayangkan.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri484. Klik Graph semula. Pada menu tarik bawah, klik pada Plot New Function. Arahan ini akan memaparkan Calculator.Masukkan fungsi baru seperti dengan kalkulator biasa. Contoh, masukkan (x-3)^2, kalkulator akan menunjukkan persamaan f(x) = (x-3)2.Klik pada OK. Graf untuk fungsi baru akan dipaparkan pada satah Cartes.5. Klik pada mana-mana untuk deselect graf dan fungsi. Jika anda tidak mahu grid ditunjukkan, klik Graph diikuti oleh Hide Grid.f x)f x)MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri496. Andabolehmemplotkanlebihdaripadasatufungsipadasatahitu.Jikaandaingin mengeditkanfungsianda,kllikpadafungsiituuntukselect fungsiitu.Kemudian pergikemenubardanklikpadaEdit.Menusepertibawahakandipaparkan.Klik pada Edit FunctionKalkulator akan dipaparkan. Buat pengeditan dan kemudian klik OK.7. Untuk membuat lakaran baru, klik File pada menu bar diikuti oleh New Sketch pada menu.8. Untuk mengakhiri sesi anda, klik File pada menu bar diikuti oleh Save As pada menu yang dipaparkan untuk simpan file anda.1.20 Melakar graf dengan menggunakan GraphmaticaUntuk melakar graf dengan GSP, ikut langkah-langkah berikut:1. Buka Graphmatica, paparan berikut akan ditayangkan. Kedudukan menu bar di atas.2. KlikpadaOptions dibar menu. Paparansepertidibawahditunjukkan.Klikmenu Colors dantandakan padaWhite untukmendapatkanlatarbelakangpaparangraf adalah bewarna putih.Bar MenuBar FungsiMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri50.3. Klik pada bar fungsi, Contoh, masukkan y=(x+3)^2 untuk melukis lengkungan f(x) = (x-3)2dan tekan Enter pada papan kekunci komputer. Paparan graf bagi lengkungan adalah seperti yang ditunjukkan di bawah.4. Klik di bar fungsi semula. Masukkan fungsi yang lain untuk melukis graf fungsi yang lain.Contohnya,masukkan = dantekanenter.Paparangrafadalah seperti yang ditunjukkan di bawah.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri515. Klik pada graf, pilih Edit di bar menu, pilih Delete Graph jika anda mahu buangkan graffungsiberkenaan.PilihDeleteAllGraph jikaandainginbuangkansemuagraf fungsi.6. Untuk mengakhiri sesi anda, klik File pada bar menu diikuti oleh Save As pada menu yang dipaparkan untuk simpan file anda.Latihan 1.31. Tanpa menggunakan komputer atau kalkulator grafik, padankan persamaan dengan grafnya. Terangkan pilihan anda.(a) y = 3x (b) y = 3x(c) y = x3(d) = 2. (a) Caripersamaanuntukjenis fungsi linear dengankecerunan2 dan lakarkan beberapa jenis bagi fungsi ini(b).Cari persamaan bagi jenis fungsi linear supaya f (2) = l dan lakaran beberapa jenis bagi fungsi ini(c) Fungsi manakah tergolong dalam kedua-dua jenis fungsi (a) dan (b) di atas..MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri52Jawapan Latihan 1.3:2. (a) y = 2x + b, di mana b ialah pintasan y.(b) y = mx + 1 2m, di mana m ialah kecerunan.(c) y = 2x - 3MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri53Topik 2Had Dan Keselanjaran2.1 Idea HadApakah kecerunan suatu lengkung? Ianya merupakan had kecerunan garis-garis sekan. Apakah panjang suatu lengkung? Ianya merupakan had panjang laluan polygon.Apakah luas rantau yang dirangkumi oleh suatu lengkung? Ianya merupakan had jumlah luaspenghampiran segiempat.Andaikan f suatu fungsi nyata. Kita akan perhatikan kelakuan fungsi f pada fD x e di sekitar suatu titik a. Jika nilai fungsi pada x, f(x) menuju ke suatu nombor L, apabila x menunju ke adengan sifat bahawa nilai mutlak beza f(x) dengan L boleh dibuat sekecil yang mungkin iaitu Rantau R 1 anggaran segiempat3 anggaran segiempat14 anggaran segiempat 8 anggaran segiempatMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri54dengan mengambil x yang sangat dekat dengan a, tetapi tak sama dengan a. Maka nombor L ini dikatakan had fungsi f, apabila x menuju a dan ditulis sebagaiL x f hada x=) (Di dalam rajah di atas, x1,x2x3,x4, x5semakin dekat dengan a dan f(x1), f(x2), f(x3), f(x4), f(x5) juga semakin dekat dengan L. Jadi, f(x) menuju ke L apabila x menuju ke a.Contoh:Jika f(x) = 4x + 5. Cari) ( had x fc xbila(a) c = 2(b) c = -3Penyelesaian:(a) Jikaf(x)=4x+5 danc=2.Apabilaxmenghampiri2,4xmenuju/ mendekati/ menghampiri 8 dan 4x + 5 menghampiri 8 + 5 = 13. Maka) ( had2x fx= 13(b) Jika c = -3. Jika x menghampiri -3 tetapi x = -3, maka 4x menghampiri -12 dan 4x + 5 menghampiri -12 + 5 = -7. Maka) ( had3x fx = -7Contoh:Cari ( ) 5 3 2 had21+ x xx.Penyelesaian:( ) 10 5 3 2 had21= + x xxJikaxmenghampiri-1,2x2menghampiri2,3xmenghampiri-3dan2x2 3x+5 menghampiri 2 (-3) + 5 = 100 x3x5a x4x2x1f(x1)f(x2)f(x4)Lf(x5)f(x3)f(x) Lx aMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri55Contoh:Cari14 2had233++ xx xx.Penyelesaian:2514 2had ) (233=++ =xx xx FxDalam bahagian pengangka, apabila x menghampiri 3, x3menghampiri 27, -2x menghampiri -6danx3 2x+4menghampiri27 6+4=25.Dalambahagianpenyebut,apabilax menghampiri3,x2+1menghampiri10.Maka,apabilaxmenghampiri3,F(x)akan menghampiri =.Grafsangatmembantudalammenggambarkan konsep had. Nomborc adalah pada paksi x dan had L adalah pada paksi-y. Apabila x menuju cdi sepanjang paksi x ) (x f , menuju L di sepanjang paksi-y.Dalammendapatkanhad suatu fungsi f apabila x menuju c, iatidakmengambilkira adakah f ditakrifkan pada c dan, jika demikian, bagaimana ia ditakrifkan. Satu-satunya perkara yang penting ialah nilai-nilai yang f mengambil apabila x menghampiri c.Sebagai contoh:Dalam Rajah (a), ) (c f L = . Dalam Rajah (b), ) (c f tidak tertakrif; dan dalam Rajah (c), ) (c ftertakrif tetapi L c f = ) ( .MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri56Contoh:Pertimbangkan fungsi39) (2=xxx f dan katakan c = 3. Cari ) ( had x fc x.Penyelesaian:Perhatikan bahawa f tidak tertakrif pada 3. Pengangka dan penyebut adalah 0. Tapi tiada masalah, untuk semua x = 3, dan maka untuk semua x mendekati 3,=()()= +3Maka, jika x mendekati 3, maka= +3 akan mendekati 3 + 3 = 6. Jadi,6 ) 3 ( had39had323= + = xxxx xContoh:Katakan28) (3=xxx f dan c = 2. Cari ) ( had x fc x.Penyelesaian:Fungsi () =tidak tertakrif pada x = 2. Tetapi, untuk semua x = 2,=()= +2 +4Maka,12 ) 4 2 ( had28had2232= + + = x xxxx xContoh:Jika == +=, 3 33 , 2) (xx xx f , cari) ( had3x fxPenyelesaian:Perhatikan di dalam rajah sebelah,Bahawa5 ) ( had3=x fxkerana nilai f(x)menuju ke 5 apabila x menuju ke 3.Tetapi f(3) = 3 = 5 ) ( had3=x fx-20 3532MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri57Contoh:Jika== =, 0 100 4 3) (xx xx f cari) ( had0x fx.Penyelesaian:Untuk 0 dan semua x mendekati 0,() = 3 4Maka,4 ) 4 3 ( had ) ( had0 0 = = x x fx x2.2 Definisi HadAndaikanfsuatufungsiyangditakrifkanpadasetiapnombordidalamselangterbukayang mengandungi a, kecuali mungkin pada titik a itu sendiri, Maka,Takrif:L x fa x=) ( had ,jikadanhanyajika,untuksebarangnombor(epsilon)0 > c ,walaubagaimanakecilpun, akanwujudsuatunombor(delta)0 > o yangbersandarpadac sedemikianhingga c < | ) ( | L x f , apabilao < < | | 0 a xThe statementL x fa x=) ( lim has the following precise definition. Given any real number 0 > c , there exists another real number0 > o so that ifo < < | | 0 a x , thenc < | ) ( | L x f .MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri58Contoh:Tunjukkan4 ) 2 3 ( had2 x= x .Penyelesaian:Andaikan0 > c .Kitaharusmencari > 0,sedemikianhinggajika 0 < | 2| < ,maka |(3 2) 4| < .Olehitu,kitaperlumencarisuatuhubungandiantara | 2| dengan |(3 2) 4| supaya dapat dinyatakan dalam sebutan . Perhatikan|(3 2) 4| = |3 6| = 3| 2|.Jadiuntukmemperolehi |(3 2) 4| < ,kitahanyaperlumenjadikan tigakalilebih kecil daripada , iaitu =. Jika 0 < | 2| < =, maka |(3 2) 4| = 3| 2| < 3.= .Jadi|(3 2) 4| < bilamana0 < | 2| < . Makadengantakrifanhad, . 4 ) 2 3 ( had2 x= xContoh:Buktikan 1191 21 2had5 x=|.|

