model matematis untuk penyebaran penyakit tidurrepository.usd.ac.id/27174/2/103114010_full.pdf ·...

i

MODEL MATEMATIS

UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TIDUR

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Fransisca Ratri Susanti

NIM: 103114010

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2014

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

A MATHEMATICAL MODEL FOR THE SPREAD

OF SLEEPING SICKNESS

A PAPER

Presented As Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the Sarjana Sains Degree of

Mathematics Study Program

Written by:


Student ID: 103114010

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGI

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2014


iii

MAKALAH

MODEL MATEMATIS


Disusun oleh:


NIM : 103114010

Telah disetujui oleh:

Dosen Pembimbing Makalah,

(Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.) Tanggal: 22 Juli 2014


iv

MAKALAH

MODEL MATEMATIS


Dipersiapkan dan ditulis oleh:


103114010

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

pada tanggal 23 Juli 2014

dan dinyatakan telah memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. …………….

Sekretaris Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. …………….

Anggota Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. …………….

Yogyakarta, 26 Agustus 2014

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

Dekan,

P.H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi

nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam

doa dan permohonan dengan ucapan syukur.” (Filipi 4:6)

tugas akhir ini kupersembahkan kepada

Keluarga, Sahabat, Teman dan Paguyuban

yang telah memberi dukungan, semangat serta doa


vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 22 Juli 2014

Penulis,



vii

ABTRAK

Penyakit tidur adalah penyakit yang disebabkan oleh parasit trypanomiasis

yang dapat menginfeksi manusia melalui gigitan lalat tsetse. Penyebaran lalat

tsetse dapat diilustrasikan dalam model matematika yang bergantung pada

populasi lalat dan manusia dengan asumsi-asumsi tertentu. Model tersebut berupa

suatu sistem persamaan diferensial dengan lima variabel, yang menyatakan

banyaknya vektor pada masa inkubasi, banyaknya vektor terinfeksi, banyaknya

vektor rentan, banyaknya manusia terinfeksi dan banyaknya manusia sembuh.

Sistem persamaan diferensial dapat diselesaikan secara numeris dengan

menggunakan metode Runge-Kutta.

Banyaknya vektor pada masa inkubasi dan terinfeksi mengalami

penurunan dan stabil mendekati nol. Banyaknya vektor rentan mengalami

kenaikan yang cukup tinggi dan konvergen menuju ke titik kritisnya. Banyaknya

manusia terinfeksi dan banyaknya manusia sembuh pada awalnya mengalami

kenaikan, namun pada waktu tertentu banyaknya manusia terinfeksi dan sembuh

mengalami penurunan mendekati nol dan banyaknya manusia kembali pada

kelompok rentan.

Kata Kunci: penyebaran penyakit tidur, sistem persamaan diferensial, titik

kesetimbangan, kestabilan, metode Runge-Kutta


viii

ABSTRACT

Sleeping sickness is a disease caused by a trypanomiasis parasite which

can infectious human by the biting tsetse fly. The spread of tsetse fly can be

illustrated in a mathematical model which dependent on the population of flies

and humans with certain assumptions. The model is in the form of a system of

differential equations with five variables, which specifies the number of

incubating vectors, the number of infected vectors, the number of susceptible

vectors, the number of infected humans and the number of removed humans.

System of differential equations can be solved numerically using the Runge-Kutta

method.

The number of incubating vectors and infected has decreased and stable

approach to zero. The number of susceptible vectors has to high increase and

converges toward the critical point. At the number of infected and the number of

removed humans at the beginning increase, but at certain times the number of

humans infected and removed decreased approach to zero and the number of

humans return to the susceptible stage.

Keywords: spread sleeping sickness, system of differential equations,

equilibrium point, stability, Runge-Kutta method


ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertandatangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma

dengan:

Nama : Fransisca Ratri Susanti

NIM : 103114010

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan karya ilmiah saya

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dengan Judul:

MODEL MATEMATIS UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TIDUR

beserta perangkat yang diperlukan, bila ada. Dengan demikian, saya memberikan

hak untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya

dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas, dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis

tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya

selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 22 Juli 2014

Yang menyatakan,



x

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala berkat dan

Rahmat-Nya yang diberikan, sehingga dapat menyelesaikan makalah ini.

Dalam menulis makalah ini, penulis menemukan banyak kesulitan, namun

atas bantuan dan dukungan dari banyak pihak akhirnya penulis dapat

menyelesaikan makalah ini. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.

2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi

Matematika yang sudah membantu dalam proses menyusun makalah ini.

3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing

makalah yang dengan sabar memberi bimbingan, meluangkan waktu dan

pikiran dalam menyusun makalah ini.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik

sekaligus dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran atas topik

untuk makalah ini.

5. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen penguji yang

telah memberikan pengarahan dan sarannya untuk makalah ini.


xi

6. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika telah memberikan ilmu yang

sangat bermanfaat bagi penulis.

7. Keluarga dan sahabat yang telah memberikan dukungan dalam segala hal.

8. Teman-teman seperjuangan Prodi Matematika angkatan 2010 dalam

kebersamaan, semangat, doa dan segala bantuan kepada penulis.

9. Kakak-kakak dan adik-adik angkatan mahasiswa Matematika yang turut

memberikan semangat, doa dan segala bantuan kepada penulis.

10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah berperan

dalam penulisan makalah ini.

Yogyakarta, 22 Juli 2014

Penulis


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ........................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................. vi

ABSTRAK ..................................................................................................... vii

ABSTRACT ..................................................................................................... viii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................ ix

KATA PENGANTAR ........................................................................................ x

DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL ............................................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................... 1

A. Latar Belakang .......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 3

C. Batasan Masalah ....................................................................................... 4

D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 4

E. Manfaat Penulisan ..................................................................................... 4

F. Metode Penulisan ...................................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan ............................................................................... 5


xiii

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 7

A. Sistem Linear dan Matriks......................................................................... 7

B. Sistem Persamaan Diferensial ................................................................... 16

C. Metode Runge kutta .................................................................................. 40

BAB III MODEL PENYEBARAN PENYAKIT ................................................. 44

A. Penyebaran Penyakit Tidur ....................................................................... 44

B. Model Kompartemen ................................................................................ 46

C. Model Matematika Tentang Gigitan Vektor ............................................. 51

D. Dinamika Populasi Vektor ........................................................................ 54

E. Dinamika Populasi Manusia ..................................................................... 74

F. Analisis Dinamika Populasi Vektor dan Manusia .................................... 79

BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 82

A. Kesimpulan ............................................................................................... 82

B. Saran ....................................................................................................... 83

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 84

LAMPIRAN ....................................................................................................... 85


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Sifat Kestabilan ..................................................................................... 33

Tabel 3.1 Nilai Parameter untuk Ilustrasi ............................................................. 60


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Lalat Tsetse Tampak dari Atas .......................................................... 2

Gambar 1.2 Lalat Tsetse Tampak dari Samping ................................................... 2

Gambar 2.1 Grafik Kemiringan Garis Singgung y=f(x) ........................................ 16

Gambar 2.2 Node 0 21 ............................................................................. 27

Gambar 2.3 Titik Pelana 0 1 , 02 .............................................................. 28

Gambar 2.4 Titik Star 0 21 ....................................................................... 29

Gambar 2.5 Improper Node 0 21 .............................................................. 29

Gambar 2.6 Titik Spiral 0 ............................................................................. 31

Gambar 2.7 Titik Spiral 0 ............................................................................. 31

Gambar 2.8 Center i1 , i2 .................................................................. 32

Gambar 2.9 Bidang fase x1 dan x2 ......................................................................... 40

Gambar 3.1 Siklus Perpindahan Parasit: Manusia dan Lalat ................................ 46

Gambar 3.2 Model Kompartemen Vektor ............................................................ 49

Gambar 3.3 Model Kompartemen Vektor pada Model ........................................ 50

Gambar 3.4 Model Kompartemen Manusia .......................................................... 50

Gambar 3.5 Bidang Fase aiVV .............................................................................. 67

Gambar 3.6 Bidang Fase siVV .............................................................................. 67

Gambar 3.7 Bidang Fase saVV .............................................................................. 70

Gambar 3.8 Grafik Dinamika Populasi Vektor ..................................................... 73

Gambar 3.9 Grafik Dinamika Populasi Manusia .................................................. 78


xvi

Gambar 3.10 Grafik Dinamika Populasi Vektor dan Manusia ............................. 80


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Penyakit tidur adalah salah satu penyakit yang menyebar karena

gigitan lalat. Penyakit tidur yang disebut juga dengan trypanosomiasis

penularannya melalui gigitan lalat tsetse. Penyakit tidur menyebar di kawasan

Afrika. Pada tahun 1996, diperkirakan bahwa antara 20.000 dan 25.000 orang

meninggal akibat penyakit tersebut setiap tahunnya, dan risiko epidemi yang

parah terus ada. Nama penyakit yang terdengar aneh itu tidak kalah bahayanya

dengan penyakit lain, misal malaria dan AIDS. Penyakit ini dapat

menyebabkan kematian jika tidak segera diobati, karena terjadi peradangan

getah bening.

Lalat tsetse sepintas terlihat tidak ada bedanya dengan lalat lain pada

umumnya. Namun, jika diamati dengan seksama, lalat tsetse masih dapat

dibedakan. Lalat tsetse memiliki ciri-ciri yang tidak ditemukan pada lalat lain.

Ciri-ciri tersebut adalah adanya moncong panjang seperti jarum di kepalanya.

Warna tubuhnya bervariasi antara kecoklatan dan kemerahan. Panjangnya 6-

15 mm. Menurut Jan A. Rozendaal lalat tsetse betina tidak bertelur tetapi

menghasilkan larva. Larva berkembang di dalam rahim selama 10 hari dan

disimpan serta tumbuh di tanah lembab atau pasir di tempat-tempat teduh,


2

biasanya di bawah semak-semak, kayu, batu-batu besar dan menopang akar.

Larva mengubur diri dan segera berubah menjadi pupa. Lalat muncul 22-60

hari kemudian, tergantung pada suhu. Lalat betina berkembang biak

menghasilkan larva setiap 10 hari. Masa hidupnya sekitar 30 hingga 90 hari.

Gambar1.1 Lalat Tsetse Tampak dari Atas

Sumber: Wikipedia.org 24 Oktober 2013

Gambar 1.2 Lalat Tsetse Tampak dari Samping

Sumber: Encyclopedia Britannica 24 Oktober 2013

Penyakit tidur menyebar melalui siklus sederhana, seperti penyebaran

penyakit-penyakit lain yang perantaranya adalah serangga misalnya malaria.

Ketika lalat tsetse menghisap darah dari orang yang telah terinfeksi oleh

penyakit tidur, mikroba trypanosome akan ikut terhisap dan tinggal di dalam

tubuh lalat tsetse. Jika lalat tersebut kemudian menghisap darah orang yang

sehat, mikroba trypanosome dalam tubuh lalat tsetse tersebut akan masuk ke

dalam aliran darah dari orang tersebut sehingga orang yang bersangkutan


3

menjadi terinfeksi oleh lalat itu. Selain melalui lalat tsetse, penyakit tidur ini

dapat menular melalui tranfusi darah.

Beberapa metode untuk pencegahan penyakit tidur, antara lain

peningkatan mortalitas lalat yakni penyemprotan menggunakan insektisida,

penjebakan, pengobatan dan isolasi individu yang terinfeksi. Hal ini dapat

digunakan untuk upaya pencegahan, karena lalat memiliki harapan hidup lebih

pendek dan memiliki waktu lebih sedikit untuk menginfeksi manusia.

