matematika teknik 2

110
Minggu Nama Bab Rb 8.20 Rb 13.10 1 1 Pendahuluan, Integral garis 20 Peb 2 2 Persamaan Diferensial Biasa 27 Peb 3 2 Aplikasi persoalan Fisika 6 Mar 4 3 Persamaan Diferenensial Linier 13 Mar 5 Quiz 1 Persamaan Diferensial Biasa, Persoalan fisika 20 Mar 6 3 Persamaan Diferensial Serentak 27 Mar 7 4 Transformasi Laplace 3 Apr 8 4 Persoalan Fisika, Persamaan Serentak 10 Apr 9 UTS Persamaan Diferensial Linier, Transformasi Laplace 17 Apr 10 24 Apr 11 5 Deret Fourier 1 Mei 12 6 Persamaan Diferensial Parsial 8 Mei 13 6 PD Parsial, Transformasi Laplace 15 Mei 14 22 Mei 15 Quiz 2 Deret Fourier, Persamaan Diferensial Parsial 29 Mei 16 Penutup 5 Jun 17 HER Quiz 1, UTS, Quiz 2 12 Jun UAS Semua bab 19 Jun Q 1 10% Bobot 10% untuk nilai terkecil, 30% untuk nilai terbesar. UTS 20% Tidak dilarang untuk ikut Quiz, Her 2x, diambil nilai terbesar, dengan Q 2 30% catatan tidak berlaku curang. Jika curang, kesempatan itu = O. UAS 40% Total 100% Mata Kuliah Matematika Teknik 2 berbobot 3 SKS (Satuan Kredit Semester) artinya, waktu kuliah (tatap muka) adalah 3 jam seminggu, ditambah 3 jam belajar mandiri. Jika tidak tertib dalam mengatur waktu belajarnya, maka hasilnya tidak akan memuaskan.

Upload: trie-irsad

Post on 01-Feb-2016

307 views

Category:

Documents


13 download

DESCRIPTION

Matematika teknik 2

TRANSCRIPT

Page 1: Matematika Teknik 2

Minggu Nama Bab Rb 8.20 Rb 13.101 1 Pendahuluan, Integral garis 20 Peb2 2 Persamaan Diferensial Biasa 27 Peb3 2 Aplikasi persoalan Fisika 6 Mar4 3 Persamaan Diferenensial Linier 13 Mar5 Quiz 1 Persamaan Diferensial Biasa, Persoalan fisika 20 Mar6 3 Persamaan Diferensial Serentak 27 Mar7 4 Transformasi Laplace 3 Apr8 4 Persoalan Fisika, Persamaan Serentak 10 Apr9

UTS Persamaan Diferensial Linier, Transformasi Laplace17 Apr

10 24 Apr11 5 Deret Fourier 1 Mei12 6 Persamaan Diferensial Parsial 8 Mei13 6 PD Parsial, Transformasi Laplace 15 Mei14 22 Mei15 Quiz 2 Deret Fourier, Persamaan Diferensial Parsial 29 Mei16 Penutup 5 Jun17 HER Quiz 1, UTS, Quiz 2 12 Jun

UAS Semua bab 19 Jun

Q 1 10% Bobot 10% untuk nilai terkecil, 30% untuk nilai terbesar.UTS 20% Tidak dilarang untuk ikut Quiz, Her 2x, diambil nilai terbesar, denganQ 2 30% catatan tidak berlaku curang. Jika curang, kesempatan itu = O.UAS 40% Total 100%

Mata Kuliah Matematika Teknik 2 berbobot 3 SKS (Satuan Kredit Semester) artinya, waktukuliah (tatap muka) adalah 3 jam seminggu, ditambah 3 jam belajar mandiri.Jika tidak tertib dalam mengatur waktu belajarnya, maka hasilnya tidak akan memuaskan.

Page 2: Matematika Teknik 2

Hampir semua Quiz dilakukan dengan cara Open Book, tetapi yang baru membuka bukunyasaat ujian, hampir pasti sukar untuk lulus. Perlu banyak latihan di luar waktu kuliah kelas.Mahasiswa bebas memilih kelas A atau B, tidak tergantung dengan NIM, bahkan boleh ikutdalam 2 kelas, A dan B, termasuk Quiz atau Her-nya. Jika jujur, dinilai yang terbaik.Kejujuran dalam mengerjakan soal sangat dijunjung tinggi, sehingga tindakan bekerja samadalam mengerjakan soal dapat menyebabkan mahasiswa mendapat nilai E (Tidak Lulus), baikbagi yang menyontek atau yang dicontek, meskipun yang dicontek tidak menyadarinya.

Daftar Kepustakaan1 Matematika Lanjutan, Murray R. Spiegel, Schaum Series, Penerbit Erlangga2 Advanced Engineering Mathematics, Kreyszig, John Wiley & Sons, 7th edition.3 Matematika Teknik, KA Stroud, Penerbit Erlangga

Minggu Nama Bab Km 7.30 Km 10.001 1 Sistim Bilangan Komplex, Fungsi Komplex 21 Peb2 2 Integral Garis, Integral Komplex 28 Peb3 3 Persamaan Diferensial Biasa 7 Mar4 Quiz 1 Fungsi Komplex, Integral Komplex 14 Mar5 3 Persamaan Diferensial Biasa, Persoalan Fisika 21 Mar6 4 Persamaan Diferensial Linier 28 Mar7 4 Persoalan Fisika, Persamaan Serentak 4 Apr8

UTS Persamaan Diferensial Biasa , Pers. Diferensial Linier11 Apr

9 18 Apr10 5 Transformasi Laplace 25 Apr11 6 Deret Fourier 2 Mei12 9 Mei Waisak13 7 Persamaan Deferensial Parsial 16 Mei14 7 Persamaan Deferensial Parsial, Persoalan Fisika 23 Mei

Page 3: Matematika Teknik 2

15 Quiz 2 Transf. Laplace, Deret Fourier, Pers. Dif. Parsial 30 Mei16 6 Jun Mi'raj17 Her Quiz 1, UTS , Quiz 2 13 Jun

Q 1 10% Bobot 10% untuk nilai terkecil, 30% untuk nilai terbesar.UTS 20% Tidak dilarang untuk ikut Quiz, Her 2x, diambil nilai terbesar, denganQ 2 30% catatan tidak berlaku curang. Jika curang, kesempatan itu = O.UAS 40% Total 100%

Mata Kuliah Matematika Teknik 2 berbobot 3 SKS (Satuan Kredit Semester) artinya, waktukuliah (tatap muka) adalah 3 jam seminggu, ditambah 3 jam belajar mandiri.Jika tidak tertib dalam mengatur waktu belajarnya, maka hasilnya tidak akan memuaskan.Hampir semua Quiz dilakukan dengan cara Open Book, tetapi yang baru membuka bukunyasaat ujian, hampir pasti sukar untuk lulus. Perlu banyak latihan di luar waktu kuliah kelas.Mahasiswa bebas memilih kelas A atau B, tidak tergantung dengan NIM, bahkan boleh ikutdalam 2 kelas, A dan B, termasuk Quiz atau Her-nya. Jika jujur dinilai yang terbaik.Kejujuran dalam mengerjakan soal sangat dijunjung tinggi, sehingga tindakan bekerja samadalam mengerjakan soal dapat menyebabkan mahasiswa mendapat nilai E (Tidak Lulus), baikbagi yang menyontek atau yang dicontek, meskipun yang dicontek tidak menyadarinya.

Daftar Kepustakaan1 Matematika Lanjutan, Murray R. Spiegel, Schaum Series, Penerbit Erlangga2 Advanced Engineering Mathematics, Kreyszig, John Wiley & Sons, 7th edition.3 Matematika Teknik, KA Stroud, Penerbit Erlangga

Page 4: Matematika Teknik 2

Rumus-rumus deferensial:Jika u = u(x) dan v = v(x) adalah fungsi-fungsi dari x, dan a, c, p adalah konstanta, maka:1 d

(u ± v) =du

±dv

dx dx dx

2 dcu = c

dudx dx

3 duv = u

dv+ v

du= uv' + u'v = u'v + uv'

u' = du/dxdx dx dx v' = dv/dx

4 d u=

v du/dx - u dv/dx=

u' v - u v'dx v v2 v2

5 dup = p up-1 du

dx dx

6 dau = au ln a

dx

7 deu = eu du

dx dx

8 dln u =

1 dudx u dx

9 dsin u = cos u

dudx dx

10 dcos u = - sin u

dudx dx dan masih ada lagi untuk fungsi-fungsi hiperbolikus.

Page 5: Matematika Teknik 2

Turunan parsial.Jika U = U(x,y) = fungsi dari x dan y, maka ∂U/∂x = dU/dx dengan y dianggap bilanganContoh, U = 8x2y3 , maka ∂U/∂x = 16xy3 ∂U/∂y = 24x2y2

Turunan bertingkat.Jika U(x) diturunkan 2 kali, maka hasilnya adalah d du = d2U

dx dx dx2

Jika U = 8x2y3

maka ∂2U/∂x2 = ∂/∂x (16xy3 ) = 16 y3 ∂2U/∂y2 = ∂/∂y (24x2y2 ) = 48 x2y∂2U/∂x∂y = ∂/∂x (∂U/∂y) = ∂/∂x (24x2y2 ) = 48xy2

∂2U/∂y∂x = ∂/∂y (∂U/∂x) = ∂/∂y (16xy3 ) = 48xy2

Rumus-rumus Integrasi.Ada 2 macam integrasi, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.Contoh, 3x2 dx = x3 + c integral tak tentu, di mana c adalah konstanta bebas

2 2

3x2 dx = x3 = 23 - 13 = 7 integral tertentu, tidak ada konstanta bebas.1 1

1 (u ± v) dx = u dx ± v dx Dalam rumus-rumus ini seharusnya ada konstanta

2 cu dx = c u dx bebas, tetapi tidak ditulis.

3 u dv = u v - v du

4up du =

1u p+1 p ≠ -1

p+1

5u - 1 du =

du= ln u

u

6au du =

au

a ≠ 0 , 1

Page 6: Matematika Teknik 2

ln a

7 eu du = eu

8 sin u du = - cos u

9 cos u du = sin u Masih ada lagi rumus integral untuk fungsi hiperbolikus.

Contoh soal, kerjakan integrasi berikut:x sin x dx Rumusnya, u dv = u v - v du misalkan u = x maka du = dx

sin x dx = dv , maka v = - cos xx sin x dx = - x cos x + cos x dx = - x cos x + sin x

Petunjuk: Pemisalan u adalah sedemikian sehingga du makin sederhana, soal makin sederhana.

Contoh, hitung ex cos x dx Jika u = ex, maka du tetap = ex dxdv = cos x dx, maka v = sin x. Soal tidak makin sederhana.

Misalkan ex cos x dx = ex ( A cos x + B sin x) di mana A dan B harus dicariIntegrasi adalah kebalikan dari deferensiasi, maka untuk mencari A dan B adalah dengan

d/dx [ex (A cos x + B sin x)] ≡ ex cos x ex (A cos x + B sin x - A sin x + B cos x) = ex [(A+B) cos x + (B-A) sin x] ≡ ex cos xkoefisien cos: A + B = 1 A = 1/2koefisien sin: B - A = 0 B = 1/2

ex cos x dx = ex (1/2 cos x + 1/2 sin x)

au du = a ≠ 0 , 1

Page 7: Matematika Teknik 2

Contoh-contoh bentuk PD (Persamaan Diferensial)1 (y")2 + 3x = 2 (y')3 di mana y' = dy/dx, y" = d2y/dx2

2 dy+

y= y2

dx x3 d2Q

- 3dQ

+ 2Q = 4 sin 2tdt2 dt

4 dy=

x + ydx x - y

5 ∂2V+

∂2V= 0

∂x2 ∂y2

Orde Persamaan.Yang dimaksud dengan orde adalah tingkat turunan tertinggi. Maka, orde dari contohbentuk-bentuk PD di atas adalah: 2 , 1 , 2 , 1 , 2

Pengelompokan yang lain berdasar banyaknya variabel adalah, PD biasa (ordinary) jikabanyaknya variabel hanya 1 (satu), misalnya y = y(x). Jika lebih dari 1 disebut parsial.Contoh 5 menunjukkan hal tsb, V = V(x,y).

Konstanta bebas.Konstanta bebas akan muncul pada hasil integrasi.Misalkan y" = 6x, maka kalau diintegralkan 2 kali akan menghasilkan y = x3 + c1x + c2

di mana c1 dan c2 adalah konstanta bebas.Satu hal yg perlu dicatat adalah, banyaknya konstanta bebas sama dengan orde persamaan.Banyaknya konstanta bebas tsb harus diusahakan sesedikit mungkin. Misal, c1c2 x harusditulis menjadi cukup c3 x di mana c3 = c1c2.Pemberian nomor pada c1, c2 dst tidak harus berurutan, sebab angka tadi hanya pembeda.Hurufnyapun bebas, tidak harus huruf kecil, boleh juga huruf besar atau huruf yunani.

Page 8: Matematika Teknik 2

Konstanta bebas tsb dapat ditentukan besarnya jika ada syarat batas. Dengan demikianmaka banyaknya syarat batas juga harus sesuai dengan besarnya orde persamaan.

Topik-topik yang dibahas dalam bab ini:1 Pemisahan variabel, atau variabel yang bisa dipisahkan.2 Persamaan Eksak3 Faktor integrasi4 Persamaan linier5 Persamaan homogen6 Persoalan Fisika

Sebetulnya masih ada bentuk-bentuk lain, tapi karena penggunaannya khusus, maka bagiyang akan mempelajarinya, dipersilahkan mempelajarinya melalui buku-buku referensi.

1. Pemisahan variabel.Bentuk umum: f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0 di mana f = fungsi dari x saja,

g = fungsi dari y saja.Pemecahan: Usahakan suku dengan dx hanya berisi f(x), dan suku dy hanya g(y).Maka g1(y) pada suku pertama dan f2(x) pada suku kedua harus dihilangkan, yaitu dengancara membagi kedua suku dengan f2(x) g1(y). Hasilnya adalah:f1(x) g1(y)

dx +f2(x) g2(y)

dy = 0f1(x)

dx +g2(y)

dy = 0f2(x) g1(y) f2(x) g1(y) f2(x) g1(y)

F(x) dx + G(y) dy = 0 F(x) dx + G(y) dy = c

Contoh soal:Pecahkan : (4x + xy2 ) dx + (y + x2 y) dy = 0 Syarat batas: y(1) = 2

Jawab : (4x + xy2 ) dx + (y + x2 y) dy = x (4 + y2 ) dx + y (1 + x2 ) dy = 0

Kedua suku dibagi dengan: (4 + y2 )(1 + x2 )

Page 9: Matematika Teknik 2

x (4 + y2 ) dx+

y (1 + x2 ) dy=

x dx+

y dy= 0

(4 + y2 )(1 + x2 ) (4 + y2 )(1 + x2 ) (1 + x2 ) (4 + y2 )

x dx+

y dy=

1 d(1+x2 )+

1 d(4+y2 )(1 + x2 ) (4 + y2 ) 2 (1 + x2 ) 2 (4 + y2 )

1/2 ln (1 + x2 ) + 1/2 ln (4 + y2 ) = ln c1 1/2 d(1 + x2 ) = x dx

ln (1 + x2 ) + ln (4 + y2 ) = ln c (1 + x2 )(4 + y2 ) = c ln ab = ln a + ln b

Syarat batas: y (1) = 2 artinya, jika x = 1 maka y = 2.Isikan x = 1 dan y = 2 pada (1 + x2 )(4 + y2 ) = cdiperoleh : (1 + 1)(4 + 4) = 16 = c maka (1 + x2 )(4 + y2 ) = 16

Latihan: Pecahkan:3.45 (y3 + y)(t2 + 1) dy = (ty4 + 2y2t) dt y = y(t)

3.61 4x dy - y dx = x2 dy

3.63 x2 (y + 1) dx + y2 (x - 1) dy = 0

3.69 y (u2 + 2) du - (u3 - u) dy = 0

3.73 x (v2 + 1) dv + (v3 - 2v) dx = 0

3.74 x (v2 - 1) dv + (v3 + 2v) dx = 0

3.70 y (u2 + 2) du + (u3 + u) dy = 02. Persamaan Eksak.

Bentuk umum: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 di mana ∂M/∂y = ∂N/∂xPerhatian: Suku N(x,y) harus dianggap positip, sehingga jika negatip, maka syarat

eksaknya menjadi: ∂M/∂y = - ∂N/∂x

Page 10: Matematika Teknik 2

Fungsi U(x,y) = c memiliki sifat eksak jika memenuhi syarat:∂U/∂x = M(x,y)

di mana ∂M/∂y = ∂N/∂x∂U/∂y = N(x,y)

Maka U(x,y) = c dapat dicari dari M(x,y) ∂x atau dari N(x,y) ∂y

Contoh soal: Pecahkan: (3x2 + y cos x) dx - (4y3 - sin x ) dy = 0Pemecahan: M(x,y) = 3x2 + y cos x ∂M/∂y = cos x sama persis

N(x,y) = sin x - 4y3 ∂N/∂x = cos x maka eksak

Misalkan jawabnya adalah U(x,y) = co , makaU = M(x,y)∂x = (3x2 + y cos x) ∂x = x3 + y sin x + F(y)

Mencari F(y) dari ∂U/∂y = N(x,y)U = x3 + y sin x + F(y) ∂U/∂y = sin x + F' (y) F'(y) = - 4y3

N(x,y) = sin x - 4y3 F(y) = - y4 + c1

U = x3 + y sin x - y4 + c1 = co

atau x3 + y sin x - y4 = c

Latihan, pecahkan:2.61 a) (x + 2y) dx + (2x - 5y) dy = 0 b) dy

=3 - 4xy2

y(1) = -1c) (y ex - e - y) dx + (x e - y + ex ) dy = 0 dx 4x2y + 6y2

4.47 (y + 2xy3 ) dx + (1 + 3x2y2 + x) dy = 0

4.48 y exy dx + x exy dy = 0

4.49 3x2y2 dx + (2x3y + 4y3) dy = 0

4.51 (y sin x + xy cos x) dx + (x sin x + 1) dy = 0

4.54 xy - 1dx -

1dy = 0

Page 11: Matematika Teknik 2

x2y xy2

4.57 (3e 3t y - 2t) dt + e 3t dy = 0

4.58 (cos y + y cos t) dt + (sin t - t sin y) dy = 0

4.52 (3x4y2 - x2 ) dy + (4x3y3 - 2xy) dx = 0

4.61 (6t5x3 + 4t3x5 ) dt + (3t6x2 + 5t4x4 ) dx = 03. Faktor integrasi.

Bentuk umum: P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 , tetapi ∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x, tidak eksakTetapi jika kedua suku dikalikan dengan μ = μ(x,y) , maka hasilnya:μP(x,y) dx + μQ(x,y) dy = 0 atau M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

di mana ∂M/∂y = ∂N/∂x, eksakSeterusnya, cara penyelesaiannya seperti pada persamaan eksak.

Contoh, pecahkan:(3y - 2xy3 ) dx + (4x - 3x2y2 ) dy = 0 Faktor integrasi berbentuk xpyq

Penyelesaian, kalikan kedua suku dengan xpyq

xpyq (3y - 2xy3 ) dx + xpyq (4x - 3x2y2 ) dy = 0 (3xpyq+1 - 2xp+1yq+3 ) dx + (4xp+1yq - 3xp+2yq+2 ) dy = 0 atau P dx + Q dy = 0

M = 3xpyq+1 - 2xp+1yq+3 ∂M/∂y = 3(q+1) xpyq - 2(q+3) xp+1yq+2 bisa sama persisN = 4xp+1yq - 3xp+2yq+2 ∂N/∂x = 4(p+1) xpyq - 3(p+2) xp+1yq+2 bisa eksak

Disebut "bisa sama persis" karena kedua persamaanmemiliki suku-suku yang sama persis, kecuali koefisiennya.

