matematika teknik kimia

PEMODELANPEMODELANTEKNIK KIMIA TEKNIK KIMIA

LANJUTLANJUTProf. Dr. Ir. Setijo Bismo, D.E.A.

Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.

SILABUS Pendahuluan Formulasi problem fisikokimia Teknik penyelesaian model persamaan

diferensial biasa (PDB) Teknik penyelesaian model persamaan

diferensial parsial (PDP)

REFERENSI Applied Mathematics and Modeling for Chemical

Engineers, Rice, 1995 Numerical Methods for Chemical Engineers with

MATLAB Applications, Constantinides, 1999. Numerical Analysis for Chemical Engineers, Davis, 1988. Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2nd

Edition, Hoffman, 2001 Applied Numerical Methods Using Matlab, Yang, 2005 Numerical Analysis Using MATLAB and

Spreadsheets.2ed Ed, Karris, 2004

EVALUASI UTS = 25 % UAS = 25 % Tugas = 20 % Proyek = 30%

PENDAHULUANPENDAHULUAN

Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.Departemen Teknik Kimia

Fakultas TeknkUniversitas Indonesia

DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI) “Sebuah objek M (benda, sistem fisika atau

kimia, atau proses) adalah model apabila terdapat analogi antara objek M dan objek lain O sehingga kesimpulan mengenai O dapat dibuat”.

DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI) Model M

Representasi objek O; Taksiran objek O yang diisolasi dari seluruh

realitas, Menggambarkan kenyataan atau bagian dari

kenyataan. Dapat disederhanakan menjadi bagian dari

kenyataan jika hanya kesimpulan tertentu saja yang diperlukan.

DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI) Keterbatasan analogi model M dan objek O

Keterbatasan kesesuaian fungsi, Keterbatasan lesesuaian struktur dan perilaku, Keterbatasan akurasi.

Model M dan objek O boleh berbeda skala. Hasil model bagus apabila variabel dan

fenomena pentingnya direpresentasikan secara benar dalam konteks atau investigasi tertentu.

DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI) Analogi antara model M dan objek O dapat

dibuat dalam bentuk persamaan matematis. Model matematis menggambarkan

seperangkat persamaan aljabar dan/atau diferensial dan/atau integral yang digunakan untuk menjelaskan perilaku objek O.

TUGAS CHEMICAL ENGINEER Mengoperasikan dan mengoptimalkan

proses yang ada; Merancang pabrik baru dan memodifikasi

pabrik yang ada.

APLIKASI MODEL MATEMATIS DI INDUSTRI KIMIA Percobaan Simulasi Analisis sensitivitas Kendali dan operasi Optimisasi Eksplorasi

KETERBATASAN MODEL MATEMATIS

1. Jenis, jumlah serta keakuratan data;2. Perkakas matematis;3. Interpretasi hasil model.

INTERPRETASI HASIL MODEL

PENYUSUNAN DAN PENYUSUNAN DAN KLASIFIKASI MODELKLASIFIKASI MODEL


Fakultas TeknkUniversitas Indonesia

PENYUSUNAN MODEL MATEMATIKA Penyusunan model matematika adalah

pengesetan seperangkat persamaan matematika.

Persamaan matematika adalah hubungan antara variabel proses.

TAHAP-TAHAP PEMODELAN1. Formulasi persoalan, pengumpulan objektif

dan kriteria keputusan;2. Pengamatan terhadap proses dan

klasifikasinya untuk membagi proses menjadi beberapa subsistem (elemen proses);

3. Penentuan hubungan antara subsistem;4. Analisis variabel dan hubungan antar

variabel pada setiap elemen proses;

TAHAP-TAHAP PEMODELAN

5. Pembentukan persamaan matematika dengan menggunakan variabel dan parameter; Pengumpulan data;

6. Pengamatan representasi proses oleh model; perbandingan hasil simulasi dengan data proses nyata;

7. Instalasi model; interpretasi dan pemeriksaan hasil.

TAHAP-TAHAP PEMODELAN

8. Analisis sensitivitas model untuk mengidentifikasi parameter yang berpengaruh kuat dan lemah terhadap respons model;

9. Penyederhanaan model.10. Tahap 4 – 9 diulang, sampai interpretasi

hasil model sesuai dengan kriteria objektif dan solusi yang diharapkan.

KEGUNAAN MODEL Untuk memformulasikan fenomena fisika dan

fisikokimia, yaitu perpindahan panas, perpindahan massa dan perpindahan momentum, serta reaksi kimia di dalam sistem homogen dan heterogen.

