Download - Matematika teknik 01-definisi pd
PERTEMUAN -1
Definisi dan Solusi Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial (PD)
Persamaan yang melibatkan variabel terikat (y) dan turunannya (yβ,yβ, dst) terhadap variabel bebas (x).
Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
Jika fungsi/persamaan yang tidak diketahui hanya terdiri dari satu variabel bebas (x) saja.
Persamaan Diferensial Parsial (PDP)
Jika fungsi/persamaan yang tidak diketahui lebih dari satu variabel bebas (x,z,dst).
Notasi Matematika
π¦ 1 , π¦(2) , π¦(3) , π¦(4) ππ π‘ β¦
ππ¦
ππ₯ ,
π2π¦
ππ₯2 ,
π3π¦
ππ₯3 ,
π4π¦
ππ₯4 ππ π‘ β¦
π¦β² , π¦β²β² , π¦β²β²β² , π¦β²β²β²β² ππ π‘ β¦
Ordo PD
Turunan tertinggi yang muncul dalam PD
Derajat PD
Pangkat dari turunan tertinggi yang muncul dalam PD
Soal 1.1
π . ππ¦
ππ₯= 5π₯ + 3
π . ππ¦π2π¦
ππ₯2+ 2
ππ¦
ππ₯
2
= 1
π . 4π3π¦
ππ₯3+ sin π₯
π2π¦
ππ₯2+ 5π₯π¦ = 0
π . π2π¦
ππ₯2
3
+ 3π¦ππ¦
ππ₯
7
+ π¦3ππ¦
ππ₯
2
= 5π₯
π . π2π¦
ππ‘2β 4
π2π¦
ππ₯2= 0
Tentukan Ordo, Derajat & Jenis dari PD berikut !
Jawaban 1.1
ππ¦
ππ₯= 5π₯ + 3 (π)
ππ¦π2π¦
ππ₯2+ 2
ππ¦
ππ₯
2
= 1 (π)
4π3π¦
ππ₯2+ sin π₯
π2π¦
ππ₯2+ 5π₯π¦ = 0 (π)
π2π¦
ππ₯2
3
+ 3π¦ππ¦
ππ₯
7
+ π¦3ππ¦
ππ₯
2
= 5π₯ (π)
π2π¦
ππ‘2β 4
π2π¦
ππ₯2= 0 (π)
Ordo 1 | Derajat 1 | PDB
Ordo 2 | Derajat 1| PDB
Ordo 3 | Derajat 1| PDB
Ordo 2 | Derajat 3 | PDB
Ordo 2 | Derajat 1 | PDP
Bentuk Standar & Bentuk Diferensial
Bentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah : yβ = f (x, y)
Persamaan-Persamaan Linear
PD Linear Orde Pertama dapat dinyatakan dalam bentuk : yβ + p(x)y = q(x)
Persamaan-Persamaan Homogen Syarat : PD Orde Pertama Homogen jika memenuhi
f (tx, ty) = f (x, y)
koefisinen b(x) dan suku g (x) tergantung hanya pada variabel x Tidak ada suku yang bergantung pada y atau turunan dari y (yβ)
Tidak ada y dan turunannya yang berpangkat lebih dari 1
PD Linear Orde ke-n dapat dinyatakan dalam bentuk :
ππ π ππ + π πβπ π π πβπ + β― + ππ π πβ²β²+ ππ π πβ² + ππ π π = π(π)
Soal 1.2
Tentukan apakan persamaan PD berikut Linear atau Non Linier !
