BAB III SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT

1. Sistem persamaan linier dua variabel 2. Sistem persamaan linier tiga variabel 3. Penyelesaian sistem persamaan linier dan kuadrat dua variabel 4. Sistem persamaan kuadrat dua variabel 5. Penyelesaian masalah yang model matematikanya sistem persamaan linier

60

LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran Uraian Materi Pelajaran Kelas / Semester Waktu : : : : Matematika Sistem Persamaan Linier Dua Variabel X /Gasal 3 x 45 menit

MATERI : SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL Bentuk umum persamaan linier dua variabel dalam x dan y adalah a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Penyelesaian persamaan linier dua variabel dapat diselesaikan dengan metode : 1. Grafik 2. Eliminasi 3. Subtitusi 4. Gabungan eliminasi dan subtitusi 5. Determinan A. Penyelesaian sistem persamaan linier dua variable dengan metoda grafik Contoh : tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dua variabel x - y Jawab : Persamaan x - y = 2 2x + y = 7 (1) (2) = 2 2x + y = 7

Langkah : - menentukan pasangan titik pada persamaan (1) dan (2) - gambarkan pasangan titik yang didapat pada koordinat kartesius - menentukan titik potong kedua garis yang merupakan himpunan penyelesaian pers 1 x y 0 . . 0 pers 2 x y 0 . .. 0

61

gambar grafik X

Y Titik potong kedua grafik adalah ( , . )

Jadi himpunan penyelesaiannya { ( , ) }

Latihan 1 Tentukan hinpunan penyelesaian persamaan linier dua variable dengan metode grafik. a. 2x + y = 7 5x - 3y = 1 b. 2x + y = 4 6x + 3y = 18

B. Penyelesaian system persamaan linier dan linier dua variable dengan metode subtitusi Contoh : Tentukan himpunan penyelesaiaan persamaan linier dengan metode subtitusi. x - y = 2 2x + y = 7 Jawab : x - y = 2 ... (1) 2x + y = 7 (2) Dari persamaan (1) x = + 2 . *) *) subtitusi ke pers (2)

62

2x + y = 7

2 ( . + 2 ) + y = 7 . + y = 7

.y = 7 y = .. x = .. maka HP = { ( , ) }

subtitusi y = .. ke pers . *) di dapat jadi x = . dan y = .. Latihan 2

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dua variabel dengan metode subtitusi a. 2x + 2y = 3 x - 2y = 5 c. 3x + 5y 7 = 0 2x + 3y 4 = 0 d. b. x + 3y = 6 2x + 6y = 12 2x 3y + 8 = 20 4x + 2y -7 = 13

C. Penyelesaian sistem persamaan linier dan linier dua variable dengan metoda eliminasi Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier x - y = 2 2x + y = 7 Jawab : Persamaan linier x - y = 2 2x + y = 7 x - y = 2 2x + y = 7 | x . | | x . | .. (1) .. (2) . x - . y = .x + . y = ..y = . y =

eliminasi x pada persamaan (1) dan (2)

63

eliminasi y pada persamaan (1) dan (2) x - y = 2 | x ..| . x - . y = . ..x + . y = .x = x = jadi x HP Latihan 3 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dua variable dengan metode eliminasi a. c. 2x + y = 7 5x - 3y = 1 4x 3y +6 = 0 x 2y -1 = 0 d. b. 1/x + 2/y = -1 3/x + 10/y = 4 4x 3y 8 = -19 2x + y + 9 = 16 = . dan y = .. = {( , ) } 2x + y = 7 | x . |

D. Penyelesaian system persamaan linier dan linier dua variable dengan metode gabungan subtitusi dan eliminasi. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier x - y = 2 2x + y = 7 Jawab : Eliminasi salah satu variabel , misal y x - y = 2 2x + y = 7 . x = . x = .. Subtitusi x = .. ke salah satu persamaan di atas : misal pers. x - y = 2 . - y = 2 y = .. jadi x = .. dan y = .. maka HP = { ( , ) }64

Latihan 4 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan metode gabungan subtitusi dan eliminasi. 1. 3x - 4y = 8 6x + 2y - 11 = 0 3. 0,3x + 0,5y = 4 0,2x + 1,5y = 5 2. 4x - 3y + 6 = 0 x - 2y - 1 = 0 4. 1/2x + 1/3 y = 1 x -2/3 y = 5

