kemampuan representasi matematis mahasiswa …

i

i

KEMAMPUAN REPRESENTASI MATEMATIS

MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO

TAHUN AKADEMIK 2016/ 2017

SKRIPSI

Disusun sebagai salah satu syarat

untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan

Oleh

Ike Kurniati

NIM 132140026

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO

2017

ii

ii

iii

iii

iv

iv

v

v

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

MOTTO

“Hai orang-orang beriman apabila dikatakan kepadamu: “Berlapang-lapanglah

dalam majlis”, maka lapangkanlah niscaya Allah akan memberi kelapangan

untukmu. Dan apabila dikatakan: “Berdirilah kamu”, maka berdirilah, niscaya

Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman diantaramu dan orang-orang

yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat. Dan Allah Maha Mengetahui

yang kamu kerjakan.” (TQS. Al Mujaadilah: 11)

PERSEMBAHAN

Skripsi ini kupersembahkan sebagai tanda bakti dan sayang

kepada.

1. Mama tercinta (Muslikhatun) yang selalu mendukung,

memberiku doa dan semangat.

2. Adikku (Fury) dan masku (Fian) yang selalu memberiku

dukungan dan semangat.

3. Sahabat-sahabatku (Muti, Dita, Ajeng, dan Dewi) yang

selalu memberikan semangat dan menjadi tempat berkeluh

kesah.

vi

vi

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT atas rahmat-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi yang berjudul “Kemampuan Representasi Matematis

Mahasiswa Calon Guru Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo

Tahun Akademik 2016/ 2017”. Skripsi ini disusun dalam rangka menyelesaikan

studi Strata 1 Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purworejo.

Banyak pelajaran berharga yang didapat selama proses penulisan skripsi

ini. Pengalaman suka dan duka telah memberi makna yang mendalam tentang arti

kesabaran, ketekunan, keikhlasan, dan arti sebuah persahabatan.

Keberhasilan pelaksanaan penelitian ini tidak lepas dari bantuan berbagai

pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima

kasih kepada.

1. Drs. H. Supriyono, M. Pd., Rektor Unversitas Muhammadiyah Purworejo

yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk belajar dan

mengembangkan ilmu pengetahuan.

2. Yuli Widiyono, M. Pd., Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Purworejo yang telah memberikan izin penulis

untuk mengadakan penelitian.

3. Riawan Yudi Purwoko, S. Si., M. Pd., Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika yang telah memberikan izin penulis mengadakan penelitian.

vii

vii

4. Dr. H. Bambang Priyo Darminto, M. Kom., Dosen Pembimbing I yang selalu

memberikan bimbingan, petunjuk, dan arahan kepada penulis dengan penuh

kesungguhan dan kesabaran dalam penulisan skripsi ini.

5. Dita Yuzianah, M. Pd., Dosen Pembimbing II yang telah memberikan

bimbingan, saran, motivasi, dan koreksi kepada penulis dengan penuh

kesungguhan dan kesabaran dalam penulisan skripsi ini.

6. Wharyanti Ika Purwaningsih, M. Pd., Dosen Mata Kuliah Geometri Ruang

yang telah memberikan izin dan kemudahan dalam melakukan penelitian.

7. Erni Puji Astuti, M. Pd., dan Ika Wharyanti Purwaningsih, M. Pd., Validator

yang telah memberikan masukan dan nasihat.

8. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini

yang tidak mungkin penulis sebutkan satu per satu.

Semoga amal kebaikan semua pihak tersebut mendapatkan balasan dari

Allah SWT. Penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari kesempurnaan.

Walaupun demikian, penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan

sumbangan yang bermanfaat bagi kemajuan keilmuwan khususnya dunia

pendidikan.

Purworejo, Agustus 2017

Penyusun,

Ike Kurniati

NIM. 132140026

viii

viii

ABSTRAK

Ike Kurniati. 132140026. “Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa

Calon Guru Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo Tahun Akademik

2016/2017”. Skripsi. Pendidikan Matematika. FKIP. Universitas Muhammadiyah

Purworejo. 2017.

Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif yang bertujuan untuk

mengetahui kemampuan representasi matematis mahasiswa calon guru

matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo.

Pengumpulan data dalam penelitian ini menggunakan teknik triangulasi.

Subjek penelitian dalam penelitian ini adalah mahasiswa calon guru matematika

semester dua berjumlah empat siswa. Teknik pengambilan subjek pada penelitian

ini didasarkan pada mahasiswa yang memiliki keaktifan tinggi menurut beberapa

indikator. Instrumen dalam penelitian ini menggunakan tes dengan lima soal

representasi matematis, wawancara, dokumentasi, dan catatan lapangan. Teknik

analisis data menggunakan model Miles dan Huberman, yaitu reduksi data,

penyajian data, dan kesimpulan.

Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh kesimpulan secara umum

representasi matematis mahasiswa calon guru matematika Universitas

Muhammadiyah Purworejo tahun akademik 2016/ 2017 sebagai berikut:

1) mahasiswa sudah mampu membuat gambar bangun geometri untuk

memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Terlihat bahwa mahasiswa

mampu menggambar bangun kubus ataupun limas untuk memperjelas masalah

dan memfasilitasi penyelesaian; 2) mahasiswa sudah mampu menyelesaikan

masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Di sini mahasiswa sudah mampu

menggunakan ekspresi matematis seperti simbol-simbol matematika untuk

menyelesaikan masalah. Namun dalam menggunakan simbol-simbol, masih perlu

ditingkatkan; dan 3) Mahasiswa sudah mampu menjawab soal dengan

menggunakan kata-kata atau teks tertulis. Hal ini terlihat dari hasil tes maupun

wawancara, mahasiswa sudah mampu menjawab dengan menggunakan kata-kata

ataupun teks tertulis dengan sama baiknya.

Kata kunci: representasi, matematis, mahasiswa.

ix

ix

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iii

HALAMAN PERNYATAAN ......................................................................... iv

HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN .............................................. v

KATA PENGANTAR ..................................................................................... vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

DAFTAR ISI .................................................................................................... ix

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xi

DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiii

DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xiv

BAB I PENDAHULUAN ......................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ......................................................... 1

B. Identifikasi Masalah ............................................................... 4

C. Batasan Masalah..................................................................... 5

D. Rumusan Masalah .................................................................. 5

E. Tujuan Penelitian ................................................................... 6

F. Manfaat Penelitian ................................................................. 6

BAB II KAJIAN TEORI, TINJAUAN PUSTAKA, DAN KERANGKA

PIKIR ............................................................................................ 7

A. Kajian Teori ........................................................................... 7

B. Tinjauan Pustaka .................................................................... 15

C. Kerangka Pikir ....................................................................... 18

BAB III METODE PENELITIAN .............................................................. 21

A. Metode Penelitian................................................................... 21

B. Tempat dan Waktu Penelitian ................................................ 21

C. Subjek Penelitian .................................................................... 22

D. Teknik Pengumpulan Data ..................................................... 23

E. Instrumen Penelitian............................................................... 25

F. Teknik Analisis Data .............................................................. 26

G. Uji Keabsahan Data................................................................ 27

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ............................ 29

A. Hasil Penelitian ...................................................................... 29

B. Analisis Data .......................................................................... 33

C. Pembahasan ............................................................................ 103

D. Keterbatasan Peneliti .............................................................. 107

BAB V PENUTUP ..................................................................................... 108

A. Simpulan ................................................................................ 108

x

x

B. Saran ....................................................................................... 108

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 110

LAMPIRAN ..................................................................................................... 112

xi

xi

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. Kubus ABCD.EFGH ........................................................... 13

Gambar 2. Bidang Tumpuan ................................................................. 14

Gambar 3. Sudut Tumpuan ................................................................... 14

Gambar 4. Jarak Titik dan Bidang......................................................... 15

Gambar 5. Kerangka Pikir ..................................................................... 20

Gambar 6. Observasi 24 Mei 2017 ........................................................ 30

Gambar 7. Observasi 31 Mei 2017 ........................................................ 31

Gambar 8. Soal Tes ............................................................................... 33

Gambar 9. Jawaban S1 No. 2 ................................................................ 34

Gambar 10. Dokumentasi S1 No. 2 ......................................................... 35

Gambar 11 Jawaban S1 No. 3 ................................................................ 36




























xii

xii































Gambar 69. Observasi ............................................................................. 175

Gambar 70. Observasi ............................................................................. 175

Gambar 71. S1 Mengerjakan Soal Tes .................................................... 176




xiii

xiii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1. Bentuk-bentuk Representasi dan Operasionalnya ...................... 11

Tabel 2. Indikator Kemampuan Representasi Matematis ......................... 12

Tabel 3. Indikator Kemampuan Representasi Matematis ......................... 12

Tabel 4. Tabel Persamaan dan Perbedaan Masalah Penelitian Sebelumnya

dengan Penelitian yang Dilakukan ............................................. 18

Tabel 5. Waktu Penelitian ........................................................................ 21

Tabel 6. Subjek Penelitian ........................................................................ 32

xiv

xiv

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1. Kisi-kisi Soal ..................................................................... 112

Lampiran 2. Soal Tes Representasi Matematis...................................... 114

Lampiran 3. Kunci Jawaban .................................................................. 115

Lampiran 4. Lembar Validasi Soal Tes ................................................. 119

Lampiran 5. Lembar Validasi Pedoman Wawancara ............................ 125

Lampiran 6. Lembar Observasi Hasil Penelitian ................................... 133

Lampiran 7. Lembar Jawab Tes Representasi Matematis S1 ................ 137




Lampiran 11. Transkrip Wawancara S1 .................................................. 148




Lampiran 15. Catatan Lapangan S1......................................................... 171




Lampiran 19. Dokumentasi ..................................................................... 175

Lampiran 20. Surat Keputusan Penetapan Dosen Pembimbing Skripsi .. 178

Lampiran 21. Surat Permohonan Izin Observasi dan Penelitian ............. 179

Lampiran 22. Surat Keterangan Telah Melaksanakan Penelitian ............ 180

Lampiran 23. Surat Pernyataan Uji Validasi dari Validator .................... 181

Lampiran 24. Kartu Bimbingan Skripsi .................................................. 185

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Matematika merupakan mata pelajaran yang penting karena matematika

dibutuhkan oleh manusia dan tidak dapat dipisahkan dengan kegiatan kehidupan

sehari-hari. Pada hakikatnya, matematika merupakan ilmu universal yang

mendasari perkembangan teknologi modern, serta memiliki peranan penting

dalam berbagai disiplin ilmu dan memajukan daya pikir manusia. Dalam setiap

aktivitas manusia tidak terlepas dari konsep matematika.

Matematika sering dianggap sebagai mata pelajaran yang sulit dan

membosankan oleh sebagian orang. Begitu pula bagi mahasiswa, matematika

dianggap sebagai mata kuliah yang sulit untuk dipahami. Salah satu alasannya

karena dalam mempelajari materi baru dalam matematika seringkali memerlukan

pengetahuan dan pemahaman yang memadai tentang satu atau lebih materi yang

telah dipelajari sebelumnya.

Tahapan saat menjadi mahasiswa adalah tahapan yang penting, mahasiswa

dituntut untuk mandiri dan mulai mempersiapkan diri terjun ke masyarakat.

Sebagai mahasiswa calon guru matematika, sudah seharusnya mengetahui tujuan

yang hendak dicapai dalam pembelajaran matematika. Tujuan pembelajaran

matematika diantaranya adalah mengembangkan kemampuan: (1) komunikasi

matematis, (2) penalaran matematis, (3) pemecahan masalah matematis, (4)

koneksi matematis, (5) representasi matematis (National Council of Teachers of

Mathematics [NCTM ], 2000). Berdasarkan uraian di atas, representasi

1

2

merupakan hal penting dalam pembelajaran matematika. Walaupun penting, di

Indonesia representasi matematis belum terlalu diperhatikan terutama oleh guru.

Kebanyakan guru masih kurang memahami pentingnya representasi matematis

dan cenderung mengajar menggunakan metode yang kurang merangsang

perkembangan representasi matematis siswa. Hal tersebut terlihat pada saat guru

memberikan contoh soal, kemudian siswa diberi latihan soal untuk dikerjakan

maka siswa akan cenderung mengerjakan soal menggunakan langkah-langkah

atau cara-cara seperti yang guru sampaikan. Hal tersebut akan membuat

representasi siswa kurang berkembang, karena siswa hanya akan mengikuti cara-

cara atau langkah yang sudah dicontohkan. Siswa cenderung menganggap

menyelesaikan soal dengan cara-cara atau langkah yang berbeda adalah salah.

Kemampuan representasi memang tidak disebutkan secara tersurat dalam

tujuan pembelajaran matematika yang ditetapkan pemerintah, namun secara

tersirat pentingnya representasi tampak pada tujuan pemecahan masalah dan

komunikasi matematis, karena untuk menyelesaikan masalah matematis,

diperlukan kemampuan membuat model matematika dan menafsirkan solusinya

yang merupakan indikator representasi. Representasi merupakan salah satu tujuan

pembelajaran matematika, oleh sebab itu kemampuan representasi mahasiswa

perlu diperhatikan.

Kemampuan representasi matematis adalah kemampuan menyajikan kembali

notasi, simbol, tabel, gambar, grafik, diagram, persamaan atau ekspresi matematis

lainnya ke dalam bentuk lain (Lestari, 2015: 83). Berdasarkan kutipan di atas,

representasi matematis merupakan kemampuan menyajikan kembali, misalnya

3

dari tabel disajikan kembali ke dalam diagram, sedangkan bentuk lain yang

dimaksud adalah bentuk tertulis, lisan, atau lainnya. Representasi memiliki

peranan yang sangat penting dalam pembelajaran matematika karena mahasiswa

dapat mengembangkan dan memperdalam pemahaman tentang konsep dan

keterkaitan antarkonsep matematika yang mereka miliki melalui membuat,

membandingkan, dan menggunakan representasi. Dengan demikian, representasi

bukan hanya baik untuk pemahaman mahasiswa, tetapi juga membantu

mahasiswa dalam mengkomunikasikan pemikiran mereka.

Setiap mahasiswa mempunyai cara yang berbeda dalam mengkontruksikan

pengetahuannya. Dalam hal ini, sangat memungkinkan bagi mahasiswa untuk

mencoba berbagai macam representasi dalam memahami suatu konsep. Selain itu

representasi juga berperan dalam proses penyelesaian masalah matematis. Selama

ini kemampuan representasi matematis mahasiswa dianggap hanya merupakan

bagian kecil sasaran pembelajaran, dan tersebar dalam berbagai materi

matematika yang dipelajari. Di balik hal itu kemampuan representasi ternyata bisa

dipandang sebagai suatu proses untuk mengembangkan kemampuan berpikir

matematis mahasiswa dan sejajar dengan komponen-komponen proses lainnya.

Hal tersebut cukup beralasan dengan pencantuman representasi sebagai suatu

komponen standar proses. Untuk berpikir secara matematis dan mengembangkan

ide/ gagasan matematis seseorang perlu merepresentasikannya dalam berbagai

cara.

Dalam penelitian ini, peneliti melakukan penelitian di Universitas

Muhammadiyah Purworejo yang biasa disingkat UMP. UMP merupakan

4

perguruan tinggi Muhammadiyah yang terletak di Kabupaten Purworejo, Jawa

Tengah. UMP memiliki sistem perekrutan calon mahasiswa layaknya perguruan

tinggi swasta lain. UMP dengan segala kelebihan dan kekurangannya berusaha

membentuk dan menghasilkan kualitas lulusan yang berilmu dan berakhlakul

karimah. Lulusan UMP sudah banyak terjun ke masyarakat dan diharapkan dapat

bersaing dengan lulusan perguruan tinggi lain.

Berdasarkan uraian di atas, tentang pentingnya peran representasi dalam

tujuan pembelajaran matematika serta masih jarang ditemuinya penelitian yang

memberikan gambaran representasi mahasiswa maka peneliti bermaksud

mengambil judul penelitian “Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa

Calon Guru Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo Tahun Akademik

2016/ 2017”.

B. Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang ada, maka dapat diidentifikasi

beberapa masalah sebagai berikut:

1. matematika sering dianggap sebagai mata pelajaran yang sulit dan

membosankan oleh sebagian orang diduga karena dalam matematika

terdapat banyak hitungan dan hafalan;

2. bagi mahasiswa, matematika dianggap sebagai mata kuliah yang sulit untuk

dipahami diduga karena matematika identik dengan rumus-rumus yang sulit

dihafalkan;

5

3. representasi matematis belum terlalu diperhatikan diduga karena kurangnya

pemahaman tentang peran penting representasi matematis dalam tujuan

pembelajaran.

C. Batasan Masalah

Batasan masalah berfungsi sebagai alat untuk memfokuskan penelitian agar

penelitian lebih mendalam dan detail. Berdasarkan identifikasi masalah, maka

batasan masalah dalam penelitian ini adalah:

1. kemampuan representasi matematis mahasiswa calon guru matematika

terbatas pada materi geometri ruang;

2. ruang lingkup penelitian pada mahasiswa pendidikan matematika semester 2

Universitas Muhammadiyah Purworejo;

3. pelaksanaan penelitian pada tahun akademik 2016/ 2017.

D. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah dan batasan masalah yang telah

diuraikan, dapat ditarik rumusan masalah yaitu:

bagaimanakah kemampuan representasi mahasiswa calon guru matematika

Universitas Muhammadiyah Purworejo tahun akademik 2016/ 2017?

E. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah, tujuan dilakukannya penelitian ini adalah

untuk mengetahui kemampuan representasi matematis mahasiswa calon guru

matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo tahun akademik 2016/ 2017.

6

F. Manfaat Penelitian

Manfaat dari hasil penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Manfaat teoretis

a. Dapat memberikan gambaran tentang kemampuan representasi matematis

mahasiswa calon guru matematika Universitas Muhammadiyah

Purworejo.

b. Dapat dijadikan bahan pertimbangan untuk penelitian lain.

2. Manfaat praktis

a. Sebagai masukan bagi dosen dalam mempertimbangkan dan menentukan

pembelajaran.

b. Sebagai masukan bagi mahasiswa calon guru matematika untuk

mengetahui kemampuan representasi matematis yang dimilikinya.

7

BAB II

KAJIAN TEORI, TINJAUAN PUSTAKA, DAN

KERANGKA PIKIR

A. Kajian Teori

1. Kemampuan Representasi Matematis

Representasi dipakai dalam berbagai bidang. Dalam pembelajaran matematika

representasi merupakan dasar atau pondasi untuk memahami dan menggunakan

ide-ide matematika. Pengertian representasi menurut Kamus Besar Bahasa

Indonesia (2015: 1167) adalah “1) perbuatan mewakili; 2) keadaan diwakili; 3)

apa yang mewakili; perwakilan”.

Menurut Lestari (2015: 83) bahwa “kemampuan representasi matematis adalah

kemampuan menyajikan kembali notasi, simbol, tabel, gambar, grafik, diagram,

persamaan atau ekspresi matematis lainnya ke dalam bentuk lain”. Menurut Jones

& Knuth (Sabirin, 2014: 33) representasi adalah “model atau bentuk pengganti

dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi. Sebagai

contoh, suatu masalah dapat direpresentasikan dengan obyek, gambar, kata-kata,

atau simbol matematika”.

The ways in which mathematical ideas are represented is fundamental to how

people can understand and use those ideas (NCTM, 2000: 67). Cara-cara di mana

ide-ide matematika dapat direpresentasikan merupakan dasar bagaimana

seseorang dapat memahami dan menggunakan ide-ide tersebut. Menurut NCTM

(2000: 360) “representations are the means by which those patterns are recorded

7

8

and analyzed”. Artinya bahwa representasi adalah bagaimana pola-pola dicatat

dan dianalisis.

Kemampuan representasi matematis menurut Kartini (2009: 367) adalah

“kemampuan mengungkapkan ide-ide matematika (masalah, pernyataan, solusi,

definisi, dan lain-lain) kedalam salah satu bentuk: (1) Gambar, diagram grafik,

atau tabel; (2) Notasi matematik, numerik/simbol aljabar; dan (3) Teks tertulis/

kata-kata, sebagai interpretasi dari pikirannya”.

Dalam memahami konsep representasi, Pape & Tchoshanov (Luitel, 2002)

mengemukakan:

There are four main ideas in order to conceptualise the notion of

representation. Firstly, within the domain of mathematics, representation may

be regarded as internal- abstraction of mathematical ideas or cognitive

schemata that are constructed by the learner. Secondly, representation can be

explicated as mental reproduction of a former mental sate. Thirdly a

structurally equivalent presentation through pictures, symbols and signs also

resembles to the concept of representation. Lastly, it is also known as

something in place of something.

Artinya terdapat empat ide utama yang dapat digunakan untuk membuat konsep

gagasan representasi. Pertama, dalam domain matematika, representasi dapat

dipandang sebagai abstraksi internal dari ide-ide matematika atau skemata

kognitif yang dibangun oleh siswa. Kedua, representasi dapat digunakan sebagai

reproduksi mental dari keadaan mental sebelumnya. Ketiga, sebagai sajian

struktural melalui gambar, simbol dan tanda-tanda. Keempat, sebagai sesuatu

yang mewakili sesuatu yang lain.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa kemampuan representasi

matematis adalah kemampuan menyajikan bentuk atau model pengganti dari suatu

masalah yang digunakan untuk menemukan solusi. Bentuk atau model pengganti

9

dapat berupa notasi, simbol, persamaan atau ekspresi matematis, kata-kata atau

verbal, tulisan, gambar, tabel, grafik, benda konkrit dan lain-lain.

2. Representasi Matematis dalam Pembelajaran Matematika

Representasi sangat berperan dalam upaya mengembangkan dan

mengoptimalkan kemampuan matematika mahasiswa. Seperti yang tercantum

dalam tujuan pembelajaran matematika menurut NCTM (2000: 29), The Process

Standards—Problem Solving, Reasoning and Proof, Communication,

Connections, and Representation—highlight ways of acquiring and using content

knowledge. NCTM menetapkan lima standar proses yaitu: (1) pemecahan

masalah, (2) penalaran matematis, (3) komunikasi matematis, (4) koneksi

matematis, (5) representasi matematis. Berdasarkan uraian di atas, representasi

merupakan hal penting dalam pembelajaran matematika. Pencantuman

representasi sebagai komponen standar proses dalam NCTM selain kemampuan

pemecahan masalah, penalaran, komunikasi dan koneksi cukup beralasan karena

untuk untuk berpikir matematis seseorang perlu merepresentasikannya dalam

berbagai bentuk representasi matematis (Alhadad, 2010: 6). Selain itu,

pentingnya representasi tampak pada tujuan pemecahan masalah dan komunikasi

matematis, karena untuk menyelesaikan masalah matematis, diperlukan

kemampuan membuat model matematika dan menafsirkan solusinya yang

merupakan indikator representasi.

Menurut Hudiono (Sabirin, 2014: 36) “representasi adalah suatu aktivitas

interpretasi konsep atau masalah dengan memberikan makna. Dalam

pembelajaran matematika, representasi lebih dari sekedar produk fisik hasil

10

observasi. Selain itu, representasi juga merupakan proses kognitif yang terjadi

secara internal”. Melalui representasi eksternal mahasiswa, dosen dapat menebak

apa sesungguhnya yang merupakan representasi internal dalam benak mahasiswa,

sehingga dosen dapat melakukan langkah yang tepat untuk membawa mahasiswa

belajar.

Ketika mahasiswa dihadapkan pada suatu masalah matematika dalam

pembelajaran di kelas, mereka akan berusaha memahami masalah tersebut dan

menyelesaikannya dengan cara-cara yang mereka ketahui. Cara-cara tersebut

sangat terkait dengan pengetahuan yang pernah mahasiswa dapatkan sebelumnya

yang berhubungan dengan masalah yang disajikan. Salah satu upaya yang dapat

dilakukan mahasiswa adalah dengan membuat model atau representasi dari

masalah tersebut. Model atau representasi yang dibuat dapat bermacam-macam

tergantung pada kemampuan masing-masing individu dalam menginterpretasikan

permasalahan.

Dalam pembelajaran matematika di kelas hendaknya mahasiswa diberikan

kesempatan yang cukup agar dapat melatih dan mengembangkan kemampuan

representasi matematisnya. Dalam hal ini, representasi matematis mempunyai

bagian yang penting dalam pemecahan masalah. Masalah yang disajikan

sebaiknya disesuaikan dengan isi dan kedalaman materi pada jenjang masing-

masing dengan memperhatikan pengetahuan awal atau prasyarat yang dimiliki

mahasiswa.

11

3. Aspek Kemampuan Representasi Matematis

Ada beberapa aspek kemampuan representasi matematis yang dikemukakan

oleh beberapa ahli. Menurut Dahlan (2016: 132) secara umum bentuk representasi

yang mungkin dibangun dari suatu masalah adalah sebagai berikut:

Tabel 1.

Bentuk-Bentuk Representasi dan Operasionalnya

Representasi Bentuk Operasional

Visual dalam

bentuk:

a. Gambar

b. Tabel

a. Menyajikan kembali data atau informasi dari

representasi ke dalam bentuk tabel, diagram, grafik, dll.

b. Menggunakan representasi visual.

c. Membuat gambar pola geometri.

d. Memperjelas bangun geometri.

Ekspresi

matematika atau

persamaan

matematika

a. Membuat persamaan matematika atau model

matematika dari representasi ke representasi lain.

b. Membuat konjektur dari pola yang ditemukan.

c. Menyelesaikan masalah melalui persamaan matematika.

Deskripsi atau

pernyataan

a. Membuat situasi masalah dari masalah yang diberikan.

b. Menuliskan interpretasi dari representasi.

c. Menuliskan solusi masalah melalui kalimat secara

tertulis.

d. Menggunakan langkah-langkah penyelesaian matemati-

ka dengan kata-kata.

Dahlan membagi bentuk representasi menjadi 3, yaitu visual dalam bentuk

gambar dan tabel, ekspresi matematika atau persamaan matematika, dan deskripsi

atau pernyataan.

Aspek kemampuan representasi matematis menurut Lestari (2015: 83),

“representasi matematis terdiri atas representasi visual, gambar, teks tertulis,

persamaan atau ekspresi matematis”. Indikator kemampuan representasi

matematis menurut Mudzakkir dalam Lestari (2015: 83-84):

12

Tabel 2.

Indikator Kemampuan Representasi Matematis

Aspek Indikator

Representasi

Visual

a. Menyajikan kembali data atau informasi dari suatu

representasi diagram, grafik, atau tabel.

b. Menggunakan representasi visual untuk menyelesaikan

masalah.

Representasi

Gambar

a. Membuat gambar pola geometri.

b. Membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas

masalah dan memfasilitasi penyelesaian.

Representasi

Persamaan atau

Ekspresi Matematis

a. Membuat persamaan atau model matematis dari

representasi lain yang diberikan.

b. Membuat konjektur dari suatu bilangan.

c. Penyelesaian masalah dengan melibatkan ekspresi

matematis.

Representasi Kata

atau Teks Tertulis

a. Membuat situasi masalah berdasarkan data atau

representasi yang diberikan.

b. Menuliskan interpretasi dari suatu representasi.

c. Menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah

matematis dengan kata-kata.

d. Menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau

teks tertulis.

Dalam penelitian ini, beberapa pendapat di atas digunakan sebagai dasar

peneliti dalam menentukan indikator kemampuan representasi matematis.

Indikator kemampuan representasi matematis dalam penelitian sebagai berikut.

Tabel 3.

Indikator Kemampuan Representasi Matematis

Aspek Indikator

Representasi Gambar Mampu membuat gambar bangun geometri untuk

memperjelas masalah dan memfasilitasi

penyelesaian.

Representasi Persamaan

atau Ekspresi Matematis

Mampu menyelesaikan masalah dengan

melibatkan ekspresi matematis.

Representasi Kata atau

Teks Tertulis

Mampu menjawab soal dengan menggunakan

kata-kata atau teks tertulis.

13

4. Materi

a. Hubungan Antara Garis-garis dan Bidang-bidang Pada Permukaan Kubus

Gambar 1. Kubus ABCD.EFGH

Pada kubus ABCD. EFGH, terdapat hubungan:

1) Garis dan Bidang

a) Garis AB dan AC terletak pada bidang ABCD.

b) Garis AE memotong (menembus) bidang ABCD.

c) Garis EF sejajar bidang ABCD.

2) Bidang dan Bidang

a) Sisi ABCD dan BCGF adalah dua sisi yang berpotongan. BC adalah

garis potongnya. Dapat juga dikatakan, bahwa sisi bidang dan BCGF

bertemu pada BC.

b) Sisi ABCD dan EFGH adalah dua sisi yang sejajar. Ternyata dua sisi

yang berhadapan pada kubus juga sejajar. Dua bidang dikatakan sejajar

jika mereka tidak bersekutu pada satu titik pun, meskipun bidang itu

diperluas.

3) Garis dan Garis

Jika dua garis itu sebidang, maka kedua garis itu berpotongan atau sejajar,

misalnya: Rusuk EF dan FG adalah dua garis yang berpotongan.

14

Rusuk AE dan BF adalah dua garis yang sejajar.

Kalau kita perhatikan rusuk AB dan DH maka kedua garis ini tidak

berpotongan dan tidak sejajar. Kedua garis ini disebut dua garis yang

bersilangan. Relasi dua garis yang demikian ini tidak terdapat pada dua garis

yang sebidang.

b. Sudut Antara Dua Buah Bidang

Sebagian dari ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang U dan V yang

berpotongan dinamakan sudut-sudut bidang dua atau sudut ruang.