Koefisien xpyq 3(q+1) = 4(p+1) 4p - 3q = - 1 p = 2xp+1yq+2 2(q+3) = 3(p+2) 3p - 2q = 0 q = 3

Pemeriksaan:

dx - dy = 0

Page 12: Matematika Teknik 2

M = 3 x2 y4 - 2 x3 y6 ∂M/∂y = 12 x2 y3 - 12 x3 y5

sama persis, eksakN = 4 x3 y3 - 3 x4 y5 ∂N/∂x = 12 x2 y3 - 12 x3 y5

Jawab, U(x,y) = co

U = M dx = [3 x2 y4 - 2 x3 y6 ] ∂x = x3 y4 - 1/2 x4 y6 + H(y)Mencari H(y) ∂U/∂y = 4 x3 y3 - 3 x4 y5 + H'(y) H'(y) = 0

≡ N = 4 x3 y3 - 3 x4 y5 H(y) = c1

U = x3 y4 - 1/2 x4 y6 + c1 = co x3 y4 - 1/2 x4 y6 = c

Latihan, pecahkan: Faktor integrasi berbentuk xp yq

2.63 (2xy3 + 2y) dx + (x2y2 + 2x) dy = 0

5.25 (xy - 2y2 ) dx - (x2 - 3xy) dy = 0

2y dx - 3xy2 dx - x dy = 0 y dx + x (x2 y - 1 ) dy = 0

4.131 (8y dx + 8x dy) + x2y3 (4y dx + 5x dy) = 0

4.130 x (4y dx + 2x dy) + y3 (3y dx + 5x dy) = 0

4.132 x3y3 (2y dx + x dy) - (5y dx + 7x dy) = 0Pecahkan persamaan diferensial berikut jika faktor integrasi berbentuk xp yq

A (8y dx + 8x dy) + x2y3 (4y dx + 5x dy) = 0Ubah bentuk soal menjadi: xp yq (8y + 4x2y4) dx + xp yq (8x + 5x3y3) dy = 0

M = 8xp yq+1 + 4 xp+2yq+4 ∂M/∂y = 8(q+1) xp yq + 4(q+4) xp+2yq+3 mungkin bisaN = 8xp+1 yq + 5xp+3yq+3 ∂N/∂x = 8(p+1) xp yq + 5(p+3) xp+2yq+3 eksak

Persamaan koefisien: 8(q+1) = 8(p+1) p = q4(q+4) = 5(p+3) p = 16 - 15 = 1 q = 1

Page 13: Matematika Teknik 2

M = 8x y2 + 4 x3y5 ∂M/∂y = 16 xy + 20 x3y4

sama persis, eksakN = 8x2y + 5x4y4 ∂N/∂x = 16 xy + 20 x3y4

Jawab, U(x,y) = c di mana ∂U/∂x = M = 8x y2 + 4 x3y5 maka U = M ∂x = (8x y2 + 4 x3y5 ) ∂x = 4x2y2 + x4y5 + F(y)

∂U/∂x = 8x2y + 5x4y4 + F '(y) ≡ N = 8x2y + 5x4y4

F '(y) = 0 F(y) = c1

U(x,y) = 4x2y2 + x4y5 + c1 = c0 atau U = 4x2y2 + x4y5 = c

B x (4y dx + 2x dy) + y3 (3y dx + 5x dy) = 0Ubah bentuk soal menjadi: xp yq (4xy + 3y4) dx + xp yq (2x2 + 5xy3) dy = 0

(4xp+1yq+1 + 3xpyq+4) dx + (2xp+2yq + 5xp+1yq+3) dy = 0M = 4xp+1yq+1 + 3xpyq+4 ∂M/∂y = 4(q+1) xp+1yq + 3(q+4) xpyq+3 mungkin bisaN = 2xp+2yq + 5xp+1yq+3 ∂N/∂x = 2(p+2) xp+1yq + 5(p+1) xpyq+3 eksak

Persamaan koefisien : 4(q+1) = 2(p+2) 2p - 4q = 0 p = 2q3(q+4) = 5(p+1) 5p - 3q = 7 q = 1 p = 2

M = 4x3y2 + 3x2y5 ∂M/∂y = 8x3y + 15x2y4

sama persis, eksakN = 2x4y + 5x3y4 ∂N/∂x = 8x3y + 15x2y4

Jawab, U(x,y) = c di mana ∂U/∂x = M = 4x3y2 + 3x2y5

maka U = M ∂x = (4x3y2 + 3x2y5 ) ∂x = x4y2 + x3y5 + F(y)

∂U/∂y = 2x4y + 5x3y4 + F '(y) ≡ N = 2x4y + 5x3y4

F '(y) = 0 F(y) = c1

Page 14: Matematika Teknik 2

U(x,y) = x4y2 + x3y5 + c1 = c0 atau U = x4y2 + x3y5 = cC x3y3 (2y dx + x dy) - (5y dx + 7x dy) = 0

Ubah bentuk soal menjadi: xp yq (2x3y4 - 5y) dx + xp yq (x4y3 - 7x) dy = 0(2xp+3yq+4 - 5xpyq+1) dx + (xp+4yq+3 - 7xp+1yq) dy = 0

M = 2xp+3yq+4 - 5xpyq+1 ∂M/∂y = 2(q+4) xp+3yq+3 - 5(q+1) xpyq mungkin bisaN = xp+4yq+3 - 7xp+1yq ∂N/∂x = (p+4) xp+3yq+3 - 7(p+1) xpyq eksak

Persamaan koefisien : 2(q+4) = (p+4) p - 2q = 4 p = -2 2/3 = - 8/35(q+1) = 7(p+1) 7p - 5q = -2 q = -3 1/3 = - 10/3

M = 2x1/3y2/3 - 5x- 8/3y- 7/3 ∂M/∂y = 4/3 x1/3y- 1/3 + 35/3 x- 8/3y- 10/3 sama persisN = x4/3y- 1/3 - 7x- 5/3y- 10/3 ∂N/∂x = 4/3 x1/3y- 1/3 + 35/3 x- 8/3y- 10/3 eksak

Jawab, U(x,y) = c di mana ∂U/∂x = M = 2x1/3y2/3 - 5x- 8/3y- 7/3

maka U = M ∂x = (2x1/3y2/3 - 5x- 8/3y- 7/3) ∂x =6/4 x4/3y2/3 + 3x- 5/3y- 7/3 + F(y)

∂U/∂y = x4/3y- 1/3 - 7x- 5/3y- 10/3 + F '(y) ≡ N = x4/3y- 1/3 - 7x- 5/3y- 10/3

F '(y) = 0 F(y) = c1

U(x,y) = 6/4 x4/3y2/3 + 3x- 5/3y- 7/3 + c1 = c0 U = 6/4 x4/3y2/3 + 3x- 5/3y- 7/3 = c

4. Persamaan Linier.Bentuk umum : dy

+ P(x) y = Q(x)

Page 15: Matematika Teknik 2

dx

Faktor integrasi: μ = eP(x) dx

sehingga soal menjadi d (μy) = μ Q(x)dx

Contoh soal:Pecahkan :

xdy

- 2y = x3 cos 4xdx

Penyelesaian: Rubah bentuk soal menjadi bentuk standarddy

-2y

= x2 cos 4xdx x di mana P(x) = - 2 x -1

Q(x) = x2 cos 4x

μ = eP(x) dx

= e-2x-1 dx

= e- 2 ln x

= eln x- 2

= x-2

Maka soal berubah menjadi:

x-2 dy-

2y= cos 4x atau

d[x -2 y] = cos 4x

dx x3 dxx-2 y = cos 4x dx = 1/4 sin 4x + c

atau y = 1/4 x2 sin 4x + c x2

Latihan soal, Pecahkan :5.47

xdy

= y + x3 + 3x2 - 2xdx

5.48 dQ+

3 Q= 2

dt 100 - t

5.49 dQ+

2 Q= 4

dt 10 + 2t

5.50 dQ+

2 Q= 4

+ P(x) y = Q(x)

Page 16: Matematika Teknik 2

dt 20 - t

5.51 dI+ 20 I = 6 sin 2t

dt

5.55 dQ+ 0,04 Q = 3,2 e - 0,4 t

dt

5.54 dQ+ 100 Q = 10 sin 120 πt

dt

5. Persamaan Homogen.Bentuk umum: dy

= Fy

dx x

Cara penyelesaian, misalkan y= v maka

dy= F(v)

x dx

y = v x maka v dx + x dv = dy atau dy= v + x

dvdx dx

Sehingga soalnya berubah menjadiv + x

dv= F(v)

dx

xdv

= F(v) - vdv

=dx ini adalah bentuk variabel

dx F(v) - v x yang dapat dipisahkanContoh soal, Pecahkan:

(2x3 + y3 ) dx - 3xy2 dy = 0 semua suku berderajat 3Penyelesaian:Rubah bentuk soal menjadi bentuk standard dy

=2x3 + y3

=2 + (y/x)3

+ = 4

Page 17: Matematika Teknik 2

dx 3xy2 3 (y/x)2

misalkan y/x = v maka dy=

2 + v3

dx 3v2

v + xdv

=2 + v3

y = vx dy= v + x

dv dx 3v2

dx dx

v + xdv

=2 + v3

xdv

=2 + v3

- v =2 - 2v3

dx 3v2 dx 3v2 3v2

3v2 dv=

dx-1/2 ln [2-2v3 ] = ln x + ln co

2 - 2v3 xx2 [2 - 2v3 ] = c x2 [2 - 2(y/x)3 ] = c

Latihan soal, Pecahkan :3.124

y ' =2y4 + x4

xy3

3.139y ' =

2xyy2 - x2

3.144y ' =

x4 + 3x2y2 + y4

x3y

3.145 (x3 + y3) dx - 3xy2 dy = 0 3.127 y ' = 2xy / (x2 - y2)

3.126 y ' = (x2 + y2) / xy 3.128 y ' = (y - x) / x

6. Persoalan Fisika.Rangkaian Listrik. R R = Tahanan, Resistor, Ohm

L = Induktor, HenryEC

= =

Page 18: Matematika Teknik 2

S = Switch S C = Kapasitor, FaradL E = Batery, Volt

Perbedaan tegangan voltage yang melewati R adalah iR , di mana i = arus, amperePerbedaan tegangan yang melewati L adalah L di/dt , dimana t = waktu, detikPerbedaan tegangan yang melewati C adalah q/C , di mana q = muatan, coulombArus i = dq/dtMaka berdasar hukum Kirchoff, persamaan tegangan dalam 1 (satu) loop adalah:

Ldi

+ iR +q

= Edt C

karena i = dq/dt , maka :L

d2q+ R

dq+

q= E

dt2 dt CUntuk loop yang bercabang, arah arus i perlu diperhatikan karena mempengaruhi tanda.Dalam persoalan fisika biasanya ada syarat batas. Syarat batas ini ada yang secara jelasdinyatakan, tetapi banyak juga yang tidak dinyatakan, sehingga berlaku ketentuan umum.

Contoh soal.2.32 Suatu Resistor R = 10 ohm dipasang serie dengan

induktor L = 2 henry dan batery E. RPada t = 0 switch ditutup dan arusnya i = 0.Hitung i untuk t > 0 jika a) E = 40 S

b) E = 20 e -3t Lc) E = 50 sin 5t

Penyelesaian:Persamaan tegangan

Ldi

+ iR = E atau 2di

+ 10 i = Edt dtdi

+ 5 i =E ini adalah persamaan linier dengan

E

C

Page 19: Matematika Teknik 2

dt 2 P(t) = 5E(t) = E/2

Maka faktor integrasinya μ =5 dt 5 t

e = eSehingga soal berubah menjadi

e 5t di+ 5 i e 5t =

Ee 5t

dt 2d

i e 5t = E

e 5t setelah diintegralkan, diperoleh i e 5t = E

e 5t dtdt 2 2

a) E = 40i e 5t =

Ee 5t dt = 20 e 5t dt = 4 e 5t + c

2i = 4 + c e - 5t

0 = 4 + c c = - 4 i = 4 - 4 e - 5t

Syarat batas, t = 0 , i = 0

b) E = 20 e -3t

i e 5t = E

e 5t dt = 10 e 2t dt = 5 e 2t + c2

i = 5 e - 3t + c e - 5t

0 = 5 + c c = - 5 i = 5 e - 3t - 5 e - 5t

Syarat batas, t = 0 , i = 0

c) E = 50 sin 5t

i e 5t = E

e 5t dt = 25 e 5t sin 5t dt = 2

= 25 e 5t (A cos 5t + B sin 5t) A, B dicariMencari A dan B: d/dt [e 5t (A cos 5t + B sin 5t)] = e 5t sin 5te 5t (5A cos 5t + 5B sin 5t - 5A sin 5t + 5B cos 5t) = e 5t sin 5t

e 5t [(5A + 5B) cos 5t + (5B - 5A) sin 5t] = e 5t sin 5tKoefisien cos : 5A + 5B = 0 A = - 1/10Koefisien sin : 5B - 5A = 1 B = 1/10

+ 5 i =

Page 20: Matematika Teknik 2

i e 5t = 25 e 5t (- 1/10 cos 5t + 1/10 sin 5t) + ci = 25 (- 1/10 cos 5t + 1/10 sin 5t) + c e -5t 0 = - 25/10 + cSyarat batas, t = 0 , i = 0 c = 25/10

i = 25 (- 1/10 cos 5t + 1/10 sin 5t) + 25/10 e -5t

= 5/2 (sin 5t - cos 5t) + 5/2 e -5t

Latihan, pecahkan:2.77 Suatu rangkaian listrik terdiri dari sebuah resistor 8 ohm yg dihubungkan serie dengan

sebuah induktor 0,5 henry dan sebuah batery E. Pada saat t = 0, arus = 0.Tentukan besarnya arus pada t > 0 dan arus maksimumnya, jika :a) E = 64 b) E = 8t e - 16t c) E = 32 e - 8t

2.78 a) Tentukan besarnya arus pada rangkaian soal 2.77 jika E = 64 sin 8tb) Bagian mana arus yang bersifat transien (sesaat), dan mana yang kontinyu.

2.33 Sebuah resistor R = 5 ohm dan sebuah kondensor C = 0,02 farad dihubungkan seriedengan sebuah batery E = 100 Volt. Jika pada t = 0 muatan q = 5 coulomb,tentukan muatan q dan arus i untuk t > 0.

8.18 Sebuah rangkaian serie L = 3 henry dan R = 15 ohm dipasang pada jaringan listrik110 Volt dengan frekwensi 60 Hz. Hitung i setiap saat jika i = 0 pada t = 0.

Defleksi (lenturan) batang.2.42 w = W/L Sebuah batang sederhana panjang L diberi beban merata

w = W/L. a) Cari persamaan lendutannyaA L B b) Cari lendutan maksimum

Penyelesaian: Mula-mula buat DBB-nya RA = wL/2wL RB = wL/2

A B Rumus dasar lendutan:y " =

M(x)RA L RB EI

Page 21: Matematika Teknik 2

y wx Sudut kemiringan batangθ = y ' =

M(x)dx

Mx x EIA Besarnya simpangan lendutan

y = y ' dx = M(x)

dx2

RA x EIx/2 M(x) = RA(x) - wx (x/2) = 1/2 wLx - 1/2 wx2

Perhatian: Salah satu indikasi kebenaran rumus adalah kesamaan satuan.Satuan wLx sama dengan satuan wx2. Kalau tidak sama berarti salah.

EI y " = M(x) = 1/2 wLx - 1/2 wx2

EI y ' = M(x) dx = 1/4 wLx2 - 1/6 wx3 + c1 c = konstanta bebasEI y = M(x) dx2 = 1/12 wLx3 - 1/24 wx4 + c1x + c2

Besarnya konstanta bebas c dapat dicari melalui syarat batas.Karena ada 2 konstanta bebas, maka perlu ada 2 syarat batas.Syarat batas 1) x = 0 , lendutan yo = 0

2) x = L , lendutan yL = 0 atau, pada x = L/2, y ' = 0 karena y = maxCatatan: Syarat batas x = L hanya boleh digunakan jika rumus M(x) berlaku untuk

x = L. Untuk beberapa kasus, dimana beban tidak simetris, maka rumusM(x) untuk sisi kiri dan sisi kanan akan berbeda.

y = 0 y = 1/12 wL(0)x3 - 1/24 w(0)4 + c1(0) + c2 maka c2 = 0y = 1/12 wLx3 - 1/24 wx4 + c1x

y = L y = 1/12 wL4 - 1/24 wL4 + c1L = 0 c1 = -1/12 wL3 + 1/24 wL3 = -1/24 wL3

Maka EI y = 1/12 wLx3 - 1/24 wx4 - 1/24 wL3x

Lendutan maximum terjadi di y ' = 0y ' = 1/4 wLx2 - 1/6 wx3 - 1/24 wl3 = 0 atau 6L x2 - 4 x3 - L3 = 0

x = L/2 6/4 L3 - 4/8 L3 - L3 = 0 benar

Page 22: Matematika Teknik 2

x = L/2 EI ymax = 1/96 wL4 - 1/384 wL4 - 1/48 wL4 = - 5/384 wL4

Perhatian: Tanda - (negatip) diperoleh jika tanda M(x) dari RA(x) atau cw positip.

2.43 Sebuah batang cantilever panjang L dengan beban terpusat P di ujung L.Cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan maximum.

L P Penyelesaian: Dengan DBB diperoleh RA = PMA = PL

A MA B M(x) = RA(x) - MA = Px - PL (satuan sama)RA EI y " = M(x) = Px - PL

x EI y ' = 1/2 Px2 - PLx + c1

M(x) EI y = 1/6 Px3 - 1/2 PLx2 + c1x + c2

A MA Syarat batas x = 0 , maka y = 0 maka diperoleh c2 = 0RA x = 0 , maka y ' = 0 diperoleh c1 = 0

Maka EI y = 1/6 Px3 - 1/2 PLx2

Lendutan maximum terjadi di x = LEI yL = 1/6 PL3 - 1/2 PL3 = - 1/3 PL3

Contoh soal: Cari persamaan lendutan dan lendutan max.a P b Dengan DBB diperoleh: RA = Pb/L

A B RB = Pa/LL Ada 2 persamaan momen

RA RB 0 < x < a Mx = RA(x) = Pbx/Lx a P

A A a < x < L Mx = RA(x) - P(x-a)Mx x Mx = Pbx/L - Px + Pa

RA 0 < x < a RA a < x < L = Pa - Pax/L

0 < x < a EI y ' = Pb/2L x2 + c1

Page 23: Matematika Teknik 2

EI y = Pb/6L x3 + c1x + c2

a < x < L EI y ' = Pax - Pa/2L x2 + c3 ada 4 konstanta bebasEI y = Pa/2 x2 - Pa/6L x3 + c3x + c4 Perlu 4 syarat batas

Syarat batas 1) x = 0 , y = 02) x = L , y = 03) x = a , y ' kiri = y ' kanan agar batang tidak patah4) x = a , y kiri = y kanan agar batang tidak putus

1) Pb/6L (0)3 + c1(0) + c2 = 0 c2 = 02) PaL2/2 - PaL2/6 + c3L + c4 = 0

PaL2/3 + c3L + c4 = 0 3 persamaan dengan 3 variabel3) Pa2b/2L + c1 = Pa2 - Pa3/2L + c3 c1 , c3 , c4 dapat dicari4) Pba3/6L + c1a = Pa3/2 - Pa4/6L + c3a + c4

Cara mencari c1 , c3 , c4 :Persamaan 3) dikalikan a dikurangi persamaan 4) , maka akan diperoleh c4

Harga c4 dimasukkan ke persamaan 2) , maka akan diperoleh c3

Harga c3 dimasukkan ke persamaan 3) , maka akan diperoleh c1

4) Pba3/6L + c1a = Pa3/2 - Pa4/6L + c3a + c4

3) x a Pa3b/2L + c1a = Pa3 - Pa4/2L + c3a -- Pba3/3L = - Pa3/2 + Pa4/3L + c4 c4 = Pa3/2 - Pa4/3L - Pba3/3L

= Pa3/2 - Pa3/3 = Pa3/6

Masukkan harga c4 ke persamaan 2)PaL2/3 + c3L + Pa3/6 = 0

c3 = - PaL/3 - Pa3/6L

Masukkan harga c3 ke persamaan 3)

Page 24: Matematika Teknik 2

Pa2b/2L + c1 = Pa2 - Pa3/2L - PaL/3 - Pa3/6Lc1 = Pa2- 2Pa3/3L - PaL/3 = Pa/3L (3aL - 2a2 - L2 )

= - Pa/3L (L - a)(L - 2a) = - Pab(b - a)/3L

0 < x < a EI y = Pbx3/6L - Pab(b - a)x/3L= Px/6L (bx2 - 2ab2 - 2a2b)

Latihan soal:1 w = W/L Batang cantilever AB panjang L diberi beban merata.

