PERTEMUAN -1

Definisi dan Solusi Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial (PD)

Persamaan yang melibatkan variabel terikat (y) dan turunannya (y’,y”, dst) terhadap variabel bebas (x).

Persamaan Diferensial Biasa (PDB)

Jika fungsi/persamaan yang tidak diketahui hanya terdiri dari satu variabel bebas (x) saja.

Persamaan Diferensial Parsial (PDP)

Jika fungsi/persamaan yang tidak diketahui lebih dari satu variabel bebas (x,z,dst).

Notasi Matematika

𝑦 1 , 𝑦(2) , 𝑦(3) , 𝑦(4) 𝑑𝑠𝑡 …

𝑑𝑦

𝑑𝑥 ,

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 ,

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 ,

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 𝑑𝑠𝑡 …

𝑦′ , 𝑦′′ , 𝑦′′′ , 𝑦′′′′ 𝑑𝑠𝑡 …

Ordo PD

Turunan tertinggi yang muncul dalam PD

Derajat PD

Pangkat dari turunan tertinggi yang muncul dalam PD

Soal 1.1

𝑎 . 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 5𝑥 + 3

𝑏 . 𝑒𝑦𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

= 1

𝑐 . 4𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ sin 𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 5𝑥𝑦 = 0

𝑑 . 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

3

+ 3𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥

7

+ 𝑦3𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

= 5𝑥

𝑒 . 𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 4

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 0

Tentukan Ordo, Derajat & Jenis dari PD berikut !

Jawaban 1.1

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 5𝑥 + 3 (𝑎)

𝑒𝑦𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 2

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

= 1 (𝑏)

4𝑑3𝑦

𝑑𝑥2+ sin 𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 5𝑥𝑦 = 0 (𝑐)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

3

+ 3𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥

7

+ 𝑦3𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

= 5𝑥 (𝑑)

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2− 4

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 0 (𝑒)

Ordo 1 | Derajat 1 | PDB

Ordo 2 | Derajat 1| PDB

Ordo 3 | Derajat 1| PDB

Ordo 2 | Derajat 3 | PDB

Ordo 2 | Derajat 1 | PDP

Bentuk Standar & Bentuk Diferensial

Bentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah : y’ = f (x, y)

Persamaan-Persamaan Linear

PD Linear Orde Pertama dapat dinyatakan dalam bentuk : y’ + p(x)y = q(x)

Persamaan-Persamaan Homogen Syarat : PD Orde Pertama Homogen jika memenuhi

f (tx, ty) = f (x, y)

koefisinen b(x) dan suku g (x) tergantung hanya pada variabel x Tidak ada suku yang bergantung pada y atau turunan dari y (y’)

Tidak ada y dan turunannya yang berpangkat lebih dari 1

PD Linear Orde ke-n dapat dinyatakan dalam bentuk :

𝒃𝒏 𝒙 𝒚𝒏 + 𝒃 𝒏−𝟏 𝒙 𝒚 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒃𝟐 𝒙 𝒚′′+ 𝒃𝟏 𝒙 𝒚′ + 𝒃𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒈(𝒙)

Soal 1.2

Tentukan apakan persamaan PD berikut Linear atau Non Linier !

𝑎 . 𝑦′ = sin 𝑥 𝑦 + 𝑒𝑥

𝑐 . 𝑦′ +𝑥𝑦5 = 0

𝑏 . 𝑦′ = 𝑥 sin 𝑦 + 𝑒𝑥

𝑑 . 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑦

𝑒 . 𝑦′ +𝑥𝑦 = 𝑒𝑥𝑦

𝑓 . 𝑦′ +𝑥

𝑦= 0

𝑔 . 2𝑥𝑦′′ + 𝑥2𝑦′ − (sin 𝑥)𝑦 = 2

𝑕 . 𝑦𝑦′′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2

𝑖 . 𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2

𝑗 . 𝑑4𝑦

𝑑4𝑥+ 𝑦4 = 0

Jawaban 1.2

𝑎 . 𝑦′ = sin 𝑥 𝑦 + 𝑒𝑥

𝑐 . 𝑦′ +𝑥𝑦5 = 0

𝑏 . 𝑦′ = 𝑥 sin 𝑦 + 𝑒𝑥

𝑑 . 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑦

𝑒 . 𝑦′ +𝑥𝑦 = 𝑒𝑥𝑦

𝑓 . 𝑦′ +𝑥

𝑦= 0

𝑔 . 2𝑥𝑦′′ + 𝑥2𝑦′ − (sin 𝑥)𝑦 = 2

𝑕 . 𝑦𝑦′′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2

𝑖 . 𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2

𝑗 . 𝑑4𝑦

𝑑4+ 𝑦4 = 0

Linear ; p(x) = -(sin x) , q(x) = 𝑒𝑥

Non Linear ; suku (sin y)

