modul kuliah matematika/kalkulus 1

MODUL KULIAHMATEMATIKA/KALKULUS 1

1

Pokok Bahasan : Kalkulus I2 1) Sistem Bilangan Real

2) Fungsi dan Grafik Fungsi, Fungsi Trigonometri3) Limit Fungsi, Fungsi Kontinu4) Turunan Fungsi5) Penggunaan Turunan, Grafik Fungsi6) Limit Bentuk Tak Tentu, Penggunaan Turunan7) UTS8) Integral Tak Tentu dan Integral Tentu9) Penggunaan Integral Tentu10) Fungsi-fungsi Transenden11) Metode Integrasi, 12) Penggunaan Tabel Integral13) UAS

3

SISTEM BILANGAN REALBilangan Kompleks z = a + bi

Bilangan Real ( R )

Bilangan Immajiner, i = 1

Bilangan Rasional Bilangan Irrasional

Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan (P/Q)

Bilangan yang dapat ditulis sebagai desimal berulang

Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan

Bilangan desimal tidak berulang

4

Garis Bilangan Real Bilangan real dinyatakan dengan notasi R. Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titk sepanjang

sebuah garis bilangan real

───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┼──> R –3 –2 –1 0 1 2 3 4

Bidang Bilangan KompleksBilangan komplek, z = a + bi, dalam bentuk geometri bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk bidang kompleks

Im(z)

Ra(z)a

b P

=3,14e

4/5

x < -2

Pengertian Pertidaksamaan5

Pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu. Pertidaksamaan dinyatakan dengan salah satu tanda dari lambang berikut : > <.

(1) p < q artinya p lebih kecil dari pada q

(2) p > q artinya p lebih besar dari pada q

(3) p q artinya p lebih kecil atau sama dengan q

(4) p q artinya p lebih besar atau sama dengan q

Sifat-sifat Sederhana :(1) Penjumlahan/pengurangan. Jika x < y, maka x + a < y + a Misal, jika x < 10, mk x+2<10+2 (2) Perkalian/pembagian dengan

bilangan positip. Untuk, a > 0, Jika x < y, maka ax < ay Misal, jika x < 2, mk 4x < 4(2)

(3) Perkalian/pembagian denan bilangan negatif. Untuk a < 0,

Jika x < y, maka ax > ayMisal, jk x < 4, mk -2x > -2(4)

6

Pertidaksamaan dan Interval Persamaan (x2 + 2x – 8 = 0) solusinya adalah sebuah titik di dalam garis

bilangan R (x1 = –4, x2 = 2) Pertidaksamaan (x2 + 2x – 8 ≤ 0) solusinya adalah sebuah interval tertutup,

interval terbuka atau kombinasi, (HP = {x:–4 ≤ x ≤2}) Interval adalah himpunan dari R yang memenuhi sifat urutan bilangan

tertentu Interval terdiri interval terbuka, tertutup atau kombinasi dari keduanya.

Interval disajikan dengan notasi himpunan, interval dan garis bilangan

Contoh Tentukan HP dari :x3 -2x2 – 11x + 12 ≤ 0

Solusi :- -0 + + + 0 - - - - 0 + + + ─┼────┼────┼───> R –3 1 4HP = {x: x ≤ –3 V 1 ≤ x ≤ 4}

Contoh Tentukan HP dari :dg, x 8, x –4 48

2

xx

xx

Solusi :- -0 + + + 0 - - - - 0+ + ++0- - - ─┼────┼────┼────┼──> R –4 –1 4 8HP = {x: x <–4 V –1 ≤ x ≤ 4 V x ≥ 8}

Pertidaksamaan Sederhana7

Solusi pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi pertidaksamaan. Solusinya dapat digambarkan pada garis bilangan.

Contoh : Solusi dari : x + 4 > 7Ruas kiri dan kanan dikurangi 4 diperoleh, x + 4 – 4 > 7 – 4 x > 3Jadi semua nilai x lebih besar dari 3 yang memenuhi pertidaksamaan, ---------+----+----+----+--------- x 0 1 2 3

Contoh : Cari nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, 3 + 4x 6x + 7 Tulis pertidaksamaan menjadi, 4x – 6x 7 – 3 –2x 4 2x –4 x –2 Jadi semua nilai x lebih kecil atau sama dengan –2 yang memenuhi pertidaksamaan. Garis bilangannya : ---------+----+----+----+--------- x –3 –2 –1 0

Pertidaksamaan Kuadratik (1)

8

Pertidaksamaan kuadratik adalah pertidaksamaan yang memuat persamaan kuadratik.