Bidang-bidang batas U dan V disebut sisi-sisi sudut bidang dua itu, sedangkan

(U,V) adalah rusuknya.

Besar sudut sebuah sudut bidang dua ditentukan

oleh sudut tumpuannya. Sudut tumpuannya. Sudut

tumpuan itu ada pada bidang tumpuan, yang

letaknya tegak lurus pada rusuk (U,V).

Sudut tumpuan sudut bidang dua dinamakan ∠A (BC) D atau ∠A.BC.D. Istilah

tersebut singkat dan jelas.

∠A.BC.D; dari istilah ini dapat dibaca bahwa sisi-sisi

sudut bidang dua itu adalah bidang-bidang ABC dan

BCD sedangkan BC adalah rusuknya.

Gambar 2. Bidang Tumpuan

Gambar 3. Sudut Tumpuan

15

c. Jarak Antara Titik T dan Bidang

Garis a melalui titik T dan tegak lurus bidang 𝛼

Garis a ke bidang 𝛼 merupakan titik tembus S.

Sehingga,TS adalah jarak dari titik T ke bidang 𝛼.

Materi diambil dari Mariani (2013: 3, 20-21, 26).

B. Tinjauan Pustaka

Suatu penelitian akan lebih akurat jika berorientasi pada pengalaman penelitian

sebelumnya yang serupa dengan penelitiannya. Untuk itu peneliti menggunakan

beberapa penelitian yang sebelumnya telah dilakukan sebagai referensi. Beberapa

penelitian terdahulu yang serupa dengan penelitian yang dilakukan oleh peneliti,

diantaranya adalah penelitian dari Muhamad Sabirin (2014), Jarnawi Afgani

Dahlan & Dadang Juandi (2011), dan Muthmainnah (2014).

Penelitian Muhamad Sabirin (2014) dengan judul “Representasi dalam

Pembelajaran Matematika”. Dalam penelitian Sabirin membahas 1) representasi;

2) kemampuan representasi matematis; 3) dan representasi matematis dalam

pembelajaran matematika. Hasil penelitiannya yaitu kemampuan representasi

matematis adalah salah satu kemampuan yang sangat penting bagi siswa dan

merupakan salah satu tujuan yang hendak dicapai dalam pembelajaran matematika

di sekolah. Representasi sangat berguna dalam membantu siswa menyelesaikan

sebuah masalah dengan lebih mudah. Representasi juga berguna sebagai sarana

mengkomunikasikan gagasan atau ide matematis siswa kepada siswa lain maupun

Gambar 4. Jarak Titik dan Bidang

16

kepada guru. Pembelajaran matematika di kelas sebaiknya memberikan

kesempatan yang cukup bagi siswa untuk melatih dan mengembangkan

kemampuan representasi matematis. Ada persamaan antara Sabirin dengan

peneliti, yaitu sama-sama mendeskripsikan tentang representasi. Namun ada pula

perbedaannya, peneliti mendeskripsikan mengenai “Kemampuan Representasi

Matematis Mahasiswa Calon Guru Matematika Universitas Muhammadiyah

Purworejo Tahun Akademik 2016/ 2017”, sedangkan Sabirin menganalisis

“Representasi dalam Pembelajaran Matematika” tepatnya menganalisis

representasi di sekolah bukan di Universitas.

Selain penelitian Sabirin, juga terdapat dalam penelitian Dahlan & Juandi

tahun 2011, dengan penelitiannya yang berjudul “Analisis Representasi

Matematika Siswa Sekolah Dasar dalam Penyelesaian Masalah Matematika

Kontekstual”. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menguji bentuk-bentuk

representasi dibangun oleh siswa sekolah dasar dalam memecahkan masalah

matematika. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa bentuk-bentuk representasi

yang dibangun oleh siswa sangat bervariasi. Bentuk-bentuk representasi mereka

dibangun dalam tabel, gambar, pola, dan bentuk formal (penggunaan rumus).

Penelitian ini juga mengungkapkan bahwa beberapa siswa mampu

mengembangkan bentuk-bentuk representasi menggunakan proses logika

matematika. Siswa mulai merumuskan representasi menggunakan premis yang

diketahui, mengatur premis-premis, membuat dugaan, dan kemudian mengatur

representasi formal. Persamaan penelitian Dahlan & Juandi dengan peneliti adalah

sama-sama memfokuskan penelitian pada representasi matematis. Perbedaan

17

penelitian Dahlan & Juandi dengan peneliti adalah: 1) Dahlan & Juandi

melakukan penelitian pada siswa sekolah dasar, sedangkan peneliti pada

mahasiswa; 2) Dahlan & Juandi menguji bentuk-bentuk representasi sedangkan

peneliti adalah untuk mengetahui kemampuan representasi.

Penelitian Muthmainnah tahun 2014, dengan judul “Meningkatkan

Kemampuan Representasi Matematis Siswa melalui Pendekatan Pembelajaran

Metaphorical Thinking”. Tujuan dari penelitian Muthmainnah adalah untuk

menganalisis perbedaan kemampuan representasi matematis siswa yang diajarkan

dengan pendekatan metaphorical thinking dan siswa yang diajarkan dengan

pendekatan pembelajaran konvensional. Hasil pembahasan dari penelitian

Muthmainnah adalah indikator kemampuan representasi matematis tertinggi yang

diperoleh pada kelas eksperimen adalah kemampuan visual. Rata-rata kemampuan

visual kelas eksperimen adalah 8,56 sedangkan pada kelas kontrol adalah 8,24.

Pada hasil pengujian hipotesis diperoleh thitung = 2,026 dan ttabel = 2,0048 sehingga

thitung> ttabel. Jadi, dapat disimpulkan bahwa kemampuan representasi matematis

siswa yang diajarkan dengan pendekatan pembelajaran metaphorical thinking

lebih tinggi dibandingkan kemampuan representasi matematis siswa yang

diajarkan dengan pendekatan pembelajaran konvensional. Persamaan penelitian

Muthmainnah dengan peneliti adalah sama-sama membahas kemampuan

representasi. Perbedaan penelitian Muthmainnah dengan penelitian yang peneliti

lakukan adalah: 1) penelitian Muthmainnah adalah penelitian eksperimen

sedangkan peneliti cenderung ke kualitatif; 2) penelitian Muthmainnah lebih ke

18

arah meningkatkan kemampuan representasi matematis sedangkan peneliti adalah

untuk mengetahui bagaimana kemampuan representasi matematis.

Berdasarkan beberapa pembahasan yang telah peneliti sampaikan di atas, dapat

dibuat tabel persamaan dan perbedaan penelitian terdahulu dengan penelitian yang

peneliti lakukan. Seperti tampak pada tabel berikut:

Tabel 4.

Persamaan dan Perbedaan Masalah Penelitian Sebelumnya dengan Penelitian

yang Dilakukan

Penelitian Persamaan Perbedaan

Muhamad Sabirin

(2014)

Representasi

matematis

Penelitian Sabirin membahas jenis representasi, sedangkan peneliti membahas

tentang kemampuan representasi

mahasiswa.

Jarnawi Afgani Dahlan dan Dadang Juandi

(2011)

Representasi

matematis

1. Penelitian Dahlan dan Juandi dilakukan pada siswa sekolah dasar, sedangkan

peneliti melakukan penelitian pada

mahasiswa. 2. Penelitian Dahlan dan Juandi menguji

bentuk-bentuk representasi, sedangkan

peneliti hanya untuk mengetahui

kemampuan representasi matematis mahasiswa.

Muthmainnah (2014) Representasi

matematis

Penelitian Muthmainnah berupa eksperimen

sedangkan yang peneliti lakukan berupa penelitian deskriptif kualitatif.

Ike Kurniati (2017) Representasi

matematis

Penelitian dilakukan di Universitas

Muhammadiyah Purworejo.

C. Kerangka Pikir

Representasi matematis merupakan salah satu tujuan pembelajaran yang

hendak dicapai dalam pembelajaran matematika. Meskipun representasi termasuk

dalam tujuan pembelajaran matematika, namun peran representasi masih jarang

diperhatikan. Seperti yang dikemukakan oleh Kartini (2009: 361), bahwa “dalam

pembelajaran matematika selama ini siswa tidak pernah atau jarang diberikan

19

kesempatan untuk menghadirkan representasinya sendiri. Siswa cenderung meniru

cara guru dalam menyelesaikan masalah”. Hal tersebut sering dijumpai dalam

pembelajaran, di mana siswa tidak merasa percaya diri dengan representasinya

sendiri, sehingga lebih suka meniru langkah guru dalam menyelesaikan masalah.

Representasi matematis erat kaitannya dengan pemahaman konsep maupun

penyelesaian masalah. Untuk memahami konsep dibutuhkan kemampuan

representasi. Begitu juga untuk menyelesaikan suatu masalah dibutuhkan

representasi. Representasi matematis juga berperan dalam meningkatkan

kemampuan komunikasi matematis mahasiswa. Peran representasi matematis

sangat penting dalam pembelajaran matematika. Oleh sebab itu, mahasiswa

diharapkan dapat menggunakan representasi matematis dengan baik. Untuk bisa

menggunakan representasi dengan baik, mahasiswa harus banyak berlatih

mengerjakan soal.

Dalam penelitian ini, untuk dapat mengetahui kemampuan representasi

matematis mahasiswa peneliti menggunakan tiga aspek representasi matematis.

Tiga aspek tersebut diantaranya, aspek representasi matematis visual, persamaan/

ekspresi, dan deskripsi atau kata-kata. Dari ketiga aspek tersebut, masing-masing

ditentukan indikator yang digunakan. Hal tersebut bertujuan untuk membantu

peneliti dalam menganalisis kemampuan representasi matematis mahasiswa.

Langkah selanjutnya yang peneliti lakukan untuk mengetahui kemampuan

representasi matematis mahasiswaadalah melakukan observasi di kelas untuk

mendapatkan subjek penelitian. Setelah mendapatkan subjek langkah selanjutnya

adalah dengan memberi tes tertulis. Tes tertulis yang diberikan memuat indikator-

20

indikator representasi matematis. Peneliti juga menulis catatan lapangan untuk

memperkuat hasil penelitian. Setelah diberi tes tertulis, subjek penelitian

diwawancarai untuk mengetahui kemampuan representasinya.

Gambar 5. Kerangka Pikir

Representasi

Matematis

Representasi

Matematis

Deskripsi

Representasi

Matematis

Visual

Representasi

Matematis

ekspresi

Pembelajaran

Matematika

Aspek-aspek Kemampuan

Representasi Matematis

1. Observasi

2. Tes Tertulis

3. Wawancara

4. Dokumentasi

5. Catatan Lapangan

Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa

21

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode

penelitian kualitatif. Metode penelitian kualitatif menurut Sugiyono (2016: 1)

adalah “metode penelitian yang digunakan untuk meneliti pada kondisi obyek

yang alamiah, di mana peneliti adalah sebagai instrumen kunci, teknik

pengumpulan data dilakukan secara triangulasi, analisis data bersifat induktif dan

hasil penelitian kualitatif lebih menekankan makna dari pada generalisasi”.

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini dimaksudkan untuk

memperoleh informasi mengenai kemampuan representasi matematis mahasiswa.

B. Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Universitas Muhammadiyah Purworejo. Waktu

penelitian dari bulai Mei sampai Juli 2017.

Tabel 5.

Waktu Penelitian

No. Tahapan Penelitian Jenis Kegiatan Waktu

`1 Perencanaan Pengajuan judul proposal

penelitian Oktober 2016

Penyusunan proposal

penelitian

Desember 2016-

April 2017

Pembuatan instrumen

penelitian April- Mei 2017

2 Pelaksanaan Observasi, tes tertulis,

dokumen dan wawancara Mei-Juni 2017

3 Pengolahan data dan

penyusunan laporan

Pengolahan data dan

penyusunan laporan

Juni- Agustus

2017

21

22

C. Subjek Penelitian

Dalam penelitian kualitatif, tujuan pengambilan subjek adalah untuk

mendapatkan informasi sebanyak mungkin dan juga tepat. Agar mendapatkan data

yang tepat, pemilihan sumber data dilakukan dengan mempertimbangkan hal-hal

tertentu untuk memudahkan peneliti. Cara pengambilan subjek penelitian dalam

penelitian ini menggunakan purposive sampling dan snowball sampling. Dalam

hal ini kata sampling digunakan untuk menunjukan sejumlah subjek. Peneliti

menentukan subjek yang diambil karena ada pertimbangan tertentu, bukan secara

acak.

1. Purposive Sampling

Purposive sampling adalah teknik pengambilan sampel sumber data dengan

pertimbangan tertentu (Sugiyono, 2016: 53-54). Pada purposive sampling,

pengambilan subjek harus didasarkan atas ciri-ciri atau kriteria tertentu. Penelitian

ini bertujuan untuk mengetahui kemampuan representasi matematis mahasiswa,

oleh sebab itu diperlukan subjek yang memenuhi kriteria agar dapat mengungkap

hal tersebut. Kriteria yang digunakan adalah sebagai berikut:

a. terlibat dalam kegiatan proses belajar mengajar di kelas;

b. memiliki salah satu dari sikap: aktif bertanya, aktif menjawab pertanyaan, aktif

maju mengerjakan soal.

Pemilihan subjek dalam penelitian ini adalah subjek yang memenuhi kriteria di

atas, yaitu beberapa mahasiswa. Dosen pengampu juga djadikan sebagai key

informant untuk lebih menguatkan hasil penelitian.

23

2. Snowball Sampling

Snowball sampling adalah teknik pengambilan sampel sumber data, yang pada

awalnya jumlahnya sedikit, lama-lama menjadi besar (Sugiyono, 2016: 54). Hal

ini dilakukan karena sumber data yang sedikit belum tentu mampu memberikan

data yang memuaskan. Sehingga jumlah sumber data akan semakin besar. Dalam

penelitian ini, peneliti menentukan informan awal dengan pertimbangan tertentu

yang menurut peneliti dapat membuka gambaran umum data yang bisa peneliti

peroleh untuk menentukan tambahan informan jika diperlukan, serta data data

yang diambil pada saat di lapangan. Pengambilan data dari subjek dalam

penelitian akan terus berlangsung sampai data yang diperoleh jenuh. Data

dikatakan jenuh menurut Sugiyono (2016: 57) adalah “dari berbagai informan,

baik yang lama maupun yang baru, tidak memberikan data yang baru lagi”. Ketika

dalam pengambilan dan analisis data, apabila peneliti menambah subjek baru data

yang didapat tidak menambah informasi baru dari informasi yang sudah

terkumpul. Jadi, walaupun peneliti menambah subjek baru, data yang didapat

kemungkinannya kecil untuk bertambah, bahkan mungkin tetap.

D. Teknik Pengumpulan Data

Menurut Sugiyono (2016: 62), “teknik pengumpulan data merupakan langkah

yang paling strategis dalam penelitian, karena tujuan utama dari penelitian adalah

mendapatkan data”. Dalam pengumpulan data, peneliti bertugas untuk mencari

data dengan cara berinteraksi langsung dengan subjek yang diteliti. Untuk

mendapatkan pemahaman yang lebih luas dan mendalam terhadap situasi sosial

yang diteliti, maka teknik pengumpulan data bersifat triangulasi, yaitu

24

menggunakan berbagai teknik pengumpulan data secara gabungan/ simultan

(Sugiyono, 2015: 8).

1. Teknik Observasi

Menurut Marshall dalam Sugiyono (2016: 64), “melalui observasi, peneliti

belajar tentang perilaku dan makna dari perilaku tersebut”. Berkaitan dengan

penelitian ini, maka peneliti menjadikan observasi sebagai salah satu teknik

pengumpulan data yang digunakan. Dalam penelitian, observasi digunakan untuk

menentukan subjek yang akan diambil.

2. Tes Tertulis

Pada penelitian ini, peneliti memberikan tes tertulis kepada mahasiswa.

Pemberian tes dilakukan oleh peneliti dengan tujuan untuk mengetahui

kemampuan representasi matematis mahasiswa calon guru matematika. Tes yang

diberikan berupa soal essay atau uraian.

3. Teknik Wawancara

Menurut Moleong (2013: 186), “wawancara adalah percakapan dengan maksud

tertentu”. Peneliti melakukan wawancara untuk mengetahui hal-hal yang lebih

mendalam tentang subjek dalam menginterpretasikan situasi dan fenomena yang

terjadi, di mana hal ini tidak bisa ditemukan melalui tes tertulis. Teknik

wawancara yang digunakan dalam penelitian ini adalah teknik wawancara semi

terstruktur. Jenis wawancara ini sudah termasuk dalamm kategori in-dept

interview, di mana dalam pelaksanaannya lebih bebas bila dibandingkan

wawancara terstruktur (Sugiyono, 2016: 73). Pertanyaan yang diberikan dalam

wawancara berkaitan dengan soal yang telah dikerjakan subjek.

25

4. Teknik Catatan Lapangan

Pada penelitian ini, peneliti menggunakan teknik catatan lapangan. Menurut

Bogdan dan Biklen (Moleong, 2013: 209), “catatan lapangan adalah catatan

tertulis tentang apa yang didengar, dilihat, dialami, dan dipikirkan dalam rangka

pengumpulan data dan refleksi terhadap data dalam penelitian kualitatif”. Teknik

ini digunakan untuk melakukan pencatatan data-data berupa situasi dan kondisi

yang menyangkut tingkah laku, praktik-praktik dan kegiatan yang dilakukan

sumber data penelitian. Kegiatan pencatatan ini dilakukan bersamaan dengan

melakukan pengamatan. Pentingnya teknik ini adalah untuk mengetahui dan

melengkapi data-data yang mungkin tidak dapat diperoleh dengan teknik yang

lain.

5. Teknik Dokumentasi

Menurut Sugiyono (2016: 82), “dokumen merupakan catatan peristiwa yang

sudah berlalu. Dokumen bisa berbentuk tulisan, gambar, atau karya-karya

monumental dari seseorang. Studi dokumen merupakan pelengkap dari

penggunaan metode observasi dan wawancara dalam penelitian kualitatif”.

Dokumentasi dalam penelitian ini untuk mendapatkan hasil lembar jawab

mahasiswa maupun rekaman ketika mahasiswa sedang mengerjakan tes. Hasil

dari observasi ataupun wawancara yang peneliti lakukan menjadi lebih kredibel

(dapat dipercaya) dengan adanya dokumentasi.

E. Instrumen Penelitian

Dalam penelitian kualitatif, yang menjadi instrumen atau alat penelitian

adalah peneliti itu sendiri (Sugiyono, 2016: 59). Selain itu, peneliti juga

26

menggunakan catatan lapangan dan instrumen lain berupa pedoman wawancara

dan lembar tes. Untuk menguatkan keabsahan instrumen, maka instrumen

penelitian tersebut divalidasi oleh dua validator.

F. Teknik Analisis Data

Menurut Moleong (2013: 10), “penelitian kualitatif menggunakan analisis

data secara induktif”. Sependapat dengan Moleong, Sugiyono (2016: 89)

mengemukakan bahwa, “analisis data kualitatif adalah bersifat induktif, yaitu

suatu analisis berdasarkan data yang diperoleh, selanjutnya dikembangkan

menjadi hipotesis. Analisis data dalam penelitian kualitatif dilakukan saat

pengumpulan data berlangsung dan setelah selesai pengumpulan data”. Teknik

analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah teknik analisis model

Miles and Huberman. Menurut Miles dan Huberman (Sugiyono, 2016: 91), bahwa

“aktivitas dalam analisis data kualitatif dilakukan secara interaktif dan

berlangsung secara terus menerus sampai tuntas, sehingga datanya sudah jenuh.

Aktivitas dalam analisis data, meliputi data reduction, data display, dan

conclusion drawing/ verification”.

1. Data Reduction (Reduksi Data)

Mereduksi data berarti merangkum, memilih hal-hal pokok, memfokuskan

pada hal-hal yang penting, dicari tema dan polanya (Sugiyono, 2016: 92). Artinya,

setelah peneliti melakukan pengumpulan data dengan triangulasi yaitu dengan

triangulasi teknik dan dilakukan secara terus menerus sampai data jenuh. Peneliti

selanjutnya menyempurnakan data dengan cara mengurangi, menambah,

merangkum, membuang dan mengambil data yang pokok dan penting. Dalam

27

penelitian ini reduksi data yang dilakukan adalah mengklasifikasikan kemampuan

representasi mahasiswa.

2. Data Display (Penyajian Data)

Setelah data direduksi, maka langkah selanjutnya adalah menyajikan data.

Menurut Miles dan Huberman dalam Sugiyono (2016: 95), “yang paling sering

digunakan untuk menyajikan data dalam penelitian kualitatif adalah dengan teks

yang bersifat naratif”. Dalam melakukan display data selain dengan teks yang

naratif juga dapat berupa grafik, matrik, network (jejaring kerja) dan chart

(Sugiyono, 2016: 95). Penyajian data dalam penelitian ini dengan teks berupa

diskripsi kemampuan representasi mahasiswa sesuai dengan jawaban yang

dikemukakan mahasiswa.

3. Conclusion Drawing/ Verification

Langkah selanjutnya yaitu penarikan kesimpulan dan verifikasi. Setelah data

yang didapatkan sudah jenuh, peneliti melakukan penarikan kesimpulan atau

verifikasi. Kesimpulan dalam penelitian ini adalah temuan berupa deskriptif atau

gambaran tentang subjek yang diteliti. Penarikan kesimpulan atau verifikasi yang

peneliti lakukan untuk menggambarkan kemampuan representasi matematis

mahasiswa calon guru matematika sesuai dengan data yang peneliti dapatkan

dalam bentuk naratif.

G. Uji Keabsahan Data

Menurut Sugiyono (2015: 270), “Uji keabsahan data dalam penelitian

kualitatif meliputi uji credibility (validitas internal), transferability (validitas

eksternal), dependability (reliabilitas) dan confirmability (obyektivitas)”.

28

Penelitian ini menggunakan uji kredibilitas (credibility) dengan melakukan

triangulasi dan menggunakan bahan referensi. Triangulasi yang dilakukan dengan

penelitian ini adalah triangulasi teknik. Sugiyono (2016: 83), “triangulasi teknik

berarti peneliti menggunakan teknik pengumpulan data yang berbeda-beda untuk

mendapatkan data dari sumber yang sama”. Peneliti menggunakan tes, wawancara

mendalam, dan dokumentasi untuk sumber data yang sama secara serempak.

Tujuan triangulasi teknik pada penelitian ini adalah meningkatkan kepercayaan

peneliti dan meningkatkan kekuatan data.

Peneliti juga menggunakan bahan referensi, yang dimaksud bahan referensi

adalah adanya pendukung untuk membuktikan data yang yang telah ditemukan

oleh peneliti. Misalnya, data hasil wawancara dapat didukung dengan bukti

rekaman audio maupun visual. Data hasil penilaian tes didukung dengan bukti

lembar tes. Data catatan lapangan didukung dengan bukti catatan lapangan.

29

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Hasil Penelitian

Tujuan dari analisis data ini adalah untuk mengungkapkan rumusan masalah

penelitian. Rumusan masalah pada penelitian ini yaitu bagaimana kemampuan

representasi matematis mahasiswa calon guru matematika Universitas

Muhammadiyah Purworejo tahun akademik 2016/ 2017. Dalam penelitian ini

peneliti mengambil subjek berdasarkan kriteria yang telah ditentukan sebelumnya.

Adapun tahapan atau proses pelaksanaan penelitian ini yaitu peneliti

mengajukan surat izin penelitian dan observasi kepada Ketua Prodi Pendidikan

Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo pada tanggal 17 Mei 2017.

Setelah itu peneliti meminta izin kepada dosen pengampu Mata Kuliah Geometri

Ruang untuk melaksanakan observasi dan penelitian. Peneliti selanjutnya

melakukan observasi di kelas 2D pada hari Rabu, tanggal 24 dan 31 Mei 2017.

Observasi tersebut dilakukan untuk mengambil subjek penelitian yang nantinya

akan mengerjakan tes.

Penentuan subjek dilakukan sesuai dari hasil observasi yang dilakukan

peneliti pada saat mengikuti kuliah di kelas. Peneliti melakukan observasi

partisipan dimana peneliti ikut di dalam kelas layaknya mahasiswa. Peneliti

melihat tingkat keaktifan mahasiswa pada saat mengikuti pembelajaran. Peneliti

selanjutnya mencatat setiap mahasiswa yang berperan aktif dalam pembelajaran

seperti bertanya maupun menjawab pertanyaan yang diberikan oleh dosen serta

mahasiswa yang maju mengerjakan soal.

29

30

Observasi pada hari Rabu, tanggal 24 Mei 2017 di semester 2 kelas D dimulai

pukul 09:30-10:45. Dari observasi ini diperoleh dokumentasi seperti tampak pada

gambar berikut.

Gambar 6. Observasi 24 Mei 2017

Berdasarkan dokumentasi di atas, terlihat mahasiswa maju mengerjakan soal.

Beberapa mahasiswa yang maju mengerjakan soal di papan tulis, yaitu mahasiswa

dengan inisial LF, I, FI, NH, dan SIW. Selain itu, terdapat pula beberapa

mahasiswa yang aktif menjawab pertanyaan dari dosen yaitu mahasiswa dengan

inisial LF, NH, RNA, dan ADC. Pada kesempatan ini sayangnya belum muncul

mahasiswa yang aktif bertanya.

Peneliti melakukan observasi selanjutnya pada hari Rabu, tanggal 31 Mei

2017. Pada observasi ini, peneliti juga melakukan pengamatan seperti observasi

sebelumnya. Observasi di semester 2 kelas D dimulai pukul 09:00-10:30. Dari

observasi tersebut diperoleh dokumentasi seperti tampak pada gambar berikut ini.

31

Gambar 7. Observasi 31 Mei 2017

Dari dokumentasi di atas, terlihat mahasiswa maju mengerjakan soal. Mahasiswa

yang maju mengerjakan soal di papan tulis adalah mahasiswa dengan inisial MIZ.

Pada kesempatan ini hanya terdapat satu mahasiswa yang maju mengerjakan soal,

sedangkan beberapa mahasiswa yang aktif menjawab pertanyaan dari dosen, yaitu

mahasiswa dengan inisial LF dan AMDI. Selain beberapa mahasiswa yang

disebutkan di atas, terdapat mahasiswa yang aktif bertanya ke dosen, seperti

mahasiswa dengan inisial ADC.

Selain dari hasil observasi di atas peneliti juga berdiskusi dengan dosen

pengampu mata kuliah yang bersangkutan, apakah hasil observasi tersebut selalu

terlihat pada proses pembelajaran sebelum dan saat peneliti melakukan observasi.

Dari hasil observasi yang diperoleh dan juga hasil diskusi dengan dosen

pengampu mata kuliah, diperoleh empat subjek penelitian yang memenuhi kriteria

yang ditentukan. Berdasarkan beberapa observasi yang telah dilakukan, diperoleh

subjek untuk penelitian seperti tampak pada tabel berikut ini.

32

Tabel 6.

Subjek Penelitian

No Inisial Hasil Pengamatan Kode

Subjek Keterangan

1 LF - Aktif menjawab pertanyaan.

- Aktif mengerjakan soal di depan

kelas.

S1 Subjek 1

2 ADC - Aktif bertanya.

- Aktif menjawab pertanyaan.

S2 Subjek 2

3 NH - Aktif menjawab pertanyaan.

- Aktif mengerjakan soal di depan

kelas.

S3 Subjek 3

4 SIW - Aktif mengerjakan soal di depan

kelas.

S4 Subjek 4

Dari masing-masing subjek selain subjek 4 yang diambil untuk penelitian,

mereka mempunyai dua item keaktifan. Mahasiswa LF pada observasi pertama

menjawab pertanyaan dosen tentang alasan garis AH dan BF bersilangan, serta

maju mengerjakan soal tentang mencari sudut antara dua garis bersilangan.

Sedangkan pada observasi kedua, mahasiswa LF menjawab soal tentang volume

prisma terpancung.

Mahasiswa ADC pada observasi pertama menjawab pertanyaan tentang garis

lain yang sejajar dengan BF dan sebidang dengan AH. Pada observasi kedua

mahasiswa ADC menanyakan tentang panjang 𝑡1 dan volume limas terpancung.

Mahasiswa NH pada observasi pertama menjawab pertanyaan tentang bidang

yang terbentuk, kemudian maju mengerjakan tentang langkah-langkah yang harus

dilakukan untuk menentukan sudut dari dua buah garis yang bersilangan dan

mengerjakan soal no. 1 poin a.

Mahasiswa SIW hanya memenuhi satu indikator pada saat peneliti

melakukan observasi, yaitu pada observasi pertama maju mengerjakan soal

33

tentang cos 𝛼 (soal no. 1 poin b) dan mencari sudut antara dua buah bidang.

Namun, pada saat mengerjakan mahasiswa SIW mampu mengerjakan dengan

benar meskipun tidak membawa buku catatan. Pertimbangan peneliti mengambil

mahasiswa SIW untuk dijadikan subjek dibandingkan dengan mahasiswa lain

yang sama-sama hanya mempunyai satu indikator adalah ketika maju

mengerjakan soal mahasiswa SIW mampu mengerjakan dengan baik tanpa

melihat buku. Selain pertimbangan tersebut, peneliti juga melakukan diskusi

dengan dosen pengampu mata kuliah untuk pengambilan subjek penelitian.

