skripsirepository.ub.ac.id/4414/1/lalu samsul ahmadi.pdf1. bagaimana merekonstruksi model matematika...

ANALISIS DINAMIK

MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN

GENG DI MASYARAKAT

SKRIPSI

oleh:

LALU SAMSUL AHMADI

105090406111001

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2017

i

ANALISIS DINAMIK


GENG DI MASYARAKAT

SKRIPSI

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains dalam bidang Matematika

oleh:

LALU SAMSUL AHMADI

105090406111001

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2017

iii

LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI

ANALISIS DINAMIK


GENG DI MASYARAKAT

oleh:

LALU SAMSUL AHMADI

105090406111001

Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji

pada tanggal 9 Agustus 2017

dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains dalam bidang Matematika

Pembimbing

Indah Yanti S.Si., M.Si.

NIP. 197911292005012002

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Brawijaya

Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D.

NIP. 197509082000031003

v

LEMBAR PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Lalu Samsul Ahmadi

NIM : 105090406111001

Jurusan : Matematika

Skripsi berjudul : Analisis Dinamik Model

Matematika Penyebaran

Geng di Masyarakat

Dengan ini menyatakan bahwa:

1. isi skripsi yang saya buat adalah benar-benar karya sendiri

dan tidak menjiplak karya orang lain, selain nama-nama yang

termaktub di isi dan tertulis di daftar pustaka dalam skripsi

ini,

2. apabila di kemudian hari ternyata skripsi yang saya tulis

terbukti hasil jiplakan, maka saya bersedia menanggung

segala resiko yang akan saya terima.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.

Malang, 9 Agustus 2017

Yang menyatakan,

Lalu Samsul Ahmadi

NIM. 105090406111001

vii

ANALISIS DINAMIK MODEL MATEMATIKA

PENYEBARAN GENG DI MASYARAKAT

ABSTRAK

Pada skripsi ini dibahas model matematika penyebaran geng di

masyarakat. Model tersebut dikonstruksi dalam bentuk sistem

otonomus nonlinear dengan empat variabel tak bebas. Variabel

pertama menyatakan kepadatan masyarakat biasa, variabel kedua

menyatakan kepadatan masyarakat yang belum resmi menjadi anggota

geng, variabel ketiga menyatakan kepadatan anggota geng dan

variabel keempat menyatakan kepadatan anggota geng yang ditangkap

polisi dan menjalani pembinaan di penjara. Pada model ini terdapat

tiga titik kesetimbangan. Dua titik kesetimbangan merupakan titik

keseimbangan bebas anggota geng sedangkan titik kesetimbangan

ketiga menunjukkan adanya perkembangan anggota geng. Ketiga titik

kesetimbangan bersifat stabil asimtotik dengan syarat tertentu.

Selanjutnya, model penyebaran geng di masyarakat disimulasikan

secara numerik dengan menggunakan metode Runge Kutta orde 4.

Dapat ditunjukkan bahwa hasil simulasi numerik mendukung hasil

analisis

Kata kunci : kestabilan, model penyebaran geng, analisis dinamik,

titik kesetimbangan.

ix

DYNAMICAL ANALYSIS OF MATHEMATICAL MODEL OF

THE SPREAD OF GANGS IN A POPULATION

ABSTRACT

This final project discusses a mathematical model of the spread of

gangs member in population. The model is constructed as a nonlinear

autonomous system with four dependent variables. The first variable

express the population density of ordinary community, the second

variable express the population density of unofficial gang member, the

third variable express the population density of official gang member

and the fourth variable express the population density gang member

in prison. The analysis result admits three equilibrium points. The first

and the second equilibrium points contains no gang member while the

third equilibrium points contains gang member. All equilibrium points

are asymtotically stable under some conditions. Moreover,

mathematical model of the spread of gang member in population is

simulated numerically by using Runge Kutta method. It is shown that

the result of numerical simulation is in accordance with the analytical

result.

Keyword : stability, gangs spread model, dynamic analysis,

equilibrium point.

xi

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah Tuhan semesta alam yang maha pengasih

dan maha penyayang. Atas berkat rahmatNya penulis mampu

menyelesaikan skripsi yang berjudul Model Matematika Penyebaran

Anggota Geng di Masyarakat dengan baik. Sawalat serta salam selalu

tercurahkan untuk baginda nabi Muhammad SAW, seorang insan

yang menjadi pedoman suri tauladan yang baik bagi seluruh umat

manusia.

Skripsi ini tidak dapat diselesaikan dengan baik tanpa bantuan,

bimbingan serta motivasi dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis

ingin menyampaikan terima kasih kepada

1. Indah Yanti, S.Si, M.Si. selaku dosen pembimbing atas segala

bimbingan, motivasi, bantuan, serta kesabaran yang telah

diberikan selama penulisan skripsi ini.

2. Syaiful Anam, S.Si.,MT.,Ph.D. dan Dr. Wuryansari Muharini

Kusumawinahyu, M.Si. selaku dosen penguji atas segala saran

yang diberikan untuk perbaikan skripsi ini.

3. Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D. selaku Ketua

Jurusan Matematika, Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si. selaku Ketua

Program Studi Matematika.

4. Seluruh dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan

ilmunya kepada penulis, serta segenap staf dan karyawan TU

Jurusan Matematika atas segala bantuannya.

5. Kedua orang tua serta seluruh keluarga besar atas doa, bantuan,

dan motivasi yang tak pernah habis diberikan,

6. Teman-teman yang masih mendukung hingga akhir pengerjaan

skripsi ini.

Semoga Allah SWT memberikan anugerah dan barokah-Nya

kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini.

Sebagai manusia yang memiliki keterbatasan dan tidak luput dari

kesalahan, penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih

terdapat kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik

dan saran yang membangun, melalui email ke alamat

[email protected]

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak, serta

menjadi sumber inspirasi untuk penulisan skripsi selanjutnya.

xii

Malang, 9 Agustus 2017

penulis

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL………………………………………..………i

LEMBAR PENGESAHAN………………………………...……..iii

LEMBAR PERNYATAAN………………………...………….…..v

ABSTRAK………………………………………………...………vii

ABSTRACT…………………………………………...……………ix

KATA PENGANTAR……………………………………………..xi

DAFTAR ISI………………………………………………...……xiii

DAFTAR GAMBAR……………………………………………...xv

DAFTAR TABEL………………………………..………………xvii

DAFTAR LAMPIRAN. ................................................................ xix

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang. ...................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah.. ............................................................... 3

1.3 Tujuan. ................................................................................... 3

1.4 Batasan Masalah. ................................................................... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Dinamik. .................................................................... 5

2.1.1 Sistem otonomus. ......................................................... 5

2.1.2 Titik kesetimbangan. .................................................... 5

2.1.3 Kestabilan titik kesetimbangan. .................................... 6

2.2 Sistem Otonomus Linear. ...................................................... 6

2.3 Sistem Otonomus Non Linear. .............................................. 7

2.4 Angka Reproduksi Dasar.. ................................................... 10

2.5 Kriteria Routh Hurwitz.. ...................................................... 10

2.6 Model Matematika Perampokan dan Tindak Kekerasan. .... 11

BAB III PEMBAHASAN 3.1 Konstruksi Model. ............................................................... 13

3.1.1 Laju perubahan kepadatan populasi masyarakat

biasa.. ......................................................................... 14

3.1.2 Laju perubahan kepadatan populasi masyarakat

rentan. ........................................................................ 16

xiv

3.1.3 Laju perubahan kepadatan populasi anggota

geng............................................................................ 17

3.1.4 Laju perubahan populasi narapidana yang

direhabilitasi. ............................................................ 18

3.2 Titik Kesetimbangan. ............................................................ 20

3.3 Analisis Kestabilan. ............................................................... 24

3.3.1 Analisis kestabilan titik kesetimbangan 𝑄0. ................ 26



3.4 Simulasi Numerik. ................................................................ 33

3.4.1 Simulasi I. .................................................................... 33

3.4.2 Simulasi II. .................................................................. 35

3.4.3 Simulasi III. ................................................................. 37

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan. ......................................................................... 39

4.2 Saran. ................................................................................... 39

DAFTAR PUSTAKA. .................................................................... 41

LAMPIRAN. ................................................................................... 43

xv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.1 Diagram kompartemen Model Matematika

Penyebaran Geng di Masyarakat. ................................. 13

Gambar 3.2 Potret fase simulasi I . .................................................. 33

Gambar 3.3 Kepadatan populasi dari waktu ke waktu simulasi I. ... 34

Gambar 3.4 Potret fase simulasi II. .................................................. 35

Gambar 3.5 Kepadatan populasi dari waktu ke waktu simulasi II. .. 36

Gambar 3.6 Potret fase simulasi III. ................................................. 37

Gambar 3.7 Kepadatan populasi dari waktu ke waktu simulasi III. . 38

xvii

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 3.1 Nilai parameter 𝑄2. .......................................................... 24

Tabel 3.2 Nilai parameter titik kesetimbangan 𝑄2. .......................... 31

Tabel 3.3 Syarat eksistensi dan kestabilan titik kesetimbangan.. ..... 32

Tabel 3.4.Nilai paramteter simulasi I. .............................................. 33

Tabel 3.5.Nilai parameter simulasi II. .............................................. 35

Tabel 3.6.Nilai parameter simulasi III.. ............................................ 37

xix

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Syarat eksistensi 𝑄2. ..................................................... 43

Lampiran 2 Akar-akar persamaan karakteristik. .............................. 47

Lampiran 3 Kriteria Routh Hurwitz. ................................................ 49

Lampiran 4 Listing program Runge Kutta orde 4 Matlab. ............... 59

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kriminalitas merupakan segala macam aktivitas yang ditentang

masyarakat karena melanggar hukum, sosial, dan agama serta

merugikan, baik secara psikologis maupun ekonomis (Kartono, 1999).

