TAJUK 4 KAMIRAN

4.1 Sinopsis

Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang dua konsep kamiran iaitu kamiran

sebagai antiterbitan atau kamiran tak tentu dan kamiran sebagai hasil tambah

ketakterhinggaan yang dikenali sebagai kamiran tentu. Seterusnya pelajar akan dapat

memperlihatkan hubungan erat antara dua konsep tersebut dan beberapa teknik kamiran

yang biasa digunakan.

4.2 Hasil Pembelajaran

1. Menentukan kamiran tak tentu melalui antiterbitan.

2. Mengira kamiran tentu dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus.

3. Menentukan kamiran dengan pelbagai teknik

4.3 Kerangka Tajuk

KamiranKamiran

Aplikasi KamiranAplikasi KamiranKamiran tak tentu dan

Kamiran tentu

Kamiran tak tentu dan

Kamiran tentu

Konsep AntiterbitanKonsep Antiterbitan

4.4 Antiterbitan

Operasi untuk mencari suatu fungsi bila terbitannya diberi dinamakan antiterbitan. Ini

ditunjukkan dalam takrif berikut:

Proses pencarian bagi fungsi ini disebut antiterbitan.

Contoh:

1. Jelaskan,

2. Jika , tentukan antiterbitannya.

Penyelesaian :

1. Maka dan , iaitu adalah antiterbitan kepada

2. Diberi

Andaikata kita diberi suatu fungsi .

Sekiranya kita boleh dapatkan satu fungsi sehinggakan

=

Ringkasnya,

Latihan :

Tentukan fungsi antiterbitan bagi:

1. = 4x3 – 6x2 + 5x + 7

2. = + +

3. = − +

4.5 Kamiran Tak Tentu dan Kamiran Tentu

4.5.1 Kamiran Tak Tentu

Set kesemua antiterbitan fungsi disebut kamiran tak tentu. Kamiran tak tentu

disimbolkan denga notasi

Dan dibaca sebagai “kamiran (tak tentu) terhadap ”. Oleh itu sekiranya adalah

antiterbitan , maka kita peroleh takrif berikut:

Takrif kamiran tak tentu

bagi sebarang pemalar c, yang adalah antiterbitan

Jadual di bawah menunjukkan rumus kamiran fungsi piawai

Rumus fungsi piawai Rumus fungsi piawai dengan pemalar

Contoh:

Tentukan kamiran tak tentu bagi:

1.

2.

3.

4.

Penyelesaian:

, dimana

2.

3.

4.

Latihan :

Tentukan kamiran tak tentu berikut:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

4.5.1.1 Hukum Asas Kamiran

Jika selanjar di dalam (a,b) dan adalah antiterbitan bagi fungsi dalam

(a,b), maka dengan menggunakan takrif antiterbitan kita perolehi hukum kamiran berikut:

1. adalah pemalar

2.

Hukum ini boleh dikembangkan untuk digunakan melebihi dua fungsi kamiran

Contoh :

Cari kamiran tak tentu bagi fungsi berikut:

1.

2.

3.

Penyelesaian :

1.

2.

3.

Latihan:

Cari kamiran tak tentu :

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6.

4.5.1.2 Teknik Kamiran

Pengamiran suatu fungsi tidak semestinya boleh terus didapati daripada fungsi-fungsi

asas maka perlunya teknik-teknik berikut digunakan bagi menyelesaikan kamiran fungsi

tertentu.

(a) Kaedah Gantian

Kaedah ini menukarkan bentuk fungsi kepada bentuk piawai fungsi kamiran. Terdapat dua

jenis gantian yang boleh digunakan samada gantian ungkapan algebra atau gantian fungsi

trigonometri. Dengan menggantikan sebagai dan maka kita perolehi

Contoh:

Kamirkan fungsi berikut:

1.

2.