B. Analisis Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini diambil dari empat subjek yang

berbeda. Dalam penelitian ini terdapat tiga bentuk data yang digunakan, yaitu

hasil tes representasi matematis mahasiswa, wawancara, dan dokumentasi. Ketiga

data ini akan menjadi tolok ukur untuk menyimpulkan kemampuan representasi

matematis mahasiswa calon guru matematika. Soal tes representasi yang

digunakan tampak seperti gambar berikut.

Gambar 8. Soal Tes

34

Seperti tampak pada gambar di atas, soal tes yang diberikan berupa soal essay

yang berjumlah lima.

1. Subjek 1

Pemberian soal tes untuk subjek 1 dilakukan pada tanggal 31 Mei 2017 yang

dimulai pada jam 11:17 WIB sampai selesai. Soal yang diberikan berjumlah lima.

Pada saat subjek 1 mengerjakan soal tes, peneliti melakukan pengamatan yang

diikuti dengan menulis catatan lapangan. Setelah subjek 1 selesai mengerjakan

soal tes langkah selanjutnya yaitu melakukan wawancara berdasarkan hasil tes

yang telah dikerjakan. Di bawah ini peneliti akan menjelaskan kemampuan

representasi matematis subjek 1.

a. Mampu membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas masalah dan

memfasilitasi penyelesaian.

1) Soal nomor 2

Gambar 9. Jawaban S1 No. 2

Berdasarkan gambar di atas, diketahui bahwa subjek 1 sudah mampu

membuat gambar bangun geometri yaitu kubus ABCD.EFGH. Subjek 1

menggambar kubus ABCD.EFGH. Subjek 1 juga menggambar garis AH yang

akan dicari proyeksinya terhadap bidang ABCD. Berdasarkan jawaban tersebut,

diketahui bahwa subjek 1 sudah mampu membuat gambar bangun geometri untuk

35

memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Pernyataan tersebut juga

dikuatkan dengan hasil wawancara, seperti tampak berikut ini.

P : “Untuk nomor 2, bagaimana cara Anda menunjukkan proyeksi AH pada

bidang ABCD?”

S1 : “Proyeksi AH dengan bidang ABCD?”

P : “Iya.”

S1 : “Pertama itu kita buat kubus ABCD.EFGH ya untuk memudahkan.

Kemudian kita mencoba memproyeksikan garis AH pada bidang

ABCD.”

Hasil wawancara di atas, menunjukan bahwa subjek 1 menggambar kubus ABCD.

EFGH dahulu untuk memudahkan mencari proyeksi AH pada bidang ABCD. Dari

wawancara tersebut, terlihat bahwa subjek 1 sudah mampu membuat gambar

bangun geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian.

Selain data dari tes dan wawancara, diperoleh juga dokumentasi yang

memperkuat pernyataan di atas. Dokumentasi tampak pada gambar di berikut ini.

Gambar 10. Dokumentasi S1 No. 2

Hasil dokumentasi memperlihatkan bahwa subjek 1 menggambar bangun

geometri, yaitu kubus ABCD.EFGH untuk memperjelas permasalahan dan

memfasilitasi penyelesaian. Berdasarkan beberapa hasil di atas, dapat disimpulkan

36

bahwa subjek 1 sudah mampu membuat gambar bangun geometri untuk

memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian.

2) Soal nomor 3


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 1 menggambar kubus ABCD.

EFGH. Subjek 1 kemudian menggambarkan bidang AFH dan juga bidang BDHF,

menggambarkan bangun APO untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi

penyelesaian. Subjek 1 juga menggambar bidang datar, yaitu segitiga APO untuk

membantu menyelesaikan permasalahan. Berdasarkan data tersebut, diketahui



37

Selain dari hasil tes di atas, juga diperoleh hasil wawancara dengan subjek 1

sebagai berikut.

P : “Untuk nomor 3, bagaimana cara Anda menunjukkan sudut antara

bidang BDHF dengan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH?”

S1 : “Langkah pertama itu kita gambar suatu kubus ABCD.EFGH.

Kemudian setelah itu kita mencari bidang, bidangnya dari bidang AFH

dan juga bidang BDHF. Nah dari kubus ABCD.EFGH diperoleh

bidang AFH itu berbentuk segitiga dan juga bidang BDHF itu

berbentuk persegi panjang. Nah setelah kita tahu bidang AFH sama

BDHF itu mana, kemudian kita itu akan menemukan suatu titik

potong. Eh titik potong, bukan... garis potong antara bidang AFH

dengan BDHF yaitu garis HF itu sendiri. Lha setelah kita menemukan

garis HF, kemudian kita cari proyeksi dari titik A yang tegak lurus

terhadap garis HF. Lha misal garis HF itu diperoleh suatu titik P. Nah

kemudian, berartikan AP itu akan tegak lurus dengan HF.”

Dari hasil wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 1 menggambar kubus

ABCD.EFGH dahulu, kemudian mencari bidang AFH dan bidang BDHF. Subjek

1 kemudian menentukan garis potong dari kedua bidang tersebut. Diketahui garis

potongnya yaitu garis HF. Dari langkah tersebut, subjek 1 dapat mempermudah

mencari langkah penyelesaian dari soal yang ditanyakan. Hasil wawancara

tersebut menguatkan pernyataan bahwa subjek 1 sudah mampu membuat gambar


Selain beberapa data di atas, yaitu data dari hasil tes dan wawancara, peneliti

juga menggunakan dokumentasi sebagai data penguat dari kedua data tersebut.

Dokumentasi tersebut memperlihatkan bahwa subjek 1 menggambar kubus

ABCD. EFGH sebagai langkah pertama untuk memperjelas masalah.

Dokumentasi tampak pada gambar di bawah ini. Dari dokumentasi juga terlihat

bahwa subjek 1 menggambar bidang APO.

38


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 1 sudah mampu menggambar bangun

geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian.

Berdasarkan data tes, wawancara, dan dokumentasi, dapat disimpulkan bahwa

subjek 1 sudah mampu membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas

masalah dan memfasilitasi penyelesaian.

3) Soal nomor 4


39

Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 1 menggambar limas segiempat

beraturan T.ABCD. Subjek 1 juga menggambar proyeksi T pada bidang ABCD

serta menggambar proyeksi T pada bidang AB. Selain itu subjek 1 menggambar

perpotongan antara diagonal AC dan BD. Subjek 1 selanjutnya juga menggambar

bidang datar yaitu segitiga TEO untuk membantu dalam menyelesaikan soal.

Berdasarkan data di atas, diketahui bahwa subjek 1 sudah mampu membuat

gambar bangun geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi

penyelesaian.

Selain dari hasil tes, diperoleh juga data wawancara dengan subjek 1. Berikut

wawancara dengan subjek 1.

P : “Untuk nomor 4, bagaimana cara Anda menentukan sudut antara bidang

TAB dengan bidang ABCD pada limas segiempat beraturan T.ABCD?”

S1 : “Cara kita menentukan apa itu tadi? Sudut antara bidang ya?”

P : “Iya.”

S1 : “Pertama pastinya kita buat limasnya dulu, limas T.ABCD. T.ABCD

yang mana ABCD itu beraturan. Kemudian proyeksikan bidang TAB

pada bidang ABCD sehingga… Jadi saat kita menentukan sudut antara

bidang TAB dengan ABCD itu pertama kita gambar limasnya terlebih

dahulu, kemudian kita cari mana bidang TAB, mana bidang ABCD.

Sehingga, setelah kita cari TAB itu berbentuk segitiga, ABCD itu

berbentuk persegi, bukan.. persegi panjang. Nah kemudian, dari TAB

dengan bidang ABCD akan diperoleh garis perpotongan, garis potong,

yaitu garis AB karena TAB mempunyai garis AB dan ABCD juga

mempunyai AB.”

Dari hasil wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 1 menggambar limas

segiempat beraturan T.ABCD dahulu, kemudian mencari bidang TAB dan bidang

ABCD. Setelah mengetahui bidang TAB berbentuk segitiga dan bidang ABCD

berbentuk persegi panjang, subjek 1 akan memperoleh garis potong dari kedua

bidang tersebut yaitu AB. Dengan memperoleh garis potong antara kedua bidang

akan mempermudah dalam menemukan bidang tumpuan dan juga sudut tumpuan.

40

Dari wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 1 sudah mampu membuat


penyelesaian.

Selain data dari hasil tes dan wawancara yang sudah diuraikan di atas, juga

diperoleh dokumentasi. Dokumentasi tampak seperti gambar di bawah ini.


Dari gambar di atas, menunjukan bahwa subjek 1 menggambar limas T.ABCD

untuk memperjelas masalah dan mempermudah penyelesaian masalah. Subjek 1

juga menggambarkan bidang tumpuan antara bidang TAB dengan bidang ABCD.

Dengan mengetahui bidang tumpuan antara bidang TAB dengan bidang ABCD

akan mempermudah untuk mencari sudut tumpuan antara kedua bidang tersebut.

Berdasarkan beberapa data yang diuraikan di atas, yaitu data data dari tes tertulis,

wawancara dan dokumentasi dapat ditarik kesimpulan bahwa subjek 1 sudah

mampu membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas masalah dan


41

4) Soal nomor 5


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 1 menggambar kubus

ABCD.EFGH. Subjek 1 juga menggambar proyeksi titik B pada garis EG, serta

membuat segitiga BEG. Hasil dari proyeksi dari titik B ke garis EG yaitu titik B’.

Selain itu, subjek 1 juga menggambar bidang BB’E untuk mempermudah mencari

jarak dari titik B ke garis EG. Berdasarkan hal tersebut, dapat diketahui bahwa

subjek 1 sudah mampu membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas

masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Pernyataan tersebut juga dikuatkan

dengan hasil wawancara yang diperoleh. Berikut hasil wawancara dengan subjek

1 untuk nomor 5.

P : “Untuk nomor 5, bagaimana Anda menggambarkan jarak dari titik B ke

garis EG pada kubus ABCD.EFGH?”

S1 : “Pertama kita gambar kubusnya terlebih dahulu, kubus ABCD.EFGH.

Kemudian kita cermati titik B dan juga garis EG, nah kemudian

setelah itu kita proyeksikan titik B ke garis EG sehingga akan

diperoleh suatu titik yaitu misalnya kita namakan titik B’. Yang mana

jika kita tarik garis antara B dengan B’ itu, BB’ akan tegak lurus

terhadap garis EG. Itu cara menentukan jarak dari B ke EG.”

42


ABCD.EFGH terlebih dahulu, kemudian mencermati titik B dan garis EG. Subjek

1 selanjutnya memproyeksikan titik B ke garis EG, sehingga dari proyeksi

tersebut diperoleh titik B’. BB’ akan tegak lurus terhadap garis EG. Dari situ

didapatlah jarak dari titik B ke garis EG. Hasil wawancara di atas membuktikan



Hasil tes dan wawancara juga diperkuat dengan dokumentasi. Dokumentasi

tampak seperti gambar berikut ini.


Gambar di atas, menunjukan bahwa subjek 1 menggambar kubus ABCD. EFGH

untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Berdasarkan

beberapa data di atas, yaitu dari data hasil tes, wawancara, dan dokumentasi dapat

disimpulkan bahwa subjek 1 sudah mampu membuat gambar bangun geometri

untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian.

43

b. Mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis.

1) Soal nomor 3

Dari Gambar 11. Jawaban S1 No. 3 diketahui bahwa subjek 1 mampu

menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Penggunaan

simbol sudut (∠), tegak lurus (⊥) juga sudah tepat. Namun masih terdapat

beberapa coretan dalam jawaban subjek 1. Hasil wawancara juga menunjukan

bahwa subjek 1 sudah mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan

ekspresi matematis seperti terlihat di bawah ini.

P : “Misalnya panjang rusuknya 6 cm, coba Anda hitung tangen sudutnya.”

S1 : “Tangen sudut. Nah karena kita kan tadi sudah menemukan, sudutnya

itu kan sudut APO. Sehingga kita cari tangen, tangen bidang AFH

dengan bidang BDHF itu tangen sudut APO. Sehingga agar kita

mudah mencarinya itu kita memerlukan suatu bidang. Lha jadi dengan

memakai bidang tumpuan itu atau dengan bidang APO, kita bisa

mencari tangen sudut APO. Yang mana tangen sudut APO=𝐴𝑂

𝑃𝑂, yang

mana AO itu merupakan setengah dari diagonal bidang. Karena tadi

rusuknya 6 cm, 1

2 diagonal bidang= 3√2. Kemudian PO, PO itu sama

dengan rusuk-rusuknya itu sendiri, jadi= 6. Nah tangen sudut 𝐴𝑃𝑂 =3√2

6 sehingga diperoleh

1

2√2.”

P : “Kenapa PO panjangnya 6?”

S1 : “Karena PO itu akan sejajar dengan rusuk. Misalnya kita ambil rusuk

BS. PO itu sejajar dengan BS, lha karena BS itu panjangnya 6, PO itu

panjangnya 6. Karena PO sama BS itu panjangnya sama.”

P : “Jadi tadi tangen sudutnya?”

S1 : “Tangen sudutnya diperoleh 1

2√2.”

Dari hasil wawancara, diketahui bahwa subjek 1 menggunakan ekspresi

matematis seperti simbol-simbol angka, kemudian menggunakan perbandingan

untuk mengetahui tangen sudut. Hal tersebut menunjukan bahwa subjek 1 sudah

mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis.

44

Hasil wawancara dan tes juga dikuatkan dengan dokumentasi. Dokumentasi

yang diperoleh tampak seperti gambar berikut ini.


Berdasarkan gambar di atas, diketahui bahwa subjek 1 melibatkan ekspresi

matematis dalam penyelesaian masalah. Dari beberapa data di atas dapat

disimpulkan bahwa subjek 1 sudah mampu menyelesaikan masalah dengan


2) Soal nomor 4

Berdasarkan Gambar 13. Jawaban S1 No. 4 diketahui bahwa subjek 1

menggunakan ekspresi matematis, di antaranya menggunakan simbol angka-

angka, sudut (∠), tegak lurus (⊥) dengan benar. Dari data di atas, dapat diketahui


ekspresi matematis. Hal ini juga dikuatkan dengan hasil wawancara. Berikut hasil

wawancara yang diperoleh.

P : “Misalnya tinggi limasnya 8 cm dan AB = 8 cm. Berapa besar tangen

sudutnya?”

S1 : “Tangen sudut. Tadi kan kita sudah menentukan sudut. Kita sudah

memperoleh sudutnya itu yang mana sudutnya merupakan sudut TEO.

Nah sehingga kita itu mencari tangennya dengan meminta bantuan

dari segitiga, eh bukan.. dari bidang tumpuan yaitu bidang TEO itu

45

sendiri.”

P : “Sudut tumpuannya tadi?”

S1 : “Sudut tumpuannya tadi TEO juga. Bidang tumpuannya juga bidang

TEO. Nah jadi tangen dari sudut 𝑇𝐸𝑂 =𝑇𝑂

𝐸𝑂. Yang mana TO itu

merupakan tinggi limas dan EO itu merupakan setengah atau

pertengahan dari garis EF. Jadi tangen sudut 𝑇𝐸𝑂 =8

4 sehingga

diperoleh hasil 2.”

P : “Kenapa EO panjangnya 4?”

S1 : “EO panjangnya 4, karena kita kan tahu garis EF yang tadi kita

temukan di awal itu besarnya sama dengan BC. Nah kemudian EO itu

kan pertengahan dari garis EF, sehingga EF kan sama dengan BC tadi,

sama dengan 8. Jadi 𝐸𝑂 =1

2× 8, hasilnya 4.”

Hasil wawancara di atas menunjukan bahwa subjek 1 dalam mencari tangen

sudut tumpuan menggunakan berbagai ekspresi matematis, seperti simbol-simbol

angka, juga operasi hitung. Dari wawancara tersebut, diketahui bahwa subjek 1

sudah mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Hal

ini juga diperkuat dengan dokumentasi. Dokumentasi yang diperoleh tampak

seperti gambar berikut.


Dari gambar di atas, diketahui bahwa untuk menyelesaikan masalah subjek 1

melibatkan ekspresi matematis. Berdasarkan hasil tes, wawancara dan

46

dokumentasi dapat disimpulkan bahwa subjek 1 sudah mampu menyelesaikan

masalah dengan melibatkan ekspresi matematis.

3) Soal nomor 5

Dari Gambar 15. Jawaban S1 No. 5 diketahui bahwa subjek 1 sudah mampu


simbol tegak lurus (⊥) juga sudah benar. Hasil wawancara juga menunjukan

bahwa subjek 1 mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi

matematis. Berikut adalah hasil wawancara yang diperoleh.

P : “Misalnya panjang rusuknya 12 cm, berapa jarak dari B ke garis EG?”

S1 : “Tadi kan kita tahu panjangnya, eh jarak B ke EG itu BB’ ya? Sehingga

kita itu membutuhkan bantuan. Sehingga dari itu kita tarik garis antara

B, titik B ke titik E kemudian titik B ke titik G. Sehingga diperoleh

suatu segitiga yaitu segitiga BEG.”

P : “Bentuknya?”

S1 : “Bentuknya segitiga sama sisi. Karena BE, EG dan juga GB merupakan

diagonal bidang. Selanjutnya kita itu apa ya, mencari BBE, eh BB’ itu

dengan bantuan segitiga BB’E misalnya. Sehingga diperoleh suatu

segitiga yaitu segitiga BEG. Karena kan kita cari segitiga yang siku-

siku dan kita tahu BB’ itu tegak lurus dengan EG. Sehingga BB’ juga

akan tegak lurus dengan EB’. Nah kemudian, kita tahu EB′ =1

2diagonal bidang sehingga..”

P : “EB′ =1

2diagonal bidang?”

S1 : “Iya. Berartikan 1

2× 12√2.”

P : “Kenapa 12√2?”

S1 : “Karena kalau diagonal bidang di suatu kubus itu rusuk dikali √2 itu

rumus tercepat untuk mencari diagonal bidang. Nah kemudian dari itu

kita juga tahu EB. EB itu kan merupakan diagonal bidang, sehingga

panjang EB juga merupakan eh panjang EB = 12√2, sehingga untuk

menentukan BB’ itu = (EB)2 − (EB′)2 yang mana EB2 = 12√2,

kemudian kita kuadratkan dikurangi (EB′)2 = 6√2 kita kuadratkan,

sehingga..”

P : “Ada akarnya atau tidak?”

S1 : “Ada, karena kita sudah BB’ jadi BB′ = √288 − 72 = √216, sehingga

diperoleh hasil 6√6 . Itu jarak dari B ke EG.”

47

Dari hasil wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 1 menggunakan

ekspresi matematis di antaranya simbol-simbol. Baik itu simbol angka maupun

akar. Hasil wawancara di atas menunjukan bahwa subjek sudah mampu

menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis.

Selain dari tes, diperoleh pula dokumentasi. Dokumentasi di sini sebagai

penguat hasil wawancara dan tes. Dokumentasi yang diperoleh tampak seperti

gambar berikut ini.


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 1 melibatkan penggunaan

ekspresi matematis dalam menyelesaikan masalah. Dari gambar tersebut

menunjukan bahwa subjek 1 sudah mampu menyelesaikan masalah dengan

melibatkan ekspresi matematis. Berdasarkan beberapa data yang diuraikan di atas,

dapat disimpulkan bahwa subjek 1 sudah mampu menyelesaikan masalah dengan


48

c. Mampu menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis.

1) Soal no. 1


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 1 menjelaskan hubungan antara

garis dengan bidang, bidang dengan bidang, pada permukaan kubus

PQRS.TUVW dengan teks tertulis. Subjek 1 menyebutkan hubungan garis dan

bidang, di antaranya sejajar, berpotongan dan terletak pada bidang beserta

contohnya. Subjek 1 juga menyebutkan hubungan bidang dan bidang, di antaranya

sejajar, berpotongan tegak lurus beserta contohnya. Dari data hasil tes tersebut

49

diketahui bahwa subjek 1 sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan

teks tertulis.

Berikut hasil wawancara dengan subjek 1 yang diperoleh.

P : “Coba lihat soal nomor 1, di situ terdapat kubus PQRS. TUVW. Dari

soal itu, apa yang Anda ketahui tentang hubungan garis dan bidang

pada permukaan kubus tersebut?”

S1 : “Ohh..tentang garis dan bidang. Jadi kalau permukaan dari hubungan

garis dan bidang itu tu ada tiga yaitu: sejajar, berpotongan, dan juga

garis itu terletak pada suatu bidang. Lha pertama dari hubungan

sejajar contohnya itu dari kubus PQRS.TUVW, bidang PQRS itu

sejajar dengan garis TU, UV, VW, WT, WU, TV itu contohnya.

Kemudian bidang QRVU akan sejajar dengan garis PS, SW.

Kemudian bidang PQUT sejajar dengan garis SR dan juga RV. Lha

kemudian yang berpotongan, itu ada bidang PQRS dengan garis VT

dan juga UI. Bidang QRUV akan berpotongan dengan garis PQSR

kemudian bidang SRVW berpotongan dengan garis QR.”

P : “SRVW berpotongan dengan?”

S1 : “QR. Kemudian yang ketiga itu ada garis yang terletak pada suatu

bidang. Jadi tuh garisnya itu ada di bidang itu. Lha contohnya itu ada

garis PQ, QR, itu terletak pada bidang PQRS. Kemudian garis SP, PT,

itu terletak pada bidang TPSW. Dan juga ada SR, RV, itu terletak..

garis SR, kemudian garis RV itu terletak pada bidang SRVW, gitu.”

P : “Selanjutnya, apa yang Anda ketahui tentang hubungan bidang dan

bidang dari permukaan kubus?”

S1 : “Nah kalau tentang hubungan bidang dan bidang itu tuh hanya ada dua.

Bahwa bidang itu sejajar dengan bidang yang lain, yang kedua itu

bidang itu berpotongan. Terus karena ini kubus lha berpotongannya

itu tegak lurus antara bidang yang satu dengan bidang yang lain.

Contoh dari bidang yang saling sejajar yaitu, bidang PQRS dengan

TUVW. Kemudian bidang PQUT dengan SRVW. Kemudian bidang

PSWT dengan bidang QRVU. Itu yang sejajar. Kemudian yang

berpotongan, itu ada bidang PQRS dengan bidang QRVU, bidang

SRVW dengan PQUT ehh… SRVW bukan, dengan WVUT,

kemudian bidang PSWT dengan bidang SPQR. Itu mbak yang

berpotongan.”

Dari hasil wawancara di atas, diketahui subjek 1 menjelaskan hubungan garis dan

bidang pada permukaan kubus PQRS.TUVW dengan kata-kata. Subjek 1

menjelaskan hubungan tersebut yaitu: sejajar, berpotongan, dan juga garis itu

terletak pada suatu bidang. Contohnya bidang PQRS itu sejajar dengan garis TU,

50

UV, VW, WT, WU, TV. Bidang QRVU akan sejajar dengan garis PS, SW,

kemudian bidang PQUT sejajar dengan garis SR dan juga RV, selanjutnya yang

berpotongan, itu ada bidang PQRS dengan garis VT dan juga UI. Bidang QRUV

akan berpotongan dengan garis PQSR kemudian bidang SRVW berpotongan

dengan garis QR.

Subjek 1 juga menjelaskan hubungan bidang dan bidang pada permukaan

kubus PQRS.TUVW dengan kata-kata. Subjek 1 menjelaskan hubungan bidang

dan bidang yaitu, sejajar dengan bidang yang lain dan berpotongan. Contoh

bidang yang saling sejajar yaitu, bidang PQRS dengan TUVW, bidang PQUT

dengan SRVW, bidang PSWT dengan bidang QRVU. Bidang yang berpotongan,

ada bidang PQRS dengan bidang QRVU, bidang SRVW dengan WVUT, bidang

PSWT dengan bidang SPQR. Dari hasil wawancara di atas diketahui bahwa

subjek 1 sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan kata-kata. Hal ini

juga dikuatkan dengan dokumentasi. Berikut dokumentasi yang diperoleh.


51

Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 1 sudah mampu menjawab soal

dengan menggunakan teks tertulis. Berdasarkan hasil tes, wawancara dan

dokumentasi dapat disimpulkan bahwa subjek 1 sudah mampu menjawab soal

dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis

2) Soal no 2

Berdasarkan Gambar 9. Jawaban S1 No. 2, diketahui bahwa subjek 1 juga

sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan teks tertulis. Selain hasil tes,

berikut hasil wawancara yang diperoleh.


bidang ABCD?”

S1 : “Proyeksi AH dengan bidang ABCD? Pertama itu kita buat kubus

ABCD.EFGH ya untuk memudahkan. Kemudian kita mencoba

memproyeksikan garis AH pada bidang ABCD. Lha pertama itu kita

proyeksi titik A ke bidang ABCD yaitu didapatkan suatu titik A di

bidang ABCD. Karena A itu merupakan sekutu atau garis AH sama

bidang ABCD itu sama-sama memiliki titik A. Kemudian yang kedua

kita proyeksikan titik H pada bidang ABCD, sehingga didapatlah

suatu titik D. Karena titik H itu sejajar dengan titik D, lha sehingga

dari itu akan didapatkan hasil yaitu AD yang merupakan proyeksi dari

AH ke bidang ABCD.”

Berdasarkan wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 1 mampu menunjukan

proyeksi AH pada bidang ABCD. Subjek 1 pertama membuat kubus

ABCD.EFGH, kemudian memproyeksikan garis AH pada bidang ABCD. Subjek

1 memproyeksikan titik A ke bidang ABCD didapatkan titik A di bidang ABCD.

Subjek 1 kemudian memproyeksikan titik H pada bidang ABCD, sehingga

didapat titik D. Dari proyeksi tersebut subjek 1 mendapatkan hasil proyeksi dari

AH ke bidang ABCD yaitu AD. Dari wawancara di atas diketahui bahwa subjek 1

sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan kata-kata.

52

Hasil dari tes juga diperkuat dengan dokumentasi. Dokumentasi tampak

seperti gambar berikut.


Gambar di atas menunjukan bahwa subjek 1 sudah mampu menjawab soal dengan

menggunakan teks tertulis. Berdasarkan hasil tes, wawancara, dan dokumentasi

dapat disimpulkan bahwa subjek 1 sudah mampu menjawab soal dengan

menggunakan kata-kata atau teks tertulis.

2. Subjek 2

Pemberian soal tes untuk subjek 2 dilakukan pada tanggal 31 Mei 2017 yang

dimulai pada jam 10:00 WIB sampai selesai. Soal yang diberikan berjumlah lima.






53



1) Soal no. 2


Berdasarkan gambar di atas, diketahui bahwa subjek 2 membuat gambar

kubus ABCD. EFGH. Kubus tersebut untuk membantu memperjelas letak garis

AH, serta mempermudah mencari proyeksi dari garis AH ke bidang ABCD. Hal

tersebut menunjukan bahwa subjek 2 sudah mampu membuat gambar bangun


Hasil wawancara yang diperoleh juga menunjukan bahwa subjek 2 sudah

mampu membuat bangun geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi

penyelesaian. Berikut hasil wawancara dengan subjek 2 yang diperoleh .

P : “Untuk nomor 2, bagaimana Anda menunjukan proyeksi dari AH ke

bidang ABCD?”

S2 : “Proyeksi AH pada bidang ABCD, pertama berarti digambar dulu

kubus ABCD.EFGH, terus abis itu gambar juga garis AH. Nah garis

AD itu proyeksi garis AH.”

Dari jawaban tersebut diketahui bahwa langkah pertama subjek 2 untuk

menunjukan proyeksi AH pada bidang ABCD adalah menggambar kubus ABCD.

EFGH. Subjek 2 kemudian menggambar garis AH, menentukan proyeksinya.

54

Hasil wawancara tersebut juga dikuatkan dengan dokumentasi yang peneliti

peroleh. Dokumentasi tampak seperti gambar di bawah ini.


Berdasarkan di atas, diketahui bahwa subjek 2 menggambar bangun geometri

yaitu kubus ABCD.EFGH untuk mencari proyeksi AH pada bidang ABCD. Dari

beberapa data di atas dapat diketahui bahwa subjek 2 sudah mampu menggambar


Berdasarkan beberapa data di atas, dapat disimpulkan bahwa subjek 2 sudah


memfasilitasi penyelesaian

2) Soal no. 3


55

Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 2 menggambar kubus ABCD.

EFGH. Subjek 2 menggambar bidang AFH dan bidang BDHF, serta bidang

tumpuannya. Subjek 2 kemudian menentukan sudut tumpuan dari bidang tumpuan

tersebut. Bidang tumpuannya diberi nama bidang AOP. Berdasarkan hasil tes

tersebut, diketahui bahwa subjek 2 sudah mampu membuat gambar bangun


Selain dari hasil tes, juga diperoleh hasil wawancara dengan subjek 2. Berikut

hasil wawancara dengan subjek 2.

P : “Untuk nomor 3, bagaimana Anda menunjukan sudut antara bidang

BDHF dengan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH?”

S2 : “Pertama kita buat kubus ABCD.EFGH. Terus abis itu kita gambar

bidang AFH sama bidang BDHF. Sudut antara AFH dan BDHF itu di

sini (menunjukan sudutnya).”

P : “Di antara?”

S2 : “Di antara.. di antara bidang AFH dengan BDHF.”

P : “Kemudian bagaimana Anda menunjukan sudut yang yeng terbentuk

tadi? Cara Anda menunjukannya.”

S2 : “Pertama, BDHF itu adalah persegi panjang, dan AFH adalah segitiga

sama sisi. Pertama proyeksikan titik A pada garis HF menghasilkan

titik O pada pertengahan HF, biar buat cari bidang tumpuan itu kan

kita harus.. apa ya? Punya dua garis yang sejajar sama garis tumpuan.

Nah garis tumpuan di AFH sama bidang BDHF itu garis HF. Jadinya

kita harus mencari garis yang tegak lurus HF itu di bidang AFH dan

juga dibidang BDHF. Trus kedua, proyeksi titik O pada pada garis BD

menghasilkan titik P pada pertengahan BD. Jadinya dari titik O ini

diproyeksikan ke garis BD menghasilkan titik P dan OP itu tegak

lurus HF. AO tegak lurus HF. Jadi bidang tumpuan antara bidang

AFH dengan bidang BDHF adalah adalah bidang AOP. Sudut

tumpuan berada pada bidang tumpuan. Jadi, sudut tumpuan antara

bidang AFH dengan bidang BDHF adalah sudut AOP.”

P : “Apa yang Anda ketahui tentang bidang tumpuan?”

S2 : “Bidang tumpuan itu bidang yang terletak antara dua bidang.. bidang

tumpuan adalah bidang yang tegak lurus antara garis potong kedua

bidang. Nah ini bidang AOP tegak lurus, tegak lurus dengan garis

potong bidang AFH dengan bidang BDHF.”

P : “Garis potongnya apa ya?”

S2 : “HF.”

56


ABCD.EFGH dahulu untuk membantu mencari bidang AFH dan BDHF. Dengan

mengetahui bidang AFH dan BDHF, subjek 2 kemudian dapat menemukan

bidang tumpuan yang nantinya akan mempermudah untuk mencari sudut

tumpuannya. Namun sebelum mendapatkan bidang tumpuan, subjek 2 terlebih

dahulu mencari garis perpotongan antara bidang AFH dengan BDHF. Dari hasil

wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 2 sudah mampu menggambar bangun


Data dari hasil tes dan wawancara yang telah diuraikan di atas, berikut

dokumentasi yang diperoleh. Dokumentasi di sini sebagai penguat dari kedua data

yang disebutkan di atas. Berikut dokumentasi yang diperoleh seperti gambar di

bawah ini.


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 2 menggambar kubus ABCD.EFGH,

bidang AFH, bidang BDHF untuk memperjelas masalah dan sebagai langkah

pertama untuk menyelesaikan permasalahan. Berdasarkan data tes, wawancara,

57

dan dokumentasi, dapat disimpulkan bahwa subjek 2 sudah mampu membuat


penyelesaian.

3) Soal no. 4


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 2 menggambar limas segiempat

beraturan T.ABCD. Subjek 2 juga menggambar proyeksi T pada bidang ABCD

serta menggambar proyeksi T pada bidang AB. Selain itu subjek 2 menggambar

garis PQ yang letaknya sejajar dengan garis AD dan BC juga terletak di tengah

AB. Dari data di atas dapat diketahui bahwa subjek 2 sudah mampu membuat


penyelesaian.

Selain dari hasil tes, diperoleh juga hasil wawancara dengan subjek 2. Hasil

wawancara tampak seperti di bawah ini.

P : “Untuk nomor 4, bagaimana Anda menentukan sudut antara bidang

TAB dengan bidang ABCD pada limas segiempat beraturan?”

S2 : “Pertamanya gambar dulu, jelas. Terus abis itu.. pertanyaannya apa

58

mbak?”

P : “Bagaimana cara Anda menentukan sudut antara bidang TAB dengan

bidang ABCD pada limas segiempat beraturan T.ABCD?”

S2 : “Berarti, pertama proyeksikan titik T pada bidang ABCD menghasilkan

titik O.”

P : “Kenapa T di proyeksikan ke bidang ABCD?”

S2 : “Biar mempermudah mencari OP yang tegak lurus AB. Karenakan AB

perpotongan 2 bidang antara TAB dengan ABCD. Terus nomor dua

proyeksikan titik O pada AB dan DC menghasilkan titik P dan Q.

Jadinya di AB ada titik P, di DC ada titik Q, proyeksi dari O. Segitiga

TAB adalah segitiga sama kaki. Proyeksikan titik P ke garis AB maka

akan tepat di titik P. Kenapa tepat? Karena P itu proyeksi O. Nah

kalau O di proyeksikan ke P berarti AP=BC. Jadi AP itu di tengah-

tengah BC. Nah ini kan C diproyeksikan ke P. Jadi TP itu di tengah-

tengah AB juga. TP tegak lurus AB, dan OP tegak lurus AB. Jadi

bidang tumpuan.. jadi bidang TOP adalah bidang tumpuan antara

bidang TAB dengan bidang ABCD.”

P : “OP kenapa bisa tegak lurus dengan AB?”

S2 : “Kan proyeksi. Proyeksi titik O ke bidang AB. Kan pasti tegak lurus

dan memotong AB di tengah-tengah. Sudut tumpuan antara bidang

TAB dengan bidang ABCD adalah sudut TOP. Jadi..”

P : “TOP?”

S2 : “TPO.”

P : “TPO bukan TOP?”

S2 : “Iya.”


segiempat beraturan T.ABCD dahulu untuk membantu memperjelas masalah yang

ditanyakan, yaitu untuk menentukan sudut dari bidang TAB dengan ABCD.

subjek 2 kemudian memproyeksikan T pada bidang ABCD, menghasilkan titik O.

Titik O itu diperpanjang ke garis AB dan DC menghasilkan P. Subjek 2

selanjutnya memproyeksikan T ke garis AB. Bidang tumpuan dari bidang TAB

dan ABCD diberi nama TOP. Bidang tumpuan ini akan membantu mempermudah

untuk mencari sudut tumpuan yang memfasiltasi penyelesaian. Dari uraian di atas

dapat disimpulkan bahwa subjek 2 sudah mampu membuat bangun geometri

untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian

59

Selain dari hasil tes dan wawancara di atas, diperoleh juga dokumentasi.

Dokumentasi tampak seperti gambar berikut ini.


Dari hasil dokumentasi di atas, terlihat bahwa subjek 2 menggambar bangun

limas segiempat beraturan T.ABCD untuk memperjelas masalah dan

memfasilitasi penyelesaian. Data tersebut menunjukan bahwa subjek 2 sudah

mampu menggambar bangun geometri untuk memperjelas masalah dan

memfasilitasi penyelesaian. Berdasarkan beberapa data yang diuraikan di atas,

yaitu data data dari tes tertulis, wawancara, dan dokumentasi dapat ditarik

kesimpulan bahwa subjek 2 sudah mampu membuat gambar bangun geometri

untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian.

4) Soal no. 5


60

Jawaban subjek 2 no. 5 tampak pada gambar di atas. Dari gambar tersebut

diketahui bahwa subjek 2 menggambar kubus ABCD.EFGH untuk membantu

mempermudah menyelesaikan permasalahan. Subjek 2 juga menggambar

proyeksi B pada garis EG, yang menghasilkan titik O serta menghubungkan B, E,

dan G. Berdasarkan data di atas, dapat diketahui bahwa subjek 2 sudah mampu

membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi

penyelesaian.

Selain dari hasil tes, diperoleh juga hasil wawancara dengan subjek 2 untuk

nomor 5 sebagai berikut.

P : “Untuk nomor 5, bagaimana Anda menentukan jarak dari titik B ke


S2 : “Pertama gambar kubusnya dulu.”

P : “Kenapa pertamanya anda menggambar kubus dulu?”

S2 : “Ya kan biar jelas di mana titik-titiknya. Terus habis itu, kalau kubus

ABCD.EFGH trus tarik garis B ke E. Dan garis B ke G. Maka akan

terbentuk segitiga sama sisi.”

P : “Kenapa ditarik garis B ke E dan B ke G?”

S2 : “Biar gampang mencari jaraknya. Kan kalo jarak itu kan.. garis

terpendek antara jarak itu kan garis hubung terpendek antara titik B

dengan EG. Jadinya kan jarak.. jarak B ke EG itu yang paling pendek

itu BO. Jadinya kan pertama harus B ke EG dulu terus, eh B ke E

terus B ke G. Ini kan sama jaraknya 6√2 . Eh, ini kan diagonal sisi

sama diagonal sisi kan sama jaraknya. Berarti sisi jarak yang paling,

jarak.. garis hubung yang terpendek itu berarti BO. Bukan BE, bukan

BG.”

P : “Tadi Anda sudah menjelaskan tentang titik O belum ya?”

S2 : “Belum.”

P : “Kenapa bisa tiba-tiba muncul titik O?”

S2 : “Oh itu.. proyeksikan titik B ke garis EG. Menghasilkan titik O. Nah

BO itu tegak lurus EG, karena dia itu proyeksi, dan BO itu memotong

EG sama panjang.”

P : “Jadi jarak dari titik B ke garis EG itu?”

S2 : “BO.”

Dari hasil wawancara dengan subjek 2 seperti yang terlihat di atas, diketahui

bahwa subjek 2 menggambar kubus ABCD.EFGH terlebih dahulu untuk

61

menyelesaikan soal nomor 5. Ketika ditanya lebih lanjut kenapa menggambar

kubus terlebih dahulu, subjek menjawab untuk mempermudah mengetahui titik-

titiknya. Hal tersebut membuktikan bahwa subjek 2 sudah mampu membuat

gambar bangun geometri unutk memperjelas masalah dan juga memfasilitasi

penyelesaian.

Selain dari hasil tes dan wawancara yang sudah ditunjukkan di atas, diperoleh

pula dokumentasi. Dokumentasi tampak seperti gambar di bawah ini.


Dari hasil dari dokumentasi subjek 2 juga menunjukan hal yang sama seperti hasil

di wawancara maupun juga tes, yaitu subjek 2 sudah mampu membuat gambar


Berdasarkan beberapa data di atas, yaitu dari data hasil tes, wawancara, dan

dokumentasi dapat disimpulkan bahwa subjek 2 sudah mampu membuat gambar


62


1) Soal no. 3

Dari Gambar 25. Jawaban S2 No. 3 diketahui bahwa subjek 2 sudah mampu

menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Pengunaan simbol

sudut (∠) dan tegak lurus (⊥) sudah benar. Subjek 2 juga menyelesaikan masalah

dengan menggunakan ekspresi matematis dengan baik. Selain dari hasil tes,

diperoleh pula hasil wawancara. Hasil dari wawancara dengan subjek 2 tampak

seperti berikut ini.

P : “Jika diketahui panjang rusuknya 6 cm, coba Anda hitung tangen

sudutnya.”

S2 : “AP.. AP itu setengah AC. AC itu kan diagonal sisi. AC itu panjangnya

6√2.”

P : “Kenapa bisa 6√2?”

S2 : “Pakai phytagoras. Kan 6.. 𝐴𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 . √62 + 62.

√36 + 36 = √72. AC itu √72 = 6√2.”

P : “Kemudian?”

S2 : “Terus abis itu OP sejajar dengan FB. Jadinya panjang OP itu 6 cm,

karena panjang FB 6 cm. Tan sudut AOP sama dengan 𝑎𝑝

𝑜𝑝=

3√2

6=

1

2√2.”

Dari hasil wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 2 sudah mampu

menggunakan ekspresi matematis untuk menyelesaikan masalah. Hal ini terlihat

dari bagaimana subjek 2 menghitung tangen sudut AOP, sehingga hasil

wawancara tersebut menunjukan bahwa subjek 2 sudah mampu menyelesaikan


Selain dari hasil tes dan wawancara yang sudah diutarakan di atas, diperoleh

pula dokumentasi subjek 2. Dokumentasi yang diperoleh juga memperkuat dari

63

hasil tes wawancara yang diperoleh. Dokumentasi tampak seperti gambar di

bawah ini.


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 2 sudah mampu menyelesaikan

masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Berdasarkan beberapa data di

atas, dapat disimpulkan bahwa subjek 2 sudah mampu menyelesaikan masalah

dengan melibatkan ekspresi matematis.

2) Soal no. 4

Berdasarkan Gambar 27. Jawaban S2 No. 4 diketahui bahwa subjek 2 sudah

mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Hal ini

terlihat bahwa subjek 2 sudah mampu menggunakan simbol sudut (∠), sejajar (∥)

dan tegak lurus (⊥) dengan baik. Selain hal tersebut, juga terlihat bahwa subjek 2

mampu menggunakan ekspresi matematis dalam mencari tangen sudut dari TAB

dan ABCD.

Dari hasil wawancara dengan subjek 2 juga diperoleh data sebagai berikut.

P : “Jika diketahui AB= 8 cm dan tinggi dari limasnya 8 cm. Berapa

tangen sudut dari bidang TAB dan bidang ABCD?”

64

S2 : “PQ itu sejajar BC. BC itu kan panjangnya 8 cm, jadi PQ juga

panjangnya 8 cm. Nah OP, OP kan di tengah-tengah PQ, jadi 𝑂𝑃 =1

2× 𝑃𝑄 =

1

2× 8 = 4. Jadi panjang OP 4 cm. Nah TO, TO itu kan

panjang.. tinggi limas jadi TO= 8 cm. Terus mencari tan sudut TPO

dengan 𝑇𝑂

𝑃𝑂=

8 𝑐𝑚

4 𝑐𝑚= 2. Jadi tan sudut TPO itu 2.”

Dari wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 2 melibatkan ekspresi matematis

untuk menyelesaikan masalah. Sehingga dapat disimpulkan bahwa subjek 2 sudah

mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis.

Data dari tes dan wawancara selanjutnya diperkuat dengan dokumentasi.

Berikut dokumentasi yang diperoleh seperti di bawah ini.


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 2 melibatkan ekspresi matematis

untuk menyelesaikan masalah. Berdasarkan data tes, wawancara, dan

dokumentasi, dapat disimpulkan bahwa subjek 2 sudah mampu menyelesaikan


3) Soal nomor 5

Berdasarkan Gambar 29. Jawaban S2 No. 5, diketahui bahwa subjek 2 sudah

mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Hal ini

65

terlihat dari subjek 2 yang menggunakan ekspresi matematis dalam mencari

panjang BO dengan baik. Selain dari hasil tes, diperoleh juga hasil wawancara

sebagai berikut.

P : “Jika diketahui panjang rusuk dari kubus ABCD.EFGH itu 6 cm.

Berapa panjang jarak dari B ke garis EG?”

S2 : “Berarti kan BO. Panjang BO. Nah berarti kan kita pertama, EG itu kan

diagonal sisi. O kan memotong EG tepat ditengah. Jadi OE=OG. Jadi

OG =1

2× EG.”

P : “Tadi diagonal sisi itu apa?”

S2 : “Diagonal sisi EG.”

P : “Enggak. Maksudnya pengertian dari diagonal sisi?”

S2 : “Diagonal sisi adalah diagonal yang berada.. diagonal yang..”

P : “Diagonal sisi adalah?”

S2 : “Diagonal suatu sisi kubus. Jadinya kalau diagonal sisi EG, berarti

diagonal sisi EFGH. Nah itu kan, panjang EG adalah diagonal sisi.

Jadi panjang 𝑂𝐺 =1

2𝐸𝐺. Nah kenapa setengah EG? Titik O itu

proyeksi dari B. Jadinya kan O itu berada tepat setengah EG. Jadi

EO=OG. Jadi sama aja 𝑂𝐺 =1

2𝐸𝐺. Berarti 𝑂𝐺 =

1

2× , sisinya kan 12

cm jadi panjang diagonal sisinya itu 12√2. Jadinya 𝑂𝐺 =1

2× 12√2.

𝑂𝐺 = 6√2. OG panjangnya 6√2 𝑐𝑚. Terus CG, CG adalah diagonal

sisi. Jadi panjang 𝐵𝐺 = 6√2 . Pakai rumus phytagoras yang kayak

tadi. Terus mencari panjang BO, nah ini saya menggunakan segitiga

BOG. Panjang 𝐵𝑂 = √𝐵𝐺2 − 𝑂𝐺2 = √(12√2)2

− (6√2)2

=

√288 − 72 = √216 = 6√6. Jadi jarak dari B ke garis EG itu 6√6.”


menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Terlihat

bagaimana subjek 2 mampu menjelaskan cara menghitung panjang dari titik B ke

garis EG dengan baik. Subjek 2 juga menggunakan menggunakan berbagai

ekspresi matematis seperti simbol-simbol dan persamaaan dengan benar. Hal ini

juga diperkuat dengan dokumentasi yang diperoleh seperti tampak pada gambar di

bawah ini.

66


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 2 menyelesaikan masalah dengan

melibatkan ekspresi matematis. Berdasarkan data tes, wawancara dan

dokumentasi dapat disimpulkan bahwa subjek 2 sudah mampu menyelesaikan



1) Soal no. 1



menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis. Terlihat subjek 2

mampu menjelaskan hubungan garis dan bidang, bidang dan bidang, yang

terdapat pada permukaan kubus PQRS.TUVW dengan baik. Selain dari hasil tes,

67

diperoleh juga hasil wawancara dengan subjek 2. Hasil wawancara tampak seperti

berikut ini.

P : “Untuk nomor 1, coba Anda lihat kubus PQRS.TUVW. Dari kubus itu

apa yang Anda ketahui tentang hubungan garis dan bidang pada

permukaan kubus ini?”

S2 : “Hubungan garis PQ, garis QR, garis RS, garis SP, terletak pada bidang

PQRS. Garis TP, UQ, VR, WS, memotong bidang PQRS. Garis PU,

UV, VW, WT sejajar bidang PQRS.”

P : “Dari yang Anda sebutkan barusan itu, ada berapa hubungan?”

S2 : “Ada satu.”

P : “Yang Anda sebutkan ada berapa?”

S2 : “Oh.. tiga. Terletak, memotong, sejajar.”

P : “Kemudian apa yang Anda ketahui dari hubungan bidang dan bidang

pada permukaan kubus ini?”

S2 : “Bidang TUPQ, UVQR, PWRS, WSTP memotong bidang PQRS.

Bidang TUVW sejajar bidang PQRS. emm.. pertama kan kita tahu

kalau misalnya apa namanya sisi kubus itu ada 6.”

P : “Jadi, dari yang Anda sebutkan ada berapa hubungan?”

S2 : “Ada 2. Memotong dan sejajar.”


menjawab soal dengan menggunakan kata-kata. Subjek 2 menjelaskan beberapa

hubungan dari garis dan bidang, bidang dan bidang pada permukaan kubus

PQRS.TUVW. Selain dari hasil tes dan hasil wawancara di atas, juga diperkuat

dengan dokumentasi di bawah ini. Dokumentasi tampak seperti gambar berikut

ini.


68


dengan menggunakan teks tertulis. Bedasarkan data tes, wawancara dan

dokumentasi dapat disimpulkan bahwa subjek 2 sudah mampu menjawab soal

dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis.

2) Soal no. 2

Berdasarkan Gambar 23. Jawaban S2 No. 2, diketahui bahwa subjek 2

sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan teks tertulis. Hal ini terlihat

dari bagaimana subjek 2 menjelaskan proyeksi AH pada bidang ABCD. Selain

dari hasil tes, diperoleh pula hasil wawancara sebagai berikut.

P : “Coba Anda jelaskan tentang proyeksi AH pada bidang ABCD itu.”

S2 : “Jadi proyeksi titik A pada bidang ABCD menghasilkan titik A.

Karena titik A terletak pada bidang ABCD. Terus proyeksikan titik H

pada bidang ABCD menghasilkan titik D. Jadi proyeksi AH pada

bidang ABCD adalah garis AD.”


menjawab soal dengan menggunakan kata-kata. Subjek 2 menjelaskan proyeksi

AH pada bidang ABCD. Hal tersebut juga dikuatkan dengan dokumentasi yang

diperoleh. Dokumentasi tampak seperti gambar di bawah ini.


69

Dari gambar atas, diketahui bahwa subjek 2 menjelaskan cara mencari

proyeksi AH pada bidang ABCD menggunakan teks tertulis yang berupa kata-

kata. Dari data di atas, dapat diketahui bahwa subjek 2 sudah mampu menjawab

soal dengan menggunakan teks tertulis. Berdasarkan data tes, wawancara, dan

dokumentasi, diperoleh kesimpulan bahwa subjek 2 sudah mampu menjawab soal

dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis.

3. Subjek 3

Pemberian soal tes untuk subjek 3 dilakukan pada tanggal 10 Juni 2017 yang

dimulai pada jam 15:00 WIB sampai selesai. Soal yang diberikan berjumlah 5

soal. Pada saat subjek 3 mengerjakan soal tes, peneliti melakukan pengamatan

yang diikuti dengan menulis catatan lapangan. Setelah subjek 3 selesai

mengerjakan soal tes langkah selanjutnya yaitu melakukan wawancara

berdasarkan hasil tes yang telah dikerjakan. Di bawah ini peneliti akan

menjelaskan kemampuan representasi matematis subjek 3.



1) Soal no. 2


70


membuat gambar bangun geometri yaitu kubus ABCD.EFGH. Kubus tersebut

untuk membantu memperjelas letak garis AH, serta mempermudah mencari

proyeksi dari garis AH ke bidang ABCD. Selain itu, pada hasil wawancara juga

menunjukan bahwa subjek 3 menggambar kubus ABCD.EFGH dulu untuk

memudahkan mencari proyeksi AH pada bidang ABCD.

P : “Untuk soal nomor 2, bagaimana Anda menunjukan proyeksi AH pada

bidang ABCD pada kubus ABCD.EFGH?”

S3 : “Pertama gambar kubus ABCD.EFGH ya mbak. Nah kita proyeksikan

AH pada bidang ABCD. Karena titik A terletak pada bidang ABCD

maka letaknya tetap. Kemudian proyeksi dari titik H pada bidang

ABCD yaitu D. Sehingga proyeksi AH pada bidang ABCD itu di sini

mbak. (menunjuk garis AD)”

Dari jawaban tersebut, terlihat bahwa subjek 3 sudah mampu membuat


penyelesaian. Diketahui subjek 3 menggambarkan kubus ABCD.EFGH dahulu

untuk mempermudah menyelesaikan soal. Hal tersebut juga dikuatkan dengan

dokumentasi. Dokumentasi yang diperoleh tampak seperti gambar di bawah ini.


71

Dari gambar di atas, terlihat bahwa subjek 3 menggambar kubus

ABCD.EFGH kemudian membuat garis AH yang nantinya akan dicari

proyeksinya terhadap bidang ABCD. Berdasarkan data di atas, dapat diketahui


memperjelas permasalahan dan memfasilitasi penyelesaian. Menurut beberapa

data yang telah diuraikan di atas, yaitu data tes, wawancara dan dokumentasi

dapat ditarik kesimpulan. Kesimpulannya yaitu bahwa subjek 3 sudah mampu


penyelesaian.

2) Soal no. 3



72

Dari jawaban subjek 3 nomor 3 di atas, diketahui bahwa subjek 3 sudah

mampu membuat bangun geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi

penyelesaian. Subjek 3 menggambar kubus ABCD.EFGH. Menggambarkan

bidang AFH dan juga bidang BDHF, kemudian menggambarkan bangun AOP

untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Dari Gambar 40.

Jawaban S3 No. 3, subjek 3 juga menggambar bidang datar, yaitu segitiga APO

untuk membantu menyelesaikan permasalahan.

Selain dari hasil tes, juga diperoleh hasil wawancara dengan subjek 3 sebagai

berikut.

P : “Nomor 3, bagaimana Anda menunjukan sudut antara bidang BDHF

dengan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH?”

S3 : “Ya, pertama gambar kubus ABCD.EFGH dulu ya mbak. Udah mbak,

ini ya. Ini pertama bidang AFH sama BDHF. Bidang AFH kan ini.

(menunjukan bidang AFH)”


S3 : “Bentuknya kan segitiga mbak. Segitiga sama sisi, karena ini ternyata

kalo misalnya sisinya nggak diketahui ternyata AF itu, misalnya AF

itu saya ketahui 𝑎. AF itu 𝑎√2, HF juga 𝑎√2 dan AH juga 𝑎√2 gitu

lho mbak. Sama persegi panjang BDHF ini sudutnya disini mbak

(menunjuk sudutnya), kelihatan kan? Ini lho.”


ABCD.EFGH dahulu untuk membantu mencari bidang AFH dan BDHF.

Kemudian dengan mengetahui bidang AFH dan BDHF, subjek 3 dapat

mempermudah mencari langkah penyelesaian dari soal yang ditanyakan. Data dari

dokumentasi juga menunjukan subjek 3 menggambarkan kubus ABCD.EFGH

sebagai langkah pertama untuk menyelesaikan permasalahan. Selain dari tes dan

wawancara, diperoleh pula hasil dokumentasi berupa gambar. Berikut

dokumentasi yang diperoleh seperti tampak pada gambar di bawah ini.

73


Berdasarkan gambar di atas, diketahui bahwa subjek 3 mampu menggambar


Dari data tes, wawancara dan dokumentasi diperoleh kesimpulan bahwa subjek 3

sudah mampu membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas masalah dan


3) Soal no. 4


74


Dari hasil jawaban subjek 3 nomor 4, diketahui bahwa subjek tersebut sudah


memfasilitasi penyelesaian. Diketahui bahwa subjek 3 menggambar limas

segiempat beraturan T.ABCD. Subjek 3 juga menggambar proyeksi T pada

bidang ABCD serta menggambar proyeksi T pada bidang AB. Selain itu, subjek

3 menggambar perpotongan antara diagonal AC dan BD. Subjek 3 selanjutnya

juga menggambar bidang datar yaitu segitiga TPO untuk membantu dalam

menyelesaikan soal.

Sedangkan hasil dari wawancara yang dilakukan oleh subjek 3 yaitu sebagai

berikut.

P : “Untuk soal nomor 4, bagaimana Anda menentukan sudut antara bidang

TAB dan bidang ABCD pada limas segiempat beraturan T.ABCD?”

S3 : “Biar tak gambar dulu mbak. Oke. Nih ya mbak, kan tadi aku gambar

limas dulu, langsung dikasih T.ABCD kan? Udah nih. Tadi kan udah

gambar, trus aku tentuin bidang-bidangnya dulu, tadi kan TAB sama

ABCD. Nah, aku langsung proyeksiin T pada garis AB. Kan ini kan

ada bidang tuh, kita proyeksiin T pada garis AB. Kan tadi aku pake

segitiga TAB, aku proyeksiin T pada garis AB ya mbak. Aku kasih

nama P. Kenapa aku pakai garis AB? Itu karena tadi kan bidangnya

75

TAB sama ABCD ya mbak. Jadikan AB sama AB itu kan berimpit.

Nah itu jadi garis potongnya mbak. Nah udah kan, trus abis itu saya

proyeksiin T pada bidang ABCD. Aku kasih nama O mbak.”

P : “Kenapa O diproyeksikan ke bidang ET, diproyeksikan ke bidang

ABCD kenapa?”

S3 : “Biar ada kebawahnya mbak, biar ada.. biar bisa, tadi kan disuruh

ngapain tadi? Sudut itu kan? Nah iya kan harus bikin bidang mbak.

Nah dimana nanti kita mau nyari bidang tumpuan. Bidang tumpuan

adalah bidang yang tegak lurus dengan garis potong kedua bidang.

Nah tadi garis potongnya kan AB, berarti kita kan harus nyari dong

mbak. O ini, inikan proyeksi dari T, biar PO ini dari PO biar tegak

lurus sama AB mbak. Trus TP tegak lurus AB, berarti kan AB kan

tadi garis potong. Bener ya. Berarti ketemu bidang tumpuannya itu

TPO. Dah dari TPO, dari bidang TPO ini ada sudut tumpuannya ini

mbak, ini sudut TPO, yang disini (menunjuk sudut TPO).”


segiempat beraturan T.ABCD dahulu untuk membantu memperjelas masalah yang

ditanyakan, yaitu untuk menentukan sudut dari bidang TAB dengan bidang

ABCD.

Dari dokumentasi juga menunjukan bahwa subjek 3 membuat gambar kubus

T.ABCD untuk menyelesaikan masalah. Berikut dokumentasi yang diperoleh

seperti gambar di bawah ini.


76

Gambar di atas menunjukan bahwa subjek 3 sudah mampu membuat bangun

geometri untuk memperjelas dan memfasilitasi penyelesaian. Dari data tes dan

wawancara yang diperoleh, kemudian dikuatkan dengan dokumentasi diperoleh

suatu kesimpulan. Kesimpulan dari beberapa data di atas adalah bahwa subjek 3



4) Soal nomor 5


Dari gambar di atas, dapat diketahui bahwa subjek 3 menggambar kubus

ABCD.EFGH untuk membantu mempermudah menyelesaikan permasalahan.

Subjek 3 juga menggambar proyeksi B pada garis EG, serta membuat segitiga

77

BEG. Selain itu, subjek 3 juga menggambar segitiga BB’G untuk memfasilitasi

penyelesaian.

Hasil wawancara dengan subjek 3 untuk nomor 5 sebagai berikut.