A B Cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan max.L

2 L/2 P L/2 Batang sederhana AB panjang L diberi beban terpusatA a b B P di tengah-tengah.

L Cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan max.

3 Jika batang cantilever AB soal 1 diberi beban terpusat P di ujung batang, cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan max.

4 Jika batang sederhana AB soal 2 diberi beban merata w = W/L sepanjang L,cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan max.

5 Cari persamaan lendutannya, dan cari lendutan max jika beban P pada batang AB soal 2 tidak terletak di tengah-tengah, tetapi pada jarak a = L/3, L/4, 2L/3, 3L/4.

Page 25: Matematika Teknik 2

Bentuk umum Persamaan Deferensial Linier lengkap orde n :

ao(x)dny

+ a1(x)dn-1y

+ a2(x)dn-2y

+ . . + an-1(x)dy

+ an(x) y = R(x)dxn dxn-1 dxn-2 dx

Jika turunan-turunan tsb ada yang berpangkat lebih dari 1 (satu) maka tidak linier.

Lambang Operator.Untuk penyingkatan, sering d/dx, d2/dx2, dst ditulis menjadi D, D2, dst.Contoh: d2y

+2dy

+y = 0 bisa ditulis menjadi (D2 + 2D + 1) y = 0dx2 dx

Sifat Operator adalah D [pu + qv] = p D[u] + q D[v] p, q = bilanganu, v = fungsi

Yang dibahas dalam bab ini, adalah persamaan deferensial linier dengan koefisien konstanta.Bentuk umumnya adalah:

aodny

+ a1dn-1y

+ a2dn-2y

. . + an-1dy

+ an y = R(x)dxn dxn-1 dxn-2 dx

atau dalam bentuk operator:[ao Dn + a1 Dn-1 + a2 Dn-2 + . . . + an-1 D + an] y = R(x) atau [φD] = R(x)

Jawab dari persamaan deferensial linier:Ada 2 (dua) jawaban sehingga disebut bahwa jawabannya telah lengkap, yaitu:y = yH + yK di mana

yH adalah jawab pelengkap dari persamaan Homogen [φD] = 0yK adalah jawab khusus dari persamaan lengkap [φD] = R(x), dan yK memiliki 2 sifat:

1) Bebas linier terhadap yH

2) Bentuknya sama atau mirip dengan R(x)

Mencari jawab pelengkap atau jawab homogen yH :

Page 26: Matematika Teknik 2

Pandang persamaan deferensial linier [ao Dn + a1 Dn-1 + a2 Dn-2 + . . . + an-1 D + an] y = 0Misalkan yH = e mx (catatan: jawab homogen selalu dalam bentuk e pangkat sesuatu)maka d[e mx] = m e mx

d2 [e mx] = m2 e mx ao mn + a1 mn-1 + a2 mn-2 + . . . + an-1 m + an = 0. . . . . ini adalah polinom m pangkat n yang bisa diuraikan menjadi:

dn [e mx] = mn e mx ao (m-m1)(m-m2)(m-m3). . . (m-mn) = 0 ada n akar

Akan ada 3 (tiga) kemungkinan tentang bentuk akar-akar persamaan polinom tsb.1) Semua akar mi berbeda, tidak ada yang sama2) Beberapa akar mi sama3) Ada 2 atau lebih akar bilangan komplex. Akar komplex selalu berpasangan.

1) Semua akar mi berbeda, tidak ada yang samaMaka jawab homogennya adalah:

m1x m2x m3x mnxyH = c1 e + c2e + c3e + . . . + cne c = konstanta bebas

2) Beberapa akar mi samaMisalkan ada 2 akar m yang sama, m1 = m2 = m*Maka jawab homogennya adalah:

m*x m3x mnxyH = (c1 x + c2) e + c3e + . . . + cne banyaknya konstanta

bebas tetap = nSetiap suku harus bebas linier, maka tidak boleh ada suku c1 e m*x + c2 e m*x karena2 suku tsb akan dapat dijumlahkan menjadi (c1 + c2) e m*x = c* e m*x sehingga banyaknyakonstanta bebas akan kurang dari n.

Jika m1 = m2 = m3 = m* , makam*x m4x mnx

Page 27: Matematika Teknik 2

yH = (c1 x2 + c2 x + c3) e + c4e + . . . + cne

3) Ada 2 atau lebih akar bilangan komplex. Akar komplex selalu berpasangan.Misalkan m1 = a + bi di mana a, b adalah bilangan riil dan i = √-1 maka jawabnya

ax m3x mnxyH = e (c1 cos bx + c2 sin bx) + c3 e + . . . + cneJawaban ini diperoleh dengan menggunakan teorema Euler

e iφ = cos φ + i sin φe - iφ = cos φ - i sin φ

Contoh soal, pecahkan:2 y " - 5 y ' + 2 y = 0 Persamaan akar-akarnya : 2 m 2 - 5 m + 2 = 0

(2m - 1)(m - 2) = 0 m1 = 1/2 m2 = 2Maka yH = c1 e x/2 + c2 e 2x

y " - 8 y ' + 16 y = 0 Persamaan akar-akarnya : m 2 - 8 m + 16 = 0(m - 4) 2 = 0 m1,2 = 4

Karena ada 2 akar sama, maka jawabnya: yH = (c1 x + c2) e 4x

(D2 + 6D + 25) y = 0 Persamaan akar-akarnya : m 2 + 6 m + 25 = 0

m1,2 =- 6 ± √(36 - 100)

= -3 ± 4i2

Maka yH = e - 3x (c1 cos 4x + c2 sin 4x)Mencari jawab khusus yK

Telah disebutkan di atas bahwa yK memiliki 2 sifat: 1) Bebas linier terhadap yH

2) Sama atau mirip dengan R(x)Maka bentuk-bentuk kemiripan itu bisa disajikan dalam tabel :

Bentuk R(x) Bentuk pemisalan yK

Page 28: Matematika Teknik 2

1) f e mx A e mx A harus dicari

2) f cos mx + g sin mx Harus lengkap:atau f cos mx saja A cos mx + B sin mx A, B harus dicariatau g sin mx saja

3) f xp + g x p-1 + . . . Harus lengkap:baik lengkap atau tidak lengkap A xp + B x p-1 + . . . + M x + N

A, B, . . M, N harus dicari

4) e px (f cos mx + g sin mx) Harus lengkap:baik lengkap atau tidak lengkap e px (A cos mx + B sin mx) A, B dicari

5) e px (f xp + g x p-1 + . . .) Harus lengkap:baik lengkap atau tidak lengkap e px (A xp + B x p-1 + . . . + M x + N)

A, B, . . M, N harus dicari

6) (a xp + b x p-1 + . . .) cos mx + Harus lengkap:(f xp + g x p-1 + . . .) sin mx (A xp + B x p-1 + . . . + M x + N) cos mx +baik lengkap atau tidak lengkap (P xp + Q x p-1 + . . . + V x + W) sin mx

A, B, . . V, W harus dicari

7) Gabungan yang di atas Gabungan yang di atas

Contoh-contoh soal, pecahkan, cari jawab lengkapnya, jawab homogen dan jawab khusus :3.18 (D2 + 2D + 4) y = 8 x2 + 12 e -x

Jawab lengkap : y = yH + yK

Mencari yH : Misalkan yH = e mx

Maka persamaan akar-akar m :m1,2 =

- 2 ± √(4 - 12)

Page 29: Matematika Teknik 2

m2 + 2m + 4 = 0 2 m1,2 = - 1 ± i√2

Jawab homogen: yH = e -x (c1 cos √2 x + c3 sin √2 x)yH sudah bebas linier terhadap R(x) = 8 x2 + 12 e -x

Mencari yK: Misalkan yK = Ax2 + Bx + C + D e -x A,B,C,D harus dicariyK = Ax2 + Bx + C + D e -x Dy = 2Ax + B - D e -x

D2y = 2A + D e -x dimasukkan ke soal :(D2 + 2D + 4) y = 2A + D e -x + 2 (2Ax + B - D e -x ) + 4 (Ax2 + Bx + C + D e -x ) =

4A x2 + (2A + 4B) x + 2A + 2B + 4C + (D - 2D + 4D) e -x ≡ 8 x2 + 12 e -x

Persamaan koefisienx2 4A = 8 A = 2x1 4A + 4B = 0 B = - 2xo 2A + 2B + 4C = 0 C = 0e -x 3D = 12 D = 4 yK = 2x2 - 2x + 4 e -x

y = yH + yK = e -x (c1 cos √2 x + c3 sin √2 x) + 2x2 - 2x + 4 e -x

c1 dan c2 adalah konstanta bebas yang bisa dicari jika ada syarat batas.

3.19 Soalnya sama dengan 3.18 , hanya suku 10 sin 3x ditambahkan pada R(x)Maka jawabnya juga sama dengan jawab 3.18 , hanya harus ditambah dengan yK'

Misalkan yK' = P cos 3x + Q sin 3x D y = - 3P sin 3x + 3Q cos 3xD2y = - 9P cos 3x - 9Q sin 3x

Dimasukkan ke soal:(D2 + 2D + 4) y = - 9P cos 3x - 9Q sin 3x + 2 (- 3P sin 3x + 3Q cos 3x) +- 9P cos 3x - 9Q sin 3x + 2 (- 3P sin 3x + 3Q cos 3x) + 4 (P cos 3x + Q sin 3x) =(- 5P + 6Q) cos 3x + (-5Q - 6P) sin 3x ≡ 10 sin 3x

m1,2 =

Page 30: Matematika Teknik 2

Persamaan koefisien :cos - 5P + 6 Q = 0 P = - 60/61 Pemeriksaan : 300/61 - 300/61 = 0 benarsin - 5Q - 6 P = 10 Q = - 50/61 250/61 + 360/61 = 10 benar

yK' = - 60/61 cos 3x - 50/61 sin 3xy = y3.18 + yK' =

e -x (c1 cos √2 x + c3 sin √2 x) + 2x2 - 2x + 4 e -x - 60/61 cos 3x - 50/61 sin 3x

3.20 (D2 + 4) y = 8 sin 2xJawab, y = yH + yK

Mencari yH , misalkan yH = e mx persamaan akar-akar m: m2 + 4 = 0m1,2 = ± 2i

yH = c1 cos 2x + c2 sin 2x yH tidak bebas linier terhadap R(x) = 8 sin 2x

Mencari yK : Misalkan yK = (Ax + B) cos 2x + (Px + Q) sin 2xD y = A cos 2x - 2(Ax + B) sin 2x + P sin 2x + 2 (Px + Q) cos 2x

= (2Px + 2Q + A) cos 2x + (- 2Ax - 2B + P) sin 2x angka-angka koefisien sama, hanya beda tanda

D2 y = 2P cos 2x - 2(2Px + 2Q + A) sin 2x - 2A sin 2x + 2(- 2Ax - 2B + P) cos 2x= (- 4Ax - 4B + 4P) cos 2x + (- 4 Px - 4Q - 4A) sin 2x

angka-angka koefisien sama, hanya beda tandaMasukkan ke soal:

(D2 + 4) y = (- 4Ax - 4B + 4P) cos 2x + (- 4 Px - 4Q - 4A) sin 2x+ 4 [(Ax + B) cos 2x + (Px + Q) sin 2x]

= 4P cos 2x - 4A sin 2x 4P = 0 P = 0≡ 8 sin 2x - 4A = 8 A = - 2

yK = - 2x cos 2xy = c1 cos 2x + c2 sin 2x - 2x cos 2x

Page 31: Matematika Teknik 2

Persamaan simultan (serentak).d2x

+dy

+ 3x = e -t Atur bentuk soal menjadidt2 dt (D2 + 3) x + Dy = e -t

d2y- 4

dx+ 3y = sin 2t

- 4D x + (D2 + 3) y = sin 2tdt2 dt

e -t D

x =sin 2t D2 + 3

=4 e -t- 2 cos 2t

(D4 + 10D2 + 9) x = 4 e -t - 2 cos 2tD2 + 3 D D4 + 10D2 + 9- 4 D D2 + 3 Persamaan diferensial dalam x

D2 + 3 e -t

y =- 4 D sin 2t

=- 4 e -t - sin 2t

(D4 + 10D2 + 9) y = - 4 e -t - sin 2tD2 + 3 D D4 - 9 + 4D2

- 4 D D2 + 3 Persamaan diferensial dalam y

(D4 + 10D2 + 9) x = 4 e -t - 2 cos 2tJawab x = xH + xK

Mencari xH , misalkan xH = e mt Persamaan akar-akar m: m4 + 10m2 + 9 = 0(m2 + 9)(m2 + 1) = 0 m1,2 = ± 3i

m3,4 = ± ixH = c1 cos 3t + c2 sin 3t + c3 cos t + c4 sin t sudah bebas linier terhadap R(t)

Mencari xK : Misalkan xK = A e -t + B cos 2t + C sin 2t suku sin tidak akan munculD x = - A e -t - 2B sin 2t + 2C cos 2t

D2 x = A e -t - 4B cos 2t - 4C sin 2tD3 x = - A e -t + 8B sin 2t - 8C cos 2tD4 x = A e -t + 16B cos 2t + 16C sin 2t

Page 32: Matematika Teknik 2

Dimasukkan ke soal: (D4 + 10D2 + 9) x = 4 e -t - 2 cos 2tA e -t + 16B cos 2t + 16C sin 2t + 10 (A e -t - 4B cos 2t - 4C sin 2t) +

9 (A e -t + B cos 2t + C sin 2t) =20A e -t - 15B cos 2t - 15C sin 2t ≡ 4 e -t - 2 cos 2tPersamaan koefisien:20A = 4 A = 1/515B = 2 B = 2/15 xK = 1/5 e -t + 2/15 cos 2t15C = 0 C = 0

x = c1 cos 3t + c2 sin 3t + c3 cos t + c4 sin t + 1/5 e -t + 2/15 cos 2t

(D4 + 10D2 + 9) y = - 4 e -t - sin 2ty = yH + yK yH = a1 cos 3t + a2 sin 3t + a3 cos t + a4 sin t

Misalkan yK = P e -t + Q sin 2t suku cos tidak akan munculD2 y = P e -t - 4Q sin 2tD4 y = P e -t + 16Q sin 2t

(D4 + 10D2 + 9) y = P e -t + 16Q sin 2t + 10(P e -t - 4Q sin 2t) + 9(P e -t + Q sin 2t)= 20P e -t - 15Q sin 2t ≡ - 4 e -t - sin 2t

Persamaan koefisien20P = - 4 P = - 1/515Q = 1 Q = 1/15 yK = - 1/5 e -t + 1/15 sin 2t

y = a1 cos 3t + a2 sin 3t + a3 cos t + a4 sin t - 1/5 e -t + 1/15 sin 2t

Soal-soal latihan, Pecahkan:3.77 dx

+ 2x =dy

+ 10 cos tsyarat batas: bila t = 0 maka x = 2 , y = 0

dt dtdy

+ 2y = 4 e -2t -dx

Page 33: Matematika Teknik 2

dt dt

3.78 (D2 + 2) x + D y = 2 sin t + 3 cos t + 5 e -t syarat batas, jika t = 0D x + (D2 - 1) y = 3 cos t - 5 sin t - e -t x = 2, dx = 0, y = -3 , dy = 4

3.85 i Diketahui R1 = 8 ohm R2 = 1 ohmR1 L L = 2 henry C = 0,1 farad

C Syarat batas t = 0 , maka i = 0 dan q = 0i1 a) E = 360

i2 b) E = 600 e -5t sin 3tR2 Hitung q , i , i1 , i2 sebagai fungsi dari t

Contoh 3.37Sebuah rangkaian listrik terdiri atas induktor 2 henry, resistor 16 ohm dan kapasitor 0,02farad dipasang serie dengan sebuah batery E = 100 sin 3t. Jika pada t = 0 muatan dan arus = 0, hitung besar arus dan muatan pada t > 0.

Jawab: Persamaan integralnya :L

di+ Ri +

q= E

dt Ckarena

i =dq

maka Ld2q

+ Rdq

+q

= Edt dt2 dt C

d2q+

R dq+

q=

Emaka

d2q+ 8

dq+ 25 q = 50 sin 3t

dt2 L dt LC L dt2 dt

Jawab: q = qH + qK

Mencari qH : Misalkan q = e mt m2 + 8m + 25 = 0 m1,2 = - 4 ± 3iqH = e -4t (c1 cos 3t + c2 sin 3t) bebas linier terhadap R(t)

E

+ 2y = 4 e -2t -

Page 34: Matematika Teknik 2

Mencari qH : Misalkan yK = A cos 3t + B sin 3t A, B dicariD y = - 3A sin 3t + 3B cos 3tD2y = - 9A cos 3t - 9B sin 3t

Masukkan ke soal: (D2 + 8D + 25) q = 50 sin 3t- 9A cos 3t - 9B sin 3t

- 24A sin 3t + 24B cos 3t25A cos 3t + 25B sin 3t

(16A + 24B) cos 3t + (-24A + 16B) sin 3t ≡ 50 sin 3t

Persamaan koefisien :cos 16A + 24B = 0 A = -1 23/52

qK = - 1 23/52 cos 3t + 25/26 sin 3tsin -24A + 16B = 50 B = 25/26

q = e -4t (c1 cos 3t + c2 sin 3t) - 1 23/52 cos 3t + 25/26 sin 3ti = dq/dt = e -4t (-4c1 cos 3t - 4c2 sin 3t - 3c1 sin 3t + 3c2 cos 3t)

+ 225/52 sin 3t + 75/26 cos 3t

Syarat batas, t = 0 , maka q = 0 , i = 0qo = c1 - 1 23/52 = 0 c1 = 1 23/52 io = - 4c1 + 3c2 + 75/26 = 0 c2 = 25/26

q = 25/52 e -4t (3 cos 3t + 2 sin 3t) - 1 23/52 cos 3t + 25/26 sin 3ti = e -4t (-2 23/26 cos 3t - 8 9/52 sin 3t) + 225/52 sin 3t + 75/26 cos 3t

= - 25/52 e -4t (6 cos 3t + 17 sin 3t) + 225/52 sin 3t + 75/26 cos 3tContoh soal 3.48 Diketahui rangkaian listrik seperti di gambar samping.

M L i = i1 + i2 E = 120 volt20 Ω 4 H i2 Hitung besar arus setiap saat.