Tingginya tingkat kemiskinan dan minimnya lapangan pekerjaan

merupakan beberapa faktor yang meningkatkan angka tindak

kriminal. Tindak kriminal dapat terjadi secara individu maupun

berkelompok. Geng merupakan kelompok pelanggar hukum yang

melakukan tindak kekerasan dan perbuatan ilegal secara terorganisir

(Heskel dan Yablonsky,1982). Menurut Spergel (1995) ada beberapa

faktor yang menyebabkan seseorang memiliki motivasi untuk menjadi

anggota geng. Faktor pertama adalah pengaruh orang terdekat seperti

teman dan keluarga yang merupakan anggota geng. Faktor kedua

adalah lingkungan tempat tinggal yang merupakan basis

berkumpulnya para anggota geng. Faktor ketiga adalah tingkat

ekonomi yang rendah dan keadaan keluarga yang kurang baik (broken

home).

Fenomena geng sudah lama menjadi perhatian khusus di Amerika.

Menurut Klein (1995) pada tahun 1960 di Amerika terdapat 58 kota

terindikasi adanya geng. Diperkirakan terdapat 28.000 anggota geng

dari 760 geng yang berbeda. Sepuluh tahun kemudian, tepatnya pada

tahun 1970, terjadi peningkatan penyebaran geng menjadi 101 kota

dengan 81.000 anggota dari 2700 geng yang berbeda. Pada tahun

1998, menurut survei yang dilakukan oleh National Youth Gang

Survey, di Amerika sudah terdapat 780.000 anggota geng yang

tergabung dalam 28.700 geng yang berbeda.

Penyebaran tindak kriminal tentu perlu penanganan khusus.

Penanganan kriminalitas ini dimulai dari mendata jumlah pelaku

kriminal dalam suatu populasi lalu memperkirakan laju

penyebarannya dari waktu ke waktu. Dengan bantuan model

matematika penyebaran tindak kriminal akan lebih mudah diprediksi.

Selain itu akan diperoleh gambaran yang lebih baik dalam memahami

proses penyebaran tindak kriminal dari waktu ke waktu. Pada

dasarnya penyebaran tindak kriminal memiliki pendekatan yang sama

2

dengan model epidemi. Pada model epidemi penyebaran penyakit

terjadi akibat sel terinfeksi berinteraksi dengan sel yang lain.

Sedangkan penyebaran tindak kriminal terjadi akibat interaksi sosial

antara individu satu dengan individu yang lain. Bila satu individu

memiliki kecenderungan bertindak kriminal maka individu tersebut

berpotensi mepengaruhi individu yang lain untuk melakukan tindak

kriminal juga.

Pada tahun 2001 Ormerod, dkk. mengkonstruksi model

matematika burglary (perampokan) dan tidak kekerasan. Ormerod,

dkk. membagi populasi menjadi tiga bagian. Subpopulasi pertama

adalah subpopulasi masyarakat yang memiliki peluang nol persen

untuk melakukan tindakan kriminal. Subpopulasi kedua adalah

subpopulasi yang erat kaitannya dengan tindak kriminal namun masih

belum melakukan tindak kejahatan. Subpopulasi terakhir adalah

populasi yang sudah melakukan tindak kriminal secara nyata.

Sooknanan, dkk (2013) mengembangkan model yang dikonstruksi

oleh Ormerod, dkk untuk diterapkan pada penyebaran geng yang

terjadi di masyarakat. Sooknanan, dkk. menambahkan satu

subpopulasi lagi, yaitu subpopulasi masyarakat yang dipenjara akibat

menjadi anggota geng. Subpopulasi ini memiliki peluang untuk

mendapat hukuman dalam waktu tertentu. Sekeluarnya dari penjara

anggota geng memiliki kemungkinan kembali ke masyarakat umum

atau kembali menjadi residivis. Dalam model epidemi populasi ini

termasuk dalam subpopulasi recovered.

Skripsi ini membahas kembali model matematika penyebaran

geng di masyarakat yang telah diteliti oleh Soknanan, dkk. Model

penyebaran geng ini membagi populasi menjadi empat subpopulasi.

Subpopulasi pertama adalah masyarakat biasa yang tidak pernah

melakukan tindak kejahatan. Subpopulasi kedua adalah masyarakat

yang belum resmi menjadi anggota geng. Populasi masyarakat ini

berpotensi menjadi anggota geng namun belum melakukan tindak

kriminal. Subpopulasi ketiga adalah masyarakat yang telah bergabung

secara resmi menjadi anggota geng. Subpopulasi keempat adalah

anggota geng yang ditangkap polisi dan menjalani pembinaan di

penjara. Model matematika penyebaran geng di masyarakat ini

menggunakan model SEIRS.

3

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, pokok permasalahan yang

dikaji dalam skripsi ini adalah

1. bagaimana merekonstruksi model matematika penyebaran

geng di masyarakat,

2. bagaimana titik kesetimbangan model tersebut,

3. bagaimana hasil analisis kestabilan titik kesetimbangan model

tersebut,

4. dan bagaimana hasil simulasi numerik model tersebut.

1.3 Tujuan

Tujuan skripsi ini adalah

1. merekonstruksi model matematika penyebaran geng di

masyarakat,

2. menentukan titik kesetimbangan model tersebut,

3. menganalisis kestabilan titik kesetimbangan model tersebut,

4. dan menginterpretasikan hasil simulasi numerik model

tersebut.

1.4 Batasan Masalah

Jumlah populasi dalam skripsi ini tetap karena diasumsikan tidak

ada kelahiran maupun kematian dan tidak ada populasi yang

bermigrasi.

5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Dinamik

Sistem dinamik adalah suatu sistem yang dapat diketahui

kondisinya di masa yang akan datang jika diberikan suatu kondisi pada

masa sekarang atau di masa yang telah lalu (Nagle dkk. ,2012).

Definisi 2.1.1 (Sistem Otonomus)

Sistem persamaan yang berbentuk: 𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑓1(𝑥1,… ,𝑥𝑛),

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑓2(𝑥1,… ,𝑥𝑛),

⋮𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡= 𝑓𝑛(𝑥1,… ,𝑥𝑛)

dengan 𝑓𝑖 , 𝑖 = 1,… , 𝑛 , adalah fungsi kontinu yang mempunyai

turunan parsial pertama dan tidak bergantung pada variabel 𝑡 secara

eksplisit disebut sistem otonomus. (Ross,1984)

Definisi 2.2.2 (Titik Kesetimbangan)

Misalkan diberikan suatu sistem otonomus 𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑓1(�⃗�),

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑓2(�⃗�),

⋮𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡= 𝑓𝑛(�⃗�).

Titik �⃗�* = (𝑥1*, 𝑥2

*, 𝑥3*, … , 𝑥𝑛

* ) yang memenuhi 𝑓1(�⃗�∗) = 0,

𝑓2(�⃗�∗) = 0, … , 𝑓𝑛(�⃗�∗) = 0 disebut titik kesetimbangan sistem

(Nagle dkk., 2012).

6

Definisi 2.2.3 (Kestabilan Titik Kesetimbangan)

Titik kesetimbangan �⃗�* disebut stabil jika untuk setiap bilangan

휀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian hingga setiap penyelesaian �⃗�(𝑡)

pada 𝑡 = 0 memenuhi

|(�⃗�(0) − �⃗�∗| < 𝛿 berlaku

|(�⃗�(𝑡) − �⃗�∗| < 휀

untuk setiap 𝑡 ≥ 0.

Titik kesetimbangan �⃗�* disebut stabil asimtotik jika titik tersebut

stabil dan terdapat 𝛿0 demikian hingga setiap penyelesaian �⃗�(𝑡) yang

pada 𝑡 = 0 memenuhi

|(�⃗�(0) − �⃗�∗| < 𝛿0

berlaku untuk setiap 𝑡 ≥ 0 dan memenuhi

lim𝑡→∞

�⃗�(𝑡) = �⃗�∗.

(Finizio dan Ladas, 1982)

2.2 Sistem Otonomus Linear

Perhatikan sistem otonomus linear 𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛

⋮𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡= 𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛.

(2.1)

Sistem (2.1) dapat dinyatakan sebagai 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝐴�⃗� dengan

𝐴 = [

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛

] dimana |𝐴| ≠ 0,dan �⃗� = [

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

].

7

Penentuan tipe kestabilan titik kesetimbangan sistem, bergantung

pada nilai eigen atau akar persamaan karakteristik sistem. Persamaan

karakteristik sistem (2.1) adalah |𝐴 − 𝜆𝐼| = 0.

Teorema 2.1

Misalkan 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑛 adalah nilai eigen atau akar

karakteristik sistem (2.1) dan (𝑥1∗, 𝑥2

∗, … , 𝑥𝑛∗) adalah titik

kesetimbangan. Titik kesetimbangan (𝑥1∗, 𝑥2

∗, … , 𝑥𝑛∗) disebut

1. stabil asimtotik, jika semua nilai eigen memiliki bagian real yang

negatif,

2. stabil, tetapi tidak stabil asimtotik, jika semua nilai eigen

memiliki bagian real yang tak positif,

3. dan tidak stabil, jika salah satu nilai eigen memiliki bagian real

yang positif.