P : “Untuk nomor 5, bagaimana Anda menentukan jarak dari titik B ke


S3 : “Pertama saya gambar kubusnya dulu mbak. Nah disini titik B nya

(menunjuk titik B) Terus ini E sama G (berurutan menunjuk titik E

lalu G), kita garis ya, jadi garis EG. Nah dari titik B ini kita tarik garis

ke G, terus abis itu tarik garis ke E. Nah proyeksikan titik B ini pada

garis EG. Kita kasih nama B’. Ternyata dari segitiga BEG, diketahui

merupakan segitiga sama sisi. Jadi B’ ini tepat atau persis terletak

pada setengah EG. Jadi jarak B ke garis EG itu adalah jaraknya BB’.”


bahwa subjek 3 menggambar kubus ABCD.EFGH terlebih dahulu. Dari

wawancara tersebut diketahui bahwa subjek 3 sudah mampu membuat gambar


Selain dari tes dan wawancara, juga diperkuat dengan bukti dokumentasi. Berikut

dokumentasi yang diperoleh seperti pada gambar di bawah ini.


Dari gambar di atas, menunjukan bahwa subjek 3 menggambar bangun

geometri yaitu kubus ABCD.EFGH untuk memperjelas masalah. Berdasarkan

78

gambar di atas, diketahui bahwa subjek 3 sudah mampu membuat gambar bangun

geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Dari hasil

tes, wawancara dan dokumentasi, dapat ditarik kesimpulan yang sama.

Kesimpulannya yaitu bahwa subjek 3 sudah mampu membuat gambar bangun



1) Soal no. 3

Dari Gambar 39. Jawaban S3 No. 3 dan Gambar 40. Jawaban S3 No. 3,

diketahui bahwa subjek 3 masih kurang mampu menyelesaikan masalah dengan

melibatkan ekspresi matematis. Hal ini terlihat dari beberapa jawaban subjek 3

yang kurang sesuai. Seperti tampak pada gambar berikut ini.


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 3 masih kurang tepat dalam

menggunakan ekspresi matematis. Subjek 3 menulis 𝐴𝑂 =⊥ 𝐻𝐹, seharusnya

𝐴𝑂 ⊥ 𝐻𝐹, begitu pula dengan 𝑃𝑂 =⊥ 𝐻𝐹 seharusnya 𝑃𝑂 ⊥ 𝐻𝐹. Namun

penggunaan simbol sudut (∠), tegak lurus (⊥) juga sudah benar. Subjek 3 dalam

menghitung tangen sudut AOP, sudah mampu menyelesaikan masalah dengan

melibatkan ekspresi matematis dengan baik. Hanya dibeberapa jawaban subjek 3

masih kurang teliti dalam mengerjakan, terlihat dari hasil tip-ex yang dijumpai.

79

Selain dari hasil tes, diperoleh pula hasil wawancara yang menunjukan bahwa

subjek 3 sudah mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi

matematis. Berikut hasil wawancara dengan subjek 3, seperti terlihat di bawah ini.

P : “Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH 6 cm, berapa besar

tangen sudutnya?”

S3 : “Berapa mbak? 6 cm? Oiya. Tadi kan diketahui kalo misalnya sudut

tumpuannya itu AOP ya mbak. Sudut AOP kalo misalnya kita ambil,

kita apa namanya gambar ulang tapi di luar dari kubus ini kan nanti

ada segitiga siku-siku. Nih kalau pemahaman saya kayak gitu mbak.

Nih ada sudut siku-siku ya mbak, nih kita gambar dulu, nih A disini

(menunjuk pada salah satu sudut segitiganya), ini P (menunjuk pada

salah satu sudut segitiganya), ini O (menunjuk pada salah satu sudut

segitiganya).”

P : “Sudutnya?”

S3 : “Sudutnya sebelah sini (menunjuk sudut AOP). Ini sudutnya. Nah terus

kan diketahui kalau misalnya sisinya 6 cm, berarti kan yang sejajar

sama apa ini yang rusuk apa ini? Rusuk tegaknya. Ya misalnya OP

kan rusuk tegak hitungannya ya mbak ya, 6 cm ya kan sudah

diketahui.”

P : “Kenapa itu 6 cm OP? ( sambil menunjuk OP).”

S3 : “Karena OP ini, itu tu sejajar sama ini mbak, apa namanya SP, GC, HD,

EA, kayak gitu mbak. Kan tadi terletak persis ditengah-tengah HF.

Terus kalau yang ditengah-tengah BD ini kan P (menunjuk P). Ya

kaya gitu mbak. Kalau ditarik garis, itu tu 6 cm mbak. Nah udah kan,

trus AP. AP itu kan sama dengan setengah AC mbak.”

P : “Kenapa setengah AC?”

S3 : “Nah.. AC ini kan adalah diagonal sisi ya mbak. Dimana diagonal sisi

itu rumusnya akar, ini kan tadi diketahui kalo misalnya sisi, apa

rusuk-rusuknya 6 cm mbak, jadi langsung aja ini kan 6, berarti 6√2 +

6√2. Maksudnya disini 6√2 berarti kalo AC kan saya pakai (𝐴𝐵)2 +(𝐵𝐶)2 =, berarti kan, langsung aja, tadi kan AP setengah AC ya,

berarti setengah diagonal sisi. Berarti 1

2(√𝐴𝐵 + 𝐵𝐶). Berarti kan

1

2(√62 + 62) =

1

2(√36 + 36) =

1

2(√72), berartikan

1

2(√2 × 36),

berarti 1

2(6√2), berartikan 3√2 tuh AP. AP

1

2. Nah terus sekarang

tinggal AO, AO kan inikan sudah ada segitiga, langsung pakai

phytagoras aja nggak papa mbak. Berarti ada AO, langsung saja

√𝐴𝑃2 + 𝑂𝑃2. 𝐴𝑃2 itu kan (3√2)2 ditambah 𝑂𝑃 kan 62 ya mbak.

Kan terus ini langsung aja √18 + 36 = √54. √54 itu bisa kita uraiin

lagi menjadi √9 × 6 biar ada yang dikeluarin gitu lho, jadi 3√6.

Diketahui tangen, kalau tangen, caranya bodohnya kalau tan=

80

𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛

𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔. Maksudnya itu adalah tan dari ini tadi kan sudutnya di O.

Berarti tan dari θ yang dimana sudut AOP itu. Berarti bagian

depannya kan AP, per OP. AP diketahui 3√2, per OP nya 6. √2

2 atau

1

2√2.”

P : “Jadi hasil tangen dari sudut AOPnya?”

S3 : “1

2√2.”

Dari hasil wawancara di atas, subjek 3 sudah mampu melibatkan ekspresi

matematis dalam menyelesaikan masalah. Terlihat dari bagaimana subjek 3

mencari tangen dari sudut tumpuannya dengan menggunakan bantuan dari

panjang sisi-sisi yang sudah diketahui. Berdasarkan wawancara di atas, diketahui


ekspresi matematis. Selain dari hasil wawancara, hal ini juga diperkuat dengan

dokumentasi. Berikut dokumentasi yang diperoleh seperti tampak pada gambar

berikut ini.


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 3 menggunakan ekspresi matematis

unutuk menyelesaikan masalah. Berdasarkan tes, wawancara dan dokumentasi,

dapat ditarik kesimpulan. Kesimpulan dari beberapa data tersebut adalah bahwa

81

subjek 3 kurang mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi

matematis.

2) Soal no. 4

Dari Gambar 42. Jawaban S3 No. 4, diketahui bahwa subjek 3 kurang

mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Dalam

langkah-langkah untuk mencari bidang tumpuan, subjek 3 masih terbalik

menuliskan simbol garis yang dimaksud. Terlihat dari gambar tersebut, subjek 3

.menuliskan 𝑃𝑂 ⊥ 𝐴𝐵, padahal seharusnya 𝑂𝑃 ⊥ 𝐴𝐵. Namun selanjutnya subjek

3 sudah benar menuliskan garis yang dimaksud, yaitu OP. Dari Gambar 43.

Jawaban S3 No. 4, diketahui bahwa subjek 3 sudah mampu menggunakan

ekspresi matematis dengan baik dalam menghitung tangen sudut TPO.

Berdasarkan hasil tes di atas, diketahui bahwa subjek 3 kurang mampu

menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis .

Dari wawancara diperoleh hasil sebagai berikut.

P : “Misalnya diketahui AB= 8 cm dan tinggi dari limasnya 8 cm juga.

Berapa tangen sudutnya?”

S3 : “Tangen sudut.. gambar lagi kaya tadi apa namanya, segitiganya

dikeluarin dulu. Tadi kan segitiga TPO, sudutnya di P. Tangen TPO,

nah to kan tadi termasuk tinggi limas sudah diketahui 8 cm. PO itu

setengah dari AB.”

P : “Kenapa PO setengah dari AB?”

S3 : “Karena apa namanya? PO ini termasuk apa ngomongnya? Ini lho

persis di tengah-tengah AB terus perpanjangan dari apa. Aku pake

titik O. Titik O itu kita perpanjangin aja kesini, ke garis DC. Terus

kita kasih nama Q. Nah karena PQ ini terletak pada bidang ABCD dan

ternyata sejajar pada garis BC, berarti ini otomatis PQ panjangnya 8

cm. Nah kan PO itu setengah PQ. Dimana PQ=BC berarti PO itu

setengah BC. Berarti 4 cm. Trus sebenarnya ini sudah bisa diketahui

ya mbak kalau misalnya ini tangennya berarti langsung aja tangen

sudut TPO itu berarti kan 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛

𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔=

𝑇𝑂

𝑃𝑂=

8

4= 2. Jadi tangen sudut

TPO itu 2.”

82

Dari hasil wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 3 masih kurang mampu

menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Subjek 3 masih

kesulitan menjelaskan ketika ditanya lebih lanjut tentang dari mana jawaban

diperoleh. Seperti kenapa PO setengah dari AB, subjek masih kurang tepat dalam

menjelaskan. Dari wawancara diketahui bahwa subjek 3 kurang mampu


Selain data dari tes dan wawancara, diperoleh pula dokumentasi. Berikut

dokumentasi yang diperoleh dari subjek 3 seperti tampak pada gambar di bawah

ini.


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 3 menggunakan ekspresi matematis

dalam menyelesaikan masalah. Berdasarkan hasil tes, wawancara dan

dokumentasi, diperoleh kesimpulan bahwa subjek 3 kurang mampu


83

3) Soal no. 5

Dari Gambar 45. Jawaban S3 No. 5, diketahui bahwa subjek 3 sudah mampu


simbol tegak lurus (⊥) sudah tepat. Ketika menghitung jarak B ke EG, subjek 3

juga sudah mampu menggunakan ekspresi matematis dengan baik.

Hasil dari wawancara juga menunjukan bahwa subjek 3 mampu

menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Hasil wawancara

seperti terlihat di bawah ini.

P : “Jika diketahui rusuk dari kubus itu 12 cm, berapa jarak B ke EG?”

S3 : “Tadi kan udah terbentuk dua segitiga ya mbak, saya pakai ini lho kalo

misalnya, tadi kan saya garis BB’ kan ada segitiga kecil. Saya pakai

yang BB’G. BG kan berarti kan diagonal sisinya BCGF, berarti kan

tadi 12, berarti BG= 12√2 ya mbak. Nih dari diagonal sisi, BG kan

ngitungnya berarti kan = √(𝐵𝐶)2 + (𝐶𝐺)2 berarti kan

√144 + 144 = √288 = √144.2 = 12√2. Terus sekarang B’G, B’G

adalah 1

2× 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑖. Sisinya sisi tadi, berarti kan BG = 12√2,

berarti setengahnya 6√2. Nah dari situ pakai phytagoras aja langsung,

berarti BB’ adalah √(𝐵𝐺)2 − (𝐵′𝐺)2 yaitu √(12√2)2

− (6√2)2

=

√288 − 72 = √216 = √36 × 6 = 6√6. Jadi jarak B ke EG itu adalah

6√6.”


menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Subjek 3 mampu

menjelaskan dengan baik bagaimana cara untuk menghitung jarak dari titik B ke

garis EG. Subjek menggunakan bantuan panjang sisi-sisi yang diketahui untuk

menhitung jaraknya.

Selain berdasarkan hasil tes dan wawancara, diperoleh pula dokumentasi.

Dokumentasi tampak pada gambar berikut ini.

84


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 3 melibatkan ekspresi matematis

dalam penyelesaian masalah. Berdasarkan data di atas, dapat diketahui bahwa

subjek 3 sudah mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi

matematis. Dari beberapa data di atas, yaitu tes, wawancara dan dokumentasi,

dapat ditarik kesimpulan. Kesimpulannya yaitu bahwa subjek 3 sudah mampu

sudah mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis.


1) Soal no. 1



dengan menggunakan teks tertulis yang berupa kata-kata. Subjek 3 mampu

menjelaskan hubungan antara garis dengan bidang, bidang dengan bidang, pada

permukaan kubus PQRS.TUVW dengan baik. Hal tersebut diperkuat dengan hasil

wawancara yang diperoleh. Berikut hasil wawancara yang diperoleh.

85

P : “Coba Anda lihat soal nomor 1, di situ terdapat kubus PQRS.TUVW,

dari kubus itu apa yang Anda ketahui tentang hubungan garis dan

bidang pada permukaan kubus?”

S3 : “Hubungan garis dengan bidang ya? disini saya pakai bidang PQRS.

Nah dari bidang PQRS ini saya mengambil apa.. dalam hubungan

garis dengan bidang ada 3 apa namanya? Ada 3 hubungan. Yang

pertama garis sejajar dengan bidang, tadi kan saya ngambilnya PQRS

ya itu berarti yang sejajar berarti yang TU, UV, PW sama WT.

Selanjutnya hubungan yang kedua itu adalah garis yang memotong

dengan bidang. Tadi kan, saya ngambilnya PQRS ya yang memotong

berartikan TP, UQ, VR, dan WS. Yang ketiga itu adalah hubungan

garis yang terletak pada bidang. Kan tadi PQRS berarti PQ, QR, RS

dan SP.”

P : “Kemudian apa yang Anda ketahui tentang hubungan bidang dengan


S3 : “Hubungan bidang dengan bidang ya? Itu ada dua. Pertama bidang

yang memotong, dan bidang yang sejajar. Tadi saya pakai PQRS lagi

nggak papa ya? PQRS lagi berarti bidang yang memotong itu bidang

TUQP, bidang UVRQ, bidang WVRS dan bidang TWSP. Bidang

yang sejajar yaitu TUWV.”

P : “Sejajar dengan bidang?”

S3 : “PQRS tadi yang saya ambil.”

Dari hasil wawancara di atas, diketahui subjek 3 mampu menjawab soal dengan

menggunakan kata-kata. Subjek 3 mampu menjelaskan dengan baik apa yang

dimaksud. Dokumentasi juga menunjukan bahwa subjek 1 mampu menjawab soal

dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis. Berikut dokumentasi yang

diperoleh seperti gambar berikut ini.


86

Dari gambar di atas, dapat diketahui bahwa subjek 3 sudah mampu menjawab soal

dengan menggunakan teks tertulis yang berupa kata-kata. Berdasarkan tes,

wawancara dan dokumentasi, dapat diketahui bahwa subjek 3 sudah mampu

menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis.

2) Soal no. 2


mampu menjawab soal dengan menggunakan teks tertulis berupa kata-kata.

Subjek 3 menjelaskan cara mendapatkan proyeksi AH pada bidang ABCD dengan

beberapa langkah. Terlihat subjek 3 menjelaskan dengan baik bagaimana mencari

proyeksi AH pada bidang ABCD.

Hal ini juga diperkuat dengan hasil wawancara yang diperoleh. Berikut hasil

wawancara dengan subjek 3 untuk no. 2.

P : “Apa yang Anda ketahui tentang proyeksi AH pada bidang ABCD?”

S3 :

“Diketahui ya mbak kalo proyeksi AH pada bidang ABCD itu kan, ini

kan misal ya kita kan tadi sudah membuat AH di sini. Kan tadi

disuruhnya untuk proyeksi ke ABCD. ABCD kan bidang alas, eh sisi

alas. Nah untuk titik H kan AH itu ada titik A sama H. Titik A pada

bidang ABCD kalau diproyeksikan pada bidang ABCD itu nanti

jadinya tetep titik A itu sendiri mbak. Nah untuk H nya itu sendiri kalo

diproyeksikan pada bidang ABCD itu berarti pada titik D. Jadi

proyeksi AH pada bidang ABCD itu AD.

P : “Maksudnya AH pada bidang EADH itu apa ya?”

S3 : “Ini lho mbak tadi kan maksudnya kan proyeksi AH pada bidang

ABCD ya. Nah apa garis AH itu terletak pada bidang EADH mbak.

Jadi aku tulis aja maksudnya biar lebih jelas ini disini lho maksudnya

biar jelas aja.”

Dari hasil wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 3 sudah mampu menjawab

soal dengan menggunakan kata-kata. Ketika ditanya lebih lanjut tentang

jawabannya, subjek 3 juga dapat menjelaskan dengan baik.

87

Kedua data di atas, dapat diperkuat dengan adanya dokumentasi. Hasil dari

dokumentasi yaitu berupa gambar. Berikut dokumentasi yang diperoleh seperti

tampak pada gambar di bawah ini.


Dari hasil dokumentasi di atas, diketahui bahwa subjek 3 sudah mampu menjawab

soal dengan menggunakan teks tertulis yang berupa kata-kata. Berdasarkan tes,

wawancara dan dokumentasi dapat ditarik kesimpulan. Kesimpulan yang didapat

yaitu bahwa subjek 3 sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan kata-

kata atau teks tertulis.

4. Subjek 4

Pemberian soal tes untuk subjek 4 dilakukan pada tanggal 10 Juni 2017 yang

dimulai pada jam 15:45 WIB sampai selesai. Soal yang diberikan berjumlah 5.




88





1) Soal nomor 2




penyelesaian. Subjek 4 membuat gambar kubus ABCD. EFGH. Kubus tersebut

untuk membantu memperjelas letak garis AH, serta mempermudah mencari

proyeksi dari garis AH ke bidang ABCD. Selain itu pada hasil wawancara juga

menunjukan bahwa subjek 4 menggambar kubus ABCD. EFGH dulu untuk

memudahkan mencari proyeksi AH pada bidang ABCD.


bidang ABCD?”

S4 : “Caranya kita gambar kubusnya dulu, yaitu kubus ABCD.EFGH

kemudian proyeksikan AH pada bidang ABCD. Yang pertama yaitu

titik A diproyeksikan ke bidang ABCD sehingga diperoleh titik

proyeksi yaitu titik A itu sendiri, kemudian titik H diproyeksikan ke

bidang ABCD, sehingga diperoleh titik proyeksi yaitu titik D,

sehingga dari keduanya tersebut diperoleh hasil proyeksi AH pada

bidang ABCD, yaitu garis AD.”

89

Dari jawaban tersebut terlihat bahwa subjek 4 mampu membuat gambar bangun

geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Hal

tersebut juga dikuatkan dengan dokumentasi.

Berikut dokumentasi yang diperoleh seperti tampak pada gambar di bawah

ini.


Dari gambar di atas, diketahui subjek 4 menggambar kubus ABCD.EFGH untuk

memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Menurut data di atas subjek

4 sudah mampu membuat bangun geometri untuk memperjelas masalah dan

memfasilitasi penyelesaian. Berdasarkan tes, wawancara dan dokumentasi,

diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu membuat gambar bangun geometri untuk


2) Soal nomor 3


90


Dari dua gambar di atas, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu membuat


penyelesaian. Subjek 4 menggambar kubus ABCD. EFGH. Menggambarkan

bidang AFH dan juga bidang BDHF, kemudian menggambarkan bangun APO

untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Subjek 4 juga

menggambar bidang tumpuan, yaitu segitiga APO untuk membantu

menyelesaikan permasalahan.

Selain dari hasil tes, juga diperoleh hasil wawancara dengan subjek 4 sebagai

berikut.

P : “Bagaimana cara Anda menunjukkan sudut antara bidang BDHF

dengan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH? untuk nomor 3.”

S4 : “Sudut antara BDHF dan bidang AFH, yang pertama yaitu bidang..

yang pertama yaitu digambar kubusnya. Setelah menggambar,

menentukan bidang BDHF dan bidang AFH. Kemudian bidang BDHF

dengan bidang AFH itu kan merupakan.. merupakan dua bidang yang

saling berpotongan di HF. Kemudian dari kedua bidang tersebut dapat

dibuat sebuah bidang tumpuan yaitu dengan memproyeksikan A ke

HF. Karena bidang AHF merupakan segitiga sama sisi dengan titik A

sebagai puncaknya, maka hasil proyeksi titik A pada HF berada di

tengah-tengah HF yaitu misalkan titik P. Kemudian dari titik P

diproyeksikan ke bidang ABCD dan diperoleh hasil proyeksi yaitu

titik O. Dari kedua garis proyeksi AO dan PO dapat dibuat bidang

91

tumpuan yaitu segitiga APO. Karena AP tegak lurus HF dan PO tegak

lurus HF dimana AO dan PO anggota dari bidang AOP maka sudut

AOP merupakan sudut antara bidang BDHF dengan bidang AFH.”


ABCD.EFGH dahulu untuk membantu mencari bidang AFH dan BDHF. Dengan

mengetahui bidang AFH dan BDHF, subjek 4 dapat menentukan bidang tumpuan

antara bidang AFH dengan bidang BDHF. Setelah subjek mengetahui bidang

tumpuannya maka akan mempermudah untuk mencari sudut tumpuannya. Dari

hasil wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu membuat


penyelesaian.

Hasil tes dan wawancara tersebut dikuatkan dengan adanya dokumentasi.

Dokumentasi juga menunjukan subjek 4 menggambarkan kubus ABCD.EFGH

sebagai langkah pertama untuk menyelesaikan permasalahan. Dokumentasi

tampak pada gambar di bawah ini.


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 4 membuat gambar kubus untuk

memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Berdasarkan data dari tes,

92

wawancara dan dokumentasi, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu membuat


penyelesaian.

3) Soal no. 4


Dari hasil gambar di atas, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu membuat

gambar bangun geometri untuk memperjelas dan memfasilitasi penyelesaian.

Terlihat bahwa subjek 4 menggambar limas segiempat beraturan T.ABCD. Subjek

4 juga menggambar proyeksi T pada bidang ABCD serta menggambar proyeksi T

pada bidang AB. Selain itu subjek 4 menggambar perpotongan antara diagonal

AC dan BD. Subjek 4 selanjutnya juga menggambar bidang datar yaitu segitiga

TOQ untuk membantu dalam menyelesaikan soal.

93

Dari wawancara dengan subjek 4 diperoleh data sebagai berikut.


TAB dengan bidang ABCD pada limas segiempat beraturan

T.ABCD?”

S4 : “Yang pertama kita menggambar bangun limas kemudian menentukan..

oh iya menggambar limas segi empat beraturan. Kemudian

menentukan bidang TAB dan bidang ABCD. Lalu bidang TAB

dengan ABCD itu kan merupakan dua bidang yang berpotongan di

rusuk AB. Kemudian buat bidang tumpuan dari kedua bidang dengan

memproyeksikan titik T ke garis AB karena TAB merupakan segitiga

sama kaki maka diperoleh hasil proyeksi dari T ke AB itu titik O di

tengah AB. Kemudian proyeksikan titik T ke garis DC sehingga

diperoleh hasil proyeksi yaitu titik Q pada pertengahan DC. Dari dua

garis proyeksi dapat dibuat bidang tumpuan yaitu bidang POQ yang

merupakan segitiga sama kaki. Karena TO tegak lurus AB dan OQ

tegak lurus AB dimana TO dan OQ anggota dari TOP maka TOQ

merupakan sudut tumpuan dari bidang tumpuan TOQ. Sehingga sudut

antara bidang TAB dengan ABCD yaitu sudut TOQ atau bisa diberi

nama sudut 𝛼.”


segiempat beraturan T.ABCD dahulu. Setelah menggambar, subjek menentukan

bidang TAB dan bidang ABCD, kemudian subjek mencari perpotongan dari

kedua bidang tersebut. Perpotongannya yaitu di garis AB. Langkah selanjutnya,

subjek 4 mencari bidang tumpuan dari kedua bidang tersebut, dimana bidang

tumpuannya yaitu TOQ. Dari bidang tumpuan tersebut kemudian dapat dicari

sudut tumpuannya. Dari beberapa uraian hasil wawancara di atas, diketahui bahwa

subjek 4 sudah mampu membuat bangun geometri untuk memperjelas masalah

dan memfasilitasi penyelesaian.

Dokumentasi juga menunjukan subjek 4 menggambar limas T.ABCD untuk

memperjelas masalah dan memfasilitasi peyelesaian. Dokumentasi tampak seperti

pada gambar di bawah ini.

94


Berdasarkan tes, wawancara dan dokumentasi, diketahui bahwa subjek 4 sudah



4) Soal no. 5


Hasil dari jawaban subjek 4 no. 5 seperti tampak pada gambar di atas,

diketahui bahwa subjek 4 menggambar kubus ABCD.EFGH untuk membantu

mempermudah menyelesaikan permasalahan. Subjek 4 juga menggambar

proyeksi B pada garis EG, serta membuat segitiga BEG. Selain itu, subjek 4 juga

menggambar bidang BPG untuk memfasilitasi penyelesaian.

95

Hasil wawancara dengan subjek 4 untuk nomor 5 sebagai berikut.



S4 : “Yang pertama kita menggambarkan kubusnya kemudian, tentukan

garis.. eh gambar garis EG, lalu hubungkan..”

P : “Tentukan gambar garis EG itu, oh jadi menarik dari E ke G ya?”

S4 : “Iya.”

P : “Kemudian?”

S4 : “Kemudian setelah itu hubungkan titik B ke titik E dan titik G, sehingga

terbentuk diagonal bidang BE dan BG.”

P : “Diagonal bidangnya ada berapa?”

S4 : “Ada tiga.”

P : “Apa saja?”

S4 : “BE, BG, dan EG.”

P : “Kemudian?”

S4 : “Kemudian dari ketiga diagonal bidang tersebut dapat dibuat segitiga

sama sisi yaitu segitiga EBG, dari titik B diproyeksikan ke garis EG

sehingga diperoleh titik proyeksi yaitu titik P misalnya. Kemudian

karena BP merupakan garis hubung terpendek dari titik B ke EG maka

BP itu merupakan jarak dari B ke EG.”


bahwa subjek 4 menggambar kubus ABCD.EFGH terlebih dahulu untuk

memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Hal ini juga diperkuat

dengan hasil dokumentasi. Dokumentasi subjek 4 juga menunjukan hal yang sama

seperti dalam wawancara dan juga tes. Dokumentasi tampak seperti pada gambar

di bawah ini.


96


1) Soal no. 3

Berdasarkan Gambar 56. Jawaban S4 No. 3 dan Gambar 57. Jawaban S4

No. 3, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu menyelesaikan masalah dengan

melibatkan ekspresi matematis. Untuk mencari tangen sudut dari bidang tumpuan

dua bidang (AFH, BDHF) subjek 4 menggunakan bantuan dari garis AP dan OP.

Penggunaan simbol sudut (∠) dan simbol tetha (𝜃) juga sudah benar. Namun di

lembar jawaban subjek 4 masih terdapat beberapa coretan.

Selain dari hasil tes, diperoleh juga hasil wawancara yang menunjukan data

sebagai berikut.

P : “Misalnya panjang rusuknya 6 cm, itu berapa tangen sudutnya?”

S4 : “Jika panjang rusuknya itu 6 cm. Dari segitiga AOP dapat dihitung

tangen sudut 𝜃 yaitu yang pertama AP itu kan 1

2𝐴𝐶, di mana AC itu

merupakan diagonal bidang. Panjang diagonal bidang itu kan sisi √2,

nah karena panjangnya 6 cm maka panjang AC itu 6√2. Kemudian

AP itu kan setengah AC maka AP =1

2× 6√2 yaitu 3√2. Kemudian

tangen 𝜃 nya yaitu panjang AP

panjang OP,

panjang AP

panjang OP=

3√2

6, jadi hasilnya tangen

dari 𝜃 =1

2√2.”


menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Dibuktikan dari

hasil wawancara di atas, yaitu untuk menentukan tangen sudut yang dicari, subjek

4 menggunakan bantuan dari garis AP, dimana garis AP itu panjangnya 1

2AC. Hal

ini juga diperkuat dengan hasil dokumentasi. Dokumentasi yang diperoleh tampak

pada gambar berikut ini.

97


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu melibatkan

ekspresi matematis dalam menyelesaikan masalah. Berdasarkan tes, wawancara

dan dokumentasi, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu menyelesaikan masalah


2) Soal no. 4

Berdasarkan Gambar 59. Jawaban S4 No. 4 diketahui bahwa subjek 4 sudah

mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Namun

terdapat beberapa coretan dalam mengerjakan soal. Hasil wawancara dengan

subjek 4 diperoleh sebagai berikut.

P : “Jika diketahui AB 8 cm dan tinggi limas 8 cm. Berapa tangen

sudutnya?”

S4 : “Jika diketahui sisi AB = 8 cm dan tingginya tinggi limas itu 8 cm

maka tangen dari sudutnya yaitu tan 𝛼 =TP

OP, dimana TP itu

panjangnya 8 cm kemudian OP =1

2× OQ, dimana panjang OQ nya itu

8 cm. Jadi panjang OP adalah 4 cm. Kemudian 8

4= 2, jadi tan 𝛼 = 2.”