E. Penyelesaian sistem persamaan linier dua variable dengan determinan Persamaan linier dua variabel bentuk a1 Determinan persamaan di atas ditulis D = a2 c1 Determinan untuk variabel x ditulis Dx = c2 a1 Determinan untuk variabel y ditulis Dy = a2 DX DY dan y = D D c2 b2 c1 , Dy = a1.c2 a2.c1 b2 b1 , Dx = c1.b2 c2.b1 a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 b1 , D = a1 b2 - a2. b1

Maka nilai x =

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan determinan 2x - 3y = 9 x + y = 2 Jawab :65

2 D= 1 9 Dx = 2 2 Dy = 1

-3 = 2.1 (-3).1 = 2 +3 = 5 2 -3 = 9.1 - (-3).2 = 9 + 6 = 15 1 9 = 2.2 9.1 = 4 9 = -5 2 15 DX = = 3 dan D 5 -5 DY = = -1 5 D

Jadi x =

y=

Maka HP = {(3,-1)}

Latihan 5 Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan determinan 1. 3x - 4y = 8 6x + 2y - 11 = 0 3. 4x 3y +6 = 0 x 2y -1 = 0 4. 2. 4x - 3y + 6 = 0 x - 2y - 1 = 0 4x 3y 8 = -19 2x + y + 9 = 16

66

LEMBAR KERJA SISWA 2 Mata Pelajaran Kelas / Semester Waktu MATERI : SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL Bentuk umum dari persamaan linier tiga variable dalam x , y , dan z adalah : a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 Persamaan linier tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metoda : 1. Eliminasi 2. Subtitusi 3. Gabungan eliminasi dan subtitusi 4. Determinan A. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode eliminasi Contoh : a. Tentukan eliminasi. 2x + 3y - z = 1 x + y + z Jawab : 2x + 3y - z = 1 x + y + z = 4 3x - y + 2z = 14 2x + 3y - z x + y + z 3x + y = 1 = 4 + = 5 . (4)67

: Matematika : X / Gasal : 3 x 45 menit

Uraian Materi Pelajaran : Sistem persamaan linier tiga variabel

________________________________________________________________

himpunan penyelesaian persamaan linier dengan metode

= 4

3x - y + 2z = 14 .. (1) .. (2) .. (3)

> eliminasi variable z dari pers (1) dan (2)

> eliminasi variable z dari pers 1 dan 3 2x + 3y - z = 1 3x - y + 2z = 14 . x . x + y - .z = .. + . x + y = > eliminasi variable y dari (4) dan (5) 3x + y = 5 . x + y = . . x . x . x + y = . .x + y = . . x = . x = > eliminasi variable x dari (4) dan (5) 3x + y = 5 . x + y = . . x . x . x + y = . .x + y = . . y = . y = .. > eliminasi variable x dari (1) dan (2) 2x + 3y - z = 1 x + y + z = 4 . x . x . x + y - z = . . x + y + .z = . y + z = . > eliminasi variable x dari (1) dan (3) 2x + 3y - z = 1 3x - y + 2z = 14 . x . x . x + y - z = . . x - y + .z = . y - .z = . > eliminasi variable y dari (6) dan (7) y - z = . y - z = . . x . x y - z = . y - z = . .z = z = . Jadi didapat x = . , y = . dan z = . HP = { ( , , . ) } + (7) . (6) ..(5) . . x - .y + z = .. x

68

Latihan : Selesaikan persamaan linier tiga variabel berikut dengan metode eliminasi 3x + 5y - z = 11 x - 3y + 4z = 12 4x + 2y - 5z = -1 B. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode subtitusi Contoh : a. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier subtitusi. x - 3y + 2z = 8 2x + y - 2z = 0 3x + 5y - z = 17 Jawab : x - 3y + 2z = 8 2x + y - 2z = 0 3x + 5y - z = 17 Dari persamaan 1 x - 3y + 2z = 8 x = 3y - 2z + 8 (4) subtitusi ke (2) 2 ( ) + y - 2z = 0 . y - z + . + y - 2z dari (4) disubtitusi ke (3) 3x + 5y - z = 17 3 ( .) + 5y - z y - z + + 5y - z . y - z = 17 = 17 = .. .. (6) y - . z y y = 0 = . = z - . = .. .. (5) . (4) (1) (2) . (3) dengan metode

dari (5) disubtitusi ke (6)