Dari fenomena penyebaran parasit penyakit tidur dapat disusun strategi

pengendalian penyebaran penyakit, sehingga perlu mempelajari model

penyakit. Pengendalian penyebaran penyakit tidur dapat dimodelkan dengan

model matematika. Model ini memiliki peran penting dalam penyebaran

penyakit tidur untuk membantu menyelesaikan masalah tersebut dengan

asumsi-asumsi tertentu. Model epidemik adalah model matematika yang dapat

mengontrol dan mengetahui penyebaran penyakit pada suatu daerah tertentu

dalam waktu singkat dan frekuensi meningkat. Model penyebaran penyakit

tidur ini menggunakan model yang bersifat stokastik (probabilistik) karena

tidak adanya informasi keadaan obyek pada masa mendatang secara pasti.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana sistem memodelkan penyebaran penyakit tidur pada lalat dan

manusia?


4

2. Bagaimana ilustrasi model matematika penyebaran penyakit tidur dengan

nilai parameter yang diberikan pada populasi lalat dan manusia?

C. BATASAN MASALAH

Pembatasan masalah dalam tulisan ini pada kestabilan penyebaran

penyakit tidur terhadap dinamika populasi vektor dan manusia.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami prinsip persamaan

diferensial dengan konsep dinamika populasi dalam memodelkan penyebaran

penyakit tidur yang diilustrasikan dengan nilai-nilai parameter yang diberikan.

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang dapat diambil dari tulisan ini adalah untuk memperoleh

pengetahuan tentang penyelesaian numerik permasalahan penyebaran penyakit

tidur dengan model matematika.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan

mempelajari jurnal–jurnal serta buku-buku yang berkaitan dengan model

matematika untuk menyelesaikan masalah penyebaran penyakit tidur dalam

persamaan diferensial.


5

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

A. Sistem Linear dan Matriks

B. Sistem Persamaan Diferensial

C. Metode Runge kutta

BAB III MODEL PENYEBARAN PENYAKIT

A. Sistem Linear dan Matriks

B. Model Kompartemen

C. Model Matematika Tentang Gigitan Vektor


6

D. Dinamika Populasi Vektor

E. Dinamika Populasi Manusia

F. Analisis Dinamika Populasi Vektor dan Manusia

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


7

BAB II

LANDASAN TEORI

A. SISTEM LINEAR DAN MATRIKS

Definisi 2.1 Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah suatu himpunan berhingga dengan m persamaan

dalam n variabel nxxx ,...,, 21 .

Definisi 2.2 Penyelesaian Sistem persamaan Linear

Suatu bilangan terurut nsss ,...,, 21 disebut penyelesaian dari sistem jika

nn sxsxsx ,...,, 2211 adalah penyelesaian setiap persamaan pada sistem.

Matriks adalah suatu susunan bilangan yang berbentuk persegi panjang.

Cara menuliskan ukuran suatu matriks dengan m baris dan n kolom. Bentuk

matriks A berukuran m x n dan elemen aij berada pada baris i dan kolom j

dituliskan seperti di bawah ini:

i

a...a...aa

a...a...aa

a...a...aa

a...a...aa

j

mnmjmm

inijii

nj21

n1j1211

Baris

Kolom

21

21

2222

1

A


8

Definisi 2.3 Operasi Baris Elementer

Operasi Baris Elementer terhadap suatu matriks A adalah salah satu dari yang

berikut:

Operasi I: Kalikan baris i dengan ii RR kk 0

Operasi II: Tukarkan baris i dengan baris j ji RR

Operasi III: Gantilah baris j dengan jumlah antara baris itu sendiri dengan k kali

baris i jij RRR k

Simbol-simbol di dalam tanda kurung di atas digunakan untuk

menerangkan rincian penyederhanaan baris tertentu. Tanda panah menandakan

penggantian, iR menyatakan baris ke-i pada matriks yang sedang disederhakankan,

sedangkan jR menyatakan baris ke-j pada matris yang sama. Proses pengubahan

suatu matriks menjadi matriks lain melalui pengolahan dasar baris disebut baris

tereduksi.

Definisi 2.4 Matriks Eselon Baris tereduksi

Matriks Eselon Baris tereduksi ialah suatu matriks yang memenuhi keempat

sifat berikut:

1) Jika suatu baris matriks mempunyai setidaknya satu elemen tidak nol, maka

elemen tidak nol yang pertama (kepala baris) adalah 1.

2) Baris nol, jika ada, ditempatkan terakhir.


9

3) Di dalam dua baris tidak nol yang berurutan, elemen 1 yang menjadi kepala

baris di baris yang lebih bawah berada lebih ke kanan dibandingkan dengan

kepala baris di baris yang lebih atas.

4) Jika di dalam suatu kolom terdapat kepala baris, elemen-elemen lain di dalam

kolom itu nol semuanya.

Matriks yang demikian ini dikatakan berada dalam bentuk eselon baris.

Teorema 2.1

Setiap matriks ekuivalen baris dengan sebuah matriks tunggal yang berada dalam

bentuk eselon baris tereduksi.

Contoh 2.1

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan cara operasi baris elementer:

552

23

22

zyx

zyx

zyx

Penyelesaian:

Sistem persamaan tersebut bila dituliskan dalam bentuk matriks, yaitu:

5512

2311

2211

Dengan operasi ))1(( 212 RRR dan 313 )2( RRR menghasilkan:


10

1110

0500

2211

Kemudian mengalikan baris ketiga dengan -1 ))1(( 33 RR dan dilanjutkan

dengan penukaran baris 2 dan baris 3 )( 32 RR , sehingga menghasilkan:

0500

1110

2211

Dari hasil operasi baris elementer di atas diperoleh persamaan:

0 5z -

1

22

zy

zyx

Dengan demikian, dapat diselesaikan dengan substitusi langkah mundur, sehingga

diperoleh hasil 0zdan 1 ,3 yx

Definisi 2.5 Minor Elemen

Jika A adalah suatu matriks n x n, maka sub-matriks berukuran (n-1) x (n-1) yang

diperoleh dari matriks A, dengan cara menghapus baris baris ke-i dan kolom ke-j

disebut dengan Minor Elemen (i, j) dari matriks A dan dilambangkan Mij atau

Mij(A).

Definisi 2.6 Determinan Matriks

Jika matriks A berukuran n x n, determinan matriks A didefinisikan sebagai:


11

n

j

j

j

ja1

1

1

1 )det()1()det( MA (2.1)

Contoh 2.2

Misalkan suatu matriks A berukuan 2 x 2 atau

2221

1211

aa

aaA maka determinan

matriks A sebagai berikut:

21122211

2221

1211det aaaa

aa

aa

(2.2)

Misal matriks A berukuran 3 x 3, maka akan diperoleh determinan matriks

dengan menggunakan persamaan (2.1), yaitu:

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

13

31

1312

21

1211

11

11

333231

232221

131211

detdetdet

)det()1()det()1()det()1(

det)det(

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

MMM

A

Dari persamaan (2.2) diperoleh:

312213332112322311322113312312332211

312232211331233321123223332211

)()()()det(

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

A

(2.3)


12

Definisi 2.7 Invers Matriks

A adalah matriks persegi dan jika matriks B berukuran sama dapat dicari

sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut invertible (dapat dibalik) dan

B disebut invers dari A yang dilambangkan dengan A-1

.

Contoh 2.3

Hitung invers matriks A berkut:

21

53A

Penyelesaian :

Jika suatu matriks 2x2, misal

dc

baA , maka invers matriks dapat dihitung

menggunakan rumus:

31

52

31

52

5(1)-3(2)

1

)det(

11-

ac

bd

ABA

Cek, apakah AB = BA = I

AB =

10

01

31

52

21

53= I


13

BA =

10

01

21

53

31

52= I

Karena AB = BA = I, maka berdasarkan definisi B adalah invers dari matriks A.

Teorema 2.2

Matriks A yang berukuran n x n punya invers jika dan hanya jika 0)det( A

Definisi 2.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan A adalah sebuah matriks n x n. Sebuah matriks tak nol x berukuran n x

1 sedemikian sehingga Ax=λx disebut vektor eigen dari A, sedangkan skalar λ

disebut nilai eigen dari A.

Contoh 2.4

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A.

Penyelesaian:

Pilih λ sedemikian sehingga det(A-I) = 0, jadi didapat:

63

32A

7,3 73214

3362

63

32det

00

01

63

32detdet

21

2

IA


14

Dengan demikian, diperoleh dua nilai eigen, yaitu 31 dan 72 .

Untuk mencari vektor eigen dari matriks A, akan diselesaikan dengan persamaan

(A-I)x = 0 untuk 1= 3 dan 2 = -7.

i. Vektor eigen untuk 1= 3

Dengan operasi baris tereduksi, diperoleh:

1

33

adalah 3untuk eigen, vektor hasildiperoleh demikian,Dengan

3 maka Misalkan

2

1)1(

1

12

cc

c

x

x

cxcx

x

ii. Vektor eigen untuk 2 = -7

0

0

93

31

0

0

363

332

2

1

2

1

x

x

x

x0xIA

21

2

21

RR)3(R(-1)RR

3

ditulisdapat atau

00

031

:persamaandiperoleh atas di tereduksibaris operasi hasil dari

000

031

093

031

093

031

21211

xx

x

xx

0

0

13

39

0

0

763

372

2

1

2

1

x

x

x

x0xIA


15

Dengan operasi baris tereduksi, diperoleh:

Jadi, didapatkan dua vektor eigen, yaitu:

3

1dan

1

3)2()1(

xx

3

1

3

13/1

adalah -7untuk eigen vektor diperoleh Jadi,

3

1 maka Misalkan

3

1

ditulisdapat atau

00

03/11

:persamaandiperoleh tereduksibaris operasi hasil Dari

000

03/11

013

03/11

013

039

2

1)2(

2

12

21

2

21

RR)3(RR)

9

1(R 212

11

cc

c

x

x

xdx

xx

x

xx

x


16

B. SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

B.1 Turunan

Definisi 2.9 Kemiringan Garis Singgung

Gambar 2.1 Grafik Kemiringan Garis Singgung y = f(x)

Garis singgung pada grafik y=f(x) pada titik P (x, f(x)), yaitu

ada. inilimit jika

)()(lim

0tan

x

xfxxfm

t

(2.4)

Didefinisikan turunan sebagai berikut:

Definisi 2.10 Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang x di

dalam daerah asal f didefinisikan oleh:

y

x 0

f(x)

x

f (x+ x )

m

x x1


17

x

xfxxfxf

x

)()(lim)(

0

'

Asalkan limit ini ada, turunan fungsi f dilambangkan 'f

(2.5)

Turunan berkaitan dengan laju perubahan suatu populasi. Berawal dari

kecepatan yang merupakan laju perubahan jarak terhadap waktu. Perubahan

dalam koordinat x, dapat dituliskan dengan cara sebagai berikut:

12 xxx (2.6)

Dimana Δ menunjukkan perubahan besaran, yang dihitung dengan

mengurangkan nilai awal dari nilai akhir. Oleh karena itu, selang waktu dari

21 ke tt adalah

t 12 tt (2.7)

Kecepatan rata-rata (v), yaitu perpindahan x dibagi selang waktu t

dapat dinyatakan sebagai berikut:

12

12

t

x

tt

xxv

(2.8)

Kecepatan sesaat adalah limit dari kecepatan rata-rata untuk selang waktu

mendekati nol. Kecepatan sesaat sama dengan besarnya perubahan sesaat dari

posisi terhadap waktu, atau dapat dituliskan sebagai:

lim 0 dt

dx

t

xv

t

(2.9)


18

Limit dari 0tuntuk

t

xdisebut sebagai turunan (derivative) dari x terhadap t

yang dituliskan sebagai dt

dx.