P : “Kenapa ada sudut TOQ itu sama dengan sudut TOP? Kenapa bisa

sama sudut TOQ dengan sudut TOP, itu menurut Anda bagaimana?”

S4 : “Karena sudut TOQ.. karena sudut TOP itu termasuk dalam sudut

TOQ.”

P : “Maksudnya termasuk itu?”

98

S4 : “Maksudnya di sini kan TP itu tinggi dari segitiga POQ, jadi sudut TOP

itu sama dengan sudut TOQ, saling berhimpit.”

P : “Jadi tadi besar tangen sudutnya?”

S4 : “2.”


menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Hal tersebut juga

dikuatkan dengan dokumentasi. Dokumentasi tampak pada gambar di bawah ini.


Dari gambar di atas, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu menyelesaikan

masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Berdasarkan tes, wawancara dan

dokumentasi, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu menyelesaikan masalah


3) Soal no. 5


mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Hal

tersebut terlihat dari subjek 4 ketika mencari panjang jarak dari titik B ke garis

EG. Hal tersebut diperkuat dengan hasil wawancara yang diperoleh. Berikut hasil


99

P : “Jika diketahui panjang rusuknya 12 cm, berapa jarak dari titik B ke

garis EG?”

S4 : “Jarak dari titik B ke garis EG, tadi kan EG itu EB, BG, dan EG itu kan

merupakan diagonal bidang jadi panjang sisinya sama kemudian,

sisinya diketahui 12 cm jadi panjang EG, BG, dan EB itu sama.

Panjang diagonal bidang itu kan sisi √2, jadi panjang ketiga diagonal

tadi yaitu 12√2. Kemudian PG, PG itu kan 1

2𝐸𝐺 jadi..”

P : “Kok bisa setengah dari EG?”

S4 : “Karena proyeksi dari B ke garis EG itu kan garisnya hasilnya garis BP.

Nah karena ini segitiga sama sisi maka garis BP itu memotong sama

panjang dari.. memotong EG sama panjang menjadi dua sisi sama

panjang. Kemudian jadi panjang BG nya yaitu 6√2, kemudian untuk

mencari BP, BP itu √(BG)2 yang merupakan sisi miring dari

segitiga.”

P : “Sisi miring?”

S4 : “Segitiga EBG dikurangi (PG)2, yaitu 12√2, √(12√2)

2− (6√2)

2=

√288 − 72 = √216 dan hasilnya yaitu 6√6 cm.”

P : “Jadi panjang jarak dari titik B ke garis EG?”

S4 : “6√6 cm.”


menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis dalam menghitung

jarak titik B ke garis EG. Hal tersebut juga diperkuat dengan dokumentasi yang

diperoleh. Dokumentasi tampak pada gambar berikut ini.


100

Dari hasil dokumentasi di atas, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu

menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Berdasarkan tes,

wawancara dan dokumentasi diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu



1) Soal no. 1



menjawab soal dengan menggunakan teks tertulis. Subjek 4 menjelaskan

hubungan garis dan bidang, bidang dan bidang pada permukaan kubus

PQRS.TUVW. Selain tes, diperoleh pula hasil wawancara. Berikut hasil


P : “Coba Anda lihat soal nomor 1. Di sini terdapat kubus PQRS.TUVW.,

Coba Anda jelaskan hubungan antara garis dan bidang pada kubus

PQRS.TUVW.”

S4 : “Hubungan antara garis dan bidang pada kubus PQRS.TUVW yaitu,

misalkan saja pada bidang PQRS, terdapat garis PQ, QR, RS dan PS

terletak pada bidang PQRS.”

P : “Jadi poin pertama itu, hubungannya itu apa saja tadi?”

S4 : “Hubungannya terletak pada bidang tersebut, garis yang terletak pada

bidang tersebut.”

P : “Itu yang pertama? Kemudian?”

S4 : “Kemudian pada garis TP, UQ, VR, dan WS yang.. yang kedua yaitu

memotong atau menembus bidang. Contohnya TP, UQ, VR, dan WS.

Terus sejajar dengan bidang. Contohnya TU, UV, VW, dan WT.”

101

P : “TU, UV, dan tadi apa? WT? Itu sejajar dengan bidang apa?”

S4 : “Bidang PQRS.”


bidang dari kubus tersebut?”

S4 : “Hubungan bidang dengan bidang dari kubus PQRS.TUVW yaitu,

misalkan saja bidang PQRS, bidang PQRS itu tegak lurus atau

memotong bidang QRVU, kemudian PQRS juga sejajar dengan

bidang TUVW.”

P : “Ada berapa hubungan bidang dengan bidang?”

S4 : “Dua.”

P : “Apa saja tadi?”

S4 : “Memotong atau tegak lurus dan sejajar.”

Berdasarkan hasil wawancara di atas, diketahui bahwa subjek 4 sudah mampu

menjawab soal dengan menggunakan kata-kata. Subjek 4 menjelaskan beberapa

hubungan garis dengan bidang pada permukaan kubus PQRS.TUVW yaitu,

terletak, memotong atau menembus, dan sejajar. Hubungan bidang dengan bidang

pada permukaan kubus PQRS.TUVW yaitu memotong atau tegak lurus dan

sejajar.

Data dari tes dan wawancara juga diperkuat dengan dokumentasi. Berikut

dokumentasi yang diperoleh seperti tampak pada gambar berikut ini.


102


dengan menggunakan teks tertulis yang berupa kata-kata. Berdasarkan beberapa

data yang teleh diuraikan di atas, dapat disimpulkan bahwa subjek 4 sudah

mampu menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis.

2) Soal no. 2

Berdasarkan Gambar 54. Jawaban Subjek 4 No. 2, diketahui bahwa subjek

4 sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis.

Subjek 4 menjelaskan tentang bagaimana mencari proyeksi AH pada bidang

ABCD dengan teks tertulis. Langkah pertama subjek 4 memproyeksikan titik A ke

bidang ABCD, diperoleh titik A. Karena titik A terletak pada bidang ABCD.

Kemudian memproyeksikan titik H pada bidang ABCD diperoleh titik D. Dari

hasil proyeksi tersebut diperoleh hasil proyeksi AH pada bidang ABCD yaitu

garis AD.

Selain hasil di atas, diperoleh pula hasil wawancara. Hasil wawancara

tersebut menguatkan dari hasil tes di atas. Berikut hasil wawancara yang

diperoleh.

P : “Bagaimana cara Anda menunjukkan proyeksi AH pada bidang

ABCD?”








P : “Anda mengatakan A diproyeksikan ke bidang ABCD diperoleh A.

kenapa itu tetap A? kenapa hasilnya A proyeksi A ke bidang ABCD?”

S4 : “Karena titik A itu terletak pada bidang ABCD.”

103

Dari hasil wawancara di atas, diketahui subjek 4 sudah mampu menjawab

soal dengan menggunakan kata-kata. Subjek 4 dapat menjelaskan tentang

proyeksi AH pada bidang ABCD. Selain hasil tes dan wawancara, diperoleh pula

dokumentasi subjek 4. Berikut dokumentasi yang diperoleh seperti pada gambar

di bawah ini.


Hasil dokumentasi di atas, menunjukan subjek 4 menjawab soal dengan

menggunakan teks tertulis yang berupa kata-kata. Berdasarkan tes, wawancara

dan dokumentasi, diperoleh kesimpulan bahwa subjek 4 sudah mampu menjawab

soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis.

C. Pembahasan

Hasil identifikasi dari kemampuan representasi matematis mahasiswa calon

guru matematika diperoleh data yang valid. Berikut ini adalah rangkuman dari

hasil identifikasi kemampuan representasi matematis mahasiswa yang diperoleh

dari hasil tes mahasiswa, hasil wawancara, hasil catatan lapangan, dan

dokumentasi. Pada saat mahasiswa menyelesaikan soal tes yang diberikan, sudah

104

mulai terlihat bahwa mahasiswa mampu untuk mengungkapkan representasi

matematisnya.

Mahasiswa sudah mampu membuat gambar bangun geometri untuk

memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Dari 4 subjek yang diambil,


memfasilitasi penyelesaian. Seperti terlihat di bawah ini.

1. Subjek 1 sudah mampu membuat bangun geometri untuk memperjelas

masalah dan memfasilitasi penyelesaian, hal ini terlihat dari gambar kubus

maupun limas yang digambar oleh subjek 1 untuk membantunya

memperjelas masalah dan membantu penyelesaian.


masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Subjek 2 menggambar kubus

maupun limas untuk membantunya memperjelas masalah dan membantu

penyelesaian.


masalah dan memfasilitasi penyelesaian. hal ini bisa dilihat dari gambar

kubus maupun limas yang dibuat oleh subjek 3 untuk membantunya

memperjelas masalah dan membantu penyelesaian. Subjek 3 juga membuat

gambar dari sudut yang terbentuk.


masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Terlihat dari gambar kubus

maupun limas yang digambar oleh subjek 4 untuk membantunya

105

memperjelas masalah dan membantu penyelesaian. Walaupun dalam

pekerjaannya masih terdapat coretan.

Mahasiswa sudah mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan

ekspresi matematis. Berdasarkan 4 subjek yang diambil, sudah mampu

menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis. Seperti di bawah

ini.

1. Subjek 1 sudah mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi

matematis. Hal ini dapat dilihat bahwa subjek 1 sudah mampu

menggunakan ekspresi matematis dengan baik dalam menyelesaikan soal.


matematis. Terlihat bahwa subjek 2 menggunakan ekspresi matematis yang

paling sederhana untuk menyelesaikan masalah.

3. Subjek 3 kurang mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan

ekspresi matematis. Hal ini terlihat dari jawaban subjek 3 nomor 3 dan 4, di

mana kurang tepat dalam menggunakan simbol dan juga menunjukan garis

yang dimaksud. Namun di soal nomor 5, subjek 3 sudah mampu

menggunakan ekspresi matematis dengan baik dalam menyelesaikan

masalah.


matematis. Subjek 4 sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan

ekspresi matematis dengan baik.

Mahasiswa sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan kata-kata

atau teks tertulis. Dari 4 subjek yang diambil, sudah mampu membuat gambar

106


Seperti di bawah ini.

1. Subjek 1 sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau

teks tertulis. Hal ini terlihat dari jawaban tes subjek 1 nomor 1 dan 2 yang

mampu menjawab pertanyaan peneliti dengan jelas.


teks tertulis. Terlihat bahwa subjek 2 mampu menjelaskan hubungan antara

garis dan bidang, bidang dan bidang pada permukaan kubus serta

menjelaskan proyeksi AH pada bidang ABCD dengan baik.


teks tertulis. Hal ini terlihat dari jawaban subjek 3 baik itu tes maupun

wawancara yang memperlihatkan bahwa subjek 3 mampu menjelaskan

dengan baik.


teks tertulis. Terlihat dari beberapa jawaban tes dan hasil wawancara subjek

4 yang mampu menjelaskan dengan baik.

Menurut pendapat Mudzakkir dalam Lestari (2015: 83), tentang “indikator

kemampuan representasi matematis” dan pendapat Dahlan (2016: 132), tentang

“bentuk-bentuk representasi dan operasionalnya”, dalam penelitian ini muncul

indikator representasi matematis baru selain indikator yang peneliti gunakan.

Indikator yang muncul yaitu mampu menuliskan langkah-langkah penyelesaian

masalah matematis dengan kata-kata. Hal ini terlihat dari catatan lapangan subjek

1, 2, 3, dan 4, untuk soal nomor 2, 3, 4, dan 5. Catatan lapangan subjek 1 tentang

107

soal no 2, 3, 4, dan 5 menunjukan bahwa subjek 1sudah mampu menuliskan

langkah-langkah penyelesaian masalah matematis dengan kata-kata.

Catatan lapangan subjek 2 tentang soal no 2, 3, 4, dan 5 menunjukan bahwa

subjek 2 sudah mampu menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah

matematis dengan kata-kata. Catatan lapangan subjek 3 tentang soal no 2, 3, 4,

dan 5 menunjukan bahwa subjek 3 sudah mampu menuliskan langkah-langkah

penyelesaian masalah matematis dengan kata-kata. Catatan lapangan subjek 4

tentang soal no 2, 3, 4, dan 5 menunjukan bahwa subjek 4 sudah mampu

menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah matematis dengan kata-kata.

D. Keterbatasan Peneliti

Dalam penelitian ini, peneliti memiliki keterbatasan untuk melaksanakan

penelitian. Hal ini disebabkan pada saat pengambilan data alat yang digunakan

pada saat penelitian seperti kamera masih memiliki kualitas yang kurang bagus

serta memori yang kurang besar. Oleh sebab itu, video yang dihasilkan kurang

memuaskan. Selain itu pada saat peneliti melakukan wawancara, peneliti belum

mampu untuk menggali informasi lebih dalam karena mahasiswa sudah merasa

resah dan keterbatasan waktu pada saat penelitian.

108

BAB V

PENUTUP

A. Simpulan

Berdasarkan hasil analisis data dari empat subjek penelitian, diperoleh

kesimpulan secara umum representasi matematis mahasiswa calon guru

matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo tahun akademik 2016/ 2017

sebagai berikut.

1. Mahasiswa sudah mampu membuat gambar bangun geometri untuk

memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaian. Terlihat bahwa

mahasiswa mampu menggambar bangun kubus ataupun limas untuk


2. Mahasiswa sudah mampu menyelesaikan masalah dengan melibatkan

ekspresi matematis. Di sini mahasiswa sudah mampu menggunakan ekspresi

matematis seperti simbol-simbol matematika untuk menyelesaikan masalah.

Namun, dalam menggunakan simbol-simbol masih perlu ditingkatkan.

3. Mahasiswa sudah mampu menjawab soal dengan menggunakan kata-kata

atau teks tertulis. Hal ini terlihat dari hasil tes maupun wawancara, mahasiswa

sudah mampu menjawab dengan menggunakan kata-kata ataupun teks tertulis

dengan sama baiknya.

108

109

B. Saran

1. Bagi Dosen

Dosen diharapkan untuk lebih memperhatikan mahasiswa dalam

pembelajaran, terutama untuk mengembangkan kemampuan representasi

matematis mahasiswa, baik itu secara langsung maupun tidak langsung. Hal

tersebut akan sangat membantu mahasiswa dalam mendukung perannya sebagai

calon guru.

2. Bagi Mahasiswa

Mahasiswa diharapkan untuk lebih mengasah kemampuan representasi

matematis. Mahasiswa juga bisa lebih mengembangkan representasinya lagi.

Nantinya hal ini akan sangat membantu dalam perannya sebagai calon guru.

3. Bagi Peneliti Lain

Peneliti yang hendak melakukan penelitian sejenis yang terkait dengan

representasi matematis, diharapkan dapat meneliti lebih dalam lagi tentang

kemampuan representasi matematis lower class, middle class maupun upper

class. Selain itu, peneliti lain dapat menggunakan acuan subjek yang lebih luas

lagi.

110

DAFTAR PUSTAKA

Alhadad dan Fadillah, S. 2010. Meningkatkan Kemampuan Representasi Multipel

Matematis, Pemecahan Masalah Matematis, dan Self Esteem Siswa SMP

Melalui Pembelajaran dengan Pendekatan Open Ended. Universitas

Pendidikan Indonesia. Diunduh dari http://repository.upi.edu/8617/ pada

tanggal 5 Oktober 2016

Dahlan, J. A. dan Juandi, D. 2011. Analisis Representasi Matematik Siswa

Sekolah Dasar Dalam Penyelesaian Masalah Matematika Kontekstual.

Universitas Pendidikan Indonesia. Diunduh dari http://journal.

fpmipa.upi.edu/index.php/jpmipa/article/view/273 pada tanggal 27 Oktober

2016

Kartini. 2009. Peranan Representasi dalam Pembelajaran Matematika. Disajikan

dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika. Jurusan

Pendidikan Matematika FMIPA UNY. Yogyakarta. Diunduh dari

http://eprints.uny.ac.id/id/eprint/7036 pada tanggal 27 November 2016

Lestari, K. E. dan Yudhanegara, M. R. 2015. Penelitian Pendidikan Matematika.

Bandung: PT Refika Aditama

Luitel, B.C. 2002. Multiple Representations of Mathematical Learning: A Short

Discourse. Presented at The 25th Conference Organised by Western

Australian Science Education Association. Canning College. Bentley.

Diunduh dari http://www.geocities.ws/bcluitel/Seminar.pdf pada tanggal 8

Oktober 2016

Mariani, S. dan Kusni. 2013. Geometri Ruang. Program Pasca Sarjana

Matematika Universitas Negeri Semarang

Moleong, L. J. 2013. Metodologi Penelitian Kualitatif. Bandung: Remaja

Rosdakarya Offset

Muthmainnah. 2014. Meningkatkan Kemampuan Representasi Matematis Siswa

melalui Pendekatan Pembelajaran Metaphorical Thinking. UIN Syarif

Hidayatullah. Jakarta. Diunduh dari http://repository.uinjkt.ac.id/

dspace/handle/123456789/25320 pada tanggal 5 Oktober 2016

http://repository.upi.edu/8617/

http://eprints.uny.ac.id/id/eprint/7036

http://www.geocities.ws/bcluitel/Seminar.pdf

http://repository.uinjkt.ac.id/%20dspace/handle/123456789/25320

http://repository.uinjkt.ac.id/%20dspace/handle/123456789/25320

111

NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA:

NCTM.

Sabirin, M. 2014. Representasi dalam Pembelajaran Matematika. IAIN Antasari.

Diunduh dari http://jurnal.iain-antasari.ac.id/index.php/jpm/article/view/49/

16 pada tanggal 27 Oktober 2016.

Sugiyono. 2015. Metode Penelitian Kuantitatif, Kualitatif dan R& D. Bandung:

Alfabeta

Sugiyono. 2016. Memahami Penelitian Kualitatif. Bandung: Alfabeta

Tim Penyusun Kamus. 2015. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai

Pustaka

http://jurnal.iain-antasari.ac.id/index.php/jpm/article/view/49/%2016

http://jurnal.iain-antasari.ac.id/index.php/jpm/article/view/49/%2016

https://www.researchgate.net/publication/291221043.%2027%20Oktober%202016

112

KIS

I-K

ISI

SO

AL

TE

S R

EP

RE

SE

NT

AS

I M

AT

EM

AT

IS

MA

HA

SIS

WA

CA

LO

N G

UR

U M

AT

EM

AT

IKA

Nam

a in

stit

usi

:

Un

iver

sita

s M

uham

mad

iyah

Pu

rwo

rejo

Sem

este

r

:

2

Mat

a k

uli

ah

:

Geo

met

ri R

uan

g

Alo

kas

i w

aktu

:

45

men

it

Ben

tuk

so

al

:

Ura

ian

Jum

lah s

oal

: 5

Tah

un a

kad

emik

:2

01

6/2

01

7

No

K

om

pet

ensi

In

dik

ato

r In

dik

ato

r S

oa

l N

o

So

al

Ind

ika

tor

Rep

rese

nta

si

Ma

tem

ati

s

Asp

ek y

an

g

Diu

ku

r

1

1.

Men

gen

al

tenta

ng

ben

da-

ben

da

ruan

g.

2.

Mam

pu

men

gg

amb

ar

ben

da-

ben

da

ruan

g

seca

ra

man

dir

i.

Mem

aham

i

men

gg

amb

ar

ben

da-

ben

da

ruan

g.

Men

jela

skan

beb

erap

a

kem

ung

kin

an-k

emu

ng

kin

an

hu

bu

ng

an a

nta

ra g

aris

dan

bid

ang

,

bid

ang

d

an

bid

ang

p

ada

per

mu

kaa

n k

ubu

s.

Men

gg

amb

ar j

arin

g-j

arin

g k

ubu

s.

1

Men

jaw

ab

soal

d

eng

an

men

gg

unak

an

kat

a-k

ata

atau

tek

s te

rtu

lis.

C2

Men

un

juk

kan

d

an

men

jela

skan

pro

yek

si

gar

is

terh

adap

b

idan

g

pad

a k

ubu

s.

2

1.

Mem

bu

at

gam

bar

ban

gu

n g

eom

etri

untu

k

mem

per

jela

s m

asal

ah

dan

m

emfa

sili

tasi

pen

yel

esai

an.

2.

Men

jaw

ab s

oal

den

gan

men

gg

unak

an k

ata-

kat

a

atau

tek

s te

rtu

lis.

C1

, C

2

Lampiran 1. Kisi-kisi Soal

Lampiran 1. Kisi-kisi Soal

113

2

1.

Mah

asis

wa

mem

aham

i te

nta

ng

hal

teg

ak lu

rus.

2.

Mah

asis

wa

tram

pil

men

yel

esai

kan

mas

alah

yan

g

ber

kai

tan d

eng

an h

al

ket

egak

luru

san.

Mem

aham

i

tenta

ng

su

du

t

anta

ra

du

a

bid

ang

.

Men

un

juk

kan

su

du

t an

tara

d

ua

bid

ang

d

alam

k

ubu

s d

an

men

gh

itu

ng

bes

ar s

ud

utn

ya.

3

1.

Mem

bu

at

gam

bar

ban

gu

n g

eom

etri

untu

k

mem

per

jela

s m

asal

ah

dan

m

emfa

sili

tasi

pen

yel

esai

an.

2.

Men

yel

esai

kan

mas

alah

den

gan

m

elib

atk

an

eksp

resi

mat

emat

is.

C1

, C

2

Men

entu

kan

su

du

t an

tara

d

ua

bid

ang

dal

am l

imas

.

4

1.

Mem

bu

at

gam

bar

ban

gu

n g

eom

etri

untu

k

mem

per

jela

s m

asal

ah

dan

m

emfa

sili

tasi

pen

yel

esai

an.

2.

Men

yel

esai

kan

mas

alah

den

gan

m

elib

atk

an

eksp

resi

mat

emat

is.

C3

3

1.

Mah

asis

wa

mem

aham

i te

nta

ng

jara

k.

2.

Mah

asis

wa

tram

pil

men

yel

esai

kan

mas

alah

yan

g

ber

kai

tan

den

gan

jara

k.

Mem

aham

i

tenta

ng

ja

rak

titi

k k

e g

aris

.

Men

entu

kan

ja

rak

ti

tik

k

e g

aris

dal

am k

ubu

s.

5

1.

Mem

bu

at

gam

bar

ban

gu

n g

eom

etri

untu

k

mem

per

jela

s m

asal

ah

dan

m

emfa

sili

tasi

pen

yel

esai

an.

2.

Men

yel

esai

kan

mas

alah

den

gan

m

elib

atk

an

eksp

resi

mat

emat

is.

C3

114

SOAL TES REPRESENTASI MATEMATIS


Petunjuk Umum:

1. bacalah Basmallah sebelum mengerjakan soal.

2. tulislah nama, kelas, NIM di sebelah pojok kiri atas pada lembar jawab.

3. Periksa dan bacalah dengan teliti soal-soal sebelum Anda menjawab.

1. Amatilah kubus PQRS. TUVW di bawah ini!

Jelaskan hubungan garis dan bidang, bidang dan bidang pada permukaan

kubus di atas serta buatlah jaring-jaringnya!

2. Diketahui kubus ABCD. EFGH. Tunjukkan dan jelaskan proyeksi AH pada

bidang ABCD!

3. Sebuah kubus ABCD. EFGH mempunyai panjang rusuk cm. Tunjukkan

sudut antara bidang BDHF dengan bidang AFH dan hitunglah tangen

sudutnya!

4. Diketahui limas T. ABCD beraturan dengan AB= 8 cm dan tinggi limas= 8

cm. Tentukan tangen sudut antara bidang TAB dengan bidang ABCD!

5. Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk= 12 cm. Tentukan

jarak dari titik B ke garis EG!

Lampiran 2. Soal Tes

115

KUNCI JAWABAN TES REPRESENTASI MATEMATIS


1. Hubungan antara garis dan bidang pada permukaan kubus PQRS. TUVW:

- garis PQ dan PR terletak pada bidang PQRS.

- garis PT momotong (menembus) bidang PQRS.

- garis TW sejajar bidang PQRS.

Hubungan antara bidang dan bidang pada permukaan kubus PQRS. TUVW:

- sisi PQRS dan QRVW adalah dua sisi yang berpotongan.

- sisi PQRS dan TUVW adalah dua sisi yang sejajar.

Jaring-jaring kubus PQRS. TUVW

2. Gambar proyeksi AH pada bidang ABCD

Proyeksi AH pada bidang ABCD yaitu AD. Karena jika ditarik salah satu

titik dari garis AH yang berada di luar bidang ABCD, yaitu titik H ke bidang

ABCD yang membentuk sudut siku-siku ke ujung titik yang lain (titik D),

kemudian tarik titik tersebut didapatkan garis AD.

Lampiran 3. Kunci Jawaban

116

3. Letak bidang BDHF, bidang AFH dan sudut yang terbentuk adalah sebagai

berikut:

(𝐵𝐷𝐻𝐹, 𝐴𝐹𝐻) = 𝐹𝐻 ⃡

∆ AFH sama sisi dan P titik tengah 𝐹𝐻 ⃡ . Jadi 𝐴𝑃 ⃡ 𝐹𝐻 ⃡

Bidang BDHF adalah persegi panjang dan P adalah titik tengah 𝐹𝐻 ⃡ , O adalah

titik tengah 𝐵𝐷 ⃡ . Jadi 𝑂𝑃 ⃡ 𝐹𝐻 ⃡

Jadi sudut tumpuan antara bidang AFH dan BDHF adalah ∠APO, besarnya =

𝛼.

Pada ∆ APO, tan 𝛼 =𝑂𝐴

𝑃𝑂

OA=1

2× 𝐴𝐶

=1

2× 6√2

= 3√2 cm

𝑃𝑂 = 6 cm

Sehingga tan 𝛼 =3√2 cm

6 cm

tan 𝛼 =1

2√2

3√2 cm

6 cm

117

Jadi tangen sudut antara bidang BDHF dengan bidang AFH adalah ∠APO

yang besarnya tan 𝛼 =1

2√2.

4. Posisi bidang TAB dan bidang ABCD pada limas sebagai berikut:

Titik O adalah proyeksi T pada bidang ABCD.

(𝑇𝐴𝐵, 𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴𝐵 ⃡

R pada 𝐴𝐵 ⃡ , 𝑇𝑅 ⃡ pada bidang TAB 𝐴𝐵 ⃡

𝑂𝑅 ⃡ pada bidang ABCD 𝐴𝐵 ⃡

Sudut tumpuan antara bidang TAB dan ABCD adalah ∠TRO, besarnya= 𝛼

tan 𝛼 =𝑇𝑂

𝑂𝑅

TO= 8 cm

𝑂𝑅 =1

2× 𝐴𝐵 = 4 cm

Sehingga tan 𝛼 =8 𝑐𝑚

4 𝑐𝑚

tan 𝛼 = 2

Jadi sudut antara bidang TAB dengan bidang ABCD adalah ∠TRO yang

besarnya tan 𝛼 = 2.

118

5. Posisi titik B dan dan garis EG pada kubus sebagai berikut:

BE, EG, dan GB merupakan diagonal sisi kubus ABCD. EFGH, sehingga

segitiga BEG adalah segitiga sama sisi.

Jarak titik B ke garis EG = proyeksi titik B terhadap garis EG.

Proyeksi titik B ke garis EG adalah B’, sehingga BB’ adalah jarak titik B ke

garis EG. Karena segitiga BEG sama sisi, maka EB’ = B’G

BB’ = √(𝐸𝐵)2 − (𝐵′𝐸)2 = √(𝐵𝐺)2 − (𝐺𝐵′)2

= √(12√2)2

− (6√2)2

= √288 − 72

= √216

= 6√6

Jadi, Jarak titik B ke garis EG 6√6 cm.

𝟏𝟐√𝟐

𝟏𝟐√𝟐

𝟔√𝟐

119

Lampiran 4. Lembar Validasi Soal Tes

125

Lampiran 5. Lembar Validasi Pedoman Wawancara

133

Lampiran 6. Lembar Observasi Hasil Penelitian

137

Lampiran 7. Jawaban Tes Representasi Matematis S1

140


142


145


147

TRANSKRIP WAWANCARA

Lampiran 11. Transkrip Wawancara S1

148

SUBJEK 1

P : “Assalammu’alaikum.”

S1 : “Wa’alaikumsalam.”

P : “Namanya siapa?”

S1 : “Nama saya Lisa.”

P : “Nama lengkapnya?”

S1 : “Ohh..Lisa Faradila.”

P : “Dari kelas?”

S1 : “Pendidikan Matematika 2D.”

P : “Pernah mendapatkan materi tentang kubus?”

S1 : “Pernah, itu di mata kuliah geometri ruang.”

P : “Kalau dari SD atau SMP seperti itu pernah mendapatkan materi?”

S1 : “Pernah sih, tapi kalau SD SMP itu kisarannya masih agak gimana ya

mbak, gak serumit yang sekarang.”

P : “Sekarang rumit ya?”

S1 : “Iya.”

P :

“Coba lihat soal nomor 1, di situ terdapat kubus PQRS. TUVW, dari

soal itu, apa yang Anda ketahui tentang hubungan garis dan bidang

pada permukaan kubus tersebut?”