69

. y - z = .. . (. . ) - .z = .. ( z - . ) - . z = .. . z = . z = . Nilai z = .. disubtitusikan ke (5) y = Nilai y = . , z = . Disubtitusikan ke (4) x = 3y - 2z + 8 = 3 . - 2 . + 8 = x = Jadi HP = { ( , , . ) }

Latihan : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier tiga variable berikut dengan metode subtitusi x + 3y - z = -15 3x + 2y + 5z = 15 2x - y + 3z = 0

C. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode gabungan eliminasi dan subtitusi Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan subtitusi. x - 3y + 2z = 8 2x + y - 2z = 0 3x + 5y - z = 17

70

Jawab : x - 3y + 2z = 8 2x + y - 2z = 0 3x + 5y - z = 17 x - 3y + 2z = 8 2x + y - 2z = 0 + x - y = .. x - 3y + 2z = 8 3x + 5y - z = 17 (4) . x . x . x - y + z = . . x + y - .z = .+ x + y = . (5) > eliminasi variable x pada (4) dan (5) x - y = .. . x x + y = .. . x . x - y = . > eliminasi variable z pada (1) dan (3) . (1) . (2) . (3)

> eliminasi variable z pada (1) dan (2)

. x + y = . y = . y = .

Nilai y = . disubtitusikan ke (4) x - y = .. x - ( ) = .. .. x x = .. = ..

nilai x = . , dan y = . Subtitusi ke (1) x - 3y + 2z = 8 ( ..) - 3 ( ) + 2z = 8 Latihan : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan metode gabungan eliminasi dan subtitusi 2x + 3y - z = 1 x + y + z = 4 z = .. jadi HP = { ( , , . )}

71

3x - y + 2z = 14 D. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode determinan Persamaan linier tiga variabel a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 a1 Deterniman persamaan di atas ditulis D = a2 a3 b1 c1 b 2 c2 b3 c3

D = a1.b2.c3 + b1.c2.a3 + c1.a2.b3 - a3.b2.c1 b3.c2.a1 c3.a2.b1 d 1 b 1 c1 Determinan untuk variabel x ditulis Dx = d2 b2 c2 d 3 b 3 c3 Dx = d1.b2.c3 + b1.c2.d3 + c1.d2.b3 d3.b2.c1 b3.c2.d1 c3.d2.b1 a1 Determinan untuk variabel y ditulis Dy = a2 a3 d1 c1 d2 c2 d3 c3

Dy = a1.d2.c3 + d1.c2.a3 + c1.a2.d3 a3.d2.c1 d3.c2.a1 c3.a2.d1 a1 b1 Determinan untuk variabel z ditulis Dz = a2 b2 a3 b3 d1 d2 d3

Dz = a1.b2.d3 + b1.d2.a3 + d1.a2.b3 a3.b2.d1 b3.d2.a1 d3 .a2.b1

Maka x =

DX DY , y = D D

dan z =

DZ D

72

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan neggunakan determinan. 3x + 5y z = 11 x + 3y + 4z = 12 4x + 2y - 5z = -1 Jawab : 3 5 -1 D = 1 -3 4 4 2 -5 = 3.(-3).(-5) + 5.4.(-5) + (-1).1.2 4.3.(-1) -2.4.3 (-5).1.5 = 45 +80 -2 - 12 24 + 25 = 112 11 5 -1 Dx = 12 -3 4 -1 2 -5 = 11.(-3).(-5)+ 5.4.(-1)+(-1).12.2-(-1).(-3).(-1)-2.4.11-(-5).12.5 = 165 20 -24 + 3 88 +300 = 336

3 11 -1 Dy = 1 12 4 = 3.12.(-5)+11.4.4 +(-1).1(-1) 4.12.(-1) (-1).4.3- (-5).1.11 = -180 + 176 + 1 + 48 + 12 + 55 = 112 4 -1 -5 3 4 5 11 = 3.(-3).(-1)+5.12.4+11.1.2 - 4.(-3).11 2.12.3 (-1).1.5 = 9 + 240 + 22 + 132 72 + 5 = 336 2 -1