Tahap-tahap menentukan solusinya adalah :(1) Ubah bentuk pertidaksamaan

menjadi persamaan(2) Carilah akar-akar persamaan

kuadratnya, jika mungkin dengan faktorisasi

(3) Selidikilah nilai-nilai yang mungkin dengan menggunakan garis bilangan

(4) Tentukan solusinya dari langkah (3).

Contoh :Tentukan HP dari x2 – 4x – 12 < 0Faktor dari, x2 – 4x – 12 = 0 adalah,(x + 2)(x – 6) = 0, dan akar-akarnya x=–2, x=6. Perhatikan garis bilangan

- - -0 + + + + + + + + (x+2) -----+------------+------ –2 6 - - - - - - - - - - 0 + + +(x–6) -----+------------+------ –2 6 + + 0 - - - - - -0++ +(x+2)(x–6) -----+------------+----- –2 6HP, –2 < x < 6.

Pertidaksamaan Kuadratik (2)

9

Contoh :Tentukan HP dari 2x2 + 3x – 9 0Faktor, 2x2 + 3x – 9 = 0 adalah,(2x – 3)(x + 3) = 0, dan akar-akarnya x=3/2, x=–3. Perhatikan garis bilangan - - -0 + + + + + + + (x+3) -----+-----------+----- –3 3/2 - - - - - - - - - 0 + + (2x–3) -----+----------+------ –3 3/2 + + 0 - - - - - -0++ +(2x+3)(x–3) -----+-----------+-----Jadi nilai x yang memenuhi pertidaksamaan, x –2 v x 6.

Contoh :Tentukan HP : 0 < x2 – 4x – 12 < 20

Solusi pertidaksamaan diatas adalah irisan HP : 0<x2 –4x–12 dan x2 – 4x – 12 < 20

Solusi dari, x2 – 4x – 12 >0, atau (x+2)(x – 6) > 0 adalah x< –2 v x > 6

Solusi dari, x2 – 4x – 12 < 20 atau x2 – 4x – 32 < 0, (x + 4)(x – 8) < 0 adalah –4< x < 8

Irisan kedua solusi adalah – 4<x< –2 v 6 < x < 8

Pertidaksamaan dan Pecahan (1)10

Sifat-sifat :

positip harus maka ,0 Jika,(1)qp

qp

0 dan 0 syaratnya,0 (a). qpqp

0 dan 0 syaratnya,0 (b). qpqp

negatif harus maka ,0 Jika(2)qp

qp

0 dan 0 syaratnya,0 (a). qpqp

0 dan 0 syaratnya,0 (b). qpqp

Batas interval, solusinya adalah p=0, dan q0

Contoh :Hitunglah HP dari,Jawab

0932

xx

Batas interval pertidaksamaan adalah x1=2, dan x2–3. Perhatikanlah garis bilangan berikut : - - - - - - - - - 0+ + + (x – 2) -----+-----------+----- –3 2 - - - 0 + + + + + + +(3x+9) -----+----------+------ –3 2 + + 0 - - - - - -0++ +HP -----+-----------+----- –3 2Jadi HP pertidaksamaan, –3 < x 2

Pertidaksamaan dan Pecahan (2)11

Contoh :Hitunglah HP dari,JawabTulislah pertidakamaan menjadi,

0)3)(3()6)(1(

0)3)(3(65

0)3)(3()3(2)3(

032

3 3

23

2

xxxxxxxx

xxxxxxx

xxx

x

32

3

xxx Perhatikanlah garis bilangan berikut,

- - - - - - - 0 + + + + + + +(x + 1) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + (x – 6) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 - - - 0 + + + + + + + + + +(x + 3) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 - - - - - - - - - - - 0 + + + +(x – 3) -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6 + + 0- - - 0 + + 0 - - - 0+ + HP -----+-----+-------+------+-- –3 –1 3 6Jadi HP : –3 < x –1 v 3 < x 6

12

Nilai Mutlak Bilangan

Nilai mutlak suatu bilangn real x selalu bernilai positip. Nilai mutlak bilangan real x ditulis |x|, didefininisikan oleh :

0 xjika ,0 xjika,

||x

xx

───┼─────┼─────┼─> R –x 0 x

Kasus khusus,

aa

axax

ax xjika , xjika,

)(||

───┼─────┼─────┼─> R –(x-a) 0 x-a

Grafik persamaan, y = |x|

Y=xY=-xy

x0

Grafik persamaan, y = |x – a|

y

a

a

Y=a-x

x

Y=x-a

Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak (1)

13

Nilai mutlak bilangan x, ditulis |x| didefinisikan,

0 jika ,

0 jika,||xx

xx

x

Dari definisi diatas nilai mutlak bilangan selalu bernilai positif.