Untuk mendesain operasi perpindahan massa, menghitung penukar panas, merekayasa reaksi kimia, dan mengendalikan proses.

KLASIFIKASI MODEL MATEMATIKA

MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA Digunakan untuk memformulasi fenomena

perpindahan. Proses dibagi menjadi sejumlah elemen

proses yang dijelaskan dengan hukum kekekalan massa, momentum, dan energi.

MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA Model deterministik atau elemen model:

Nilai atau seperangkat nilai setiap variabel atau parameter model pada kondisi tertentu telah ditentukan.

Model statistik atau elemen model statistik Variabel dan parameter model merupakan besaran

statistik, berupa probabilitas atau momen dari fungsi densitas probabilitas.

Misalnya Jika fungsi densitas probabilitas P(Y ) berlaku untuk

variabel statistik Y, maka P(Y) dY adalah probabilitas variabel tersebut yang berada dalam rentang dY di sekitar Y.

MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA Klasifikasi berdasarkan jenis persamaan

Tingkat kesulitan metode penyelesaian berkurang dari kanan ke kiri.

MODEL PDF Model berbasis persamaan transport dalam bentuk fungsional

P(1, . . . , n). Probabilitas menemukan variabel terikat (1, . . . , n) dalam

rentang d1, . . . , dn di sekitar fungsi 1(x, t), . . ., n(x, t) adalah P(1, . . . , n)d1, . . . , dn.

Memberi informasi statistik proses statistik. Memberi fungsi distribusi variabel proses. Contoh:

mekanika statistik, teori kinetik gas, campuran makro dalam distribusi waktu tinggal, distribusi ukuran kristal, distribusi aktivitas pada pelet katalis, dan distribusi umur dan ukuran biakan mikrobiologi.

MODEL EMPIRISMODEL EMPIRIS Korelasi respons proses terhadap perubahan satu

atau beberapa variabel proses. Contoh:

Fitting polinomial pada data eksperimen, respons proses pada pengendalian proses dalam bentuk fungsi transfer pada domain waktu atau frekuensi.

Merupakan model statistik karena data diperoleh secara eksperimen dan berisi kesalahan statistik.

Memiliki makna terbatas dalam menjelaskan proses atau elemen proses; Misal: prediksi berada di luar rentang percobaan.

MODEL BERDASARKAN MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIAPRINSIP FISIKOKIMIA


Fakultas TeknikUniversitas Indonesia

ILUSTRASI PROSES PEMODELANILUSTRASI PROSES PEMODELAN Pendinginan fluida yang mengalir di dalam

pipa berpenampang lingkaran. Model sederhana keakuratan rendah. Model kompleks keakuratan tinggi.

MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT Sketsa sistem.

Plug flow: Profil kecepatan fluida

berbentuk plug (merata pada posisi radial).

Elemen fluida bercampur sempurna ke arah radial sehingga temperatur fluida merata ke arah radial.

MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT Asumsi:

1. Keadaan tunak;2. Jika T kecil, , Cp, k dll konstan;3. Temperatur dinding konstan dan merata Tw;4. Temperatur inlet konstan dan merata T0, dimana T0 >

Tw;5. Profil kecepatan berbentuk plug;6. Fluida bercampur sempurna (turbulen Re > 2100) T

arah radial rata;7. Konduksi termal ke arah aksial relatif kecil

dibandingkan konveksi sehingga diabaikan.

MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT Sketsa elemen volume diferensial (volume

kontrol)

MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT Hukum kekekalan energi:

Keadaan tunak akumulasi nol. Tidak ada panas reaksi, nuklir atau listrik pembangkit

panas nol. Perpindahan panas dari dinding ke fluida:

MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT Hukum kekekalan energi (lanjutan)

Arah aksial: panas masuk dan keluar melalui konveksi (aliran)

Laju alir massa,gram/detik

Entalpi lokal,J/gram

MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT

Penyusunan ulang dan pembagian dengan z

PDB

MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT Pengelompokan parameter menjadi satu suku

(parameter lumping)

menjadi.

dimana.

MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK Re < 2100, kecepatan berbentuk parabola.

v0 = kecepatan rata-rata vz = kecepatan lokal (bervariasi). Modifikasi asumsi 5, 6, dan 7:

5. Profil kecepatan arah aksial berbentuk parabola dan tergantung pada posisi r.

6. Fluida ke arah radial tidak tercampur sempurna konduksi panas radial diperhitungkan.

7. Konveksi lebih kecil konduksi panas aksial dipertimbangkan.

MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK Volume kontrol berbentuk cincin (tebal r; panjang

z); Panas melewati dua permukaan, area anular dan

area sepanjang keliling cincin; Fluks panas menggunakan konduksi molekular.

MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK Hukum kekekalan panas:

Laju alir massa,gram/detik

Entalpi lokal,J/gram

konveksikonduksi

Luas penampang,cm2

Fluks panas,J/detik.cm2

MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK

Penyusunan dan pembagian dengan 2zr

Limit, misalnya


Dengan limit, diperoleh

Turunan terhadap z r konstan r dapat ditempatkan di luar suku;

Pembagian dengan r dan penataan ulang

Substitusi hukum Fourier dan uz


PDP orde dua

KONDISI BATAS Persamaan diferensial diselesaikan dengan

kondisi awal dan kondisi batas. Kondisi awal dan kondisi batas berlaku untuk

variabel terikat dan turunannya.

KONDISI BATASTipe kondisi batas Kondisi Dirichlet

Nilai variabel terikat diberikan pada nilai variabel bebas yang tetap.

Misalnya, T = T0 pada t = 0 dan 0 x 1

atauT = f(x) pada t = 0 dan 0 x 1

T = T1 pada x = 0 dan t > 0atau

T = f(t) pada x = 0 dan t > 0

KONDISI BATASTipe kondisi batas Kondisi Neumann

Turunan variabel terikat diberikan sebagai konstanta atau fungsi variabel bebas Misalnya,

Pada x = 1 dan t 0

Kondisi Cauchy Gabungan kondisi Dirichlet dan kondisi Neumann.

0xT

KONDISI BATASTipe kondisi batas Kondisi Robbins

Turunan variabel terikat diberikan sebagai fungsi dari variabel terikat itu sendiri.

fTThxTk

LATIHANLATIHAN Perhatikan sebuah pelat berbentuk persegi panjang dengan tebal 2L.

Mula-mula konsentrasi spesies A di dalam pelat tersebut seragam, yaitu sebesar CA. Pada t = 0 permukaan pada z = L dijaga konstan pada konsentrasi CA1. Untuk menghitung jumlah spesi A yang berpindah ke dalam pelat, kita harus terlebih dahulu menghitung distribusi konsentrasi spesi A di dalam pelat sebagai fungsi dari posisi dan waktu. Dengan mengasumsikan 2L/H << 1 dan 2L/W << 1, maka difusi berlangsung ke satu arah (satu dimensi). Kembangkan model persamaan diferensial untuk mendapatkan distribusi (profil) konsentrasi A ke arah z keadaan tidak tunak! Kembangkan pula kondisi batasnya!

Contoh: adsorpsi menggunakan unggun padat granular. Adsorpsi lebih cepat dibandingkan difusi internal, sehingga terjadi

kesetimbangan lokal pada dan dekat partikel

q = komposisi solut fasa padat (mol solut teradsorpsi per satuan volume partikel),

C* = komposisi solut fasa fluida (mol solut per satuan volume fluida).

Asumsi: Pengontrol laju: laju perpindahan antara fasa mengalir dan

fasa diam (padat).

GABUNGAN LAJU DAN GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGANKESETIMBANGAN

GABUNGAN LAJU DAN GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGANKESETIMBANGAN Konsep aliran sumbat profil

kecepatan fluida datar. Adsorbat di dalam fluida encer

efek panas diabaikan (isotermal). Partikel sangat kecil efek difusi

aksial diabaikan transportasi fasa fluida disebabkan aliran konveksi.

Transportasi antarfasa mengikuti hukum laju yang berangkat dari keadaan kesetimbangan termodinamika.

Luas antarfasa total tidak diketahui koefisien perpindahan volumetrik (kca); a = luas antarfasa total per satuan volume kolom paking.

Persamaan laju inkremental...


Neraca solut di kedua fasa

Vo: kecepatan superfisial fluida (terjadi jika tube kosong);: fraksi volume kosong di antara partikel (volume kosong interstitial) (1 - ): fraksi volume fasa padat;Laju akumulasi: fasa fluida (C) dan fasa padat (q).

Pembagian dengan Az dan limit menghasilkan


Neraca solut di fasa diam saja Tidak ada reaksi kimia; Laju akumulasi sama dengan laju perpindahan ke padatan

Dibagi dengan A z

Jika kesetimbangann dicapai C C*.