\|+xxPenyelesaian:MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri59Contoh:Buktikan bahawa422=x hadxPenyelesaian:MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri60Contoh:Buktikan238had7=ttPenyelesaian:MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri61Contoh:Buktikan4 had16=xxPenyelesaian:2.3 Teorem Had Dan Sifat-sifat HadTeorem1:Andaikan f and g ialah fungsi-fungsi sedemikian sehingga dua had) ( had x fa xdan) ( had x ga xwujud, andaikan k suatu pemalar dan n integer positif. Maka1. k ka x=had2. a xa x=had3. ) ( had ) ( . had x f k x f ka x a x =4. ( ) ) ( had ) ( had ) ( ) ( had x g x f x g x fa x a x a x + = +5. ( ) ) ( had ) ( had ) ( ) ( had x g x f x g x fa x a x a x = 6. ( ) ) ( had ). ( had ) ( ). ( had x g x f x g x fa x a x a x =7.) ( had) ( had) () (hadx gx fx gx fa xa xa x= dengan 0 ) ( had =x ga x8.n na xa x =had9. | | | |na xna xx f x f ) ( had ) ( had =MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri6210.n na xa x =had dengan a > 011. na xna xx f x f ) ( had ) ( had = dengan 0 ) ( had >x fa xbila n genap.12. Jika ) ( ) ( x g x f s untuk semua a x = maka ) ( had ) ( had x g x fa x a x s .13. Jikannx k x k x k k x f + + + + = ... ) (22 1 0suatu polynomial maka ) ( ) ( had a f x fa x=.14. Jika f adalah fungsi nisbah maka, untuk semua a dalam domainf, ) ( ) ( had a f x fa x=.Teorem2:Had M x fa x=) ( hadjika dan hanya jika had sebelab kanan dan had sebelah kiri wujud dan sama dengan M:M x f x fa x a x= = + ) ( had ) ( hadTeorem 3: (Teorem Keunikan Had)Jika L x fa x=) ( had dan M x ga x=) ( had , maka M L = .Teorem 4:JikaL x fa x=) ( had , M x ga x=) ( had dan k suatu pemalar, maka(i) | | M L x g x fa x+ = +) ( ) ( had(ii) | | kL x kfa x=) ( had(iii) | | M L x g x fa x. ) ( ). ( had =Teorem5:Jika L x fa x=) ( had 0 = makaL x fa x1) (1had =((

Teorem 6:Jika L x fa x=) ( had dan M x ga x=) ( had 0 = , makaMLx gx fa x=) () (hadTeorem 7:Jika0 ) ( had = =L x fa xdan 0 ) ( had =x ga x, maka ((

) () (hadx gx fa xtak wujud.Teorem 8:Jika m dan b sebarang pemalar, makab ma b mxa x+ = +) ( had .MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri63Contoh:Cari had jika wujud :(a)36had23 xx xx(b)( )44 3had224 xx xx(c)( )22 15 7 21had+ ++ x xxxPenyelesaian:Dalam setiap kes, kedua-dua pengangka dan penyebutcenderung kepada0, dan kita hendak berhati-hati.(a) Faktorkan pengangka=()()= +2Maka,) 2 ( had36had323+ = xxx xx x= 5(b) Perhatikan bahawa()=[()()] =()()= ( +1)( 4)Maka,( )0 ) 4 ( ) 1 ( had44 3had24224= + = x xxx xx x(c) Memandangkan()=[()()]=()() =()()Maka,( )jud.tidak wu) 1 ( ) 5 2 (1had5 7 21had2122 1+ ++=+ ++ x xxx xxx xMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri64Contoh:Cari had berikut:(a)221 1had2xxx(b)39had9xxxPenyelesaian:(a) Untuk 2,xx xxxxxxx21) 2 ( 2) 2 (222221 1= ==Maka,4121had221 1had2 2 =((

= x xxx x(b) Mula-mula, kita menisbahkan penyebut:3 x9 ,9) 3 )( 9 (333939+ ==+ =++-=xxx xxxxxxxMaka,( )63 had39had9 9=+ = xxxx xAlternatif,== +3MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri65Latihan 2.1:1. Tunjukkan7 ) 5 4 ( had3= xx.2. Carikan had berikut jika wujud.(a) ) 1 2 ( had0xx(b)) 4 2 ( had22+ x xx(c)13had1+xx(d) 9 63had23+ x xxx(e) 2 32had23+ x xxx(f)11had21xxx(g)202) 1 (hadxx xx+(h)|.|

\|+++ 4842had4x xxx3.Jika ===, 3 03 ,) (2xx xx f , cari) ( had3x fx.Jawapan Latihan 2.1:2 (a) -1 (b) 12 (c)(d) tidak wujud (e) 1 (f) 2(g) tidak wujud (h) 23. 9MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri662.4 Had Satu Hujung Dan Dua HujungHad fungsi-fungsi sering kali dipanggil had dua hujung. Terdapat juga had satu hujung yang dikenali sebagai had dari sebelah kanan dan had dari sebelah kiri.Nombor x menghampiri a terbahagi kepada dua bahagian:(i) mendekati a dari sebelah kiri ditulis sebagaiL x fa x=) ( had [had dari sebelah kiri bagi f(x) bila x menghampiri a ialah L]bermaksudx menuju a dari sebelah kiri, f(x) menuju L.(ii) mendekati a dari sebelah kanan ditulis sebagaiL x fa x=+) ( had [had dari sebelah kanan bagi f(x) bila x menghampiri a ialah L]bermaksudx menuju a dari sebelah kanan, f(x) menuju L.Contoh:Apabila x menuju 5 dari sebelah kiri, f(x) menuju 2, Jadi, 2 ) ( had5=x fxApabila x menuju 5 dari sebelah kanan, f(x) menuju 4, Jadi, 4 ) ( had5=+x fxPerhatikanbahawa ) ( had5x fxtakwujud, memandangkanianyatidaktepatbahawaterdapat suatu nombor tunggal L dengan sifat bahawa f(x) menghampir L bilamana x menghampiri 5. [f(x) menghampiri 2 bila x menghampir 5 dan kurang daripada 5; f(x) menghampiri 4 bila x menghampiri 5 dan lebih besar daripada 5] Hadsebelahkiridankananadalahdikenalisebagaihadsatuhujung. Hubungandiantara hadf menghampiria danduahadsatuhujungf apabilax menghampiria adalahseperti berikut:L x fa x=) ( had jika dan hanya jika kedua-dua L x fa x=) ( had danL x fa x=+) ( hadMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri67Contoh:Graffungsig ditunjukkandalamrajahdiatas.Berdasarkangraf,dapatkannilaihad(jika wujud) berikut: (a) ) ( had2x gx(b) ) ( had2x gx+(c) ) ( had2x gx(d) ) ( had5x gx(e) ) ( had5x gx+(f) ) ( had5x gxPenyelesaian:Daripadagraf,kitadapatperhatikannilaibagig(x)mendekati3apabilax mendekati2dari sebelah kiri, tetapi g(x) mendekati 1 apabila x mendekati 2 dari sebelah kanan. Maka(a) 3 ) ( had2=x gxdan(b) 1 ) ( had2=+x gx(c) Memandangkan had sebelah kiri dan kanan adalah berbeza ((

=+ ) ( had ) ( had2 2x g x gx x, kita membuat kesimpulan bahawa) ( had2x gxtidak wujud.Daripada graf juga menunjukkan bahawa(d) 2 ) ( had5=x gxdan (e) 2 ) ( had5=+x gx(f) Memandangkanhadsebelahkiridankananadalahsama ((