Non Linear ; suku 𝑦5

Non Linear ; suku 𝑦

Linear ; p(x) = x-𝑒𝑥 , q(x) = 0

Non Linear ; suku 1/y

Linear ; b2(x)=2 , b1(x)=𝑥2 , b0(x)=-sin x dan g(x)=2

Non Linear ; b3(x)=y

Non Linear ; suku 𝑦′

Non Linear ; suku 𝑦4

Soal 1.3 Tentukan apakan persamaan PD

berikut Homogen atau tidak !

𝑎 . 𝑦′ =𝑦 + 𝑥

𝑥

𝑏 . 𝑦′ =𝑦2

𝑥

𝑐 . 𝑦′ =2𝑥𝑦𝑒

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑦

𝑑 . 𝑦′ =𝑥2 + 𝑦

𝑥3

Jawaban 1.3 Tentukan apakan persamaan PD

berikut Homogen atau tidak !

𝑎 . 𝑦′ =𝑦 + 𝑥

𝑥 Linear & Homogen

𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =𝑡𝑦 + 𝑡𝑥

𝑡𝑥=

𝑡(𝑦 + 𝑥)

𝑡𝑥=

𝑦 + 𝑥

𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑏 . 𝑦′ =𝑦2

𝑥 Non Linear & Non Homogen

𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =(𝑡𝑦)2

𝑡𝑥=

𝑡2𝑦2

𝑡𝑥= 𝑡

𝑡𝑦2

𝑥≠ 𝑓(𝑥, 𝑦)

Tentukan apakan persamaan PD berikut Homogen atau tidak !

𝑐 . 𝑦′ =2𝑥𝑦𝑒

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑦

𝑑 . 𝑦′ =𝑥2 + 𝑦

𝑥3

Jawaban 1.3

Non Linear & Homogen

Linear & Non Homogen

Solusi Persamaan Diferensial (PD)

Jawaban penyelesaian dari suatu PD sehingga menjadi persamaan yang menyatakan hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas.

Solusi Umum Jawaban dari suatu PD yang masih mengandung konstanta.

Solusi Khusus/ Spesifik

Jawaban dari suatu PD dimana semua konstanta yang ada pada jawaban umum telah diganti dengan suatu nilai spesifik, sehingga tidak lagi mengandung konstanta.

Solusi Eksplisit Solusi PD yang bisa diekspresikan dalam bentuk yang memisahkan antara varibel terikat dengan semua variabel bebasnya dengan operator “sama dengan” (=), yaitu dalam bentuk y= f(x,y)

Solusi Implisit Solusi PD yang tidak bisa diekspresikan dalam bentuk solusi eksplisit.

Soal 1.4

Tentukan Solusi Umum & Solusi Khusus Dari Persamaan Diferensial Berikut !

𝑎 . 𝑦′ − 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 ; 𝑦 0 = 5

𝑏 . 𝐵𝑢𝑘𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑃𝐷 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡.

𝑐 . 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 6𝑥 , 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑢𝑚𝑢𝑚𝑦𝑎 !

𝑑 . 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝐶1 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝐶2 = 3 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑘𝑕𝑢𝑠𝑢𝑠 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑜𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑐 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 ?

PERTEMUAN -1

Terima Kasih

Jawaban 1.4

Tentukan Solusi Umum & Solusi Khusus Dari Persamaan Diferensial Berikut !

𝑎 . 𝑦′ − 3𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 ; 𝑦 0 = 5

𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒄

𝑐 . 𝑑2𝑦

𝑥2= 6𝑥 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟑𝒙𝟐 + 𝑪𝟏

𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝒄𝟏 + 𝒄𝟐

𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟑