diktat matematika i

1

DIKTAT PERKULIAHAN

MATEMATIKA I

UNTUK MAHASISWA TEKNIK TELEKOMUNIKASI SEMESTER SATU

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

POLITEKNIK NEGERI JAKARTA

DESEMBER, 2010

Oleh: Ir. Sutanto,MT.

NIP.195911201989031002

Dibiayai Dengan : Dana DIPA Penyusunan Naskah Bahan Ajar

Nomor Kontrak : 021/K7.A/UP2AI/2010

r R R

r

1/2h

Z = a +jb Z = r (Cos Ө + jSin Ө) Ө= arc tg (b/a)

2

PRAKATA

Penulisan diktat ini bertujuan untuk memudahkan dan membantu mahasiswa program

studi Teknik Telekomunikasi semester satu dalam mempelajari, memahami dan mengaplikasikan

matakuliah matematika dalam bidang teknik telekomunikasi. Selain dari pada itu diktat ini juga

sangat bermanfaat dalam memberikan bekal pada para mahasiswa sebagai bahan penunjang mata

kuliah lain dan sebagai sarana pembantu dalam menyelesaikan persoalan keteknikan yang

membutuhkan matematika tingkat tinggi. Sebagaimana diketahui bahwa dalam bidang teknik

telekomunikasi sangat banyak persoalan yang penyelasaiannya sangat membutuhkan bantuan

matematika. Sebagai contoh perhitungan medan listrik, medan magnet, rangkaian listrik,

pengolahan sinyal, otomatisasi system dan sebagainya. Berdasarkan penelusuran diperpustakaan

dan informasi dari dosen pengasuh masing-masing materi tersebut ternyata antara 70% – 90 %

penyelesaian persoalan hitungan sangat membutuhkan bantuan matematika.

Materi yang akan dibahas dalam diktat ini antara lain diferensial, integral, penerapan

diferensial, penerapan integral, akar, pangkat, persamaan kuadrat, persamaan linier, bilangan

kompleks, penerapan bilangan kompleks dan penerapan persamaan linier.

Pada kesempatan ini penulis sebelumnya mengucapkan terimakasih kepada:

1. Kepala UP2AI PNJ yang telah menyediakan pendanaan untuk penulisan diktat

2. Ketua Jurusan Teknik Elektro dan Ketua Program Studi Teknik Telekomuniksi PNJ

yang telah memberi kepercayaan pada penulisan diktat ini.

Depok, 29 Desember 2010

Penulis diktat

Ir. Sutanto,MT NIP.195911201989031002

3

DAFTAR ISI Halaman

Halaman pengesahan ............................................................................................... .......... i Prakata …………………………………………………………………………. ii Daftar isi …...……………………………………………………………………. iii Pendahuluan ….......…………………………………………………………………. 1

Gambaran umum materi kuliah …………………...............……… 1 Tujuan pembelajaran umum ………………..................……………. 1 Gambaran umum isi diktat ……………………..…………………… 1 Proses pembelajaran ………………………………………………….... 1

Bab I. Integral ....................................................................................................... ............ 2 Pendahuluan ............................................................................................ ............ 2

Integral tunggal .................................................................................. 2 Integral rangkap ................................................................................. 10 Tugas / latihan soal-soal ........................................................................... 13 Daftar Pustaka ......................................................................................... 13

Bab II. Diferensial ……………….........................………………………………….... 14 Pendahuluan ……………………………………………………....... 14 Prinsip dasar diferensial ..................................................................... 14 Penerapan diferensial ............................................................................. 28 Tugas / latihan soal-soal ........................................................................... 33 Daftar Pustaka .......................................................................................... 33

Bab III. Pangkat............................................................................................................. 34 Pendahuluan ........................................................................................... 34 Pangkat bulat ........................................................................................... 34 Pangkat pecah ........................................................................................... 37

Tugas / latihan soal-soal .......... ......................................................... 42 Daftar Pustaka ......................................................................................... 43

Bab IV. Akar ..................................................................................................................... ... 44 Pendahuluan ............................................................................................... 44

Pernyataan bentuk akar .............................................................................. 44 Tugas / latihan soal-soal ........................................................................... 48 Daftar Pustaka ........................................................................................... 48

Bab V. Persamaan non linier ...................................................................................... 49 Pendahuluan ............................................................................................... 49

Persamaan kuadrat ............................................................................. 49 Penerapan (aplikasi) persamaan non linier.......................................... 73 Tugas / latihan soal-soal .................................................................... 83 Daftar Pustaka ........................................................................................... 85

Bab VI. Persamaan linier ..................................................................................................... 86 Pendahuluan .............................................................................................. 86 Penyelesaian persamaan linier ................................................................ 92 Penerapan persamaan linier ...................................................................... 94. Tugas / latihan soal-soal ........................................................................... 98 Daftar Pustaka ........................................................................................... 99

Bab VII. Bilangan kompleks ......................................................................... ............ 100 Pendahuluan ............................................................................................... 100 Bentuk umum bilangan kompleks ............................................................ 100 Penerapan bilangan kompleks ........................................................... 109 Tugas/latihan soal-soal........................................................................ 112 Daftar Pustaka ........................................................................................... 113

4

PENDAHULUAN

1.1. Gambaran Umum Materi Kuliah

Materi yang akan dibahas dalam diktat Matematika I ini terdiri atas diferensial, integral,

penerapan diferensial, penerapan integral, akar, pangkat, persamaan kuadrat, persamaan

linier, bilangan kompleks, penerapan bilangan kompleks dan penerapan persamaan

linier. Dalam setiap materi yang akan diajarkan pada mahasiswa selalu diberikan gambaran

umum tentang isi materi yang akan dipelajari dan manfaat dari materi tersebut dalam

kaitannya dengan mata kuliah lain maupun pada saat mahasiswa tersebut bekerja di

masyarakat umum atau industri.

1.2. Tujuan Pembelajaran Umum

Supaya Mahasiswa Teknik Telekomunikasi Semester I mampu menerapkan dasar-

dasar matematika pada Teknik Telekomunikasi

1.3. Gambaran Umum Isi Diktat

Secara umum diktat terdiri atas kata pengantar, pendahuluan, topik bahasan, uraian

topik bahasan (meliputi pendahuluan , penjelasan masing-masing topik, contoh soal,

latihan soal- soal dan tugas) dan daftar pustaka

1.4. Proses Pembelajaran

Proses pembelajaran yang akan dilakukan terdiri atas:

a. memberikan penjelasan kepada mahasiswa

b. memberikan informasi, uraian dan contoh

c. memberikan latihan dan tugas

d. memeriksa latihan dan tugas yang telah diselesaikan oleh mahasiswa

e. memberikan bimbingan berdasarkan umpan balik dari latihan atau tugas yang telah

dikerjakan mahasiswa

f. memberikan penilaian pada setiap mahasiswa berdasarkan tugas/latihan, tes harian dan

UTS dan UAS

5

BAB I. INTEGRAL

I.1.Pendahuluan

Integral merupakan kebalikan dari hitungan diferensial. Artinya jika hasil integral

didiferensialkan, maka hasilnya harus sama dengan soal yang diintegralkan tersebut.

Pembagian integral berdasarkan batas integral dibedakan menjadi integral tertentu dan tak

tentu. Integral tertentu artinya batas bawah dan batas atas telah ditentukan nilainya,

sedangkan integral tak tentu nilai batas bawah dan atas belum ditentukan. Berdasarkan

tingkat integrasinya, maka integral dibedakan menjadi itegral tunggal, integral rangkap

dua,integral rangkap tiga dan seterusnya. Tetapi dalam pembahasan integral ini hanya

dibatasi sampai integral rangkap tiga saja. Dalam aplikasinya integral rangkap dua antara

lain digunakan untuk menghitung luas bidang, sedangkan integral rangkap tiga antara lain

digunakan untuk menghitung volume dalam ruang tertutup.

I.2. Integral tunggal tak tentu

Contoh

1. ʃ x dx = ½ x2 + C

2. ʃ (1/x)dx = ln x + ln C

3. ʃ ex dx = ex + C

4. ʃ e2x dx = ½ e2x + C

5. ʃ Sinx dx = - Cosx + C

6. ʃ Cosx dx = Sinx + C

7. ʃ tgx dx = ln(Sec x) + C

8. ʃ Cotx dx = ln(Sinx) + C

9. ʃ Secx dx = ln(Sec x + tg x) + C

10. ʃ Cosec x dx = ln(Cosec x – Cot x) + C

11. ʃ Sin2x dx = ½ (x) -1/4 (Sin 2x) + C

6

12. ʃ Cos2x dx = ½ (x) +1/4 (Sin 2x) + C

13. ʃ tg 2x dx = tg x – x + C

14. ʃ cot 2x dx = -cot x – x + C

15. ʃ ax dx = (ax/lna)+ C

16. ʃ lnx dx = x ln x –x + C

17. ʃ (1/x lnx) dx = ln (lnx) + C

18. ʃ Sinhx dx = Cosh x + C

19. ʃ Cosh x dx = Sinh x + C

20. ʃ tghx dx = ln (Cosh x) + C

21. ʃ Cothx dx = ln (Sinh x) + C

22. ʃ Sech x dx = arc tg (Sinh x) + C

23. ʃ Cosech x dx = ln [tgh(1/2 x)] + C

24. ʃ Sinh2 x dx = ¼ Sinh 2x – ½ x + C

25. ʃ Cosh2x dx = ¼ Sinh 2x + ½ x + C

26. ʃ tgh2x dx = x – tgh x + C

27. ʃ Cotgh2x dx = x – Cotgh x + C

I.3. Bentuk umum integral tunggal tak tentu

1. ʃ x dx/(a + bx) = 1/(b2) [ a + bx – a ln(a +bx)] + C, dengan a dan b adalah tetapan ≠ 0

2. ʃ x2dx/(a +bx) = 1/(b3) [1/2( a + bx)2 – 2a(a +bx) + a2 ln (a +bx)] + C, dengan a dan b

adalah tetapan ≠ 0

3. ʃ xdx/(a +bx)2 = 1/(b2) [ a/(a + bx) + ln(a +bx)] + C

4. ʃ x2dx/(a +bx)2 = 1/(b3) [ a + bx – a2/(a +bx) - 2a ln (a +bx)] + C

7

5. ʃ x √(a + bx) dx = 2/(15b3)(3 bu -2a)( a + bu)3/2 + C

6. ʃ x2 √(a + bx) dx = 2/(105b3)(15 b2u2 - 12abu + 8 a2)(a + bu)3/2 + C

7. ʃ x dx/( √a + bx) = [2/(3b2)][ bu -2a) √ a +bx + C

8. ʃ x2 dx/( √a + bx) = [2/(15b3)][ 3b2 u2 - 4abu + 8a2 ) √ a +bx + C

9. ʃ dx /( a2 + x2) = 1/a [arc tg (x/a)] + C = 1/a [tg-1(x/a)] + C

10. ʃ dx /( a2 - x2) = 1/2a ln[(x+a)/(x-a) ] + C

11. ʃ dx /( x2 - a2) = 1/2a ln[(x - a)/(x+a) ] + C

12. ʃ dx/( √ a2 + x2) = ½ (x√ a2 + u2 ) - (a2/2) ln [( 1/a√ a2 + u2 - u/a )] + C

13. ʃ xn ex dx = xn ex -n � xn-1 ex dx + C

14. ʃ xn ax dx = [(xn ax) / lna] – n/lna � xn-1 ax dx + C

15. ʃ (lnx)( xn ) dx = [xn-1/ (n +1)2][(n+1) ln x -1] + C

I.4. Metoda penyelesaian integral tunggal tak tentu

I.4.1. Metoda subsitusi trigonometri

Contoh:

1. Selesaikan: ʃ [1/(4 – x2)3/2] dx

Jawab:

Sin Ө = x/2 x = 2 Sin Ө

dx/ dӨ = 2 Cos Ө dx = 2 Cos Ө dӨ

x 2 Cos Ө = ½ √4 – x2

√4 – x2 = 2 Cos Ө

√ 4 – x2 (4 – x2)1/2 = 2 Cos Ө (4 – x2)1/2(3) = (2 Cos Ө)3

√4 – x2 Ө (4 – x2)3/2 = 8 Cos3 Ө

ʃ [1/(4 – x2)3/2] dx = ʃ 2 Cos Ө dӨ /8 Cos3 Ө = 1/4 ʃ Cos-2 Ө dӨ = 1/4 ʃ Cos-2 Ө dӨ

=1/4 ʃ Sec2 Ө dӨ

=1/4 tg Ө + C = ¼ [ x/√4 – x2 ] + C

= x/[ 4/√4 – x2] + C

2. Selesaikan: ʃ 1/[x2√ (9 – x2)] dx

Ө

8

Jawab:

Sin Ө = x/3 x = 3 Sin Ө

dx/dӨ = 3 Cos Ө dx = 3 Cos Ө dӨ

x 3 Cos Ө = 1/3 √9 – x2

√9 – x2 = 3 Cos Ө

√ 9 – x2 (9 – x2)1/2 = 3 Cos Ө

√9 – x2

ʃ 1/[x2√ (9 – x2)] dx

Latihan

Dengan subsitusi trigonometri selesaikan integral berikut:

I.4.2. Metoda integral sebagian

Contoh:

1. Tentukan :ʃ arc Cos 2 x dx

Jawab:

Misal: u = arc Cos 2x

Ө

9

dv = dx v = x

ʃ arc Cos 2 x dx = ʃ udv = uv - ʃ vdu

Menentukan:

Misalkan: 1 - 4x2 = m atau m = 1 - 4x2

dm/dx = - 8 x

dm = - 8 x dx 2x dx = - 1/4 dm

Sehingga:

= -1/4 (2 m1/2) = - 1/2 m1/2

= - 1/2√ 1- 4 x2

Jadi:

ʃ arc Cos 2 x dx = x arc Cos 2x - 1/2√ 1- 4 x2 + C

2. Tentukan: ʃ x2√1 – x dx

Jawab:

Misal: u = x2 du/dx = 2x atau du = 2x dx

dv = √1 – x dx = (1-x)1/2 dx v = - 2/3 (1-x)3/2

ʃ x2√1 – x dx = ʃ udv

= uv - ʃ vdu = -2/3 x2 (1-x)3/2 + 2/3ʃ 2x (1-x)3/2 dx

= - 2/3 x2 (1-x)3/2 + 4/3ʃ x (1-x)3/2 dx

Menentukan : ʃ x (1-x)3/2 dx

10

Misal: u = x du/dx = 1 atau du = dx

dv = (1-x)3/2 dx v = -2/5 (1 - x)5/2

Sehingga:

ʃ x √1 – x dx = ʃ udv

= uv - ʃ vdu

= -2/5(x) (1 - x)5/2 – ʃ -2/5 (1 - x)5/2dx

= -2/5(x) (1 - x)5/2 + 2/5 ʃ (1 - x)5/2dx

= -2/5(x) (1 - x)5/2 + (2/5)(-2/7) (1 - x)7/2

= -2/5(x) (1 - x)5/2 - 4/35 (1 - x)7/2

Jadi:

ʃ x2√1 – x dx = - 2/3 x2 (1-x)3/2 + 4/3� x (1-x)3/2 dx

= - 2/3 x2 (1-x)3/2 + 4/3[-2/5(x) (1 - x)5/2 - 4/35 (1 - x)7/2] + C

= - 2/3 x2 (1-x)3/2 -8/15(x) (1 - x)5/2 - 16/105 (1 - x)7/2] + C

I.4.3. Metoda pecahan sebagian

Contoh:

1. Tentukan :

Jawab:

Misal:

Nampak bahwa :

1 = x (A+B) +3(A-B)

11

Bila dilakukan evaluasi koefisien pada x0 dan x1

Ruas kiri Ruas kanan

x0 1 3(A-B)

x1 0 A + B

Diperoleh persamaan:

3(A-B) = 1 ....................................(1)

A + B = 0 ...................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat harga A = 1/6 dan B = -1/6

Sehingga:

= 1/6 ln (x-3) - 1/6 ln (x+3) + ln C

2. Tentukan:

Jawab:

Misal:

Terlihat bahwa:

x3+ x2 + x +3 = (A+C) x3+ (B+D) x2 +(3A+C) x + (3B+D)

12

Berdasarkan evaluasi koefisien pada x3, x2 , x, x0diperoleh persamaan:

A + C = 1 ...............................................(1)

B + D = 1 ..............................................(2)

3A + C = 1 ..............................................(3)

3B + D = 3 ...............................................(4)

Dari persamaan (1) s/d (4) diperoleh harga: A= 0, B=1, C = 1, D = 0

= arc tg x + ½ ln (x2+3) + C

Catatan:

Menentukan :

Misal:

u= x2+3 du/dx = 2x atau du = 2x dx xdx = ½ du

Latihan 1. ʃ x arc tg x dx

2. ʃ Sin x Sin 3x dx

3. ʃ x arc Sin x dx

13

I.5. Integral rangkap dua tak tentu

Prinsip penyelesaian integral rangkap dua:

∫ ∫ f(x) f(y) dy dx

integral dalam

integral luar

Penyelesaian dapat dimulai dari integral dalam terlebih dahulu dilanjutkan integral luar atau

sebaliknya.