= =+ 2 ) ( had ) ( had5 5x g x gx x,maka, kita memperolehi2 ) ( had5=x gxWalaupun fakta ini, perhatikan bahawa g(5) = 1 iaitu g(5) = 2.-MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri68Contoh:Graffungsif ditunjukkandalamrajahdiatas.Berdasarkangraf,dapatkannilaihad(jika wujud) berikut: (a) ) ( had) 2 (x fx (b) ) ( had) 2 (x fx+ (c) ) ( had2x fx (d) ) ( had4x fx(e) ) ( had4x fx+(f) ) ( had4x fxPenyelesaian:Berdasarkan graf fungsi f yang diberikan(a) 5 ) ( had) 2 (= x fx(b) 5 ) ( had) 2 (=+ x fx(c) 5 ) ( had2= x fx(d) 7 ) ( had4=x fx(e) 2 ) ( had4=+x fx(f) ) ( had4x fxtidak wujudContoh:Jika fungsi f ditakrifkan olehxxx f = ) ( for x = 0. Cari nilai (jika wujud) berikut:(a) ) ( had0x fx(b) ) ( had0x fx+(c) ) ( had0x fx(d) ) ( had1x fc x, c1(e)adalah sebarang nombor positif) ( had2x fc x, c2adalah sebarang nombor negatifPenyelesaian:Fungsi ini boleh ditulis sebagai() = 1, jika > 01,jika < 0(a) 1 ) 1 ( had ) ( had0 0 = = x xx f(b) 1 ) 1 ( had ) ( had0 0= =+ + x xx f(c) ) ( had0x fxtidak wujud(d) Jika c11| |had ) ( had1 1= = xxx fc x c xadalah sebarang nombor positif,(e) Jika c21| |had ) ( had2 2 = = xxx fc x c xadalah sebarang nombor negatif,MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri692.5 Had Tak TertinggaDefinisi 1:Andaikanf fungsi tertakrif pada kedua-dua belah a, kecuali pada a sendiri, maka =) ( had x fa xbererti bahawa nilai f(x)boleh sangatbesar positif dengan mengambil x menghampir a, tetapi tidak sama dengan a.Perwakilan lain bagi =) ( had x fa xadalah ) (x f sedemikian a x Simbol bukan suatu nombor, tetapi ungkapan =) ( had x fa xdibaca sebagai"had bagi f(x), bila x menuju a, adalah infiniti"atau "f(x) infiniti bilax menuju a"atau "f(x) bertambah tanpa batas bila x menuju a"Definisi 2:Andaikanf fungsi tertakrif pada kedua-dua belah a, kecuali pada a sendiri, maka =) ( had x fa xbererti bahawa nilai f(x)boleh sangatbesar negatif dengan mengambil x menghampiri a, tetapi tidak sama dengan a.Ungkapan =) ( had x fa xdibaca sebagai"had bagif f(x), bila x menuju a, adalah negatif infiniti "atau "f(x) menyusut tanpa batas bila x menuju a"Garis lurus x = a dipanggil asimptot mencancang (vertical asymptote) bagi lengkung y = f(x).MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri70Contoh:(a) =) ( had x fa x(b) =+) ( had x fa x(c) =) ( had x fa x(d) =+) ( had x fa xContoh:Cari201hadxxjika wujud.Penyelesaian:Apabilax mendekati 0, x2jugamendekati 0,dan menjadinilaiyangsangatbesarseperti yang ditunjukkan dalam jadual berikut.Denganmengambilx sangatmendekati0.Maka,nilaif(x)tidakmendekatisuatunombor. Jadi 201hadxxtidak wujud. =201hadxxx110.50.20.10.050.010.0011425100400100001000000MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri71Contoh:Pertimbangkan graf fungsif di atas. Nyatakan nila (jika wujud) bagi setiap yang berikut:(a) ) ( had7x fx(b) ) ( had7x fx(c) ) ( had7x fx+(d) ) ( had3x fxPenyelesaian:(a) =) ( had7x fxatau tidak wujud(b) ) ( had7x fxtidak wujud(c) ) ( had7x fx+= 2(d) =) ( had3x fxatau tidak wujudContoh:Cari32had3+xxdan32had3xx.Penyelesaian:Jikax mendekati3tetapilebihbesardari3,maka penyebutx 3akanmenghasilkansuatunomborpositif yangkecildan menghasilkannomborpositifyang besar. Jadi =+ 32had3 x xSebaliknyajikax mendekati3tetapilebihkecildari3, maka x 3 akan menghasilkan suatu nombor negatif yang kecildan menghasilkannombornegatifyangbesar. Jadi = 32had3 x xGraf bagi lengkungan =adalah seperti yang ditunjukkan di sebelah. Garis x = 3 adalah asimptot menegak.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri72Contoh:Cari 3 25had223 + +x xx xx.Penyelesaian:Olehkerana,5 had23+ +x xx=17>0dan0 ) 1 )( 3 ( had 3 2 had323= + = x x x xx xmelaluinilai negatif, maka = + +3 25had223x xx xx.Contoh:Cari 9had223+xxx.Penyelesaian:Olehkerana 0 9 had23> =+xxdan0 ) 3 )( 3 ( had 9 had323= + = + + x x xx xmelaluinilaipositif,maka+ =+9had223xxxContoh:Cari ((

+ +) 2 (1had20xxx.Penyelesaian: =201hadxxdan0 2 ) 2 ( had0> = +xxmaka =((

+ +) 2 (1had20xxxAtau, ((

+ +=((

+ + 22 30202 1had ) 2 (1hadxx xxxx xOlehkerana,1 ) 2 1 ( had2 30= + +x xxdan0 ) ( had20=xxmelaluinilaipositifsedemikian hingga+ =((

+ +22 302 1hadxx xx, maka+ =((

+ +) 2 (1had20xxxMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri73Contoh:Cari 9) 2 (had223++xx xx.Penyelesaian:Daricontohsebelumini,0 9 had23> =+xxdan0 ) 3 )( 3 ( had 9 had323= + = + + x x xx xmelaluinilai positif,Maka+ =+9had223xxx.Dan 0 5 ) 2 ( had3> = ++xx, maka+ =++9) 2 (had223xx xx.Alternatif:92had9) 2 (had22 33223+=++ + xx xxx xx xOleh kerana0 45 ) 2 ( had2 33> = ++x xxdan0 ) 9 ( had23= +xxmelalui nilai positif, maka + =++9) 2 (had223xx xxCatatan:Diberikan fungsi f(x) jika,L x f x fa x a x= = + ) ( had ) ( hadMaka had normal akan wujud danL x fa x=) ( hadSebaliknya, jikaL x fa x=) ( hadMaka,L x f x fa x a x= = + ) ( had ) ( hadMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri74Contoh:Penyelesaian:(a) ) 4 ( f tidakwujud.Tidakterdapatbintik/dottertutupuntuknilaixini,jadifungsi tidak wujud pada titik ini.(b) ) ( had4x fx = 2. Fungsi mendekati nilai 2 apabila x bergerak ke -4 dari sebelah kiri.(c) ) ( had4x fx+ = 2. Fungsi mendekati nilai 2 apabila x bergerak ke -4 dari sebelah kanan.(d) ) ( had4x fx = 2. Disebabkan) ( had4x fx = ) ( had4x fx+ = 2, maka) ( had4x fx =2 walaupun f(-4) tidak wujud.(e) ) 1 ( f = 4. Fungsi mengambil nilai y di mana bintik/dot tertutup berada.(f) ) ( had1x fx= 4. Fungsi mendekati nilai 4 apabila x bergerak ke 1 dari sebelah kiri.(g) ) ( had1x fx+= -2. Fungsi mendekati nilai -2 apabila x bergerak ke 1 dari sebelah kanan.(h) ) ( had1x fxtidak wujud. Walaupun kedua-dua had satu hujung wujud tetapi tidak sama [ ) ( had1x fx+= ) ( had1x fx], maka had normal [ ) ( had1x fx] tidak wujud. (i) ) 6 ( f = 2. Fungsi mengambil nilai y di mana bintik/dot tertutup berada.(j) ) ( had6x fx= 5. Fungsi mendekati nilai 5 apabila x bergerak ke 6 dari sebelah kiri.(k) ) ( had6x fx+= 5. Fungsi mendekati nilai 5 apabila x bergerak ke 6 dari sebelah kanan.(l) ) ( had6x fx= 5. Disebabkan) ( had6x fx= ) ( had6x fx+= 5, maka) ( had6x fx= 5.Kirakan setiap yang berikut:(a) ) 4 ( f (b) ) ( had4x fx (c) ) ( had4x fx+ (d) ) ( had4x fx (e) ) 1 ( f (f) ) ( had1x fx(g) ) ( had1x fx+(h) ) ( had1x fx(i) ) 6 ( f (j) ) ( had6x fx(k) ) ( had6x fx+(l) ) ( had6x fxHad satu hujung memberikan cara mudah untuk menentukan sama ada had wujud (dua hujung) atau tidak.L x fa x=) ( had jika dan hanya jika L x fa x=) ( had danL x fa x=+) ( hadMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri75Contoh:Andaikan fungsif ditakrifkan oleh> s +=, 0 ,0 , 1 2) (2x x xx xx fTunjukkan bahawa ) ( had0x fxtidak wujud.Penyelesaian:Tunjukkan had sebelah kiri dan kanan pada 0:1 ) 1 2 ( had ) ( had0 0= + = x x fx xdan 0 ) ( had ) ( had20 0= =+ + x x x fx x.Disebabkan had sebelah kiri dan kanan tidak sama iaitu) ( had ) ( had0 0x f x fx x+ = , maka) ( had0x fxtidak wujud. Dan graf bagi f(x) adalah seperti yang ditunjukkan di bawah.Contoh:Jika fungsi g ditakrfikan oleh> =< +=, 1 , 2 41 , 31 , 1) (3x xxx xx gTunjukkan bahawa 2 ) ( had1=x gx.Penyelesaian:Tunjukkan had sebelah kiri dan kanan pada 1:2 ) 1 ( had ) ( had31 1= + = x x gx xdan 2 ) 2 4 ( had ) ( had1 1= =+ + x x gx x.Disebabkan2 ) ( had ) ( had1 1= =+ x g x gx x, maka 2 ) ( had1=x gx.Catatan: Ia tidak kaitan bahawa g(1) = 2 dan grafg(x) adalah seperti yang ditunjukkan di sebelah.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri76Latihan 2.2:1. Daripada graf fungsi f yang diberikan di sebelah,nyatakannilaibagi kuantitiberikut(jikawujud). Terangkan sebab jika tidak wujud.(a) ) ( had0x fx(b) ) ( had3x fx(c) ) ( had3x fx+(d) ) ( had3x fx(e) f(3)2. Daripadagraffungsifyangdiberikandibawah,nyatakannilaibagikuantitiberikut (jika wujud). Terangkan sebab jika tidak wujud.(a) ) ( had1x fx(b) ) ( had3x fx(c) ) ( had3x fx+(d) ) ( had3x fx(e) f(3)(f) ) ( had2x fx (g) ) ( had2x fx+ (h) ) ( had2x fx (i) f(-2)3. Untuk fungsi g yang ditunjukkan dalam graf di bawah, nyatakan nilai berikut.(a) ) ( had5x gx (b) ) ( had0x gx(c) ) ( had0x gx+(d) ) ( had4x gx4. Tentukan ( )8331hadxx.---MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri775. Nilaikan 381had29xxx.6. Nilaikan 221 1had2xxx.Jawapan Latihan 2.2:1. (a) 3 (b) 4 (c) 2(d) tidak wujud kerana) ( had ) ( had3 3x f x fx x+ = (e) 32. (a) 3 (b) 2 (c) -2(d) tidak wujud (e) 1 (f) -1(g) -1 (h) -1 (i) -33. (a) (b) (c) -(d) -4. 5. 1086. MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri782.6 Konsep Keselanjaran2.6.1 Keselanjaran Suatu Titik1. Selanjar pada suatu titik (Continuous at a point)- Diberikan fungsi f dan nombor a.- Kira (jika ada) nilai) ( had x fa xdan f(a) dan bandingkan keputusan.- Fungsi f selanjar pada titika jika kedua-dua nilai sama.Definisi: Fungsi f selanjar pada nombor a jika ) ( ) ( had a f x fa x=- Dalam definisi had f pada a, kita tidak memerlukanf tertakrif pada a.- Dalam definisi selanjar pada a memerlukanf tertakrif pada a.- Fungsi f selanjar pada titik a jika(a) f tertakrif pada a.(b) ) ( had x fa xwujud.(c) ) ( ) ( had a f x fa x=2. Tak Selanjar pada suatu titik (Discontinuous at a point)- Fungsi f dikatakan takselanjarpadaa atau f ketakselajaranpada a- Jika domain f mengandungi selang (a - p, a + p), p > 0 (supaya f tertakrif padaa), maka f gagal selanjar pada a atas dua sebab; sama adajika ftidak selanjar pada a.(i)f(x) tidak mempunyai had bila x menuju a, atau(ii) f(x) mempunyai had bila x menuju a, tetapi ) ( ) ( had a f x fa x=.3. Ketakselanjaran boleh dibuang pada suatu titik (Removable discontinuity at a point)- mempunyai had pada c.- Ia tak selanjar pada c kerana had pada c bukan nilainya pada c.- Keselanjaran telah dibuang.- Ia boleh diubah dengan menurunkan bintik (dot) kepada tempat (dengan fditakrfikan semula pada c menjadi L).MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri794. Ketakselanjaran Melompat (Jump discontinuity)- Fungsi f tidak selanjar pada c kerana ia tidak mempunyai had pada c.- ) ( had x fc xdan ) ( had x fc x+wujud, tetapi tidak sama.- Ketakselanjaran jenis ini dikenali sebagai ketakselanjaran melompat.- ketakselanjaran melompat tidak boleh dibuang.5. Ketakselanjaran infiniti (Infinite discontinuity)- sekurang-kurang had satu hujung) ( had x fc xatau ) ( had x fc x+tidak wujud.- ) (x f atau ) (x f bila x menuju c samaada dari sebelahkiri atau sebelah kanan x.- ketakselanjaran jenis ini dikenali sebagai ketakselanjaran infiniti.- ketakselanjaran infiniti tidak dapat dibuang.6. Ketakselanjaran di mana-mana (Everywhere discontinuity)- Fungsi Dirichlet (Dirichlet function)=nisbah bukan, 0nisbah , 1) (xxx f- Had f tiada pada mana-mana titik c.- Jadi ianya tak keselanjaran di mana-mana.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri80Kebanyakanfungsiadalahselanjarpadasetiaptitik dalamdomainnya. Dalamhalini,ia adalah benar untuk:(a) Polinomial P) ( ) ( had a P x Pa x=(b) Fungsi nisbah) () () () () (had ) ( had a Ra Qa Px Qx Px Ra x a x= = = dengan 0 ) ( = a Q .(c) Fungsi nilai mutlak (Absolute value function)| | | | had a xa x=dengan f dan g selanjar pada a, maka) ( ) ( had a f x fa x=, ) ( ) ( had a g x ga x=dan, dengan teorem-teorem had,1. ) ( ) ( . had a f x fa xo o =untuk setiap nombor o2. ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( had a g a f x g x fa x+ = +3. ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( had a g a f x g x fa x = 4. ( ) ) ( ). ( ) ( ). ( had a g a f x g x fa x=5. jika 0 ) ( = a g ,) () () () (hada ga fx gx fa x=.Contoh:Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi f. Pada nombor apakah f tak selanjar? Mengapa?Penyelesaian:- Pada a = 1 kerana graf terputus. f (1) tidak ditakrifkan. Jadi f adalah tidak selanjar pada 1- Pada .a = 3 ) 3 ( f , tertakrif ) ( had3x fx, tetapitidak wujud (kerana had kiri dan kanan adalah berbeza). Jadi f adalah tidak selanjar pada 3- Pada .a = 5 ) 5 ( f , tertakrif dan) ( had5x fxwujud (keranahad kiridankanan adalah sama). Tetapi ) 5 ( ) ( had5f x fx=. Jadi f adalah tidak selanjar pada 5.y--0 123 45 xMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri81Contoh:Mana yang berikut merupakan fungsi tak selanjar?(a)22) (2 =xx xx f (b)===0 jika 10 jika1) (2xxxx f(c)== =2 jika 12 jika22) (2xxxx xx fPenyelesaian:(a) Perhatikan bahawa f(2) tidak tertakrif, jadi f tidak selanjar pada 2.(b) f(0) = 1 adalah tertakrif tetapi20 01had ) ( hadxx fx x =tidak wujud. Jadi f tidak selanjar pada 0.(b) f(2) = 1 adalah tertakrif dan3) 1 ( had2) 1 )( 2 (had22had ) ( had2222 2=+ =+ = = xxx xxx xx fxxx xwujud. Tetapi) 2 ( ) ( had2f x fx=Jadi f tidak selanjar pada 2.--MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri82Contoh:Tentukan sama ada fungsi berikut adalah selanjar pada x = 3.(a)39) (2=xxx f (b)===3 , 43 ,39) (2xxxxx g(c)===3 , 63 ,39) (2xxxxx hPenyelesaian:(a) Pada x = 3:6) 3 ( had3) 3 )( 3 (had39had ) ( had3323 3=+ =+ == xxx xxxx fxxx xdan f(3) tidak wujud. Disebabkan, ) 3 ( ) ( had3f x fx=. Maka, f tidak selanjar pada x = 3.(b) Nilai g pada x = 3 ialah 4 iaitu g(3) = 4, tetapi6) 3 ( had3) 3 )( 3 (had39had ) ( had3323 3=+ =+ == xxx xxxx gxxx xDisebabkan,) 3 ( ) ( had3g x gx=. Maka, g tidak selanjar pada x = 3.(c) Nilai h pada x = 3 ialah 6 iaitu h(3) = 6, dan639had ) ( had23 3== xxx hx xDisebabkan,6 ) 3 ( ) ( had3= =h x hx. Maka, h selanjar pada x = 3.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri83Teorem:Fungsi f dikatakan selanjar pada a jika dan hanya jika semua) (a f , ) ( had x fa xdan ) ( had x fa x+wujud dan sama.Jika salah satu tidak sama, maka kita katakan fungsi f tak selanjar pada a.Contoh:Tentukan ketakselanjaran (jika ada) untuk fungsi berikut:> +s +< =< +=2 ,2 5,2 , 4) (32x xxx xx f+7 4 0+7 4+7 16 9 3MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri90(b)>< s< s +=3 jika , 1 - c3 jika , 1) (2x xx cxx fJawapan Latihan 2.3:1 (a) ketakselanjaran boleh buang pada x = 2.(b) ketakselanjaran melompat pada x = 0 dan x = 2.2. (a) x = -3, x = 0, x = 2, x = 6(b) pada x = 3, bukan kedua-duanyaPada x = 0, selanjar dari sebelah kananPada x = 2, bukan kedua-duanyaPada x = 6, bukan kedua-duanya(c) ketakselanjaran boleh buang pada x = 2Ketakselajaran melompat pada x = 04.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri912.7 Teorem Penyepit; Had Trigonometri (The Pinching Theorem; Trigonometric Limits)Juga dikenali sebagai Teorem Sandwich.Pinching Theorem / Teorem Penyepit menyatakan bahawa jika) ( ) ( ) ( x g x f x h s sbila x menghampiri a dan hadf dan g wujud bila x menunju a,danL x g x ha x a x= = ) ( had ) ( had ,makaL x fa x=) ( had .atauTeorem Penyepit: Keselanjaran bagi Sinus dan Kosinus0 sin had0=xx1 kos had0=xxa xa xsin sin had =a xa xkos kos had =Teorem Penyepit: Had Trigonometri1sinhad0=xxx0kos - 1had0=xxxuntuk sebarang nombor0 = a ,1sinhad0=axaxxdan 0kos - 1had0=axaxxMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri92Contoh:Tunjukkan bahawa 0sinhad = xxx.Penyelesaian:Pertimbangkan berikut:-1 _ sin x _ 1 _ _ 01had = |.|