Penyelesaian:

1. Gantikan , maka

Gantikan ke dalam

2. Gantikan , maka iaitu

Seterusnya gantikan

Latihan :

Dengan menggunakan kaedah gantian, tentukan nilai kamiran berikut:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

(b) Kaedah Berperingkat

Sekiranya dan adalah fungsi yang terbezakan, maka pembezaan hasil darab

mengikut rumus ialah:

Dengan mengkamirkan kedua-dua belah persamaan, kite perolehi

iaitu

Oleh itu, rumus kamiran berperingkat ialah:

Contoh:

Kamirkan:

1.

2.

Penyelesaian :

1. Ambil

Maka

Oleh itu ;

2. Gantikan,

Ulangi kaedah ini untuk kamiran di sebelah kanan

Oleh itu ;

Latihan :

Dengan menggunakan kaedah berperingkat, dapatkan nilai kamiran berikut:

1.

2.

3.

4.

(c) Kaedah Pecahan Separa

Berikutnya, lihat kamiran berbentuk

Yang mana dan adalah fungsi polinomial, dan darjah kurang dari

Syarat:

Sekiranya darjah melebihi atau sama dengan , maka perlulah dibahagi dengan . Ini

bergantung sama ada boleh diungkapkan sebagai hasil darab linear dan kuadratik.

Jenis polinomial dan pecahansepara

Kes 1:

Kes 2 :

Kes 3 :

Contoh :

1. Tentukan , yang dan dalam bentuk pecahan separa dan

kemudian tentukan antiterbitannya

Penyelesaian:

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan kita peroleh

Bila ,

Bila

Bila

Oleh itu,

2. Tentukan nilai

Penyelesaian :

Bila

Bila

Untuk mendapatkan nilai andaikan lalu kita peroleh

Oleh itu ;

Sebab bila

Dan bila

Latihan:

Dengan menggunakan kaedah pecahan separa, dapatkan nilai kamiran berikut:

1. 3.

2. 4.

4.5.2 Kamiran Tentu

Pertimbangkan fungsi selanjar dalam selang maka kamiran dalam selang ini

disebut

kamiran tentu dan notasi yang digunakan ialah , jika had ini wujud

Teorem 4.1 (Teorem Asas Kalkulus)

Jika selanjar pada selang dan adalah antiterbitan bagi dalam selang

tertutup , maka

Nilai dikatakan kamiran dan nilai adalah kamiran.

Sifat-sifat Kamiran Tentu

Jika dan adalah selanjar pada selang

1. jika

2. jika

3. jika suatu pemalar

4. bagi sebarang pemalar

5.

6. Jika boleh dikamirkan dalam selang tertutup yang mengandungi dan ,

, jika

7. Teorem Nilai Min : Jika fungsi selanjar pada selang , maka wujud suatu nombor

dalam supaya

Contoh ;

Nilaikan

a) b)

Penyelesaian :

a)

b)

4.6 Aplikasi Kamiran

4.6.1 Luas Rantau

Jika selanjar dalam selang [a,b] dan pertimbangkan rantau R di bawah garis lengkung

. Lukis satu garis menerusi rantau di sebarang titik , yang menyambungkan

sempadan-sempadan bahagian atas dan bawah rantau. Garis ini di panggil keratan

rentas. Garis ini di gerakkan ke kanan dan ke kiri (atau dari atas ke bawah) iaitu dari

kedudukan terendah ke kedudukan tertinggi nilai (atau nilai ).

i) Jika , (graf berada di atas paksi –x) maka luas graf y = f(x) dari

kepada , di dalam kawasan dibendung oleh paksi ialah

Pertimbangkan satu keratan rentas yang selari dengan paksi-y. Luas keratan rentas ini

ialah di mana berada dalam selang – .

Maka luas di bawah graf adalah hasil tambah keratan rentas iaitu

Luas =

Luas keratan

ii) Jika , (graf berada di bawah paksi – ), maka luas bagi graf y = f(x) dari

kepada , di dalam kawasan dibendung oleh paksi ialah

Luas keratan rentas ialah

Maka luas di bawah graf ialah

Luas =

Keratan rentas

iii) Luas yang dibendung di antara dua graf fungsi dan ,

bagi nilai kepada ialah

Luas keratan rentas ialah

Maka luas kawasan terbendung pada rajah di atas ialah

Type equation here.

Kaedah yang sama boleh digunakan untuk keratan rentas yang selari dengan

paksi – dan diperolehi

=

Keratan rentas

Keratan rentas

Luas keratan rentas . Maka luas bagi kawasan yang terbendung dalam rajah di

atas ialah

Contoh:

Dapatkan luas rantau yang disempadani oleh graf dan seperti

pada rajah berikut

Penyelesaian:

Luas =

2

Contoh:

Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf , paksi- dan garis – garis x

= 2 dan x = 4 seperti pada rajah berikut :

Penyelesaian:

Kita akan dapat jawapan yang silap jika luas itu kita hitung kerana kamiran

itu memberikan luas aljabar bukannya luas sebenar. Luas sebenar ialah

Sebab dalam selang sebenar [2,3] garis y = 0 adalah lebih besar dari lengkung

y = x ( x – 3 ) manakala yang sebaliknya berlaku dalam selang [3,4]. Oleh itu, luas

sebenar ialah

Latihan:

1.Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh setiap graf pada rajah di bawah.

)

)

) )

f

2. Cari luas yang dibatasi oleh lengkung dan paksi –x.

3. Cari luas yang dibatasi oleg lengkung dan paksi dan garis .

4. Cari luas yang dibatasi oleh lengkung yang diberikan :

4.6.2 Isipadu Bongkah

Bab ini akan membincangkan bagaimana mendapatkan isi padu bongkah kisaran

apabila satu rantau dalam koordinat kartesan dikisarkan. Selain itu kita juga ingin

mencari isipadu satu bongkah yang keratan rentasnya tidak sekata (bukan

berbentuk silinder}. Hirisan bongkah yang berserenjang dengan paksinya (samada

paksi-x atau paksi-y) menjadi n keping hirisan dan isipadu bongkah adalah hasil

tambah hirisan ini. Hasil tambah Riemann seterusnya digunakan untuk

mendapatkan penghampiran tepat kepada isipadu bongkah.

(A) Isipadu Bongkah Hirisan

Contoh 1:

Tapak satu bongkah adalah satu bulatan dengan jejari 4 unit. Keratan rentas bongkah

berserenjang dengan paksi x memberntuk segi tiga sama dengan ketinggian 2 unit. Cari

isi padu bongkah tersebut.

Penyelesaian:

Luas hirisan segi tiga sama ialah

Maka

Gunakan kaedah kamiran gentian trigonometri kita perolehi

Perhatian :

Keratan rentas berserenjang dengan paksi - x

Isi padu =

Jika diberikan keratan rentas dengan paksi – y adalah satu segi tiga maka gunakan

rumus yang kedua iaitu:

Luas keratan rentas dimana .

Isipadu bongkah ialah

Jawapan yang diperoleh adalah berbeza kerana isipadu bongkah hirisan yang diberikan

dalam rajah yang pertama adalah berbeza dengan isipadu bongkah hirisan yang diberikan

olah rajah yang kedua.

CONTOH 2

Satu bongkah mempunyai tapak berbentuk bulatan dengan jejari 4 unit. Cari isipadu

bonglah tersebut jika keratan rentas yang berserenjang dengan diameter bulatan

membentuk segi tiga sama dengan sisinya berada atas tapak bongah tersebut.

PENYELESAIAN:

Luas keratan rentas ialah

Maka isipadu bongkah ialah

LATIHAN

1. Tapak sebuah bongkah berbentuk separuh bulatan berjejari 4 unit. Keratan rentas

berseranjang dengan diameter adalah merupakan segi tiga tepat bertapak sama.

Cari isipadu bongkah ini.

2. Tapak sebuah bongkah dibatasi oleh lengkung dan . Jika keratan

rentas berserenjang dengan paksi y membentuk segi empat sama, cari isipadu

bongkah ini.