(Boyce dan DiPrima, 2009).

2.3 Sistem Otonomus Nonlinear

Perhatikan sistem otonomus nonlinear berikut.

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑓1(�⃗�),

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑓2(�⃗�)

⋮𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡= 𝑓𝑛(�⃗�),

,

dengan 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 adalah fungsi nonlinear yang mempunyai turunan

parsial yang kontinu di titik kesetimbangan �⃗�∗. Deret Taylor fungsi

𝑓1, 𝑓2, . . ., 𝑓𝑛 di sekitar �⃗�∗ adalah

𝑓𝑖(�⃗�) = 𝑓𝑖(�⃗�∗) +

𝜕𝑓𝑖(�⃗�∗)

𝜕𝑥1

(𝑥1 − 𝑥1∗) +

𝜕𝑓𝑖(�⃗�∗)

𝜕𝑥2

(𝑥2 − 𝑥2∗) + ⋯

+𝜕𝑓𝑖(�⃗�

∗)

𝜕𝑥𝑛

(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛∗) + 𝜔𝑖(�⃗�)

(2.2)

8

dengan 𝑖 = 1,2,… , 𝑛 dan 𝜔𝑖(�⃗�) adalah suku sisa. Untuk hampiran

orde satu terhadap 𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛 suku sisa memenuhi syarat

lim𝑥→�⃗�∗

𝜔𝑖(�⃗�)

‖�⃗⃗⃗�‖= 0

dengan 𝑖 = 1,2,… , 𝑛 dan �⃗⃗⃗� = (𝑥1 − 𝑥1∗, 𝑥2 − 𝑥2

∗, . . ., 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛∗)𝑇 .

Dengan memanfaatkan deret Taylor fungsi 𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑛 di sekitar

�⃗�∗serta mengingat

𝑑𝑥1

𝑑𝑡=

𝑑(𝑥1 − 𝑥1∗)

𝑑𝑡,𝑑𝑥2

𝑑𝑡=

𝑑(𝑥2 − 𝑥2∗)

𝑑𝑡, … ,

𝑑𝑥𝑛

𝑑𝑡=

𝑑(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛∗)

𝑑𝑡,

persamaan (2.2) dapat ditulis dalam bentuk

𝑑

𝑑𝑡[

𝑥1 − 𝑥1∗

𝑥2 − 𝑥2∗

⋮𝑥𝑛 − 𝑥𝑛

∗

] = [

𝑓1(�⃗�∗)

𝑓2(�⃗�∗)

⋮𝑓𝑛(�⃗�∗)

]

+

[ 𝜕𝑓1(�⃗�

∗)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓1(�⃗�∗)

𝜕𝑥2⋯

𝜕𝑓1(�⃗�∗)

𝜕𝑥𝑛

𝜕𝑓2(�⃗�∗)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓2(�⃗�∗)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓2(�⃗�∗)

𝜕𝑥𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝑛(�⃗�∗)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓𝑛(�⃗�∗)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓𝑛(�⃗�∗)

𝜕𝑥𝑛 ]

[

𝑥1 − 𝑥1∗

𝑥2 − 𝑥2∗

⋮𝑥𝑛 − 𝑥𝑛

∗

]

+ [

𝜔1(�⃗�)

𝜔2(�⃗�)⋮

𝜔𝑛(�⃗�)

].

(2.3)

(2.4)

(2.4)

9

Matriks

𝐽 =

[ 𝜕𝑓1(�⃗�

∗)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓1(�⃗�∗)

𝜕𝑥2⋯

𝜕𝑓1(�⃗�∗)

𝜕𝑥𝑛

𝜕𝑓2(�⃗�∗)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓2(�⃗�∗)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓2(�⃗�∗)

𝜕𝑥𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝑛(�⃗�∗)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓𝑛(�⃗�∗)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓𝑛(�⃗�∗)

𝜕𝑥𝑛 ]

disebut matriks Jacobi atau matriks turunan parsial yang dinotasikan

sebagai 𝐽. Jika 𝑢1 = (𝑥1 − 𝑥1

∗), 𝑢2 = (𝑥2 − 𝑥2∗),… , 𝑢𝑛 = (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛

∗)

sehingga �⃗⃗⃗� = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛)𝑇 dan 𝑓1(�⃗�∗) = 𝑓2(�⃗�

∗) = ⋯ =𝑓𝑛(�⃗�∗) = 0, maka persamaan (2.4) dapat ditulis sebagai

[ 𝑑𝑢1

𝑑𝑡𝑑𝑢2

𝑑𝑡⋮

𝑑𝑛

𝑑𝑡 ]

=

[ 𝜕𝑓1(�⃗�

∗)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓1(�⃗�∗)

𝜕𝑥2⋯

𝜕𝑓1(�⃗�∗)

𝜕𝑥𝑛

𝜕𝑓2(�⃗�∗)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓2(�⃗�∗)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓2(�⃗�∗)

𝜕𝑥𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝑛(�⃗�∗)

𝜕𝑥1

𝜕𝑓𝑛(�⃗�∗)

𝜕𝑥2…

𝜕𝑓𝑛(�⃗�∗)

𝜕𝑥𝑛 ]

[

𝑢1

𝑢2

⋮𝑢𝑛

] + [

𝜔1(�⃗�)

𝜔2(�⃗�)⋮

𝜔𝑛(�⃗�)

]

atau

𝑑�⃗⃗⃗�

𝑑𝑡= 𝐽�⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗�.

Berdasarkan persamaan (2.3) bila �⃗⃗⃗� → 0⃗⃗ maka �⃗⃗⃗� → 0⃗⃗, sehingga

�⃗⃗⃗� dapat diabaikan dan sekitar �⃗�∗ sistem nonlinear (2.2) dapat

dihampiri oleh sistem linear

𝑑�⃗⃗⃗�

𝑑𝑡= 𝐽�⃗⃗⃗�.

Jika 𝑥1 = 𝑥1∗, 𝑥2 = 𝑥2

∗, … 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛∗ , maka �⃗⃗� = 0⃗⃗ sehingga sistem

linear (2.5) memiliki titik kesetimbangan 𝑥1∗ = 0⃗⃗ (Boyce dan

DiPrima, 2009).

(2.5)

10

Teorema 2.2 Pandang sistem otonomus nonlinear (2.2). Kestabilan titik

kesetimbangan sistem disebut

a. stabil asimtotik, jika titik kesetimbangan sistem hasil linearisasi

stabil asimtotik,

b. tidak stabil, jika titik kesetimbangan sistem hasil linearisasi tidak

stabil,

c. tidak dapat ditentukan, jika terdapat nilai eigen dari matriks 𝐽

yang bernilai nol.

(Robinson, 2004).

Teorema 2.2 menyatakan bahwa kestabilan titik kesetimbangan

sistem otonomus nonlinear (2.2) bergantung pada kestabilan titik

kesetimbangan sistem hasil linearisasi. Hal ini mengakibatkan hasil

analisis kestabilan titik kesetimbangan sistem bersifat lokal, yaitu

hanya berlaku di sekitar titik kesetimbangan.

2.4 Angka Reproduksi Dasar

Angka reproduksi dasar didefinisikan sebagai angka rata-rata

banyaknya individu yang terinfeksi yang disebabkan oleh satu

individu yang sebelumnya telah terinfeksi. Angka reproduksi dasar

merupakan angka yang menjadi ukuran untuk mengetahui apakah

dalam suatu populasi terjadi penyebaran penyakit atau tidak. Oleh

karena itu kestabilan titik kesetimbangan dapat dianalisis

menggunakan angka reproduksi dasar (Shim, 2004)

2.5 Kriteria Routh Hurwitz

Kestabilan titik kesetimbangan bergantung pada akar persamaan

karakteristik atau nilai eigen. Titik kesetimbangan dikatakan stabil

asimtotik jika setiap nilai eigen bernilai rill dan negatif. Apabila suatu

sistem memiliki persamaan karakteristik dengan

𝑃(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑛 = 0, (2.6)

maka kestabilan titik kesetimbangan dapat ditentukan menggunakan

kriteria Routh Hurwitz. Melalui kriteria Routh Hurwitz, kestabilan

11

titik kesetimbangan dapat ditentukan tanpa menentukan nilai eigen

terlebih dahulu.

Teorema 2.3

Akar akar persamaan (2.6) memiliki bagian riil negatif jika dan

hanya jika

𝑎1 > 0 , 𝐷1 = |𝑎1| > 0 , 𝐷2 = |𝑎1 𝑎3

1 𝑎2| > 0

𝐷3 = |

𝑎1 𝑎3 𝑎5

1 𝑎2 𝑎4

0 𝑎1 𝑎3

| > 0,… , 𝐷𝑘 = |

𝑎1 𝑎3 𝑎5 … 0

1⋮

𝑎2

⋮𝑎4 … 0

⋮ ⋮ ⋮0 0 0 … 𝑎𝑘

| > 0

dengan 𝑘 = 1,2, … , 𝑛.

(Murray, 2002)

2.6 Model Matematika Perampokan dan Tindak Kekerasan.

Penelitian tentang model penyebaran geng sebelumnya belum

pernah dilakukan namun penelitian tentang model penyebaran tindak

kriminal sebelumnya pernah diteliti oleh Ormerod, dkk.

Ormerod, dkk meneliti model matemetika bulglary (perampokan)

dan tindak kekerasan. Model ini membagi populasi menjadi tiga

bagian. Populasi pertama merupakan masyarakat awam. Populasi

kedua merupakan masyarakat yang rentan melakukan tindak kriminal

dan populasi ketiga merupakan masyarakat yang aktif melakukan

tindak kriminal.