Dz = 1 -3 12

Maka x =

336 112 DX DY D Z 336 = = 3, y = = = 1 dan z = = =3 112 112 112 D D D

Jadi HP = {(3,1,3)}

73

Latihan : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan determinan. 1. 2x 3y + z = 2 x - 2y + 3z = 6 x + yz =2 3. x 2y = -10 3x + z = 22 2y + 5z = 64

2. x + 2y 3z = -14 3x + z = 14 5y 2z = -15

74

LEMBAR KERJA SISWA 3 Mata Pelajaran : Matematika variabel Kelas / Semester Waktu : X / Gasal : 2 x 45 menit

Uraian Materi Pelajaran : Penyelesaian sistem persamaan linier dan kuadrat dua

MATERI : SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT DUA VARIABEL Bentuk umum sistem persamaan linier dan kuadrat dua variabel adalah : y = ax + b y = px2 + qx + r bentuk linier bentuk kuadrat

Bentuk grafik persamaan linier y = ax + b adalah garis lurus Bentuk grafik persamaan kuadrat y = px2 + qx + r adalah parabola Yang menjadi penyelesaian pada kedua persamaan tersebut adalah titik potong garis dan parabola, caranya dengan mensubtitusikan y = ax + b pada persamaan y = px2 + qx + r didapat: px2 + qx + r = ax + b px2 + qx + r ax b = 0 px2 + ( q-a)x + ( r b) = 0 adalah bentuk persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan D = b2 4ac dengan a = p, b= q a , dan c = r b Ada tiga kemungkinan himpunan penyelesaian jika dilihat dari nilai diskriminan yaitu : 1. Jika D > 0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaian. 2. Jika D = 0, maka garis dan parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaian. 3. Jika D < 0, maka garis dan parabola tidak berpotongan sehingga tidak mempinyai himpunan penyelesaian.

75

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dan kuadrat di bawah ini dan tunjukkan dalam gambar. y = 2x 7 y = x2 2x 3 Jawab : y = 2x 7 y = x2 2x 3 x2 2x -3 = 2x 7 x2 2x 3 2x + 7 = 0 x2 4x + 4 = 0 Nilai D = b2 4ac = (-4) 2 4.1.4 = 16 16 = 0 Jadi nilai D = 0 , maka kedua grafik mempunyai satu titik potong. Titik potong grafik diperoleh dengan cara memfaktorkan persamaan : x2 - 4x + 4 = 0 (x 2) (x 2) = 0 x1 = 2 atau x2 = 2 nilai x1 = x2 = 2 subtitusi ke persamaan y = 2x 7 didapat y = -3 jadi himpunan penyelesaian adalah x = 2 dan y = -3 HP = {(2,-3)} Penyelesaian di atas akan ditunjukkan dalam gambar a. grafik persamaan y = 2x 7 adalah berupa garis lurus cara : dengan menentukan pasangan titik-titik dengan menggunakan tabel. x y = 2x -7 0 -7 31/2 0 .. (1) .. (2)

Persamaan (1) subtitusi ke (2)

Grafik melalui titik (0, -7) dan ( 31/2 , 0)

76

b. Grafik persamaan y = x2 2x 3 adalah berupa parabola Cara : - menentukan titik puncak grafik P( b D (2) {( 2) 2 4.1.( 3)} , ) = ( ) = ( 1, -4) , 2a 4a 2.1 4.1 x y = x2 2x- 3 Gambar grafik -2 .. -1 . 0 -3 1 .. 2 -3 3 . 4 .

- menentukan beberapa titik-titik bantu

Latihan 1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dan kuadrat di bawah ini dan tunjukkan dalam gambar. a. y=x3 y = x 4x + 32

b.

y = 2x 6 y = x2 + 3x 4

77

2. Diketahui sistem persamaa y = x2 + px 3 dan y = x 4 , tentukan nilai p agar sistem persamaan tersebut hanya mempunyai satu penyelesaian saja. 3. Tentukan nilai k agar sistem persamaan y = x2 4x + 7 dan y = 2x + k tidak mempunyai himpunan penyelesaian. 4. Titik potong fungsi kuadrat y = ax2 + bx 2 dan y = 2x 1 , berordinat -3 dan 5 , tentukan nilai a dan b fungsi tersebut.