Page 35: Matematika Teknik 2

N i1 K Jawab: Loop JKNPJ2

di1 + 10 i1 + 20 i = 12010 Ω 2 H i dt

2di1 + 10 i1 + 20 i1 + 20 12 = 120

P 20 Ω J dtLoop KLMNK

4di2 + 20 i2 - 10 i1 - 2 di1 = 0dt dt

Setelah diatur diperoleh:(2D + 30) i1 + 20 i2 = 120

disederhanakan(D + 15) i1 + 10 i2 = 60

(- 2D - 10) i1 + (4D + 20) i2 = 0 - i1 + 2 i2 = 0i1 = 2 i2

(D + 15) i1 + 5 i1 = 60(D + 20) i1 = 60 i1 = c1 e -20t + 3

syarat batas t = 0 i = 0c1 = - 3 i1 = - 3 e -20t + 3

i2 = - 3/2 e -20t + 3/2Latihan soal, pecahkan:3.63 (D3 - 8) y = 16x + 18e -x + 64 cos 2x - 32

3.64 a) y " + 3 y ' + 2 y = 4 e -2x b) (D3 + 3D2) y = 180 x3 + 24 x

c) y " + 4 y ' + 8 = e -2x cos 2x d) y " + 4 y ' + 8 = e -2x sin 2x

3.84 Rangkaian listrik L = 2 henry, R = 4 ohms, C = 0,05 Farad dipasang serie dengan E.Pada t = 0, muatan q = 2 coulomb. Hitung I pada t > 0 jikaa) E = 100 voltb) E = 100 sin 4t

Diketahui : L(H) R(Ω) C(F) E(V) Cari i jika

E

ES

Page 36: Matematika Teknik 2

i A 2 24 0.005 4 sin 3t pada t = 0R L B 2 20 0.010 3 sin 2t maka Q = 0

C C 2 12 0.020 5 sin 2t dan i = 0L di/dt + Ri + Q/C = E i = dQ/dt

9.126 (D2 + 60D + 500) i = (2t - 50) e -10t sin 50t (D2 - 6D + 25) y = 6 e 3x cos 4x

9.191 (D2 - 10D + 29) y = - 8 e 5x sin 2x 9.192 (D2 + 4D + 5) y = 60 e -2x sin x

9.199 (D2 - 6D + 25) y = (2x - 1) e 3x cos 4x 9.194 (D2 - 2D + 10) y = 18 e x cos 3x

3.85 i Diketahui R1 = 8 ohm R2 = 1 ohmR1 L L = 2 henry C = 0,1 farad

C Syarat batas t = 0 , maka i = 0 dan q = 0i1 a) E = 360

i2 b) E = 600 e -5t sin 3tR2 Hitung q , i , i1 , i2 sebagai fungsi dari t

Loop atas

L di + q + R1i = E L di1 + L di2 + q + R1i1 + R1i2 = Edt C dt dt C

i1 =dq

L d2q + R1dq + q + L di2 + R1i2 = E

dt dt2 dt C dtLoop bawah

-q+ R2i2 = 0

C

d2q +R1 dq + q + di2 +

R1i2 = E (D2 + 4D + 5)q + (D + 4)i2 =

Edt2 L dt LC dt L L L

E

E

Page 37: Matematika Teknik 2

-q + R2i2 = 0 - 10 q + i2 = 0C

a) E = 360(D2 + 4D + 5)q + (D + 4)i2 = 180

- 10 q + i2 = 0

180 D+4

q =0 1

=180 (D2 + 14D + 45) q = 180

D2+4D+5 D+4 D2 + 14D + 45 (D + 9) (D + 5) q = 180-10 1 q = c1 e -9t + c2 e -5t + 4

i1 = dq/dt = - 9 c1 e -9t - 5 c2 e -5t

i2 = 10 q

Syarat batas, t = 0 , q = 0 c1 + c2 = -4 c1 = 5i1 = 0 - 9 c1 - 5 c2 = 0 c2 = -9

q = 5 e -9t - 9 e -5t + 4i1 = - 45 e -9t + 45 e -5t

i2 = 50 e -9t - 90 e -5t + 40i = 5 e -9t - 45 e -5t + 40b) E = 600 e -5t sin 3t (D2 + 4D + 5)q + (D + 4)i2 = 300 e -5t sin 3t

- 10 q + i2 = 0 i2 = 10 q300e-5tsin 3t D+4

q =0 1 = 300 e -5t sin 3t (D2 + 14D + 45)q = 300 e -5t sin 3t

D2+4D+5 D+4 D2 + 14D + 45-10 1 qH = c1 e -9t + c2 e -5t

Page 38: Matematika Teknik 2

Misal qK = e -5t (A cos 3t + B sin 3t)Dq = e -5t [(-5A+3B) cos 3t + (-3A-5B) sin 3t]

D2q = e -5t [(16A-30B) cos 3t + (30A+16B) sin 3t] masukkan ke soal

e -5t [(16A-30B) cos 3t + (30A+16B) sin 3t]14 e -5t [(-5A+3B) cos 3t + (-3A-5B) sin 3t]45 e -5t (A cos 3t + B sin 3t)e -5t [(-9A+12B) cos 3t + (-12A-9B) sin 3t] ≡ 300 e -5t sin 3t A = - 16

B = - 12q = c1 e -9t + c2 e -5t + e -5t(-16 cos 3t - 12 sin 3t)

i1 = dq/dt = - 9 c1 e -9t - 5 c2 e -5t + e -5t(44 cos 3t + 108 sin 3t)

Syarat batas, t = 0 q = 0 c1 + c2 - 16 = 0 c1 = -9i1 = 0 - 9 c1 - 5 c2 + 44 = 0 c2 = 25

q = - 9 e -9t + 25 e -5t - e -5t(16 cos 3t + 12 sin 3t)i1 = 81 e -9t - 125 c2 e -5t - e -5t(44 cos 3t + 108 sin 3t)i2 = - 90 e -9t + 250 e -5t - e -5t(160 cos 3t + 120 sin 3t)i = - 9 e -9t + 125 e -5t - e -5t(204 cos 3t + 228 sin 3t)

1. Bobot 30 Diketahui : L(H) R(Ω) C(F) E(V) Cari i(t) jikai A 2 24 0.005 4 sin 3t pada t = 0

R L B 2 20 0.010 3 sin 2t maka Q = 0C C 2 12 0.020 5 sin 2t dan i = 0

L di/dt + Ri + Q/C = E i = dQ/dtL d2Q/dt2 + R dQ/dt + Q/C = Ed2Q/dt2 + R/L dQ/dt + Q/LC = E/L (D2 + R/L D + 1/LC)Q = E/L

ES

Page 39: Matematika Teknik 2

A (D2 + 12 D + 100)Q = 4 sin 3t Q = QH + QK

Mencari QH Misalkan QH = e mt

m2 + 12 m + 100 = 0 m1,2 = -6 ± 1/2 √(144-400) = -6 ± 2iQH = e -6t (c1 cos 2t + c2 sin 2t)

Mencari QK Misalkan QK = A cos 3t + B sin 3tDQ = - 3A sin 3t + 3B cos 3t

D2Q = - 9A cos 3t - 9B sin 3t

Masukkan ke soal : (D2 + 12 D + 100)Q = 4 sin 3t - 9A cos 3t - 9B sin 3t- 36A sin 3t + 36B cos 3t100A cos 3t + 100B sin 3t +

(91A + 36B) cos 3t + (91B - 36A) sin 3t ≡ 4 sin 3t

Persamaan koefisien : 91 A + 36 B = 0 A = -0.015## A + 91 B = 4 B = 0.038

QK = - 0,015 cos 3t + 0,038 sin 3t

Q = QH + QK = e -6t (c1 cos 2t + c2 sin 2t) - 0,015 cos 3t + 0,038 sin 3ti = dQ/dt =

e -6t (-6c1 cos 2t - 6c2 sin 2t - 2c1 sin 2t + 2c2 cos 2t) + 0,045 sin 3t + 0,114 cos 3t

Syarat batas t= 0, Q = 0 c1 - 0,015 = 0 c1 = 0.015i = 0 -6c1 + 2c2 + 0,114 = 0 c2 = -0.012

Q = e -6t (0,015 cos 2t - 0,012 sin 2t) - 0,015 cos 3t + 0,038 sin 3ti = e -6t ( -0.114 cos 2t + 0.0413 sin 2t) + 0,045 sin 3t + 0,114 cos 3t

1. Bobot 30 Diketahui : L(H) R(Ω) C(F) E(V) Cari i(t) jikaES

Page 40: Matematika Teknik 2

i A 2 24 0.005 4 sin 3t pada t = 0R L B 2 20 0.010 3 sin 2t maka Q = 0

C C 2 12 0.020 5 sin 2t dan i = 0(D2 + R/L D + 1/LC)Q = E/L i = dQ/dt

B (D2 + 10 D + 50)Q = 3 sin 2t Q = QH + QK

Mencari QH Misalkan QH = e mt

m2 + 10 m + 50 = 0 m1,2 = -5 ± 1/2 √(100-200) = -5 ± 5iQH = e -5t (c1 cos 5t + c2 sin 5t)

Mencari QK Misalkan QK = A cos 2t + B sin 2tDQ = - 2A sin 2t + 2B cos 2t

D2Q = - 4A cos 2t - 4B sin 2tMasukkan ke soal : (D2 + 10 D + 50)Q = 3 sin 2t - 4A cos 2t - 4B sin 2t

- 20A sin 2t + 20B cos 2t50A cos 2t + 50B sin 2t +

(46A + 20B) cos 2t + (46B - 20A) sin 2t ≡ 3 sin 2tPersamaan koefisien : 46 A + 20 B = 0 A = -0.032

-20 A + 46 B = 4 B = 0.0731Q K = -0.032 cos 2t + 0.0731 sin 2t

Q = QH + QK = e -5t (c1 cos 5t + c2 sin 5t) + -0.032 cos 2t + 0.0731 sin 2ti = dQ/dt =

e -5t (-5c1 cos 5t - 5c2 sin 5t - 5c1 sin 5t + 5c2 cos 5t) + 0,064 sin 2t + 0,146 cos 2tSyarat batas t= 0, Q = 0 c1 - 0,032 = 0 c1 = 0.0318

i = 0 -5c1 + 5c2 + 0,146 = 0 c2 = 0.0025Q = e -5t (0,032 cos 5t + 0,003 sin 5t) - 0,032 cos 2t + 0,073 sin 2t

ES

Page 41: Matematika Teknik 2

i = e -5t ( -0.146 cos 2t - 0.1717 sin 5t) + 0,046 sin 2t + 0,146 cos 2t

1. Bobot 30 Diketahui : L(H) R(Ω) C(F) E(V) Cari i(t) jikai A 2 24 0.005 4 sin 3t pada t = 0

R L B 2 20 0.010 3 sin 2t maka Q = 0C C 2 12 0.020 5 sin 2t dan i = 0

(D2 + R/L D + 1/LC)Q = E/L i = dQ/dt

C (D2 + 6 D + 25)Q = 5 sin 2t Q = QH + QK

Mencari QH Misalkan QH = e mt

m2 + 6 m + 25 = 0 m1,2 = -3 ± 1/2 √(36-100) = -3 ± 4iQH = e -3t (c1 cos 4t + c2 sin 4t)

Mencari QK Misalkan QK = A cos 2t + B sin 2tDQ = - 2A sin 2t + 2B cos 2t

D2Q = - 4A cos 2t - 4B sin 2t

Masukkan ke soal : (D2 + 6 D + 25)Q = 3 sin 2t - 4A cos 2t - 4B sin 2t- 12A sin 2t + 12B cos 2t25A cos 2t + 25B sin 2t +

(21A + 12B) cos 2t + (21B - 12A) sin 2t ≡ 5 sin 2tPersamaan koefisien : 21 A + 12 B = 0 A = -0.103

-12 A + 21 B = 5 B = 0.1795Q K = -0.103 cos 2t + 0.1795 sin 2t

Q = QH + QK = e -3t (c1 cos 4t + c2 sin 4t) + -0.103 cos 2t + 0.1795 sin 2ti = dQ/dt =

ES

Page 42: Matematika Teknik 2

e -3t (-3c1 cos 4t - 3c2 sin 4t - 4c1 sin 4t + 4c2 cos 4t) + 0,206 sin 2t + 0,358 cos 2tSyarat batas t= 0, Q = 0 c1 - 0,103 = 0 c1 = 0.1026

i = 0 -3c1 + 4c2 + 0,358 = 0 c2 = -0.013Q = e -3t (0,103 cos 4t - 0,013 sin 4t) - 0,103 cos 2t + 0,179 sin 2ti = e -3t ( -0.359 cos 2t - 0.3718 sin 4t) + 0,206 sin 2t + 0,358 cos 2t

Page 43: Matematika Teknik 2

Transformasi Laplace didefinisikan sebagai: ∞Lf(t) = F(s) = e -st f(t) dt

Operator Laplace L juga bersifat sebagai operator 0Lc1f1(t) + c2f2(t) = c1 Lf1(t) + c2 Lf2(t)

Selanjutnya akan lebih sering menggunakan tabel:Tabel Laplace

No. f(t) = L -1 F(s) F(s) = L f(t)

1 1 1s > 0

s

2 t n n = 1, 2, 3, . . . n !s > 0

s n+1

3 e at 1s > a

s - a

4 cos ωt ss > 0

s2 + ω2

5 sin ωt ωs > 0

s2 + ω2

6 cosh at as > a

s2 - a2

7 sinh at ss > a

s2 - a2

Pengembangan Laplace:

Page 44: Matematika Teknik 2

Lf (n)(t) = s n Lf(t) - s n-1 f(0) - s n-2 f ' (0) - s n-3 f " (0) - . . . - f (n-1) (0)pangkat s dari n turun satu-satu sampai habisf '(0) juga diturunkan lagi satu-satu sampai tidak memiliki koefisien s

Lf '(t) = s Lf(t) - f(0)

Lf "(t) = s 2 Lf(t) - s f(0) - f ' (0)

Le at f(t) = F(s - a) kebalikannya L -1F(s-a) = e at f(t)

Lt n f(t) = (- 1)n dnF

= (- 1)n F n(s) L -1F n (s) = (- 1)n t n f(t)dsn

dan masih ada beberapa formula lagi yang penggunaannya khusus.Contoh-contoh soal:4.5 Hitung L3 e -4t Jawab:

Le at =1 maka

L3e-4t =3

s-a s + 4L4 cos 5t

L cos ωt =s maka

L4 cos 5t =4s

s2 + ω2 s2 + 254.8 Hitung :

Lsin t cos tL sin ωt =

ω makaL1/2 sin 2t =

1= L1/2 sin 2t s2 + ω2 s2 + 4

4.12 Hitung:

L -1 5= 5L -1 1

= 5 e -2t

s + 2 s + 2

L -1 4s - 3= 4L -1 s

-3

L -1 2= 4 cos 2t - 3/2 sin 2t

s2 + 4 s2 + 4 2 s2 + 4

L -1 2s - 5= 2L -1 1

- 5L -1 1= 2 - 5t

Page 45: Matematika Teknik 2

s2 s s2

4.13 Hitung:

L -1 1= L -1 1 1

=A

+B

= (A+B)s + 2As2 + 2s s(s + 2) s(s + 2) s s + 2 s (s + 2)

(A+B)s + 2A = 1 A + B = 0 B = - 1/22A = 1 A = 1/2

L -1 1= L -1 1/2

- L -1 1/2= 1/2 - 1/2 e 2t

s(s + 2) s s + 24.27 Hitung:

Le 3t sin 4t Le at f(t) = F(s-a)

Lsin 4t =4

a = 3 Le3t sin 4t =4

s2 + 16 (s-3)2 + 16

=4

s2 - 6s + 25Lt 2 e -2t Lt n f(t) = (- 1)n F n(s) f(t) = e -2t

F(s) = 1

s + 2n = 2 F2(s) = d -1

=2

Lt 2 e -2t =2

ds (s + 2)2 (s + 2)3 (s + 2)3

Le -2t t2 f(t) = t2

F(s) = 2 a = -2s3

F(s-a) =2

(s + 2)3

4.33L -1 2s + 3

= L -1 2(s-1) + 5= e t (2 cos 2t + 5/2 sin 2t)

s2 - 2s + 5 (s-1)2 + 4

4.39L -1 2s2 - 4

= L -1 A+

B+

C=

(s-2)(s+1)(s-3) s - 2 s + 1 s - 3

L -1 = 2L -1 - 5L -1 = 2 - 5t

Page 46: Matematika Teknik 2

Ae2t + Be-t + Ce3t

A(s+1)(s-3) + B(s-2)(s-3) + C(s-2)(s+1)=

2s2 - 4(s+1)(s-2)(s-3) (s-2)(s+1)(s-3)

(A + B + C) s2 + (-2A - 5B - C) s + (-3A + 6B - 2C) = 2 s2 - 4

Koefisien s2 : A + B + C = 2 A = - 4/3s1 -2A - 5B - C = 0 B = - 1/6so -3A + 6B - 2C = -4 C = 7/2

4.40L -1 3s + 1

= L -1 A+

Bs + C= A e t + B cos t + C sin t

(s-1)(s2+1) s - 1 s2 + 1

A(s2 + 1) + (s-1)(Bs + C) = 3s + 1jika s = 1 A(2) + 0 = 4 A = 22(s2 + 1) + (s-1)(Bs + C) = 3s + 1Jika s = 0 2 - C = 1 C = 12(s2 + 1) + (s-1)(Bs + 1) = 3s + 1Jika s = 2 10 + 2B + 1 = 7 B = - 2

4.41L -1 5s2-15s+7

= L -1 A+

B+

C= Ae-t+ (B + C*t)e2t

(s+1)(s-2)2 s + 1 s - 2 (s - 2)2

A(s-2)2 + B(s+1)(s-2) + C(s+1) = 5s2 - 15s + 7s = - 1 A(9) = 5 + 15 + 7 = 27 A = 3s = 2 3C = 20 - 30 + 7 = - 3 C = - 13(s-2)2 + B(s+1)(s-2) - (s+1) = 5s2 - 15s + 7s = 0 12 - 2B - 1 = 7 B = 2

Page 47: Matematika Teknik 2

Mencari C*

L -1 -1= C* t e 2t atau Lc* t e 2t = C* (-1) 1

d 1≡

-1(s - 2)2 ds s - 2 (s - 2)2

C*1

≡-1

(s - 2)2 (s - 2)2

C* = -14.30

Lt sin 2t = (-1) 1 d 2

=4s

ds s2 + 4 (s2+4)2

Lt2 sin 2t = (-1) 2 d2 2

=d - 4s

= -4(s2+4)-2 + 8s(s2+4)-3 2sds2 s2 + 4 ds (s2+4)2

=-4(s2+4) + 16s2

=12s2-16

(s2+4)3 (s2+4)3

Masukkan ke soal:

s2Y - 2s + 1 - 3(sY - 2) + 2Y = (s2 - 3s + 2) Y - 2s + 7 =1

s + 1

(s2 - 3s + 2) Y =1

+ 2s - 7 =2s2 - 5s - 6

s + 1 s + 1

Y =2s2 - 5s - 6

=A

+B

+C

(s + 1)(s2 - 3s + 2) s + 1 s - 2 s - 1

y(t) = A e -t + B e 2t + C e t A(s-2)(s-1) + B(s+1)(s-1) + C(s+1)(s-2) = 2s2-5s-6s = - 1 A = 1/6s = 2 B = -2 2/3

Page 48: Matematika Teknik 2

s = 1 C = 4 1/2

Latihan soal, Kerjakan soal-soal Persamaan Diferensial Linier dengan cara Laplace.

Page 49: Matematika Teknik 2

Fungsi periodik.Fungsi f(x) disebut periodik dengan periode T jika f(x+T) = f(x)Contoh fungsi periodik itu adalah fungsi goneometri sinus, cosinus dst dengan periode 2πContoh bentuk-bentuk fungsi periodik:

T T Kebanyakan fungsi tidak periodik.Fungsi periodik tsb misalnya gerakanpegas, bandul jam, sebagai fungsi dari

T T waktu.