\| xx01had = |.|

\| xxMaka,dengan Teorem Penyebit, 0sinhad = xxx.Contoh:Cari (a) xxx34 sinhad0 dan (b) xxx52 kos 1had0.Penyelesaian:(a) Kita perlu pasangkan sin 4x dengan 4x untuk menggunakan Teorem Penyebit.==Maka, 34) 1 (3444 sinhad3444 sin34had34 sinhad00 0==((

=((

= xxxxxxxx x(b)0) 0 (5222 kos 1had5222 kos 152had52 kos 122had52 kos 1had000 0==((

=((

=((

= xxxxxxxxxxx xMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri93Contoh:Cari x xx3 kothad0 .Penyelesaian:Kita tuliskan) 3 (kos3 sin3313 sin3 kos333 sin3 kos3 kotxxxxxxxxx x x|.|

\|===Memandangkan 133 sinhad0=xxx, akan memberikan13 sin3had0=xxx.Maka31) 1 )( 1 (31) 3 (kos had3 sin3had313 kot had0 0 0==|.|

\|= xxxx xx x xContoh:Cari244141sinhad|.|

\||.|

\|tttxxx.Penyelesaian:|.|

\|

|.|

\||.|

\|=|.|

\||.|

\|t tttt4114141sin4141sin2x xxxxKita tahu bahawa14141sinhad4=|.|

\||.|

\|tttxxx.Memandangkan041had4= |.|

\|ttxx,Maka|.|

\|

|.|

\||.|

\|=|.|

\||.|

\| t tttttt t41had14141sinhad4141sinhad4424 x xxxxxx xtidak wujud.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri94Contoh:Cari1 sekhad20xxx.Penyelesaian:Untuk:( )( )( )( )( ) 1 sekkossinsin1 sekkostan1 sek 1 sek1 sek 1 sek 1 sek 1 sek1 sek 2222 222222 2+ |.|

\|=+=+=+=++

=x xxxxx x xxx xxx xxxxxxxMaka,( ) ( )2(1)(1)(2)1 sekhad kos hadsinhad1 sek had0202020==+ |.|

\|= x xxxxxx x x x2.8 Dua Sifat Asas Fungsi Keselanjaran (Two Basic Properties of Continuous Functions)2.8.1 Teorem Nilai Perantaraan (Intermediate-Value Theorem)Satufungsiyangselanjar padaselang tidak "melompat/melangkau" mana-mana nilai, dan grafnya adalah "lengkungtidak terputus". Tiada "lubang" didalamnyadan tidak"melompat." Idea ini dinyatakan dalam Teorem Nilai Perantaraan(A function that is continuous on an interval does not "skip" any values, and thus its graph is an "unbroken curve". There are no "holes" in it and no "jumps." This idea is expressed in the intermediate-value theorem.).Teorem inibolehdigambarkan dalam Rajah (a). Apa yang berlaku dalamkes tak selanjaryang digambarkan dalam Rajah (b). Terdapat nombor K yang telah "dilangkau/melompat."Teorem Nilai Perantaraan. Pertimbangkan f adalah selanjar padaselang tertutup [a,b]dankatakanK sebarangnomborantara ) (a f dan) (b f .Wujud nomborc dalam (a,b)supayaK c f = ) ((TheIntermediateValueTheorem.Supposethatfiscontinuousontheclosedinterval[a, b] and let K be any number between) (a f and ) (b f . Then there exists a number c in (a, b) such thatK c f = ) ( )tan = sin Rumus Identiti Trigonometri:tan2x = sek2x 1,MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri95(a) (b)Ia adalah satu langkah kecil dari Teorem Nilai Perantaraan kepada pemerhatian berikutfungsi selanjar memetakan:selang ke dalam selang.Permulaan, kitamengaplikasikan teorem dalammasalahpentingmencari sifarsuatu fungsi. Khususnya, andaikan bahawa fungsi f selanjar pada [a, b], dan (Firstweapplythetheoremtotheimportantproblemoflocating thezerosofafunction.In particular, suppose that the function f is continuous on [a, b], and that either)sama ada) ( 0 ) ( b f a f < < dan ) ( 0 ) ( a f b f < < (Rajah c)Rajah cContoh:Katakan22kos ) ( x x x f |.|

\|=tdalam [0,1].Tunjukkanbahawa 0 ) ( = x f mempunyaisatu punca dalam selang (0, 1).Penyelesaian: Salas et al (Ninth Ed, 2003), One and Several Variables, Calculus. Page 110.Memandangkan f adalah perbezaan dua fungsi selanjar, ia adalah selanjar.Seterusnya, kita menilai f pada dua titik hujung (endpoint) untuk mengesan sama ada wujud pertukaran tanda:(0) = kos (0) 0= 1 > 0 dan (1) = kos 1= 1 < 0.Maka,denganteoremnilaiperantaraan,terdapatsekurang-kurangsatunomborc e (0,1) supaya f(c) = 0.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri96Kitabolehcuba untukmencari punca lebihtepat denganmengulangi proses, kali ini menilai f pada titik tengah = kos = 0.7071 0.25 > 0selang:Sekarangkitabolehsimpulkanbahawac e (,1).Jelas,kitabolehmeneruskanprosesini, akan memperoleh selang pada setiap langkah untuk mendapatkan puncayang semakin baik. Prosesinidipanggilkaedahbisektor (bisectionmethod).Kitamengunakanutilitigrafik mencari f(x) = 0 akan mempunyai satu punca c e (0, 1) dan 0.6870.Contoh:Denganmenggunakanteoremnilaiperantaraan,tunjukkanbahawaterdapatsatupuncabagi persamaan 2 sin x + 2x = 3 dalam selang [0, 1].Penyelesaian:f(x) = 2 sin x + 2x 3 adalah selanjar pada [0. 1]f(0) = 2 sin 0 + 2(0) 3 = -3 < 0f(1) = 2 sin (1) + 2(1) 3 = 0.68 > 0Oleh itu, menurut teorem nilai perantaraan, wujud datu nombor c dalam selang (0, 1) supaya f(c) = 0. Iaitu, persamaan 2 sin x + 2x = 3 mempunyai satu punca dalam selang (0, 1).2.8.2 Kebatasan; Nilai Ekstrim (Boundedness; Extreme Values)Kitamulakandengansuatufungsi yang ditakrifkan dalam selangI. Kami katakanbahawa f dibatasi pada I jika ia memetakan I ke dalam satu set terbatas: iaitu, jika terdapat nombor kdan K supayaK x f k s s ) ( untuk semua I x e .Suatu fungsi We start with a function! defined on some interval I. We say that f is bounded on 1 if it maps I onto a bounded set: namely, if there are numbers k and K such thatK x f k s s ) ( for allI x e .Satu fungsi yang tidak disempadani dikatakan tak terbatas.Fungsi sinus dan kosinus adalah terbatas dalam (-, ):1 sin 1 s s x dan 1 kos 1 s s x untuk semua) , ( e x .Kedua-dua fungsi memetakan (-, ) ke dalam [-1, 1].Fungsitangenadalahtakterbatasdalam |.|