S1 : “Ohh..tentang garis dan bidang. Jadi kalau permukaan dari hubungan

garis dan bidang itu tu ada tiga yaitu: sejajar, berpotongan, dan juga

garis itu terletak pada suatu bidang. Lha pertama dari hubungan sejajar

contohnya itu dari kubus PQRS.TUVW, bidang PQRS itu sejajar

dengan garis TU, UV, VW, WT, WU, TV itu contohnya. Kemudian

bidang QRVU akan sejajar dengan garis PS, SW. Kemudian bidang

PQUT sejajar dengan garis SR dan juga RV. Lha kemudian yang

berpotongan, itu ada bidang PQRS dengan garis VT dan juga UI.

Bidang QRUV akan berpotongan dengan garis PQSR kemudian

bidang SRVW berpotongan dengan garis QR.”

P : “SRVW berpotongan dengan?”

S1 : “QR. Kemudian yang ketiga itu ada garis yang terletak pada suatu

bidang. jadi tuh garisnya itu ada di bidang itu. Lha contohnya itu ada

garis PQ, QR, itu terletak pada bidang PQRS. Kemudian garis SP, PT,

itu terletak pada bidang TPSW. Dan juga ada SR, RV, itu terletak..

garis SR, kemudian garis RV itu terletak pada bidang SRVW, gitu.”

P : “Selanjutnya, apa yang anda ketahui tentang hubungan bidang dan

bidang dari permukaan kubus?”

S1 : “Nah kalau tentang hubungan bidang dan bidang itu tuh hanya ada dua.

Bahwa bidang itu sejajar dengan bidang yang lain, yang kedua itu

bidang itu berpotongan. Terus karena ini kubus lha berpotongannya itu

tegak lurus antara bidang yang satu dengan bidang yang lain. Contoh

dari bidang yang saling sejajar yaitu, bidang PQRS dengan TUVW.

Kemudian bidang PQUT dengan SRVW. Kemudian bidang PSWT

149

dengan bidang GRVU. Itu yang sejajar. Kemudian yang berpotongan,

itu ada bidang PQRS dengan bidang QRVU, bidang SRVW dengan

PQUT ehh… SRVW bukan, dengan WVUT, kemudian bidang PSWT

dengan bidang SPQR. Itu mbak yang berpotongan.”

P : “Tadi Anda bilang bidang SPQR?”

S1 : “Yang?”

P : “Terakhir.”

S1 : “Ee.. ho’oh. PSWT dengan SPQR.”

P : “PSWT dengan?”

S1 : “SPQR.”

P : “SPQR? Oh iya itu alas ya?”

S1 : “Iya.”

P : “Kemudian bagaimana Anda menggambarkan jaring-jaring dari kubus

PQRS.TUVW tersebut.”

S1 : “Lha jadi kubus itu kan mempunyai enam sisi ya? Enam sisi, enam

buah persegi. Lha sisinya kan berbentuk persegi. Jadi saat saya buat

jaring-jaring kubus ini pertama kita buat enam buah persegi. Nah itu

nanti yang empat itu mendatar kemudian ada yang tiga vertikal.Eh

empat mendatar, iya.”

P : “Kalau dalam kubus ini yang jadi alasnya kan PQRS.TUVW.”

S1 : “Iya, PQRS.TUVW.”

P : “Kemudian kan yang jadi sisinya ada empat, masing-masing itu Anda

mana saja?”

S1 : “Apanya?”

P : “Misalnya di jaring-jaring ini PQRSnya alas, berarti sisinya apa saja

menurut Anda?”

S1 : “PTWS. Eh , sik sik sik bentar. Oh berarti ini apa namanya? Sisinya

yaitu PTUQ, QUVW, VWSR, sama PSWT.”

P : “Kalau untuk tutupnya?”

S1 : “Tutupnya UPSV.”


bidang ABCD?”

S1 : “Proyeksi AH dengan bidang ABCD? Pertama itu kita buat kubus

ABCD.EFGH ya untuk memudahkan. Kemudian kita mencoba

memproyeksikan garis AH pada bidang ABCD. Lha pertama itu kita

proyeksi titik A ke bidang ABCD yaitu didapatkan suatu titik A di

bidang ABCD. Karena A itu merupakan sekutu atau garis AH sama

bidang ABCD itu sama-sama memiliki titik A. Kemudian yang kedua

kita proyeksikan titik H pada bidang ABCD, sehingga didapatlah suatu

titik D. Karena titik H itu sejajar dengan titik D, lha sehingga dari itu

akan didapatkan hasil yaitu AD yang merupakan proyeksi dari AH ke

bidang ABCD.”

P : “Untuk nomor 3, bagaimana cara Anda menunjukkan sudut antara

bidang BDHF dengan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH?”

S1 : “Jadi langkah pertama itu kita gambar suatu kubus ABCD.EFGH.

Kemudian setelah itu kita mencari bidang, bidangnya dari bidang AFH

150

dan juga bidang BDHF. Nah dari kubus ABCD.EFGH diperoleh

bidang AFH itu berbentuk segitiga dan juga bidang BDHF itu

berbentuk persegi panjang. Nah setelah kita tahu bidang AFH sama

BDHF itu mana, kemudian kita itu akan menemukan suatu titik

potong. Eh titik potong, bukan.. garis potong antara bidang AFH

dengan BDHF yaitu garis HF itu sendiri. Lha setelah kita menemukan

garis HF, kemudian kita cari proyeksi dari titik A yang tegak lurus

terhadap garis HF. Lha misal garis HF itu diperoleh suatu titik P. Nah

kemudian, berartikan AP itu akan tegak lurus dengan HF.”

P : “Kenapa AP tegak lurus dengan HF?”

S1 : “Karena itu AP proyeksi. Eh karena AP yang mana titik P itu

merupakan proyeksi dari titik A.”

P : “Jadi, kalau proyeksi itu pasti?”

S1 : “Tegak lurus. Kemudian setelah kita tahu AP itu akan tegak lurus

dengan HF, kita proyeksikan lagi titik F..”

P : “Titik F?”

S1 : “Titik P maaf. Titik P pada bidang BDHF.”

P : “Pada bidang BDHF?”

S1 : “Iya. Maksudnya proyeksikan titik P yang sama-sama di bidang

BDHF.”

P : “Kalau misalnya Anda memproyeksikan titik P di bidang BDHF, berarti

P tetap di sini dong?”

S1 : “Oh iya. Oh bukan ding, kita proyeksikan titik P ke bidang ABCD. Nah

kemudian setelah kita tahu AP itu tegak lurus dengan HF, kita

proyeksikan lagi titik P ke garis BD, karena HF itu sejajar dengan BD

sehingga diperoleh misalnya suatu titik yang dinamakan titik O.

Sehingga proyeksi E pada O atau garis P..”

P : “Proyeksi?”

S1 : “Proyeksi P pada garis BD.”

P : “Iya.”

S1 : “Diperoleh titik O. Kemudian garis PO itu akan tegak lurus dengan BD.

Lha karena PO itu tegak lurus dengan BD dan BD itu sejajar dengan

HF maka, PO itu juga akan tegak lurus dengan HF. Lha setelah kita

tahu AP itu tegak lurus dengan HF dan PO itu tegak lurus dengan HF,

maka kita akan menemukan suatu bentuk bidang, bidang tumpuan

antara bidang AFH dengan bidang BDHF yaitu yaitu bidang APO.”

P : “APO itu bidang apa?”

S1 : “Bidang, bidang tumpuan antara AFH dengan BDHF.”

P : “Bagaimana Anda menunjukkan sudut yang terbentuk?”

S1 : “Jadi sudut yang terbentuk itu yaitu sudut APO.”

P : “Kenapa bisa sudut APO?”

S1 : “Karena AP, AP itu merupakan proyeksi eh bukan proyeksi. Jadi saat

kita menentukan sudutnya itu kita lihat bidang tumpuannya dulu,

karena di sini kita temukan bidang tumpuannya yaitu APO, sehingga

sudutnya antara bidang AFH dengan BDHF itu juga sudut APO. Sudut

yang terbentuk antara titik A, P, kemudian O.”

151

P : “Apa yang Anda ketahui tentang bidang tumpuan?”

S1 : “Bidang tumpuan itu merupakan suatu bidang yang sama-sama.. Eh,

suatu bidang.. yang tegak lurus terhadap garis tumpuan, eh…bukan.

Jadi bidang tumpuan itu merupakan suatu bidang yang tegak lurus

terhadap garis potong bidang AFH dengan BDHF kalau dimasalah ini.

P : “Misalnya panjang rusuknya 6 cm, coba Anda hitung tangen sudutnya.”

S1 : “Tangen sudut. Nah karena kita kan tadi sudah menemukan, sudutnya

itu kan sudut APO. Sehingga kita cari tangen, tangen bidang AFH

dengan bidang BDHF itu tangen sudut APO. Sehingga agar kita

mudah mencarinya itu kita memerlukan suatu bidang. Lha jadi dengan

memakai bidang tumpuan itu atau dengan bidang APO, kita bisa

mencari tangen sudut APO. Yang mana tangen sudut APO =𝐴𝑂

𝑃𝑂, yang

mana AO itu merupakan setengah dari diagonal bidang. Karena tadi

rusuknya 6 cm, 1

2diagonal bidang = 3√2. Kemudian PO, PO itu sama

dengan rusuk-rusuknya itu sendiri, jadi = 6. Nah tangen sudut 𝐴𝑃𝑂 =3√2

6 sehingga diperoleh

1

2√2.”

P : “Kenapa PO panjangnya 6?

S1 : “Karena PO itu akan sejajar dengan rusuk. Misalnya kita ambil rusuk

BS, PO itu sejajar dengan BS, lha karena BS itu panjangnya 6, PO itu

panjangnya 6. Karena PO sama BS itu panjangnya sama.”

P : “Jadi tadi tangen sudutnya?”

S1 : “Tangen sudutnyadiperoleh 1

2√2.”



T.ABCD?”

S1 : “Cara kita menentukan apa itu tadi? Sudut antara bidang ya?”

P : “Iya.”

S1 : “Pertama pastinya kita buat limasnya dulu, limas T.ABCD. T.ABCD

yang mana ABCD itu beraturan. Kemudian proyeksikan bidang TAB

pada bidang ABCD sehingga… Jadi saat kita menentukan sudut antara

bidang TAB dengan ABCD itu pertama kita gambar limasnya terlebih

dahulu, kemudian kita cari mana bidang TAB, mana bidang ABCD.

Sehingga, setelah kita cari TAB itu berbentuk segitiga, ABCD itu

berbentuk persegi, ee.. bukan. Segiempat. Nah kemudian, dari TAB

dengan bidang ABCD akan diperoleh garis perpotongan, garis potong,

yaitu garis AB karena TAB mempunyai garis AB dan ABCD juga

mempunyai AB. Lha dari itu kemudian kita, kita proyeksikan pada,

pada bidang TAB ini kita proyeksikan titik T ke garis potong yaitu

garis AB, sehingga akan diperoleh titik E misalnya. Yang mana jika

kita tarik garis dari T ke E itu TE akan tegak lurus dengan garis potong

AB. Lha setelah itu kita tahu TE. Nah dari E ini kita proyeksikan tegak

lurus terhadap titik eh terhadap garis CD. Yang mana CD itu sejajar

dengan AB. Misalnya itu akan diperoleh suatu titik S. Nah jadi S itu

akan tegak lurus dengan CD. Lha setelah itu, dari bidang TAB di titik

152

T nya itu kita proyeksikan ke bidang ABCD lagi sehingga akan

diperoleh titik O.”

P : “Di mana titik O itu?”

S1 : “Yang mana titik O itu tuh merupakan pertengahan, eh titik tengah dari

garis EF yang tadi telah kita temukan sebelumnya. Yang mana, TO itu

juga tegak lurus terhadap bidang ABCD.”

P : “TO tegak lurus terhadap bidang?”

S1 : “ABCD.”

P : “Kalau yang tegak lurus terhadap garis AB itu apa saja?”

S1 : “Yang tegak lurus terhadap garis AB itu ada TE sama EO atau EF.”

P : “Misalnya dengan?”

S1 : “Apanya?”

P : “Untuk menunjukkan sudutnya misalnya Anda menentukan yang tegak

lurus dengan AB misalnya TE?”

S1 : “Iya.”

P : “Satu lagi yang tegak lurus dengan AB misalnya?”

S1 : “EO.”

P : “EO. Jadi dari situ, Anda dapat sudutnya?”

S1 : “Sudutnya yaitu TEO.”

P : “TEO, tadi bidang tumpuannya?”

S1 : “Bidang tumpuannya merupakan bidang TEO juga.”

P : “Kemudian misalnya tinggi limasnya 8 cm dan AB itu 8 cm. Berapa

besar tangen sudutnya?”

S1 : “Tangen sudut. Tadi kan kita sudah menentukan sudut. Kita sudah

memperoleh sudutnya itu yang mana sudutnya merupakan sudut TEO.

Nah sehingga kita itu mencari tangennya dengan meminta bantuan dari

segitiga, eh bukan.. dari bidang tumpuan yaitu bidang TEO itu

sendiri.”

P : “Sudut tumpuannya tadi?”

S1 : “Sudut tumpuannya tadi TEO juga. Bidang tumpuannya juga bidang

TEO. Nah jadi tangen dari sudut 𝑇𝐸𝑂 =𝑇𝑂

𝐸𝑂. Yang mana TO itu

merupakan tinggi limas dan EO itu merupakan setengah atau

pertegahan dari garis EF. Jadi tangen sudut 𝑇𝐸𝑂 =8

4 sehingga

diperoleh hasil 2.”

P : “Kenapa EO panjangnya 4?”

S1 : “EO panjangnya 4, karena kita kan tahu garis EF yang tadi kita

temukan di awal itu besarnya sama dengan BC. Nah kemudian EO itu

kan pertengahan dari garis EF, sehingga EF kan sama dengan BC tadi,

sama dengan 8. Jadi 𝐸𝑂 =1

2× 8, hasilnya 4.”



S1 : “Pertama kita gambar kubusnya terlebih dahulu, kubus ABCD.EFGH.

Kemudian kita cermati titik B dan juga garis EG, nah kemudian

setelah itu kita proyeksikan titik B ke garis EG sehingga akan

diperoleh suatu titik yaitu misalnya kita namakan titik B’. Yang mana

153

jika kita tarik garis antara B dengan B’ itu, BB’ akan tegak lurus

terhadap garis EG. Itu cara menentukan jarak dari B ke EG.”

P : “Misalnya panjang rusuknya 12 cm, berapa jarak dari B ke garis EG?”

S1 : “Tadi kan kita tahu panjangnya, eh jarak B ke EG itu BB’ ya? Sehingga

kita itu membutuhkan bantuan. Sehingga dari itu kita tarik garis antara

B, titik B ke titik E kemudian titik B ke titik G. Sehingga diperoleh

suatu segitiga yaitu segitiga BEG.”


S1 : “Bentuknya segitiga sama sisi. Karena BE, EG dan juga GB merupakan

diagonal bidang. Selanjutnya kita itu apa ya, mencari BBE, eh BB’ itu

dengan bantuan segitiga BB’E misalnya. Karena kan kita cari segitiga

yang siku-siku dan kita tahu BB’ itu tegak lurus dengan EG. Sehingga

BB’ juga akan tegak lurus dengan EB’. Nah kemudian, kita tahu

𝐸𝐵′ =1

2diagonal bidang sehingga..”

P : “𝐸𝐵′ =1

2diagonal bidang”

S1 : “Iya. Berartikan 1

2× 12√2.”

P : “Kenapa 12√2?”

S1 : “Karena kalau diagonal bidang di suatu kubus itu rusuk dikali √2 itu

rumus tercepat untuk mencari diagonal bidang. Nah kemudian dari itu

kita juga tahu EB, EB itu kan merupakan diagonal bidang, sehingga

panjang EB juga merupakan eh panjang 𝐸𝐵 = 12√2, sehingga untuk

menentukan 𝐵𝐵’ itu = (𝐸𝐵)2 − (𝐸𝐵′)2 yang mana 𝐸𝐵2 = 12√2,

kemudian kita kuadratkan dikurangi (𝐸𝐵′)2 = 6√2 kita kuadratkan,

sehingga..”

P : “Ada akarnya atau tidak?”

S1 “Ada, karena kita sudah 𝐵𝐵’ jadi 𝐵𝐵′ = √288 − 72 = √216,

sehingga diperoleh hasil 6√6 . Itu jarak dari B ke EG.”

P : “Tadi jarak B ke EG didapat dari BB’ ya?”

S1 : “Iya.”

P : “Panjang BB’ itu BE..?”

S1 : “√𝐵𝐸2 − (𝐸𝐵′)2.”

P : “Terima kasih.”

154

TRANSKRIP WAWANCARA

SUBJEK 2

P : “Assalamu’alaikum.”



S2 : “Andini Dwima Chaerani.”

P : “Dari?”

S2 : “Kelas 2D.”

P : “NIM nya?”

S2 : “162140139.”

P : “Ya, langsung saja ya mbak.”

S2 : “Oke.”

P : “Untuk nomor 1, coba Anda lihat kubus PQRS.TUVW. Dari kubus itu

apa yang Anda ketahui tentang hubungan garis dan bidang pada

permukaan kubus ini?”

S2 : “Hubungan garis PQ, garis QR, garis RS, garis SP, terletak pada bidang

PQRS. Garis TP, UQ, VR, WS, memotong bidang PQRS. Garis PU,

UV, VW, WT sejajar bidang PQRS.”

P : “Dari yang Anda sebutkan barusan itu, ada berapa hubungan?”

S2 : “Ada satu.”

P : “Yang Anda sebutkan ada berapa?”

S2 : “Oh.. tiga. Terletak, memotong, sejajar.”

P : “Kemudian apa yang Anda ketahui dari hubungan bidang dan bidang

pada permukaan kubus ini?”

S2 : “Bidang TUPQ, UVQR, PWRS, WSTP memotong bidang PQRS.

Bidang TUVW sejajar bidang PQRS. emm.. pertama kan kita tahu

kalau misalnya apa namanya sisi kubus itu ada 6.”

P : “Jadi, dari yang Anda sebutkan ada berapa hubungan?”

S2 : “Ada 2. Memotong dan sejajar.”

P : “Kemudian bagaimana cara Anda menggambarkan jaring-jaring dari

kubus PQRS.TUVW? cara anda membuat jaring-jaring dari kubus

PQRS.TUVW, pertamanya bagaimana caranya?”

S2 : “Kan ini kan ada 6. 4 sisi memutar, 2 sisi samping, samping kanan

kiri.”

P : “Sisi memutar itu maksudnya atas bawah?”

S2 : “Atas bawah eh.. depan bawah, belakang atas itu kan kalau gimana ya..

ini lho mbak...”

P : “Bukan memakai sisi sampingnya, kemudian atas sama bawah itu

bukan?”

S2 : “Enggak. Jadinya ininya kalau kubus dipotong lagi, pokoknya yang sisi

kanan kiri dipotong jadinya kan jadi empat sisi ke.. gimana ya

ngomongnya…”

P : “Jadi kanan kirinya dipotong?”


155

S2 : “He’eh.. terus habis itu yang tengah itu, diapa ya? Dijembreng ya apa

namanya itu.. itulah pokoknya. Jadinya ada 6. Empat sisi kubus di

tengah, satu kubus di kanan, satu kubus di kiri. Eh satu.. eh.. empat

persegi di tengah, satu persegi dikanan, satu persegi dikiri.”

P : “Itu yang persegi di kanan sama di kiri apa saja?”

S2 : “Persegi PRQU.”

P : “Itu yang sisi kanan, sisi kiri?”

S2 : “SUTP.”

P : “Kemudian yang lainnya?”

S2 : “Yang lainnya, yang tengah itu yang dari atas PU.. oh ini, yang sisi kiri

SWTP. Terus yang tengah ada empat. Yang pertama persegi TUWV,

WVSR, SRPQ, PQTU.”

P : “Untuk nomor 2, bagaimana Anda menunjukan proyeksi dari AH ke

bidang ABCD?”

S2 : “Proyeksi AH pada bidang ABCD, pertama berarti digambar dulu

kubus ABCD.EFGH, terus abis itu gambar juga garis AH. Nah garis

AD itu proyeksi garis AH.”

P : “Coba Anda jelaskan tentang proyeksi AH pada bidang ABCD itu.”

S2 : “Jadi proyeksi titik A pada bidang ABCD menghasilkan titik A.

Karena titik A terletak pada bidang ABCD. Terus proyeksikan titik H

pada bidang ABCD menghasilkan titik D. Jadi proyeksi AH pada

bidang ABCD adalah garis AD.”

P : “Untuk nomor 3, bagaimana Anda menunjukan sudut antara bidang

BDHF dengan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH?”

S2 : “Pertama kita buat kubus ABCD.EFGH. Terus abis itu kita gambar

bidang AFH sama bidang BDHF. Sudut antara AFH dan BDHF itu

disini (menunjukan sudutnya).”

P : “Di antara?”

S2 : “Di antara.. di antara bidang AFH dengan BDHF.”

P : “Kemudian bagaimana Anda menunjukan sudut yang yeng terbentuk

tadi? Cara Anda menunjukannya.”

S2 : “Pertama, BDHF itu adalah persegi panjag, dan AFH adalah segitiga

sama sisi. Pertama proyeksikan titik A pada garis HF menghasilkan

titik O pada pertengahan HF, biar buat cari bidang tumpuan itu kan

kita harus.. apa ya? Punya dua garis yang sejajar sama garis tumpuan.

Nah garis tumpuan di AFH sama bidang BDHF itu garis HF. Jadinya

kita harus mencari garis yang tegak lurus HF itu di bidang AFH dan

juga dibidang BDHF. Trus kedua, proyeksi titik O pada pada garis BD

menghasilkan titik P pada pertengahan BD. Jadinya dari titik O ini

diproyeksikan ke garis BD menghasilkan titik P dan OP itu tegak lurus

HF. AO tegak lurus HF. Jadi bidang tumpuan antara bidang AFH

dengan bidang BDHF adalah adalah bidang AOP. Sudut tumpuan

berada pada bidang tumpuan. Jadi, sudut tumpuan antara bidang AFH

dengan bidang BDHF adalah sudut AOP.”

P : “Apa yang anda ketahui tentang bidang tumpuan?”

156

S2 : “Bidang tumpuan itu bidang yang terletak antara dua bidang.. bidang

tumpuan adalah bidang yang tegak lurus antara garis potong kedua

bidang. Nah ini bidang AOP tegak lurus, tegak lurus dengan garis

potong bidang AFH dengan bidang BDHF.”

P : “Garis potongnya apa ya?”

S2 : “HF.”

P : “Jika diketahui panjang rusuknya 6 cm, coba Anda hitung tangen

sudutnya.”

S2 : “AP.. AP itu setengah AC. AC itu kan diagonal sisi. AC itu panjangnya

6√2.”

P : “Kenapa bisa 6√2?”

S2 : “Pakai phytagoras. Kan 6.. 𝐴𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = √62 + 62 =

√36 + 36 = √72. AC itu √72 = 6√2.”

P : “Kemudian?”

S2 : “Terus abis itu OP sejajar dengan FB. Jadinya panjang OP itu cm,

karena panjang FB cm. Tan sudut AOP sama dengan 𝑎𝑝

𝑜𝑝=

3√2

6=

1

2√2.”

P : “Untuk nomor 4, bagaimana Anda menentukan sudut antara bidang

TAB dengan bidang ABCD pada limas segiempat beraturan T.ABCD?

Pertamanya?”

S2 : “Pertamanya gambar dulu, jelas. Terus abis itu.. pertanyaannya apa

mbak?”

P : “Bagaimana cara Anda menentukan sudut antara bidang TAB dengan

bidang ABCD pada limas segiempat beraturan T.ABCD?”

S2 : “Berarti, pertama proyeksikan titik T pada bidang ABCD menghasilkan

titik O.”

P : “Kenapa T di proyeksikan ke bidang ABCD?”

S2 : “Biar mempermudah mencari OP yang tegak lurus AB. Karenakan AB

perpotongan 2 bidang antara TAB dengan ABCD. Terus nomor dua

proyeksikan titik O pada AB dan DC menghasilkan titik P dan Q.

Jadinya di AB ada titik P, di DC ada titik Q, proyeksi dari O. Segitiga

TAB adalah segitiga sama kaki. Proyeksikan titik P ke garis AB maka

akan tepat di titik P. Kenapa tepat? Karena P itu proyeksi O. Nah kalau

O di proyeksikan ke P berarti AP=BC. Jadi AP itu di tengah-tengah

BC. Nah ini kan C diproyeksikan ke P. Jadi TP itu di tengah-tengah

AB juga. TP tegak lurus AB, dan OP tegak lurus AB. Jadi bidang

tumpuan.. jadi bidang TOP adalah bidang tumpuan antara bidang TAB

dengan bidang ABCD.”

P : “OP kenapa bisa tegak lurus dengan AB?”

S2 : “Kan proyeksi. Proyeksi titik O ke bidang AB. Kan pasti tegak lurus

dan memotong AB di tengah-tengah. Sudut tumpuan antara bidang

TAB dengan bidang ABCD adalah sudut TOP. Jadi…”

P : “TOP?”

S2 : “TPO.”

157

P : “TPO bukan TOP?”

S2 : “Iya. Terus PQ itu sejajar BD.”

P : “Jika diketahui AB 8 cm dan tinggi dari limasnya 8 cm. Berapa tangen

sudut dari bidang TAB dan bidang ABCD?”

S2 : “PQ itu sejajar BC. BC itu kan panjangnya 8 cm, jadi PQ juga

panjangnya 8 cm. Nah OP, OP kan di tengah-tengah PQ, jadi 𝑂𝑃 =1

2× 𝑃𝑄 =

1

2× 8 = 4. Jadi panjang OP 4 cm. Nah TO, TO itu kan

panjang.. tinggi limas jadi TO= 8 cm. Terus mencari tan sudut TPO

dengan 𝑇𝑂

𝑃𝑂=

8 𝑐𝑚

4 𝑐𝑚= 2. Jadi tan sudut TPO itu 2.”

P : “Sudut TPO itu sudut?”

S2 : “Tumpuan antara bidang TAB dengan bidang ABCD.”



S2 : “Pertama gambar kubusnya dulu.”

P : “Kenapa pertamanya anda menggambar kubus dulu?”

S2 : “Ya kan biar jelas dimana titik-titiknya. Terus habis itu, kalau kubus

ABCD.EFGH trus tarik garis B ke E. Dan garis B ke G. Maka akan

terbentuk segitiga sama sisi.”

P : “Kenapa ditarik garis B ke E dan B ke G?”

S2 : “Biar gampang mencari jaraknya. Kan kalo jarak itu kan.. garis

terpendek antara e.. jarak itu kan garis hubung terpendek antara titik B

dengan EG. Jadinya kan jarak.. jarak B ke EG itu yang paling pendek

itu BO. Jadinya kan pertama harus B ke EG dulu terus, eh B ke E terus

B ke G. Ini kan sama jaraknya 6√2 . eh, ini kan diagonal sisi sama

diagonal sisi kan sama jaraknya. Berarti sisi jarak yang paling, jarak..

garis hubung yang terpendek itu berarti BO. Bukan BE, bukan BG.”

P : “Tadi Anda sudah menjelaskan tentang titik O belum ya?”

S2 : “Belum.”

P : “Kenapa bisa tiba-tiba muncul titik O?”

S2 : “Oh itu.. proyeksikan titik B ke garis EG. Menghasilkan titik O. Nah

BO itu tegak lurus EG, karena dia itu proyeksi, dan BO itu memotong

EG sama panjang.”

P : “Jadi jarak dari titik B ke garis EG itu?”

S2 : “BO.”

P : “Jika diketahui panjang rusuk dari kubus ABCD.EFGH itu 6 cm.

Berapa panjang jarak dari B ke garis EG?”

S2 : “Berarti kan BO. Panjang BO. Nah berarti kan kita pertama, EG itu kan

diagonal sisi. O kan memotong EG tepat ditengah. Jadi OE=OG. Jadi

OG =1

2× EG.”

P : “Tadi diagonal sisi itu apa?”

S2 : “Diagonal sisi EG.”

P : “Enggak. Maksudnya pengertian dari diagonal sisi?”

S2 : “Diagonal sisi adalah diagonal yang berada.. diagonal yang…”

158

P : “Diagonal sisi adalah?”

S2 : “Diagonal suatu sisi kubus. Jadinya kalau diagonal sisi EG, berarti

diagonal sisi EFGH. Nah itu kan, panjang EG adalah diagonal sisi.

Jadi panjang 𝑂𝐺 =1

2𝐸𝐺. Nah kenapa setengah EG? Titik O itu

proyeksi dari B. Jadinya kan O itu berada tepat setengah EG. Jadi

EO=OG. Jadi sama aja 𝑂𝐺 =1

2𝐸𝐺. Berarti 𝑂𝐺 =

1

2× , sisinya kan 12

cm jadi panjang diagonal sisinya itu 12√2. Jadinya 𝑂𝐺 =1

2× 12√2.

𝑂𝐺 = 6√2. OG panjangnya 6√2 𝑐𝑚. Terus CG, CG adalah diagonal

sisi. Jadi panjang 𝐵𝐺 = 6√2 . pakai rumus phytagoras yang kayak

tadi. Terus mencari panjang BO, nah ini saya menggunakan segitiga

BOG. Panjang 𝐵𝑂 = √𝐵𝐺2 − 𝑂𝐺2 = √(12√2)2

− (6√2)2

=

√288 − 72 = √216 = 6√6. Jadi jarak dari B ke garis EG itu 6√6."