78

LEMBAR KERJA SISWA 4 Mata Pelajaran Kelas / Semester Waktu : Matematika : X / Gasal : 2 x 45 menit

Uraian Materi Pelajaran : Sistem persamaan kuadrat dua variabel

MATERI : SISTEM PERSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL Bentuk umum persamaan kuadrat dua variabel adalah : y = ax2 + bx + c y = px2 + qx + r ,a0 , p 0 , a,b,c,p,q,r adalah bilangan real

Bentuk grafik persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c adalah parabola Bentuk grafik persamaan kuadrat y = px2 + qx + r adalah parabola juga. Titik potong atau titik persekutuan kedua parabola tersebut merupakan himpunan penyelesaian kedua persamaan kudrat tersebut. Cara menentukan himpunan penyelesaian dari kedua persamaan tersebut dengan cara mensubtitusikan (1) ke (2) yaitu : y = ax2 + bx + c y = px2 + qx + r .. (1) .. (2)

Didapat ax2 + bx + c = px2 + qx + r ax2 + bx + c px2 qx r = 0 (a p)x2 + (b q)x + (c r) = 0 bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan D = b2 4.a.c dengan koefisien-koefisien a = (a p) , b= (b q) dan c = (c r). Ada tiga kemungkinan himpunan penyelesaian , jika dilihat nilai diskriminan yaitu : 1. Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya. 2. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya. 3. Jika D < 0, maka kedua parabola tidak berpotongan sehingga tidak mempunyai himpunan penyelesaian.

79

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan Jawab : y = x2 4x + 3 y = 2x2 12x + 15 . (1) . (2) y = x2 4x + 3 y = 2x2 12x + 15

Persamaan (1) subtitusi ke persamaan (2) didapat x2 4x + 3 = 2x2 12x + 15 x2 4x + 3 2x2 + 12x 15 = 0 -x2 + 8x 12 = 0 Nilai D = b2 4.a.c = 82 4.(-1).(-12) = 64 48 = 16 Jadi D = 16 > 0, maka kedua grafik berpotongan di dua titik. Titik potong grafik diperoleh dengan cara memfaktorkan persamaan -x2 + 8x 12 =0 (-x + 6) (x 2) = 0 x1 = 6 atau x2 = 2 untuk x1 = 6 subtitusi ke persamaan y = x2 4x + 3 didapat y1 = 15 untuk x2 = 2 subtitusi ke persamaan y = x2 4x + 3 didapat y2 = -1 jadi himpunan penyelesaian adalah {(6,15) , (2,-1)} Penyelesaian di atas akan ditunjukkan dalam gambar : 1. menggambar grafik persamaan y = x2 -4x + 3 cara : a. menentukan titik puncak parabola P ( b. menentukan titik bantu x y = x2 4x + 3 -1 . 0 3 1 . 2 . 3 0 4 .. 5 . 6 .. b D , ) = (2,-1) 2a 4a

80

2. menggambar grafik persamaan y = 2x2 12x + 15 cara : a. menentukan titik puncak parabola P ( b. menentukan titik bantu x y = 2x2 12x + 15 0 15 1 .. 2 .. 3 .. 4 5 6 .. b D , ) = (3,-3) 2a 4a

Gambar grafik

Latihan 1.Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dan tunjukkan dengan gambar grafiknya. a. y = x2 2x 3 y = -x2 10x 11 b. y = x2 + 4x 7 y = 9 x2

81

2. Tentukan nilai a agar persamaan y = ax2 + 2x 7 dan y = 3x2 4x + 8 tidak mempunyai himpunan penyelesaian. 3. Diketahui sistem persamaan y = 2x2 3x 5 dan y = px2 + x 10, tentukan nilai p agar persamaan mempunyai satu himpunan penyelesaian dan tentukan himpunan penyelesaiannya. 4. Buktikan bahwa persamaan y = x2 2x + 5 dan y = -x2 x 7 tidak mempunyai himpunan penyelesaian. 5. Diketahui persamaan parabola y = x2 + 2x + c dan y = -x2 2x + q, jika kedua parabola tersebut berpotongan pada satu titik di (c q). Tentukan nilai (c q).