Deret Fourier.Jika f(x) itu didefinisikan pada selang (-L,L) dan di luar selang itu f(x+2L) = f(x) , makadikatakan f(x) periodik dengan periode 2L, sehingga deret Fourier F(x)-nya adalah:

∞F(x) = ao + ∑ an cos nπx + bn sin nπx

2 L Ln=1L L

an = 1 f(x) cos nπx dx disebut suku cos ao = 1 f(x) dxL L L-L -L

L

bn = 1 f(x) sin nπx dx disebut suku sin n = 0, 1, 2, 3 , . . . .L L-L

Batas-batas integrasi adalah tergantung pada selang definisi fungsi, tetapi lebar selang selalu= 2L , misalnya (-2L, 0), (-L, L) , (0, 2L), (c, c+2L)

Contoh, uraikan f(x) = x2 0 < x < 2π dalam deret Fourier∞

Jawab : F(x) = ao + ∑ an cos nπx + bn sin nπx 2L = 2π L = π2 L Ln=1

Page 50: Matematika Teknik 2

2π 2π

an = 1 f(x) cos nπx dx = 1 x2 cos nx dx = u dv = u v - v duL L π0 0

u = x2 du = 2x dxx2 sin nx

2π 2π

= - 2 x sin nx dx dv = cos nx dxnπ nπ0 0 2π 2π

= 0 + - 2 - x cos nx + 1 cos nx dx = 4 v = 1 sin nxnπ n n n2 n0 0

2π 2π 2π 2π

ao = 1 f(x) dx = 1 x2 dx = x3= 8π2

cos nx dx = sin nx = 0L π 3π 30 0 0 0

2π 2π

bn = 1 f(x) sin nπx dx = 1 x2 sin nx dx = u dv = u v - v duL L π0 0

u = x2 du = 2x dx-x2 cos nx

2π 2π

= + 2 x cos nx dx dv = sin nx dxnπ nπ0 0

2π 2πv = -1 cos nx

= -4π + 2 x sin nx - 1 sin nx dx nn nπ n n

0 02π

= -4π + 2 1 cos nx = -4πn nπ n2 n

0

∞F(x) = 8π2

+ ∑ 4 cos nx - 4π sin nx6 n2 nn=1

Misalkan diminta untuk menulis 4 suku pertama yang tidak nol, makan = 1, 2, 3, 4 . . . .

a1 = 4

a2 = 4

a3 = 4

a4 = 4

Page 51: Matematika Teknik 2

1 4 9 16

b1 = -4π

b2 = -4π

b3 = -4π

b4 = -4π

1 2 3 4

F(x) =8π2

+4

cos x -4π

sin x +4

cos 2x -4π

sin 2x +4

cos 3x -6 12 1 22 2 32

Fungsi genap dan fungsi ganjil.Sebuah fungsi disebut fungsi genap jika berlaku f(-x) = f(x) contoh cos (-x) = cos xSebuah fungsi disebut fungsi ganjil jika berlaku f(-x) = - f(x) contoh sin (-x) = - sin x

Deret Fourier 1/2 area.Adakalanya suatu fungsi hanya didefinisikan pada separuh selang, maka pada separuh selangsisanya, besarnya nilai fungsi dapat ditentukan jika diketahui fungsinya, genap atau ganjil.Contoh, f(x) = x 0 < x < 2

y y

x x-2 0 2 4 -2 0 2 4

Gambar f(x) jika f(x) adalah fungsi genap Gambar f(x) jika f(x) adalah fungsi ganjilSecermin terhadap sumbu yFormula deret Fourier 1/2 area adalah:a) Deret cos (fungsi genap)

∞ L

F(x) = ao + ∑ an cos nπx an = 2 f(x) cos nπx dx2 L L Ln=1 0

bn = 0

a1 = a2 = a3 = a4 =

Page 52: Matematika Teknik 2

b) Deret sin (fungsi ganjil)∞ L

F(x) = ∑ bn sin nπx bn = 2 f(x) sin nπx dxL L Ln=1 0

an = 0Perhatian:Jika pada deret Fourier yang lengkap batas-batas integrasinya 0 sampai 2L, maka padaderet Fourier 1/2 area batas-batas integrasinya hanya dari 0 sampai L saja.Sebagai kompesasinya, di depan tanda integral harus dikalikan 2 sehingga menjadi 2/L.

Latihan soal:7.11 Nyatakan f(x) = sin x 0 < x < π dalam deret Fourier cos

Nyatakan f(x) = cos x 0 < x < π dalam deret Fourier sin

7.8 Nyatakan f(x) = x (10 - x) 0 < x < 10 Periode 10 dalam deret Fourier

7.8 Nyatakan f(x) = x 0 < x < 2 a) Dalam deret Fourier cosb) Dalam deret Fourier sin

7.26 Nyatakan f(x) =

- x - 4 < x < 0Periode 8, dalam deret Fourier

x 0 < x < 4

7.28 Nyatakan dalam deret Fourierf(x) =

2 - x 0 < x < 4Periode 8

x - 6 4 < x < 8

7.31 Nyatakanf(x) =

2 - x 0 < x < 4 a) Dalam deret Fourier cosx - 6 4 < x < 8 b) Dalam deret Fourier sin

Nyatakanf(x) =

x 0 < x < 4 a) Dalam deret Fourier cos

Page 53: Matematika Teknik 2

8 - x 4 < x < 8 b) Dalam deret Fourier sin

Nyatakanf(x) =

x - 6 0 < x < 4 a) Dalam deret Fourier lengkap2 - x 4 < x < 8 b) Dalam deret Fourier cos

c) Dalam deret Fourier sinContoh soal :7.28 Nyatakan dalam deret Fourier

f(x) =2 - x 0 < x < 4

Periode 8x - 6 4 < x < 8

∞Jawab : F(x) = ao + ∑ an cos nπx + bn sin nπx 2L = 8 L = 42 L L

n=12L 4 8

an = 1 f(x) cos nπx dx = 1 (2-x) cos nπx dx + 1 (x-6) cos nπx dx = A + BL L 4 4 4 40 o 4

4 4 4A = 1 (2-x) cos nπx dx = 1 2 cos nπx dx - 1 x cos nπx dx =4 4 4 4 4 4

o o o= 0

4 4 4= -1 4x sin nπx - 4 sin nπx dx = 1 -4 cos nπx = -4 cos nπ - 14 nπ 4 nπ 4 nπ nπ 4 n2π2

o o o= 0

Kertas buram : x cos nπx dx = 4x sin nπx - 4 sin nπx dx4 nπ 4 nπ 4

sin nπx dx = -4 cos nπx4 nπ 4

8 8 8B = 1 (x-6) cos nπx dx = 1 x cos nπx dx - 1 6 cos nπx dx =4 4 4 4 4 4

4 4 4

f(x) =

Page 54: Matematika Teknik 2

= 08 8 8

= 1 4x sin nπx - 4 sin nπx dx = -1 -4 cos nπx = 4 1 - cos nπ4 nπ 4 nπ 4 nπ nπ 4 n2π2

4 4 4= 0

an = A + B = -4 cos nπ - 1 + 4 1 - cos nπ = 8 1 - cos nπn2π2 n2π2 n2π2

2L 4 4a0= 1 f(x) dx = 1 (2-x) dx + 1 (x-6) dx =L 4 4

0 o o4 4 8 8

= 1 2 dx - 1 x dx + 1 x dx - 1 6 dx4 nπx 4 4o o 4 4

4 4 8 8

=2

x -1

x2 +1

x2 -6

x = 2 - 2 + 6 - 6 = 04 8 8 40 0 4 4

2L 4 8bn = 1 f(x) sin nπx dx = 1 (2-x) sin nπx dx + 1 (x-6) sin nπx dx = P + QL L 4 4 4 4

0 o 44 4 4

P = 1 (2-x) sin nπx dx = 1 2 sin nπx dx - 1 x sin nπx dx =4 L 4 4 4 4o o o

4 4 4= 2 -4 cos nπx - 1 -4x cos nπx - -4 cos nπx dx =4 nπ 4 4 nπ 4 nπ 4

o o o= 0

= -2 cos nπ - 1 + 1 4 cos nπ = 2 cos nπ + 1nπ nπ nπ

Page 55: Matematika Teknik 2

Kertas buram : x sin nπx dx = -4x cos nπx + 4 cos nπx dx4 nπ 4 nπ 4= 0

8 8 8Q = 1 (x-6) sin nπx dx = 1 x sin nπx dx - 1 6 sin nπx dx =4 L 4 4 4 4

4 4 48 8 8

= 1 -4x cos nπx - -4 cos nπx - 6 -4 cos nπx =4 nπ 4 nπ 4 4 nπ 44 4 4

= 0

= -1 8 - 4 cos nπ + 6 1 - cos nπ = -2 cos nπ + 1nπ nπ nπ

bn = P + Q = 2 cos nπ + 1 + -2 cos nπ + 1 = 0nπ nπ

∞F(x) = Σ 8 1 - cos nπ cos nπx

n2π2 4o

Jika diminta untuk menulis 4 suku pertama yang tidak nol, maka :

an = 8 1 - cos nπ a1 = 8 1 - (-1) = 16n2π2 π2 π2

a2 = 8 1 - (1) = 0 n genap , an = 04π2

F(x) = 16 1 cos πx + 1 cos 3πx + 1 cos 5πx + 1 cos 7πx + . . .π2 1 4 9 4 25 4 49 4

Page 56: Matematika Teknik 2

ContohNyatakan f(x) = sin x 0 < x < π dalam a) Deret cosinus

b) Deret sinusJawab : Karena deret Fourier 1/2 area, maka L = π

a) Deret cos (fungsi genap)∞ L

F(x) = ao + ∑ an cos nπx an = 2 f(x) cos nπx dx an = 02 L L Ln=1 0

π π π

an = 2 sin x cos nx dx = 1 sin (n+1)x dx - 1 sin (n-1)x dx =π π π0 0 0

π π

-1 cos (n+1)x + 1 cos (n-1)x =(n+1)π (n-1)π0 0

-1 cos (n+1)π - 1 + 1 cos (n-1)π - 1 =(n+1)π (n-1)π-1 cos (n+1)π + 1 cos (n-1)π -2(n+1)π (n-1)π

Teori : sin x cos nx sin x cos nxsin (α+β) = sin α cos β + sin β cos α sin (α+β) = sin α cos β + sin β cos αsin (α-β) = sin α cos β - sin β cos α + sin (α-β) = sin α cos β - sin β cos α -sin (α+β) + sin (α-β) = 2 sin α cos β sin (α+β) - sin (α-β) = 2 sin β cos α

α = x β = nx β = x α = nx2 sin x cos nx = sin (n+1)x + sin (1-n)x 2 sin x cos nx = sin (n+1)x - sin (n-1)x

sin x cos nx = 1 sin (n+1)x + 1 sin (1-n)x = 1 sin (n+1)x - 1 sin (n-1)x2 2 2 2π π

a0 = 2 sin x dx = -2 cos x = -2 (-1 - 1) = 4π π π π

Page 57: Matematika Teknik 2

0 0

∞F(x) = ao + ∑ an cos nπx =2 L

n=1

∞= 2 + ∑ -1 cos (n+1)π + 1 cos (n-1)π -2 cos nxπ (n+1)π (n-1)π

n=1

Tunjukkan bn = 0L π

bn = 2 f(x) sin nπx dx = 2 sin x sin nx dx =L L π0 o

Teori :cos (x + nx) =

b) Deret sin (fungsi ganjil)∞ L

F(x) = ∑ bn sin nπx bn = 2 f(x) sin nπx dxL L Ln=1 0

Page 58: Matematika Teknik 2

an = 0

Page 59: Matematika Teknik 2

Persamaan deferensial parsial adalah persoalan pemecahan untuk fungsi 2 variabel atau lebih.Persamaan ini banyak dipakai untuk permasalahan getaran atau perpindahan panas.Bentuk umum PD Parsial:

A ∂2u + B ∂2u + C ∂2u + D ∂u + E ∂u + Fu = G∂x2 ∂x ∂y ∂y2 ∂x ∂y

Contoh-contoh soal dan penyelesaiannya.12.8 Pecahkan ∂2z = x 2 y Cari jawab tertentunya jika z(x,0) = x2

∂x ∂y z(1,y) = cos y

Jawab: ∂2z = ∂ ∂z = x 2 y ∂z = x2 y ∂x =1

x3 y + F(y)∂x ∂y ∂x ∂y ∂y 3

z =1

x3 y + F(y) ∂y =3

z =1

x3 y + F(y) ∂y =x3y2

G(y) + H(x)3 6

Syarat batas:z(x,0) = x2 z(x,0) = G(0) + H(x) = x2 H(x) = x2 - G(0)

z = x3y2

G(y) + x2 - G(0)6

z(1,y) = cos yz(1,y) =

y2

G(y) + 1 - G(0) = cos y6

G(y) - G(0) = cos y - 1 -y2

6

z = x3y2

x2 + cos y - 1 -y2

6 6

+

+

+

+

Page 60: Matematika Teknik 2

Latihan soal12.41 Pecahkan

x∂2z

+∂z

= 0syarat batas z(x,0) = x5 + x

∂x ∂y ∂y z(2,y) = 3y4

Contoh soal12.10 Pecahkan ∂2u

+ 3∂2u

+ 2∂2u

= 0∂x2 ∂x ∂y ∂y2

Jawab,Misalkan u(x,y) = e ax + by ∂u/∂x = a e ax + by ∂2u/∂x2 = a2 e ax + by

∂u/∂y = b e ax + by ∂2u/∂y2 = b2 e ax + by

∂2u/∂x∂y = ab e ax + by

∂2u+ 3

∂2u+ 2

∂2u= (a2 + 3ab + 2b2 ) e ax + by = 0

∂x2 ∂x ∂y ∂y2

a2 + 3ab + 2b2 = (a + b)(a + 2b) = 0 a1 = - b1

a2 = - 2b2

u(x,y) = e ax + by = e - b1x + b1y + e - 2b2x + b2y = e - b1(x-y) + e - b2(2x-y)

= F(x - y) + G(2x - y)

Latihan soal, pecahkan:12.42 ∂2u

- 2∂2u

- 3∂2u

= 0∂2u

- 2∂2u

+∂2u

= 0∂x2 ∂x ∂y ∂y2 ∂x2 ∂x ∂y ∂y2

Contoh soal, pecahkan: ∂2u- 3

∂2u+ 2

∂2u= x sin y

∂x2 ∂x ∂y ∂y2

Misalkan u(x,y) = uH + uK

Mencari uH Misalkan uH = e ax + by a2 - 3ab + 2b2 = 0(a - b)(a - 2b) = 0 a1 = b1

Page 61: Matematika Teknik 2

a2 = 2b2

uH = e b1x + b1y + e 2b2x + b2y = F(x+y) + G(2x+y)

Misalkan uK = (Ax+b) cos y + (Px+Q) sin y ∂u/∂x = A cos y + P sin y∂2u/∂x2 = 0

∂u/∂y = - (Ax+B) sin y + (Px+Q) cos y∂2u/∂y2 = - (Ax+B) cos y - (Px+Q) sin y∂2u/∂x∂y = -A sin y + P cos y

∂2u- 3

∂2u+ 2

∂2u=

∂x2 ∂x ∂y ∂y2

0 - 3(-A sin y + P cos y) + 2[- (Ax+B) cos y - (Px+Q) sin y] ≡ x sin yPersamaan koefisien x cos y - 2A = 0 A = 0

x sin y - 2P = 1 P = - 1/2cos y - 3P - 2B = 0 B = 3/4sin y 3A - 2Q = 0 Q = 0

u = F(x+y) + G(2x+y) + 3/4 cos y - 1/2 x sin y

Latihan soal, pecahkan: ∂2u- 3

∂2u+ 2

∂2u= y sin x atau y cos x

∂x2 ∂x ∂y ∂y2

∂2u- 2

∂2u- 3

∂2u= x cos y atau x sin y

∂x2 ∂x ∂y ∂y2

Contoh-contoh soal, pecahkan dengan metoda pemisahan variabel.12.14 ∂u = 4 ∂u syarat batas u(0,y) = 8 e - 3y

∂x ∂yJawab:Misalkan u (x,y) = X(x).Y(y) maka ∂u/∂x = X ' Y

Page 62: Matematika Teknik 2

∂u/∂y = X Y ' dimasukkan ke soal:X ' Y = 4 X Y ' atau X '

=Y '

4X YCara penyusunan: Turunan di atas, bilangan di bawahSuku kiri hanya fungsi dari x, suku kanan hanya fungsi dari y, tetapi kedua suku tsb tetapharus sama berapapun x dan y berubah-ubah. Hal ini hanya bisa terjadi jika kedua sukutsb adalah suatu konstanta (bilangan).

maka, X '=

Y '= c

4X Y di mana c = konstantaDiperoleh: X '

= c4X atau X ' - 4c X = 0 X = A e 4c x

Y '= c

u = P e 4cx + c y

Y atau Y ' - c Y = 0 Y = B e c y

Syarat batas:u(0,y) = 8 e - 3y u(0,y) = P e c y ≡ 8 e - 3y P = 8

c = -3u = 8 e - 12 x - 3 y

Misal syarat batasnya ditambah menjadi u(0,y) = 8 e - 3y + 4 e - 5y

maka karena ada 2 suku, jawab umumnya juga harus 2 suku.u = P1 e 4c1x + c1 y + P2 e 4c2x + c2y

u(0,y) = 8 e - 3y + 4 e - 5y

u(0,y) = P1 e c1 y + P2 e c2y ≡ 8 e - 3y + 4 e - 5y P1 = 8 c1 = - 3P2 = 4 c2 = - 5u = 8 e - 12x - 3y + 4 e - 20x - 5y

12.16 Pecahkan ∂u= 2

∂2u 0 < x < 3

Page 63: Matematika Teknik 2

∂t ∂x2 t > 0syarat batas u(0,t) = u(3,t) = 0

u(x,0) = 5 sin 4πx - 3 sin 8πx + 2 sin 10πx |u(x,t)| < MJawab, misal u(x,t) = X(x).T(t)

maka X T ' = 2 X " T atau T '=

X "= -λ2

2T XDiambil konstanta c = - λ2 karena 2 hal 1) Agar tidak bekerja dengan bilangan akar

2) Agar |u(x,t)| < MDiperoleh 2 persamaan

T ' + 2λ2T = 0 T = c1 e - 2λ2 t

X " + λ2 X = 0 X = c2 cos λx + c3 sin λx

Sehingga u = XT = e- 2 λ 2 t (A cos λx + B sin λx)

Syarat batas 1: u(0,t) = 0 u(0,t) = e - 2 λ 2 t A = 0 A = 0

u = XT = Be- 2 λ 2 t sin λx

Syarat batas 2: u(3,t) = 0u (3,T) = Be

- 2 λ 2 t sin 3λ = 0

sin 3λ = 0 3λ = nπ λ = nπ/3n = 0, 1, 2, 3, . . . .

u = XT = Be-2(nπ/3)2t sin

nπx3

Syarat batas 3: u(x,0) = 5 sin 4πx - 3 sin 8πx + 2 sin 10πx

u(x,0) = B sinnπx

+ P sinpπx

+ Q sinqπx

3 3 3

= 2

Page 64: Matematika Teknik 2

= 5 sin 4πx - 3 sin 8πx + 2 sin 10πxB = 5 P = - 3 Q = 2n/3 = 4 p/3 = 8 q/3 = 10

u = XT = 5 e- 32 π 2 t sin 4πx - 3 e

- 128 π 2 t sin 8πx + 2 e- 200 π 2 t sin 10πx

Latihan soal, Pecahkan:12.46 a)

3∂u

+ 2∂u

= 0 u(x,0) = 4 e - x

∂x ∂yb) ∂u

= 2∂u

+ u u(x,0) = 4 e - 5x + 2 e - 3x

∂x ∂y

c) ∂u= 4

∂2u u(0,t) = 0 u(π,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 2 sin 3x - 4 sin 5x

d) ∂u = ∂2u ux(0,t) = 0 u(2,t) = 0∂t ∂x2

u(x,0) = 8 cos3πx

- 6 cos9πx

4 4Latihan soal, pecahkan:12.47 ∂2y

= 4∂2y y(0,t) = y(5,t) = 0 y(x,0) = 0

∂t2 ∂x2 yt(x,0) = f(x) a) f(x) = 5 sin πxb) f(x) = 3 sin 2πx - 2 sin 5πx

Contoh soal, pecahkan dengan teori Deret Fourier12.17 Pecahkan ∂u

= 2∂2u syarat batas u(0,t) = u(3,t) = 0

∂t ∂x2 u(x,0) = 25

Jawab, misal u(x,t) = X(x).T(t)maka X T ' = 2 X " T atau T '

=X "

= -λ2

Page 65: Matematika Teknik 2

2T XDiperoleh 2 persamaan

T ' + 2λ2T = 0 T = c1 e - 2λ2 t

X " + λ2 X = 0 X = c2 cos λx + c3 sin λx

Sehingga u = XT = e- 2 λ 2 t (A cos λx + B sin λx)