\|2,2t ttetapiterbatasdalam|.|

\|4,4t t(lihat Rajah d). Fungsi tangen memetakan |.|

\|2,2t tke dalam (-, ); ia memetakan |.|

\|4,4t tke dalam (-1, l ).MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri97Rajah dContoh:Katakan=>=. 0 , 00 ,1) (2xxxx g (Rajah e)Iaadalahjelasbahawag adalahtakterbatasdalam[0,). Sebaliknya,g adalahterbatas dalam [1, ). Fungsi memetakan [0, ) ke dalam [0, ), dan ia memetakan [1, ) ke dalam(0, 1].Rajah eMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri98Latihan 2.4:Nilaikan had berikut.1.x3 sinhad0xx2.xxx2 sin4 sinhad0 3.22 205 sin 3 tan hadxx xx+4.xxx3 tan 2had0 5.5x 2x3 tan had20+xx6.mmmsin 3 mhad207.1) (kossin 2had20+t ttt8.2x kos - 1had20xx9. Diberikan 1 () 1 +4 untuk 0 2. Dengan menggunakan Teorem Penyebit, menilaikang(x) had0 x.Jawapan Latihan 2.4:1. 3 2. 2 3. 28 4.56. -3 7. 0 8.9. 1MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri99Topik 3 Terbitan3.1 TerbitanTakrif TerbitanDalamrajahdiatas,andaikantitikPmempunyaikoordinat (x,f(x)).AndaikanQberadah unitdariPsepertidalamrajahditas.OlehitukoordinatQadalah(x+h,f(x+h)).Kecerunan garis sekan yang melalui titik P dan Q diberi oleh:kecerunan garis sekan = hx f h x fx h xx f h x f ) ( ) () ( ) () ( ) ( += + +Apabila Q bergerak menghampiri P, ini bermakna h akan menjadi semakin kecil; iaitu h akan menujusifar.Apabilainiberlakukecerunangarissekanakanmenghampirikecerunangaris tangen. Oleh kerana kecerunan garis tangen telah ditakrifkan sebagai kecerunan lengkung di P, maka,kecerunan lengkung = hx f h x fx fh) ( ) (had ) ( '0 +=, apabila h menghampiri sifar.) ( ' x f dikenali sebagai terbitan bagi f(x) dan proses untuk mendapatkan terbitan ini dikenali sebagai pembezaan.Definisi:Terbitan fungsi f pada nombor a, ditulis sebagai ) ( ' a f , adalahha f h a fa fh) ( ) (had ) ( '0 +=jika had ini wujud.Terdapatbeberapatatatandalainyangselaludigunakanbagiterbitaniaituf Dx, f Dy,dxx df ) (,dxx dy ) (,dxdydengan) (x f y = .MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri100Contoh:Cari terbitan bagi fungsi9 8 ) (2+ = x x x f pada a.Penyelesaian:| | | |8 2) 8 2 ( had8 2had9 8 9 8 8 2had9 8 9 ) ( 8 ) (had) ( ) (had ) ( '0202 2 202 200 = + = += + + + +=+ + + += +=ah ahh h ahha a h a h ah aha a h a h aha f h a fa fhhhhhContoh:Cari ) 2 ( ' g diberi bahawa 1 3 2 ) (2+ + = x x x g .Penyelesaian:| | | || |hhh hhh h hhh hhg h g2 52 5] 3 [ 1 3 6 4 4 21 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 1 ] 2 [ 3 2 2 ) 2 ( ) 2 (222 2+ =+= + + + =+ + + + + + = + Sekarang,5 ) 2 5 ( had) 2 ( ) 2 (had0 0 = + = + hhg h gh hMaka,(2) = 53.2. Kebolehbezaan Dan Selanjar (Differentiability and continuity)Konsep suatu titik:Fungsi f boleh beza pada titikc jikahc f h c fh) ( ) (had0 +wujud.Fungsif dikatakanbolehbezapadac,jika) ( ' c f wujud.Sebaliknyaf dikatakantakboleh beza pada c, jika) ( ' c f tak wujud. Suatu fungsi dikatakan boleh beza, jika ia boleh beza pada setiap nombor di dalam domainnya.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri101Contoh:2) ( x x f = dan b mx x f + = ) ( boleh beza pada (-, ).Fungsixx f1) ( = boleh beza pada (-, 0) dan (0, ).Atau:Dalammengujikebolehbezaansuatufungsipadasuatutitik,terbitansebelahkanandan terbitan sebelah kiri diperkenalkan sebagai berikut: Terbitan sebelah kanan (RHD):hx f h x fx f x Rfh) ( ) (had ) ( ' ) ( '0 += =++Terbitan sebelah kiri (LHD):hx f h x fx f x Lfh) ( ) (had ) ( ' ) ( '0 += =Kebolehbezaan pada suatu titik:Kebolehbezaan pada titik a untuk suatu fingsi f(x) jika (i)Kedua-dua Rf '(a) dan Lf '(a) wujud dan terhingga.(ii)Rf '(a) = Lf '(a)Contoh:Di manakah fungsi | | ) ( x x f = boleh beza?Penyelesaian:Pertimbangkan fungsi| | ) ( x x f = . Fungsi ini boleh beza dalam (-, 0) dan (0. ) tetapi tidak boleh beza pada x = 0.y = x jika x > 0= -x jika x < 0Jika x > 0, maka |x| = xdan kita boleh pilih h yang cukup kecil bahawa x + h > 0 dan maka |x + h| = x + h. Maka Untuk x > 0 kita ada1) 1 ( hadhadhad) ( ) (had ) ( '0000=== += +=hhhhhhhx h xhx f h x fx fMemandangkan had wujud, f(x) boleh beza pada x > 0. Dengan cara yang sama, kita boleh tunjukkan bahawa f(x) boleh beza pada x < 0 iaituUntuk x < 0, kita ada |x| = -x dan h adalah cukup kecil bahawa x + h < 0 dan maka |x + h| = -(x + h). maka untuk x < 0,MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri1021) 1 ( hadhad) ( ) (had| | | |had) ( ) (had ) ( '00000 = == + = += A +=hhhhhhhhx h xhx h xhx f x x fx fMemandangkan had wujud, maka f(x) boleh beza pada x < 0. Kita perlu mencari RHD dan LHD bagi f(x) pada x = 0.1) 1 ( hadhad| 0 | 0had) 0 ( ) 0 (had ) 0 ( '0000=== += +=++++hhhhhhhhhf h fRf1) 1 ( hadhad| |had| 0 | 0had) 0 ( ) 0 (had ) 0 ( '00000 = === += +=hhhhhhhhhhhhf h fLfMemandangkan (0) (0) (0) tidak wujud.Maka y = |x| tidak boleh beza pada x = 0.3.3 Prinsip PertamaUntuk membezakan suatu fungsi f pada x bermakna mencari terbitannya pada titik (x, f(x)).Terbitan f pada x diberikan sebagaihx f h x fx fh) ( ) (had ) ( '0 +=dengan had wujud.Proses ini dikenali sebagai terbitan melalui prinsip pertama.MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri103Contoh:Cari terbitan bagi setiap fungsi berikut dengan menggunakan terbitan prinsip pertama. (a)y = x2xy1= + 2x (b) (c) x y = (d)y = 2x3Penyelesaian:(a) Katakan = () = +2( +) = ( +)+2( +)| | | |2 2) 2 2 ( had) 2 2 (had2 2had2 2 2 2had2 ) ( 2 ) (had) ( ) (had ) ( '00202 2 202 200+ =+ + =+ +=+ += + + + +=+ + + += +=xh xhh x hhh h xhhx x h x h xh xhx x h x h xhx f h x fx fhhhhhh(b) Katakan = () =( +) =20000001) (1had) (had) () (had) () (had1 1had) ( ) (had ) ( 'xh x xh x hxhh x hxh x xhh x xh x xhx h xhx f h x fx fhhhhhh =+=+=++ =++ =+= +=MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri104(c) Katakan = () = ( +) = +( )( )2111hadhadhadhadhad) ( ) (had ) ( '000000xx xx h xx h x hhx h x hx h xx h xx h xhx h xhx h xhx f h x fx fhhhhhh=+=+ +=+ +=+ + +=+ ++ +