Substitusi

menghasilkan

Kondisi batas..

.


PROSEDUR PEMODELANPROSEDUR PEMODELAN1. Gambar sketsa sistem dan definisikan besaran kimia, fisika dan

geometri.2. Pilih variabel terikat (respons).3. Pilih variabel bebas (misal z, t).4. Buat daftar parameter (konstanta fisik, ukuran dan bentuk); buat

pula daftar parameter tak konstan (misal viskositas yang berubah terhadap temperatur).

5. Gambar sketsa perilaku variabel terikat, seperti profil temperatur yang diharapkan.

6. Buat “volume kontrol" untuk elemen diferensial atau berhingga sistem (misal CSTR); buat sketsa elemen dan indikasikan semua lintasan masuk dan keluarnya.

TUGAS KELOMPOKTUGAS KELOMPOK Applied Mathematics and Modelling for

Chemical Engineers, Rice and Do, 1995. Problem 1.3 (2 K) Problem 1.4 (2 K) Problem 1.5 (2 K) Problem 1.6 (2 K) Problem 1.7 (3 K) Problem 1.8 (2 K) Problem 1.9 (4 K)

PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA -DIFERENSIAL BIASA -

PROBLEM NILAI AWALPROBLEM NILAI AWAL

Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.

PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB)DIFERENSIAL BIASA (PDB) Persamaan diferensial untuk fungsi yang

hanya tergantung pada satu variabel Ruang (x, y, z, r) Waktu (t).

Solusi PDB: Kondisi awal (problem nilai awal); Kondisi batas (problem nilai batas).

PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB)DIFERENSIAL BIASA (PDB) Problem nilai awal:

jika semua kondisi berada pada satu titik dan dapat diintegrasi mulai dari titik tersebut.

Problem nilai batas dua titik: jika pada satu titik terdapat satu atau lebih kondisi

dan pada titik lain terdapat satu atau lebih kondisi yang lain.

Contoh problem PDB: kontrol parameter, kinetika di dalam reaktor

batch, reaktor alir sumbat.

KLASIFIKASI PDBKLASIFIKASI PDB Dasar klasifikasi:

Orde, Kelinearan, Kondisi batas.

KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN ORDEORDE Orde persamaan diferensial = orde tertinggi

dari derivat (turunan). Orde pertama:

Orde kedua:

Orde ketiga:

kxydxdy

kxdxdyy

dxyd

2

2

kxdxdyb

dxyda

dxyd

2

2

2

3

3

KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN KELINEARANKELINEARAN Linear: tidak mengandung perkalian variabel

terikat, derivatnya atau keduanya. Tak linear: mengandung perkalian variabel

terikat atau derivatnya atau keduanya. Linear:

Tak Linear:

kxydxdy

kxdxdyy

dxyd

2

2

kxdxdyb

dxyda

dxyd

2

2

2

3

3

KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN KONDISI BATASKONDISI BATAS Problem nilai awal:

Semua nilai variabel terikat dan/atau turunanya diketahui pada nilai awal variable bebas.

Problem nilai batas: Variabel terikat dan/atau turunannya diketahui

pada lebih dari satu variabel bebas.

PDB orde ke-n:

R(x) = 0 homogen. R(x) 0 tak homogen. Koefisien {bi | i = 1, 2, …, n}

koefisien variabel jika fungsi dari x; koefisien konstan jika skalar.

KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN KONDISI BATASKONDISI BATAS

xRyxbdxdyxb

dxydxb

dxydxb nnn

n

n

n

11

1

10 ...

Untuk mendapatkan solusi sebuah PDB orde ke-n atau sebanyak n PDB orde pertama, diperlukan spesifikasi n nilai variabel terikat (turunannya) pada nilai-nilai tertentu variabel bebasnya.

KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN KONDISI BATASKONDISI BATAS

SOLUSI PDB - SOLUSI PDB - PROBLEM NILAI PROBLEM NILAI

AWALAWALDr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.

Hanya satu PDB (linear atau tidak linear)

Pemisahan variabel:

KUADRATURKUADRATUR

00 yy

yfdtdy

y

y

t

dtyfdy

dtyfdy

0 0

● Jika dapat diselesaikan secara analitik solusi eksak.

KUADRATURKUADRATUR Misal: problem kinetika untuk reaksi orde dua

Pemisahan variabel dan integrasi:

Dengan kondisi batas:

0

2

0 cc

kcdtdc

Dktc

kdtcdc

1

2

0

11c

ktc

METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT Jika nilai y pada tn diketahui, maka

perhitungan y pada tn +1 hanya memerlukan nilai y pada tn tersebut serta turunannya dy/dt = f(y) pada tn (dan waktu sebelumnya).

METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT Integrasi numeris PDB secara eksplisit dapat

dilakukan jika sistem terdiri dari n PDB orde pertama simultan dalam bentuk:

xyyyfdxdy

xyyyfdxdy

xyyyfdxdy

nnn

n

n

,,...,,

.

.

.

,,...,,

,,...,,

21

2122

2111

Bentuk kanonis

METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT

Jika kondisi awal pada titik x0 diketahui:

Solusinya:

xyyyfdxdy

xyyyfdxdy

xyyyfdxdy

nnn

n

n

,,...,,

.

.

.

,,...,,

,,...,,

21

2122

2111

0,0

0,202

0,101

.

.

.

nn yxy

yxy

yxy

xFy

xFyxFy

nn

.

.

.22

11


Dalam bentuk matriks

xyyyfdxdy

xyyyfdxdy

xyyyfdxdy

nnn

n

n

,,...,,

.

.

.

,,...,,

,,...,,

21

2122

2111

0,0

0,202

0,101

.

.

.

nn yxy

yxy

yxy

xFy

xFyxFy

nn

.

.

.22

11

yfy ,xdxd

00 yy x xFy

METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT Persamaan diferensial orde tinggi

dapat diubah menjadi seperangkat persamaan orde pertama.

Caranya?

xdx

zddxzd

dxdzzG

dxzd

n

n

n

n

,,...,,, 1

1

2

2


xdx

zddxzd

dxdzzG

dxzd

n

n

n

n

,,...,,, 1

1

2

2

dxdy

dxzd

ydxdy

dxzd

ydxdy

dxzd

ydxdy

dxdzyz

nn

n

nn

n

n

1

1

1

32

2

2

21

1

.

.

.

Transformasi


dxdy

dxzd

ydxdy

dxzd

ydxdy

dxzd

ydxdy

dxdzyz

nn

n

nn

n

n

1

1

1

32

2

2

21

1

.

.

.

xdx

zddxzd

dxdzzG

dxzd

n

n

n

n

,,...,,, 1

1

2

2

xyyyyGdxdy

ydxdy

ydxdy

nn ,,...,,,

.

.

.

321

32

21

substitusi

n persamaan orde pertama bentuk kanonis


xyyyyGdxdy

ydxdy

ydxdy

nn ,,...,,,

.

.

.

321

32

21

Jika sisi kanan PDB bukan fungsi variabel bebas, maka disebut persamaan otonom. yfy

dxd

Jika f(y) linear terhadap y, maka dapat ditulis: y’ = Ay

METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT Ubah persamaan berikut ke bentuk

kanonisnya!

tezdtdz

dtzd

dtzd

dtzd

zdtdz

dtzd

dtzd

dtzd

3625

03625

2

2

3

3

4

4

2

2

3

3

4

4

05

02

22

23

3

3

3

2

2

3

32

zdxdzz

dxzdz

dxzd

zdxdz

dxzdz

dxzd

METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT Metode Euler Metode Adam-Bashford Runge-Kutta

METODE EULERMETODE EULER

Bentuk kanonis:

Diferensial:

Nilai rata-rata f pada h adalah f(y(tn)).

yy ,tfdtd

METODE EULER - CONTOHMETODE EULER - CONTOH Contoh:

Dekomposisi nitrogen dioksida di dalam reaktor alir sumbat dengan laju reaksi

Koefisien laju reaksi pada 383°C = 5030 ml/mol/detik. Asumsi:

Difusi aksial sangat kecil sehingga diabaikan, Profil kecepatan berbentuk plug.

Hitung profil konsentrasi keadaan tunak pada temperatur konstan!

METODE EULER - JAWABMETODE EULER - JAWAB Neraca massa

u = kecepatan, S = luas penampang lintang reaktor.

METODE EULER - JAWABMETODE EULER - JAWAB

Bagi dengan z dan susutkan elemen menjadi nol (limit)

Kondisi awal:

Solusi analitik:


Kalikan sisi kiri dengan S/S

Jadikan persamaan tak-berdimensi


Metode Euler:

Jika h = 0,2

METODE EULER - LATIHANMETODE EULER - LATIHAN Selesaikan PDB di bawah dengan

menggunakan metode Euler!