Syarat batas 1: u(0,t) = 0 u(0,t) = e - 2 λ 2 t A = 0 A = 0

u = XT = Be- 2 λ 2 t sin λx

Syarat batas 2: u(3,t) = 0u (3,T) = Be

- 2 λ 2 t sin 3λ = 0

sin 3λ = 0 3λ = nπ λ = nπ/3n = 0, 1, 2, 3, . . . .

u = XT = Be-2(nπ/3)2t sin

nπx3

Syarat batas 3: u(x,0) = 25 Pada syarat batas 3 ini ada perbedaan, tidak ada unsur sinMaka cara pemecahannya agak berbeda.

u(x,0) = ∑ Bn sinnπx

= 253

Bentuk ini mengingatkan pada teori Deret Fourier, Bn = koefisien sin, L = 33 3 3

Bn =2

f(x) sinnπx

dx =2

25 sinnπx

dx =-50

cosnπx

=50

(1 - cos nπ)L L 3 3 nπ 3 nπ

0 0 0

u(x,0) = ∑ 50

e-2(nπ/3)2t (1- cos nπ) sin

nπxnπ 3

= = -λ2

Page 66: Matematika Teknik 2

Latihan soal, pecahkan:12.17 a) ∂u

= 2∂2u syarat batas u(0,t) = u(3,t) = 0

∂t ∂x2 u(x,0) = 25x

12.48 ∂u= 2

∂2u u(0,t) = u(4,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 25x

Contoh soal, pecahkan dengan cara Transformasi Laplace.12.28 ∂u

= 4∂2u u(0,t) = 0 u(3,t) = 0

∂t ∂x2 u(x,0) = 10 sin 2πx - 6 sin 4πxJawab:

L u(x,t) = U(x,s)

L∂u

= L 4∂2u

sU - u(x,0) = 4d2U

∂t ∂x2 dx2

4d2U

- sU = - 10 sin 2πx + 6 sin 4πxdx2

syarat batas u(0,t) = 0 U(0,s) = 0u(3,t) = 0 U(3,s) = 0

U = UH + UK

Mencari UH Misalkan UH = e mx 4m2 - s = 0 m = ± √s/4U = c1 e x√s/4 + c2 e - x√s/4

U(0,s) = 0 c1 + c2 = 0 c1 = 0U(3,s) = 0 c1 e 3√s/4 + c2 e - 3√s/4 = 0 c2 = 0

Mencari UK Misalkan UK = A sin 2πx + B sin 4πx (mengapa tidak ada cos?)d2U/dx2 = - 4π2 sin 2πx - 16π2 sin 4πx

4d2U

- sU = - 16π2 A sin 2πx - 64π2 B sin 4πx - s(A sin 2πx + B sin 4πx)

Page 67: Matematika Teknik 2

dx2

≡ - 10 sin 2πx + 6 sin 4πxKoefisien sin 2πx:

-16π2A - sA = - 10 A =- 10

=10

-16π2 - s s + 16π2

sin 4πx:- 64π2B - sB = 6 B =

6=

-6-64π2 - s s + 64π2

U =10

sin 2πx -6

sin 4πxs + 16π2 s + 64π2

u(x,t) = L - 1U =10e- 16π 2t

sin 2πx - 6 e- 64π 2t

sin 4πx

Latihan soal, kerjakan dengan Transformasi Laplace:12.88 a) ∂u

= 3∂u

∂t ∂x u(x,0) = 4 e - 2x

b) ∂u=

∂u- 2u

∂t ∂x u(x,0) = 10 e - x - 6 e - 4x

c) ∂u=

∂2u u(0,t) = 0 u(4,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 6 sin (πx/2) + 3 sin πx

d) ∂u = ∂2u ux(0,t) = 0 ux(2,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 4 cos πx - 2 cos 3πx

Contoh soal:12.47 ∂2y

= 4∂2y y(0,t) = y(5,t) = 0 y(x,0) = 0

∂t2 ∂x2 yt(x,0) = 5 sin πxJawab:Misalkan y = XT , maka X T " = 4 X " T atau T "

=X "

= -λ2

4 - sU = - 16π2 A sin 2πx - 64π2 B sin 4πx - s(A sin 2πx + B sin 4πx)

Page 68: Matematika Teknik 2

4T XDiperoleh 2 persamaan:T" + 4λ2 T = 0 T = c1 cos 2λt + c2 sin 2λtX" + λ2 X = 0 X = c3 cos λx + c4 sin λxy = XT = (c1 cos 2λt + c2 sin 2λt)(c3 cos λx + c4 sin λx)

Syarat batas 1: y(0,t) = 0 y(0,t) =(c1 cos 2λt + c2 sin 2λt)c3 = 0 c3 = 0y = XT = (A cos 2λt + B sin 2λt) sin λx

Syarat batas 2: y(5,t) = 0 y(5,t) = (A cos 2λt + B sin 2λt) sin 5λ = 0sin 5λ = 0 5λ = nπ

y = XT = (A cos 2nπ/5 t + B sin 2nπ/5 t) sin nπ/5 x λ = nπ/5

Syarat batas 3: y(x,0) = 0 y(x,0) = A sin nπ/5 x = 0 A = 0y = XT = B (sin 2nπ/5 t) (sin nπ/5 x)

Syarat batas 4: yt(x,0) = 5 sin πxyt(x,t) = 2nπ/5 B (cos 2nπ/5 t)(sin nπ/5 x)yt(x,0) = 2nπ/5 B sin nπ/5 x = 5 sin πx

2nπ/5 B = 5 B = 25/2nπ B = 2,5/πnπ/5 x = πx n/5 = 1 n = 5

y = XT = 2,5/π (sin 2πt)(sin πx)

= = -λ2

Page 69: Matematika Teknik 2

Persoalan integral garis muncul pada perhitungan usaha, di mana besarnya gaya berubah-ubah.Usaha didefinisikan sebagai hasil perkalian antara gaya dengan lintasan.Selama ini usaha selalu dihitung terhadap lintasan lurus dan gayanyapun tetap.Maka, jika gaya P dan Q serta lintasan c-nya berubah-ubah, besarnya usaha adalah:

U = [P(x,y) dx + Q(x,y) dy] di mana c adalah lintasannyac

Contoh soal. (1,2)6.10 Hitung [(x2 - y) dx + (y2 + x) dy] jika lintasan c adalah:

(0,1)a) Garis lurus dari (0,1) sampai ke (1,2)b) Garis lurus patah-patah dari (0,1) ke (1,1) terus ke (1,2)c) Garis lurus patah-patah dari (0,1) ke (0,2) terus ke (1,2)d) Parabola x = t, y = t2 + 1Jawab: y (1,2)a) c Persamaan garis c adalah: y = x + 1

θ Ada 2 cara untuk mencari persamaan garis lurus.(0,1) 1) y = mx + yo di mana m = tan θ

x yo = ordinat garis potong dengan sumbu y0 maka m = y/x = 1/1 = 1

yo = 1 sehingga y = x + 1Pemeriksaan x = 0 maka y = 0 + 1 = 1 titiknya (0,1) benar

x = 1 maka y = 1 + 1 = 2 titiknya (1,2) benar

Cara 2) y - y1 =x - x1 maka

y - 1=

x - 0y = x + 1 sama

y2 - y1 x2 - x1 2 - 1 1 - 0

y = x + 1 Ada 2 pilihan, x diganti y, atau y diganti x

Page 70: Matematika Teknik 2

Misal y diganti x, maka y = x + 1masukkan ke soal akan diperoleh

dy = dx(1,2) 1

[(x2 - y) dx + (y2 + x) dy] = [x2 - (x + 1) dx + (x + 1)2 + x dx](0,1) 0

1 1y (1,2) = (2x2 + 2x) dx = 2/3 x3 + x2 = 5/3

c20 0

(0,1) c1

b) (1,1) Persamaan c1: y = 1 dy = 0 x berjalan dari 0 ke 1x Persamaan c2: x = 1 dx = 0 y berjalan dari 1 ke 2

Maka soalnya berubah menjadi:(1,2) 1 2

[(x2 - y) dx + (y2 + x) dy] = (x2 - 1) dx + (y2 + 1) dy =(0,1) 0 1

1 21/3 x3 - x + 1/3 y3 + y = 1/3 - 1 + 8/3 + 2 - 1/3 - 1 = 8/3

0 1

c) y (1,2) Persamaan c1 x = 0 dx = 0 y berjalan dari 1 ke 2

c1c2 Persamaan c2 y = 2 dy = 0 x berjalan dari 0 ke 1

2 1 2 1(0,1) y2 dy + (x2 - 2) dx = 1/3 y3 + 1/3 x3 - 2x =

x 1 0 1 08/3 - 1/3 + 1/3 - 2 = 2/3

d) Parabola x = t, y = t2 + 1 maka dx = dt dy = 2t dt

Page 71: Matematika Teknik 2

x berjalan dari 0 sampai 1, sehingga t juga berjalan dari 0 sampai 1, sehingga:(1,2) 1

[(x2 - y) dx + (y2 + x) dy] = [t2 - (t2 + 1) dt + (t2 + 1) 2 + t 2t dt] =(0,1) 0

1(2t5 + 4t3 + 2t2 + 2t -1) dt = 2 + 4 + 2 + 2 - 1 = 9

0Terlihat bahwa hasil integral garis sangat tergantung lintasannya.

Pada dasarnya, gaya adalah suatu vektor, demikian pula lintasan. Karenanya, integral garisbisa dituliskan juga dalam bentuk perkalian vektor dot. Hasil perkalian dot adalah berupabilangan skalar bukan vektor.

[ F1 dx + F2 dy + F3 dz] = [F1 i + F2 j + F3 k].[dx i + dy j + dz k] = F.drc c

di mana F = F1 i + F2 j + F3 k adalah vektor gaya atau semacamnyadr = dx i + dy j + dz k adalah vektor lintasani, j, k adalah vektor-vektor satuan dalam arah x, y dan z

Contoh 6.11 Jika F = (3x2 - 6yz)i + (2y + 3xz)j + (1 - 4xyz2)k

Hitung F.dr jika c adalah lintasan dari (0,0,0) sampai ke (1,1,1)c yang memenuhi:

a) x = t , y = t2 , z = t3

b) Garis lurus patah-patah dari (0,0,0) ke (0,0,1) lalu ke (0,1,1) lalu ke (1,1,1)c) Garis lurus yang menghubungkan langsung dari (0,0,0) ke (1,1,1)

a) Jawab: x = t maka dx = dty = t2 maka dy = 2t dt t berjalan dari 0 sampai ke 1

Page 72: Matematika Teknik 2

z = t3 maka dz = 3t2 dt sehingga soal berubah menjadi:1

[(3t2 - 6t5 ) dt + (2t2 + 3t4 ) 2t dt + (1 - 4t9 ) 3t2 dt] =0 1 1

[3t2 - 6t5 + 4t3 + 6t5 + 3t2 - 12t11 ] dt = [6t2 + 4t3 - 12t11 ] dt = - 20 0

b) Garis dari (0,0,0) ke (0,0,1) memberikan hasil x = 0, y = 0, dx = 0, dy = 0 dz adaGaris dari (0,0,1) ke (0,1,1) memberikan hasil x = 0, z = 1, dx = 0, dz = 0 dy adaGaris dari (0,1,1) ke (1,1,1) memberikan hasil y = 1, z = 1, dy = 0, dz = 0 dx ada

1 1 1dz + 2y dy + (3x2 - 6) dx = 1 + 2/2 + 3/3 - 6 = - 3

0 0 0

c) Garis lurus dari (0,0,0) ke (1,1,1) memberikan persamaan x = t , y = t , z = tdan t berjalan dari 0 sampai ke 1, sehingga hasil integrasinya menjadi

1 1[3t2 - 6t2 + 2t + 3t2 + 1 - 4t4 ] dt = [2t + 1 - 4t4 ] dt = 2/2 + 1 - 4/5 = 6/5

0 0Contoh 6.12

Hitung besarnya usaha untuk mengelilingi sebuah elips dengan pusat (0,0) dan panjangsumbu panjang = 4, sumbu pendek = 3, dengan membawa beban F.F = (3x - 4y)i + (4x + 2y)jJawab: Persamaan lintasan elips adalah

-4 4x = 4 cos θ dx = -4 sin θ dθy = 3 sin θ dy = 3 cos θ dθ 0 < θ < 2π

[(3x - 4y) dx + (4x + 2y) dy] =

0

3

-3

Page 73: Matematika Teknik 2

c2π

[- (12 cos θ - 12 sin θ) 4 sin θ + (16 cos θ + 6 sin θ) 3 cos θ] dθ =0

2π 2π[- 30 sin θ cos θ + 48 sin θ sin θ + 48 cos θ cos θ] dθ = [48 - 30 sin θ cos θ] dθ

0 02π

= 48θ - 15 sin2 θ = 96π0

Teorema Green.Jika P(x,y), Q(x,y), ∂P/∂y dan ∂Q/∂x bernilai tunggal dan kontinu pada suatu daerahtertutup sederhana yang dibatasi oleh suatu kurva tertutup sederhana c, maka

[P dx + Q dy] =∂Q

-∂P

dx dy∂x ∂y

c artinya lintasan tertutup

Contoh 6.15y (1,1) Buktikan teorema Green

[(2xy - x2) dx + (x + y2) dy]y2 = x c lintasan c kurva tertutup x = y2 dan y = x2 (cw)

y = x2 Bukti:x Dari (0,0) ke (1,1) melalui y = x2 maka dy = 2x dx

0 Dari (1,1) ke (0,0) melalui x = y2 maka dx = 2y dy1 1

[(2x3 - x2) dx + (x + x4) 2x dx] = (2x5 + 2x3 + x2) dx = 2/6 + 2/4 + 1/3 = 7/60 0

0 0[(2y3 - y4) 2y dy + (y2 + y2) dy] = [- 2y5 + 4y4 + 2y2 ] dy

Page 74: Matematika Teknik 2

1 1 = 2/6 - 4/5 - 2/3 = - 17/15Maka totalnya 7/6 - 17/15 = 1/30

Jika pakai teorema Green: P = 2xy - x2 ∂P/∂y = 2xQ = x + y2 ∂Q/∂x = 1 sehingga

1 √x 1 √x[∂Q/∂x - ∂P/∂y] dx dy = [1 - 2x] dx dy = (y - 2xy) dx =

0 x2 0 x2

1[(√x - 2x√x) - (x2 - 2x3)] dx = 2/3 x 3/2 - 4/5 x 5/2 - 1/3 x 3 + 2/4 x 4

0 = 2/3 - 4/5 - 1/3 + 2/4 = 1/30

Catatan: Batas integrasi tetap dari titik (0,0) sampai (1,1)

Latihan soal:6.22 Hitung [(6xy2 - y3) dx + (6x2y - 3xy2) dy] dari (1,2) sampai ke (3,4)

melalui 2 lintasan berbeda6.67 Hitung [(x - y) dx + (y - x) dy] dari (1,1) ke (4,2) melalui:

a) parabola x = y2

b) garis lurus dari (1,1) ke (4,2)c) garis lurus dari (1,1) ke (1,2) lalu ke (4,2)d) garis lurus dari (1,1) ke (4,1) lalu ke (4,2)e) kurva x = 2t2 +t + 1 y = t2 + 1

6.68 Hitung [(2x - y + 4) dx + (5y + 3x -6) dy] mengelilingi segi-3 dengan titik-titiksudut (0,0), (3,0) , (3,2) cw dan ccw

6.74 Hitung [(x2 - xy3) dx + (y2 - 2xy) dy] mengelilingi segi-4 dengan titik-titiksudut (0,0), (0,2), (2,2), (2,0) cw dan ccw

Page 75: Matematika Teknik 2

Hitung integral garis dengan menggunakan fungsi-fungsi di atas jika lintasannya:y Q(1,2) a) Segi-3 PQR cw atau ccw

P(-2,1) b) Segi-3 PQS cw atau ccwx c) Segi-3 PRS cw atau ccw

d) Segi-3 QRS cw atau ccwR(2,-1) Gambar di samping sudah diskala,

S(-1,-2) koordinatnya tentukan sendiri.Segi-4 PQRS adalah bujur sangkar

Hitung integral garis dengan menggunakan fungsi-fungsi di atas dengan lintasan tertutupyang dibentuk oleh kurva-kurva: a) c1 - c5 - c4 cw atau ccw

b) c1 - c3 - c6 cw atau ccwc) c2 - c6 - c4 cw atau ccwd) c2 - c3 - c5 cw atau ccw di mana

c1 y = 1/2 x + 2 c3 y = x c5 x = 2c2 y = 1/2 x - 2 c4 y = - x c6 x = - 2

6.80 Hitung [(2xy - y4 + 3) dx + (x2 - 4xy3) dy] dari (1,0) sampai ke (2,1)melalui 2 lintasan berbeda.

6.81 Hitung [(2xy3 - y2 cos x) dx + (1 - 2y sin x + 3x2y2) dy]dari (0,0) sampai ke (π/2,1) melalui 2 lintasan berbeda

Hitung integral-integral garis yang menghubungkan 2 titik pada soal-soal di atas secara berkebalikan. Jika semula dari titik A ke B, sekarang dari B ke A.

Page 76: Matematika Teknik 2

Mata kuliah : Matematika Teknik 2 BSIHari / Tanggal : Nopember 2012J a m : -J u r u s a n : Teknik MesinD o s e n : Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPMSifat Ujian : Bekerja sendiri, Jujur , Open book

1 Bagi 10 digit NIM anda dengan 3. Sisa 0 kerjakan soal A, sisa 1 soal B, sisa 2 soal C.

Pecahkan persamaan diferensial berikut jika faktor integrasi berbentuk xp yq

A (8y dx + 8x dy) + x2y3 (4y dx + 5x dy) = 0

B x (4y dx + 2x dy) + y3 (3y dx + 5x dy) = 0

C x3y3 (2y dx + x dy) - (5y dx + 7x dy) = 0

2 Bagi 10 digit NIM anda dengan 4. Sisa 0 dan 1 kerjakan soal A, sisa 2 dan 3 soal B.

Cari rumus lendutannya, dan cari lendutan maximum

A G w B w G

PL/2 L/2

Q PL

Q

Batang sederhana PQ panjang L Batang cantilever PQ panjang Ldiberi beban G di tengah-tengah dan diberi beban G di ujung Q danbeban merata w sepanjang L beban merata w sepanjang Lw = beban persatuan panjang w = beban persatuan panjangTuliskan syarat batasnya Tuliskan syarat batasnya

Page 77: Matematika Teknik 2
Page 78: Matematika Teknik 2

Mata kuliah : Matematika Teknik 2 BSIHari / Tanggal : Nopember 2012J a m : -J u r u s a n : Teknik MesinD o s e n : Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPMSifat Ujian : Bekerja sendiri, Jujur , Open book

Pilih sendiri soalnya. Tiap nomor cukup satu saja. Total ada 2 (dua) nomor.

Soal nomor 1 :3.77 dx

+ 2x =dy

+ 10 cos tsyarat batas: bila t = 0 maka x = 2 , y = 0

dt dtdy

+ 2y = 4 e -2t -dx

dt dt

3.78 (D2 + 2) x + D y = 2 sin t + 3 cos t + 5 e -t syarat batas, jika t = 0D x + (D2 - 1) y = 3 cos t - 5 sin t - e -t x = 2, dx = 0, y = -3 , dy = 4

21.10 Dx - (D + 1) y = - e t

x + (D - 1) y = e 2t

21.11 (D + 2) x + (D + 1) y = t5x + (D + 3) y = t 2

21.13 (D - 1) x + (D + 3) y = e -t - 1(D + 2) x + (D + 1) y = e 2t + t

Soal nomor 2:9.126 (D2 + 60D + 500) i = (2t - 50) e -10t sin 50t

9.190 (D2 - 6D + 25) y = 6 e 3x sin 4x atau (D2 - 6D + 25) y = 6 e 3x cos 4x

Page 79: Matematika Teknik 2

9.191 (D2 - 10D + 29) y = - 8 e 5x cos 2x atau (D2 - 10D + 29) y = - 8 e 5x sin 2x

9.192 (D2 + 4D + 5) y = 60 e -2x cos x atau (D2 + 4D + 5) y = 60 e -2x sin x

9.194 (D2 - 2D + 10) y = 18 e x sin 3x atau (D2 - 2D + 10) y = 18 e x cos 3x

9.199 (D2 - 6D + 25) y = (2x - 1) e 3x cos 4x atau (D2 - 6D + 25) y = (2x - 1) e 3x sin 4x

16.22 (D2 + 3D + 2) y = x sin 2x atau (D2 + 3D + 2) y = x cos 2x

16.19 (D2 + 2D + 4) y = e x sin 2x atau (D2 + 2D + 4) y = e x cos 2x

9.225 (D2 + 4D + 8) y = 16t e 2t

Selamat bekerja

Page 80: Matematika Teknik 2

Mata kuliah : Matematika Teknik 2 BSIHari / Tanggal : Nopember 2012J a m : -J u r u s a n : Teknik MesinD o s e n : Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPMSifat Ujian : Bekerja sendiri, Jujur , Open book

Bagi 3 NIM 10 digit, sisa 0 kerjakan soal A, sisa 1 soal B, sisa 2 soal C.