B.2 Persamaan Diferensial

Definisi 2.11 Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung derivatif (turunan)

satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua kasus, yaitu

Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial Parsial.

Definisi 2.12 Persamaan Diferensial Biasa

Jika fungsi yang tidak diketahui tergantung pada satu variabel bebas saja maka

persamaan diferensial yang terbentuk disebut dengan persamaan diferensial

biasa.

Contoh 2.5

Sebagai contoh untuk persamaan diferensial biasa, yaitu:

4505.0

2.08.9

pdt

dp

vdt

dv


19

Definisi 2.13 Persamaan Diferensial Parsial

Jika fungsi yang tidak diketahui tergantung pada beberapa variabel bebas maka

persamaan diferensial yang terbentuk disebut dengan persamaan diferensial

parsial.

Contoh 2.6

Contoh yang khas dari persamaan diferensial parsial pada persamaan panas dan

persamaan gelombang.

Klasifikasi Persamaan Diferensial Berdasarkan Orde

Persamaan diferensial memiliki orde (tingkat) dan derajat (pangkat)

tertentu. Orde persamaan diferensial didefinisikan tingkat dari derivatif tertinggi

yang muncul dalam persamaan diferensial. Sedangkan derajat suatu persamaan

diferensial adalah pangkat turunan tertinggi dalam persamaan diferensial.

Klasifikasi Persamaan Diferensial Berdasarkan Kelinearan

Berdasarkan kelinearan ada dua sifat, yaitu linear dan non linear. Suatu

persamaan diferensial dikatakan linear jika tidak ada perkalian antara variabel-

),(),(

yakni Gelombang,Persamaan

),(),(

yakni, panasPersamaan

2

2

2

22

2

22

t

txu

x

txua

t

txu

x

txu


20

variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya. Dengan kata lain, semua

koefisiennya adalah fungsi dari variabel-variabel bebas. Sedangkan sifat non

linear bila dalam beberapa variabel tak bebas dikatakan tidak linear dalam

variabel tersebut. Sebagai contoh:

Contoh 2.7

Persamaan Diferensial Linearitas

)cos(24 ''' xyxyy Linear

)cos(24 ''' xyyyy Tidak linear karena memuat 'yy

)sin(2

2

uvut

v

x

u

Linear pada v tetapi tidak linear

pada u karena memuat sin (u). Jadi

persamaan tersebut tidak linear

)sin(2

2

txyt

y

t

x

Linear pada setiap variabel tak

bebas x dan y, tetapi tidak linear

dalam himpunan {x,y}. Jadi

persamaan tersebut tidak linear


21

Klasifikasi Persamaan Diferensial Berdasarkan Homogenitas

Bentuk dari persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan sebagai:

)()()( ' xgyxqyxp (2.10)

Persamaan diferensial dikatakan homogen bila g(x) =0. Persamaan

diferensial dikatakan nonhomogen bila g(x) tersebut dapat berbentuk fungsi

exponensial, trigonometri, ataupun fungsi polynomial dan 0)( xg .

Definisi 2.14 Penyelesaian Persamaan Diferensial

Penyelesaian dari persamaan diferensial ),...,,,( )1(''')( nn yyytfy pada interval

t adalah suatu fungsi sedemikian sehingga )(),...,(),( ''' ttt n ada dan

memenuhi:

)](),...,(),(,[)( 1' ttttft nn (2.11)

Contoh 2.8

Selesaikan Persamaan Diferensial Orde 1 berikut:

axdt

dx

(2.12)

Persamaan (2.12) dapat ditulis sebagai:

dtax

dx


22

dtax

dx

makakan diintegral ruas kedua Bila

atau

ln

diperoleh sehingga

catx

cat eKKex dengan (2.13)

Jika diketahui nilai awal 0)0( xx dan bila disubstitusikan ke persamaan (2.13)

dan diperoleh Kx 0 , sehingga persamaan (2.13) menjadi:

atextx 0)(

Jadi, penyelesaian Persamaan Diferensial Orde 1 adalah atextx 0)(

Titik setimbang (equilibrium point) diperoleh jika 0' dt

dxx . Dalam

kasus 0, ' aaxx maka titik setimbangnya:

0

atau

0 0'

x

aaxx


23

B.3 Sistem Persamaan Diferensial

Definisi 2.15 Sistem Persamaan Diferensial

Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n persamaan

diferensial dengan n buah fungsi yang tidak diketahui.

Definisi 2.16 Sistem Homogen

Sistem homogen dari n persamaan diferensial linear orde satu dengan koefisien

real, secara umum dapat ditulis, sebagai:

(2.14)

Sistem persamaan (2.13) dapat ditulis sebagai x' = Ax, dengan

Sebuah sistem disimulasikan dengan orde 1 persamaan diferensial biasa

(2.15)

nnnn

n

n

m aaa

aaa

aaa

tx

tx

tx

t

21

22221

11211

2

1

,

)(

)(

)(

)( Ax

2211

22221212

12121111

nnnnnn

nn

nn

xaxaxax

xaxaxax

xaxaxax

).,,,(

),,,(

21

2111

nnn

n

xxxtFx

xxxtFx


24

Definisi 2.17 Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial

Sistem Persamaan Diferensial x' = Ax, A matriks n x n memiliki penyelesaian

pada I: <t < jika ada n fungsi yang terdiferensialkan pada I dan memenuhi

sistem persamaan diferensial pada semua titik dalam I.

Definisi 2.18 Titik Setimbang (Equilibrium)

Diberikan sistem persamaan diferensial x' = Ax, titik setimbang (equilibrium)

adalah suatu penyelesaian yang memenuhi x' = Ax =0

Definisi 2.19 Titik Kritis

Penyelesaian x dimana Ax=0, sedemikian sehingga titik berkorespondensi dengan

penyelesaian konstan atau penyelesaian equilibrium dan disebut titik kritis.

Jika 0)det( A maka A-1

ada sehingga:

0

0

0)x(

)0()(

0

1-1-

1-1-

x

x I

AAA

AAxA

Ax

Definisi 2.20 Kestabilan

Suatu sistem dikatakan stabil bila terjadi perubahan kecil pada nilai awal, tidak

menimbulkan perubahan yang sangat besar pada hasilnya.


25

Gangguan pada sistem tidak memberikan pengaruh terhadap kestabilan

suatu sistem sehingga jika sistem tersebut stabil terhadap suatu gangguan maka

sistem akan stabil untuk gangguan yang ada.

Titik kritis dikatakan stabil jika untuk semua 0 ada 0 sedemikian

sehingga setiap penyelesaian )(tx dimana 0t , memenuhi 0)0( x ,

ada untuk semua t positif dan memenuhi 0)( xt untuk semua 0t .

Titik kritis dikatakan stabil asmptotik jika stabil dan jika ada

00 sedemikian sehingga penyelesaian )(tx memenuhi 0

0)0( x

maka 0)(lim x

t

t .

Penyelesaian 0x dari 0Ax dengan A adalah matriks berukuran 2 x 2,

sesuai dengan penyelesaian kesetimbangan dan disebut dengan titik kritis. Misal

A matriks non singular atau 0 ,0)det( xA adalah satu-satunya titik kritis

untuk sistem x' = Ax. Suatu penyelesaian dari x' = Ax adalah fungsi vektor x =

(t) yang memenuhi persamaan diferensial dan dapat dilihat sebagai representasi

parametrik pada kurva 21xx . Kurva tersebut dapat dianggap sebagai trayektori

(lintasan) yang dilalui oleh partikel bergerak dengan laju perubahan dt

dx yang

ditentukan oleh persamaan diferensial.


26

Definisi 2.21 Bidang Fase

Bidang 21xx dari suatu sistem persamaan yang dinyatakan sebagai diferensial

terhadap t.

Untuk menganalisis sistem x' = Ax harus mempertimbangkan beberapa

kasus yang tergantung pada sifat dari nilai eigen dari A. Ada lima kasus untuk

nilai eigen, yang diklarifikasikan sebagai berikut:

Kasus 1: Nilai Eigen Real Tidak Sama tetapi Tanda Sama

Pada kasus ini, penyelesaian umumnya adalah

(2.16)

dimana, 21 dan keduanya positif atau keduanya negatif. Misalkan

0 21 dan vektor eigen adalah (2)(1)dan VV . Oleh karena itu, x 0 sebagai

t untuk semua penyelesaian, dengan mengabaikan nilai 21 dan cc .

Jika penyelesaian dimulai dengan titik awal, pada garis melalui (1)V maka

0 1 c dan penyelesaian tetap pada garis. Demikian pula, jika titik awal pada garis

melalui (2)V , penyelesaian dapat ditulis sebagai:

(2.17)

Karena 0- 21 untuk 0 2 c , t

ec 21)1(

1

V diabaikan, dan dibandingkan

dengan membesar. untuk (2)

2 tc V

ttecec 21 )2(

2

)1(

1

VVx

)2(

2

)1(

1

)2(

2

)1(

121221 VVVVx ceceecec

tttt


27

Jadi, semua penyelesaian bersinggungan dengan (2)V pada titik ktitis x = 0

kecuali untuk penyelesaiannya tepat pada garis yang melalui (1)V . Jenis titik kritis

ini disebut node atau nodal sink.

Gambar 2.2 Node 0 21

Kasus 2: Nilai Eigen Real Berbeda Tanda


(2.18)

dimana, 0 1 dan 02 . Misalkan vektor eigen adalah (2)(1)dan VV dapat

dilihar pada gambar 2.2.

Satu-satunya penyelesaian yang mendekati titik kritis pada titik asal adalah

penyelesaian dimulai garis yang ditentukan oleh (2) V . Jenis titik kritis ini disebut

titik pelana.

ttecec 21 )2(

2

)1(

1

VVx


28

Gambar 2.3 Titik Pelana 0 1 , 02

Kasus 3: Nilai Eigen Sama

Misalkan 21 . Ada dua subkasus tergantung memiliki dua vektor

eigen atau bebas linear atau hanya satu, diklarifikasikan sebagai berikut:

a) Dua Eigen Vektor Bebas Linear


(2.19)

Dengan demikian, setiap lintasan terletak pada garis yang melewati titik

asal, seperti yang terlihat dalam gambar 2.4 di bawah ini. Titik kritis pada titik

asal disebut node proper atau titik star.

tr ecec )2(

2

)1(

1 VVx


29

Gambar 2.4 Titik Star 0 21

b) Satu Eigen Vektor Bebas Linear


(2.20)

Ketika nilai eigen ganda hanya memiliki satu nilai eigen yang bebas linear, titik

kritis disebut improper node atau degenerate node.