Pertidaksamaan dengan nilai mutlak yang penting :

(1) | x | < a –a < x < a (2) | x | > a x<–a V x> a

Sifat (1) berlaku pula untuk (), sifat (2) berlaku pula untuk ()

Contoh :Hitunglah HP dari, |2x – 5| < 9 JawabMenurut definisi, |2x – 5| < 9 –9 < 2x – 5 < 9 –9+5 < 2x < 9+5 –4 < 2x < 14Jadi, HP : –2 < x < 7

Contoh :Hitunglah HP dari, |2x + 3| > 11 JawabMenurut definisi,|2x + 3|>11 2x+3< –11 v 2x+3>11 2x<–11–3 v 2x >11–3 2x < –14 v 2x > 8Jadi, HP : x < –7 v x > 4


14

Contoh :Hitung HP dari, |x2 – 4x – 25|< 20JawabMenurut definisi, |x2– 4x–25|<20 –20<x2– 4x – 25<20Jadi, HP merupakan irisan dari, (1) –20 <x2 – 4x – 25 dan (2) x2 – 4x – 25 < 20

Mengingat, –20 <x2 – 4x – 25 x2 – 4x – 5 > 0 (x + 1)(x – 5) > 0Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (1) -----+------------+------- –1 5 Jadi HP (1) : x < –1 v x > 5

Demikian pula dari,x2 – 4x – 25 < 20 x2 – 4x – 45 <0 (x + 5)(x – 9) < 0Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (2) -----+------------+------- –5 9Jadi HP (2) : –5 < x < 9

Jadi solusi pertidaksamaan adalah :

HP -----+------+------+-------+--- –5 –1 5 9Solusi : –5 < x < 1 v 5 < x < 9


15

Contoh :Hitung HP dari, |x2 – 5x – 21|> 15JawabMenurut definisi, |x2 – 5x – 21|> 15 x2 –5x – 21<–15 atau x2 – 5x – 21>15Jadi, HP merupakan gabungan HP, (1) x2 – 5x – 21 < –15 atau (2) x2 – 5x – 21 > 15

Mengingat, x2 – 5x – 21< –15 x2 – 5x – 6 < 0 (x + 1)(x – 6) <0 + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (1) -----+------------+------- –1 6 Jadi HP (1) : –1 < x < 6

Demikian pula dari,x2 – 5x – 21 > 15 x2 – 5x – 36 >0 (x + 4)(x – 9) > 0Solusinya adalah : + + 0 - - - - - - 0 + + + HP (2) -----+------------+------- –4 9Jadi HP (2) : x < –4 v x > 9

Jadi solusi pertidaksamaan adalah :

HP -----+-------+---------+-------+--- –4 –1 6 9Solusi : x < –4 v –1< x < 6 v x > 9

16

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Contoh Tentukan HP dari :

|x2 + 2x – 16| ≤ 8

–8 ≤ x2 + 2x – 16 x2 + 2x – 16 ≤ 8

+ 0 - - - - 0 ++ ─┼────┼─> R –4 2

+ 0 - - - - 0 ++ ─┼────┼─> R –6 4

Solusi :

─┼────┼────┼────┼──> R –6 –4 2 4HP = {x: –6≤ x ≤–4 V 2 ≤ x ≤ 4}

Bentuk grafik

8

Y=x2 + 2x – 16

x

–8

Grafik persamaan kuadrat,

Contoh Tentukan HP dari :|x2 – 6x – 16| ≥ 8

–6 – 4 2 4

Soal-soal latihan17

Carilah solusi pertidaksamaan berikut ini :1. –13 < 3x – 7 < x+172. x2 – 10x + 24 < 03. 10 < x2 – 4x + 5 < 174. 8 < 2x2 – 5x + 5 < 305. –1< 3x2 – 4x – 5 < 10

04

21)9(

41

112)8(

012

2)7(

332)6(

2

2

xx

xxx

xx

xxx

2420)11(

24

10)10(

xx

x

xxx

12. |2x + 5| < 1713. |3x – 4| > 1414. |x2 – 5x – 32| 18 15. |x2 + 4x – 22| > 10

18

Soal-Soal Latihan : Soal 16.Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini

0).( 0)(

)2(2 ).( 22

2

2

baxx

abxbabxbax

xbaxa

xbaaxx

xxxfa)(2

23)( ).( 23

24

Soal 17. Diberikan,

a. Tentukan nilai x agar f(x) = 0b. Nilai x agar f(x) tidak ada (penyebut sama dengan 0)c. interval f(x) > 0 dan f(x) < 0

2223

23 20249)( ).(abxbaxx

xxxxfb

19

Sistem Koordinat Kartesiusdan Grafik Garis Lurus (1)

Grafik : gambar mempresentasikan informasi hubungan satu variabel dengan variabel yang lain. Grafik dg sistem koordinat kartesius.