+= += +=(d) Katakan = () = 2( +) = 2( +)| |( )22 202 203 2 203 3 2 2 303 3 2 2 303 30062 6 6 had) 2 6 6 (had2 6 6had2 2 6 6 2had2 3 3 2had2 ) ( 2had) ( ) (had ) ( 'xh xh xhh xh x hhh xh h xhx h xh h x xhx h xh h x xhx h xhx f h x fx fhhhhhhh=+ + =+ +=+ += + + += + + += += +=MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri105Latihan 3.1Cari terbitan fungsi berikut dengan penggunakan terbitan prinsip pertama.1. 5 2 + = x y 2.221x y = 3. x x y + =224.21xy = 5. x y 2 = 6. 1 3 + = x y7. Cari () dengan membentuk beza hasil bahagihc f h c f ) ( ) ( +dan mengambil had sebagai 0 .(a) () =, = 2(b) () = 2+1, =18. Cari pembezaan fungsi dengan membentuk beza hasil bahagihx f h x f ) ( ) ( +dan mengambil had sebagai mendekati 0.(a) () = 5 (b) () = 1Jawapan Latihan 3.1:1. 2 2. x 3. 4x + 14. -2x-37. (a) -2 (b) 65.6.8. (a) 5 2x (b)MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri1063.4. Beberapa Formula Terbitan1. Rumus PemalarTerbitan bagi fungsi pemalar adalah sifar (0); jika c sebarang nombor,0 ) ( = cdxd2. Rumus KuasaJika nx x f = ) ( , n sebarang nombor, terbitan bagi) (x f adalah1) (=n nnx xdxd3. Rumus kuasa am) ( ' )] ( [1x g x g ndxdyn=4. Rumus pekali pemalarJika f boleh beza pada x dan c sebarang pemalar, maka terbitan cf(x) adalah)] ( [ )] ( [ x fdxdn x cfdxd= atau) ( ' x cf5. Rumus Hasil Tambah atau Hasil TolakJika f dan g boleh beza pada x, maka bergitu jugag f + dang f , iaitu)] ( [ )] ( [ )] ( ) ( [ x gdxdx fdxdx g x fdxd+ = +)] ( [ )] ( [ )] ( ) ( [ x gdxdx fdxdx g x fdxd = 6. Petua Hasil DarabJika fungsi f dan g boleh beza pada semua x, maka terbitang fadalah) ( ' ) ( ) ( ' ) ( )] ( ) ( [ x f x g x g x f x g x fdxd+ = AtauJikauv y = , di mana u dan v adalah fungsi x, makadxduvdxdvudxdy+ =MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri107Contoh:Caridxdyuntuk setiap fungsi berikut.a) y = (x + 2)3(1 x2)4b) y = 7x21 x2Penyelesaian:(a)= ( +2)[(1 )]+(1 )[( +2)]= ( +2)[4(1 )(2)] +(1 )[3( +2)(1)]= 8( +2)(1 )+3( +2)(1 )= ( +2)(1 )[8( +2) +3(1 )] (faktorkan)= ( +2)(1 )[816 +3 3]= ( +2)(1 )[3 16 11](b) = 71 = 7(1)= 7(1)+(1)[7]= 7(1)(2) +(1)(14)= 7(1) +14(1)(faktorkan) = 7(1)[+2(1)]= 7(1)(32)=()7. Petua Hasil BahagiJika fungsi f dan g boleh beza pada x dan0 ) ( = x g , maka gfjuga boleh beza pada x. Terbitan gfadalah2)] ( [) ( ' ) ( ) ( ' ) (]) () ([x gx g x f x f x gx gx fdxd =AtauJika vuy = , di mana u dan v adalah fungsi x, maka2vdxdvudxduvdxdy=MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri108Contoh:Caridxdyuntuk setiap fungsi berikut:(a)xy1= (b)36xy =Penyelesaian:(a) Jika xy1= , maka 22 11) (xx xdxddxdy = = = (b)36xy =44 3318) 3 ( 6 ) ( 66xx xdxdx dxddxdy = = = |.|

\|= Contoh:Cari ) 5 6 10 4 12 (3 4 5 8+ + + x x x x xdxd.Penyelesaian:6 30 16 60 80 ) 1 ( 6 ) 3 ( 10 ) 4 ( 4 ) 5 ( 12 8) 5 6 10 4 12 (2 3 4 72 3 4 73 4 5 8 + + =+ + + =+ + +x x x xx x x xx x x x xdxdContoh:Cari ) ( ' x F if) 7 )( 6 ( ) (4 3x x x F = .Penyelesaian:66 62 4 3 33 4 4 3294126 168) 18 )( 7 ( ) 28 )( 6 () 6 ( ) 7 ( ) 7 ( ) 6 ( ) ( 'xx xx x x xxdxdx xdxdx x F=+ =+ =+ =MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri109Contoh:Jika7) 1 3 ( = x y , caridxdy.Penyelesaian:66) 1 3 ( 21) 3 ( ) 1 3 ( 7 = =xxdxdyContoh:Jika ) ( ) ( x xg x h = dan ianya diketahui bahawa g(3) = 5 dan 2 ) 3 ( ' = g , cari ) 3 ( ' h .Penyelesaian:| |) ( ) ( ') 1 )( ( ) ( '] [ ) ( ) ( ) ( 'x g x xgx g x xgxdxdx g x gdxdx x h+ =+ =+ =Maka 11 5 ) 2 ( 3 ) 3 ( ) 3 ( ' 3 ) 3 ( ' = + = + = g g hContoh:Andaikang bolehbezapadasetiap x dan ) ( ) 5 ( ) (3x g x x x F = . Cari ) 2 ( ' F jikadiketahui bahawa 3 ) 2 ( = g dan 1 ) 2 ( ' = g .Penyelesaian:| |) 5 3 )( ( ) ( ' ) 5 (' ) ( ) 5 ( ) ( '2 33 + = =x x g x g x xx g x x x FMaka| | | |23) 3 )( 7 ( ) 1 ( -2) () 2 ( ) 7 ( ) 2 ( ' -2) (5 ) 2 ( 3 ) 2 ( ) 2 ( ' ) 2 ( 5 ) 2 ( ) 2 ( '2 3=+ =+ = + =g gg g FMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri110Contoh:Jika6232+ +=xx xy , caridxdy.Penyelesaian:( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )232 3 4232 3 4 3 4232 2 3233 2 2 366 12 6 266 3 3 6 12 263 2 1 2 666 2 2 6++ + + =+ + + + +=+ + + +=++ + + +=xx x x xxx x x x x xxx x x x xxxdxdx x x xdxdxdxdyContoh:Bezakan ) 1 4 )( 3 2 ( ) (2 3+ + = x x x x F dan cari ) 1 ( ' F .Penyelesaian:2 24 21 202 5 12 24 16 8) 2 3 )( 1 4 ( ) 8 )( 3 2 ( ) ( '2 42 4 2 42 2 3 + = + + = + + + =x x xx x x x xx x x x x x FMaka,272 24 21 202 ) 1 ( 24 ) 1 ( 21 ) 1 ( 20 ) 1 ( '2 4 = = + = FContoh:Bezakanx xx f6 5) (2 = dan dapatkan|.|

\|21' f .Penyelesaian:1 226 56 5) ( = =x xx xx f2 32 36x10) 1 ( 6 ) 2 ( 5 ) ( 'xx x x f+ = = 56 24 802162110)21( '2 3 = + =|.|

\|+|.|

\| = fMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri111Contoh:Bezakan1 51 6) (42+ +=x xxx F .Penyelesaian:( )( )( )242 3 5243 2 41 55 12 30 4 121 5) 5 4 )( 1 6 ( ) 12 ( 1 5) ( '+ ++ + + + =+ ++ + +=x xx x x xx xx x x x xx F3.5 Petua Rantai (The chain rule)Jika g boleh beza pada x dan f boleh beza pada g(x), makag f y $ = boleh beza pada x.Katakan) (x g u = , ) ( ' x gdxdu=) (u f y = , ) ( ' u fdudy=Maka) ( ' ) ( ' x g u fdxdududydudy= =AtauJika y suatu fungsi bagi u, dan u suatu fungsi bagi x, makadxdududydxdy=Contoh:Diberi 11+=uuy dan 2x u = . Caridxdydengan menggunakan petua rantai.Penyelesaian:( ) ( )( ) ( )2 2121) 1 ( 1 ) 1 ( 1+=+ +=u uu ududydan xdxdu2 =Maka,( )( )( )22214212+=