Gambar 2.5 Improper Node 0 21

ttt etecec ηVVx 21


30

Kasus 4: Nilai Eigen Kompleks dengan Bagian Real Tak Nol

Misalkan nilai eigen i , dimana dan bilangan real dengan

0dan 0 . Perhatikan pada sistem berikut:

atau dapat ditulis sebagai:

212

211

xxx

xxx

(2.21)

Koordinat polar r, dapat diberikan dengan:

Dengan mendiferensialkan persamaan di atas, diperoleh:

Mensubtitusikan ke persamaan (2.21), sehingga didapat:

penyelesaian diferensialnya adalah:

Persamaan ini adalah persamaan parametrik dalam koordinat polar dari

lintasan solusi untuk sistem x' = Ax. Karena 0 , berarti menurun saat t

membesar, maka arah gerak lintasan searah jarum jam. Jika 0 , maka r 0

xx

12

2

2

2

1

2 tan, xxxxr

2

11221

2

2211 sec, xxxxxxxxxrr

,rr

)0(,, 00 tcer t


31

bila t , sedangkan jika 0 maka r . Jadi lintasan berbentuk spiral,

yang mendekati titik asal tergantung pada tanda , dan titik kritis disebut titik

spiral.

Gambar 2.6 Titik Spiral 0

Gambar 2.7 Titik Spiral 0

Kasus 5: Nilai Eigen Kompleks dengan Bagian Real Nol

Misalkan nilai eigen i , dimana dan 0 real. Perhatikan pada

sistem berikut:

atau dapat ditulis

12

21

xx

xx

Pada kasus 4 menggunakan koordinat polar r, , sehingga menyebabkan:

xx

0

0

0, tcr


32

Dengan demikian, lintasan berbentuk lingkaran dengan pusat di titik asal yang

melintasi searah jarum jam jika 0 dan berlawanan jarum jam jika 0 . Titik

kritis disebut center.

Gambar 2.8 Center i1 , i2

Dari kelima kasus di atas dengan memeriksa gambar yang

berkorespondensi dapat diamati bahwa:

1. Setelah waktu lama, masing-masing lintasan menunjukkan salah satu dari tiga

jenis perilaku. Saat t , setiap lintasan mendekati titik kritis x=0, berulang

kali melintasi kurva tertutup yang mengelilingi titik kritis atau menjadi tidak

terbatas.

2. Dilihat secara keseluruhan, pola lintasan dalam setiap kasus relatif sederhana.

Untuk lebih spesifik, melalui setiap titik 00 , yx pada bidang fase hanya ada

satu lintasan, sehingga lintasan tidak saling silang. Kadang-kadang tampak

bahwa banyak lintasan melewati titik kritis x=0. Bahkan, satu-satunya

penyelesaian equilibrium x=0. Penyelesaian lain yang muncul melewati titik

awal, sebenarnya hanya mendekati titik ini saat t atau t .


33

3. Dalam setiap kasus himpunan semua lintasan sedemikian sehingga salah satu

dari tiga situasi terjadi, seperti berikut:

a. Semua lintasan mendekati titik kritis x=0, saat t . kasus ini terjadi

jika nilai-nilai eigen adalah real dan negatif atau kompleks dengan bagian

real negatif. Titik awal merupakan nodal sink atau spiral sink.

b. Semua lintasan tetap dibatasi tetapi tidak mendekati titik awal saat t .

Kasus tersebut terjadi jika nilai eigen murni imajiner. Titik awal

merupakan center.

c. Semua lintasan dan kemungkinan semua lintasan kecuali x=0 menjadi

tidak terbatas saat t . Kasus ini terjadi jika salah satu nilai-nilai eigen

positif atau nilai-nilai eigen memiliki bagian real positif. Titik awal ini

merupakan nodal source, spiral source, atau titik pelana.

Sifat kestabilan dari sistem linear x' = Ax dengan 0)-det( IA dan

0)det( A dirangkum dalam tabel 2.1 berikut:

Tabel 2.1 Sifat Kestabilan

Nilai Eigen Tipe dari Titik Kritis Kestabilan

021 Node Tidak Stabil

021 Node Stabil Asimpotik

21 0 Titik Pelana Tidak Stabil


34

021 Proper atau improper

node

Tidak Stabil

021 Proper atau improper

node

Stabil Asimpotik

i21, Titik Spiral

Tidak Stabil

Stabil Asimpotik

0

0

ii 21 , Center Stabil

Kestabilan suatu sistem persamaan diferensial dapat ditentukan dengan

melihat bentuk bidang fasenya.

Contoh 2.9

Carilah penyelesaian umum dari sistem:

xx

30

02'

Dari matriks tersebut matriks koefisiennya adalah diagonal matriks. Jadi, bentuk

skalar sistem di atas dapat ditulis sebagai berikut:

2

'

2

1

'

1

3

2

xx

xx


35

Setiap persamaan meliputi hanya satu variabel tidak diketahui, jadi didapatkan

penyelesaian seperti berikut:

t

t

ecx

ecx

3

22

2

11

Dapat ditulis penyelesaian dalam bentuk vektor, yaitu

tt

t

t

ececec

ec 3

2

2

13

2

2

1

1

0

0

1

x

Contoh di atas terdiri dari dua penyelesaian independen dari sistem yang

diberikan dalam bentuk fungsi exponensial perkalian dengan vektor.

Langkah-Langkah Mencari Penyelesaian Umum

Dalam sistem persamaan diferensial akan dicari penyelesaian umumnya

untuk mengetahui kestabilan pada bidang fase, dalam bentuk seperti pada

persamaan (2.14). Berikut adalah langkah-langkah dalam mencari penyelesaian

umum sistem persamaan diferensial:

1. Memisalkan penyelesaian dalam bentuk teVx , dimana dan vektor V

harus ditentukan.

2. Mensubtitusikan teVx ke Axx

' sehingga diperoleh:

0

I)V-A

AVV

AVV

(

tt ee


36

3. Mencari vektor eigen untuk setiap nilai eigen

4. Mensubtitusikan vektor eigen yang diperoleh ke dalam pemisalan pada

langkah (1)

Contoh 2.10

Carilah penyelesaian umum dari sistem persamaan berikut dan gambarkan bidang

fasenya untuk memperlihatkan lintasan kestabilannya.

21

'

2

21

'

1

4 xxx

xxx

Penyelesaian:

Sistem di atas dapat ditulis sebagai:

xx

14

11'

Sehingga diperoleh:

2

1 ;

14

11

x

xxA

Akan dicari vektor dan nilai eigen dari A. Misalkan V adalah vektor eigen dan λ

adalah nilai eigen dari A.

Misalkan x = Vert maka (A-λI)V = 0

0

0

14

11

2

1

v

v


37

Penyelesaian untuk mencari nilai eigen dengan det(A-λI)=0

didapat λ 1 = 3 dan λ2 = -1

i. Vektor eigen untuk λ1 = 3

Diselesaikan dengan operasi baris tereduksi didapat:

)1)(3(324)1(14

1122

0

0

24

12

0

0

314

131

2

1

2

1

v

v

v

v0VIA

2

1

2

12

1

3untuk eigen vektor diperoleh sehingga

2

1 maka Misalkan

2

1atau

00

02

11

:persamaandiperoleh

000

02/11

024

02/11

024

012

2

1

1

12

21

2

21

p

p

p

v

v

pvpv

vv

v

vv

(1)V


38

ii. Vektor eigen untuk λ2 = -1

Diselesaikan dengan operasi baris tereduksi didapat:

2

1

2

12

1

2untuk eigen vektor diperoleh

2

1 maka Misalkan

2

1

2

12

s

s

s

v

v

svsv

(2)V

Untuk penyelesaian persamaan x = Vert adalah

0

0

24

12

0

0

114

111

2

1

2

1

v

v

v

v0VIA

.2

1

atau

00

02/11

:persamaanDiperoleh

000

02/11

024

02/11

024

012

21

2

2

1

vv

v

vv

t

t

et

et

2

1)(

2

1)(

)2(

3)1(

x

x


39

Dengan demikian, diperoleh penyelesaian umumnya adalah

Untuk mengambarkan bidang fasenya, akan dituliskan sebagai:

1

3

12

3

11

3

1

2

1

2

22

:diperolehakan atau

2

1)(

maka 0 Jika

xecx

ecx

ecx

xt

c

t

t

t

x

1

3

22

3

21

3

2

2

1

1

22

:diperolehatau

2

1)(

maka 0 Jika

xecx

ecx

ecx

xt

c

t

t

t

x

tt ecec

tctct

2

1

2

1

)()()(

2

3

1

)2(

2

)1(

1 xxx


40

Gambar 2.9 Bidang fase x1 dan x2

Pada gambar 2.9 menunjukan bentuk bidang fase yang disebut bentuk titik pelana.

Titik pelana selalu tidak stabil, bila t membesar akan menjauhi titik pusat (0,0)

dan tampak pada titik (0,0) tidak stabil.

C. METODE RUNGE-KUTTA ORDE 4

Kebanyakan permasalahan dalam bidang keteknikan dan sains

memerlukan penyelesaian simulasi dari sistem persamaan diferensial daripada

persamaan tunggal. Secara umum sistem persamaan diferensial direprentasikan

sebagai berikut:


41

,...,,,

.

.

.

,...,,,

,...,,,

21

2122

2111

nn

n

n

n

xxxtfdt

dx

xxxtfdt

dx

xxxtfdt

dx

(2.22)

Metode Runge-Kutta Orde 4 mempunyai skema sebagai berikut:

226

43211 kkkkh

xx kk (2.23)

dengan,

),(

)2

,2

(

)2

,2

(

),(

31,4

2,3

1,2

,1

khxhtfk

kh

xh

tfk

kh

xh

tfk

xtfk

kkss

kkss

kkss

kkss

(2.23a)

(2.23b)

(2.23c)

(2.23d)

Contoh 2.11

Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut dengan menggunakan metode

Runge-Kutta Orde 4, dengan asumsi

. 5.0dan ]2,0[dengan ,6 dan,4,0 21 htxxt

122

11

1.03.04

5.0

xxdt

dx

xdt

dx


42

Penyelesaian:

45.62

5.0)8.1(6

2

5.32

5.0)2(4

2

8.1)4(1.0)6(3.04)6,4,0(

2)4(5.0)6,4,0(

2,12

1,11

22,1

11,1

hkx

hkx

fk

fk

42875.62

5.0)715.1(6

2

5625.32

5.0)75.1(4

2

1.715)45.6,5.3,25.0(

1.75)45.6,5.3,25.0(

2,22

1,21

22,2

11,2

hkx

hkx

fk

fk

6.8576701.631794-1.715125)2(1.7151.86

0.56(0.5)

3.1152341.554688-1.78125)-2(-1.752-6

0.54(0.5)

631794.1)857563.6,109375.3,5.0(

1.554688)857563.6,109375.3,5.0(

857563.6)5.0)(78125.1(6

109375.3)5.0)(78125.1(4

1.715125)42875.6,5625.3,25.0(

1.78125)42875.6,5625.3,25.0(

2

1

22,4

11,4

2,32

1,31

22,3

11,3

x

x

fk

fk

hkx

hkx

fk

fk

kemudian langkah selanjutnya untuk

)0.2(dan ),0.2(),5.1(),5.1(),0.1(),0.1( 212121 yyyyyy


43

didapat:

t x1 x2

0 4 6

0.5 3 6.9

1.0 2.25 7.715

1.5 1.6875 8.44525

2.0 1.265625 9.094087


44

BAB III

MODEL PENYEBARAN PENYAKIT

Bab ini akan membahas mengenai dinamika populasi vektor dan manusia

yang terjangkit penyakit tidur untuk memodelkan penyebaran penyakit tidur.