Grafik yang paling sederhana adalah garis lurus, dima persamaannya : y=mx + cm disebut dengan gradien.

Persamaan garis yang melalui dua buah titik P(x0,y0) dan Q(x1,y1) adalah :

)(

)(

00

001010

0101

00

xxmyy

xxxxyyyy

xxyy

xxyy

0101 dimana,

xxyym

Grafik Garis Lurus (2)20

Contoh :Persamaan garis lurus yang melalui titik P(1,5) dan Q(2,8) seperti terlihat pada gambar berikut :

P(1,5)

Q(2,8)

31258

m

Garis Sejajar.Garis sejajar adalah garis lurus yang memiliki gradien yang sama


Contoh :Garis berpotongan. Carilah titik potong dua garis, 3x+y = –1, dan –x+2y=5. Dan buat pula sketsa grafiknya.JawabTitik potong diperoleh dengan cara eliminasi atau substitusi.3x+y = –1 x 1 3x + y =–1–x+2y=5 x 3 –3x +6y=15 ---------------- (+) 7y=14Untuk, y=2, maka x=2(2) – 5 =–1

Jadi titik potong kedua garis adalah (–1,2)

Sketsa grafik kedua garis

3x+y = –1,

–x+2y=5

Titik potong (–1,2)


Contoh :Garis tegak lurus. Carilah garis yang tegak lurus garis, 3x + y = 9, dan melalui titik (1,6)JawabDua garis saling tegak lurus, maka m1m2=–1. Dari, garis 3x+y=9, maka

diperoleh, m1= –3, dengan demikian,

dan persamaan garisnya adalah,

31

2 m

1731183

)1(316

yxxy

xy

Sketsa grafiknya adalah :

–3 –2 –1 0 1 2 3 4

3x + y = 9

x – 3y = –17

(1,6)

Grafik Parabola (1)23

Grafik persamaan kuadrat yang berbentuk, y=ax2+bx+c disebut dengan parabola

Sifat-sifat grafik parabola.1. Kecekungan. (a) a > cekung terbuka keatas (b) a < cekung terbuka kebawah.2. Sumbu simetri. Garis,

adalah sumbu simetri parabola3. Titik potong dengan sumbu y. Grafik memotong sumbu di titik

(0,c)

4. Titik potong dengan Sumbu x(a) Kasus D > 0. Grafik parabola memotpng sumbu di

dua tempat, yaitu :

(b) Kasus D = 0 Grafik parabola menyinggung sumbu

x di titik,

(c) Kasus D < 0Grafik parabola tidak memotong sumbu x

aacbbx 2

4212

abx 2

abx 2


Langkah-langkah membuat sketsa grafik adalah :(1) Bilamana mungkin tentukanlah

pula titik potongnya dengan sumbu koordinat.

(2) Tentukanlah koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.

(3) Buatlah diagram pencar titik-titik di bidang

(4) Hubungkan titik-titik tersebut sehingga membentuk suatu kurva yang mulus

Contoh :Buatlah sketsa grafik parabola, y=4x2 + 4x – 15 Jawab (a) Untuk x=0, y=–15, sehingga titik

potong dengan sumbu y adalah (0,–15)

(b) Titik potong dengan sumbu x. Untuk y=0, diperoleh persamaan kuadrat,

4x2 + 4x – 15 =0, (2x + 5)(2x – 3) = 0 dimana akar-akarnya adalah : x1=–2,5 dan x2=1,5 Jadi titik potong dengan sumbu x di

(–2,5,0) dan (1,5,0)


(c) Sumbu simetri,

Untuk x=1 – 0,5, y=1 – 16. Puncak parabola di (–0,5,–16)

(d) Diagram pencar untuk beberapa nilai diberikan tabel berikut,

x –3 –2 –1 0 1 2 ------------------------------------ y 9 –7 –15 –15 –7 9 (e) Sketsa grafik lihat gambar

sampingSumbu simetri

Titik potong

a=4> 05,0)4(2

4x

modul kuliah matematika/kalkulus 1

Documents