1. Pecahkan dengan teori Laplace:

A (D2 + 3D + 2) y = e t sin 2t

B (D2 - 3D + 2) y = e - 2t sin t syarat batas, jika t = 0 y = -3 , dy = 4

C (D2 + D - 2) y = e - t sin 2t

2 Pecahkan dengan deret Fourier:

A ∂u= 2

∂2u syarat batas u(0,t) = u(4,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 20x

B ∂u= 3

∂2u syarat batas u(0,t) = u(3,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 30x

C ∂u= 4

∂2u syarat batas u(0,t) = u(3,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 15x

3 Pecahkan:

A ∂2u- 3

∂2u+ 2

∂2u= 2y sin 3x

∂x2 ∂x ∂y ∂y2

Page 81: Matematika Teknik 2

B ∂2u- 2

∂2u- 3

∂2u= 3y cos 2x

∂x2 ∂x ∂y ∂y2

C ∂2u+ 2

∂2u- 3

∂2u= 2y cos 3x

∂x2 ∂x ∂y ∂y2

Page 82: Matematika Teknik 2

Mata kuliah : Matematika Teknik 2 BSIHari / Tanggal : Nopember 2012J a m : -J u r u s a n : Teknik MesinD o s e n : Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPMSifat Ujian : Bekerja sendiri, Jujur , Open book

Kelompok 1 adalah soal Quiz 1, kelompok 2 soal UTS dan kelompok 3 soal Quiz 2.Boleh mengerjakan soal 1 (satu) kelompok saja.

1.1 Pecahkan persamaan diferensial berikut jika faktor integrasi berbentuk xp yq

2y dx - 3xy2 dx - x dy = 0

1.2 Batang cantilever PQ panjang L wdiberi beban merata w sepanjang L. P Qw = beban persatuan panjang.

LBerapa besar G agar lendutan di Q = 0 ? GCari persamaan lendutannya, dan cari cara pencarian lendutan max.

Petunjuk, cari lendutan karena w saja dan karena G saja. Samakan besar lendutan tsb.

2.1 Pecahkan: (D2 + 2) x + D y = 2 sin t + 3 cos t + 5 e -t

D x + (D2 - 1) y = 3 cos t - 5 sin t - e -t

3.1 Pecahkan dengan Laplace:(D2 + 2) x + D y = 2 sin t + 3 cos t + 5 e -t syarat batas, jika t = 0D x + (D2 - 1) y = 3 cos t - 5 sin t - e -t x = 2, dx = 0, y = -3 , dy = 4

3.2 Pecahkan: ∂u = ∂2u ux(0,t) = 0 ux(2,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 4 cos πx - 2 cos 3πx

Page 83: Matematika Teknik 2

3.3 Nyatakan dalam deret Fourier f(x) = x (10 - x) 0 < x < 10 Periode 10

Page 84: Matematika Teknik 2

Mata kuliah : Matematika Teknik 2 BSIHari / Tanggal : Jum'at 30 Nopember 2012J a m : 16.00 - 17.40J u r u s a n : Teknik MesinD o s e n : Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPMSifat Ujian : Bekerja sendiri, Jujur , Open book

Tiap nomor cukup dikerjakan 1 (satu) saja, pilih yang paling mudah. Boleh tidak urut.

1 Pecahkan persamaan diferensial berikut jika faktor integrasi berbentuk xp yq

2y dx - 3xy2 dx - x dy = 0

(xy - 2y2 ) dx - (x2 - 3xy) dy = 0

2 Pecahkan dengan Laplace:

(D2 + 2) x + D y = 3 sin t + 2 cos t + e -t syarat batas, jika t = 0D x + (D2 - 1) y = 5 cos t - 3 sin t - 5 e -t x = 2, dx = 0, y = -3 , dy = 4

(D - 1) x + (D + 3) y = e - t - 1 syarat batas, jika t = 0(D + 2) x + (D + 1) y = e 2t + t x = 2, y = -3

3 Pecahkan:

∂u = 2 ∂2u ux(0,t) = 0 ux(2,t) = 0∂t ∂x2 u(x,0) = 2 cos πx - 4 cos 3πx

∂2y= 2

∂2y y(0,t) = y(5,t) = 0 y(x,0) = 0∂t2 ∂x2 yt(x,0) = 3 sin 2πx - 2 sin 5πx

Page 85: Matematika Teknik 2

4 Nyatakan dalam deret Fourier

f(x) = x (10 - x) 0 < x < 10 Periode 10

f(x) =x - 6 0 < x < 4 a) Dalam deret Fourier lengkap atau2 - x 4 < x < 8 b) Dalam deret Fourier cos atau

c) Dalam deret Fourier sin

Selamat bekerja.

Page 86: Matematika Teknik 2

BAHAN AJAR

MATEMATIKA TEKNIK2

Dipersiapkan oleh

Page 87: Matematika Teknik 2

Aswata, Ir, Drs, SE, MM, IPM

FAKULTAS TEKNIK - JURUSAN TEKNIK MESIN

UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA2012

Page 88: Matematika Teknik 2

Sistim BilanganSistim Sistim

Bilangan Riil Bilangan khayalSistim

Bilangan KomplexSistim Sistim

Bilangan Bilangan Sistim Bilangan BulatIrasional Rasional Sistim Bilangan Asli

Bilangan komplex adalah gabungan dari bilangan riil dengan bilangan khayal.Disebut khayal karena ada bilangan kwadrat yang nilainya negatip. x2 = - 1 atau x = √-1Untuk menyingkat penulisan, bilangan √-1 ditulis sebagai i , di mana i 2 = - 1Bilangan komplex z biasa ditulis sebagai z = x + iy atau z = (x,y)

x = Re z x adalah bagian riil dari zy = Im z y adalah bagian imaginer dari z

Operasi bilangan komplex.Penambahan: z1 = (x1,y1) maka z1 + z2 = (x1+x2 , y1+y2) = (x1+x2) + i(y1+y2)

z2 = (x2,y2) Bagian riil dijumlahkan dengan bagian riilBagian imaginer dijumlahkan dengan bagian imaginer

Perkalian: z1z2 = (x1,y1)(x2,y2) = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1(x2+iy2) + iy1(x2+iy2) == x1x2 + ix1y2 + ix2y1 - y1y2 = x1x2 - y1y2 + ix1y2 + ix2y1 == (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) = (x1x2 - y1y2 , x1y2 + x2y1)

Pembagian: z1 =(x1,y1) =

x1 + iy1 =x1 + iy1 ×

x2 - iy2 =(x1x2 + y1y2 , x2y1 - x1y2)

z2 (x2,y2) x2 + iy2 x2 + iy2 x2 - iy2 x22 + y2

2

Page 89: Matematika Teknik 2

Latihan: Jika P = (2,-3) R = (-2,4) T = (-1,b) Berapa harga-hargaQ = (a,2) S = (-3,-4) a dan b jika :

1 P=

RS 2 P=

RS 3 P=

QT 4 P=

QTQ T T Q R S S R

Pemecahan:1 P

=RS (2,-3)

=(-2,4)(-3,-4)

(2,-3)(-1,b) = (-2,4)(-3,-4)(a,2)Q T (a,2) (-1,b)

(2,-3)(-1,b) = (22,-4)(a,2)(-2 + 3b) + i(-2 - 3b) = (22a + 8) + i(44 - 4a)Bagian riil = bagian riil (-2 + 3b) = (22a + 8) 22a - 3b = - 10Bagian imaginer = bagian imaginer (2b + 3) = (44 - 4a) 4a + 2b = 41

a = 1.84b = 16.82

Pemeriksaan: P=

RS 2 -3=

-2 4 -3 -4(Program Q T 2 2 -1 17Excel) 2 -3 -1 17 = 2 2 -2 4 -3 -4

48.464 + i 36.643 = -11.68 + i 3.3571 -3 -4= 48.464 + i 36.643 (benar)

3 P=

QT (2,-3)=

(a,2)(-1,b) (2,-3)(-3,4)= (a,2)(-1,b)

R S (-2,4) (-3,4) (-2,4)(6,17)

= (a,2)(-1,b)(-2,4)

2.8 + i 2.9 = (-a - 2b) + i(ab - 2)

Page 90: Matematika Teknik 2

Riil = riil 2,8 = -a - 2b a + 2b = - 2,8Imaginer = imaginer 2,9 = ab - 2 ab = 4,9

a = 4,9/b 4,9/b + 2b = - 2,8b = 4,9/a a + 9,8/a = - 2,8

2b2 + 2,8b + 4,9 = 0 b1 = -0.7 + i 1.40 a1 = -1.4 - i 2.80a2 + 2,8a + 9,8 = 0 b2 = -0.7 - i 1.40 a2 = -1.4 + i 2.80

Q1 = (a,2) = -1.4 - i 0.80 Q2 = (a,2) = -1.4 + i 4.80T1 = (-1,b)= -2.40 - i 0.70 T2 = (-1,b)= 0.40 - i 0.70

Pemeriksaan:PS

= QT = 2.8 + i 2.9Q1T1 = 2.8 + i 2.9 (benar)

R Q2T2 = 2.8 + i 2.9 (benar)

Kerjakan soal-soal di atas jika: P = (a,2) R = (2,-4) T = (2,-2)Q = (-1,b) S = (-2,1)

Kerjakan soal-soal di atas jika: P = (x,a) R = (c,d) T = (g,h)Q = (b,y) S = (e,f)

Cari harga-harga x dan y jika a,b,c,d,e,f,g,h = ± 1, ± 2 , ± 3 , ± 4 (harus tidak urut)

Mahasiswa agar berlatih dengan harga-harga P,Q,R,S dan T yang berbeda-beda.Soal-soal ini tidak sukar, hanya perlu ketelitian dan ketelatenan. Perlu banyak berlatih.Bilangan komplex dapat dinatakan dalam koordinat polar.

3y z = (4,3) Jika z = (4,3) atau z = 4 + 3i

r maka dapat juga ditulis z = r (cos θ + i sin θ)sehingga x = r cos θ

0θ x y = r sin θ

4 r disebut sebagai modulus z atau panjang vektor z

Page 91: Matematika Teknik 2

r = z = √(x2 + y2)θ disebut sebagai argument z. θ = arg z = arc tan (y/x) Unit θ biasa dalam radθ diukur positip mulai dari sumbu x berputar ke atas (lawan arah jarum jam, CCW).Harga utama θ adalah antara -π sampai π - π < Arg z < πFungsi geometri adalah fungsi periodik dengan periode 2π untuk sin & cos, π untuk tan.

Conjugate. Setiap bilangan komplex selalu memiliki pasangan komplex. Pasangan komplex ini disebut conjugate. Ini bisa tergambarkan pada pencarian akar-akar persamaan kwadrat.Misal, cari akar-akar dari persamaan x2 + 2x + 5 = 0Dengan rumus abc akan diperoleh x1 = -1 + 2i

x2 = -1 - 2iJika x1 ditulis sebagai z, maka x2 ditulis sebagai conjugate z, atau x2 = zJika z = (x,y) maka z = (x,-y)

Contoh soal: Nyatakan dalam koordinat polar: z = - 4 - 3iJawab: r = √(x2 + y2) = √(16 + 9) = 5

θ = arc tan (y/x) = arc tan 3/4 = 0.6435 ± π rad= 36.87 ± 180o

Karena z berada di kwadran 3, maka θ = 216.87 o atau = 3.7851 radMaka z = 5 (cos 3,785 + i sin 3,785)

Operasi polar.Jika z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) dan z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2)Maka z1z2 = r1r2 [cos (θ1+θ2) + i sin (θ1+θ2)]Sedangkan untuk pembagian: z1 =

r1 [cos (θ1-θ2) + i sin (θ1-θ2)]z2 r2

Untuk pemangkatan zn = rn (cos nθ + i sin nθ)Untuk pengakaran n

z =n

r cosθ +2kπ

+ i sinθ +2kπ

Page 92: Matematika Teknik 2

n n k = 1, 2, 3 . . .

Contoh, hitung akar-akar persamaan: z2 - (5 + i)z + 8 + i = 0Jawab, dengan persamaan abc diperoleh z1,2 = 1/2 (5+i) ± 1/2 √[(5+i)2 - 4(8+i)]

= 1/2 (5+i) ± 1/2 √[-8 + 6i]Jika z = -8 + 6i , maka √[-8 + 6i] dapat dicari dengan cara biasa atau koordinat polar.Misalkan √[-8 + 6i] = a + bi , maka a2 - b2 + 2abi = -8 + 6i atau a2 - b2 = -8

2ab = 6 a = 3/b9/b2 - b2 = -8 b4 - 8b2 - 9 = 0

(b2 - 9)(b2 + 1) = 0 b1,2 = ± 3 a1,2 = ± 1b3,4 = ± i a3,4 = ± 3i

Diperoleh harga a + bi = ± (1 + 3i)Sehingga jawaban akhir: z1 = 1/2 (5+i) + 1/2 (1 + 3i) = 3 + 2i

z2 = 1/2 (5+i) -1/2 (1 + 3i) = 2 - i

Latihan: Cari akar-akar persamaan: z4 - 3 (1 + 2i) z2 - 8 + 6i = 0z2 + z + 1 - i = 0

Nyatakan dalam koordinat polar: a) 3√2 + 2i b) 2 + 3i c) i√2- √2 - 2i/3 5 + 4i 4 + 4i

Cari akar-akarnya: Akar pangkat 4 dari (-7 + 24i)Akar kwadrat dari (-7 - 24i)

Persamaan lingkaran dengan pusat di a dan dengan jari-jari r adalah: z - a= r

Turunan (diferensial).Jika f = f(z) dan g = g(z), maka (cf) ' = c f ' dimana c = bilangan, f ' = df/dz

(f ± g) ' = f ' ± g '

z = r cos + i sin

Page 93: Matematika Teknik 2

(fg) ' = f ' g + f g 'f .' f ' g - f g 'g g2

Catatan: z tidak memiliki turunanBukti: Jika f(z) = z = x - iy

dan f(z) ' = limf(z + ∆z) - f(z)

∆zf(z + ∆z) - f(z)

=(z + ∆z) - z

=∆z

=∆x - i ∆y

f(z) ∆z ∆z ∆x + i ∆yJika ∆x→0 , maka ∆z

= -1∆z Karena hasilnya tidak sama, maka

Jika ∆y→0 , maka ∆z= 1

z tidak memiliki turunan∆z

Fungsi analitik.f(z) disebut fungsi analitik di dalam domain D jika f(z) terdefinisi di dalam D, dan memilikiturunan di setiap titik di dalam D.Persamaan Cauchy - Riemann.Jika w = u(x,y) + iv(x,y) adalah fungsi komplex yang analitik, maka w akan memenuhipersamaan Cauchy - Riemann:

ux = vy dan uy = - vx

Contoh, cari turunan parsialnya:u = e

x2 - y2

cos 2xy

Jawab:ux = e

x2 - y2

(2x cos 2xy - 2y sin 2xy)

uxx = ex2 - y2

(4x2 cos 2xy - 4xy sin 2xy + 2 cos 2xy - 4xy sin 2xy - 4y2 cos 2xy)

uy = ex2 - y2

(- 2y cos 2xy - 2x sin 2xy)

=

∆z→0

Page 94: Matematika Teknik 2

uyy = ex2 - y2

(4y2 cos 2xy + 4xy sin 2xy - 2 cos 2xy + 4xy sin 2xy - 4x2 cos 2xy)

Dan kalau kita perhatikan,uxx + uyy = 0

Persamaan ini disebutPersamaan Laplace

Fungsi komplex yang memenuhi persamaan Laplace disebut fungsi Harmonik.Fungsi analitik akan memenuhi persamaan Laplace.Sehingga untuk bagian khayalnya, v(x,y) juga akan memenuhi:

vxx + vyy = 0

Contoh soal: Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) adalah fungsi analitikdengan u = x2 - y2 - x , cari v

Jawab: ux = vy ux = 2x - 1v = (2x - 1) ∂y = 2xy - y + F(x) F(x) adalah konstanta bebas

uy = - vx uy = - 2yF'(x) = 0 F(x) = c c konstanta bebas

- vx = - 2x + F'(x)maka v = 2xy - y + c

atau f(z) = x2 - y2 - x + i (2xy - y + c)= x2 + 2xyi - y2 - x - i (y) + ic = z2 - z + ic

Apakah setiap fungsi analitik w = u(x,y) + i v(x,y) dapat dinyatakan sebagai f(z) ?

Pasangan harmonik.Jika w = u(x,y) + i v(x,y) adalah fungsi harmonik, maka u dan v berpasangan harmonik.