A. PENYEBARAN PENYAKIT TIDUR

Tsetse adalah carrier (pembawa) parasit Trypanosomiasis, Tsetse tidak

menghasilkan racun dan tidak berbahaya sebelum lalat tersebut tertular parasit

Trypanosomiasis. Lalat ini menghisap darah. Apabila darah korbannya telah

terinfeksi Trypanosomiasis maka Tsetse akan tertular parasit tersebut dan dapat

menyebarkan ke korban-korban berikutnya yang dihisap darahnya, karena air liur

dari lalat ini ikut masuk ke dalam lubang gigitan saat ia menghisap darah.

Parasit Trypanosomiasis, menyebabkan demam, migrain dan

menimbulkan kantuk yang luar biasa. Korban dapat tertidur yang disebut dengan

Sleeping Sickness), dan bila tidak segera disembuhkan maka korbannya tidak akan

pernah bangun lagi (meninggal). Binatang ataupun manusia dapat terinfeksi

parasit ini dan juga dapat saling menularkan dengan perantara lalat tsetse.

Lalat tsetse merupakan vektor bagi penyakit tripanosomiasis. Gejala dan

tanda penyakit yang disebabkan tripanosomiasis ini dapat bervariasi dan

umumnya dibagi atas 3 fase :


45

1. Fase awal (Initial stage)

Ditandai dengan timbulnya reaksi inflamasi lokal pada daerah gigitan

lalat tsetse. Reaksi inflamasi dapat berkembang menjadi bentuk parut (

primary chancre). Reaksi inflamasi ini biasanya mereda dalam waktu 1-2

minggu.

2. Fase penyebaran (Haemoflagellates stage)

Setelah fase awal mereda, parasit masuk ke dalam darah dan kelenjar

getah bening (parasitemia). Gejala klinis yang sering muncul adalah demam

yang tidak teratur, sakit kepala, nyeri pada otot dan persendian. Tanda klinis

yang sering muncul antara lain: Lymphadenopati, lymphadenitis yang terjadi

pada bagian posterior kelenjar cervical (Winterbotton’s sign), papula dan rash

pada kulit. Pada fase ini juga terjadi proses infiltrasi perivascular oleh sel-sel

endotel, sel limfoid dan sel plasma, hingga dapat menyebabkan terjadinya

pelunakan jaringan iskemik dan perdarahan di bawah kulit (ptechial

haemorhagic). Parasitemia yang berat (toksemia) dapat mengakibatkan

kematian pada penderita.

3. Fase kronik (Meningoencephalitic stage)

Pada fase ini terjadi invasi parasit ke dalam susunan saraf pusat dan

mengakibatkan terjadinya meningoenchepalitis difusa dan meningomyelitis

yakni demam dan sakit kepala. Terjadi gangguan pola tidur, insomnia pada

malam hari dan mengantuk pada siang hari. Gangguan ekstrapiramidal dan

keseimbangan otak kecil menjadi nyata. Pada kondisi yang lain dijumpai juga

perubahan mental yang sangat nyata. Gangguan gizi umumnya terjadi dan


46

diikuti dengan infeksi sekunder oleh karena immunosupresi. Jumlah lekosit

normal atau sedikit meningkat. Bila tercapai stadium tidur terakhir, penderita

sulit dibangunkan atau mengalami kematian. Penyakit tidur ini juga diperberat

oleh penyakit lain seperti malaria, disentri, pneumonia atau juga kelemahan

tubuh.

B. MODEL KOMPARTEMEN

Perpindahan / penyebaran penyakit tidur dapat diilustrasikan pada gambar

3.1 berikut:

Gambar 3.1 Siklus Perpindahan Parasit: Manusia dan Lalat

Keterangan :

= Lalat yang terinfeksi = Manusia yang terinfeksi

= Lalat sehat = Manusia sehat

waktu


47

Pada gambar tersebut dapat diamati bahwa lalat tsetse yang terinfeksi oleh

penyakit tidur akan menginfeksi manusia yang sehat. Manusia tersebut terkena

parasit dan selanjutnya menjadi terinfeksi. Manusia yang sudah terinfeksi digigit

oleh lalat sehat, sehingga lalat tersebut menjadi terinfeksi penyakit. Manusia yang

terinfeksi penyakit dapat sembuh dari penyakit atau akan mati. Namun, dalam

model ini diasumsikan bahwa setelah terinfeksi manusia akan sembuh. Dan lalat

yang terinfeksi akan kembali menginfeksi manusia yang sehat. Siklus ini akan

berlangsung secara terus-menerus.

Model ini memiliki dua variabel (dan karenanya dalam bahasa

epidemiologi disebut model dua kompartemen), yakni lalat yang terinfeksi dan

manusia yang terinfeksi. Banyaknya lalat dan manusia yang rentan (tidak

terinfeksi) diketahui karena banyaknya lalat dan manusia keseluruhan

diasumsikan konstan.

Penyebaran penyakit tidur akan dimodelkan dengan persamaan yang

berkaitan dengan variabel dan parameter. Lalat disebut dengan istilah “vektor”

karena sebagai sarana penyebaran parasit. Ada masa inkubasi bagi manusia dan

lalat. Masa inkubasi manusia adalah masa saat penyakit masuk ke dalam tubuh

sampai saat timbul gejala penyakit. Sedangkan masa inkubasi pada vektor adalah

masa saat vektor akan terinfeksi oleh penyakit tidur tersebut. Ketika lalat tsetse

menggigit manusia yang terinfeksi penyakit tidur, lalat memasuki masa inkubasi

namun belum bisa membawa parasit. Lalat tsetse mempunyai masa inkubasi

sekitar 25 hari dan harapan hidupnya sekitar 45 hari.


48

Misalkan V(t) adalah total banyaknya vektor pada waktu t, Vs(t) adalah

banyaknya vektor rentan (dapat terinfeksi penyakit ), Vi(t) adalah banyaknya

vektor pada masa inkubasi, dan Va(t) adalah banyaknya vektor terinfeksi aktif,

maka

aktif i terinfeksyang

vektor banyaknya

inkubasi masa pada

vektor banyaknya

rentanvektor

banyaknya

vektor

banyaknya

atau dapat ditulis sebagai

)( )( )( tVtV(t)VtV ais (3.1)

Demikian pula dimisalkan H(t) adalah total banyaknya manusia, Hs(t)

adalah banyaknya manusia yang rentan terhadap penyakit, Ha(t) adalah banyaknya

manusia yang terinfeksi penyakit, dan Hr(t) adalah banyaknya manusia sembuh,

maka

sembuh manusia

banyaknya

penyakit i terinfeks

manusia banyaknya

rentan manusia

banyaknya

manusia

banyaknya

atau dapat ditulis sebagai:

)()( )( )( tHtHtHtH ras (3.2)


49

Siklus penyebaran penyakit pada vektor diilustrasikan pada gambar

sebagai berikut,

Gambar 3.2 Model Kompartemen Vektor

Vektor yang rentan akan memasuki masa inkubasi sekitar 25 hari dan

vektor dapat mengalami kematian dengan laju m. Pada masa inkubasi, vektor juga

dapat mengalami kematian dengan laju m, dan vektor akan kembali memasuki

masa rentan dengan laju b, serta vektor akan memasuki tahap terinfeksi dengan

laju q. Pada saat vektor masuk dalam tahap terinfeksi, vektor dapat mengalami

kematian dengan laju m, dan vektor juga akan kembali memasuki masa rentan

dengan laju b.

Namun, dalam model penyebaran penyakit tidur dalam makalah ini, pada

vektor diasumsikan bahwa vektor yang berada pada tahap terinfeksi tidak kembali

sembuh atau kembali ke masa rentan. Model ini juga diasumsikan bahwa vektor

pada tahap rentan tidak masuk ke masa inkubasi. Serta model ini tidak

q waktu

m waktu

m waktu

b waktu b

waktu

m waktu

k(Vc – V(t))

Rentan

Vs (t)

Terinfeksi

Va (t)

Inkubasi

Vi(t)


50

mempertimbangkan banyaknya vektor yang mengalami migrasi, sehingga model

kompartemen vektor menjadi seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.3:

Gambar 3.3 Model Kompartemen Vektor pada Model

Sedangkan siklus penyebaran penyakit pada manusia diilustrasikan

pada Gambar 3.4:

Gambar 3.4 Model Kompartemen Manusia

Setelah masa inkubasi manusia yang singkat yaitu sekitar 12 hari, manusia

memasuki tahap terinfeksi penyakit, dimana manusia terinfeksi oleh parasit ketika

Terinfeksi

Ha (t)

Sembuh

Hr (t)

Rentan

Hs (t)

b waktu

r1

r2

Inkubasi

Vi(t)

Rentan

Vs (t)

b waktu

q waktu

m waktu

m waktu

Terinfeksi

Va (t)


51

digigit oleh vektor. Ketika manusia masuk tahap terinfeksi penyakit, manusia

memasuki tahap sembuh dengan laju r1, dan kembali memasuki masa rentan

dengan laju b. Pada saat manusia masuk dalam tahap sembuh, manusia kembali

memasuki masa rentan dengan laju r2. Ketika manusia kembali memasuki masa

rentan, manusia dapat memasuki kembali ke tahap terinfeksi.

C. MODEL MATEMATIKA TENTANG GIGITAN VEKTOR

Vektor menggigit manusia rata-rata tiga hari sekali (Shier, 1999) sehingga

dalam model ini akan mempertimbangkan model kontinu dimana unit waktu

adalah tiga hari. Banyaknya vektor menggigit didekati dengan banyaknya manusia

yang ditandai dengan timbulnya gejala-gejala penyakit. Pada model penyebaran

penyakit tidur ini menggunakan simbol-simbol untuk menghitung suatu

probabilitas, yaitu:

τ1 = Probabilitas vektor menggigit seorang manusia selama unit waktu (tiga hari).

τ2 = Probabilitas vektor rentan yang akhirnya menjadi terinfeksi setelah

menggigit seorang yang terinfeksi.

τ3 = Probabilitas seorang manusia rentan yang digigit oleh vektor terinfeksi dan

akhirnya menjadi terinfeksi.