(((

+==xxxudxdududydxdyMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri112Contoh:Cari ) ( ' x F jika 1 ) (2+ = x x F .Penyelesaian:Jika kita katakan12+ = x u danu y = , makaxdxdux u212=+ =uududyu u y21212121= |.|

\|== =12) 2 (1 21) 2 (21) ( '22+=+===xxxxudxdududyx FContoh:Cari(a) dxdy, diberiu u y 42+ = dan 321x u = .(b)dtdw, diberiu u w 32+ = dan8 43 = t u .Penyelesaian:(a) Diberiu u y 42+ = dan 321x u =4 2 + = ududy223xdxdu=2 52 32 3262323) 4 (23421223) 4 2 (x xx xx xx udxdududydxdy+ =|.|

\|+ =|.|

\|((

+ |.|

\|=|.|

\|+ = =MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri113(b) Diberiu u w 32+ = dan8 43 = t u .3 2 + = ududw212tdxdu=( )| |( )( )2 52 32 32156 9612 ) 13 8 (12 3 ) 8 4 ( 212 ) 3 2 (t xt tt tt udtdududwdtdw = =+ =+ = =Rumusdxdududydxdy=Boleh diperkembangkan kepada lebih banyak pembolehubah.Sebagai contoh, jika x sendiri bergantung pada s, makadsdxdxdududydsdy=Jika, dalam tambahan, s bergantung pada t, makadtdsdsdxdxdududydtdy=dan seterusnya.Contoh:Caridsdydiberi bahawa 1 3 + = u y ,2 = x u , s x =1 .Penyelesaian:31 3=+ =dudyu y,322 ==xdxdux u,11 = =dsdxs xMaka,( )333166) 1 )(2)( 3 (sxxdsdxdxdududydsdy== ==MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri114Contoh:Caridtdypada 9 = t , diberi bahawa12+=uuy , ( )27 3 = s u , t s = .Penyelesaian:= ()= 6(3 7)=Pada t = 9, kita ada s = 3 dan u = 4. Jadi= ()= 6(3 7)== = 6(9 7) == 12 =Maka, pada t = 9,( )32611231 =|.|

\||.|

\| = =dtdsdsdududydtdy3.6. Terbitan Fungsi Trigonometri i) Jika y = sin x, makadxdy= kosx di mana x dinyatakan dalam radians.ii) Jika y = kos x, makadxdy= -sinxiii) Jika y = tan x, makadxdy= sek2iv) Jika y = kot x, makaxdxdy= -ksk2v) Jika y = sek x, makaxdxdy= sek x tan xvi) Jika y = ksk x, makadxdy= -ksk x kot xvii) Jika y = sin nx, makadxdy= n kosnxviii) Jika y = kos nx, makadxdy= -n sin n xix) Jika y = tan nx, makadxdy= n sek2x) Jika y = sin (ax + b), makanxdxdy= a kos (ax + b)xi) Jika y = kos (ax + b), makadxdy= -a sin (ax + b)xii) Jika y = tan (ax + b), makadxdy= a sek2(ax + b)MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri115xiii) Jika y = sinndxdyx, maka = n sinn-1xiv) Jika y = kosx kosxndxdyx, maka = -n kosn-1xv) Jika y = tanx sinxndxdyx, maka = tann-1x sek2xvi) Jika y = kot u, makaxdxdy= -ksk2dxduuxvii) Jika y = sek u, makadxdy= sek u tan u dxduxviii) Jika y = ksk k u, makadxdy= - ksk u kot u dxduContoh:Cari|.|

\|4'tf untuk x x x f kot) ( = .Penyelesaian:( )x x xxdxdx x x x fkot ksk) ( kot kotdxd) ( '2+ =+ =Sekarang kita nilaikan' f pada 4t( )211 244kot4ksk4)4( '22ttt t t t =+ |.|

\| =+ |.|

\| = fContoh:Cari(a) ) 2 os ( x kdxd(b)( ) | | 1 sek2+ xdxd(c) ) (sin3xdxdtPenyelesaian:(a) x x x kdxd2 sin 2 ) 2 ( 2 sin ) 2 os ( = =(b)( ) | | ( )( ) ) 1 tan( 1 sek 2) 2 )( 1 tan( 1 sek 1 sek2 22 2 2+ + =+ + = +x x xx x x xdxdMTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri116(c)[ x[ xxdxdxdxdkos sin 3) ( kos ) (sin 3) (sin ) (sin223 3t tt tt t===Contoh:Cari((

xxdxdtansek 1.Penyelesaian:( )xx xx xxx xxx x x xxx x x x xxxdxd22 22222 2 222tan) sek1 ( sek 1 tan sek gunakan tansek sek tansek ) tan sek ( sek tan) sek )( sek1 ( ) tan sek( tantansek 1== = = =((

3.7 Terbitan Fungsi Eksponen(a) Jika xe x f = ) ( ,xe x f = ) ( '(b) Jika ) () (x fe x f = ,) ( ' ) ( ') (x f e x fx f=Contoh:Caridxdyuntuk setiap yang berikut.(a) y = e2xxe1(b) y = 5 (c) y = (1 - ex)4xe332+(d) y = Penyelesaian:(a)= (2) = 2(b)= 5 = (c)= 4(1 )()(1) = 4(1 )(d) = 2(1)(3 +)()(3)=()MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri1173.8. Terbitan Fungsi Logaritma(a) Jikax x f ln ) ( =xx f1) ( ' =(b) ) ( ') (1)] ( [ln x fx fx fdxd=Contoh:Cari dxdydiberi bahawa(a) ) 2 ln( x y (b) ) 1 ln( + = x y (c) x x y 3 ) 2 ln( + =Penyelesaian:MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri118Latihan 3.2Cari terbitan bagi fungsi berikut:1. () = 116+8 2. () =3. () =4. = ()5. Cari pada x = 0 (a) =, = 2 +1(b) =, = (5+1)6. Cari pada x = 2bagi = ( +3), s= 3 , = .7. Cari terbitan bagi fungsi berikut:(a) = sin (b) = [ +kot](c) y = x3(e) y = (2x 5)ksk x (d) y = kos (tan x)4(8x2-5)-3(f) = +8. Dapatkan [(3)(2 +5)].9. Dapatkan .10. Dapatkan .Jawapan Latihan 3.21. 55x4 18x23.4. 100(x2.4 2x9)(x5 x10)5. (a) -1 (b) 0196. 167. (a) 2 sin kos (b) 4(1 ksk )( + kot )(c) 3 ksk ksk kot (d) -sin (tan x) sek2(e) 8(2x 5)x3(8x2 5)-4(-4x2(f)+ 30x 5)8. 18x2+ 30x + 5x-29.()()10. 2()MTE3108 Kalkulus AsasDr Hu Laey Nee & Si Tong Yong, IPG Kampus Sarawak, Miri1193.9 Terbitan Peringkat Kedua Atau Lebih TinggiTerbitanbagidxdy, iaitu|.|

\|dxdydxd, ditulissebagai22dxy ddandikenalisebagaiterbitankedua fungsi y terhadap x.Kita ketahui bahawa f, terbitan bagi fungsi f, merupakan suatu fungsi yang dinamakan fungsi terbitan pertama. Selanjutnya, jika terbitan bagi fungsi fini wujud, ia dikenali sebagai fungsi tebritankeduadandilambangkandengan' ' f . Padaamnya,fungsiterbitanke-n,dilambangkan dengan ) (nf (bukan nf ).Tatatanda bagi terbitan peringkat tinggi:Terbitan pertama :dxdyx f y ), ( ' , ' atau)] ( [ x fdxdTerbitan kedua :22), ( ' ' , ' 'dxy dx f y atau)] ( [22x fdxdTerbitan ketiga :33), ( ' ' ' , ' ' 'dxy dx f y atau)] ( [33x fdxdTerbitan keempat :44) 4 ( ) 4 (), ( ,dxy dx f y atau)] ( [44x fdxdTerbitan ke-n :nnn ndxy dx f y ), ( ,) ( ) (atau)] ( [ x fdxdnnContoh :Diberikan xx x f1) ( + = , cari) ( ' x f dan) ( ' ' x f .Penyelesaian :1) (1 + =+ =x xxx x fMaka,11) 1 ( 1 ) ( '22xx x f = + =Diketahui 21 ) ( ' = x x f , maka2) 2 ( ) ( ' '33xx x