10

y

ytdtdy

METODE EULER - JAWABANMETODE EULER - JAWABANtn yn f(yn) h f(yn)

0

0,1

0,2

0,3

METODE ADAM-BASHFORDMETODE ADAM-BASHFORD Orde kedua:

Orde keempat:

METODE ADAM-BASHFORD - METODE ADAM-BASHFORD - LATIHANLATIHAN Selesaikan PDB di bawah dengan

menggunakan metode Adam-Bashford orde-kedua!

10

y

ytdtdy

METODE ADAM-BASHFORD - METODE ADAM-BASHFORD - LATIHANLATIHAN Selesaikan PDB di bawah dengan

menggunakan metode Adam-Bashford orde-keempat!

10

y

ytdtdy

METODE ADAM-BASHFORD - METODE ADAM-BASHFORD - JAWABANJAWABAN

tn yn-1 f(yn-1) yn f(yn)

METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT Metode eksplisit orde tinggi perlu solusi (sisi kanan) yang

dievaluasi pada waktu-waktu (posisi-posisi) sebelumnya. Evaluasi mudah dilakukan kecuali pada permulaan evaluasi

gunakan metode Euler dengan ukuran tahap yang sangat kecil selama (pada posisi-posisi) beberapa tahap untuk mendapatkan nilai-nilai permulaan.

Keuntungan metode Adam – Bashford orde keempat: Akurasi orde tinggi.

Kelemahan metode Adam – Bashford orde keempat: Perlu metode lain untuk memulai.

METODE RUNGE-KUTTAMETODE RUNGE-KUTTA Skema titik tengah:

Titik tengah digunakan untuk menghitung titik tak diketahui pada tn + 1;

tn + (h/2): titik tengah antara tn dan tn + 1. Argumen yn + (h/2)fn = slope pada tn + (h/2)

Skema korektor predictor-trapezoid Euler.

METODE RUNGE-KUTTA-GILLMETODE RUNGE-KUTTA-GILL Orde ke-empat; Paling banyak digunakan karena

memerlukan sedikit memori komputer; Ditulis dalam bentuk vektor untuk sistem

PDB;

METODE RUNGE-KUTTA-GILLMETODE RUNGE-KUTTA-GILL

METODE RUNGE-KUTTA-METODE RUNGE-KUTTA-FELDBERGFELDBERG Orde ke-enam

Nilai yn+1 – zn+1 merupakan taksiran error untuk yn+1

LATIHAN METODE LATIHAN METODE RUNGE-KUTTARUNGE-KUTTA Dengan menggunakan

Metode Runge-Kutta-Gill, selesaikan problem-problem di bawah! Untuk problem dengan nilai

awal pada x = 0, Integrasi persamaan sampai x = 5;

Untuk problem dengan nilai awal pada x = 1, integrasi persamaan sampai x = 6;

00 , .10

01 , .9

10 , .8

00 ,12 .7

20 ,1 .6

20 ,sin .5

10 , .4

20 ,5 .3

10 ,2 .2

10 , .1

23

2

2

yyxdxdy

yxxdxdy

yxydxdy

yyxdxdy

yyxdx

dy

yyxdxdy

yyx

dxdy

yxyyx

dxdy

yxydxdy

yxyyxdxdy

LATIHAN METODE LATIHAN METODE RUNGE-KUTTARUNGE-KUTTA No. 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6x 10

7

y

x


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

y

x


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

2.05

2.1

2.15

2.2

2.25

y

x


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

y

x


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

4

6

8

10

12

14

16

y

x


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

2.5

3

y

x


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0x 10

10

y

x


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

10

20

30

40

50

60

y

x


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

y

x


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10x 10

134

y

x

SOLUSI PD ORDE TINGGI SOLUSI PD ORDE TINGGI PDB orde-2:

2 PDB orde-1:

SOLUSI PD ORDE TINGGI SOLUSI PD ORDE TINGGI RK-4:

LATIHANLATIHANSOLUSI PD ORDE TINGGI SOLUSI PD ORDE TINGGI Selesaikanlah PDB berikut dengan

menggunakan algoritma RK-4!

TUGAS KELOMPOKTUGAS KELOMPOK Selesaikanlah sistem

PDB berikut dengan menggunakan algoritma RK-4!

Dimana:

BC

BAB

AA

CkdtdC

CkCkdtdC

CkdtdC

2

21

1

3

3

3

12

11

mmol00

;mmol00

;mmol 10

1 ; 3

C

B

A

C

C

C

sksk

matematika teknik kimia

Documents