Kamiran berangka

Bab 21

Pengenalan kepada formula Newton-CotesFormula Newton-Cotes merupakan formula yang paling kerap digunakan bagi kamiran secara berangka.Ia menggantikan fungsi yang kompleks dengan fungsi anggaran yang lebih mudah untuk dikamirkan iaitu:

nn

nnn

n

b

an

b

a

xaxaxaaxf

xf

dxxfdxxfI

1110 ...)(

bentukdalampolinomialfungsi)(manadi

)()(

fungsi parabola digunakan

untuk membuat anggaran

fungsi polinomial peringkat pertama digunakan untuk

membuatanggaran

Contoh di bawah menunjukkan 3 segmen garis lurus digunakan untuk menganggar kamiran:

Formula tertutup vs formula terbukaformula tertutup-had awal dan had

akhir kamiran diketahui

formula terbuka–had kamiran

melebihi selang data

Di akhir bab ini, anda sepatutnya:

Mampu membezakan kamiran terbuka dan kamiran tertutupMampu menyelesaikan masalah kamiran secara berangka menggunakan kaedah trapezoid, hukum Simpson 1/3 dan hukum Simpson 3/8Mampu menyelesaikan masalah kamiran menggunakan perisian yang sesuai

Hukum Trapezoid

Hukum ini menggunakan polinomial peringkat pertama di mana:

)()( 1 xxdfdxxfIb

a

b

a

Kawasan di bawah garis lurus ini merupakan anggaran kamiran f(x) antara had a dan b:

)()()()()( xdaxab

afbfafIb

a

Hasil kamiran menjadi:

2)()()( bfafabI

Dikenalisebagai hukum

trapezoid

(21.3)

Secara grafik,

Hukum trapezoid mengganggarkan luas di bawah garis lurus iaitu:

di mana tinggi purata:

purata x tinggi)( abI

2)()( bfaf

Dengan ralat

3))((''121 abfEt (21.6)

Rujuk mukasurat 589 untuk maklumat

lengkap mengenai ralat bagi hukum trapezoid

Contoh

Gunakan Hukum Trapezoid untuk mendapatkan kamiran bagi persamaan:

dengan had, a = 0 dan b= 0.8

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf

Penyelesaian contoh

1728.02

232.02.08.0

(21.3)persamaandalamMasukkan232.0)8.0(

2.0)0(

I

ff

Nilai sebenarnya adalah 1.640533. Maka ralat, Et

adalah 1.640533-0.1728 = 1.46773 (89.5%)

Secara grafik,perlu ada kaedah

untuk menganggar ralat menggunakan persamaan (21.6)

Menganggar ralat

2.56

)8.0)(60(121EralatMaka

60-08.0

)8000800,104050400()("

8000800,104050400)("

3a

38.0

0

2_

32

dxxxxxf

xxxxf

Hukum Trapezoid Berbilang-Aplikasi

4segmen

5segmen

2segmen

3segmen

Hukum Trapezoid Berbilang-Aplikasi

Jika terdapat n segmen dengan lebar yang sama

di mana dan b merupakan x0 dan xn, maka jumlah kamiran menjadi

nabh (21.7)

n

n

x

x

x

x

x

x

dxxfdxxfdxxfI1

2

1

1

0

)(...)()(

Gunakan hukum trapezoid,

atau2

)()(...2

)()(2

)()( 12110 nn xfxfhxfxfhxfxfhI

(21.10)

1

10 )()(2)(

2

n

ini xfxfxfhI

(21.9)

atau

n

xfxfxfabI

n

n

ii

2

)()(2)()(

1

10

tinggi purata

(21.8)

lebar

Dengan ralat

"12

)(2

3

fnabEa

(21.13)

Contoh

Gunakan Hukum Trapezoid Berbilang-aplikasi 2segmen untuk mendapatkan kamiran bagi persamaan:

dengan had, a = 0 dan b= 0.8

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf

Penyelesaian

64.0)60()2(12

8.0

%9.34,57173.00688.1640533.1

0688.14

232.0)456.2(22.08.0

232.0)8.0(456.2)4.0(2.0)0()4.0(2

2

3t

a

t

E

E

I

fffhn

pembezaan purata peringkat kedua(lihat contoh sebelum ini)