Dalam model gigitan vektor diasumsikan bahwa seekor vektor dari

sekumpulan A0 vektor akan menggigit seorang manusia dengan probabilitas

sebesar τ1. Misalkan τ1= 0.2, artinya dalam 10 kali pertemuan vektor dengan


52

manusia, kemungkinan vektor akan menggigit sebanyak 2 kali. Dari persamaan

(3.2), diasumsikan bahwa banyaknya manusia yang mungkin digigit seekor vektor

bergantung pada banyaknya manusia yang rentan dan terinfeksi sehingga dapat

ditulis persamaan sebagai berikut:

)( )( )( )( tHtHtHtH ras (3.3)

Diasumsikan juga bahwa proporsi vektor yang akan menggigit adalah w

yang nilainya di antara 0 dan 1. Vektor menggigit manusia tiga hari sekali dengan

probabilitas sebesar τ1. Banyaknya manusia yang terinfeksi didekati oleh

banyaknya vektor yang menginfeksi manusia. Banyaknya manusia terinfeksi yang

mendapat pengobatan maka sistem kekebalan tubuh akan meningkat sehingga

manusia menjadi sembuh. Probabilitas seorang manusia sembuh yang digigit oleh

wA0 vektor adalah:

mengigitakan yang

vektorbanyaknya

mengigit tidak yang

vektor proporsi

digigitdapat yang

manusia banyaknya

infeksikan mengakibattidak

yangktor gigitan ve proporsi

digigitdapat yang

manusia banyaknya

eksidan terinfdigigit yang

manusia banyaknya

terinfeksidan tidak digigit yang

manusia banyaknya

kembali infeksi tidak ter tetapi

digigit yang i terinfeksmanusia banyaknya

digigitdapat yang

manusia banyaknya

pengobatanmendapat yang

i terinfeksmanusia banyaknya

sembuh yang

manusia asprobabilit


53

Atau dapat dinyatakan sebagai:

1)()(

1)()()(

0

1wAwtHtH

wtHtHtH

r

r

r

1)()(

)()(

0

w

wAtHtH

tHtH

r

r

(3.4)

Dari persamaan (3.4) populasi vektor samaran dapat didekati oleh banyaknya

vektor menggigit yang mengakibatkan terinfeksi yaitu:

w

wAA

1

0 (3.5)

Banyaknya vektor yang menggigit seorang manusia terinfeksi didekati oleh

banyaknya manusia yang terinfeksi. Probabilitas bahwa vektor menggigit seorang

manusia yang terinfeksi yaitu:

infeksikan mengakibat yang

menggigit vektor banyaknya

terinfeksidan tidak digigit

yang manusia banyaknya

penyakit i terinfeks

manusia banyaknya

digigitdapat yang

manusia banyaknya

penyakit terinfeksi

manusia banyaknya

terinfeksidan tidak i terinfeksmanusia

menggigit yang vektor banyaknya

i terinfeksmanusia seorang


i terinfeksyang manusia seorang

menggigit vektor asprobabilit


54

)()(

)(

AtHtH

tH

r

a

(3.6)

Banyaknya vektor yang menggigit seorang manusia rentan didekati oleh

banyaknya manusia yang rentan. Probabilitas vektor menggigit seorang manusia

yang rentan yaitu:

rentandan tidak rentan manusia


rentan manusia seorang


rentan yang manusia seorang


AtHtH

tH

r

s

))()((

)(

digigitdapat yang

manusia banyaknya

rentan yang

manusia banyaknya

))()((

)()()(

AtHtH

tHtHtH

r

ra

(3.7)

D. DINAMIKA POPULASI VEKTOR

Dinamika populasi vektor merupakan ilmu yang mempelajari tingkat

pertumbuhan dan penurunan atau perubahan banyaknya vektor dalam populasi.

Dalam model penyebaran penyakit tidur pada vektor diasumsikan:


55

1. Banyaknya vektor konstan

2. Vektor hanya menggigit manusia

3. Vektor menggigit manusia rata-rata 3 hari sekali

4. Vektor rentan terhadap penyakit

5. Vektor mempunyai masa inkubasi 25 hari

Untuk memahami dinamika populasi vektor, didefinisikan:

Vs(t) = banyaknya vektor yang rentan ( dapat terinfeksi penyakit )

Vi(t) = banyaknya vektor pada masa inkubasi

Va(t) = banyaknya vektor yang terinfeksi aktif

Model penyebaran penyakit tidur pada vektor secara umum diasumsikan

memiliki mekanisme migrasi yang sederhana, yaitu selama interval waktu dt,

pertumbuhan alami dari banyaknya vektor rentan disebabkan oleh migrasi.

Migrasi hanya terjadi pada kelompok vektor yang rentan. Banyaknya vektor yang

mengalami migrasi dipengaruhi oleh nilai Vc, yakni nilai kritis dari total populasi

vektor. Bila total populasi vektor tersebut di bawah dari nilai kritis maka akan

mengalami imigrasi dan bila di atas dari nilai kritis maka akan mengalami

emigrasi. Banyaknya vektor yang mengalami migrasi menjadi vektor rentan dapat

diukur dari besarnya arus migrasi dikalikan dengan selisih nilai kritis dari total

populasi vektor dengan total populasi vektor, atau dapat dinyatakan sebagai

berikut:


56

vektor

populasi total

vektorpopulasi

totaldari kritis nilai

migrasi arus

besarnya

rentan vektor menjadi

migrasi mengalami yang

vektor banyaknya

))(( tVVk c (3.8)

Vektor pada masa inkubasi saat pertama kali menggigit manusia yang

terinfeksi, vektor itu menjadi terinfeksi. Banyaknya vektor pada kelompok masa

inkubasi dimisalkan V(t)b dengan b laju kelahiran vektor, vektor yang berisiko

terinfeksi juga sebanyak V(t)b.

Perubahan banyaknya vektor pada suatu kelompok adalah banyaknya

vektor yang masuk dalam kelompok tersebut dikurangi dengan banyaknya vektor

yang keluar dari kelompok tersebut. Persamaan perubahan untuk banyaknya

vektor pada masa inkubasi selama waktu t adalah

kematian mengalami

inkubasi masa pada

vektorbanyaknya

rentan menjadi

inkubasi masa pada

vektorbanyaknya

i terinfeksmenjadi

inkubasi masa pada

vektorbanyaknya

inkubasi masamasuk

vektorbanyaknya

inkubasi masa darikeluar

vektorbanyaknya

inkubasi masamasuk

vektorbanyaknya)(

t

tVi

mtVbtVqtVbtV iii )()()()(

))(()()( mqtVbtVtV ii (3.9)

btVtV i )()( merupakan perubahan banyaknya vektor terinfeksi dan rentan


57

inkubasi masamasuk

vektorbanyaknya

i terinfeksyang manusia


i terinfeksmenjadi

rentan vektor asprobabilit

btVArHtH

tH

r

a )()()(

)( 2

(3.10)

Dengan demikian,

)()(

)()()( )(

)()(

)()()()(

2

2

AtHtH

tHbtVbtVbtV

AtHtH

tHbtVbtVtV

r

a

i

r

a

i

AtHtH

tHbtV

r

a

)()(

)(1)( 2

(3.11)

Pada saat 0t , laju perubahan banyaknya vektor pada masa inkubasi adalah

dt

dV

t

tV ii

t

)(lim

0

= )()())()((

)()( 2 mqtVAtHtH

tHbtVi

r

a

(3.12)

Berdasarkan asumsi pada model ini, perubahan banyaknya vektor yang

terinfeksi hanya melewati tahap terinfeksi dan kematian. Persamaan perubahan

untuk banyaknya vektor yang terinfeksi adalah sebagai berikut:


58

mtVqtV

t

tV

ai

a

)()(

kematian mengalami yang

rinfeksi vektor tebanyaknya

i terinfeks tahapke

masuk inkubasi masa pada

vektorbanyaknyaperubahan

i terinfeks tahapdarikeluar

vektorbanyaknya

i terinfeks tahapkemasuk

vektorbanyaknya)(

mtVqtVtVtV aas )()()()( (3.13)

Pada saat 0t , laju perubahan banyaknya vektor yang terinfeksi adalah

dt

tdV

t

tV aa

t

)()(lim

0

mtVqtVtVtV aas )()()()( (3.14)

Persamaan perubahan untuk banyaknya vektor rentan adalah

kematian mengalami yang

rentan vektor banyaknya

rentan vektor menjadi

migrasi mengalami yang

vektor banyaknya

rentan tahapkemasuk

inkubasi masa pada

vektor banyaknya

rentan tahapkekeluar

vektor banyaknya

rentan tahapkemasuk

vektor banyaknya)(

t

tVs

mtVtVVkbtV sci )())(()( (3.15)

Dari persamaan (3.12) diperoleh:

)())((

)()(

)()()(

)( 2 mtVtVVkAtHtH

tHbtVbtV

t

tVsc

r

as


59

= mtVtVVkAtHtH

tHbtV sc

r

a )())(()()(

)(1)( 2

(3.16)

Pada saat 0t , laju perubahan banyaknya vektor rentan adalah

)()(

lim0 dt

tdV

t

tV ss

t

)())(()()(

)(1)( 2 mtVtVVk

AtHtH

tHbtV sc

r

a

(3.17)

Bila faktor migrasi diabaikan maka persamaan (3.17) akan menjadi:

mtVAtHtH

tHbtV

dt

tdVs

r

as )()()(

)(1)(

)( 2

(3.18)

Dari persamaan (3.12), (3.14), dan (3.18) membentuk sistem persamaan

diferensial, yaitu:

)())()((

)(1)(

)(

)()()()()(

)()())()((

)()()(

2

2

mtVAtHtH

tHbtV

dt

tdV

mtVqtVtVtVdt

tdV

mqtVAtHtH

tHbtV

dt

tdV

s

r

as

aas

a

i

r

ai

Untuk mendapatkan gambaran pemodelan penyebaran penyakit tidur pada

vektor ini, diberikan suatu contoh ilustrasi dari bentuk sistem persamaan

diferensial biasa di atas. Dengan penghitungan yang diilustrasikan terhadap total


60

banyaknya manusia diasumsikan konstan sejumlah 300 manusia. Banyaknya

manusia rentan, terinfeksi penyakit, dan sembuh masing-masing adalah 100

manusia, serta nilai-nilai parameter model yang digunakan dirangkum dalam

Tabel 3.1 (Shier, 1999).

Tabel 3.1 Nilai Parameter untuk Ilustrasi

Parameter Deskripsi Nilai

H total banyaknya manusia 300

Hs banyaknya manusia rentan 100

Ha banyaknya manusia terinfeksi penyakit 100

Hr banyaknya manusia sembuh 100

τ1 probabilitas vektor menggigit seorang manusia 0.1

τ2 probabilitas vektor rentan menjadi terinfeksi 0.1

τ3 probabilitas seorang manusia rentan digigit

oleh vektor terinfeksi

0.1

q laju perubahan vektor pada masa inkubasi

masuk ke tahap terinfeksi

0.12 per

hari

r1 laju perubahan manusia terinfeksi masuk ke

tahap sembuh

0.0075

per hari


61

r2 Laju perubahan manusia sembuh masuk ke

tahap rentan

0.0075

per hari

b

laju kelahiran vektor

1/15 per

hari

m

laju kematian vektor

1/15 per

hari

A0 sekumpulan vektor 100

w proporsi gigitan vektor yang menyebabkan

infeksi

0.5

Dari menggunakan nilai-nilai parameter tersebut didapat sistem persamaan

diferensial dengan unit waktu 3 hari, sebagai berikut:

sai

i VVVdt

dV001.0001.062.0.0

(3.19)

022.004.0 ai

a VVdt

dV

(3.20)

sai

s VVVdt

dV001.0022.0022.0

(3.21)

Dari persamaan di atas didapat:


62

s

a

i

V

V

V

001.0022.0022.0

0022.004.0

001.0001.0062.0

'V

Untuk menyelesaikan system persamaan di atas, misalkan:

s

a

i

V

V

V

VA ,

001.0022.0022.0

0022.004.0

001.0001.0062.0

Sehingga, sistem di atas dapat ditulis sebagai AVV ' . Penyelesaian dari sistem

tersebut diperoleh dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen dari A. Misalkan

B adalah vektor eigen dan λ adalah nilai eigen dari A, maka penyelesaian sistem

persamaan diferensial tersebut adalah V = Bert

.