159

TRANSKRIP WAWANCARA

SUBJEK 3

P : “Assalamu’alaikum.”


P : “Namanya siapa?” S3 : “Namanya Nurul Hidayah.” P : “Dari kelas?”

S3 : “2D.” P : “NIM nya?”

S3 : “162140113.” P : “Pernah mendapat materi tentang kubus?”

S3 : “Pernah.”

P : “Di kelas?”

S3 : “Di kelas 2D baru-baru ini.” P : “Kalo di SMP SMA?” S3 : “Pernah di SMP SMA.”

P : “Coba Anda lihat yang soal nomor 1, di situ terdapat kubus

PQRS.TUVW, dari kubus itu apa yang Anda ketahui tentang

hubungan garis dan bidang pada permukaan kubus?”

S3 : “Hubungan garis dengan bidang ya? Di sini saya pakai bidang PQRS.

Nah dari bidang PQRS ini saya mengambil apa, dalam hubungan garis

dengan bidang ada 3 apa namanya? Ada 3 hubungan. Yang pertama

garis sejajar dengan bidang, tadi kan saya ngambilnya PQRS ya itu

berarti yang sejajar berarti yang TU, UV, PW sama WT. Selanjutnya

hubungan yang kedua itu adalah garis yang memotong dengan bidang.

Tadi kan, saya ngambilnya PQRS ya yang memotong berartikan TP,

UQ, VR, dan WS. Yang ketiga itu adalah hubungan garis yang

terletak pada bidang. Kan tadi PQRS berarti PQ, QR, RS dan SP.”



S3 : “Hubungan bidang dengan bidang ya? Itu ada 2. Pertama bidang yang

memotong, dan bidang yang sejajar. Tadi saya pakai PQRS lagi nggak

papa ya? PQRS lagi berarti bidang yang memotong itu bidang TUQP,

bidang UVRQ, bidang WVRS dan bidang TWSP. Bidang yang sejajar

yaitu TUWV.”

P : “Sejajar dengan bidang?”

S3 : “PQRS tadi yang saya ambil.”

P : “Kemudian bagaimana cara Anda menggambarkan jaring-jaring dari

kubus PQRS.TUVW ini?” S3 : “Pertama kan kita tahu kalau misalnya apa namanya sisi kubus itu ada

6. Nah kita ambil boleh dimana saja, kalau saya ngambilnya itu

pokoknya ada 6 bikin 6 kotakan satu ada yang di sebelah atas sama di


160

bawah di antara apa ini namanya alas.” P : “Itu yang Anda buat alasnya apa yang jadi jaring-jaring?”

S3 : “Yang alas yang ini QRVU.”

P : “Tutupnya?”

S3 : “Tutupnya PSTW.”

P : “Kemudian?”

S3 : “Pokoknya sebisa mungkin kita bayangkan kalau misalnya kubus ini

kita belah. Contohnya misalnya kayak bungkus atau apa yang kotak

kayak bungkus krim-krim gitu kan nanti kelihatan jaring-jaringnya

seperti apa trus nanti kita cocok-cocok kan maksudnya setiap titik

harus kita kasih nama ini lho titik-titiknya biar nggak salah dalam

pembuatan. Kalo misalnya jaring-jaring itu dibuka dan dibikin

dibentuk lagi bisa jadi kubus lagi.”

P : “Untuk soal nomor 2, bagaimana Anda menunjukan proyeksi AH pada

bidang ABCD?”

S3 : “Pertama gambar kubus ABCD.EFGH ya mbak. Nah kita proyeksikan

AH pada bidang ABCD. Karena titik A terletak pada bidang ABCD

maka letaknya tetap. Kemudian proyeksi dari titik H pada bidang

ABCD yaitu D. Sehingga proyeksi AH pada bidang ABCD itu di sini

mbak. (menunjuk garis AD)”

P : “Apa yang Anda ketahui tentang proyeksi AH pada bidang ABCD?”

S3 : “Diketahui ya mbak kalo proyeksi AH pada bidang ABCD itu kan, ini

kan misal ya kita kan tadi sudah membuat AH disini. Kan tadi

disuruhnya untuk proyeksi ke ABCD, ABCD kan bidang alas, eh sisi

alas. Nah untuk titik H kan AH itu ada titik A sama H. Titik A pada

bidang ABCD kalau diproyeksikan pada bidang ABCD itu nanti

jadinya tetep titik A itu sendiri mbak. Nah untuk H nya itu sendiri kalo

diproyeksikan pada bidang ABCD itu berarti pada titik D. Jadi

proyeksi AH pada bidang ABCD itu AD.”

P : “Maksudnya AH pada bidang EADH itu apa ya?”

S3 : “Ini lho mbak tadi kan maksudnya kan proyeksi AH pada bidang

ABCD ya. Nah apa garis AH itu terletak pada bidang EADH mbak.

Jadi aku tulis aja maksudnya biar lebih jelas ini di sini lho maksudnya

biar jelas aja.”

P : “Nomor 3, bagaimana Anda menunjukan sudut antara bidang BDHF

dengan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH?”

S3 : “Ya, pertama gambar kubus ABCD.EFGH dulu ya mbak. Udah mbak,

ini ya. Ini pertama bidang AFH sama BDHF. Bidang AFH kan ini.

(menunjukan bidang AFH)”


S3 : “Bentuknya kan segitiga mbak. Segitiga sama sisi, karena ini ternyata

kalo misalnya sisinya nggak diketahui ternyata AF itu, misalnya AF

itu saya ketahui 𝑎. AF itu 𝑎√2, HF juga 𝑎√2 dan AH juga 𝑎√2 gitu

lho mbak. Sama persegi panjang BDHF ini sudutnya disini mbak

(menunjuk sudutnya), kelihatan kan? Ini lho.”

P : “Jadi AF itu sebenernya apa?”

161

S3 : “AF itu adalah diagonal.”

P : “Diagonal sisi atau diagonal bidang?”

S3 : “Oiya diagonal bid, diagonal sisi mbak. Diagonal bidang bukan. Kalau

digonal bidang kan misalnya ya, diagonal bidang itu ini lho ini E ke C.

Itu diagonal bidang mbak.”

P : “Kemudian?”

S3 : “Nah abis itu kan tadi udah gambar segitiganya ya mbak. Ini gambar

dulu lah ya, ini segitiganya (menunjuk segitiga AFH) abis itu kita

gambar yang bidang BDHF mbak, kan tinggal ini ditarik garis ya H ke

F, B ke D gitu ya mbak.”

P : “Kemudian, cara Anda menunjukkan sudutnya bagaimana?”

S3 : “Cara ya mbak ya? Emm.. kan tadi diketahui kalau AHF ini sama sisi.

BDHF ini persegi panjang. Nah karena berhimpit pada atau

mempunyai garis potong pada HF ya, makanya dalam segitiga sama

sisi atau apotema atau tinggi segitiga. Nah karena berpotongan, eh

berpotongan ber apa? Garis potongnya di HF makanya A itu di

proyeksikan ke HF. Ya karena biar berhimpit gini lho. Tadi yang

pertama saya jelasin. Jadi O itu, saya kasih nama O, karena O itu

merupakan proyeksi dari A ya, kayak gini.”

P : “Proyeksi dari A ke?”

S3 : “HF. Nah O ini, karena ini merupakan apa namanya tadi, apotema dari

ya apotema dari segitiga AHF yang tegak lurus dengan bidang,

dengan bidang, tegak lurus bidang, tegak lurus dengan HF.”

P : “Kemudian letaknya O? Hubungan dari letak O dan HF itu apa?”

S3 : “Pas di titik tengah mbak.”

P : “Selanjutnya?”

S3 : “Lanjut ya mbak, sekarang yang bidang kedua. Ada bidang persegi

panjang BDHF. Pada bidang BDHF terdapat O, O ini tepat setengah

HF. Langsung saja kita proyeksikan O ini pada bidang BD. Aku kasih

nama P ya mbak. Nah, diketahui juga ternyata OP itu tegak lurus sama

HF. Nah otomatis mbak kalau misal apa namanya? bidang .. bidang

tumpuan itu, ini terjadi ketika ada garis yang berpotongan.. kok

berpotongan apa namanya, tegak lurus dengan salah satu garis potong.

Misalnya tadi kan, nek menurutku ya.”

P : “Anda bilang salah satu, berarti garis potongnya lebih dari satu dong.”

S3 : “Enggak. Maksudnya satu garis potong. Misal ni ya mbak AO. AO tadi

kan HF juga ya mbak. kan tegak lurus sama HF, terus OP tegak lurus

dengan HF juga mbak. Jadi ternyata ada bidang AOP itu bidang

tumpuannya mbak. Ada bidang tumpuan disini (sambil menunjuk

bidang tumpuan AOP). Nah dalam bidang tumpuan itu terdapat sudut

tumpuan mbak. Karena tadi yang berhimpit disebelah ini.. apa

namanya AOP. Makanya AOP ini sudut tumpuannya.”

P : “Bidang tumpuan itu sebenarnya apa?”

S3 : “Jadi bidang tumpuan itu adalah bidang yang tegak lurus dengan garis

potong kedua bidang. Tadi kan garis potongnya HF mbak. Jadi

bidang tumpuannya itu. Terus dalam bidang tumpuan itu tu ada.. apa

162

namanya? Sudut sumbu, eh sudut sumbu.. Sudut tumpuannya mbak.”

P : “Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH 6 cm, berapa besar

tangen sudutnya?”

S3 : “Berapa mbak? 6 cm? Oiya. Tadi kan diketahui kalo misalnya sudut

tumpuannya itu AOP ya mbak. Sudut AOP kalo misalnya kita ambil,

kita apa namanya gambar ulang tapi di luar dari kubus ini kan nanti

ada segitiga siku-siku. Nih kalau pemahaman saya kayak gitu mbak.

Nih ada sudut siku-siku ya mbak, nih kita gambar dulu, nih A di sini

(menunjuk pada salah satu sudut segitiganya), ini P (menunjuk pada

salah satu sudut segitiganya), ini O (menunjuk pada salah satu sudut

segitiganya).”

P : “Sudutnya?”

S3 : “Sudutnya sebelah sini (menunjuk sudut AOP). Ini sudutnya. Nah terus

kan diketahui kalau misalnya sisinya 6 cm, berarti kan yang sejajar

sama apa ini yang rusuk apa ini? Rusuk tegaknya. Ya misalnya OP

kan rusuk tegak hitungannya ya mbak ya, 6 cm ya kan sudah

diketahui.”

P : “Kenapa itu 6 cm OP? ( sambil menunjuk OP)”

S3 : “Karena OP ini, itu tu sejajar sama ini mbak, apa namanya SP, GC, HD,

EA, kayak gitu mbak. Kan tadi terletak persis ditengah-tengah HF.

Terus kalau yang ditengah-tengah BD ini kan P (menunjuk P). Ya

kaya gitu mbak. Kalau ditarik garis, itu tu 6 cm mbak. Nah udah kan,

trus AP. AP itu kan sama dengan setengah AC mbak.”

P : “Kenapa setengah AC?”

S3 : “Nah.. AC ini kan adalah diagonal sisi ya mbak. Dimana diagonal sisi

itu rumusnya akar, ini kan tadi diketahui kalo misalnya e sisi, apa

rusuk-rusuknya 6 cm mbak, jadi langsung aja ini kan 6, berarti 6√2 +

6√2. Maksudnya disini 6√2 berarti kalo AC kan saya pakai (𝐴𝐵)2 +(𝐵𝐶)2 =, berarti kan, langsung aja, tadi kan AP setengah AC ya,

berarti setengah diagonal sisi. Berarti 1

2(√𝐴𝐵 + 𝐵𝐶). Berarti kan

1

2(√62 + 62) =

1

2(√36 + 36) =

1

2(√72), berartikan

1

2(√2 × 36),

berarti 1

2(6√2), berartikan 3√2 tuh ap. AP

1

2. Nah terus sekarang

tinggal AO, AO kan inikan sudah ada segitiga, langsung pakai

phytagoras aja gpp mbak. Berarti ada AO, langsung saja

√𝐴𝑃2 + 𝑂𝑃2. 𝐴𝑃2 itu kan (3√2)2 ditambah 𝑂𝑃 kan 62 ya mbak.

Kan terus ini langsung aja √18 + 36 = √54. √54 itu bisa kita uraiin

lagi menjadi √9 × 6 biar ada yang dikeluarin gitu lho, jadi 3√6.

Diketahui tangen, kalau tangen, caranya bodohnya kalau tan=𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛

𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔. Maksudnya itu adalah tan dari ini tadi kan sudutnya di O.

Berarti tan dari θ yang dimana sudut AOP itu. Berarti bagian

depannya kan AP, per OP. AP diketahui 3√2, per OP nya 6. √2

2 atau

1

2√2.”

163

P : “Jadi hasil tangen dari sudut AOPnya?”

S3 : “1

2√2.”

P : “Untuk soal nomor 4, bagaimana Anda menentukan sudut antar bidang

TAB dan bidang ABCD pada limas segiempat beraturan T.ABCD?”

S3 : “Biar tak gambar dulu mbak. Oke. Nih ya mbak, kan tadi aku gambar

limas dulu, langsung dikasih T.ABCD kan? Udah nih. Tadi kan udah

gambar, trus aku tentuin bidang-bidangnya dulu, tadi kan TAB sama

ABCD. Nah, aku langsung proyeksiin T pada garis AB. Kan ini kan

ada bidang tuh, kita proyeksiin T pada garis AB. Kan tadi aku pake

segitiga TAB, aku proyeksiin T pada garis AB ya mbak. Aku kasih

nama P. Kenapa aku pakai garis AB? Itu karena tadi kan bidangnya

TAB sama ABCD ya mbak. Jadikan AB sama AB itu kan berimpit.

Nah itu jadi garis potongnya mbak. Nah udah kan, trus abis itu saya

proyeksiin T pada bidang ABCD. Aku kasih nama O mbak.”

P : “Kenapa O diproyeksikan ke bidang ET, diproyeksikan ke bidang

ABCD kenapa?”

S3 : “Biar ada ke bawahnya mbak, biar ada.. biar bisa, tadi kan disuruh

ngapain tadi? Sudut itu kan? Nah iya kan harus bikin bidang mbak.

Nah dimana nanti kita mau nyari bidang tumpuan. Bidang tumpuan

adalah bidang yang tegak lurus dengan garis potong kedua bidang.

Nah tadi garis potongnya kan AB, berarti kita kan harus nyari dong

mbak. O ini, inikan proyeksi dari T, biar PO ini dari PO biar tegak

lurus sama AB mbak. Trus TP tegak lurus AB, berarti kan AB kan

tadi garis potong. Bener ya. Berarti ketemu bidang tumpuannya itu

TPO. Dah dari TPO, dari bidang TPO ini ada sudut tumpuannya ini

mbak, ini sudut TPO, yang disini (menunjuk sudut TPO).”

P : “Misalnya diketahui AB= 8 cm dan tinggi dari limasnya 8 cm juga.

Berapa tangen sudutnya?”

S3 : “Tangen sudut.. gambar lagi kaya tadi apa namanya, segitiganya

dikeluarin dulu. Tadi kan segitiga TPO, sudutnya di P. Tangen TPO,

nah to kan tadi termasuk tinggi limas sudah diketahui 8 cm. PO itu

setengah dari AB.”

P : “Kenapa PO setengah dari AB?”

S3 : “Karena apa namanya? PO ini termasuk apa ngomongnya? Ini lho

persis di tengah-tengah AB terus perpanjangan dari. Aku pake titik O.

Titik O itu kita perpanjangin aja kesini, ke garis DC. Terus kita kasih

nama Q. Nah karena PQ ini terletak pada bidang ABCD dan ternyata

sejajar pada garis BC, berarti ini otomatis PQ panjangnya 8 cm. Nah

kan PO itu setengah PQ. Di mana PQ=BC berarti PO itu setengah BC.

Berarti 4 cm. Trus sebenarnya ini sudah bisa diketahui ya mbak kalau

misalnya ini tangennya berarti langsung aja tangen sudut TPO itu

berarti kan 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛

𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔=

𝑇𝑂

𝑃𝑂=

8

4= 2. Jadi tangen sudut TPO itu 2.”



S3 : “Pertama saya gambar kubusnya dulu mbak. Nah disini titik B nya

164

(menunjuk titik B) Terus ini E sama G (berurutan menunjuk titik E

lalu G), kita garis ya, jadi garis EG. Nah dari titik B ini kita tarik garis

ke G, terus abis itu tarik garis ke E. nah proyeksikan titik B ini pada

garis EG. Kita kasih nama B’. Ternyata dari segitiga BEG, diketahui

merupakan segitiga sama sisi. Jadi B’ ini tepat atau persis terletak pada

setengah EG. Jadi jarak B ke garis EG itu adalah jaraknya BB’.”

P : “Jika diketahui rusuk dari kubus itu 12 cm, berapa jarak B ke EG?”

S3 : “Tadi kan udah terbentuk dua segitiga ya mbak, saya pakai ini lho kalo

misalnya, tadi kan saya garis BB’ kan ada segitiga kecil. Saya pakai

yang BB’G. BG kan berarti kan diagonal sisinya BCGF, berarti kan

tadi 12, berarti BG= 12√2 ya mbak. Nih dari diagonal sisi, BG kan

ngitungnya berarti kan = √(𝐵𝐶)2 + (𝐶𝐺)2 berarti kan

√144 + 144 = √288 = √144 × 2 = 12√2. Terus sekarang B’G, B’G

adalah 1

2× diagonal sisi. Sisinya sisi tadi, berarti kan BG= 12√2,

berarti setengahnya 6√2. Nah dari situ pakai phytagoras aja langsung,

berarti BB’ adalah √(𝐵𝐺)2 − (𝐵′𝐺)2 yaitu √(12√2)2

− (6√2)2

=

√288 − 72 = √216 = √36 × 6 = 6√6. Jadi jarak B ke EG itu adalah

6√6.”


165

TRANSKRIP WAWANCARA

SUBJEK 4

P : “Assalammu’alaikum.”



S4 : “Sri Indah Wahyuningsih

P : “Dari kelas?”

S4 : “2D.”

P : “Pernah mendapatkan materi tentang kubus?”

S4 : “Pernah.”

P : “Coba Anda lihat soal nomor 1, di sini terdapat kubus PQRS.TUVW.

Coba Anda jelaskan hubungan antara garis dan bidang pada kubus

PQRS.TUVW.”

S4 : “Hubungan antara garis dan bidang pada kubus PQRS.TUVW yaitu,

misalkan saja pada bidang PQRS, terdapat garis PQ, QR, RS dan PS

terletak pada bidang PQRS.”

P : “Jadi poin pertama itu, hubungannya itu apa saja tadi?”

S4 : “Hubungannya terletak pada bidang tersebut, garis yang terletak pada

bidang tersebut.”

P : “Itu yang pertama? Kemudian?”

S4

: “Kemudian pada garis TP, UQ, VR, dan WS yang.. yang kedua yaitu

memotong atau menembus bidang. Contohnya TP, UQ, VR, dan WS.

Terus sejajar dengan bidang. Contohnya TU, UV, VW, dan WT.”

P : “TU, UV, dan tadi apa? WT? Itu sejajar dengan bidang apa?”

S4 : “Bidang PQRS.”


bidang dari kubus tersebut?”

S4 : “Hubungan bidang dengan bidang dari kubus PQRS.TUVW yaitu,

misalkan saja bidang PQRS, bidang PQRS itu tegak lurus atau

memotong bidang QRVU, kemudian PQRS juga sejajar dengan bidang

TUVW.”

P : “Ada berapa hubungan bidang dengan bidang?”

S4 : “Dua.”

P : “Apa saja tadi?”

S4 : “Memotong atau tegak lurus dan sejajar.”

P : “Kemudian bagaimana cara Anda membuat jaring-jaring dari kubus

tersebut? Ya dijelaskan caranya!”

S4 : “Membuat jaring-jaringnya membuat enam persegi.”

P : “Dengan alas?”

S4 : “Dengan alas PQRS.”

P : “Kemudian?”

S4 : “Kemudian, sisi-sisinya yaitu QUVR, TPSW, TUQP, WVUT, dan

SRVW.”

P : “Lha itu kok semuanya sisi, tutupnya yang mana ya?”


166

S4 : “Oh iya, untuk tutup sisinya tadi WVUT, TUQP, QUVR, PSWT,

kemudian…”

P : “WVUT itu sisi atau tutup dari kubus?”

S4 : “Tutup.”

P : “Jadi sisinya ada empat ya?”

S4 : “Iya.”

P : “Kemudian untuk nomor 2, bagaimana cara Anda menunjukkan

proyeksi AH pada bidang ABCD?”








P : “Ini Anda mengatakan A diproyeksikan ke bidang ABCD diperoleh A.

kenapa itu tetap A? kenapa hasilnya A proyeksi A ke bidang ABCD?”

S4 : “Karena titik A itu terletak pada bidang ABCD.”

P : “Bagaimana cara Anda menunjukkan sudut antara bidang BDHF

dengan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH? untuk nomor 3.”

S4 : “Sudut antara BDHF dan bidang AFH, yang pertama yaitu bidang..

yang pertama yaitu digambar kubusnya. Setelah menggambar,

menentukan bidang BDHF dan bidang AFH. Kemudian bidang BDHF

dengan bidang AFH itu kan merupakan, merupakan dua bidang yang

saling berpotongan di HF. Kemudian dari kedua bidang tersebut dapat

dibuat sebuah bidang tumpuan yaitu dengan memproyeksikan A ke

HF, karena bidang AHF merupakan segitiga sama sisi dengan titik A

sebagai puncaknya, maka hasil proyeksi titik A pada HF berada di

tengah-tengah HF yaitu misalkan titik P. Kemudian dari titik P

diproyeksikan ke bidang ABCD dan diperoleh hasil proyeksi yaitu

titik O. Dari kedua garis proyeksi AO dan PO dapat dibuat bidang

tumpuan yaitu segitiga APO. Karena AP tegak lurus HF dan PO tegak

lurus HF dimana AO dan PO anggota dari bidang AOP maka sudut

AOP merupakan sudut antara bidang BDHF dengan bidang AFH.”

P : “Jadi cara Anda menunjukkan sudut yang terbentuk yaitu dari bidang

BDHF dengan AFH tadi dengan menentukan?”

S4 : “Dengan menentukan, yaitu dengan menentukan bidang tumpuan, nah

dari bidang tumpuan itu dapat ditentukan sudut tumpuan tersebut.”

P : “Itu sudut tumpuannya apa?”

S4 : “Sudut tumpuannya yaitu AOP atau sudut.. diberi nama sudut 𝜃.”

P : “Misalnya panjang rusuknya 6 cm, itu berapa tangen sudutnya?”

S4 : “Jika panjang rusuknya itu 6 cm. Dari segitiga AOP dapat dihitung

tangen sudut 𝜃 yaitu yang pertama AP itu kan 1

2𝐴𝐶, di mana AC itu

merupakan diagonal bidang, panjang diagonal bidang itu kan sisi √2,

nah karena panjangnya 6 cm maka panjang AC itu 6√2, kemudian AP

167

itu kan setengah AC maka AP =1

2× 6√2 yaitu 3√2. Kemudian

tangen 𝜃 nya yaitu 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝑃

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑂𝑃,

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝑃

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑂𝑃=

3√2

6, jadi hasilnya tangen

dari 𝜃 =1

2√2.”

P : “Untuk nomor 4 bagaimana cara Anda menentukan sudut antara bidang


T.ABCD?”

S4 : “Yang pertama kita menggambar bangun limas kemudian menentukan..

oh iya menggambar limas segi empat beraturan. Kemudian

menentukan bidang tapTAB dan bidang ABCD. Lalu bidang TAB

dengan ABCD itu kan merupakan dua bidang yang berpotongan, di

rusuk AB. Kemudian buat bidang tumpuan dari kedua bidang dengan

memproyeksikan titik T ke garis AB karena TAB merupakan segitiga

sama kaki maka diperoleh hasil proyeksi dari T ke AB itu titik O di

tengah AB. Kemudian proyeksikan titik T ke garis DC sehingga

diperoleh hasil proyeksi yaitu titik Q pada pertengahan DC. Dari dua

garis proyeksi dapat dibuat bidang tumpuan yaitu bidang POQ yang

merupakan segitiga sama kaki, karena TO tegak lurus AB dan OQ

tegak lurus AB dimana TO dan OQ anggota dari TOP maka TOQ

merupakan sudut tumpuan dari bidang tumpuan TOQ. Sehingga sudut

antara bidang TAB dengan ABCD yaitu sudut TOQ atau bisa diberi

nama sudut 𝛼.”

P : “Itu bidang tumpuan itu apa sih?”

S4 : “Bidang tumpuan yaitu bidang yang.. bidang tumpuan itu bidang yang

tegak lurus dengan garis perpotongan dua bidang TAB dan ABCD.”

P : “Jika diketahui AB 8 cm dan tinggi limas 8 cm, itu berapa tangen

sudutnya?”

S4 : “Jika diketahui sisi 𝐴𝐵 = 8 𝑐𝑚 dan tingginya tinggi limas itu 8 cm

maka tangen dari sudutnya yaitu tan 𝛼 =𝑇𝑃

𝑂𝑃, dimana TP itu

panjangnya 8 cm kemudian 𝑂𝑃 =1

2× 𝑂𝑄, dimana panjang OQ nya itu

8 cm. Jadi panjang OP adalah 4 cm. Kemudian 8

4= 2, jadi tan 𝛼 = 2.”

P : “Kenapa ada sudut TOQ itu sama dengan sudut TOP? Kenapa bisa

sama sudut TOQ dengan sudut TOP, itu menurut Anda bagaimana?”

S4 : “Karena sudut TOQ.. karena sudut TOP itu termasuk dalam sudut

TOQ.”

P : “Maksudnya termasuk itu?”

S4 : “Maksudnya di sini kan TP itu tinggi dari segitiga POQ, jadi sudut TOP

itu sama dengan sudut TOQ, saling berhimpit.”

P : “Jadi tadi besar tangen sudutnya?”

S4 : “2.”



S4 : “Yang pertama kita menggambarkan kubusnya kemudian, tentukan

garis.. eh gambar garis EG, lalu hubungkan…”

168

P : “Tentukan gambar garis EG itu, oh jadi menarik dari E ke G ya?”

S4 : “Iya.”

P : “Kemudian?”

S4 : “Kemudian setelah itu hubungkan titik B ke titik E dan titik G, sehingga

terbentuk diagonal bidang BE dan BG.”

P : “Diagonal bidangnya ada berapa?”

S4 : “Ada tiga.”

P : “Apa saja?”

S4 : “BE, BG, dan EG”.

P : “Kemudian?”

S4 : “Kemudian dari ketiga diagonal bidang tersebut dapat dibuat segitiga

sama sisi yaitu segitiga EBG, dari titik B diproyeksikan ke garis EG

sehingga diperoleh titik proyeksi yaitu titik P misalnya. Kemudian

karena BP merupakan garis hubung terpendek dari titik B ke EG maka

BP itu merupakan jarak dari B ke EG.”

P : “Jika diketahui panjang rusuknya 12 cm, berapa jarak dari titik B ke

garis EG?”

S4 : “Jarak dari titik B ke garis EG, tadi kan EG itu EB, BG, dan EG itu kan

merupakan diagonal bidang jadi panjang sisinya sama kemudian,

sisinya diketahui 12 cm jadi panjang EG, BG, dan EB itu sama.

Panjang diagonal bidang itu kan sisi √2, jadi panjang ketiga diagonal

tadi yaitu 12√2. Kemudian PG, PG itu kan 1

2𝐸𝐺 jadi…”

P : “Kok bisa setengah dari EG?”

S4 : “Karena proyeksi dari B ke garis EG itu kan garisnya hasilnya garis BP

nah karna ini segitiga sama sisi maka garis BP itu memotong sama

panjang dari, memotong EG sama panjang menjadi dua sisi sama

panjang. Kemudian jadi panjang BG nya yaitu 6√2, kemudian untuk

mencari BP, BP itu √(BG)2 yang merupakan sisi miring dari segitiga.”

P : “Sisi miring?”

S4 : “Segitiga EBG dikurangi (PG)2, yaitu 12√2, √(12√2)

2− (6√2)

2=

√288 − 72 = √216 dan hasilnya yaitu 6√6 cm.”

P : “Jadi panjang jarak dari titik B ke garis EG?”

S4 : “6√6 cm.”


S4 : “Iya sama-sama.”

169

Lampiran 15. Hasil Catatan Lapangan S1

170


171


172


173

DOKUMENTASI

Gambar 69. Observasi

Gambar 70. Observasi

Lampiran 19. Dokumentasi

174

Gambar 71. S1 Mengerjakan Soal Tes


175



176

Lampiran 20. Surat Keputusan Penetapan Dosen Pembimbing Skripsi

177

Lampiran 21. Surat Permohonan Izin Observasi dan Penelitian

178

Lampiran 21. Surat Keterangan Telah Melaksanakan Penelitian

179

Lampiran 23. Surat Surat Pernyataan Uji Validasi dari Validator

183

Lampiran 24. Kartu Bimbingan Skripsi

kemampuan representasi matematis mahasiswa …

Documents