Contoh:

1. Selesaikan: ∫ ∫ x y dy dx

Jawab:

a. Penyelesaian dimulai dari integral dalam (dy)

∫ ∫ x y dy dx = ∫ ½ y2 x dx = (½ y2)( (½ x2) + C = ¼ y2 x2 + C

b. Penyelesaian dimulai dari integral luar (dx)

∫ ∫ x y dy dx = � ½ x2 y dy = (½ x2)( (½ y2) + C = ¼ y2 x2 + C

c. Penyelesaian dengan cara memisahkan masing-masing integral (hanya berlaku untuk

bentuk perkalian):

∫ ∫ x y dy dx =[ ∫ y dy][ ∫ x dx] = (½ y2)( (½ x2) + C = ¼ y2 x2 + C

2. Selesaikan: ∫ ∫ (x2 + y2) dy dx

Jawab:


∫ ∫ (x2 + y2) dy dx = ∫ (y x2 + 1/3 y3) dx

= y(1/3 x3) + 1/3 y3(x) + C = 1/3 y x3+1/3 y3x + C

14

b. Penyelesaian dimulai dari integral dalam (dx)

∫ ∫ (x2 + y2) dy dx = ∫ (1/3 x2 + y2 x) dy

= (1/3 x2)(y) + 1/3 y3(x) + C = 1/3 y x2 + 1/3 y3x + C

I.6. Integral rangkap tiga tak tentu

Contoh:

1. ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz

Jawab:

ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz


ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz = ʃ ʃ (x2)(1/2 y2)( z2)dx dz

= ʃ (1/3x3)(1/2 y2)( z2) dz

= (1/3x3)(1/2 y2)( 1/3z3) = 1/18 (x3y2z3) + C

b. Penyelesaian dimulai dari integral tengah (dx)

ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz = ʃ ʃ (1/3 x3)( y)( z2)dy dz

= ʃ (1/3x3)(1/2 y2)( z2) dz

= (1/3x3)(1/2 y2)( 1/3z3) = 1/18 (x3y2z3) + C

c. Penyelesaian dimulai dari integral luar(dz)

ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz = ʃ ʃ (x2)( y)( 1/3z3)dy dx

= ʃ (1/3x3)( y)( 1/3 z3) dy

= (1/3x3)(1/2 y2)( 1/3z3) = 1/18 (x3y2z3) + C

15

d. Penyelesaian dilakukan dengan memisahkan masing-masing integral

ʃ ʃ ʃ x2 y z2 dy dx dz = [ ʃ x2 dx][ ʃ ydy][ ʃ z2dz]

= (1/3x3)(1/2 y2)( 1/3z3)

= 1/18 (x3y2z3) + C

2. Tentukan : ʃ ʃ ʃ (x2 + y + z2) dy dx dz

Jawab:

Pilihan memulai penyelesaian bebas. Bila dipilih integral luar, maka hasil integral:

ʃ ʃ ʃ (x2 + y + z2) dy dx dz = ʃ ʃ (zx2 + zy + 1/3z3) dy dx

= ʃ (1/3 zx3 + zyx + 1/3z3 x) dy

= 1/3 zx3y + ½ zy2x + 1/3z3xy + C

Bila dipilih integral tengah, maka hasil integral:

ʃ ʃ ʃ (x2 + y + z2) dy dx dz = ʃ ʃ ( 1/3 x3 + yx + xz2) dy dz

= ʃ (1/3 zx3 + zyx + 1/3z3 x) dy

= 1/3 zx3y + ½ zy2x + 1/3z3xy + C

Catatan:

Untuk integral yang memiliki variabel dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan, maka

penyelesaian integral tidak bisa dipisahkan kedalam integral masing-masing variabel. Tetapi

untuk bentuk perkalian, maka penyelesaian integral bisa dipisahkan kedalam masing-masing

integral.

I.7. Integral tertentu

Contoh:

Selesaikan integral berikut:

Jawab:

Misal : u = 1- x du/dx = -1

du = - dx atau dx = - du

16

=2/3[1-x]3/2 1/2

0

= 2/3 [(1 - ½)3/2 – (1-0)3/2]

= 2/3 [(½)3/2 – (1)3/2] = 2/3 [0,353553 -1]= -0,43096

Jawab:

Latihan

Selesaikan:

I.8. Daftar Pustaka

Kreyzig, E., 1979. Advenced Engineering Mathematics. 4nd, John Willey and Sons, New York.

pp. 249-468,509-560,563-590

Mundit,A.K., 1984. Soal- Penyelesaian Kalkulus Deferensial dan Integral.Jilid I, Armico,

Bandung. hal. 37-238, 305-433

17

BAB II. DIFERENSIAL II.1. Pendahuluan

Pada bagian ini akan dibahas prinsip dasar cara penyelesaian diferensial total

dan parsial dari suatu fungsi. Selanjutnya dari prinsip dasar yang telah dilakukan tersebut

akan dibuat suatu rumusan umum yang berkaitan dengan tata cara penurunanan atau

diferensiasi dari berbagai bentuk fungsi. Tujuan utama dari bahasan ini adalah untuk

mempelajari cara mendiferensialkan berbagai bentuk fungsi baik secara total maupun secara

parsial.

II.2. Prinsip dasar diferensial total

Pada prinsipnya diferensial atau turunan dari suatu fungsi x atau y = f(x) dapat dihitung

dengan menggunakan dasar persamaan:

Atau dapat juga dituliskan sebagai:

II.2.1. Prinsip dasar diferensial fungsi aljabar

Fungsi aljabar mempunyai bentuk yang sangat beragam, sehingga hasil diferensialnya

juga sangat beragam.

II.2.1.1. Bentuk Polinomial

Contoh:

Dengan menggunakan prinsip bahwa:

1. Tentukan dy/dx dari y = x2 +1

Jawab:

y +∆y x ∆x 2 1 x2 2 x ∆x ∆x 2 1

∆y y +∆y ‐ y

18

= x2 2 x ∆x ∆x 2 1 –[x2 +1]

= 2 x ∆x ∆x 2

2. Tentukan dy/dx dari :

Jawab:

∆y y +∆y ‐ y

Latihan Dengan menggunakan prinsip bahwa :

19

Tentukan dy/dx dari:

1. y = 2x2 + 2x

2. y = x/(x+1)

3. y = (x2 +1)/(2x +2)

II.2.1.2. Bentuk Esponensial

Contoh:


1. Tentukan y’ dari : y = e x

Jawab:

Dengan acuan turunan polinomial, maka:

y’ = 0 +1 +2x/2! + 3x2/3! + 4x3/4!

y’ = 1 + x + x2/2! + x3/3! = e x

2. Tentukan y’ dari : y = e2x

Jawab:

y = 1 +2x +4x2/2!+ 8 x3/3! + 16 x4/4! + ...

Dengan acuan turunan polinomial, maka:

y’ = 0 +2 +8x/2! + 24x2/3! + 64x3/4! + ... = 2(1+4x/2! + 12x2/3! + 32x3/4! + ...)

y’= 2[1+2x + (2x)2/2! + (2x)3/3! + ...] = 2 e2x

Bentuk umum turunan eksponensial:

y = e f(x) y’= f ’(x) e f(x)

20

II.2.1.3.Bentuk logaritma

Hubungan antara log dengan ln adalah : log x = 1/2,3[ lnx]

1. Tentukan y’ dari : y = ln x

Jawab

y = ln x ey = x

x = ey x’ = dx/dy = ey

y’= dy/dx = 1/ ey = 1/x

2. Tentukan y’ dari : y = ln x2

Jawab:

y = ln x2

x2 = ey 2x dx/dy = ey

dx/dy = ey/2x

dy/dx = 2x / ey = 2x/x2 y’ = 2x/x2

3. Tentukan y’ dari : y = log x2

Jawab :

y = log x2 =1/2,3[ln x2]

y’= 1/2,3[2x/x2]

Bentuk umum turunan fungsi logaritma

y = ln[f(x)] y’= f ’(x) / f(x)

y = log[f(x)] y’=1/2,3[f ’(x) / f(x)]

Latihan Tentukan y’ ataua dy/dx dari:

1. y = log (2x3 + x2 + x +3)

2. y = log (3x4 + 3x2+ 2x +4)4

3. y = ln(x4 + 3x3+ 2x2 +4x+2 )3

4. y = ln(x4 + 3x3+ 2x2 +4x+2 )1/2

5. y = e(5x+4)

21

II.2.2. Prinsip dasar diferensial fungsi Trigonometri

Ada beberapa fungsi trigonometri yang sering dijumpai pada pemakaian sehari-hari.

fungsi tersebut antara lain: Sin x, Cos x, tg x dan sebagainya.

Contoh:


1. Tentukan dy/dx dari : y = Sin x

Jawab:

y + ∆y = y + ∆y

= Sin (x +∆x)

∆y = y + ∆y – y

= Sin (x +∆x) - Sin x

22

2. Tentukan dy/dx dari : y = Cos x

Jawab:

y + ∆y = Cos (x +∆x) ∆y = y + ∆y –y

= Cos (x +∆x) – Cos x

Latihan Dengan menggunakan prinsip bahwa :

Tentukan dy/dx dari:

1. y = tg x

2. y = Cot x

3. y = Sec x

4. y = Cosec x

II.3. Bentuk umum diferensial fungsi aljabar dan trigonometri

Dengan menggunakan prinsip bahwa :

23

maka bentuk diferensial dari berbagai fungsi dapat dilihat seperti pada tabel 2.1 berikut:

Tabel 2.1. Bentuk persamaan umum turunan atau difrensial dari berbagai fungsi

No Bentuk fungsi Bentuk turunan 1 y = xn dy/dx = y’= n x(n-1) 2 y = [f(x)]n y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)] 3 y =[f1(x)][ f2(x)] y’ =[f ‘1(x)][ f2(x)] + [f1(x)][ f ‘2(x)] 4

5

6 y = Sin x y’ = Cos x 7 y = Sin f(x) y’ = f ’(x)Cos f(x) 8 y = Sinn f(x) y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin(n-1) f(x) 9 y = Cos x y’ = - Sin x 10 y = Cos f(x) y’ = - f ’(x) Sin f(x) 11 y = Cos n f(x) y’ = - n f ’(x) Sin f(x) Cos(n-1) f(x) 12 y = tg x y’ = Sec2 x 13 y = tg f(x) y’ = f ’(x) Sec2 f(x) 14 y = tg n f(x) y’ = n f ’(x) Sec2 f(x) tg (n-1) f(x) 15 y = Cotg x y’ = - Cosec2 x 16 y = Cotgf(x) y’ = - f ’(x) Cosec2 f(x) 17 y = Cotg n f(x) y’ = - n f ’(x) Cosec2 f(x) tg (n-1) f(x) 18 y = Sec x y’ = tg x Sec x 19 y = Sec f(x) y’ = f ’(x) tg f(x) Sec f(x) 20 y = Sec n f(x) y’ = n f ’(x) tg f(x) Sec f(x) Sec (n-1) f(x) 21 y = Cosec x y’ = - Cotg x Cosec x 22 y = Cosec f(x) y’ = -f ’(x) Cotg f(x) Cosec f(x) 23 y = Cosec n f(x) y’ = -n f ’(x) Cotg f(x) Cosec f(x) Cosec (n-1) f(x) 24 y = ln[f(x)] y’ = f’(x)/f(x) 25 y = ln[f(x)n] y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)]/f(x)n

26 y = ef(x) y’= f’(x) ef(x) 27 y = log [f(x)]=[1/2,3][lnf(x)] y’ =[1/2,3][ f’(x)/f(x)]

Contoh penggunaan tabel 2.1

Tentukan y’ atau dy/dx dari:

1. y = x3

Jawab:

24

y’ = 3 x2

2. y = (2x2 +3x +2)3

Jawab:

n =3

f(x) = 2x2 +3x +2 f ’(x)= 4x +3

y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)]

= 3 (2x2 +3x +2)2 (4x +3)

= (12x +9) (2x2 +3x +2)2

3. y = Sin4 (2x2 +3x +2)3 y = Sinn f(x) y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin(n-1) f(x)

Jawab:

n =4

f(x) = (2x2 +3x +2 )3

y = [f(x)]n y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)]

y = (2x2 +3x +2 )3 f(x)= 2x2 +3x +2 f ’(x)= 4x +3

f ’(x) = 3 (2x2 +3x +2)2 (4x +3) = (12x +9) (2x2 +3x +2)2

y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin(n-1) f(x)

= 4(12x +9) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3

= (48x +36) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3

4. y = e(3x +4)

f(x) = 3x +4 f ’(x)= 3

y’= 3 e(3x +4)

5. y = ln [(2x2 +3x +2 )3]

f(x)= [2x2 +3x +2]3 f ’(x)= 3 (2x2 +3x +2)2 (4x +3) = (12x +9) (2x2 +3x +2)2

y’ = f’(x)/f(x) = [(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3

6. y = log [(2x2 +3x +2 )3] = [1/2,3] ln [(2x2 +3x +2 )3]

y’ = f’(x)/f(x) = [1/2,3] [(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3

25

7. y = [Sin4 (2x2 +3x +2)3][ln [(2x2 +3x +2 )3]

f1(x) = Sin4 (2x2 +3x +2)3

f ‘1(x) = 4(12x +9) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3

f 2(x) = ln [(2x2 +3x +2 )3

f ‘2(x) = [(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3

y’ =[f ‘1(x)][ f2(x)] + [f1(x)][ f ‘2(x)]

=[4(12x +9) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3][ln [(2x2 +3x +2 )3]

+ [Sin4 (2x2 +3x +2)3][(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3

8. y = [ e(3x +4)]/[ (2x2 +3x +2)3]

f1(x) = e(3x +4) f1 ‘(x) = 3 e(3x +4)

f2(x) = (2x2 +3x +2)3 f2 ‘(x) = 3(2x2 +3x +2)2 (4x +3)

=[{3 e(3x +4)}{(2x2 +3x +2)3}- {e(3x +4)}{3(2x2 +3x +2)2 (4x +3)}]/[(2x2 +3x +2)3]2

=[{3 e(3x +4)}{(2x2 +3x +2)3}- {e(3x +4)}{3(2x2 +3x +2)2 (4x +3)}]/[(2x2 +3x +2)6]

Latihan Dengan menggunakan tabel 2.1, tentukan y’ dari:

2. y = (x2- 4x +3) tg(2x+4)

3. y = Cos[(x2- 4x +3)/{ 2x2 +3x +2)3}]

Petunjuk soal no 3: f1(x) =(x2- 4x +3) f2(x) = (2x2 +3x +2)3

26

II.4. Diferensial fungsi invers trigonometri

Contoh:

1. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc Sin 2x

Jawab:

y = arc Sin 2x 2x = Sin y

x = ½ Sin y

dx/dy = ½ Cos y dy/dx = 2/Cos y

Cos y = √1 – 4x2

1 1 dy/dx = 2/Cos y = 2/√1 – 4x2

2x Bentuk umum:

y = arc Sin f(x) dy/dx = f’(x)/√1 – [f(x)]2

√ 1 – 4x2

2. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc Cos 2x

Jawab:

y = arc Cos 2x 2x = Cos y

x = ½ Cos y

dx/dy = - ½ Sin y dy/dx = -2/Sin y

Sin y = √1 – 4x2

√ 1 - 4x2 1 dy/dx = - 2/Sin y = - 2/√1 – 4x2

Bentuk umum:

y = arc Cos f(x) dy/dx = - f’(x)/√1 – [f(x)]2

2x

3. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc tg 2x

Jawab:

y

y

27

y = arc tg 2x 2x = tg y

x = ½ tg y

dx/dy = ½ Sec2 y dy/dx = 2/Sec2 y = 2 Cos2 y

Cos y = 1/√1 + 4x2 Cos2 y = 1/(1 + 4x2)

2x √1 + 4x2 dy/dx = 2 Cos2 y = 2/(1 + 4x2)

Bentuk umum:

y = arc tg f(x) dy/dx = f’(x)/[1 + f(x)2]

1

Latihan Tentukan dy/dx dari:

1. y = arc Cotg 3x

2. y = arc Sec 4x

3. y = arc Cosec 5x

II.5. Prinsip diferensial parsial

Diferensial parsial biasanya dipakai untuk menurunkan atau mendiferensialkan suatu fungsi

yang mempunyai perubah bebas minimum 2. Dalam hal ini variabel yang tidak

didiferensialkan dianggap tetap sehingga dapat dikeluakan dari tanda diferensial.