Nilai eigen dan vektor eigen dari A diperoleh melalui (A-λI)B = 0, yaitu:

0

0

0

001.0022.0022.0

0022.004.0

001.0001.0062.0

3

2

1

b

b

b

(3.22)

Nilai eigen merupakan penyelesaian dari det(A-λI)=0, yaitu

0

001.0022.0022.0

0022.004.0

001.0001.0062.0

Dengan menggunakan perintah MATLAB diperoleh tiga nilai eigen, yaitu

λ1 = -0.063, λ2 = -0.022, dan λ3 = 0

i. Vektor eigen untuk λ1 = -0.187


63

Dari persamaan (3.22), dengan mensubtitusikan λ1 = -0.063 diperoleh:

0

0

0

062.0022.0022.0

004.004.0

001.0001.0001.0

0

0

0

063.0001.0022.0022.0

0063.0022.004.0

001.0001.0063.0062.0

0-

3

2

1

3

2

1

b

b

b

b

b

b

BIA

Penyelesaian sistem di atas diperoleh dengan operasi baris elementer, terhadap

matriks koefisien, sehingga didapat:

000

100

011

062.0022.0022.0

004.004.0

001.0001.0001.0

Dengan demikian,

0

0

0

000

100

011

atau

000

100

011

3

2

1

b

b

b

0B

Dari penyelesaian di atas, diperoleh persamaan:

0

0

3

2121

b

bbbb

Misal cb 2 maka cb 1 , sehingga diperoleh vektor eigen dengan nilai eigen λ1

= -0.187 adalah:

0

1

1

0

3

2

1

(1) cc

c

b

b

b

B


64

ii. Vektor eigen untuk λ2 = -0.022

Dari persamaan (3.22), dengan mensubtitusikan λ2 = -0.022 diperoleh:

0

0

0

022.0022.0022.0

0004.0

001.0001.004.0

0

0

0

022.0001.0022.0022.0

0022.0022.004.0

001.0001.0022.0062.0

0-

3

2

1

3

2

1

b

b

b

b

b

b

BIA



Dengan demikian,

0

0

0

000

110

001

atau

000

110

001

3

2

1

b

b

b

0B


3232

1

0

0

bbbb

b

Misal cb 3 maka cb 2 , sehingga diperoleh vektor eigen dengan nilai eigen λ2

= -0.067 adalah:

000

110

001

022.0022.0022.0

0004.0

001.0001.004.0


65

1

1

0 0

3

2

1

(2) c

c

c

b

b

b

B

iii. Vektor eigen untuk λ3 = 0

Dari persamaan (3.22), dengan mensubtitusikan λ3 = 0 diperoleh:

0

0

0

001.0022.0022.0

0022.004.0

001.0001.0062.0

0

0

0

0001.0022.0022.0

00022.004.0

001.0001.00062.0

0-

3

2

1

3

2

1

b

b

b

b

b

b

BIA



000

0289.010

0166.001

001.0022.0022.0

0022.004.0

001.0001.0062.0

Dengan demikian,

0

0

0

000

0289.010

0166.001

atau

000

0289.010

0166.001

3

2

1

b

b

b

0B


3232

3131

0289.00289.0

0166.00166.0

bbbb

bbbb


66

Misal cb 3 maka cbcb 0289.0dan 0166.0 21 , sehingga diperoleh vektor

eigen dengan nilai eigen λ3 = 0 adalah:

1

0289.0

0166.0

0289.0

0166.0

3

2

1

(3) c

c

c

c

b

b

b

B

Jadi, penyelesaian umum untuk persamaan AVV ' , dengan V = Bert, yaitu:

t

t

t

e

e

e

0(3)

022.0(2)

063.0(1)

1

0289.0

0166.0

1

1

0

0

1

1

V

V

V

Dengan demikian, diperoleh penyelesaian umumnya adalah:

ttt ececec

tctctct

0

3

022.0

2

063.0

1

(3)

3

(2)

2

(1)

1

1

0289.0

0166.0

1

1

0

0

1

1

)()( )()(

VVVV

Bila diketahui t=0 dengan nilai awalnya 60dan 40 ,30 sai VVV maka

dapat diperoleh penyelesaian khususnya, sebagai berikut:


67

1

0289.0

0166.0

1

1

0

0

1

1

)(

)(

)(

3

067.0

2

187.0

1 cecec

tV

tV

tVtt

s

a

i

(3.23)

Jika t=0

1

0289.0

0166.0

1

1

0

0

1

1

)0(

)0(

)0(

321 ccc

V

V

V

s

a

i

Dengan nilai awal 60dan 40 ,30 sai VVV , sehingga diperoleh:

1

0289.0

0166.0

1

1

0

0

1

1

60

40

30

321 ccc

(3.24)

Dari persamaan (3.24) dapat dituliskan, sebagai berikut:

32

321

31

60

0289.040

0166.030

cc

ccc

cc

Dengan menggunakan perintah MATLAB diperoleh nilai konstanta, yaitu:

3424.124

3424.64

9359.27

3

2

1

c

c

c

Dari persamaan (3.23) dengan nilai konstanta di atas diperoleh penyelesaian

khususnya, yaitu:


68

1

0289.0

0166.0

3424.124

1

1

0

3424.64

0

1

1

9359.27

)(

)(

)(022.0063.0 tt

s

a

i

ee

tV

tV

tV

Dengan demikian, penyelesaian khususnya dapat dituliskan, sebagai berikut:

064.29359.27)( 063.0 t

i etV (3.25)

593.33424.649359.27)( 022.0063.0 tt

a eetV (3.26)

3424.1243424.64)( 022.0 t

s etV (3.27)

Dalam dinamika populasi vektor terdapat tiga variabel, yaitu sdan , VVV ai ,

sehingga tidak mudah untuk mengilustrasikan dalam bidang fase. Dengan

demikian, untuk menggambarkan sifat kestabilannya akan diamati dua variabel,

yaitu sasiai VVVVVV dan , .

i. Bidang Fase untuk aiVV

Sistem persamaan diferensial untuk aiVV menjadi, sebagai berikut:

ai

i VVdt

dV001.0062.0

(3.28)

022.004.0 ai

a VVdt

dV

(3.29)


69

Gambar 3.5 Bidang Fase aiVV

ii. Bidang Fase untuk siVV

Sistem persamaan diferensial untuk siVV menjadi, sebagai berikut:

si

i VVdt

dV001.0062.0

(3.30)

si

s VVdt

dV001.0022.0

(3.31)

Gambar 3.6 Bidang Fase siVV


70

iii. Bidang Fase untuk saVV

Sistem persamaan diferensial untuk saVV menjadi sebagai berikut:

022.0 a

a Vdt

dV

(3.32)

sa

s VVdt

dV001.0022.0

(3.33)

Gambar 3.7 Bidang Fase saVV

Titik setimbang untuk dinamika populasi vektor, yaitu 0' dt

dVV .

Dengan demikian, titik setimbang untuk banyaknya vektor pada masa inkubasi,

terinfeksi dan rentan adalah

0001.0001.0062.0 sai

i VVVdt

dV

(3.34)


71

0 022.004.0 ai

a VVdt

dV

(3.35)

0 001.0022.0022.0 sai

s VVVdt

dV

(3.36)

Persamaan (3.34), (3.35), dan (3.36) merupakan SPLH (Sistem

Penyelesaian Linear Homogen), bila dituliskan bentuk matriks, diperoleh sebagai

berikut:

0

0

0

001.0022.0022.0

0022.004.0

001.0001.0062.0

s

a

i

V

V

V

SPLH di atas dapat diselesaikan dengan operasi baris elementer, dan diperoleh:

0

0

0

000

0289.010

0166.001

s

a

i

V

V

V

Dari hasil operasi baris elementer di atas, didapat persamaan sebagai berikut:

00166.0 si VV (3.37)

00289.0 sa VV (3.38)

Dengan demikian, persamaan (3.37) dan (3.38) dapat diperoleh:

sa

si

VV

VV

0289.0

0166.0

Misal cVs maka


72

cVi 0166.0 (3.39)

cVa 0289.0 (3.40)

cVs

(3.41)

Bila 65.124c , dengan demikian persamaan (3.39), (3.40) dan (3.41) dapat

diperoleh bahwa titik setimbang untuk ketiga kelompok vektor tersebut adalah:

65.124

602.3

069.2

s

a

i

V

V

V

Hasil sai VVV dan , , yang diperoleh di atas merupakan titik kritis, berdasarkan

definisi 2.20 tentang kestabilan bahwa: dinamika populasi vektor memiliki sifat

stabil karena *)0( VV dan stabil asimptotik karena *)(lim VtVt

.

Sistem persamaan diferensial (3.19), (3.20), dan (3.21) dapat diselesaikan

secara numeris dengan perintah ODESOLVE pada MATLAB yang menggunakan

Metode Runge-Kutta dan ODE 45. Hasil penyelesaian sistem tersebut

diilustrasikan pada grafik sebagai berikut:


73

Gambar 3.8 Grafik Dinamika Populasi Vektor

Gambar 3.8. menunjukkan grafik pertumbuhan banyaknya vektor dalam

populasi. Grafik berwarna merah menunjukkan pertumbuhan banyaknya vektor

rentan. Banyaknya vektor rentan ketika awal hari sebanyak 60, pada saat interval

waktu antara 0-150 hari, mengalami kenaikan sebanyak 60-124.65. Sekitar pada

hari ke-150, banyaknya vektor rentan stabil menuju ke titik setimbang 124.65.

Grafik berwarna hijau menunjukkan pertumbuhan banyaknya vektor terinfeksi.

Banyaknya vektor terinfeksi ketika awal hari sebanyak 40, terihat mengalami

penurunan sebanyak 40-3.602, pada saat interval waktu antara 0-250 hari,

kemudian sekitar pada hari ke-250, banyaknya vektor terinfeksi stabil menuju ke

titk setimbang 3.602. Grafik berwarna biru menunjukkan pertumbuhan banyaknya

vektor pada masa inkubasi. Begitu pula dengan banyaknya vektor pada masa

inkubasi pada saat awal hari sebanyak 30, terlihat mengalami penurunan pada saat

interval waktu antara 0-100 hari, sebanyak 30-2.069 dan kemudian banyaknya


74

vektor pada masa inkubasi stabil menuju ke titik setimbang 2.069 sekitar pada

hari ke-100. Hal ini terjadi karena banyaknya manusia diasumsikan konstan

sehingga untuk pertumbuhan banyaknya vektor juga akan menuju pada titik

setimbang.

E. DINAMIKA POPULASI MANUSIA

Dinamika populasi manusia merupakan ilmu yang mempelajari tingkat

pertumbuhan dan penurunan atau perubahan banyaknya manusia dalam populasi.