82

LEMBAR KERJA SISWA 5 Mata Pelajaran Uraian Materi Pelajaran Kelas / Semester Waktu : Matematika : Penyelesaian masalah yang model matematikanya sistem persamaan linier. : X / Gasal : 2 x 45 menit

MATERI : MODEL MATEMATIKA PADA SISTEM PERSAMAAN LINIER Model matematika : adalah suatu rumusan matematika yang berbentuk persamaan yang diperoleh dari hasil penafsiran seseorang, ketika menterjemahkan suatu masalah kedalam bahasa matematika. Contoh : Beny membeli 6 buku tulis dan 8 pensil di suatu toko buku, untuk itu Beny harus membayar Rp 6.900,00, sedangkan Anik hanya membeli buku tulis dan pensil masing-masing sebuah, untuk itu ia harus membayar Rp 1.050,00. Kalau harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil masing-masing x rupiah dan y rupiah. Buat model matematika untuk persoalan itu dan berapa harga buku tulis dan pensil. Jawab : Jumlah uang yang dibayar Beny Jumlah uang yang dibayar Anik 6x + 8y = 6900 x + y = 1050 Model matematika di atas adalah bentuk persamaan linier dua variabel yang dapat diselesaikan dengan banyak cara kita dapat mengambil salah satu cara yang sudah dipelajari di depan. 6x + 8y = 6900 x+y = 1050

Sehingga model matematikanya adalah

83

Menggunakan cara gabungan eliminasi dan subtitusi didapat : 6x + 8y = 6900 x + y + 1050 |x1| |x6| 6x + 8y = 6900 6x + 6y = 6300 2y = 600 y = 300 y = 300 subtitusi ke persamaan x + y = 1050 diperoleh x = 750 jadi harga buku tulis Rp 750,00 dan harga pensil Rp 300,00 Latihan 1. Diketahui dua buah bilangan x dan y jika jumlah kedua bilangan tersebut sama dengan perkalian keduanya dan jika selisih bilangan x dengan dua kali bilangan y sama dengan bilangan tersebut. 2. Sebuah pabrik sepatu memproduksi sepatu wanita dan pria. Penerimaan dari penjualan 100 sepatu pria dan 140 sepatu wanita adalah Rp 8.200.000,00, penerimaan dari penjualan 150 sepatu pria dan 80 sepatu wanita adalah Rp 8.400.000,00. Hitunglah harga jual satu pasang sepatu pria dan sepatu wanita. 3. Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali adikku, lima tahun yang akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 92 tahun. Jika umur nenek enam tahun lebih muda dari pada umur kakek, maka berapakah umur nenek sekarang? 4. Diketahui persamaan garis px + qy = 8. Tentukan nilai p dan q bila garis tersebut melalui titik (4,2) dan (2,3) ! 5. Jumlah tiga bilangan adalah 22, bilangan pertama 15 kurangnya dari bilangan kedua. Dua kali jumlah bilangan pertama dan bilangan kedua 8 kurangnya dari bilangan ketiga. Berapakah bilangan bilangan tersebut. dua kali perkalian keduanya. Tentukan bilangan-

84

6. Persamaan lingkaran x2 + y2 + ax + by + c = 0 , tentukan nilai a,b, dan c , jika lingkaran tersebut melalui titik-titik (1,5), (-1,-3) dan (1,-1). 7. Yogi dan Dewi bersama-sama dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 7 hari. Jika Yogi dan Adit bekerja bersama-sama pekerjaan itu selesai dalam 5 hari, serta jika Dewi dan Adit bekerja bersama-sama pekerjaan itu selesai dalam 4 hari, berapa hari Yogi menyelesaikan pekerjaan itu sendirian? 8. Delapan tahun yang lalu usia ayah dibanding usia ibu adalah 6 : 5, Selisih usia ibu dan usia aku adalah 23 tahun, jumlah usia ayah, usia ibu dan usiaku adalah 97 tahun. Berapakah usia ayah, usia ibu dan usiaku sekarang?

85