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜃𝑁 + 𝜇𝑆 + 𝛽𝑁𝐶

𝑑𝑆

𝑑𝑡= 𝜃𝑁 − 𝜇𝑆 − 𝑞𝑆 − 𝜅𝑆𝐶

𝑑𝐶

𝑑𝑡= 𝑞𝑆 + 𝜅𝑆𝐶 − 𝛽𝑁𝐶.

Berikut keterangan dari model matematika perampokan dan

tindak kekerasan

12

𝑁 : Populasi masyarakat awam

𝑆 : Populasi masyarakat yang rentan melakukan tindakan

kriminal

𝐶 : Populasi masyarakat yang aktif melakukan tindakan

kriminal

𝜇 : Laju perpindahan masyarakat yang rentan melakukan

tindakan kriminal menjadi masyarakat awam

𝜃 : Laju perpindahan masyarakat awam menjadi masyarakat

yang rentan melakukan tindakan kriminal

𝜅 : Laju perpindahan masyarakat rentan menjadi pelaku

kriminal akibat interaksi sosial

𝑞 : Laju perpindahan masyarakat rentan menjadi pelaku

kriminal akibat desakan ekonomi

𝛽 : Laju perpindahan pelaku kriminal kembali menjadi

masyarakat awam akibat desakan masyarakat.

13

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Konstruksi Model

Model matematika penyebaran geng di masyarakat merupakan

model SEIRS. Dalam mengkonstruksi model ini populasi manusia (𝑇)

dibagi menjadi empat subpopulasi. Subpopulasi pertama adalah

masyarakat awam yang tidak tinggal dalam lingkungan geng dan tidak

pernah melakukan tindak kejahatan (𝑁). Subpopulasi kedua adalah

masyarakat yang berpotensi menjadi anggota geng namun belum

menjadi anggota resmi dan belum pernah melakukan tindakan

kejahatan (𝐸). Subpopulasi ketiga adalah masyarakat yang telah resmi

menjadi anggota geng (𝐺). Subpopulasi keempat adalah masyarakat

yang ditangkap polisi dan direhabilitasi karena menjadi anggota geng

(𝑅).

Arus perpindahan populasi masyarakat disajikan pada Gambar

(3.1)

Gambar 3.1 Diagram kompartemen model matematika penyebaran

geng di masyarakat

𝑁

𝐸

𝑅

𝐺

𝛽1 𝛼

𝛽2

Φ (1 − 𝑓)𝜌

𝑓𝜌

14

Berikut keterangan dari Gambar 3.1

N : Populasi masyarakat biasa yang tidak melakukan

tindak kriminal.

E : Populasi masyarakat yang belum resmi menjadi

anggota geng dan rentan menjadi anggota geng

G : Populasi masyarakat yang sudah resmi menjadi

anggota geng.

R : Populasi masyarakat yang direhabilitasi akibat

menjadi anggota geng (Narapidana).

𝛽1 : Laju perpindahan populasi masyarakat biasa menjadi

anggota geng yang belum resmi.

𝛼 : Laju perpindahan populasi masyarakat yang belum

resmi menjadi anggota geng kembali menjadi

masyarakat biasa

𝛽2 : Laju perpindahan populasi masyarakat yang belum

resmi menjadi anggota geng yang resmi.

Φ : Laju perpindahan populasi masyarakat yang telah

resmi menjadi anggota geng menjadi narapidana

𝑓 : Laju perpindahan populasi masyarakat yang telah

direhabilitasi kembali menjadi masyarakat biasa.

(1 − 𝑓) : Laju perpindahan populasi masyakarat yang gagal

direhabilitasi dan kembali menjadi anggota geng.

𝜌 : Rata-rata masa rehabilitasi

Dalam model ini diasumsikan bahwa 𝑇 (total populasi manusia)

bersifat tetap atau tidak ada peningkatan jumlah populasi.

3.1.1 Laju perubahan populasi masyarakat biasa (𝑵)

Laju perubahan populasi masyarakat biasa (𝑁) sebagai berikut.

1. Populasi masyarakat biasa (𝑁) dapat berpindah menjadi anggota

geng yang belum resmi (𝐸) karena ada interaksi langsung antar

keduanya. Perpindahan tersebut juga bisa terjadi karena interaksi

masyarakat biasa dan anggota geng yang resmi (𝐺). Misalkan 𝛽1

adalah laju penularan akibat interaksi tersebut, maka laju

15

berkurangnya populasi masyarakat biasa (𝑁) dapat dinyatakan

sebagai berikut

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝛽1(𝐸 + 𝐺)

𝑁

𝑇.

2. Selain bersifat negatif, interaksi masyarakat biasa (𝑁) dengan

anggota geng yang belum resmi (𝐸) juga dapat mempengaruhi

anggota geng yang belum resmi (𝐸) menjadi masyarakat biasa

(𝑁) . Jika laju perpindahan dinotasikan dengan 𝛼 maka laju

perpindahan populasi dari 𝐸 menuju 𝑁 dapat dinyatakan sebagai

berikut

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝛼𝐸.

3. Peningkatan jumlah populasi masyarakat biasa (𝑁) bisa terjadi

bila narapidana (𝑅) sukses menjalani masa rehabilitasinya. Jika 𝜌

merupakan rata-rata masa rehabilitasi dan (1 − 𝑓) menunjukkan

proporsi narapidana yang kembali menjadi anggota geng, maka 𝑓

menunjukkan narapidana yang berhasil direhabilitasi. Laju

perpindahan narapidana (𝑅) menjadi masyarakat biasa (𝑆)

dinyatakan sebagai berikut

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑓𝜌𝑅.

Jadi, laju perubahan populasi masyarakat biasa (𝑁) pada waktu 𝑡

dinyatakan sebagai berikut.

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝛽1(𝐸 + 𝐺)

𝑁

𝑇+ 𝛼𝐸 + 𝑓𝜌𝑅.

16

3.1.2 Laju perubahan populasi mayarakat yang belum resmi

menjadi anggotang geng (𝑬)

Laju perubahan populasi masyarakat yang belum resmi menjadi

anggota geng (𝐸) adalah sebagai berikut

1. Populasi anggota geng yang belum resmi (𝐸) dapat bertambah

dikarenakan perpindahan populasi masyarakat biasa (𝑁) .

Perpindahan ini dikarenakan adanya interaksi antar masyarakat

biasa (𝑁) dengan anggota geng belum resmi (𝐸) dan anggota

geng resmi (𝐺). Masyarakat biasa tidak bisa langsung menjadi

anggota geng resmi namun harus menjadi anggota geng yang

belum resmi terlebih dahulu. Berdasarkan persamaan sebelumnya,

laju perpindahan dimisalkan 𝛽1 sehingga dapat dinyatakan

sebagai berikut

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 𝛽1(𝐸 + 𝐺)

𝑁

𝑇.

2. Anggota geng yang belum resmi dapat berkurang bila anggota

geng resmi melakukan rekruitmen. Selain itu berkurangnya

anggota geng belum resmi bisa terjadi bila anggota geng belum

resmi ini memilih kembali menjadi masyarakat biasa. Misalkan

𝛽2 adalah laju perpindahan anggota geng yang belum resmi

menjadi anggota geng yang resmi karena perekrutan dan 𝛼 adalah

laju kembalinya anggota gang yang belum resmi menjadi

masyarakat biasa, maka laju berkurangnya populasi anggota geng

yang belum resmi dinyatakan sebagai berikut

𝑑𝐸

𝑑𝑡= −𝛽2

𝐸𝐺

𝑇− 𝛼𝐸.

Jadi, laju perubahan populasi masyarakat yang belum resmi

menjadi anggota geng dalam waktu t dinyatakan sebagai berikut

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 𝛽1(𝐸 + 𝐺)

𝑁

𝑇− 𝛽2

𝐸𝐺

𝑇− 𝛼𝐸.

17

3.1.3 Laju perubahan populasi anggota geng (𝑮)

Laju perubahan populasi anggota geng (𝐺) adalah sebagai

berikut.

1. Berdasarkan persamaan sebelumnya, penambahan jumlah

anggota geng terjadi akibat proses rekruitmen. Diketahui 𝛽2

adalah laju proses rekruitmen maka bertambahnya jumlah anggota

geng dapat dinyatakan sebagai berikut.

𝑑𝐺

𝑑𝑡= 𝛽2

𝐸𝐺

𝑇.

2. Anggota geng cenderung melakukan tindakan melanggar hukum

sehingga anggota geng dapat ditangkap lalu direhabilitasi di

dalam penjara. Misalkan Φ adalah laju penangkapan anggota

geng maka laju berkurangnnya anggota geng dapat dinayatakan

sebagai berikut 𝑑𝐺

𝑑𝑡= −ΦG.

3. Narapidana yang menjalani proses rehabilitasi tidak semuanya

kembali menjadi masyarakat biasa namun ada juga yang kembali

menjadi anggota geng. Diketahui (1 − 𝑓) adalah laju kembalinya

narapidana menjadi anggota geng dan 𝜌 merupakan rata-rata masa

tahanan, maka laju bertambahnya anggota geng dapat dinyatakan

sebagai berikut.

𝑑𝐺

𝑑𝑡= (1 − 𝑓)𝜌𝑅.

Jadi, laju perpindahan populasi anggota geng pada waktu t dapat

dinyatakan sebagai berikut.

𝑑𝐺

𝑑𝑡= 𝛽2

𝐸𝐺

𝑇− ΦG + (1 − 𝑓)𝜌𝑅.