π . π¦β² = sin π₯ π¦ + ππ₯
π . π¦β² +π₯π¦5 = 0
π . π¦β² = π₯ sin π¦ + ππ₯
π . π₯π¦β² + π¦ = π¦
π . π¦β² +π₯π¦ = ππ₯π¦
π . π¦β² +π₯
π¦= 0
π . 2π₯π¦β²β² + π₯2π¦β² β (sin π₯)π¦ = 2
π . π¦π¦β²β²β² + π₯π¦β² + π¦ = π₯2
π . π¦β²β² + π¦β² + π¦ = π₯2
π . π4π¦
π4π₯+ π¦4 = 0
Jawaban 1.2
π . π¦β² = sin π₯ π¦ + ππ₯
π . π¦β² +π₯π¦5 = 0
π . π¦β² = π₯ sin π¦ + ππ₯
π . π₯π¦β² + π¦ = π¦
π . π¦β² +π₯π¦ = ππ₯π¦
π . π¦β² +π₯
π¦= 0
π . 2π₯π¦β²β² + π₯2π¦β² β (sin π₯)π¦ = 2
π . π¦π¦β²β²β² + π₯π¦β² + π¦ = π₯2
π . π¦β²β² + π¦β² + π¦ = π₯2
π . π4π¦
π4+ π¦4 = 0
Linear ; p(x) = -(sin x) , q(x) = ππ₯
Non Linear ; suku (sin y)
Non Linear ; suku π¦5
Non Linear ; suku π¦
Linear ; p(x) = x-ππ₯ , q(x) = 0
Non Linear ; suku 1/y
Linear ; b2(x)=2 , b1(x)=π₯2 , b0(x)=-sin x dan g(x)=2
Non Linear ; b3(x)=y
Non Linear ; suku π¦β²
Non Linear ; suku π¦4
Soal 1.3 Tentukan apakan persamaan PD
berikut Homogen atau tidak !
π . π¦β² =π¦ + π₯
π₯
π . π¦β² =π¦2
π₯
π . π¦β² =2π₯π¦π
π₯π¦
π₯2 + π¦2π πππ₯π¦
π . π¦β² =π₯2 + π¦
π₯3
Jawaban 1.3 Tentukan apakan persamaan PD
berikut Homogen atau tidak !
π . π¦β² =π¦ + π₯
π₯ Linear & Homogen
π π‘π₯, π‘π¦ =π‘π¦ + π‘π₯
π‘π₯=
π‘(π¦ + π₯)
π‘π₯=
π¦ + π₯
π₯= π(π₯, π¦)
π . π¦β² =π¦2
π₯ Non Linear & Non Homogen
π π‘π₯, π‘π¦ =(π‘π¦)2
π‘π₯=
π‘2π¦2
π‘π₯= π‘
π‘π¦2
π₯β π(π₯, π¦)
Tentukan apakan persamaan PD berikut Homogen atau tidak !
π . π¦β² =2π₯π¦π
π₯π¦
π₯2 + π¦2π πππ₯π¦
π . π¦β² =π₯2 + π¦
π₯3
Jawaban 1.3
Non Linear & Homogen
Linear & Non Homogen
Solusi Persamaan Diferensial (PD)
Jawaban penyelesaian dari suatu PD sehingga menjadi persamaan yang menyatakan hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas.
Solusi Umum Jawaban dari suatu PD yang masih mengandung konstanta.
Solusi Khusus/ Spesifik
Jawaban dari suatu PD dimana semua konstanta yang ada pada jawaban umum telah diganti dengan suatu nilai spesifik, sehingga tidak lagi mengandung konstanta.
Solusi Eksplisit Solusi PD yang bisa diekspresikan dalam bentuk yang memisahkan antara varibel terikat dengan semua variabel bebasnya dengan operator βsama denganβ (=), yaitu dalam bentuk y= f(x,y)
Solusi Implisit Solusi PD yang tidak bisa diekspresikan dalam bentuk solusi eksplisit.
Soal 1.4
Tentukan Solusi Umum & Solusi Khusus Dari Persamaan Diferensial Berikut !
π . π¦β² β 3π₯2 + 2π₯ β 1 = 0 ; π¦ 0 = 5
π . π΅π’ππ‘ππππ ππππ€π πππ€ππππ ππππ‘ππ π ππππππ π πππ’π π ππππ ππ· π‘πππ πππ’π‘.
π . π2π¦
ππ₯2= 6π₯ , π‘πππ‘π’πππ π πππ’π π π’ππ’ππ¦π !
π . π½πππ πΆ1 = 1 πππ πΆ2 = 3 , ππππ π πππ’π π πππ’π π’π ππππ π πππ ππ π ππππππ ?
PERTEMUAN -1
Terima Kasih
Jawaban 1.4
Tentukan Solusi Umum & Solusi Khusus Dari Persamaan Diferensial Berikut !
π . π¦β² β 3π₯2 + 2π₯ β 1 = 0 ; π¦ 0 = 5
π = ππ β ππ + π
π . π2π¦
π₯2= 6π₯ π π
π π= πππ + πͺπ
π = ππ + πππ + ππ
π = ππ + π + π