Hukum Simpson

Hukum 1/3 Simpsonhukum3/8Simpson

Apabila polinomial peringkat kedua dimasukkan ke dalam persamaan (21.1),

Jika a dan b adalah x0 dan x2 dan diwakili oleh polinomial Lagrange peringkat kedua

dxxfdxxfIb

a

b

a

)()( 2

dxxfxxxx

xxxx

xfxxxxxxxxxf

xxxxxxxxI

x

x

)())((

))((

)())((

))(()())((

))((

21202

10

12101

200

2010

212

0

Selepas kamiran dan manipulasi algebra,

)()(4)(3 210 xfxfxfhI (21.14)

6)()(4)()( 210 xfxfxfabI (21.15)

tinggi puratalebar

Dengan ralat

)(2880

)( )4(5

fabEt(21.16)

Contoh

Gunakan Hukum 1/3 Simpson untuk mendapatkan kamiran bagi persamaan:

dengan had, a = 0 dan b= 0.8

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf

Penyelesaian

2730667.0)2400(2880

8.0

%6.16,2730667.0367467.1640533.1

367467.16

232.0)456.2(42.08.0

232.0)8.0(456.2)4.0(2.0)0(

5t

a

t

E

E

I

fff

pembezaan purata peringkat keempat

Hukum 1/3 Simpson Berbilang-Aplikasi

dengan menggunakan kaedah yang sama sepertihukum trapezoid, persamaan akhir hukum 1/3 Simpson berbilang-aplikasi adalah seperti berikut:

n

xfxfxfxfabI

n

n

jj

n

ii

3

)()()(4)()(

2

6,4,2

1

5,3,10

(21.18)tinggi puratalebar

Secara grafik,perhatian: kaedah ini

hanya boleh dilakukan jika

bilangan segmen adalah genap

Dengan ralat)4(

4

5

180)( f

nabEa (21.19)

merupakanpembezaanperingkatkeempat

Contoh

Gunakan Hukum 1/3 Simpson berbilang-aplikasi dengan n = 4 untuk mendapatkan kamiran bagi persamaan:

dengan had, a = 0 dan b= 0.8

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf

Penyelesaian

2730667.0)2400()4(180

8.0

%04.1,017067.0623467.1640533.1

623467.112

232.0)456.2(2)464.3288.1(42.08.0

232.0)8.0(464.3)6.0(456.2)4.0(288.1)2.0(2.0)0(

4

5t

a

t

E

E

I

fffff

Hukum 3/8 Simpson

Hukum 3/8 Simpson

di mana h=(b-a)/3

Seperti juga Hukum Trapezoid dan Hukum 1/3 Simpson, dengan menggunakan polinomial peringkat ketiga Lagrange (4 titik),

)()(3)(3)(83

persamaannmendapatkauntuk

)()(

3210

3

xfxfxfxfhI

dxxfdxxfIb

a

b

a

Hukum 3/8 Simpson

8)()(3)()( 310 xfxfxfabI (21.20)

purata tinggilebar

dengan ralat

)(6480

)( )4(5

fabEt (21.21)

Jika bilangan selang adalah ganjil

Contoha)Gunakan Hukum 3/8 Simpson berbilang-aplikasi

dengan untuk mendapatkan kamiran bagi persamaan:

dengan had, a = 0 dan b= 0.8

b)Gunakan Hukum 3/8 Simpson dan 1/3 Simpsonuntuk fungsi di atas dengan 5 segmen

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf

Penyelesaian (a) perlu 4 titik yang sama saiz

1213630.0)2400(6480

8.0

%4.7,1213630.0519170.1640533.1519170.1

8232.0)487177.3432724.1(32.08.0

232.0)8.0(487177.3)5333.0(432724.1)2667.0(2.0)0(

5t

a

t

E

E

I

ffff

Penyelesaian (b) – 5 segmen (h=0.16)

%28.0,00454383.0645077.1640533.1645077.1264753.13803237.0

264754.18

232.0)181929.3186015.3(3743393.148.0

3803237.06

743393.1296919.1(42.032.0

232.0)80.0(181929.3)64.0(186015.3)48.0(743393.1)32.0(296919.1)16.0(2.0)0(

ttEI

I

I

ffffff