18

3.1.4 Laju perubahan populasi narapida yang direhabilitasi (𝑹)

Berdasarkan penjelasan sebelumnya, perubahan populasi

narapidana bergantung pada jumlah anggota geng yang ditangkap dan

jumlah narapidana yang bebas setelah masa rehabilitasinya selesai.

Misalkan Φ menunjukkan laju penangkapan anggota geng, 𝑓 adalah

laju narapidana yang berhasil direhabilitasi dan 𝜌 adalah rata-rata

masa tahanan, maka laju perubahan populasi narapida sebagai berikut.

𝑑𝑅

𝑑𝑡= Φ𝐺 − (1 − 𝑓)𝜌𝑅 − 𝑓𝜌𝑅

disederhanakan menjadi

𝑑𝑅

𝑑𝑡= Φ𝐺 − 𝜌𝑅.

Secara matematis model metematika penyebaran anggota geng di

masyarakat adalah

𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝛽1(𝐸 + 𝐺)

𝑁

𝑇+ 𝛼𝐸 + 𝑓𝜌𝑅

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 𝛽1(𝐸 + 𝐺)

𝑁

𝑇− 𝛽2

𝐸𝐺

𝑇− 𝛼𝐸

𝑑𝐺

𝑑𝑡= 𝛽2

𝐸𝐺

𝑇− ΦG + (1 − 𝑓)𝜌𝑅

𝑑𝑅

𝑑𝑡= Φ𝐺 − 𝜌𝑅

𝑁 + 𝐸 + 𝐺 + 𝑅 = 𝑇

dengan 𝑁(0) ≥ 0 , 𝐸(0) ≥ 0 , 𝐺(0) ≥ 0 , 𝑅(0) ≥ 0 .

Total populasi (𝑇) pada pada kasus ini adalah tetap sebab 𝑑𝑇

𝑑𝑡= 0,

sehingga dapat diskalakan dengan membandingkan setiap subpopulasi

(3.1)

19

dalam model dengan total populasi (𝑇) sehingga dapat dinyatakan

sebagai berikut

𝑛 =𝑁

𝑇 , 𝑒 =

𝐸

𝑇, 𝑔 =

𝐺

𝑇, 𝑟 =

𝑅

𝑇 .

Subtitusikan persamaan persamaan (3.2) ke sistem persamaan

(3.1) hingga diperoleh

𝑑(𝑛𝑇)

𝑑𝑡= −𝛽1(𝑒𝑇 + 𝑔𝑇)

𝑛𝑇

𝑇+ 𝛼𝑒𝑇 + 𝑓𝜌𝑟𝑇

𝑑(𝑒𝑇)

𝑑𝑡= 𝛽1(𝑒𝑇 + 𝑔𝑇)

𝑛𝑇

𝑇− 𝛽2

𝑒𝑇𝑔𝑇

𝑇− 𝛼𝑒𝑇

𝑑(𝑔𝑇)

𝑑𝑡= 𝛽2

𝑒𝑇𝑔𝑇

𝑇+ (1 − 𝑓)𝜌𝑟𝑇 − Φ𝑔𝑇

𝑑(𝑟𝑇)

𝑑𝑡= Φ𝑔𝑇 − 𝜌𝑟𝑇.

Sederhanakan sistem persamaan di atas menjadi sebagai berikut.

𝑑𝑛

𝑑𝑡= −𝛽1𝑛(𝑒 + 𝑔) + 𝛼𝑒 + 𝑓𝜌𝑟

𝑑𝑒

𝑑𝑡= 𝛽1𝑛(𝑒 + 𝑔) − 𝛽2𝑒𝑔 − 𝛼𝑒

𝑑𝑔

𝑑𝑡= 𝛽2𝑒𝑔 + (1 − 𝑓)𝜌𝑟 − Φ𝑔

𝑑(𝑟)

𝑑𝑡= Φ𝑔 − 𝜌𝑟

dengan

𝑛 + 𝑒 + 𝑔 + 𝑟 = 1.

(3.2)

(3.3)

(3.4)

20

3.2 Titik Kesetimbangan

Pada subbab ini akan ditentukan titik kesetimbangan sistem.

Menurut definisi 2.3.3 titik kesetimbangan sistem diperoleh jika

𝑑𝑛

𝑑𝑡=

𝑑𝑒

𝑑𝑡=

𝑑𝑔

𝑑𝑡=

𝑑𝑟

𝑑𝑡= 0,

yaitu

−𝛽1𝑛(𝑒 + 𝑔) + 𝛼𝑒 + 𝑓𝜌𝑟 = 0 (3.5a)

𝛽1𝑛(𝑒 + 𝑔) − 𝛽2𝑒𝑔 − 𝛼𝑒 = 0 (3.5b)

𝛽2𝑒𝑔 + (1 − 𝑓)𝜌𝑟 − Φ𝑔 = 0 (3.5c)

Φ𝑔 − 𝜌𝑟 = 0. (3.5d)

Dari persamaan (3.5d) diperoleh

𝑟 =Φ𝑔

𝜌.

Dengan mensubstitusikan nilai 𝑟 ke persamaan (3.5c) diperoleh

𝛽2𝑒𝑔 − 𝑓Φ𝑔 = 0 ⇔ (𝛽2𝑒 − 𝑓Φ)𝑔 = 0

sehingga didapatkan nilai 𝑔 dan 𝑒 sebagai berikut

𝑔 = 0 , atau (3.6a)

𝑒 =𝑓Φ

𝛽2.

(3.6b)

Untuk nilai 𝑔 sama dengan nol maka nilai 𝑟 juga sama dengan

nol. Substitusikan persamaan (3.6a) ke persamaan (3.5b) sehingga

diperoleh

𝛽1𝑛𝑒 − 𝛼𝑒 = 0 ⟺ (𝛽1𝑛 − 𝛼)𝑒 = 0,

maka didapatkan nilai 𝑒 dan 𝑛 sebagai berikut

21

𝑒 = 0, atau

(3.7a)

𝑛 =𝛼

𝛽1. (3.7b)

Untuk mendapat nilai 𝑛 maka substitusikan nilai 𝑟 = 0, 𝑔 = 0

dan 𝑒 = 0 ke dalam persamaan 𝑛 + 𝑒 + 𝑔 + 𝑟 = 1 sehingga

didapatkan nilai 𝑛 = 1. Dari penjabaran di atas diperoleh nilai titik

tetap pertama yaitu 𝑄0 = (1,0,0,0).

Titik kesetimbangan 𝑄0 disebut titik kesetimbangan bebas geng.

Kondisi titik kesetimbangan ini menunjukkan jumlah populasi

anggota geng resmi (𝐺) maupun tidak resmi (𝐸) berjumlah nol. Tidak

adanya populasi geng mengakibatkan populasi narapida juga

berjumlah nol pada kondisi setimbang. Titik kesetimbangan ini selalu

eksis.

Untuk mencari titik tetap berikutnya, substitusikan persamaan

(3.6a) dan (3.7b) dan 𝑟 = 0 ke dalam persamaan 𝑛 + 𝑒 + 𝑔 + 𝑟 = 1

sehingga diperoleh

𝑒 =𝛽1 − 𝛼

𝛽1.

Dari penjabaran di atas diperoleh nilai titik tetap kedua yaitu

𝑄1 = (𝛼

𝛽1,

𝛽1−𝛼

𝛽1, 0,0).

Titik kesetimbangan 𝑄1 disebut juga titik kesetimbangan bebas

geng. Berbeda dari 𝑄0, pada titik kesetimbangan 𝑄1 terdapat populasi

anggota geng yang belum resmi (𝐸) namun tidak menunjukkan

adanya anggota geng yang resmi (𝐺) . Titik kesetimbangan

𝑄1 dikatakan eksis jika setiap variabel bernilai positif, yaitu 𝛼

𝛽1≥ 0

dan 𝛽1−𝛼

𝛽1≥ 0. Dikarenakan setiap parameter bernilai positif, maka

jelas bahwa 𝛼

𝛽1≥ 0 . Sementara itu

𝛽1−𝛼

𝛽1≥ 0 ⟺ 𝛽1 > 𝛼 . Dengan

kata lain, titik kesetimbangan 𝑄1 eksis jika 𝛽1 > 𝛼.

(3.8)

22

Selanjutnya untuk mencari titik tetap berikutnya substitusikan

persamaan (3.6b) dan persamaan (3.5d) ke dalam persamaan (3.4b)

sehingga diperoleh

𝑛 = 1 −𝑓Φ

𝛽2− 𝑔 (1 +

Φ

𝜌).

Untuk mencari nilai 𝑔 substitusikan persamaan (3.8),(3.9) dan

𝑟 =Φ𝑔

𝜌 ke dalam persamaan (3.5a) sehingga diperoleh

−𝛽1 (1 −𝑓Φ

𝛽2− 𝑔 (1 +

Φ

𝜌)) (

𝑓Φ

𝛽2+ 𝑔) + 𝛼

𝑓Φ

𝛽2+ 𝑓𝜌

Φ𝑔

𝜌= 0.

Jika persamaan di atas diubah kedalam bentuk persamaan kuadrat

maka diperoleh bentuk sebagai berikut

𝑔2𝑎 + 𝑔𝑏 + 𝑐 = 0

dengan

Jadi, titik tetap ketiga adalah

𝑄2 = (1 −𝑓Φ

𝛽2− 𝑔 (1 +

Φ

𝑟) ,

𝑓Φ

𝛽2, 𝑔∗,

Φ𝑔∗

𝜌),

dengan 𝑔1,2∗ =

−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎.