Misal:

m = f(x,y,z), dengan variabel bebas x,y,z

maka bentuk diferensial dari fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai

berikut:

y

28

II.5.1.Diferensial parsial fungsi aljabar Contoh:

m = x y2 z3, tentukan harga dari:

Jawab:

II.5.2. Diferensial parsial fungsi trigonometri m = y2 Sin x Cos z, tentukan harga dari:

29

Jawab:

II.6. Turunan fungsi implisit

Perbedaan cara penulisan antara fungsi implisist dan eksplisit:

y = 2x +4 Fungsi eksplisit

2xy +y+ x2y = 4x Fungsi implisit

Contoh:

1. Tentukan dy/dx atau y’ dari : 2xy +y+ x2y = 4x

Jawab:

d/dx{2xy +y+ x2y }=d/dx( 4x)

y d/dx (2x) + 2x d/dx(y) + d/dx(y) + y d/dx ( x2) + x2d/dx (y) = 4

y (2) + 2x dy/dx + dy/dx + 2xy + x2dy/dx = 4

dy/dx[ 2x + 1 + x2] = 4 – 2y - 2xy

dy/dx = [4 – 2y - 2xy] /[ 2x + 1 + x2]

2. Tentukan dy/dx atau y’ dari : 2x + y3 + xy2 = x2

30

Jawab:

d/dx [2x + y3 + xy2 ]= d/dx[x2]

d/dx (2x) + d/dx(y3) + d/dx(xy2)= d/dx[x2]

2 + d/dx(y2.y) + y2d/dx (x) + x d/dx (y2) = 2x

2 + y2 d/dx(y) + y d/dx(y2) + y2d/dx (x) + x d/dx (y.y) = 2x

2 + y2 dy/dx + y d/dx(y.y) + y2 + x [yd/dx (y) + yd/dx (y)] = 2x

2 + y2 dy/dx + y [y d/dx(y) + y d/dx(y) ] + y2 + x [ 2ydy/dx ] = 2x

2 + y2 dy/dx + 2y2 dy/dx + y2 + 2x ydy/dx = 2x

2 + 3y2 dy/dx + y2 + 2x ydy/dx = 2x

dy/dx [ 3y2 + 2xy ] = 2x -2 - y2

dy/dx = [2x -2 - y2] / [ 3y2 + 2xy ]

Catatan:

d( yn) /dx = n y(n-1)dy/dx

Latihan Tentukan y’ atau dy/dx dari:

1. 2xy + x3y3 + x2 y2 = x2

2. x4 + y4 + 4xy2 = x2 y4

II.7. Tugas

A. Tentukan y’ dari:

1. y = [ tg( x4+4)5] /[Cosec(x2- 4x +3)

2. y = Sin2( 3x+2) Cotg(x4+ 3x2+3x+3)

3. y = (x4+ 3x2+3x+3)7(x3+ 2x2+x+2)7

4. y = [ ln( x4+4)5] /[log(x2- 4x +3)

5. y = e(3x +3) /(x3+ 2x2+x+2)7

6. y = e(4x+2) /[ ln(x3+ 2x2+x+2)7]

7. y = [e(4x+2) ][ ln(x3+ 2x2+x+2)7]

8. x4 y4 + 2xy4 + xy2 = 6x2y4

9. ln (x4 y4)+ e2xy + xy2 = log (x2y4)

10. ln (Cos 2x)+ ln(x3+ 2x2). e2xy + xy2 = log (x2y4)

31

B. Diketahui m = (Sin x)(Cosy)(z3 + z2- 6)

II.8. Aplikasi turunan (diferensial) total

Untuk menentukan harga variabel bebas dalam suatu fungsi , maka harga turunan pertama

dari fungsi tersebut harus berharga nol (0). Untuk menguji sutu fungsi apakah fungsi

tersebut berharga maksimum atau minimum, maka harus dilihat pada harga turunan kedunya

pada saat variabel yang diperoleh dari turunan pertma dimasukkan ke dalam turunan kedua

dari funhsi tersebut. Ada dua kemungkinan yang terjadi pada saat harga variabel tersebut

dimasukkkan dalam turunan kedua, yaitu:

a. Jika harga turunan adalah negatip atau kurang dari nol (0), maka fungsi mempunyai

harga maksimum

b. Jika harga turunan adalah positip atau lebih dari nol (0), maka fungsi mempunyai

harga minimum

Contoh

1. Sebuah bejana berbentuk kotak persegi bagian atas terbuka dan bagian bawah tertutup.

Bejana diisi penuh dengan cairan sebanyak 216 m3. Alas bejana berbentuk bujur sangkar

dan dinding berbentuk persegi panjang. Biaya pembuatan alas Rp 5000; per m2 dan

dinding Rp2.500; per m2.Tentukan ukuran bejana yang paling ekonomis, sehingga

maksud pembuatan tercapai sesuai rencana.

Jawab:

x .

x

y

Volume bejana = V = Luas alas x tinggi

216 = (x)(x)(y)

216 = x2y

y =216/x2 .....................................(1)

Biaya alas = 5.000(x)(x)= 5000 x2

Biaya total dinding = 4(x)(y)(2.500) = 10.000xy

Biaya total pembuatan bejana= 5000 x2+10.000xy

H = 5000 x2+10.000xy .................................... (2)

Masukkan persamaan (1) ke (2):

32

H = 5000 x2+10.000xy

= 5000x2+10.000x(216/x2)

=5000x2 + 2.160.000 /x ................................(3)

dH/dx = 10.000 x - 2.160.000 /x2

dH/dx = 0 10.000 x - 2.160.000 /x2 = 0

10.000 x = 2.160.000 /x2 x3 = 216

x = 6 dan y =216/x2 = 216/36 = 6

d 2H/dx2 = d/dx (10.000 x - 2.160.000 /x2) =10.000 +4.320.000/x3

= 10.000 +4.320.000/x3 = 10.000 +4.320.000/216 = 10.000+20.000 = 30.000

Dengn demikian d 2H/dx2 > 0 memenuhi syarat minimasi

Jadi x = y = 6 bejana berbentuk kubus dengan panjang sisi-sisi 6 m

6cm

6 cm

2. Tentukan ukuran dari silinder lingkaran tegak dengan luas selimut maksimum yang

dapat dilukis pada sebuah bola dengan jari-jari 20 cm

Jawab:

r R 1/2 h

R

r

1/2h

h = tinggi silinder

R = jari-jari bola = 20 cm

r = jari-jari silinder

R2 = (1/2h)2 + r2 = ¼ h2 + r2

400 = ¼ h2 + r2 ......................(1)

Luas selimut silinder = 2IIrh

A = 2IIrh ................................(2)

dA/dr = 2IId/dr (rh)

= 2II[rdh/dr+hdr/dr]

= 2IIr dh/dr + 2IIh ..........(3)

33

Dari persamaan (1): 400 = ¼ h2 + r2

h2 + 4r2 = 1600

d/dr (h2 + 4r2) = d/dr (1600)

d (h2)/dr + 4 d(r2)/dr = 0

2h dh/dr + 8r = 0

2h dh/dr = - 8r

dh/dr = - 4 r/h ................................................................ (4)

Masukkan persamaan (4) ke (3):

dA/dr = 2IIr dh/dr + 2IIh

= 2IIr (-4r/h) + 2IIh

= -8IIr2/h + 2IIh ......................................................... (5)

Menentukan harga r dari persamaan dA/dr =0

dA/dr =0

2IIr (-4r/h) + 2IIh = 0

-8Iir2/h = -2IIh

4r2= h2

h= 2r atau r = h/2

Dari persamaan (5):

dA/dr = 2IIr dh/dr + 2IIh

= -8IIr2/h + 2IIh

Jika h = 2r dA/dr = -8IIr2/2r + 2II(2r) = -4IIr + 4IIr = 0

Artinya d2A/dr2 = 0 tidak bisa dipakai untuk evaluasi harga maksimum atau

minimum fungsi. Untuk mengatasi persoalan tersebut, maka diasumsikan bahwa harga h

dianggap konstan atau tetap.

Dengan demikian: dA/dr = -8IIr2/h + 2IIh

d2A/dr2 = - 16IIr/h

= -16II(h/2)/h = - 8 II

Artinya d2A/dr2 < 0 atau d2A/dr2 berharga negatip (memenuhi syarat untuk harga

maksimum).

Dari persamaan (1): 400 = ¼ h2 + r2

34

¼ h2 + r2 = 400

¼ h2 + [(1/2)h]2 = 400

¼ h2 + ¼ h2 = 400

½(h2) = 400

h2 = 800

h = 20√2 cm dan r = ½(h) = 10√2 cm

Latihan

1. Tentukan jari-jari R dari kerucut ingkaran tegak dengan volume maksimum yang dapat

dilukiskan dalam sebuh bola dengan jari-jari r (kunci R= 2/3 (r√2).

2. Sebuah silinder lingkaran tegak dilukiskan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak

dengan jari-jari r. Bila volume silinder maksimum, maka tentukan jari-jari R silinder

[kunci R = 2/3(r)]

3. Sebuah bejana (tabung) yang tertutup rapat berisi cairan setengahnya.Bentuk tabung

adalah silinder tegak dengan biaya pembuatan dinding Rp 10.000; per m2 dan tutup Rp

5.000; per m2. Bila dikehendaki tabung tersebut diisi penuh dapat menampung cairan

1000 m3, maka tentukan ukuran ekonomis tabung tersebut.

II.9. Aplikasi turunan (diferensial) parsial

Contoh:

1. Kerapatan muatan ruang dinyatakan sebagai:

Bila D = xy2 z5 ax + x3 y2 z5 ay + x3 y2 z5 az

Tentukan ρv pada A (1,2,3)

Jawab:

Dx = x y2 z5

Dy =x3 y2 z5

Dz =x3 y2 z5

= y2 z5

35

= 2 y x3 z5

= 5z4 x3 y2

= y2 z5 + 2 y x3 z5 + 5z4 x3 y2

= (22)(35) + 2(2)(1)( 35) +5 (34)(1)(22) = 3564 [C/m3]

2. Persamaan untuk medan listrik ( E ) dinyatakan sebagai: E= - V, dengan:

Tentukan medan listrik pada A(1,2,3), jika diketahui bahwa medan potensial (V)

dinyatakan sebagai V = 50 x2yz + 20 y2 [Volt]

Jawab:

∂V/∂x = ∂/∂x (50 x2yz + 20 y2) = 50 yz d/dx (x2) + 20 y2d/dx (1)= 100xyz + 0

= 100xyz

∂V/∂y= ∂/∂y (50 x2yz + 20 y2) = 50 x2z dy/dy + 20d(y2)/dy = 50 x2z + 40 y

∂V/∂y= ∂/∂y (50 x2yz + 20 y2) = 50 x2y dz/dz + 20 y2 d(1)/dz = 50 x2y

E = - (100xyz ax + (50 x2z + 40 y) ay + 50 x2y) az

EA = -[100(1)(2)(3) ax + [50(12)(3) + 40(2)] ay + 50 (12)(2)] az

= - 600 ax - 230 ay - 100 az [V/m]

36

Latihan 1. Kerapatan muatan ruang dinyatakan sebagai:

Bila D = xy2 ln(z5 ) ax + e3x y2 z5 ay + x2 y3 z4 az

Tentukan ρv pada A (2,4,6)

2. Persamaan untuk medan listrik ( E ) dinyatakan sebagai: E= - V, dengan:

Tentukan medan listrik pada A(1,2,3), jika diketahui bahwa medan potensial (V)

dinyatakan sebagai V = 50 ln(x2 ) y z + 20 x z3 y2 [Volt]

II.10. Daftar Pustaka

Kreyzig, E., 1979. Advenced Engineering Mathematics. 4nd, John Willey and Sons, New

York. pp. 249-468,509-560,563-590

Mundit,A.K., 1984. Soal- Penyelesaian Kalkulus Deferensial dan Integral.Jilid I, Armico,

Bandung. hal. 37-238, 305-433 Hayt, W.H., 1989. Engineering Electronics. Fith Edition, Mc Graw Hill International

Aditions,Toronto. pp. 34-106, 188-204

37

BAB III. PANGKAT

III.1. Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita berhadapan dengan suatu angka yang nilainya

sangat besar. Misal tabungan seseorang dalam suatau bank nilainya 1 milyar rupiah atau

kalau dituliskan dengan angka, maka nialainya adalah Rp1.000.000.000;. Dalam bidang

matematika atau keteknikan cara penulisan seperti ini cukup panjang, menyulitkan dan

banyak memakan tempat. Untuk menghindari kesulitan-kesulitan tersebut dibutuhkan

alaternatif lain. Salah satu cara penulisan yang cukup sederhana adalah dengan

menuliskan dalam bentuk pangkat. Angka 1.000.000.000 tersebut dalam bentuk pangkat

dapat dituliskan sebagai 10 9. Dalam hal ini 10 disebut bilangan pokok, sedangkan 9

disebut bilangan pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan

berpangkat bilangan bulat. Pada bab III ini akan dibahas secara rinci tentang bentuk-

bentuk pangkat dan cara penghitungannya.

III.2. Pengelompokan pangkat

Berdasarkan tanda operasionalnya pangkat dapat dikelompokkan menjadi pangkat positip

dan negatip. Sedangkan berdasarkan nilainya pangkat dikelompokkan menjadi pangkat

bulat, pecah , nol dan tak tentu (∞)

III. 2.1. Pangkat bulat

III. 2.1.1. Pangkat bulat dan positip

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan

faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai

berikut:

a. 2 x 2 x 2 = 8

b. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4.096

Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut

sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas

38

dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilangan-bilangan di atas

dapat kita tuliskan dengan:

a. 2 x 2 x 2 = 23

b. 3 x 3 x 3 x 3 x3 = 35

c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 46

Bilangan 23, 35, 46 disebut bilangan berpangkat sebenarnya (riil) karena bilangan-

bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang. Bilangan

berpangkat an dengan n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai berikut:

an = a x a x a..............x a .................................(1) Berdasarkan persamaan (1) tersebut dapat diturunkan berbagai rumusan atau formulasi

sebagai berikut:

an am = a n +.m ............................... (2)

(an)m = a n . m ............................... (3)

(a.b)n = an .bn ................................ (4)

(a/b)n = an / bn,dengan b≠0 ................................ (5)

(am/an) = am–n,denga m > n dan a ≠ 0 .............................. (6)

Contoh

1. 22 .23 = 4 . 8 = 32 atau 22 23 = 25 = 32

2. (22 )3 = 43 = 64 atau (22 )3 = 26 = 64

3. (2.2)3 = 43 = 64 atau (2.2)3 = 23 .2 3 = 8.8 = 64

4. (4/2)3 = (2)3 = 8 atau (43/23) = 64/8 = 8

5. (23/22) = (8/4) = 2 atau (23/22) = 2(3 – 2) = 2

Latihan

Tentukan :

1. 32 .63 4. (8/5)3 6. (3.4)4

2. (92 )3 5. (43/32) 7. (-34/ 43)

39

III. 2.1.2. Pangkat bulat dan negatip

Dari bentuk perkalian :

a. 2 x 2 x 2 = 8

b. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4.096

Dikembangkan menjadi bentuk pangkat negatip sebagai berikut :

a. 2-1 x 2-1 x 2-1 = ½ x ½ x ½ = 1/(23)= 1/8

b. 3-1 x 3-1 x 3-1 x 3-1 x 3-1 = 1/3x1/3x1/3x1/3x1/3 = 1/(35) = 1/243

c. 4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 = 1/4x1/4x1/4x1/4x1/4x1/4=1/(46) =1/4096

Atau kalau menggunakan persamaan (2), maka dapat dituliskan sebagai:

a. 2-1 x 2-1 x 2-1 = 2 (-1-1-1) = 2 -3 = 1/8

b. 3-1 x 3-1 x 3-1 x 3-1 x 3-1 = 3 -5 = 1/243

c.4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 x 4-1 = 4- 6 =1/4096

Berdasarkan dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa:

1/(23) = 2 -3

1/(35) = 3 -5

1/(46) = 4- 6

Bila dinyatakan secara umum,maka bentuk pangkat bulat dan negatip dapat dituliskan

sebagai:

(1/an ) = a – n , dengan a ≠ 0 …..………………………(7)

Latihan

Tentukan harga:

1. 1/( 34) 4. 5(-3)

2. 1/( -34) 5. -34/ (4 -3)

3. (-5) -5 6. (3.4)-5

40

Berdasarkan persamaan (7) tersebut dapat diturunkan berbagai rumusan atau formulasi

sebagai berikut:

a-n .a-m = a - (n +.m) ............................... (8)

a-n .a m = a (- n +.m) ................................ (9)

an a-m = a (n -.m) ................................ (10)

(an) -m = a[(n)(- m)] ................................. (11)

(a-n) -m = a[(-n)(- m)] ................................. (12)

(a-n) m = a[(-n)( m)] ............................... .. (13)

(a.b)-n = a-n .b-n ................................. (14)

(a/b) -n = a-n / b-n,dengan b ≠ 0 .............................. (15)

(a-m/an) = a(-m–n),dengan a ≠ 0 ............................. (16)

(a-m/a-n) = a(-m + n),dengan a ≠ 0 ............................. (17)

Contoh

1. 2-2 2-3 = 1/4 .1/ 8 =1/ 32 atau 2-2 2-3 = 2 -5 = 1/32

2. (22 ) -3 = 4-3 = 1/64 atau (22 )-3 = 2 - 6 = 1/64

3. (2.2)-3 = 4-3 = 1/64 atau (2.2) -3 = (2-3 )(2 -3 ) = (1/8)(1/8) = 1/64

4. (4/2) -3 = (2) -3 = 1/8 atau (4 -3/2 -3) = (1/64) / (1/8) = 8/64 =1/8

5. (2 -3/2 -2) = (1/8) / (1/4) = 4/8 =1/2 atau (2 -3/2 -2) = 2(-3 + 2) = 2-1=1/2

III. 2.2. Pangkat pecah

III. 2.2.1. Pangkat pecah positip


a. 4 x 4 x 4 = 64

b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561

c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576

Dikembangkan menjadi bentuk pangkat pecahan sebagai berikut:

a. 41/ 2 x 4 1/ 2 x 4 1/ 2 = √4 x √4 x √4 = 2 x 2 x 2= 8

41

b. 91/2 x 91/2 x 91/2 x 91/2 = √9 x √9 x √9 x √9 = 3 x 3 x 3 x3 =81

c. 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 = √16 x √16 x √16 x √16 x √16 =

4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024

Atau dapat dituliskan pula sebagai:

a. 41/ 2 x 4 1/ 2 x 4 1/ 2 = 4(1/ 2+1/2+1/2) = 4 3/ 2 =√43 = √64 = 8

b. 91/2 x 91/2 x 91/2 x 91/2 = 9(1/ 2+1/2+1/2 +1/2) = 92 = 81

c. 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 = 16(1/ 2+1/2+1/2+1/2+1/2) =165/2 =√165 = 1024