Contoh soal: Jika u = e

x2 - y2

cos 2xyadalah bagian riil dari fungsi harmonik,cari fungsi pasangannya.

uy = e (- 2y cos 2xy - 2x sin 2xy)

Page 95: Matematika Teknik 2

Jawab: Pertama, harus dibuktikan bahwa u memenuhi persamaan Laplace uxx + uyy = 0Di atas sudah dibuktikan.

ux = ex2 - y2

(2x cos 2xy - 2y sin 2xy) = vy

v = ex2 - y2

(2x cos 2xy - 2y sin 2xy) ∂y =

ex2 - y2

[(Ax + By + C) cos 2xy + (Px + Qy + R) sin 2xy]A,B,CP,Q,R dicari

vy = ex2 - y2

[- 2y (Ax+By+C) cos 2xy - 2y (Px+Qy+R) sin 2xy +

B cos 2xy - 2x (Ax+By+C) sin 2xy+ Q sin 2xy + 2x (Px+Qy+R) cos 2xy]

≡ ex2 - y2

(2x cos 2xy - 2y sin 2xy)

Didapat persamaan:Koefisien cos 2xy - 2Axy - 2By2 - 2Cy + B + 2Px2 + 2Qxy + 2Rx ≡ 2x R = 1

sin 2xy - 2Pxy - 2Qy2 - 2Ry + Q - 2Ax2 - 2Bxy - 2Cx ≡ - 2y R = 1A = B = C = P = Q = 0

vx = - uyvx = e

x2 - y2

2x (Ax + By + C) cos 2xy + 2x (Px + Qy + R) sin 2xy +

[A cos 2xy - 2y(Ax + By + C) sin 2xy + P sin 2xy + 2y(Px + Qy + R) cos 2xy]

≡ ex2 - y2

(2y cos 2xy + 2x sin 2xy)

Didapat persamaan:Koefisien cos 2xy 2x (Ax + 2By + 2C) + A + 2y (Px + Qy + R) = 2y

sin 2xy 2x (Px + Qy + R) - 2y (Ax + By + C) + P = 2x

Page 96: Matematika Teknik 2

Dari 2 persamaan ini diperoleh: R = 1A = B = C = P = Q = 0

Sehingga v = ex2 - y2

sin 2xy

Pemeriksaan:vx = e

x2 - y2

(2x sin 2xy + 2y cos 2xy) = - uy(benar)

vy = ex2 - y2

(- 2y sin 2xy + 2x cos 2xy) = ux(benar)

Latihan: Periksa, apakah fungsi berikut harmonik? Jika ya, cari pasangan harmoniknya:1.

u = ex2 - y2

cos 2xy2.

v = ex2 - y2

cos 2xy

3.u = e

x2 - y2

sin 2xy4.

v = ex2 - y2

sin 2xy

5.u = e

xycos

x2

-y2 6.

v = exy

cosx2

-y2

2 2 2 27.

u = exy

sinx2

-y2 8.

v = exy

sinx2

-y2

2 2 2 2

Fungsi eksponen e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y) = e x e iy

e iy = cos y + i sin yRumus Euler e iz = cos z + i sin zFungsi Trigonometrik.

cos (α+β) = cos α cos β - sin α sin βcos z = cos (x + iy) = cos x cos iy - sin x sin iy = cos x cosh y - i sin x sinh y

cosh y = cos iyi sinh y = sin iy

sin (α+β) = sin α cos β + sin β cos α

Page 97: Matematika Teknik 2

sin z = sin (x + iy) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x cosh y + i cos x sinh yMaka:

cosh z = cos iz cosh iz = cos zi sinh z = sin iz sinh iz = i sin z

Rumus turunan:(cosh z)' = sinh z(sinh z)' = cosh z

Latihan soal:1. Periksa apakah fungsi berikut harmonik, jika ya, cari pasangan harmoniknya

u = sin x cosh yBagaimana jika v = sin x cosh y

2. Berapa harga-harga b agar fungsi berikutr harmonik, kemudian cari pasangannya.u = cos bx cosh y

Bagaimana jika v = cos bx cosh y

3. Berapa harga-harga a agar fungsi berikut harmonik, kemudian cari pasangannya.a) u = e 2x cos ay b) u = e x/2 cos y/2

Bagaimana jika v = e 2x cos ay Bagaimana jika v = e x/2 cos y/2Bagaimana jika u = e 2x sin ay Bagaimana jika u = e x/2 sin y/2

Page 98: Matematika Teknik 2

Integral garis.Integral garis didefinisikan sebagai: U = f(z) dz di mana C adalah lintasan gaya f(z)

Maka dapat dipahami bahwa integral garis U adalah usaha gaya f(z) sepanjang lintasan C.Yang dimaksud sebagai gaya tsb bisa gaya mekanik maupun elektrik, magnetik.Maka gaya f(z) tsb harus ditransformasi ke dalam fungsi lintasan C.Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dan dz = dx + idy, maka:

f(z) dz = [u(x,y) + iv(x,y)][dx + idy] = [u(x,y) dx - v(x,y) dy] + i [u(x,y) dy + v(x,y) dx]

Jika x = x(t) dan y = y(t) masing-masing fungsi dari t, makab

f(z) dz = f [z(t)] z(t) dt di mana z(t) = x + iyz = dz/dt x = dx/dt y = dy/dt

Contoh:Hitung f(z) dz jika f(z) = x-y + i(y-x) dan C adalah:

a) Garis lurus dari (1,1) ke (4,2)b) Garis lurus patah-patah dari (1,1) ke (4,1) kemudian ke (4,2)c) Parabola x = y2

Jawab: y Persamaan garis C adalah : 3y = x + 2a) C α Ada 2 cara untuk mencari persamaan garis lurus.

x Cara 1: y = mx + y0 di mana m = tan α0 1 4 y0 = titik potong pada sumbu y

Dalam gambar terbaca, m = 1/3 maka y = 1/3 x + y0

Jika y = 1, maka x = 1 sehingga 1 = 1/3 + y0

atau y0 = 2/3Didapat y = 1/3 x + 2/3 atau 3y = x + 2Pemeriksaan: y = 2 , x = 4 3(2) = 4 + 2 benar

C

C C CC

C t =a

. . . .

. . .

C

Page 99: Matematika Teknik 2

Cara 2:y - y1 =

x - x1 y - 1=

x - 13 (y - 1) = x - 1 3y = x + 2

y2 - y1 x2 - x1 2 - 1 4 - 1Persamaan lintasan C : 3y = x + 2 atau y = x/3 + 2/3 dy = 1/3 dx

x = 3y - 2 dx = 3 dyJika y diganti dengan y(x) maka akan bekerja dengan pecahanJika x diganti dengan x(y) maka akan bekerja dengan penguranganPilih x = 3y - 2 dx = 3 dy

maka batas-batas integrasi menjadi dari y = 1 sampai ke y = 2u(x,y) = x - y = 3y - 2 - y = 2y - 2v(x,y) = y - x = y - (3y - 2) = -2y + 2

f(z) dz = [u(x,y) dx - v(x,y) dy] + i [u(x,y) dy + v(x,y) dx] =2

[(2y - 2) 3 dy - ( - 2y + 2) dy] + i [(2y - 2) dy + (- 2y + 2) 3 dy] =2 2

[( 8y - 8) + i (- 4y + 4)] dy = 4y2 - 8y + i (- 2y2 + 4y) = 4 - 2i1

b) y f(z) dz = f(z) dz + f(z) dzC1 C2

x Persamaan C1 : y = 1 maka dy = 00 1 4 x berjalan dari 1 sampai 4

f(z) dz = u(x,y) dx + i v(x,y) dx4 4 4

u(x,y) = x - y = x - 1 (x - 1) dx + i (1 - x) dx = x2/2 - x + i (x - x2/2) =v(x,y) = y - x = 1 - x 1

4 ½ - 4 ½ iPersamaan C2: x = 4 dx = 0 y berjalan dari 1 sampai 2

C C C

1

1

C C1 C2

C1 C1 C1

1 1

Page 100: Matematika Teknik 2

u(x,y) = x - y = 4 - yv(x,y) = y - x = y - 4 2 2f(z) dz = - v(x,y) dy + i u(x,y) dy = - (y - 4) dy + i (4 - y) dy =

2- (y2/2 - 4y) + i (4y - y2/2) = 2 ½ - 2 ½ i

1f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz = 4 ½ - 4 ½ i + 2 ½ - 2 ½ i = 7 - 7i

Terlihat bahwa beda lintasan akan memberikan hasil yang berbeda.Formula Green: untuk fungsi analitik, maka hasil integrasi tidak akan tergantung lintasan.

c) Parabola x = y2 dx = 2y dy y berjalan dari 1 sampai ke 2u(x,y) = x - y = y2 - yv(x,y) = y - x = y - y2

f(z) dz = [u(x,y) dx - v(x,y) dy] + i [u(x,y) dy + v(x,y) dx] =

2 2[ (y2 - y) 2y dy - (y - y2) dy ] + i [(y2 - y) dy + (y - y2) 2y dy] =

22/4 y4 - 1/3 y3 - 1/2 y2 + i [- 2/4 y4 + 3/3 y3 - 1/2 y2] = 11/3 - 2i

1(Catatan: Hasil perhitungan di atas belum diperiksa kebenarannya)Lintasan C bisa merupakan lintasan terbuka (misalnya contoh di atas) atau tertutup.Lintasan tertutup adalah mulai dari 1 titik kembali ke titik awal, bisa searah atau lawan arahjarum jam. Karena lintasan tertutup, bisa mulai dari titik mana saja, asal kembali ke semula.Contoh, hitung dz/z di mana C lintasan tertutup yang melingkupi z = 0, ccwJawab:

C2 C2 C2 1 1

C C1 C2

C C C

1 1

C

Page 101: Matematika Teknik 2

Tulis z = cos θ + i sin θ di mana 0 < θ < 2πmaka dz = (- sin θ + i cos θ) dθ sehingga dz/z = i dθ = 2πi

Jika lintasan C searah jarum jam (cw) maka dz/z = - 2πi

Teorema Integral Cauchy :Jika f(z) analitik di dalam daerah tertutup sederhana D, maka untuk setiap lintasan tertutupC di dalam D berlaku : f(z) dz = 0

Buka catatan: f(z) disebut analitik di dalam D jika f(z) terdefinisi (ada nilainya) di dalam D.Contoh : 7z - 6

dz jika C adalah lingkaran satuan ccw atau z= 1Hitung : z2 - 2zJawab: Lingkaran satuan adalah lingkaran berpusat di (0,0) dengan jari-jari = 1

7z - 6=

7z - 6=

A+

B=

A(z-2)+Bz A + B = 7 A = 3z2- 2z z(z-2) z z - 2 z(z - 2) - 2A = - 6 B = 47z - 6

dz =3 dz 4 dz

= 3(2πi) + 0 = 6πiz2- 2z z z - 2dz

2πiz 1/z memiliki diskontinuitas di z = 0 z = 0 ada di dalam C

4 dz= 0

z - 2 1/(z-2) memiliki diskontinuitas di z = 2 z = 2 ada di luar C

Rumus pengembangan: (z - z0)m dz = 2πi jika m = - 1 C = ccw= 0 jika m ≠ - 1 , atau bulat

Latihan:Hitung : 3z + 1

dzjika C adalah : a) z = ½ ccw

z2 - z b) z = 2 ccw

C C

C

C

C

C C C+

C=

C

C

C

Page 102: Matematika Teknik 2

Hitung f(z) dz jika f(z) dan lintasan C adalah :

1) 1 a) z + i= 1 ccw 3) 1 a) z + 1= 1 ccwz 2 + 1 b) z - i= 1 cw z 3 + 1

2) 3z + 1 a) z= ½ ccw 4) 3z + 1 a) z= ¼ ccw c) z= 2 z 3 - z b) z= 1 cw z 3 - z b) z - ½= ¼ cw

Formula Integral Cauchy :Jika f(z) analitik di dalam suatu domain yang terhubung sederhana D, maka untuk setiaptitik z0 di dalam D serta lintasan tertutup sederhana C di dalam D yang melingkupi z0, maka

f(z) dz= 2πi f(z0) jika C = ccw

z - z0

Contoh : z 2 + 1dz

jika C lingkaran satuan ccw dengan titik pusat a) z = 1z 2 - 1 b) z = i c) z = ½ d) z = -1 + i/2

Jawab: z 2 + 1=

f(z)=

z 2 + 1z 2 - 1 g(z) (z+1)(z-1) memiliki 2 titik diskontinuitas z1 = -1 dan z2 = 1

a) z - 1= 1 ccwz0 = 1 berada pada atau di dalam lingkaran z - 1= 1 ccw maka g(z) = z - 1

y f(z) = (z2+1) / (z+1)z 2 + 1

dz =(z2+1) / (z+1)

dzz 2 - 1 z - 1

= 2πiz2+1

= 2πix

z+1 -1 0z = 1

yb) z - i= 1 ccw

Lingkarannya tidak menutupi

C

C

C

i

C CCC

1

C

Page 103: Matematika Teknik 2

z1 = -1 dan z2 = 1 maka f(z) dz = 0x

c) z - ½= 1 ccw 0z0 = 1 ada di dalam lingkaran y

z 2 + 1dz =

(z2+1) / (z+1)dz

z 2 - 1 z - 1 x

= 2πiz2+1

= 2πi-1

z+1z = 1

d) z + 1 - i/2= 1 ccw yz0 = - 1 berada di dalam lingkaran

z 2 + 1dz =

(z2+1) / (z-1)dz

z 2 - 1 z + 1 x

= 2πiz2+1

= 2πi(-1)(-1)+1

= - 2πi0 1

z - 1 (-1) - 1z = - 1

Latihan: a) z - 1= 1 ccwHitung: dz C = lingkaran satuan b) z + 1= 1 ccw

z 4 - 1 c) z + 3= 1 ccwd) z - i= 1 ccw

Turunan fungsi analitik pada titik diskontinuitasnya.Jika f(z) dz

= 2πi f(z0) maka1 f(z) dz

= f(z0)z - z0 2πi z - z0

Jika diturunkan akan diperoleh :

f '(z0) =1 f(z) dz jika diturunkan lagi

f "(z0) =1 f(z) dz

2πi (z - z0)2 2πi (z - z0)3

C CC CC CC C-1

CCCC

CCCC CCCC

C C

C CC C½0

C

i

Page 104: Matematika Teknik 2

atau secara umumf n(z0) =

1 f(z) dz2πi (z - z0)n+1 n = 1, 2, 3, 4, . . .

atau dalam bentuk lain f(z) dz=

2πif n(z0)

(z - z0)n+1 n! C = ccwIni adalah rumus integral untuk fungsi dengan titik singularitas (diskontinuitas) jamak.

Contoh:cos z dz f(z) memiliki 2 titik singular, yaitu di z = πi(z - πi)2 C adalah lintasan tertutup sederhana ccw yang melingkupi z = πicos z dz

2πi (cos z) ' = - 2πi sin z = - 2πi sin πi = 2π sinh π(z - πi)2 z = πi

z4 - 3z2 + 6 f(z) memiliki singularitas jamak 3, z = - i(z + i) 3 C lintasan tertutup sederhana ccw yang melingkupi z = - i

z4 - 3z2 + 6 2πi(z4 - 3z2 + 6) " = πi (12z2 - 6) = - 18 πi

(z + i) 3 2! z = - i

e z dz f(z) memiliki 4 titik singular, z1,2 = 1 (jamak 2), z3,4 = ± 2i(z -1)2(z2 + 4) C lingkaran tertutup ccw melingkupi z1,2 , tidak melingkupi z3,4

e z dz= 2πi

ez ´ 2πiez(z2+4) - 2z ez

=6πei

(z -1)2(z2 + 4) z2 + 4 (z2+4)2 z = 1 25

Latihan: Hitung f(z) dz jika f(z) dan C adalah :

1) e C lintasan ccw sederhana melingkupi z = 2i , tidak melingkupi z = 0z(z - 2i)2

C lingkaran ccw z= 2 2) z4 3) z3 4) e 5) z2

CCCC

C

C

C=

Cdz

Cdz =

C

C=

Cz 2

z 2

C C

Page 105: Matematika Teknik 2

(z - 3i)2 (z + 1)3 (z - 1)2 (z - i)2

Page 106: Matematika Teknik 2

Jika f(z) dapat dituliskan dalam deret Laurent sebagai :∞

b1 b2f(z) = ∑ an (z - z0)n + + + . . . . .z - z0 (z - z0)2

n = 0maka b1 yaitu koefisien suku dengan penyebut z pangkat 1, akan sama dengan

b1 =1

f(z) dz atau f(z) dz = 2πi b12πi

di mana C adalah lintasan ccw tertutup sederhana yang melingkupi z = z0

b1 disebut sebagai residu f(z)b1 = Res f(z) Res f(z) = b1 = lim (z - z0) f(z)

Contoh :Res

9z + ilim (z - i)

9z + i=

9z + i=

10i= -5i

Hitung : z(z2 + 1) z(z + i)(z - i) z(z + i) z = i -2

f(z) jika berbentuk fraksi bisa ditulis sebagaif(z) =

p(z)q(z)

Maka rumus residunya :Res f(z) = Res

p(z) p(z0)q(z) q '(z0)

Contoh :Res

9z + i 9z + i=

10i= -5i

Hitung : z(z2 + 1) 3z2 + 1 z = i -2

Jika titik pole atau titik singular (diskontinuitas)-nya bernilai tunggal atau jamak, berlaku:

Res f(z) =1

lim d m-1

[(z - z0)m f(z)](m-1) ! dz m-1

Contoh:f(z) =

50 z

z = z0=

C C

=z→i

z = 0 z→z0

z = i

z = z0

=z = i

z = z0 z→z0

Page 107: Matematika Teknik 2

Cari residu f(z) di z = 1 (z + 4)(z - 1)2

50 zmemiliki 3 pole : pole tunggal di z = -4 dan pole derajat 2 di z = 1

(z + 4)(z - 1)2

Res50 z

=1

limd

(z - 1)2 50 z(z + 4)(z - 1)2 (2-1) ! dz (z + 4)(z - 1)2

=50(z + 4) - 50z

=250 - 50

= 8(z + 4)2 z = 1 25

Maka 50 z dz= 2πi (8) = 16πi

(z + 4)(z - 1)2 jika C adalah ccw melingkupi z = 1Latihan:Cari titik-titik pole-nya 1) z4 2) 2

z2 - iz + 2 (z2 - 1)2

Cari residu-residunya yang berada di dalam lingkaran z= 23) z - 23 4) - z2 - 22z + 8 5) 3z + 6 6) 3

z2 - 4z - 5 z3 - 5z2 + 4z (z + 1)(z2 + 16) (z4 - 1)2

Hitung f(z) dz jika C dan f(z) adalah :

7) 9z - 8 8) iz + 1 9) cos 8z 10) Soal-soal No: 3)z2 + z - 6 z2 - iz + 2 (z - π/4)3 4)

C = lingkaran C = lingkaran C = lingkaran 5)z - i= 4 cw z - 1= 3 cw satuan, ccw 6)

Teorema residu.

z = 1 z→1

C

C

f(z) =

Page 108: Matematika Teknik 2

Jika lintasan C melingkupi beberapa titik pole, maka berlaku :k

f(z) dz = 2πi ∑ Res f(z)

Contoh : 4 - 3zdz

jika C adalah ccw : a) 0 dan 1 di dalam CHitung : z2 - z b) 0 di dalam C, 1 di luar C

c) 1 di dalam C, 0 di luar CJawab : d) 0 dan 1 di luar C

Res4 - 3z

=4 - 3z

= -4 Res4 - 3z

=4 - 3z

= 1z(z - 1) z - 1 z = 0 z(z - 1) z z = 1

a) 4 - 3zdz = 2πi (- 4 + 1) = - 6πi

c) 4 - 3zdz = 2πi (0 + 1) = 2πi

z2 - z z2 - zb) 4 - 3z

dz = 2πi (- 4 + 0) = - 8πid) 4 - 3z

dz = 0z2 - z z2 - z

Latihan : Hitung f(z) dz =berikut jika C = lingkaran satuan ccw dan f(z) =

1) 30z2 - 23z + 5 2) (z + 4)3 3) 1 - 4z + 6z2 4) ez

(2z - 1)3(3z - 1) z4 + 5z3 + 6z2 (z2 + ¼)(2 - z) z(z - πi/4)2

Jika semua pole ada di dalam C : 5) z cosh πz z4 + 13 z2 + 36

Hitung 15z + 9dz

jika C adalah lingkaran ccw 6) z= 1z3 - 9z 7) z-3= 2

8) z= 4 10) z+2+i= 39) z-3/2+2i= 2,4 11) z-1= 3

C j = 1 z = zj

C

z = 0 z = 1

C

C

C

C

C

C

Page 109: Matematika Teknik 2

Integral nyata. 2πPandang bentuk I = F(cos θ, sin θ) dθ

0Dengan melakukan transformasi eiθ = z maka akan diperoleh :

cos θ =1

(eiθ + e - iθ ) =1

z +1

sin θ =1

(eiθ - e - iθ ) =1

z -1

2 2 z 2i 2i z

dan dz/dθ = ieiθ maka dθ =dziz

sehingga 2πdz f(z)

I = F(cos θ, sin θ) dθ = f(z) = dz C harus ccwiz iz0

Contoh : 2πdθ dz/iz -2 dz

= = =√2 - cos θ √2 - ½ (z + 1/z) i z2 - 2√2z + 1

0-2 dz Terdapat 2 titik pole: z1 = √2 + 1 dan z2 = √2 - 1i (z-√2-1)(z-√2+1) z = √2+1 berada di luar lingkaran satuan C

Maka hanya perlu mencari residu di z = √2 - 1

Res 1=

1=

1(z-√2-1)(z-√2+1) z-√2-1 z = √2-1 -2

Sehingga-2 dz

= 2πi-2 1

= 2πi (z-√2-1)(z-√2+1) i -2

Integral tak wajar (improper).Integral model ini ditunjukkan oleh batas-batas integrasi yang tidak wajar, yaitu ∞.Integral model ini bisa dikerjakan dengan cara pelimitan.

∞ 0 b

C C

C C

C

z = √2-1

C

Page 110: Matematika Teknik 2

f(x) dx = lim f(x) dx + lim f(x) dx-∞ a 0

f(z) dz = f(z) dz + f(x) dx = 2πi ∑ Res f(z)

a→-∞ b→∞

C S -R

R