Dalam model penyebaran penyakit tidur pada manusia diasumsikan:

1. Banyaknya manusia konstan

2. Manusia dapat membawa parasit penyakit

3. Manusia dapat sembuh dari penyakit

4. Manusia rentan terhadap penyakit

5. Mengabaikan masa inkubasi manusia

Untuk memahami dinamika populasi manusia, didefinisikan:

Hs(t) = banyaknya manusia yang rentan terhadap penyakit

Ha(t) = banyaknya manusia terinfeksi penyakit

Hr(t) = banyaknya manusia yang sembuh

Banyaknya manusia terinfeksi merepresentasikan manusia baru yang

terinfeksi, sehingga banyaknya manusia terinfeksi dimisalkan H(t)b. Perubahan


75

banyaknya manusia pada suatu kelompok adalah banyaknya manusia yang masuk

dalam kelompok tersebut dikurangi dengan banyaknya manusia yang keluar dari

kelompok tersebut. Persamaan perubahan untuk banyaknya manusia terinfeksi

penyakit adalah

sembuh tahapke terinfeksi

manusia banyaknya

rentan menjadi terinfeksi

manusia banyaknya


manusia banyaknya

i terinfeks tahapdarikeluar

manusia banyaknya


manusia banyaknya)(

t

tH a

Dengan memperhatikan Gambar 3.4 maka diperoleh

1)()()( )(

rtHbtHbtHt

tHaa

a

1)()()( rtHbtHtH aa (3.42)

Dengan demikian, dari persamaan di atas, )()( btHtH a merupakan perubahan

banyaknya manusia rentan yang dipengaruhi oleh:

terinfeksi

vektorbanyaknya

sir terinfekoleh vektodigigit rentan

manusia seorang asprobabilit

rentan manusia seorang


)()()(

)()()( 3 tV

AtHtH

tHtHtHa

r

ra

(3.43)


76

Sehingga membentuk persamaan sebagai berikut:

)()(

)()()()()()( 3

AtHtH

tHtHtHtVbtHtH

r

ra

aa

(3.44)

Dengan demikian, persamaan untuk t

(t)

aHadalah

13 )()()(

)()()()(

)(rtH

AtHtH

tHtHtHtV

t

tHa

r

ra

a

a

(3.45)

Pada saat 0t , laju perubahan banyaknya manusia teinfeksi penyakit adalah

dt

tdH

t

tH aa

t

)()(lim

0

)())()((

)()()()( 13 rtH

AtHtH

tHtHtHtV a

r

ra

a

(3.46)

Persamaan perubahan untuk banyaknya manusia sembuh adalah

sembuh tahapdarikeluar

manusia banyaknya

sembuh tahapkemasuk

manusia banyaknya)(

t

tH r

)()( 21 rtHrtH ra (3.47)

Pada saat 0t , laju perubahan banyaknya manusia sembuh adalah

dt

tdH

t

tH aa

t

)()(lim

0


77

)()( 21 rtHrtH ra (3.48)

Dari persamaan (3.46) dan (3.48) membentuk sistem persamaan diferensial, yaitu

Dengan menggunakan nilai-nilai parameter pada Tabel 3.1 diperoleh

sistem persamaan diferensial sebagai beikut:

0025.031200

300a

r

raa HH

HH

dt

dH

(3.49)

0025.00025.0 rar HH

dt

dH

(3.40)

Sistem persamaan diferensial di atas merupakan sistem persamaan

diferensial non linear. Hasil penyelesaian sistem persamaan diferensial di atas,

diselesaikan secara numeris dengan menggunakan Metode Runge-Kutta dalam

MATLAB ODE 45, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

)()()(

)()()(

)()()()(

)(

21

13

rtHrtHdt

tdH

rtHAtHtH

tHtHtHtV

dt

tdH

ra

r

a

r

ra

a

a


78

Gambar 3.9 Grafik Dinamika Populasi Manusia

Gambar 3.9 menunjukkan grafik pertumbuhan banyaknya manusia dalam

populasi. Grafik berwarna biru menunjukkan pertumbuhan banyaknya manusia

terinfeksi. Banyaknya manusia terinfeksi ketika awal hari sebanyak 100, terihat

mengalami kenaikan sekitar 100-290, pada interval waktu antara 0-6 hari.

Kemudian sekitar pada hari ke-6, banyaknya manuisia terinfeksi ini, stabil menuju

titik setimbang 290. Sedangkan grafik berwarna hijau menunjukan pertumbuhan

banyaknya manusia sembuh. Banyaknya manusia sembuh pada awal hari juga

sebanyak 100, lalu mengalami kenaikan sekitar 100-290, pada interval waktu

antara 0-1800 hari. Kemudian sekitar pada hari ke-1800, banyaknya manusia

sembuh juga stabil menuju titik setimbang 290. Hal ini terjadi karena banyaknya

manusia dan vektor terinfeksi diasumsikan konstan.


79

F. ANALISIS DINAMIKA POPULASI VEKTOR DAN MANUSIA

Pada persamaan (3.12), (3.14), (3.17), (3.46), dan (3.48) bila

menggunakan nilai-nilai parameter pada tabel 3.1 akan membentuk sistem

persamaan diferensial, sebagai berikut:

i

r

asaii VH

HVVV

dt

dV062.0

31200

1.0067.0

(3.41)

ai

a VVdt

dV022.004.0

(3.42)

r

asai

ai

s

H

HVVVVV

dt

dV

31200

1.0067.0022.0

(3.43)

a

r

raaa HH

HHV

dt

dH0025.0

31200

)300(1.0

(3.44)

rar HH

dt

dH0025.00025.0

(3.45)

Sistem persamaan diferensial (3.41), (3.42), (3.43), (3.44), dan (3.45)

dapat diselesaikan secara numeris dengan perintah ODESOLVE pada

MATLAB menggunakan Metode Runge-Kutta dan ODE 45. Hasil

penyelesaian sistem tersebut diilustrasikan sebagai berikut:


80

Gambar 3.10 Grafik Dinamika Populasi Vektor dan Manusia

Gambar 3.10 menunjukkan grafik pertumbuhan banyaknya vektor dan

manusia dalam populasi. Grafik berwarna biru menunjukkan pertumbuhan

banyaknya vektor pada masa inkubasi. Pada saat awal hari banyaknya vektor pada

masa inkubasi tersebut sebanyak 30, kemudian pada interval waktu 0-60 hari,

banyaknya vektor pada masa inkubasi mengalami penurunan sekitar dari 30

menjadi 1. Dan pada hari ke-120, banyaknya vektor pada masa inkubasi stabil

menuju ke titik setimbang 0. Berarti, bahwa banyaknya vektor pada masa inkubasi

ketika pada hari ke-120 tidak ada.

Grafik berwarna hijau menunjukkan pertumbuhan banyaknya vektor

terinfeksi. Pada saat awal hari hingga hari ke-15, banyaknya vektor terinfeksi

sebanyak 40. Kemudian pada interval waktu 15-150 hari banyaknya vektor

terinfeksi mengalami penurunan sekitar 40 menjadi 2. Sekitar pada hari ke-210,


81

banyaknya vektor terinfeksi stabil menuju ke titik setimbang 0. Berarti, bahwa

banyaknya vektor terinfeksi pada hari ke-210 tidak ada.

Grafik berwarna merah menunjukkan pertumbuhan banyaknya vektor

rentan. Pada saat awal hari banyaknya vektor rentan sebanyak 60. Kemudian pada

interval waktu 0-2000 hari, banyaknya vektor rentan mengalami kenaikan sekitar

60 menjadi 200. Dan sekitar pada hari ke-2000, banyaknya vektor rentan stabil

menuju ke titik setimbang 200.

Grafik berwarna biru muda menunjukkan pertumbuhan banyaknya

manusia terinfeksi. Pada awal hari banyaknya manusia terinfeksi sebanyak 100.

Pada interval waktu 0-50 hari, banyaknya manusia terinfeki mengalami kenaikan

sekitar 100-105. Namun, pada interval waktu 50-2000 hari, banyaknya manusia

mengalami penurunan sekitar 105 menjadi 2. Dan sekitar pada hari ke-2700

banyaknya manusia terinfeksi stabil menuju ke titik setimbang 0. Berati bahwa

banyaknya manusia terinfeksi sekitar pada hari ke-2700 tidak ada.

Grafik berwarna ungu menunjukkan pertumbuhan banyaknya manusia

sembuh. Pada awal hari banyaknya manusia sembuh sebanyak 100. Pada interval

waktu 0-200 hari, banyaknya manusia sembuh masih sekitar 100, namun pada

interval waktu 200-2000 hari, banyaknya manusia sembuh mengalami penurunan

sekitar 100 menjadi 1. Pada hari ke-2800, banyaknya manusia sembuh stabil

menuju ke titik setimbang 0. Berarti bahwa banyaknya manusia sembuh pada hari

ke-2800 tidak ada.


82

BAB IV

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Parasit trypanomiasis yang terdapat pada lalat tsetse ini dapat

menyebabkan atau menginfeksi manusia. Penyebaran penyakit tidur dalam

epidemik diketahui dengan nilai-nilai parameter yang dapat mempengaruhi

perilaku kestabilannya. Model ini mengilustrasikan bahwa adanya penyakit tidur

disebabkan oleh gigitan lalat tsetse pada manusia. Dengan menganalisis

penyelesaian kesetimbangan dapat diketahui pertumbuhan banyaknya vektor dan

manusia pada waktu tertentu. Selain itu, dapat diketahui titik kesetimbangan yang

penyebarannya akan stabil pada waktu tertentu.

Dengan menggunakan nilai-nilai parameter tertentu dapat diilustrasikan

bahwa banyaknya vektor pada masa inkubasi dan terinfeksi mengalami penurunan

dan stabil mendekati nol. Banyaknya vektor rentan mengalami kenaikan yang

cukup tinggi dan konvergen menuju titik kritis atau penyelesaian equlibrium.

Banyaknya manusia terinfeksi dan banyaknya manusia sembuh yang awalnya

mengalami kenaikan, namun pada waktu tertentu banyaknya manusia terinfeksi

dan sembuh mengalami penurunan dan mendekati nol.


83

B. SARAN

Penulis sadar bahwa penyusunan makalah ini masih banyak kekurangan.

Makalah ini menggunakan banyak asumsi-asumsi sehingga belum membahas bila

pada banyaknya vektor rentan mempertimbangkan adanya arus migrasi yang

membuat sistem persamaan diferensial menjadi nonhomogen. Semoga makalah

ini selanjutnya dapat dibahas lebih lanjut.


84

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 2005. Elementary Linear Algebra (Edisi 9). Amerika: John Wiley

& Sons.

Boyce, William E dan Richard C. Diprima. 2012. Elemtentary Differential

Equations and Boundary Value Problems (Edisi 10). Amerika: John Wiley

& Sons.

Burden, Richard L dan Faires, J. Dougles. 2001. Numerical Analysis. New York:

Thomson Learning

Cullen, Charles G. 1993. Aljabar Linear dengan Penerapannya. Jakarta:

Gramedia Pustaka Utama

M. Artzrouni dan J.-P. Gouteux, “A compartmental model of vector-borne

diseases: application to sleeping sickness in central Africa,” Jurnal dari

Sistem Biologi 4, 459–477 (1996).

Murray, J. D. 1993. Mathematical Biology. Berlin: Springer-Verlag.

Nagle, R. Kent dan Edward B. Saff. 1986. Fundamentals of Differensial

Equation. California: The Benjamin Cummings.

Purcell, E.J., D. Varberg & Rigdon. 2004. Kalkulus. (Terjemahan oleh I.N. Susila

dkk.), Jilid 1, Edisi ke-8. Jakarta: Erlangga.

Rozendaal, Jan A. 1998. Vector Control: Methods for use By Individuals and

Communities. Geneva: World Health Organization.

Shier, D.R dan K.T. Wallenius. 1999. Applied Mathematical Modeling A

multidisciplinary Approach. London: Chapman & Hall/CRC.


85

LAMPIRAN

1. Program MATLAB Pplane8 Setup mengilustrasikan bidang fase aiVV pada

sistem persamaan (3.28) dan (3.29):

2. Program MATLAB Pplane8 Setup mengilustrasikan bidang fase siVV pada



86

3. Program MATLAB Pplane8 Setup mengilustrasikan bidang fase saVV pada


4. Program MATLAB Odesolve Setup untuk mengilustrasikan penyelesaian

Dinamika Populasi Vektor pada sistem persamaan diferensial (3.19), (3.20),

dan (3.21):


87

5. Program MATLAB Odesolve Setup dengan ODE 45 untuk mengilustrasikan

penyelesaian Dinamika Populasi Manusia pada sistem persamaan diferensial

(3.49) dan (3.40):

6. Program MATLAB Odesolve Setup dengan ODE 45 untuk mengilustrasikan

penyelesaiakan dinamika populasi vektor dan manusia:


88


model matematis untuk penyebaran penyakit tidurrepository.usd.ac.id/27174/2/103114010_full.pdf ·...

Documents