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa:

a. 41/ 2 x 4 1/ 2 x 4 1/ 2 = 4 3/ 2 = √43 = 8

b. 91/2 x 91/2 x 91/2 x 91/2 = 94/2 = 92 =81

c. 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 x 161/2 = 165/2 = √165 = 1024

Dapat disimpulkan bahwa :

Latihan Tentukan harga dari

1. 41/ 2 x 9 1/4 x 31/ 3

2. 4 2 x 9 1/2 x 62/ 3

3. 8 2/3 x 10 1/2 x 52/ 3

4. 9 2 x 6 1/2 x 162/ 3

III. 2.2.2. Pangkat pecah negatip


a. 4 x 4 x 4 = 64

b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561

c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576

42

Dikembangkan menjadi bentuk:

a. 4-1/ 2 x 4 -1/ 2 x 4 -1/ 2 = 1/41/ 2 x 1/ 4 -1/ 2 x 1/4 -1/ 2 =1/√4 x 1/√4 x 1/√4 =

1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8

b. 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 = 1/91/2 x 1/91/2 x 1/91/2 x 1/91/2 =

1/√9 x 1/√9 x 1/√9 x 1/√9 = 1/3 x 1/3 x 1/3 x 1/3 = 1/81

c. 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 =

1/161/2 x 1/161/2 x 1/161/2 x 1/161/2 x 1/161/2 =

1/√16 x 1/√16 x 1/√16 x 1/√16 x 1/√16 =

1/4 x 1/4 x 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/1024

Atau dapat dituliskan pula sebagai:

a. 4-1/ 2 x 4 -1/ 2 x 4 -1/ 2 = 4(-1/ 2-1/2-1/2) = 4 -3/ 2 =1/√43 = 1/√64 = 1/8

b. 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 = 9 (-1/ 2-1/2-1/2 -1/2) = 1/92 = 1/81

c. 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 = 16 (-1/ 2-1/2-1/2-1/2-1/2) =16-5/2 =1/√165 = 1/1024

Dengan demikian dapat dikatakan bahwa:

a. 4-1/ 2 x 4 -1/ 2 x 4 -1/ 2 41/ 2 x 4 1/ 2 x 4 1/ 2 = 4 -3/ 2 =1/√43 = 1/√64 =1/84 3/ 2 = 1/√43 =1/ 8

b. 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 x 9-1/2 = 9 (-1/ 2-1/2-1/2 -1/2) = 1/92 = 1/81

c. 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 x 16-1/2 = 16 (-1/ 2-1/2-1/2-1/2-1/2) =16-5/2 = 1/165/2

= 1/√165 = 1/ 1024


Latihan

Tentukana harga dari:

1. 4-1/ 2 x 9 -1/4 x 3-1/ 3

2. 4 - 2 x 9 1/2 x 6 -2/ 3

43

3. 8 - 2/3 x 10 1/2 x 5 -2/ 3

III. 2.3. Pangkat nol

III. 2.3.1. Pangkat nol positip


a. 4 x 4 x 4 = 64

b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561

c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576


a. 4 0 x 4 0 x 4 0 = 1 x 1 x 1 =1

b. 9 0 x 9 0 x 9 0 x 9 0 = 1 x 1 x 1 x 1 = 1

c. 16 0 x 16 0 x 16 0 x 16 0 x 16 0 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1

III. 2.3.2. Pangkat nol negatip


a. 4 x 4 x 4 = 64

b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561

c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576


a. 4 - 0 x 4 - 0 x 4 - 0 = 1/40 x 1/40 x 1/40 =1/1 x 1/1 x 1/1 =1

b. 9 - 0 x 9 - 0 x 9 - 0 x 9 - 0 = 1/90 x 1/90 x 1/90 x 1/90 =1/1 x 1/1 x 1/1x1/1 =1

c. 16 - 0 x 16 - 0 x 16 - 0 x 16 - 0 x 16 - 0 = 1/160 x 1/160 x 1/160 x 1/160 x 1/16

= 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1

Kesimpulan:

a 0 = a – 0 = 1 ..................................................................................(22)

44

III. 2.4. Pangkat tak terhingga (tak tentu )

III. 2.4.1. Pangkat tak terhingga (tak tentu ) positip ( + ∞ )

Harga + ∞ berarti harga tersebut sangat besar sekali dan positip.


a. 2+∞ = 2 x 2 x 2 x ..... x 2 = besar sekali = ∞

b. 9 +∞ x 9 +∞ = ∞ x ∞ = ∞

Tetapi untuk 1+∞ = 1x1x1x ….x1= 1


a∞ = ∞, dengan a ≠ 0 dan a >1 ………………………………………(23)

Jika -1< a < 1 dan a ≠ 0, maka :

a∞ = kecil atau kecil sekali, sehingga a∞ = 0,00000…….≈ 0 …………(24)

Jika a < -1, maka :

│a∞│= besar atau besar sekali, sehingga a∞ ≈ ∞ …………………(25)

III. 2.4.2. Pangkat tak terhingga (tak tentu ) negatip ( - ∞ )

Harga - ∞ berarti harga tersebut besar sekali dan negatip.


a. 2 - ∞ = 1/2∞ = 1/2 x 1/2 x ..... x 1/2 = 0,0000000..... = kecil sekali ≈0

b. 2 -∞ x 2 - ∞ = 0 x 0 = 0

Tetapi untuk 1- ∞ = 1x1x1x ….x1= 1


a-∞ = 0, dengan a ≠ 1 ……………………………………(26)

Jika -1< a < 1, maka :

│ a- ∞│= kecil atau kecil sekali, sehingga boleh didekati ≈ 0 …………(27)

Contoh soal komprehensip:

1. Tentukan harga dari: 3-3 x 1/ 8-3 x 92/3

Jawab:

45

2. Tentukan harga dari : 4-1/3 x 1/ 8-3/2 x 9-3/4

Jawab: 0.19245 = 6,92

3. Tentukan harga dari: 8-1/3 x 1/6 -3/2 x 5 -2/3

Jawab: 0.37 x 108 x0,34 = 13,59

4. Tentukan harga dari : 4- ∞ x 1/ 8- ∞ x 9-3/4

Jawab: 4- ∞ x 1/ 8 - ∞ x 9-3/4 = 1/4∞ x 8 ∞ x 1/ 93/4

= 0 x ∞ x 1/ 93/4 = 0

5. Tentukan harga dari : 1- ∞ x 1/ 8- ∞ x 9-3/4

Jawab:

1- ∞ x 1/ 8 - ∞ x 9-3/4 = 1/ 1 ∞ x x 8 ∞ x 1/ 93/4 = 1 x ∞ x 9-3/4 = ∞

Tugas Tentukan harga dari :

1. 8-1/3 x 1/ 2-3/2 x 100 -5/4

2. 8-1/3 x 1/6 -3/2 x 5 -2/3

3. 3- ∞ x 8 ∞ x 9-3/4

4. 6 ∞ x 1/ 8 - ∞ x 4-3/4

5. 16 1/3 x 1/(4 -3/2 ) x 9 -2/3

6. 16 1/3 x 1/4 - 0 x 9 0

7. 3- 0 x 8 ∞ x 9-3/4

8. (2 -3/2 -2) x (2.2)-3x (4/2) -3

46

Kunci jawaban

1. 0.004472

2. 2.513141

3. 0

4. ∞

5. 4.659095812

6. 16 1/3

7. ∞

8. 0.000977

Daftar Pustaka:

…….., 1982. Aljabar Semester 1 dan 2. Edisi pertama, Departemen Elekteronik

Politeknik, TEDC, Bandung. Hal. 22-29

47

BAB IV. AKAR IV.1. Pendahuluan

Akar merupakan pernyataan lain dari pangkat dalam bentuk pecahan baik positip

atau negatip dari suatu bilangan, dimana bilangan tersebut harus berharga positip dan

tidak boleh berharga nol. Bila bilangan tersebut berharga nol, maka hasil pengakaran

adalah nol juga. Sedangkan kalau bilangan tersebut berharga negatip, maka akan

dihasilkan bilangan khayal atau imajiner yang membutuhkan pembahasan khusus atau

tersendiri. Oleh karena itu pada bagian pembahasan akar ini hanya akan dibatasi dulu

pada hasil yang nyata atau riil saja. Dengan demikian sebenarnya hasil perhitungan

menggunakan pangkat pecahan dan akar bisa saling bertukar tempat, karena hasil

perhitungan baik dengan menggunakan bentuk akar atau bentuk pangkat pecahan dari

suatau bilangan akan menghsilkan suatu harga yang sama saja.

IV.2. Pernyataan bentuk akar

Secara umum bentuk akar dapat dinyatakan sebagai:

............................................................................ (1)

dengan:

n = indeks atau ordo dan berharga positip dan untuk n=2 biasanya tidak pernah

dituliskan

a= bilangan yang diakar dan berharga positip

Hubungan antara akar dengan bentuk pangkat pecahan dapat dinyatakan sebagai berikut

= ................................................................................(2)

Contoh:

1. Tentukan harga dari:

Jawab :

= 3

Dengan perhitungan secara manual menggunakan alat hitung didapat bahwa 91/2 = 3

Oleh karena itu = 91/2 = 3

48

2. Tentukan harga dari:

Jawab:

= 2.666667 (dihitung dengan kalkulator) Dengan menggunakan alat hitung (komputer) didapat bahwa:

81/2 = 2.666667

Oleh karena itu = 81/2 = 2.666667

IV.3. Sifat - sifat akar

Beberapa sifat akar antara lain:

a.

b.

c.

d. =

e. =

Contoh: 1. Tentukan harga dari :

Jawab:

= 43/3= 41 = 4

Bila dihitung dengan kalkulator harga dari : = ( 1.587401)3 = 4 Dengan demikian : = 4

3/3 = 41 = (1.587401)3 = 4

2. Tentukan harga dari : Jawab:

(1.44225)( 1.587401) = 2.289429

49

Atau dengan cara lain :

3. Tentukan harga dari : Jawab:

Dengan menggunakan cara lain dapat pula dihitung sebagai berikut:

0.829827

4. Tentukan harga dari :

Jawab

Atau dengan cara lain dapat pula dihitung sebagai berikut:


Jawab:

Dengan cara lain dapat pula dihitung sebagai berikut:


1,090508 Dengan cara lain dapat pula diselesaikan sebagai berikut:

50

1,090508

Latihan

Tentukan harga dari:

a.

b.

c.

d.

e.

IV.4. Akar dari bilangan negatip

Untuk menyelesaikan akar dari suatu bilangan negatip bisa digunakan sifat dari akar

seperti yang ditunjukkan dalam bentuk

Contoh

Catatan:

, dengan j atau i adalah bilangan khayal atau imajiner

Bilangan khayal atau imajiner sangat bermanfaat pada pemakaian bilangan kompleks dan

akan dibahas pada bagian tersendiri. Perlu dikatahui sebagai bahan pengantar bahwa

bilangan kompleks terdiri atas bilangan nyata yang digabungkan dengan bilangan khayal

atau imajiner dan biasanya dituliskan dalam notasi Z dan merupakan bentuk dari suatu

vektor. Bilangan kompleks dalam bidang teknik elektro banyak dipakai sebagai alat bantu

pada perhitungan rangkaian listrik arus bolak-balik (AC). Contoh pernytaan bilanag

kompleks adalah Z = 2 + 3j atau Z = 2 + 3i.

Latihan

Tentukan hasil dari : dan

51

Catatan:

Tugas Tentukan harga dari

a. +

b.

c.

d. +

+

Kunci jawaban

a. 1.84917

b. 0.210731

c. 26.62187

d. 9.103802

e. 1.84917 + 2.828427 j

Daftar Pustaka:



52

BAB V. PERSAMAAN NON LINIER

V.1. Pendahuluan

Persamaan nojn linier adalah suatu persamaan polynomial dengan orde dua atau lebih. Jika

orde tersebut berharga dua, maka disebut persaman kuadrat. Sedangkan menurut jenisnya

persamaan non linier dapat dikelompokkan menjadi persamaan kuadrat, persamaan

eksponensial dan sebaginya.

V.2. Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari

persamaan kuadrat adalah

…………………………….(1)

dengan:

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien. Dalam hal ini koefisien kuadrat a adalah

koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan

atau disebut juga suku bebas.

V.3. Grafik atau kurva persamaan kuadrat

Bentuk atau sketsa dari grafik (kurva) persamaan kuadrat sangat dipengaruhi oleh

perubahan harga koefisien dari a,b dan c. Perubahan dari grafik atau kurva ditunjukkan

seperti pada gambar 1, 2 dan 3.

53

Gambar 1. Kurva dari

variasi a

Gambar 2. Kurva dari variasi

b

Gambar 3. Kurva dari

variasi c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan

kuadrat dalam ruang xy.Harga a menentukan tingkat kecekungan atau kecembungan

parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat, seperti ditunjukkan pada gambar 1. Nilai a > 0

akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan

parabola terbuka ke bawah. Harga b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau

sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk, seperti terlihat pada gambar 2. Posisi

tepatnya adalah -b/2a. Harga c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk

dengan sumbu y atau saat x = 0, seperti terlihat pada gambar 3. .

V.4. Menghitung harga akar-akar persamaan kuadrat

V.4.1. Menghitung dengan rumus kuadrat

Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk akar-akar

persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c dari suatu persamaan

kuadrat. Jika persamaan kuadrat tersebut dinyatakan seperti pada persamaan (1) , yaitu:

.

Maka rumus yang dimaksud adalah:

………………………………………(2)

54

Persamaan ( 2 ) hanya dapat digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat

apabila harga y pada persamaan (1) adalah nol (0) atau y = 0 . Pada kondisi ini persamaan

berubah menjadi:

……………………………………………………………………(3)

Contoh:

Tentukan harga akar-akar dari persamaan: 0,75x2 – 2x -15 = 0

Jawab:

V.4.2. Menghitung akar dengan cara memfaktorkan

Berdasarkan rumus pada persaman (2) akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga

persamaan semula yang dinyatakan dalam bentuk:

..

dapat dituliskan menjadi :

............………...................................................(5)

Pada harga y = 0, maka persamaan (5) dapat dinyatakan sebagai:

0 = a(x - x1)(x - x2)

atau (x - x1)(x - x2) = 0 dengan x1 dan x2 adalah harga akar-akar dari persamaan hasil

pemfaktoran.

55

Dari persamaan (5) dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, bahwa:

……………………………………………………………(6)

dan

. ……………………………………………………..............(7)

Contoh:

Tentukan harga akar-akar dari persamaan: y = 0,75x2 – 2x -15

Jawab:

Dengan menggunakan bantuan kurva atau grafik persamaan tersebut dapat dinyatakan

sebagai berikut:

Gambar 4. Ilustrasi penerapan persamaan y = 0,75x2 – 2x -15

Berdasarkan gambar 4, dapat dilhat bahwa harga akar – akar dari persamaan pada saat y

= 0 adalah x1 = -3,333 dan x2 = 6. Harga akar-akar tersebut ternyata sama dengan harga

akar-akar yang dihasilkan dengan rumus a,b,c. Jika digunakan cara pemfaktoran, maka

persamaan y = 0,75x2 – 2x -15 dapat dinyatakan sebagai: y = 0.75 (x + 3,333) (x –

6,000). Selanjutnya untuk mencari akar-akar persamaan dari y = 0.75 (x + 3,333) (x –

6,000), diubah terlebih dahulu menjadi:

0 = 0.75 (x + 3,333) (x – 6,000)

56

atau

0.75 (x + 3,333) (x – 6,000) = 0

(x + 3,333) (x – 6,000) = 0

(x + 3,333) = 0 x1 = -3,333

(x – 6,000) = 0 x2 = 6,000

Pengujian hasil hitungan menggunakan persamaan (6) dan (7), yaitu:

.

Dengan x1 = -3,333 dan x2 = 6,000, maka:

x1+ x2 = -3,333 + 6,000 = 2,667= 2,67 (sama dengan hasil hitungan dengan persamaan

6)

x1. x2 = (-3,333)( 6,000) = -19,998= -20 (sama dengan hasil hitungan dengan persamaan

7). Dengan demikian didapat bahwa x1 = -3,333 dan x2 = 6,000

V.5. Diskriminan atau determinan

Dalam rumus kuadrat seperti disebutkan pada persamaan (2) tertulis suatu harga yang

berada dalam naungan tanda akar. Harga yang dimaksud adalah berbentuk:

Dalam istilah matematik harga dari b2- 4ac dikenal sebagai harga diskriminan atau juga

sering disebut harga determinan dari suatu persamaan kuadrat. Notasi dari harga determinan

biasanya dituliskan sebagai D. Dengan demikian harga determinan dari suatu persamaan

kuadrat dapat dituliskan sebagai:

D = b2 - 4ac ………………………………………………………….. (8)

57

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar

atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk

bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-

akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin muncul berkaitan dengan harga

determinan, yaitu:

Jika diskriminan berharga positif (D > 0), maka akan terdapat dua akar berbeda yang

kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien

berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-

akarnya merupakan bilangan rasional atau sebaliknya dapat pula merupakan bilangan

irrasional kuadrat.

Jika diskriminan bernilai nol (D = 0), maka diperoleh satu akar eksak dan akar yang

dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar kembar, di mana

nilainya adalah:

Jika diskriminan berharga negatif ( D < 0 ), maka tidak terdapat akar riil. Sebagai

gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan

konjugat kompleks:

Dan

Gambar 5 menunjukkan perubahan atau pergeseran pola kurva atau grafik sebagai akibat

perubahan harga dari determinan D.