𝑎 = 𝛽1 (1 +Φ

𝜌) > 0

𝑏 =2𝛽1𝑓Φ

𝛽2+

𝛽1𝑓Φ2

𝛽2𝜌− 𝛽1 + 𝑓Φ

𝑐 =𝛽1𝑓2Φ2

𝛽22

−𝑓Φ

𝛽2

(𝛽1 − 𝛼).

(3.9)

23

Titik kesetimbangan 𝑄2 disebut juga titik kesetimbangan geng.

Kondisi ini ini menunjukkan bahwa pada kondisi setimbang populasi

geng selalu ada. Titik kesetimbangan 𝑄2 dikatakan eksis jika setiap

variabel bernilai positif. Nilai 𝑔∗1 dan 𝑔∗

2 bernilai positif jika

memenuhi 𝑔∗1 + 𝑔∗

2 =−𝑏

𝑎≥ 0 , 𝑔∗

1. 𝑔∗2 =

𝑐

𝑎≥ 0 , dan 𝑏2 −

4𝑎𝑐 ≥ 0. Agar kondisi di atas terpenuhi maka

𝑏 =2𝛽1𝑓Φ

𝛽2+

𝛽1𝑓Φ2

𝛽2𝜌− 𝛽1 + 𝑓Φ < 0,

𝑐 =𝛽1𝑓2Φ2

𝛽22

−𝑓Φ

𝛽2

(𝛽1 − 𝛼) > 0

dan

𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (2𝛽1𝑓Φ

𝛽2+

𝛽1𝑓Φ2

𝛽2𝜌− 𝛽1 + 𝑓Φ)

2

− 4𝛽1 (1 +Φ

𝜌) (

𝛽1𝑓2Φ2

𝛽22

−𝑓Φ

𝛽2

(𝛽1 − 𝛼)) > 0.

Dengan kata lain titik kesetimbangan 𝑄2 eksis jika

𝛽1 >2𝛽1𝑓Φ

𝛽2+

𝛽1𝑓Φ2

𝛽2𝜌+ 𝑓Φ,

𝛽1𝑓2Φ2

𝛽22

>𝑓Φ

𝛽2

(𝛽1 − 𝛼)

dan

Φ > 𝜌.

Cara memperoleh syarat eksistensi di atas disajikan secara rinci

pada lampiran 1.

24

Sebagai ilustrasi, nilai parameter yang memenuhi syarat eksistensi

𝑄2 disajikan pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Nilai paramater

𝛼 𝛽1 𝛽2 Φ 𝜌 𝑓

0.8 0.4 0.1 0.167 0.112 0.012

Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 3.1 diperoleh

koefisien persamaan kuadrat dari 𝑔∗ sebagai berikut

0.996𝑔∗2 − 0.37 𝑔∗ − 0.0081 = 0,

selanjutnya nilai 𝑔∗ adalah

𝑔∗1,2

−0.37 ± √−0.372 − 4 (0.996)(0.0081)

2 (0.996),

yaitu 𝑔1∗ = 0.34 dan 𝑔2

∗ = 0.023.

3.3 Analisis kestabilan titik kesetimbangan

Sistem persamaan (3.4) adalah sistem persamaan nonlinear. Oleh

sebab itu kestabilan titik kesetimbangan model dapat diketahui

dengan melakukan linearisasi sistem persamaan (3.4). Untuk

memudahkan perhitungan kita reduksi sistem (3.4) dengan

mengeliminasi variabel 𝑟 . Diketahui 𝑟 = 1 − 𝑛 − 𝑒 − 𝑔 sehingga

persamaan (3.4) menjadi,

𝑑𝑛

𝑑𝑡= −𝛽1𝑛(𝑒 + 𝑔) + 𝛼𝑒 + 𝑓𝜌(1 − 𝑛 − 𝑒 − 𝑔)

𝑑𝑒

𝑑𝑡= 𝛽1𝑛(𝑒 + 𝑔) − 𝛽2𝑒𝑔 − 𝛼𝑒

𝑑𝑔

𝑑𝑡= 𝛽2𝑒𝑔 + (1 − 𝑓)𝜌(1 − 𝑛 − 𝑒 − 𝑔) − Φ𝑔.

(3.4a)

25

Selanjutnya sistem persamaan di atas dilinearisasi dengan

menggunakan deret Taylor. Matriks Jacobi sistem persamaan (3.41)

adalah

𝐽 = (

−𝐵 − 𝑓𝜌 −𝐺 + 𝛼 −𝐺𝐵 𝛽1𝑛 + 𝛽2𝑔 − 𝛼 𝛽1𝑛 + 𝛽2𝑒

−𝐹 𝛽2𝑔 − 𝐹 𝛽2𝑒 − 𝐹 − Φ),

dengan 𝐵 = 𝛽1(𝑒 + 𝑔); 𝐹 = (1 − 𝑓)𝜌; 𝐺 = (𝛽1𝑛 + 𝑓𝜌). Persamaan

karakteristik sistem diperoleh dari

|

𝜆 + 𝐵 + 𝑓𝜌 𝐺 − 𝛼 𝐺−𝐵 −𝛽1𝑛 + 𝛽2𝑔 + 𝛼 + 𝜆 −𝛽1𝑛 + 𝛽2𝑒𝐹 −𝛽2𝑔 + 𝐹 −𝛽2𝑒 + 𝐹 + Φ + λ

| = 0,

yaitu

𝜆3 + 𝑎1𝜆2 + 𝑎2𝜆 + 𝑎3 = 0, dengan

𝑎1 = 𝐵 + 𝐹 + Φ + 𝛼 + 𝑓𝜌 + 𝛽2𝑔 − 𝛽1𝑛 − 𝛽2𝑒

𝑎2 = 𝐵(𝐺 − 𝛼) + 𝜙1𝜙2 + (𝐵 + 𝑓𝜌)𝜙3 − 𝐹𝐺 + 𝜙4

𝑎3 = 𝜙5𝜙1 − 𝜙6𝜙2 − (𝐹 − 𝛽2𝑔)𝜙7 + 𝐹𝜙8

dan

𝜙1 = 𝐹 + Φ − 𝛽2𝑒

𝜙2 = 𝐵 + 𝛼 + 𝑓𝜌 + 𝛽2𝑔 − 𝛽1𝑛 𝜙3 = 𝛼 + 𝛽2𝑔 − 𝛽1𝑛

𝜙4 = (𝐹 − 𝛽2𝑔)(𝛽1𝑛 − 𝛽2𝑒)

𝜙5 = (𝐵(𝐺 − 𝛼) + (𝐵 + 𝑓𝜌)(𝛼 + 𝛽2𝑔 − 𝛽1𝑛)

𝜙6 = (𝐹𝐺 − (𝐹 − 𝛽2𝑔)(𝛽1𝑛 − 𝛽2𝑒)

𝜙7 = ((𝛽1𝑛 − 𝛽2𝑒)(𝛼 + 𝛽2𝑔 − 𝛽1𝑛) + 𝐵𝐺)

𝜙8 = (𝐺(𝐵 + 𝑓𝜌) − (𝛽1𝑛 − 𝛽2𝑒)(𝐺 − 𝛼).

Cara memperoleh pesamaan karakteristik disajikan secara rinci

pada Lampiran 2.

26

3.3.1 Analisis kestabilan titik kesetimbangan 𝑸𝟎

Kestabilan 𝑄0 dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema

2.3. Langkah pertama, substitusikan 𝑄0 ke dalam persamaan

karakteristik berikut

𝜆3 + 𝑎1𝜆2 + 𝑎2𝜆 + 𝑎3 = 0.

Berdasarkan kriteria Routh Hurwitz, akar-akar persamaan

karakteristik di atas memiliki bagian real yang negatif jika

𝑎1 > 0 , 𝑎3 > 0 , |𝑎1 𝑎3

1 𝑎2| > 0.

Oleh sebab itu, titik kesetimbangan 𝑄0 akan stabil asimtotik jika

𝑎1 > 0 , 𝑎3 > 0 dan 𝑎1𝑎2 − 𝑎3 > 0 . Selanjutnya akan ditentukan

apakah 𝑄0 memenuhi syarat kestabilan dari kriteria Routh Hurwitz.

Berdasarkan Lampiran 3 diketahui nilai 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 dan 𝑎1𝑎2 − 𝑎3

sebagai berikut

𝑎1 = 𝜌 + Φ + 𝛼 − 𝛽1

𝑎2 = 𝜌(𝛼 − 𝛽1) + Φ(𝛼 − 𝛽1 + 𝑓𝜌)

𝑎3 = 𝑓𝜌Φ(𝛼 − 𝛽1)

𝑎1𝑎2 − 𝑎3 = (𝜌2 + 2Φ𝜌 + Φ2)(𝛼 − 𝛽1) + (𝜌 + Φ)(𝛼 − 𝛽1)2

+ Φ𝑓𝜌2 + Φ2𝑓𝜌.

Syarat 1 (𝒂𝟏 > 𝟎)

Diketahui semua parameter bernilai positif. 𝜌 + Φ + 𝛼 − 𝛽1 akan

bernilai positif jika 𝛼 > 𝛽1. Oleh karena itu syarat 𝑎1 > 0 terpenuhi

jika nilai 𝛼 > 𝛽1.

Syarat 2 (𝒂𝟑 > 𝟎)

Diketahui semua parameter bernilai positif. 𝑓𝜌Φ(𝛼 − 𝛽1) akan

bernilai positif jika 𝛼 > 𝛽1. Oleh karena itu syarat 𝑎3 > 0 terpenuhi

jika nilai 𝛼 > 𝛽1.

27

Syarat 3 (𝒂𝟏𝒂𝟐 − 𝒂𝟑 > 𝟎)

Diketahui semua parameter bernilai positif. (𝜌2 + 2Φ𝜌 +Φ2)(𝛼 − 𝛽1) + (𝜌 + Φ)(𝛼 − 𝛽1)2 + Φ𝑓𝜌2 + Φ2𝑓𝜌 > 0 akan

bernilai positif jika 𝛼 > 𝛽1 . Oleh karena itu syarat 𝑎1𝑎2 − 𝑎3 > 0

terpenuhi jika nilai 𝛼 > 𝛽1.

Penentuan kestabilan menggunakan kriteria Routh Hurwitz,

menunjukkan titik kesetimbangan 𝑄0 bersifat stabil asimtotik karena

telah memenuhi Teorema 2.3.

3.3.2 Analisis kestabilan titik kesetimbangan 𝑸𝟏

Titik kesetimbangan 𝑄1 adalah kondisi saat suatu populasi

terdapat masyarakat yang memiliki potensi untuk menjadi anggota

geng namun dalam prosesnya tidak ada masyarakat yang berubah

menjadi anggota geng. Kestabilan 𝑄1 dapat ditentukan dengan

mengunakan Teorema 2.3 dengan cara mensubstitusikan 𝑄1 ke dalam

persamaan karakteristik berikut

𝜆3 + 𝑎1𝜆2 + 𝑎2𝜆 + 𝑎3 = 0.

Berdasarkan kriteria Routh Hurwitz, akar persamaan karakteristik

di atas memiliki bagian real yang negatif jika

𝑎1 > 0 , 𝑎3 > 0 , |𝑎1 𝑎3

1 𝑎2| > 0.




Berdasarkan Lampiran 3 diketahui nilai 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 dan 𝑎1𝑎2 − 𝑎3

sebagai berikut

28

𝑎1 = 𝛽1 − 𝛼 + 𝜌 + Φ − 𝛽2(1 −𝛼

𝛽1)

𝑎2 =𝛽2𝜌𝛼

𝛽1+ 𝛽1𝜌 − 𝜌𝛼 + 𝑓𝜌Φ − 𝛼Φ − 𝛽2𝜌 + Φ𝛽1 − 𝛽1𝛽2 − 2𝛽2𝛼

+𝛽2𝛼2

𝛽1

𝑎3 = 𝜌(𝛽1 − 𝛼) (𝑓Φ − 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1))

𝑎1𝑎2 − 𝑎3 = (𝜌 + Φ − 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1)) (𝜌 (𝑓Φ − 𝛽2 (1 −

𝛼

𝛽1))

+ (𝛽1 − 𝛼)2) + (𝜌 + Φ − 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1)) (𝛽1 − 𝛼)

+ 2𝛽2𝛼Φ.

Syarat 1 (𝒂𝟑 > 𝟎)

Diketahui syarat eksistensi titik tetap 𝑄1 adalah 𝛽1 > 𝛼 dan

semua parameter bernilai positif. Akan dibuktikan 𝜌(𝛽1 − 𝛼) (𝑓Φ −

𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1)) > 0 agar syarat 𝑎3 > 0 terpenuhi. Dari penjabaran di

atas maka terbukti bahwa 𝜌(𝛽1 − 𝛼) > 0 sedangkan agar (𝑓Φ −

𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1)) > 0 maka nilai 𝑓Φ > 𝛽2 (1 −

𝛼

𝛽1) . Dengan kata lain

syarat 𝑎3 > 0 terpenuhi jika 𝑓Φ > 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1).

29

Syarat 2 (𝒂𝟏 > 𝟎)

Akan dibuktian 𝛽1 − 𝛼 + 𝜌 + Φ − 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1) > 0 agar syarat

𝑎1 > 0 terpenuhi. Diketahui eksistensi titik tetap 𝑄2 adalah 𝛽1 > 𝛼

maka 𝛽1 − 𝛼 bernilai positif. Selanjutnya akan dibuktikan 𝜌 + Φ −

𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1) > 0. Agar 𝜌 + Φ − 𝛽2 (1 −

𝛼

𝛽1) > 0 bernilai positif

maka 𝜌 + Φ > 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1) . Untuk membuktikannya gunakan nilai

parameter (1 − 𝑓). Diketahui (1 − 𝑓) bernilai positif sehingga 0 <𝑓 < 1. Jika 𝑓 < 1 maka 𝑓Φ < Φ. Diketahui nilai 𝑓Φ < Φ maka 𝜌 +

Φ > 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1) . Dengan kata lain syarat 𝑎1 > 0 terpenuhi jika

𝑓Φ > 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1).

Syarat 3 (𝒂𝟏𝒂𝟐 − 𝒂𝟑 > 𝟎)

Diketahui nilai

𝑎1𝑎2 − 𝑎3 = (𝜌 + Φ − 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1)) (𝜌 (𝑓Φ − 𝛽2 (1 −

𝛼

𝛽1))

+ (𝛽1 − 𝛼)2) + (𝜌 + Φ − 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1)) (𝛽1 − 𝛼)

+ 2𝛽2𝛼Φ. Diketahui syarat eksistensi titik kesetimbangan 𝑄1 adalah 𝛽1 > 𝛼

maka syarat 𝑎1𝑎2 − 𝑎3 > 0 terpenuhi jika 𝑓Φ > 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1).

Penentuan kestabilan menggunakan kriteria Routh Hurwitz,

menunjukkan titik kesetimbangan 𝑄2 bersifat stabil asimtotik dengan

syarat tertentu karena telah memenuhi Teorema 2.3

3.3.3 Analisis kestabilan titik kesetimbangan 𝑸𝟐

Titik kesetimbangan 𝑄2 disebut juga titik kesetimbangan gang.

Kondisi ini menunjukkan bahwa pada kondisi setimbang populasi

anggota geng akan tetap ada. Berdasarkan uraian sebelumnya

diperoleh titik kesetimbangan bebas geng 𝑄2 = (1 −𝑓Φ

𝛽2− 𝑔∗ (1 +

Φ

𝜌) ,

𝑓Φ

𝛽2, 𝑔∗, 𝑟 =

Φ𝑔∗

𝜌).

30

Kestabilan 𝑄2 dapat ditentukan dengan mengunakan Teorema

2.3. Dengan mensubtitusikan 𝑄2 kedalam persamaan karakteristik

berikut

𝜆3 + 𝑎1𝜆2 + 𝑎2𝜆 + 𝑎3 = 0.

Berdasarkan kriteria Routh Hurwitz, akar persamaan karakteristik

di atas memiliki bagian real yang negatif jika

𝑎1 > 0 , 𝑎3 > 0 , |𝑎1 𝑎3

1 𝑎2| > 0.




Berdasarkan Lampiran 3 diketahui nilai 𝑎1, 𝑎2 dan 𝑎3 sebagai

berikut

𝛼1 = 𝜌 + 𝛼 + 𝛽2𝑔 + Φ(1 − 𝑓) − 𝛽1 ℚ

𝑎2 = (𝛽2𝑔Φ − 𝛽1ℚ𝛽2𝑔 + 𝜌(𝛼 + 𝛽2𝑔 − 𝛽1ℚ)) − Φ(1 − 𝑓)(𝛽1ℚ

− 𝛼)

𝑎3 = 𝛽1𝛽2𝑔2Φ + 𝛽1𝑔𝑓Φ2 + 𝛽2𝑔𝑓𝜌Φ − 𝛽2𝑔𝜌ℚ,

dengan

ℚ = 1 − 2𝑓Φ

𝛽2− 𝑔 (2 +

Φ

𝜌).

Dikarenakan sulit mencari syarat kestabilan 𝑄2 maka

substitusikan nilai parameter yang sudah sesuai dengan syarat

eksistensi 𝑄2 . Diberikan nilai paramater untuk mencari nilai 𝑎1, 𝑎2

dan 𝑎3 sebagai berikut

31

Tabel 3.2 Nilai parameter titik kesetimbangan 𝑄2


0.8 0.4 0.1 0.167 0.112 0.012

Dengan mensubstiusikan nilai parameter pada Tabel 3.2 didapatkan

𝛼1 = 0.533 + 4.633𝑔

𝑎2 = 0.050 + 0.5295𝑔 + 0.4533𝑔2

𝑎3 = −0.0004𝑔 + 0.0099𝑔2

𝛼1. 𝑎2 − 𝑎3 = 0.0268 + 0.5162𝑔 + 2.6853𝑔2 + 2.1004𝑔3.

Substitusikan nilai 𝑔∗ ke dalam persamaan di atas. Untuk nilai 𝑔∗

1 = 0.34 dan 𝑔∗2 = 0.024 didapatkan

𝑔∗1 = 0.34 𝑔∗

2 = 0.024

𝛼1 = 2.108 𝛼1 = 1.950

𝑎2 = 0.2828 𝑎2 = 0.2266

𝑎3 = 0010 𝑎3 = 00003

𝛼1. 𝑎2 − 𝑎3 = 0.5953 𝛼1. 𝑎2 − 𝑎3 = 0.4421.

Berdasarkan persamaan di atas diketahui bahwa untuk titik

kesetimbangan 𝑄2 dengan parameter pada Tabel 3.1 bersifat stabil

asimtotik karena syarat Teorema 2.3 terpenuhi.