3. Tapak sebuah bongkah yang berbentuk bulatan . Setiap keratan

rentasnya berbentuk segi tiga sama. Cari isi padu bongkah ini.

(B) ISIPADU KISARAN

Katakan selanjar dalam selang [ a, b ] dan positif. Jika kawasan R dikisarkan di

sebarang garis maka satu bongkah akan terjana. Jika R dikisarkan pada paksi x (atau

garis yang selari dengan paksi x ), isipadu kisarannya boleh ditentukan dengan cara

berikut:

Pertimbangkan satu segi empat tepat dalam rantau yang diberikan. Jika ialah sebarang

nombor dalam subselang maka kita perolehi satu segi empat yang lebarnya ialah

dan panjangnya .

Apabila segi empat tepat ini dikisarkan pada paksi – x maka terbentuk satu cakera

membulat dengan jejari dan tebalnya . Hasil tambah semua isipadu cakera ini

adalah

Apabila maka

Isipadu

Garis di mana rantau dikisar dinamakan paksi kisaran.

(i) KAEDAH CAKERA

(a) Paksi –x sebagai paksi kisaran

Isipadu cakera

Isipadu =

CONTOH 3

Rantau yang dibatasi oleh , paksi x dan paksi y dikisarkan pada paksi x di

antara x =0 hingga x = 2. Dapatkan isipadu bongkah yang terhasil.

PENYELESAIAN:

jejari

CONTOH 4

Dapatkan isipadu pepejal yang terjana apabila dikisarkan pada

paksi –x.

PENYELESAIAN:

(b) Paksi –y sebagai paksi kisaran

Cara yang sama jika rantau R dikisar pada paksi-y maka satu pepejal akan diperolehi.

Isipadu

Isipadu cakera

jejari

Maka isipadu rantau yang dikisarkan pada paksi y adalah

Isipadu

CONTOH 5

Dapatkan isipadu pepejal yang diperolehi apabila rantau yang terbendung oleh lengkung

dikisarkan pada paksi-y.

PENYELESAIAN:

Isipadu

(ii) KAEDAH WASHER (CAKERA BERLUBANG)

Pertimbangkan dua fungsi dan selanjar dalam selang [a, b]. Jika rantau R yang

dibatasi oleh dan dan (seperti rajah di bawah) dikisar pada paksi x atau

garis selari dengan paksi x maka kita perolehi satu pepejal berbentuk cakera lubang.

R – jejari luar , r – jejari dalam

Isipadu cakera berlubang ini ialah .

Iaitu isipadu cakera besar yang ditolakkan dengan isipadu cakera yang kecil. Maka

isipadu pepejal kisaran adalah

CONTOH 6

Rantau di antara garis dan lengkung diputar pada garis . Dapatkan

isipadu pepejal yang terhasil.

PENYELESAIAN:

Isipadu keratan rentas

Maka

CONOTH 7

Cari isipadu bongkah jika kawasan yang dibendung oleh dan pada

paksi x sekeliling garis .

Isipadu kisaran

CONTOH 8

Cari Isipadu bongkah terjana apabila rantau yang dibatasi dan

dikisarkan pada paksi y.

PENYELESAIAN:

Selesaikan persamaan untuk mendapatkan titik persilangan di antara graf terlebih dahulu

Maka titik persilanga ialah (1, -1) dan (4, 2)

(iii) KAEDAH PETALA SILINDER

Katakan selanjar pada selang [a, b] dan bagi semua x dalam selang. Rantau R

lihat rajah dibawah yang dibatasi oleh lengkung , paksi –x, garis tegak dan

dikisarkan pada suatu garis, maka satu bongkah akan terjana. Bongkah ini

berbentuk silinder membulat berlubang ( silinder tipis atau petala)

(a) Isipadu melibatkan satu lengkung

Pertimbangkan rantau R yang dibatsai lengkung seperti rajah dibawah dikisarkan

pada paksi y. Diketahui isipadu hirisan satu silinder yang terbentuk mempunyai jejari

dalam r dan jejari luar R dan tinggi h ialah

Isipadu =

Perhatikan: adalah tinggi silinder terbentuk dan jejari petala silinder ialah yang

diperolehi dari jarak keratan rentas dari paksi kisaran.