58

Gambar 5. Perubahan pergeseran pola kurva akibat perubahan harga determinan

Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan

nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.

V.6. Akar riil dan kompleks Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar kembar) atau dua buah akar yang

berbeda. Harga dua buah akar dapat bersifat riil atau kompleks tergantung dari nilai

diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya

dengan sumbu x atau garis y = 0.

Contoh:

Tentukan akar-akar dari persamaan

a. y = x2 + 4x – 6

b. y = 2x2 - 4x + 6

Jawab:

Sebagaimana disebutkan pada teori bahwa akar-akar persamaan kuadrat dapat dipandang

sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0. Dengan demikian akan didapat

jawaban sebagai berikut:

a. y = x2 + 4x – 6

0 = x2 + 4x – 6 atau x2 + 4x – 6 = 0

Dengan menggunakan rumus a,b,c didapat akar-akar persamaan:

59

Uji kebenaran jawaban dengan persamaan (6):

Dari hasil hitungan telah didapat bahwa x1 =1,1623 dan x2 = -5,1623, kedua harga akar

adalah riil (nyata)

x1 + x2 = 1,1623 - 5,1623 = -4 (cocok dengan hasil uji dari persamaan 6)

b. y = 2x2 - 4x + 6

Untuk y = 0, maka persamaan dapat dituliskan menjadi: 2x2 - 4x + 6 = 0

Dengan menggunakan rumus a,b,c didapat akar-akar persamaan:

Didapat dua harga akar berbentuk bilangan kompleks dimana akar-akar tersebut

merupakan konjugat satu sama lainnya.

Uji kebenaran jawaban dengan persamaan (6):

60

Dari hasil hitungan telah didapat bahwa x1 =1+ 1,4142 j dan x2 =1- 1,4142 j, kedua

harga akar berbentuk bilangan kompleks.

X1 + x2 = 1+ 1,4142 j + (1- 1,4142 j ) = 2 (cocok dengan hasil uji dari persamaan 6)

Latihan Tentukan akar-akar dari persamaan

a. y = 4 x2 + 4x – 16

b. y = 2x2 – 4x + 5

c. y = 3 x2 + 2x +16

d. y = -2x2 + 4x + 5

e. y = -9 x2 – 2x -16

Uji akar yang didapat dengan persamaan:

atau

V.7. Titik potong kurva non linier dengan garis y = d (garis linier) Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan

untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat ( )

dengan suatu garis mendatar ( ). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi

persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin

dicari dan menyamakannya dengan nol.

Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:

diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara dan ,

61

diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara dan , dan

diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, dan .

Contoh:

Tentukan titik potong antara:

a. y = 6 dengan y = x2 + 4x – 6

b. y = 5x -8 dengan y = x2 - 4x + 12

Jawab:

a. y = 6 dengan y = x2 + 4x – 6

Lakukan subsitusi antar persamaan, sehingga didapat persamaan baru berbentuk:

6 = x2 + 4x – 6 atau x2 + 4x -12 = 0

Dengan cara memfaktorkan didapat bentuk persamaan : (x+6) (x-2) = 0

x + 6 = 0 x1 = - 6

x - 2 = 0 x2 = 2

Titik potong antara dua kurva tersebut adalah (-6, 6) dan (2,6)

b. y = 5x - 8 dengan y = x2 - 4x + 12

Lakukan subsitusi antar persamaan, sehingga didapat persamaan baru berbentuk:

5x - 8 = x2 - 4x +12 atau x2 –9 x +20 = 0

Dengan cara memfaktorkan didapat bentuk persamaan : (x - 4) (x - 5) = 0

x - 4= 0 x1 = 4

x - 5 = 0 x2 = 5

Dari x1 = 4 y1 = 5x -8 = 5(4) - 8 = 20 – 8 =12

Dari x2 = 5 y2 = 5x -8 = 5(5) - 8 = 25 – 8 =17

Titik potong antara dua kurva tersebut adalah (4,12) dan (5,17)

c. Tentukan dengan metoda kurva/grafik untuk memperkirakan titik potong antara:

62

y = 4x3 +8x dengan y = x2 +2x +6

Jawab:

y1 = 4x3 +8x dengan y2 = x2 +2x +6 4x3 +8x= x2 +2x +6

4x3 - x2 +6x – 6 = 0

Tabel pembantu:

x y 1 y2

-3 -132 9 -2 -48 6 -1 -12 5 0 0 6 1 12 9 2 48 14 3 132 21

Diperkirakan nilai x= 0,9 , perkiraan y= 4x3 +8x=4(0,9)3+8(0,9) = 10,11 (mendekati

kurva sesungguhnya)

63

Kalau digunakan y = x2 +2x +6 = (0,9)2+2(0,9)+6= 8,61 (kurang sesuai dengan

kurva) , dapat diabaikan.

Kesimpulan : x =0,9 dan y =10,11

Catatan Cara ini kurang presisi (akurat) perlu dihindari

Ralat jawaban yang benar dengan cara Newton-Raphson x = 0,7826 dan

y = 4x3+8x = 4(0,7826)3 +8(0,7826) = 8,178 . Jadi titik potong antara dua kurva

tersebut adalah (0,7826 , 8,178)

d. Tentukan dengan metoda kurva/grafik untuk memperkirakan titik potong antara:

y = 4x +4 dengan yx2 = 3x2 +8x +4

Jawab:

y1 = 4x +4 dengan yx2 = 3x2 +8x +4

yx2 = 3x2 +8x +4 y2 = 3 +8/x + 4/x2

Tabel pembantu:

x y 1 y2

-3 -8 0.78 -2 -4 0 -1 0 -1

-0.5 2 3 -0.6 1.6 0.78

0 4 1 8 15 2 12 8 3 16 6.11

64

Berdasarkan kurva dapat diperkirakan bahwa harga x= 1,5 dan x = -0,7.

Untuk x = 1,5 y = 4x +4 = 4(1,5) + 4 = 10 dan untuk x = -0,7 y = 4x +4

y = 4 (-0,7)+ 4= 1,2. Didapat koordinat (1,5, 10) dan (-0,7, 1,2)

Latihan

Tentukan titik potong antara kurva:

a. y = 6 -2x dengan y = x2 + 4x – 6

b. y = -5x +8 dengan y = 2x2 - 4x – 12

c. y = 3x dengan y =5x2 -8x + 9

d. y = -6 dengan y = 4x2 - 4x – 8

e. y/x = -5 dengan y = 4x2 + 4x + 6

f. y/x = -5 - 4x dengan y = 4x2 + 4x + 6

Tugas

A. Tentukan akar-akar dari persamaan:

1. y =9 x2 + 4x – 10

y = 4x +4

y =3 +8/x + 4/x2

y =1,5 x=-

65

2. y = -2x2 + 4x - 5

3. y = -3 x2 - 2x +16

Uji akar yang didapat dengan persamaan

B. Tentukan titik potong antara kurva:

1. y = -6 -12x dengan y = 3x2 + 4x + 9

2. y = 5x + 10 dengan y = -2x2 + 4x – 12

3. y/x = -5 dengan y = -4x2 + 8x + 5

4. y/x = 5 + 6x dengan y = 9x2 + 6x – 6

5. y + 6 x = 9 dengan y = 2x2 - 4x – 12

6. y2 = x+1 dengan y = 3x + 4

7. y x2 = 2x +1 dengan y = 3x + 4

8. y + x2 = 2 dengan y = 2x + 3

V.8. Titik potong dua kurva non linier

Untuk menentukan titik potong antara dua kurva non linier dapat dilakukan dengan cara

subsitusi atau elemininasi.

Contoh:

1.Tentukan titik potong antara dua kurva yang mempunyai persamaan y = 2 x2 +3 x - 4

dan y = - x2 +5x +5

Jawab:

Digunakan penyelesaian dengan cara eliminasi

y = 2 x2 + 3 x - 4

y = - x2 + 5x + 5 -

66

0 = 3 x2 - 2 x - 9 atau 3 x2 - 2 x - 9 = 0

Harga akar-akar dicari dengan rumus a,b,c :

Mencari harga y1dan y2:

y1 =- x2 +5x +5= - (2,0972)2 + 5(2,0972) + 5 =11,0878

y2 =- x2 +5x +5= - (-1,4305)2 + 5(-1,4305) + 5 = - 4,1988

Jadi titk potong yang dimaksud adalah: (2,0972 , 11,0878) dan (-1,4305 , - 4,1988)

2. Tentukan titik potong antara dua kurva yang mempunyai persamaan

y = 2 x2 +3 x + 4 ............................(a)

dan

x2y = -3x – 5 ............................... (b)

Jawab:

Dari persamaan (b) : x2y = -3x – 5 y = -3/x – 5/x2 .................. (c)

Masukkan persamaan (c) ke persamaan (a):

-3/x – 5/x2 = 2 x2 +3 x + 4 kalikan dengan x2 , maka didapat:

- 3x - 5 = 2 x4 + 3 x3 + 4 x2 2x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 5 = 0

Penyelesaian menggunakan metoda Newton Raphson dengan bentuk formulasi:

xn+1 = xn –f(xn)/ f ’(xn)

67

f(xn) = 2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5

f ’(xn) =turunan pertama f(xn)

= 8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3

xn+1 = xn – {2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5}/{8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3}

Pilih harga awal (n = 0) atau x0 untuk menghitung xn+1, penghitungan dilakukan secara

terus menerus sampai didapat harga xn+1 mendekati konstan atau tetap.

Misal dipilih saat n =0 harga dari x0 = 0, sehingga didapat:

f ’(xn) = 8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3 f ’(x0) = 8x03 + 9x0

2 + 8x0+ 3

f ’(x0) = 8(0)3 + 9(0)2 + 8(0)+ 3=3

f(xn) = 2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5 f(x0) = 2x04 + 3x0

3 + 4x02 + 3x0 + 5

f(x0) = 2(0)4 + 3(0)3 + 4(0)2 + 3(0) + 5 = 5


x0+1 = x0 – f (x0)/f ’(x0) = 0 - 5/3= - 5/3 x1 = - 5/3 = -1,6667

Untuk n = 1

f ’(xn) = 8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3 f ’(x1) = 8x13 + 9x1

2 + 8x1+ 3

f ’(x1) = 8 (- 5/3)3 + 9(- 5/3)2 + 8(-5/3) + 3 = -22,3704

f(xn) = 2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5

f(x1) = 2x1 4 + 3x13 + 4x1

2 + 3x1 + 5=2(-5/3)4 + 3(-5/3)3 + 4(-5/3)2 +3( -5/3) + 5

=12,65432


x1+1 = x1 – f (x1)/f ’(x1)

x2 = - 5/3 – {12,65432/-22,3704} = -1.10099

Dari pembandingan harga x1 dengan x2 belum mendekati sama, sehingga perhitungan

terus dilakukan sampai mendekati harga yang sama atau mendekati sama (convergen).

68

Untuk n = 2

f ’(xn) = 8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3 f ’(x2) = 8x23 + 9x2

2 + 8x2+ 3

f ’(x2) = 8(-1.10099)3 + 9(-1.10099)2 + 8(-1.10099) + 3 = -5.57508 f(xn) = 2xn 4 + 3xn

3 + 4xn2 + 3xn + 5

f(x2) = 2x2 4 + 3x23 + 4x2

2 + 3x2 + 5 =2(-1.10099)4 + 3(-1.10099)3 + 4(-1.10099)2 +3(-1.10099)+5 = 5.480711


x2+1 = x2 – f (x2)/f ’(x2)

x3 = -1.10099 –{5.480711 /-5.57508} = -0.11792 Untuk n = 3 f ’(xn) = 8xn

3 + 9xn2 + 8xn+ 3 f ’(x3) = 8x3

3 + 9x32 + 8x3+ 3

f ’(x3) = 8(-0.11792)3 + 9(-0.11792)2 + 8(-0.11792) + 3 = 2.168669

f(xn) = 2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5

f(x3) = 2x3 4 + 3x33 + 4x3

2 + 3x3 + 5

=2(-0.11792)4 + 3(-0.11792)3 + 4(-0.11792)2 +3(-0.11792)+5 = 4.697328


x3+1 = x3 – f (x3)/f ’(x3)

x4 = - 0.11792 –{4.697328 /2.168669} = 2.048076

Untuk n = 4

f ’(xn) = 8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3 f ’(x4) = 8x43 + 9x4

2 + 8x4+ 3

f ’(x4) = 8(2.048076)3 + 9(2.048076)2 + 8(2.048076) + 3 = 125.863

f(xn) = 2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5

f(x4) = 2x4 4 + 3x43 + 4x4

2 + 3x4 + 5

=2(2.048076)4 + 3(2.048076)3 + 4(2.048076)2 +3(2.048076)+5 =88.88496


x4+1 = x4 – f (x4)/f ’(x4)

x5 = 2.048076 –{88.88496 /125.863} = 1.341872

Untuk n = 5

69

f ’(xn) = 8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3 f ’(x5) = 8x53 + 9x5

2 + 8x5+ 3

f ’(x5) = 8(1.341872)3 + 9(1.341872)2 + 8(1.341872) + 3 = 49.27018

f(xn) = 2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5

f(x5) = 2x5 4 + 3x53 + 4x5

2 + 3x5 + 5

=2( 1.341872)4 + 3( 1.341872)3 + 4( 1.341872)2 +3( 1.341872)+5 =29.96117


x4+1 = x5 – f (x5)/f ’(x5)

x6 =1.341872 –{29.96117/49.27018} = 0.733773

Untuk n = 6

f ’(xn) = 8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3 f ’(x6) = 8x63 + 9x6

2 + 8x6+ 3

f ’(x6) = 8(0.733773)3 + 9(0.733773)2 + 8(0.733773) + 3 =16.8766

f(xn) = 2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5

f(x6) = 2x6 4 + 3x63 + 4x6

2 + 3x6 + 5

=2(0.733773)4 + 3(0.733773)3 + 4(0.733773)2 +3(0.733773)+5 =11.12


x5+1 = x6 – f (x6)/f ’(x6)

x7 =0.733773 –{11.12/16.8766} = 0.074873

Untuk n = 7

f ’(xn) = 8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3 f ’(x7) = 8x73 + 9x7

2 + 8x7+ 3

f ’(x7) = 8(0.074873)3 + 9(0.074873)2 + 8(0.074873) + 3 =3.6528

f(xn) = 2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5

f(x7) = 2x7 4 + 3x73 + 4x7

2 + 3x7 + 5

=2(0.074873)4 + 3(0.074873)3 + 4(0.074873)2 +3(0.074873)+5 =5.24836


x7+1 = x7 – f (x7)/f ’(x7)

x8 =0.074873 –{5.24836/3.6528} = -1.36193

Untuk n = 8

70

f ’(xn) = 8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3 f ’(x8) = 8x83 + 9x8

2 + 8x8+ 3

f ’(x8) = 8(-1.36193)3 + 9(-1.36193)2 + 8(-1.36193) + 3 =-11.4112

f(xn) = 2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5

f(x8) = 2x8 4 + 3x83 + 4x8

2 + 3x8 + 5

=2(-1.36193)4 + 3(-1.36193)3 + 4(-1.36193)2 +3(-1.36193)+5 =7.636044


x8+1 = x8 – f (x8)/f ’(x8)

x9 =-1.36193 –{7.636044/-11.4112} = -0.69276

Untuk n = 9

f ’(xn) = 8xn3 + 9xn

2 + 8xn+ 3 f ’(x9) = 8x93 + 9x9

2 + 8x9+ 3

f ’(x9) = 8(-0.69276)3 + 9(-0.69276)2 + 8(-0.69276) + 3 = -0.8826

f(xn) = 2xn 4 + 3xn3 + 4xn

2 + 3xn + 5

f(x9) = 2x9 4 + 393 + 4x9

2 + 3x9 + 5

=2(-0.69276)4 + 3(-0.69276)3 + 4(-0.69276)2 +3(-0.69276)+5 =4.304625


x9+1 = x9 – f (x9)/f ’(x9)

x9 = - 0.69276 –{4.304625/-0.8826} = 4.18445

Harga x tidak ada yang memenuhi (tidak bisa mencapai konvergensi)

Dibuat tabel pembantu untuk menunjukkan perubahan kecenderungan perubahan dari

harga x dimulai dari harga awal x0=0, sebagai berikut:

n xn+1 Keterangan

0 -1,6667 divergen

1 -1.10099 divergen

2 -0.11792 divergen

3 2.048076 divergen

4 1.341872 divergen

5 0.733773 divergen

6 0.074873 divergen

71

7 -1.36193 divergen

8 -0.69276 divergen

Catatan cara Newton Raphson umumnya hanya membutuhkan langkah hitungan sekitar 3

sampai 5 kali saja sudah mencapai konvergen (tidak ada beda harga x yang berarti).

Artinya bila langkah hitungan telah melibihi dari lima tahapan, maka dimungkinkan

tidak ada jawaban yang memenuhi syarat untuk harga x.


y = x2 +3 x + 4 ............................(a)

dan

xy = -3x – 5 ............................... (b)

Dari persamaan (b) : xy = -3x – 5 y = -3 – 5/x .................. (c)

Masukkan persamaan (c) ke persamaan (a):

-3 – 5/x = x2 +3 x + 4 kalikan dengan x , maka didapat:

- 3x - 5 = 2 x3 + 3 x2 + 4 x 2x3 + 3x2 + 7x + 5 = 0

Penyelesaian menggunakan metoda Newton Raphson dengan bentuk formulasi:


f(xn) =2x3 + 3x2 + 7x + 5

f ’(xn) = 6x2 + 6x + 7

Pilih harga x0 = 0, untuk n = 0

f(x0) =2x03 + 3x0

2 + 7x0 + 5= 2(0)+3(0)+7(0)+5=5

f ’(x0) = 6x02 + 6x0 + 7=6(0)+6(0)+7=7

x0+1 = x0 –f(x0)/ f ’(x0)

x1 = x0 –f(x0)/ f ’(x0) = 0 – 5/7 = -5/7= - 0.71429 Untuk n=1

f ’(x1) =6x12 + 6x1 + 7= 6(- 0.71429)2+6 (- 0.71429)+7=5.775521

f(x1) =2x13 + 3x1

2 + 7x1 + 5= 2(- 0.71429)3+3(- 0.71429)2+7(- 0.71429)+5= 0.801725

72

x1+1 = x1 –f(x1)/ f ’(x1)

x2 = x1 –f(x1)/ f ’(x1) = - 0.71429-{0.801725/5.775521}= - 0.8531

Untuk n=2

f ’(x2) =6x22 + 6x2 + 7= 6(- 0.8531)2+6 (- 0.8531)+7=6.248078

f(x2) =2x23 + 3x2

2 + 7x2 + 5= 2(- 0.8531)3+3(- 0.8531)2+7(- 0.8531)+5= -0.0301

x2+1 = x2 –f(x2)/ f ’(x2)

x3 = x2 –f(x2)/ f ’(x2) = - 0.8531-{- 0.0301/6.248078}= - 0.8483

Untuk n=3

f ’(x3) =6x32 + 6x3 + 7= 6(- 0.8483)2+6 (- 0.8483)+7= 6.22788

f(x3) =2x33 + 3x3

2 + 7x3 + 5= 2(- 0.8483)3+3(- 0.8483)2+7(- 0.8483)+5= -0.00016

x3+1 = x3 –f(x3)/ f ’(x3)

x4 = x3 –f(x3)/ f ’(x3) = - 0.8483-{-0.00016/6.22788}= -0.84827

Untuk n=4

f ’(x4) =6x42 + 6x4 + 7= 6(- 0.84827)2+6 (- 0.84827)+7= 6.22775

f(x4) =2x43 + 3x4

2 + 7x4 + 5= 2(- 0.84827)3+3(- 0.84827)2+7(- 0.84827)+5= 3.03E-05

x4+1 = x4 –f(x4)/ f ’(x4)

x5 = x4 –f(x4)/ f ’(x4) = - 0.84827 -{3.03E-05/6.22775}= - 0.848265 (dianggap sudah

convergen atau mendekati sama dengan harga x sebelumnnya)

Menentukan harga y:

y = -3 – 5/x = -3 – {5/0,848265} = -8.89438 Jadi salah satu titik potong kedua kurva tersebut adalah{0,848265 , -8,89438}

Dibuat tabel pembantu untuk menunjukkan perubahan kecenderungan perubahan dari

harga x dimulai dari harga awal x0=0, sebagai berikut:

73

n xn+1 Keterangan

0 - 0.71429 Divergen

1 - 0.8531 Divergen

2 - 0.8483 Divergen

3 - 0.84827 Divergen

4 - 0.848265 Konvergen

(dianggap tidak ada

beda yang nyata

antara harga x)


3x2 – y2 = 26 ...................................(a)

dan

2x2 + 5y2 = 23 ............................... (b)

Jawab:

Penyelesaian dilakukan dengan eliminasi

Persamaan (a) dikalikan 2: 6x2 – 2y2 = 52

Persamaan (b) dikalikan 3: 6x2 +15y2 = 69 –

-17 y2 = - 17

y2 = 1 y = ± 1

Menentukan harga x:

Untuk y =1 3x2 – y2 = 26

3x2 – (1)2 = 26

3x2 = 27 x2 = 9

x = ± 3

Untuk y = -1 3x2 – y2 = 26

74

3x2 – (-1)2 = 26

3x2 = 27 x2 = 9

x = ± 3

Dengan demikian didapat titik potong antara dua kurva tersebut adalah: (3,1),(-3,1), (3,-

1) dan (-3,-1)

Latihan

Tentukan titk potong antara dua kurva berikut:

1. y = x2 +4 x + 4 dengan y = 3x2 + 8 x + 4

2. y = 4 x2 +9 x + 4 dengan y = 3x2 + 8 x + 2

3. y = x2 +5 x + 4 dengan y = x2 - 8 x + 4

4. y = -2x2 +4 x + 4 dengan y = -3x2 + 9 x + 4

5. y2 = x2 + 4 x + 4 dengan y = 3x2 + 8 x + 4

6. y = 12 x2 +4 x - 9 dengan y = x2 + 8/ x + 4

7. y = x2 +4 x + 4 dengan y x2 = 3x2 + 8 x + 4

(x2 +4 x + 4)(x2) = 3x2 + 8 x + 4

x4 +4 x3 + 4x2 = 3x2 + 8 x + 4

x4 +4 x3 + 4x2 -3x2 - 8 x – 4 = 0

x4 +4 x3 + x2 - 8 x – 4 = 0

8. x2 + 4 x + y2 + 4y = 41 dengan y/2 = 2/x

9. y = x2 +6 x + 9 dengan yx2 = 3x2 + 8 x + 4

75

(x2 +6 x + 9)( x2)= 3x2 + 8 x + 4

x4 +6 x3 + 9 x2= 3x2 + 8 x + 4

x4 +6 x3 + 6 x2 - 8 x - 4 =0

V.9. Linierisasi persamaan non linier

Linierisasi adalah proses pengubahan persamaan dari bentuk non linier menjadi linier atau

mengubah kurva garis lengkung menjadi garis lurus.

a. Persamaan y = ax2 + bx adalah non linier dapat diubah menjadi linier

dengan cara membagi y dengan x, sehingga persamaan menjadi:y/x= ax +b

dan untuk memudahkan pemahaman perubahan tersebut dapat dilihat pada

perubahan bentuk kurva yang dihasilkan.

b. Hasil linierisasi selengkapnya untuk berbagai persamaan non linier menjadi

linier dapat dilihat pada tabel berikut:

Persamaan untuk mencari a dan b: nb + a∑x = ∑Y/x……………...(1) b∑x+a∑(x)(x)=∑(x)(Y/x)=∑Y...(2)

Gambar 6. Sket kurva : Y = ax2 + bx Gambar 7. Sket kurva : Y/x = ax+b

Sket kurva non linierSket kurva linier

76

Persamaan untuk mencari a dan b: n log a + b∑ logx = ∑ log Y ....(1) log a ∑log x + b ∑(logx)(logx) = ∑(logx)(logY) ………. (2)

Persamaan untuk mencari a dan b: n lna + b∑x = ∑ ln y ……...(1) ln a∑x+ b∑(x)(x)=∑(x)(lnY) ..... (2)

Gambar 8. Sket kurva : Y = axb

Gambar 10.Sket kurva : Y = aebx

Gambar 9.Sket kurva:logY=loga+b logx

Gambar 11.Sket kurva:lnY=ln a + bx

Gambar 12.Sketkurva:Y= b/(1+ax) Gambar 13. Sket kurva : 1/Y =ax/b + 1/b

Sket kurva non linier Sket kurva linier



77

Persamaan untuk mencari a dan b: n1/b+a/b∑x=∑1/Y ………...(1) 1/b∑x +a/ b∑(x)(x) =∑(x)(1/Y).. (2)

V.10. Aplikasi kurva dan persamaan non linier

1. Diketahui dari percobaan pencahayaan pada permukaan lantai dari penggunaan

beberapa lampu dengan jarak tertentu terhadap kuat cahaya didapatkan data

sebagai berikut:

No Jarak lampu (d), meter Kuat cahaya (I), unit

1 1 270

2 1,5 120

3 2 67,5

4 2,5 43,2

5 3 30

6 3,5 20

7 4 16,9

Dengan menggunakan bantuan kurva tafsirkan atau perkirakan :

a. Kuat cahaya ketika jarak lampu sejauh 2,4 m terhadap lantai

b. Jumlah lampu minimum yang dibutuhkan untuk menghasilkan kuat cahaya 140 unit

pada jarak pencahayaan 2,7 m

Jawab:

78

a. Pada jarak pencahayaan 2,4 m diperkirakan bahwa berdasarkan penarikan garis

merah didapat kuat cahaya sekitar 49 unit

b. Pada jarak 2,7 m diperkirakan bahwa berdasarkan penarikan garis biru muda

didapat kuat cahaya sekitar 38 unit. Dengan demikian diperkirakan jumlah lampu

yang dibutuhkan sekitar : 140/38 = 3,6842 dibulatkan menjadi 4 lampu

Catatan:

Pembacaan dengan kurva berupa garis lengkung sangat tidak teliti, karena setiap

orang bisa berbeda penafsiran. Oleh karena itu cara ini harus dihindari dan disarankan

menggunakan kurva linier (dilakukan proses linierisasi terlebih dahulu).

Melihat kecenderungan kurva yang diperoleh dimungkinkan data dapat diwakili

bentuk persamaan umum: I = a d b , dengan a dan b adalah tetapan yang harus dicari

lewat proses linierisasi. Dalam hal ini model persamaan linier yang digunakana

adalah: log I = log a + b log d. Dibuat tabel pembantu berikut:

d I log d log I log d . log d log d . log I

1 270 0 2.43 0 0

1,5 120 0.18 2.08 0.0324 0.3744

79

2 67,5 0.3 1.83 0.09 0.549

2,5 43,2 0.4 1.64 0.16 0.656

3 30 0.48 1.48 0.2304 0.7104

3,5 20 0.54 1.3 0.2916 0.702

4 16,9 0.6 1.23 0.36 1.134

∑=2.5

∑=11.99

∑=1.1644 ∑= 3.7298

Digunakan persamaan statistik:

n log a + b∑ logd = ∑ log I .................................………....(1)

log a ∑log d + b ∑(log d)(log d) = ∑(log d)(log I) ………. (2)

7 log a + 2.5 b = 11.99 ….... (3)

2.5 log a +1.1644 b = 3.7298 ………(4)

Persamaan (3) x 2.5 : 17.5 log a + 6.25 = 29.975

Persamaan (4) x 7 : 17.5 log a + 8.1508b = 26.1086 –

-1.9008 b = 3.8664

b = -2.0341

Dari persamaan (3): 7 log a + 2.5 b = 11.99

7 log a + 2.5 (-2.0341) =11.99

7 log a = 2.5 (2.0341) + 11.99

7 log a = 17.0753

log a = 2.4393 a = 274.9793

Jadi persamaan untuk data adalah I = 274.9793 d – 2.0341

Bila menggunakan excel didapat kurva berikut:

80

Didapat harga b =-2,034 dan log a = 2,439 a = 274,79, sehingga didapat

persamaan: I = 274,79 d -2.034 (tidak jauh dengan hitungan dari statistik

yaitu I = 274.9793 d – 2.0341)

Untuk d = 2,4 I = 274,97(2,4) -2.0341 = 46.33377 unit Untuk d= 2,7 I = 274,97(2,7) -2.0341 = 36.4626 unit, jumlah lampu yang

dibutuhkan = 140/36.4424 = 3.84 = 4 lampu

2. Diketahui dari percobaan pengosongan kapasitor didapat data sebagai berikut:

No Waktu pengosongan (t), menit Arus yang dikeluarkan (I),

amper

1 10 12,1

2 20 7,36

3 40 2,71

4 60 0,996

5 80 0,366

Bila hubungan antara arus (I) dengan waktu pengosongan (t) dinyatakan sebagai: I

= a ekt , dengan e = bilangan alam = 2,72, a dan k adalah tetapan (konstanta),

maka:

81

a. Tentukan harga dari a dan k

b. Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai arus 50% dari arus semula

Jawab:

a. Dibuat kurva hubungan antara waktu (t) dan arus (I)

Nampak bahwa kurva hubungan antara waktu dan arus tidak linier dan diperkuat

pula dengan persamaan pengganti yang bebentuk : I = a ekt . Untuk menjamin

hasil yang akurat dalam menentukan harga a dan k sebaiknya kurva di buat garis

linier dan persamaan pengganti juga dibuat linier dengan bentuk menjadi:ln I = ln

a +kt. Dengan demikian data diubah manjadi

No t, menit I, amper ln I

1 10 12,1 2,493

2 20 7,36 1,996

3 40 2,71 0,997

4 60 0,996 -0,004

5 80 0,366 -1,005

82

Dari kurva hubungan antara ln I terhadap waktu (t), nampak bahwa sekarang

diperoleh kurva yang linier. Dengan bantuan statistik harga a dan k dicari dengan

peresamaan berikut:

n ln a + k∑ t =∑ln I ..........................(1)

ln a∑ t + k∑(t.t) =∑(ln I.t) ......... (2)

dengan n adalah jumlah data, dalam hal ini n = 5

Dibuat tabel pembantu:

t I ln I (t).(t) (ln I).(t)

10 12,1 2,493 100 24,93

20 7,36 1,996 400 39,92

40 2,71 0,997 1600 39,88

60 0,996 -0,004 3600 -0,24

80 0,336 -1,005 6400 -80,4

∑=210 ∑=4,477 ∑=12100 ∑=24,09

Diperoleh bentuk persamaan berikut:

5 ln a + 210 k = 4,477 ................. (3)

210 ln a + 12100k =24,09 ............(4)

Persamaan (3) x 210: 1050 ln a + 44100 k = 940,17

Persamaan (4) x 5: 1050 ln a + 60500 k = 120,45 –

-16400 k = 819,72

k = - 0,050

Dari persamaan (3): 5 ln a + 210 k = 4,477

5 ln a + 210 (-0,050) = 4,477

83

5 ln a – 10,5 = 4,477

5 ln a = 14,977

ln a = 2,9954

a = 19,9933

Persamaan sebenarnya untuk data percobaan adalah:

I =19,9933 e-0,050 t

b.Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai arus 50% dari arus semula dihitung

sebagai berikut:

Arus mula-mula adalah saat t= 0 I = 19,9933 e-0,050 t

= 19,9933 e(-0,050)(0)

= 19,9933 (1)

= 19,9933 A

Sehingga untuk arus 50% adalah 50% x 19,9933 A = 9.99665 A

I =19,9933 e-0,050 t

9.99665 = 19,9933 e-0,050 t

ln 9.99665 = ln19,9933+ ln e-0,050 t

ln 9.99665 = ln19,9933 + (– 0,050 t)

2,3023 = 2,9953 – 0,050 t

0,050 t = 2,9953 – 2,3023

0,050 t = 2,9953 – 2,3023

0,050 t =0,693 t =13,86 menit

Jadi waktu yang dibutuhkan untuk mencapai 50 % dari arus semula adalah

13, 86 menit

3. Data percobaan pengukuran antara konduktivitas (σ) terhadap suhu (T) pada

bahan semikonduktor murni Ge didapat sebagai berikut :

T, °C 10 56 140 215

σ, ohm-1 . m-1 1 10 100 800

84

Berdasarkan data diatas perkiraan besar harga energi gap (Eg) untuk bahan

tersebut (perlu diingat bahwa menurut tabel harga Eg untuk Ge adalah 0,7 eV).

Persamaan untuk data tersebut dinyatakan sebagai:

σ = σ0 kT

Eg

e 2−

Jawab :

Dari persamaan: σ = σ0 kT

Eg

e 2−

nampak bahwa hubungan antara σ terhadap T

adalah tidak linier dan diperkuat dengan kurva berikut:

Untuk menjamin keakuratan dalam menentukan energi gap (Eg), maka persamaan

σ = σ0 kT

Eg

e 2−

diubah menjadi:

ln σ = ln σ0 + ln kTEg

e 2−

ln σ = ln σ0 kTEg2

−

Hubungan antara ln σ dengan 1/T adalah linier yang diperkuat dengan kurva

berikut:

1/T : 3,54 x 10-3 3,04 x10-3 2,42 x 10-3 2,05 x 10-3

ln σ : 0 2,30 4,61 6,68

85

Nampak dari kurva bahwa garis merah merupakan garis linier hasil pendekatan

dengan persamaan: ln σ = ln σ0 kTEg2

− dan dinyatakan sebagai:

ln σ = 14,95 – (4229)(1/T) , nampak dari persamaan diperoleh bahwa :

ln σ0 = 14,95 dan Eg/2k = 4229 Eg = (2k)(4229)

= (2)( 86,1 x10-6)( 4229)

= 0,73 eV

Bila evaluasi dengan cara statistik,maka digunakan persamaan (1) dan (2) :

∑ ∑=− σIn T1 bna .................................... (1)

86

∑∑∑

=

−

T1 )(In

T1

T1

T1 σba ........... (2)

Catatan a = ln σ0

kEgb2

=

Untuk membantu supaya mudah dalam penggunaan persamaan (1) dan (2) dibuat

tabel berikut :

° C

T, K

σ, ohm-1.m-1

T1

ln σ

TT11

(ln σ) (T1 )

10 283 1 3,54 x 10-3 0 12,53 x 10-6 0

56

392

10

3,04 x10-3

2,30

9,24 x 10-6

6,99 x 10-3

140 413 100 2,42 x 10-3 4,61 5,86 x10-6 11,16 x 10-3

215 488 800 2,05 x 10-3 6,68 4,20x10-6 13 x 10-3

∑=11,05 x10-3

∑= 13,59

∑=31,83x10-6

∑= 31,84x10-3

Masukkan hasil penjumlahan diatas kedalam persamaan (1) dan (2).

4a – 11,05 x10-3b = 13,59 .......................................................(3)

11,05 x10-3 a – 31,83 x 10-6 b = 31,84x10-3......................... (4)

Dalam data diatas jumlahnya adalah 4, maka n =4.

Untuk mengevaluasi harga Eg yang perlu dicari adalah nilai b, karena :

k

Egb2

= ..................... (5)

atau

Eg = 2k b ....................... (6)

87

Dari persamaan (6) harga Eg bisa dicari.

Penyelesaian persamaan (3) dan (4) adalah sebagai berikut :

Pers (3) x11,05 x 10-3 : 44,2 x 10-3a – 122,10 x 10-6 b = 150,17 x 10-3

Pers (4) x 4 : 44,2 x 10-3a – 127,32 x 10-6 b = 127,36 x 10-3 -

5,22 x 10-6 b = 22,81 x 10-3

6

3

1022,51081,22

−

−

××

=b

= 4,37 x 103

= 4370 Dari persamaan (5) : Eg = 2kb

= 2 (86,1 x 10-6) (4,37 x 103)

= 0,75 eV

Tugas

Tentukan titik potong antara dua kurva berikut:

1. y = 0,5 x2 + 9 x + 4 dengan y = 3x2 + 8 x - 7

2. y = x2 +4 x + 4 dengan yx = 3x3 + 8 x + 4

3. x2 + xy = 3 dengan 2x2 - 3 xy + 4y2 =12

4. x2 - yx + y2 = 21 dengan xy = 5

5. 2x = 8 dengan 4(x-1)(x-1) = 0,25

6. Data pengukuran antara suhu (T) terhadap konduktivitas (σ) dari Si menunjukkan

sebagai berikut :

T, °C σ ohm-1. m-1

30 6,59 x 10-29

40 1,29 x 10-28

50 2,43 x 10-28

88

60 4,40 x 10-28

70 7,71 x 10-28

Perkiraan berapa harga Eg (energi gap) bahan tersebut.

7. Diketahui dari percobaan pengosongan kapasitor didapat data sebagai berikut:

No Waktu pengosongan (t), menit Arus yang dikeluarkan (I),

amper

1 2 81,9

2 4 67,0

3 6 54,9

4 8 44,9

5 10 36,8

Bila hubungan antara arus (I) dengan waktu pengosongan (t) dinyatakan sebagai: I

= a ekt dengan a dan k adalah tetapan (konstanta), maka:

a. Tentukan harga dari a dan k

b. Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai arus 20% dari arus semula

8. Data hasil pengukuran tegangan (V) dan arus listrik (I) menunjukkan sebagai

berikut:

No Tegangan (V), Volt Arus (I), amper

1 5 0,41

2 10 0,78

3 15 1.14

4 20 1,51

89

5 25 1,76

6 30 2,22

7 35 2,69

8 40 3,01

9 45 3,40

10 50 3,76

a. Dengan menggunakan bantuan kurva tentukan bentuk persamaan yang cocok

untuk data tersebut (gunakan hukum Ohm I = V/R), atau dengan pendekatan

umum sebagai I = aV + b dimana a= 1/R atau R = 1/a

b. Perkirakan nilai tahanan (R) yang digunakan untuk percobaan (gunakan

pendekatan R = 1/a).

9. Diketahui dari percobaan pencahayaan pada permukaan lantai dari penggunaan

beberapa lampu dengan jarak tertentu terhadap kuat cahaya didapatkan data

sebagai berikut:

No Jarak lampu (d), meter Kuat cahaya (I), unit

1 2 360

2 4 90

3 6 40

4 8 22,5

5 10 14,4

Tentukan kuat cahaya pada waktu lampu diturunkan 7 m dari permukaan lantai,

apabila data diwakili dengan persamaan I = a db dengan a dan b adalah tetapan.

90

V.11. Daftar Pustaka: …….., 1982. Aljabar Semester 1 dan 2. Edisi pertama, Departemen Elekteronik


91

BAB VI. PERSAMAAN LINIER

VI.1. Pendahuluan

Persamaan linier adalah persamaan yang mempunyai satu variabel bebas dengan orde satu

atau pangkat satu. Ciri dari persamaan linier adalah antara variabel bebas (dependen) dan

tidak bebas (independen) selalau berbanding lurus dan biasanya kurva hubungan antara

kedua variabel tersebut selalu berbentuk garis lurus atau linier.

VI.2. Kurva atau grafik persamaan linier

Sebagaimana telah disebutkan pada pendahuluan bahwa pada umumnya persamaan linier

mempunyai bentuk kurva berupa garis lurus. Kecenderungan atau arah kurva tergantung

dari angka arah atau slope dan juga harga intersep atau titik potong dengan sumbu y.

y = ax + b

Ө

Gambar 14. Sket kurva hubungan y terhadap x dari persamaan y= ax +b

Dari gambar 14 nampak bahwa kurva hubungan antara y terhadap x cenderung miring ke

kanan, karena angka arah (a) berharga positip dan kurva memotong pada sumbu y

positip, karena kurva mempunyai intersep (b) positip.

. y = - ax + b

Ө

Gambar 15. Sket kurva hubungan y terhadap x dari persamaan y= - ax +b

y

x

a = angkaarah a= tgӨ b = intersep

x

a = angka arah = tg Ө b = intersep

92

Dari gambar 15 nampak bahwa kurva hubungan antara y terhadap x cenderung miring ke

kiri, karena angka arah (a) berharga negatip dan kurva memotong pada sumbu y positip,

karena kurva mempunyai intersep (b) positip.

Gambar 16. Perubahan kecenderungan terhadap perubahan angka arah (a)

Dari gambar 16 semakin besar harga a, maka kurva semakin bergeser mengarah sumbu y

atau bergerak ke arah kuadran dua.

Gambar 17. Kecenderungan pergeseren intersep karena perubahan konstanta b

Dari gambar 17 semakin besar harga b, maka intersep semakin bergeser keatas

meninggalkan titik (0,0). Gambar 18 menunjukkan perbandingan kecenderungan

93

kemiringan kurva sebagai akibat perbedaaan angka arah (a) atau slope. Sebagaimana

telah disebutkan bahwa untuk harga slope positip, maka kurva cenderung miring ke

kanan. Sedangkan untuk harga slope negatip, maka kurva cenderung miring ke kiri. Perlu

diketahui juga bahwa slope atau angka arah sebenarnya dapat dihitung dari tg Ө, dalam

hal ini Ө merupakan sudut yang dibentuk antara perpotongan sumbu x dengan garis dari

kurva yang terbentuk (tg Ө = a).

Gambar 18. Kurva perubahan arah akibat perubahan harga a (slope)

Contoh:

Berdasarkan kurva berikut tentukan bentuk persamaan penggantinya yang paling sesuai.

Jawab:

Berdasarkan gambar nampak bahwa harga intersep (b) adalah 0 (nol), karena kurva tepat

melewati titik (0,0). Sedangkan harga tg Ө =2/2 =1 atau a = 1. Dengan memasukkan

persamaan umum linier y = ax + b, maka didapat bahwa : y = x. Atau dapat juga dicari

lewat koordinat yang terbentuk, misal (-4, -4), (0,0), (2,2) lalu digunakan persamaan

Ө Ө

b

-b

94

garis (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) (y-0)/(2-0) = (x-0)/(2-0) , y/2=x/2 atau y = x.

Berdasarkan persamaan y=x, maka titik-titik koordinat dapat dianalisis sebagai berikut:

x : -4 0 2 4

y : -4 0 2 4

Letak titik-tik koordinat tersebut sangat sesuai dengan koordinat yang ditampilkan pada

kurva diatas. Sehingga dapat dsimpulkan bahwa y = x merupakan jawaban untuk soal

yang dimaksud.

VI.3. Penyelesaian dua atau lebih sistem persamaan linier

VI.3.1. Penyelesaian dengan cara eliminasi

Cara ini dilakukan dengan menghilangkan salah satu variabel yang ada pada persamaan

tersebut boleh yang bebas atau yang tidak bebas.

Contoh

Selesaikan persamaan linier simultan berikut:

1. y = 2x – 4 .............................(a)

y = - 4x + 6 ............................(b)

Jawab:

y = 2x – 4

y = -4x + 6 -

0= 6 x -10 6 x =10

x = 10/6 = 1,6667

y = 2x - 4 = 2(1,6667) - 4 = - 0.6666 atau y =2(10/6)-4=20/6-24/6 =-4/6

Uji kebenaran jawaban y = - 4x + 6 = -4(1,6667) +6 = -0.6668 (mendekati – 0,6666)

y = - 4x + 6 - y +4x = 6

-4/6 +4(10/6) = 6

36/6 = 6

6 = 6 (ok)

2. 2x – 4y + 3 z =2 .............................(a)

4x + 6y – 4z = 0 .............................(b)

6x – 8y - 2 z = 2 .............................(c)

Jawab:

95

Eliminasi persamaan (a) dan (b)

Persamaan (a) x 2 : 4x – 8y + 6 z =4

4x + 6y – 4z = 0 -

-14 y + 10 z = 4 ……(d)

Eliminasi persamaan (a) dan (c)

Persamaan (a) x 3: 6x – 12y + 9 z =6

6x – 8y - 2 z = 2 –

-4 y +11 z = 4 ……(e)

Eliminasi persamaan (d) dan (e)

Persamaan (d) x 4: -56 y +40 z = 16

Persamaan (e) x 14: -56 y +154 z =56 –

-114 z = - 40 z = 40/114

Dari persamaan (e): - 4 y +11 z = 4 - 4 y + 11 (40/114) = 4

-4 y +440/114 = 4

- 4y =4 - 440/114 = (456 - 440)/114

-4y = 16/114 y = - 4/114

Dari persamaan (a): 2x – 4y + 3 z =2

2x – 4 (- 4/114) + 3 (40/114) =2

2x = - 4(4/114) - 3 (40/114) +2

= - 16/114 – 120/114 + 228/114

2x = (228-16-120)/114 = 92/114

x = 92/228

Uji kebenaran jawaban: 2x – 4y + 3 z =2

2(92/228) – 4(-4 /114) + 3(40/114) =2 ?

(92/114) – 4(-4 /114) + 3(40/114) =2 ?

(92+16+120)/114 =2?

228/114 = 2?

2 = 2 (ok)!

Jadi: x = 92/228 = 0,4035

y = -4/114 = -0,0351

z = 40/114 = 0,3509

96

3. 2x – 4y + 3 z + 2 m = 2 .............................(a)

4x + 6y – 4z -5 m = 0 ........................... (b)

6x – 8y- 2 z + 4 m = 2 .............................(c)

5x – 6y- 3 z + 2 m = 0 .............................(d)

Jawab:

Lakukan eliminasi persamaan (a) dan (b):

Persamaan (a) x 2: 4x – 8y + 6 z + 4 m = 4

4x + 6y – 4z -5 m = 0 –

-14 y +10 z +9 m =4 …............ (e)

Lakukan eliminasi persamaan (a) dan (c):


6x – 8y - 2 z + 4 m = 2 -

-4 y +11 z +2 m = 4 ……….........(f)

Lakukan eliminasi persamaan (a) dan (d):


Persamaan (d) x 2: 10x – 12y- 6 z + 4 m = 0 -

-8 y +21 z +6 m = 10 ……….......(g)

Lakukan eliminasi persamaan (e) dan (f):

Persamaan (e) x 4: -56 y +40 z +36 m = 16

Persamaan (f) x 14: -56y +154 z +28 m = 56 -

-114 z + 8 m = -40 ……….............(h)

Lakukan eliminasi persamaan (e) dan (g):

Persamaan (e) x 8: -112 y +80 z +72 m = 32

Persamaan (f) x 14: -112y +294 z +84 m = 140 -

-214 z -12 m = -108 ………......, (i)

Lakukan eliminasi persamaan (h) dan (i):

-114 z + 8 m = -40 ……….............(j)

-214 z -12 m = -108 ……….......(k)

Persamaan (h) x 12: -1368 z + 96 m = - 480

Persamaan (i) x 8: -1712 z - 96 m = - 864 +

97

-3080 z = - 1344 z = 1344/3080 = 0,44

Dari persamaan (i): -214 z -12 m = -108

-214 (0,44) -12 m = -108

-12 m = -108 + 94,16 = - 13,84

m = 1,15

Dari persaman (g): -8 y +21 z +6 m = 10

-8 y +21(0,44) + 6 (1,15) = 10

-8 y = 10 - 21(0,44) - 6 (1,15) = -6,14

y = 0,7675

Dari persamaan (b): 4x + 6y – 4z -5 m = 0

4x + 6( 0,7675) – 4(0,44) -5(1,15) = 0

4x = - 6(0,7675) + 4(0,44) +5( 1,15)= 2,905

x = 0,72625

Uji kebenaran jawaban:

5x – 6y - 3 z + 2 m = 0

5(0,72625) – 6( 0,7675) - 3(0,44) +2(1,15) = 0?

0,00625=0? Dianggap 0 = 0 Jadi didapat jawaban: x = 0,72625

y = 0,7675

z = 0,44

m =1,15

VI.3.2. Penyelesaian dengan metode Cramer (matriks)

Contoh

Selesaikan persamaan linier simultan berikut:

1. y = 2x – 4 .............................(a)

y = -4 x+ 6 ............................ (b)

Jawab:

-2x + y = - 4

4 x + y = 6

Bentuk matriks dari persamaan adalah:

98

Harga determinan dari matriks adalah: = [(-2)(1)-(1)(4)] = - 6

Menentukan harga :

Uji kebenaran hasil hitungan: y = 2x – 4

-0.6667 = 2(1.6667) -4

-0.6667 = -0.6666 (ok)

Jadi x = 1,6667 dan y = -0,6667

2. 2x – 4y + 3 z =2 ..............................(a)

4x + 6y – 4z = 0 ............................. (b)

6x – 8y- 2 z = 2 ............................. (c)

Jawab:

Bentuk matriks dari persamaan adalah:

Harga determinan dari matriks adalah:

= [(2)(6)(-2)+(-4)(-4)(6)+(4)(-8)(3)-[(3)(6)(6) +(-4)(4)(-2)+(-4)(-8)(2)]=-228

Menentukan harga :

99

Uji kebenaran hasil hitungan: 2x – 4y + 3 z =2

2(0,4035) – 4(- 0,0351) + 3(0.3509) =2 ?

2,0001 = 2 ? dianggap sama 2 = 2 (ok!)

VI.4. Aplikasi persamaan non linier

Persamaan non linier dalam Teknik Elektro banyak dipakai untuk memaentu

menyelesaikan rangkaian listrik arus searah (DC). Persamaan linier yang dihasilkan dari

hasil analisis loop dapat diselesaikan dengan cara eliminasi,subsitusi atau metoda Cramer.

Namun disarankan jika terbentuk tiga persamaan linier, maka sebaiknya digunakan

metoda Cramer (matriks).

Contoh:

1. Tentukan I1 dan I2 dari rangkaian listrik berikut:

100

Analisis loop untuk I2:

∑V = 0

8 I2 + 6I2 + 4 I2 – 4I1= 0

-4 I1 + 18 I2 = 0 …………(2)

Dengan metode eliminasi harga I1 dan I2 dicari sebagai berikut:

Persamaan (1) x 4 : 24 I1 - 16 I2 = 48

Persamaan (2) x 6 : -24 I1 +108 I2 = 0 +

92 I2 = 48

I2 = 48/92 amper

Dari persamaan (2): -4 I1 + 18 I2 = 0

-4 I1 + 18 (48/92) = 0 - 4 I1 = -864/92

I1 = 216/92 amper

Penyelesaian dengan metoda Cramer

Dari persamaan : 6 I1 - 4 I2 = 12

-4 I1 + 18 I2 = 0

Bentuk matriks dari persamaan tersebut adalah:

│ 6 - 4 │

│-4 18│ 108‐16 92 Menghitung I1: │ 12 - 4 │

Jawab:

Analisis loop untuk I1:

∑V = 0

2 I1 +4 I1 - 4 I2 – 12= 0

6 I1 - 4 I2 = 12 …………(1)

101

│ 0 18│ 216 I1 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐ amper 92 Menghitung I2: │ 6 12 │

│ - 4 0 │ 48 I2 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐ amper 92 2. Lihat rangkaian berikut kemudian hitung I1, I2 dan I3

Jawab:

Analisis loop ABCD (loop I1): -10I1 + 10I3 - 10I1 + 10I2 -5I1+20 = 0

-25 I1 +10 I2+10 I3 = - 20 .............. (1)

Analisis loop BEFCB (loop I2) : -18I2 -10I2 + 10I1 -4I2 = 0

10I1 – 32 I2 = 0 ...........................(2)

Analisis loop DCHGD (loop I3): -10I3 + 10I1 - 12I3 +10 = 0

10I1 - 22I3 = -10 .........................(3)

102

Persamaan 1,2 dan 3 diselesaikan dengan subsitusi:

Dari persamaan 2: 10I1 – 32 I2 = 0 -32 I2 = -10I1

I2 = (10/32) I1 ..........................(4)

Dari persamaan 3: 10I1 – 22 I3 = -10 - 22 I3 = - 10I1 -10

I3 = (10 I1 +10)/22 ..........................(5)

Masukkan persamaan 4 dan 5 ke persamaan 1:

-25 I1 +10 I2+10 I3 = - 20

-25 I1 +10 (10/32)I1+10[(10 I1 +10)/22 ] = - 20

-25 I1 + 3,125I1+ 4,5454 I1 + 4,5454 = - 20 -17,3296 I1= -24,5454

I1= 1,4164 amper (arah arus harus dibalik)

I2 =(10/32) I1 = (10/32)( 1,4164) = 0,4426 amper (arah arus harus dibalik)

-25 I1 +10 I2+10 I3 = - 20

-25(1,4164) +10 (0,4426) +10 I3 = - 20

-35,41 + 4,426 + 10 I3 = -20

10 I3 =10,984

I3 = 1,0984 amper (arah arus harus dibalik)

Uji kebenaran jawaban: -25 I1 +10 I2+10 I3 = - 20

-25 (1,4164) +10(0,4426)+10 (1,0984) = - 20

-20 = -20 (ok!)

Atau : 10I1 - 22I3 = -10 10(1,4164) -22(1,0984) = -10

14,164 – 24,1648 = -10

-10,008 = - 10 dianggap -10 = -10

Penyelesaian dengan metoda Cramer:

Dari persamaan :

-25 I1 +10 I2+10 I3 = - 20

10I1 – 32 I2 = 0

10I1 - 22I3 = -10

Diuat matriks sebagai berikut:

│ -25 10 10│

│ 10 -32 0│ = - 17600+ 3200 +2200 = -12200

103

│ 10 0 -22│

Menghitung I1:

│ -20 10 10│

│ 0 -32 0│

│ -10 0 -22│ - 14080 - 3200

I1 = -------------------------------- = ------------------- = 1,4164 amper ‐12200

Menghitung I2:

│ -25 -20 10│

│ 10 0 0│

│ 10 -10 -22│ -1000 - 4400

I2 = -------------------------------- = --------------------------- = 0,4426 amper ‐12200

Menghitung I3:

│ -25 10 -20│

│ 10 -32 0│

│ 10 0 -10│ - 8000 – 6400 +1000

I3 = -------------------------------- = ---------------------------- = 1,098 amper ‐12200

Latihan Selesaikan persamaan linier berikut:

1. 2x + 5y = 9 .................... (1)

6x - 8y = 0,5 ..................(2)

2. 3x + 5y + 10 z = 6 .......... (1)

-5x - 8y + 7 z = 2 ...........(2)

9x + 8y + 20 z = 16 ..........(3)

104

3. Lihat rangkaian berikut kemudian hitung I1 dan I2

A B F

5 Ohm 18 Ohm

+- 20 V I1 10 Ohm I2

D C G

4 Ohm

Tugas 1.Lihat rangkaian berikut kemudian hitung I1, I2 dan I3

A B E 15 Ohm 6 Ohm +- 20 V I1 5 Ohm I2

D C F 10 Ohm _ 4 Ohm

10V +

8 ohm I3

G H

2.Lihat rangkaian berikut kemudian hitung I1 dan I2

A B F 5 Ohm 18 Ohm +- 20 V I1 10 Ohm I2

D C G

105

4 Ohm

3.Selesaikan persamaan:

3x – 2y + 5 z + 2 m = 5 ............................ (1)

4x - 5y – 4z - 5 m = 2 .............................. (2)

3x – 6y- 2 z + 6 m = 4 ............................. (3)

5x – 6y- 3 z + 2 m = 0 ............................. (4)

VI.5. Daftar Pustaka

Hayt, W.H., 1989. Engineering Electronics. Fith Edition, Mc Graw Hill International

Aditions,Toronto. pp. 34-106, 188-204

Donovan, R., 2002. Electronics Mathematics. Second Edition, Prentice Hall, Ohio. pp.266-331,

332-348, 432-450,452-547, 586-614

Kreyzig, E., 1979. Advenced Engineering Mathematics. 4nd, John Willey and Sons, New York.

106

BAB VII. BILANGAN KOMPLEKS VII.1. Pendahuluan

Bilangan kompleks adalah gabungan bilangan riil (nyata ) dengan bilangan khayal

(imajiner) atau bilangan yang hanya mengandung bilangan khayal saja. Dalam

bidang Teknik Elektro bilangan kompleks banyak dimanfaatkan untuk membantu

memecahkan persoalan rangkaian listrik arus boak-balik. Dalam menyatakan bilangan

kompleks dapat dilakukan dengan beberapa pilihan antara lain dalam bentuk umum

(rectangular), eksponensial, trigonometri dan polar. Bentuk polar dan eksponensial

biasanya dipakai untuk operasional perkalian dan pembagian, sedangkan bentuk

rectangular banyak dipakai untuk operasional penjumlahan dan pengurangan.

VII.2. Bentuk umum (rectangular) bilangan kompleks

Secara umum bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai:

dengan:

a : bagian riil (nyata)

b: bagian imajiner (khayal)

j: = bilangan khayal

107

Model bilangan ini banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan penjumlahan dan

pengurangan.

Contoh:

1. Diketahui: Z1 = 2 + j4 dan Z2 = -5- j6

Tentukan :

a.Z = Z1 + Z2

b.Z = Z1 - Z2

Jawab:

a.Z = Z1 + Z2

= (2 + j4) +( -5- j6)

= [2 + (-5)] + j (4-6)

= [2-5] + j (-2)

= -3 - j2

b.Z = Z1 - Z2

= (2 + j4) –[ -5- j6]

= 2 +j4 +5+ j6

= (2 +5) +j(4+6)

= 7 + j10

2. Diketahui: Z1 = 5 – j8 dan Z2 = -3+ j4

Tentukan :

a.Z = Z1 + Z2

b.Z = Z1 - Z2

Jawab:

a.Z = Z1 + Z2

= (5 – j8) + ( -3+ j4)

= (5-3) +j ( -8+4)

= 2 –j4

b.Z = Z1 - Z2

= (5 – j8) - ( -3+ j4)

= 5 –j8 +3 –j4

108

= (5+3) + j(-8 - 4)

= 8 + j (-12)

= 8 – j12

VII.3. Bentuk trigonometri bilangan kompleks

Dari bentuk umum bilangan kompleks:

Mengingat bilangan kompleks merupakan bentuk vektor, maka bilangan kompleks dapat

digambarkan dalam bentuk diagram Argan sebagai berikut:

+jb

+a -a -jb

Z =a+jb, Z bentuk vektor r2 = a2 + b2

r r =

b

Ө a

Ө = arc tg (b/a) = tg-1(b/a) Didapatkan hubungan bahwa:

b = r Sin Ө

a = r Cos Ө

Ө= arc tg (b/a)

Dengan demikian Z = a +jb dapat dinyatakan sebagai:

109

Z = r Cos Ө + j r Sin Ө

Z = r (Cos Ө + j Sin Ө) ………………(2)

Persamaan (2) merupakan pernyataan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri.

Pernyataan selengkapnya bilangan kompleks dalam diagram Argand dapat digambarkan

sebagai berikut:

Contoh

1. Diketahui Z = 2 +j4

Nyatakan Z tersebut dalam bentuk trigonometri

Jawab:

r =√22 + 42 = √20

Ө= arc tg (b/a)= arc tg(4/2)

= arc tg 2 =tg-1(2)

= 63,430

Jadi: Z = √20 ( Cos 63,430+ j Sin 63,430)

2. Diketahui Z = 2 – j3

Nyatakan Z tersebut dalam bentuk trigonometri

Jawab:

r =√22 + (-3)2 = √13

Ө= arc tg (b/a)= arc tg(-3/2)

= arc tg -1,5

110

= -56,310

Jadi: Z = √13 [ Cos(-56,310 )+ j Sin( -56,310)]

VII.4. Bentuk eksponensial bilangan kompleks

Untuk menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial dibutuhkan dasar-

dasar deret sebagai berikut:

Catatan: j2 = j.j = (√-1) (√-1)= (√-1)2 = -1

j3 = j2 .j = (-1) (j)= -j

j4 = j2 .j2 = (-1) (-1)= 1

j5 = j4 .j = (1) (j)= j

dan seterusnya untuk j dengan pangkatyang lebih tinggi dapat dikembangkan sendiri.

111

ejӨ = CosӨ + j Sin Ө

Dengan demikian dari bentuk bilangan kompleks: Z = r (Cos Ө + j Sin Ө) dapat diubah

dalam pernyatan:

Z = r ejӨ ……………………………(6)

dengan:

r = √a2 + b2 dan Ө = arc tg (b/a)

Persamaan (6) merupakan bentuk eksponensial dari bilangan kompleks.

Catatan: bentuk eksponensial bilangan kompleks lebih cocok untuk perhitungan

perkalian dan pembagian

Contoh

1. Diketahui Z = 2 +j4

Nyatakan Z tersebut dalam bentuk eksponensial

Jawab:

r =√22 + 42 = √20


= arc tg 2

=63,430


Nyatakan Z tersebut dalam bentuk eksponensial

Jawab:

r =√22 + (-3)2 = √13


= arc tg -1,5

= -56,310

VII.5. Bentuk polar bilangan kompleks

112

Dari pernyataan : Z = r (Cos Ө + j Sin Ө) atau Z = r ejӨ versi penulisan ini dapat

dinyatakan sebagai :

Z = r Ө ........................ (7)

Dalam hal ini Ө = Cos Ө + j Sin Ө = ejӨ

dengan:

r = √a2 + b2 dan Ө = arc tg (b/a)

Persamaan (4) merupakan bentuk polar dari bilangan kompleks

Contoh:

1. Diketahui : Z = 2 +j4

Nyatakan Z tersebut dalam bentuk polar

Jawab:

r =√22 + 42 = √20


= arc tg 2

=63,430

Jadi : Z √20 63,430


Nyatakan Z tersebut dalam bentuk polar

Jawab:

r =√22 + (-3)2 = √13


= arc tg (-1,5)

= -56,310 Jadi : Z √13 -56,310

VII.6. Bentuk perkalian bilangan kompleks

Dengan menggunakan dasar bahwa Z = r ejӨ , maka bentuk perkalian bilangan kompleks

dapat dituliskan sebagi berikut:

Atau : Z= r1. r2 (Ө1+ Ө2) Polar

113

Contoh: 1. Diketahui : Z1 = 2 +j4 dan Z2 = 2 – j3

Tentukan Z = Z 1. Z2

Jawab:

Z1 = 2 +j4

Z2 = 2 – j3

Z = Z 1. Z2

Atau Z √260 < 63,430 ‐56,310 √260 < 7,120

2. Diketahui : Z1 = 2 +j2 dan Z2 = 2 +j3

Tentukan Z = Z 1. Z2

Jawab:

Z1 = 2 +j2

r1 =√4+4=√8

Ө1 = arc tg (2/2)= arc tg 1=450

Z2 = 2 +j3

r2 =√4+9=√13

Ө2 = arc tg (2/3)=33,690

Z = Z 1. Z2

114

VII.7. Bentuk pembagian bilangan kompleks

Dengan menggunakan dasar bahwa Z = r ejӨ , maka bentuk pembagian bilangan

kompleks dapat dituliskan sebagi berikut:

Z = (Z1)/(Z2)

Atau : Z=(r1/r2 ) (Ө1 - Ө2) Polar Contoh:

1. Diketahui : Z1 = 2 +j4 dan Z2 = 2 – j3

Tentukan Z = (Z 1)/( Z2)

Jawab:

Z1 = 2 +j4

Z2 = 2 – j3

Z=(Z1)/(Z2)

2. Diketahui : Z1 = 2 +j2 dan Z2 = 2 +j3 Tentukan Z = Z 1/ Z2

Jawab:

Z1 = 2 +j2

r1 =√4+4=√8

Ө1 = arc tg (2/2)= arc tg 1=450

115

Z2 = 2 +j3

r2 =√4+9=√13

Ө2 = arc tg (3/2)=56,310

Z = Z 1/Z2

Latihan 1. Diketahui: Z1 = - 8 +j 6 dan Z2 = 10 - j9

Tentukan dalam bentuk rectangular dan polar dari:

a. Z = Z1 +Z2

b. Z =Z1 - Z2

2. Diketahui: Z1 = 6 +j2 dan Z2 = - 4 – j6

Tentukan dalam bentuk rectangular dan polar dari:

a. Z = Z1.Z2

b. Z =Z1 / Z2

c. Z =(Z1 .Z2)/( Z1 +Z2 )

Tugas

Diketahui :

Z1 = -4 +j 6 Z4 = 9 e j(1/2)(Π)

Z2 = 5 < 600

Z3= 10 ( Cos 450 –j Sin 450 )

Tentukan harga dari:

a. Z = Z1 + Z2 + Z3 + Z4

116

b. Z = Z1 + Z2 - Z3 - Z4

c. Z = (Z1 + Z2 + Z3)/ (Z2 - Z3 + Z4)

d. Z = (Z1 Z2 Z3)/ (Z1 + Z2 + Z3 +Z4)

VII.8. Aplikasi bilangan kompleks

Dalam Teknik Elektro bilangan kompleks banyak dipakai untuk membantu dalam

penyelesaian rangkaian arus listrik bolak balik (AC).Beberapa komponen yang

diperlukan dalam rangkaian tersebut antara lain:

a. Induktor

L Z Notasi komponen Notasi impedansi

Pada umumnya induktor mempunyai harga reaktansi induktif yang dinyatakan

sebagai: XL. Dalam hal ini harga XL dihitung dengan persamaan sebagai berikut:

XL = 2Π f L

dengan:

f = frekuensi [Hz]

L = induktansi [Henry]

Impedansi Z = j XL = j2Π f L = 2 ∏ f L<+900

b. Kapasitor

C Z

Notasi komponen Notasi impedansi

Pada umumnya kapasitor mempunyai harga reaktansi kapasitif yang dinyatakan

sebagai: XC. Dalam hal ini harga XC dihitung dengan persamaan sebagai berikut:

XC = 1/( 2Π f C )

dengan:

f = frekuensi [Hz]

C = kapasitansi [Farad]

117

Impedansi Z = -j XC = -j/( 2Π f C ) = 1/( 2Π f C ) < -900

c. Transistor

R Z

Notasi komponen Notasi impedansi

Resistor mempunyai resistensi R dan dan impedansi Z =R = R< 00

Contoh

I1 3Ώ 0,01 F A B C 3Ώ 0,04 H I2 I 2 Ώ j4 Ώ V = 250 V = 250<00 V

f = 50 Hz

Tentukan I, I1 ,I2 ,V AB dan V BC

Jawab: Z2

Z1 I1

A B C

I2 Z3 I V Z1 = 3 + j XL = 3 + j 2Π f L = 3 + j 2Π (50)(0,04) = 3 + j 12,56

118

=12,9 < 76,570

Z2 = 3 - j XC = 3 – j/ (2Π f C) = 3 - j /[2Π (50)(0,01)] = 3 - j 0,32

=3,02< - 6,090

Z3 = 2 + j 4 = 4,47< 63,430

Z AC = Z1 + ZBC

Z AC = Z1 + Z2.Z3/(Z2 + Z3) ZAC = 3+ j12,563 + (3,02<-6,090)(4,47<63,430)/(3-j0,32 + 2 + j 4)

ZAC=3+ j12,563+(13,50<57,340)/(5 + j 3,68)

ZAC=3+ j12,563+(13,50<57,340)/( 6,21<36,350)

ZAC=3+ j12,563+2,17<20,990

ZAC=3+ j12,563+ 2,03+ j 0,78 = 5,03+ j 13,34 = 14,26< 69,340

a.Menghitung I

I = V/ ZAC = 250<00/(14,26< 69,340) =17,53< -69,340

= 6,184 -j 16,402 A

V BC = I ZBC = (17,53< -69,340 )(2,17<20,990) = 38,04< - 48,350

I1 = V BC / Z2 = 38,04< - 48,350 /( 3,02< -6,090) = 12,60< -42,260 A

= 9,325 – j8,473 A

I2 = V BC / Z3 =38,04< - 48,350/(4,47< 63,430) = 8,51< -111,780 A

= -3,157 – j 7,90 A

b. Menghitung V BC

V BC = I ZBC = (17,53< -69,340 )(2,17<20,990) = 38,04< - 48,350 V

V AB = I.Z1 = (17,53< -69,340)( 12,9< 76,570) = 226,14< 7,230 V

Uji kebenaran jawaban

I = I1 + I2

17,53< -69,340 = 12,60< -42,260 + 8,51< -111,780

6,184 – j 16,402 = 9,325 – j8,473 - 3,157 – j 7,90

6,184 – j 16,402 = 6,168 – j 16,373

Pendekatan 6,2 – j 16,4 = 6,2 - j16,4 (dianggap sama) Ok!

119

Latihan I1 5Ώ 0,01 F A B C 4Ώ 0,1 H I2 I 5 Ώ 0,25 H V = 250 V

f = 50 Hz

Tentukan I, I1 ,I2 ,V AB dan V BC

Tugas I1 5Ώ 0,01 F A B 5 Ώ 0,25 H C 4Ώ 0,1 H I2 I 0,25 H I3 4 Ώ V = 250 V = 250 < 00 V

f = 50 Hz

Tentukan I, I1 ,I2 , I3, VAB dan V BC

VII.9. Daftar Pustaka


Politeknik, TEDC, Bandung. Hal. 4 - 5, 22-29, 38-41

Cisca, L.C., dan Marpaung, M., 1983. Rangkaian Listrik. Armico, Bandung. hal. 37-74,

75-167

120

Donovan, R., 2002. Electronics Mathematics. Second Edition, Prentice Hall, Ohio.

pp.266-331, 332-348, 432-450,452-547, 586-614

diktat matematika i

Documents