32

Tabel 3.3 Syarat Eksistensi dan Kestabilan Titik Kesetimbangan

Titik Tetap Jenis

Kestabilan

Syarat eksistensi titik tetap Syarat Kestabilan

𝑄0 = (1,0,0,0) Stabil

asimtotik

Tidak ada 𝛼 > 𝛽1

𝑄1 = (𝑎

𝛽1,

𝛽1−𝑎

𝛽1

∗, 0,0). Stabil

asimtotik 𝛼 < 𝛽1

𝑓Φ > 𝛽2 (1 −

𝛼

𝛽1).

𝑄2 = ((1 −𝑓Φ

𝛽2− 𝑔 (1 +

Φ

𝜌)) ,

𝑓Φ

𝛽2, 𝑔∗,

Φ𝑔

𝜌).

Stabil

asimtotik 𝛽1 >2𝛽1𝑓Φ

𝛽2+

𝛽1𝑓Φ2

𝛽2𝜌+ 𝑓Φ

𝛽1𝑓2Φ2

𝛽22

>𝑓Φ

𝛽2

(𝛽1 − 𝛼)

Φ > 𝜌

𝑎1 > 0

𝑎3 > 0

|𝑎1 𝑎3

1 𝑎2| > 0

33

3.4 Simulasi Numerik

Pada subbab ini dibahas simulasi numerik menggunakan Runge

Kutta orde 4 pada software Matlab untuk mendukung hasil analisis

pada bab sebelumnya. Listing program dijabarkan pada Lampiran 4.

3.4.1 Simulasi I

Pada simulasi ini diamati kestabilan titik kesetimbangan 𝑄0

berdasarkan perilaku solusi dengan menggunakan nilai parameter

pada Tabel 3.4 berikut.

Tabel 3.4 Nilai parameter simulasi I


0.75 0.31 0.23 0.115 0.2 0.44

Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 3.4 diketahui 𝛼 > 𝛽1 .

Oleh karena itu menurut Tabel 3.3 syarat kestabilan 𝑄1 tidak terpenuhi

sedangkan syarat kestabilan 𝑄0 terpenuhi yaitu stabil asimtotik.

Berikut simulasi mengunakan metode Runge Kutta orde 4 dengan

nilai awal (0.25,0.25,0.25), (0.15,0.35,0.4) dan (0.16,0.57,0.2)

Gambar 3.2 Potret fase untuk simulasi I

34

Gambar 3.2 menunjukkan bahwa jika nilai 𝛼. lebih besar daripada

𝛽1 maka jumlah masing-masing populasi akan menuju titik

kesetimbangan bebas geng 𝑄0 = (1,0,0). Dalam kondisi ini anggota

gang belum tentu dapat merekrut masyarakat sehingga jumlah anggota

geng akan berkurang seiring waktu. Oleh karena itu, sesuai dengan

hasil analisis kestabilan 𝑄0 maka kondisi bebas anggota geng dapat

tercapai.

Gambar 3.3 Jumlah populasi masyarakat dari waktu ke waktu untuk

simulasi I

Gambar 3.3 memperlihatkan secara lebih rinci pergerakan jumlah

populasi masyarakat dari waktu ke waktu. Populasi masyarakat biasa

begerak menuju 1 sedangkan anggota geng tidak resmi dan anggota

geng resmi bergerak menuju nol.

35

3.4.2 Simulasi II



pada Tabel 3.5

Tabel 3.5 Nilai parameter simulasi I


0.30 0.43 0.11 0.6 0.2 0.2

Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 3.5 diketahui 𝛼 <𝛽1 sehingga syarat eksistensi titik kesetimbangan 𝑄1 terpenuhi. Selain

itu agar syarat kestabilan 𝑄1 terpenuhi maka 𝑓Φ > 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1) atau

𝑓Φ − 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1) > 0. Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 3.5

diperoleh 𝑓Φ − 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1) = 0.086. Berikut simulasi mengunakan

metode Runge Kutta orde 4 dengan nilai awal (0.25,0.25,0.25),

(0.15,0.35,0.4) dan (0.16,0.57,0.2)

Gambar 3.4 Potret fase untuk simulasi II

36

Gambar 3.4 menunjukkan bahwa jika nilai 𝛽1 lebih besar daipada

𝛼 maka dan 𝑓Φ − 𝛽2 (1 −𝛼

𝛽1) > 0 maka jumlah masing-masing

populasi akan menuju titik kesetimbangan bebas geng 𝑄1 =

(𝛼

𝛽1,

𝛽1−𝛼

𝛽1, 0) = (0.690,0.302,0). Dalam kondisi ini walau terdapat

anggota geng tidak resmi namun pertumbuhan jumlah geng merosot

menuju nol. Oleh karena itu, sesuai dengan hasil analisis kestabilan 𝑄1

maka kondisi bebas anggota geng dapat tercapai.


simulasi II

Gambar 3.5 memperlihatkan secara rinci perubahan populasi

masyarakat pada titik kesetimbangan 𝑄1. Terlihat populasi masyarakat

awam bergerak mendekati nilai 0.7 sedangkan populasi geng yang

tidak resmi bergerak menuju 0.3 sedangkan populasi geng menurun

seiring waktu menuju nol.

37

3.4.3 Simulasi III



pada Tabel 3.6

Tabel 3.6 Nilai parameter simulasi III


0.8 0.4 0.1 0.167 0.112 0.012

Berikut simulasi mengunakan metode Runge Kutta orde 4 dengan

nilai awal (0.25,0.25,0.25), (0.15,0.35,0.4) dan (0.16,0.57,0.2)

Gambar 3.6 Potret fase untuk simulasi III

Gambar 3.6 menunjukkan bahwa masing-masing populasi akan

menuju titik tetap kesetimbangan geng 𝑄2 = (0.132, 0.020,0.34) .

Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 3.7.

38


simulasi III

Gambar 3.7 memperlihatkan secara rinci perubahan populasi

masyarakat pada titik kesetimbangan 𝑄2 . Terlihat populasi

masyarakat awam bergerak menurun menuju nilai 0.1132 sedangkan

populasi geng yang tidak resmi bergerak menuju 0.02 sedangkan

populasi geng terus bertambah menuju nilai 0.34.

39

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan dalam skripsi ini diperoleh kesimpulan

sebagai berikut.

1. Model matematika penyebaran geng di masyarakat merupakan

sistem persamaan diferensial nonlinear yang merupakan model

SEIRS.

2. Model matematika penyebaran geng di masyarakat memiliki dua

jenis titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan bebas geng

dan titik kesetimbangan geng. Titik kesetimbangan bebas geng

memiliki dua kondisi. Kondisi pertama populasi akan bergerak

menuju populasi masyarakat awam. Kondisi kedua populasi

bergerak menuju populasi masyarakat awam dan masyarakat yang

belum resmi menjadi anggota geng.

3. Ketiga titik kesetimbangan model matematika penyebaran geng di

masyarakat bersifat stabil asimtotik.

4. Simulasi numerik menunjukkan hasil yang sesuai dengan analisis

kestabilan titik kesetimbangan.

4.2 Saran

Pada penulisan selanjutnya, disarankan dilakukan pengembangan

analisis pada model, yaitu dengan mengkaji perubahan kestabilan

pada titik tetap (analisis bifurkasi).

41

DAFTAR PUSTAKA

Boyce, W. E. dan R. C. DiPrima. 2009. Elementary Differential

Equations and Boundary Value Problems. Ninth Edition. John

Wiley & Sons. New York.

Finizio, N. dan G. Ladas. 1982. Ordinary Differential Equations with

Modern Applications. Second Edition. Wardsworth. USA

Heskel, L dan L. Yablonsky. 1982. Juvenile Delinuncy (3rd ed).

Houghten Mifflin Company. Boston.

Kartono, K . 1999. Patologi Sosial. Raja Grafindo Persada. Jakarta.

Klein, K. 1995. The American Street Gang: it’s Nature, Prevalence,

and Control. Oxford University Press. New York.

Murray, J. D. 2002. Mathematical Biology : An Introduction, Third

Edition. Heidelberg:Springel-Verlag. Berlin.

Nagle, R. K., E. B. Saff, dan A. D. Snider. 2012. Fundamentals of

Differential Equations and Boundary Value Problems. Eighth

Edition. Pearson Education, Inc. USA.

Office of Juvenile Justice and Delinquency Prevention. 1998. National

Youth Gang Survey. U.S. Department of Justice. USA.

Ormerod, P., C. Mounfiled, dan L. Smith. 2001. Non-linear Modelling

of Burglary and Violent Crime in the UK. Modelling crime and

offending: recent developments in England and Wales. 80 (1) :

section B.

Robinson, R. C. 2004. An Introduction to Dynamical Systems:

Continuous and Discrete. USA: Prentice Hall Education.

Ross, S. L. 1984. Differential Equation. Third edition. John Wiley &

Sons. USA.

42

Shim, E. 2004. An Epidemic Model with Immigration of Infectives and

Vaccination. Msc.Thesis. The University of British Columbia.

Sooknanan, J., B. Bhatt, dan D.M.G. Commisiong . 2013. Catching a

Gang - a Mathematical Model of the Spread of Gang in

Population Treated as an Infectious Disease. International

Jurnal of Pure and Applied Mathematics. 83(1): 25-43.

Spergel, I. A. 1995. The Youth Gang Problem. Oxford University

Press.NewYork

skripsirepository.ub.ac.id/4414/1/lalu samsul ahmadi.pdf1. bagaimana merekonstruksi model matematika...

Documents