Isipadu =

Cara yang sama jika rantau R bagi dikisarkan pada paksi-y, isipadu yang

terjana ialah .

CONTOH 9

Rantau yang di batasi garis dan dikisarkan pada paksi – y .

Dapatkan isipadu yang terjana.

PENYELESAIAN:

Perhatikan sekiranya keratan rentas selari dengan paksi x diambil kaedah cakera

berlubang perlu digunakan :

Isipadu

Isipadu =

Perhatikan :

Bagi soalan ini kaedah cakera lebih mudah perkiraannya kerana hanya melibatkan satu

kamiran mudah sahaja.

(a) Isipadu melibatkan dua lengkung

Jika R dikisarkan pada paksi y (atau garis lain yang selari dengan paksi kisaran), isipadu kisaran

ini ialah

CONTOH 10

Cari isipadu bongkah jika kawasan yang dibendung oleh dan

dikisarkan sekeliling paksi y.

PENYELESAIAN:

Isipadu kisaran ialah

Perhatikan:

Kaedah cakera berlubang juga boleh digunakan jika keratan rentas selari dengan paksi x

diambil :

CONTOH 11

Kawasan yang terbatas di antara lengkung dan dikisarkan pada

paksi y. Dapatkan isipadu pepejal yang terjana.

Cari titik persilangan dua graf ini dahulu:

Maka titik persilangan ialah (0,0) dan (-2,4).

Gunakan keratan rentas selari dengan paksi – y. Kaedah petala silinder digunakan :

Isipadu

Perhatikan:

Kamiran menggunakan keratan rentas selari dengan paksi – x lebih sukar jika digunakan.

Kenapa?

Latihan

1. Tentukan nilai kamiran tertentu

a) b)

2. Lakar dan dapatkan luas rantau yang disempadani lengkung dan garis berikut:

a) dan paksi-x

b) dan paksi –x

3. Lakarkan dan dapatkan luas rantau di antara lengkung dan garis berikut.

a) dan b) dan

4. Cari isipadu bongkah terjana apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung yang

dinyatakan dikisar pada paksi x.

a) dan

b) dan

c) dan

d) dan

e) dan

f) dan paksi – x

5. Cari isipadu terjana apabila rantau yang dibatasi oleh parabola dan

dikisarkan sekitar paksi – y.

6. Cari isipadu pepejal yang diterima jika rantau yang dibatasi oleh ,

paksi-x, dan dikisarkan pada garis

7 Dapatkan isipadu pepejal jika rantau yang terbatas oleh lengkung, paksi-x dan

paksi-y dikisarkan pada paksi-x.

8 Dapatkan isipadu pepejal jika rantau yang terbatas pada rajah dalam soalan (7

(a) , 7 (b)) dikisarkan

(a) Paksi – y

(b) Garis x = 2

(c) Garis y = 3

9 Cari isipadu pepejal yang terjana apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung

dan dikisarkan sekitar paksi – x.

10 Cari isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dan

dikisarkan sekitar paksi –x.

11 Lakarkan rantau yang dibatasi oleh lengkung dan

Dapatkan

a) Luas rantau diantara lengkung

b) Isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dikisar sekitar paksi – x.

c) Isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dikisarkan sekitar garis

12 Gunakan kaedah petala silinder untuk mendapatkan isipadu yang terjana

apabila rantau yang dibatasi oleh dan paksi – x, paksi – y dikisarkan

pada garis .

13 Cari isipadu bongkah yang terjana apabila rantau dibatasi oleh lengkung

dan garis dan paksi – x dikisarkan pada garis berikut :

a)

b)

c)