MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

27 Januari 2017

Bab Sebelumnya

7. Teknik Pengintegralan

7.1 Aturan Dasar Pengintegralan

7.2 Pengintegralan Parsial

7.3 Integral Trigonometrik

7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan

7.5 Integral Fungsi Rasional

7.6 Strategi Pengintegralan

2/5/2014 2(c) Hendra Gunawan

BAB 8. BENTUK TAK TENTU DANINTEGRAL TAK WAJAR

MA1201 MATEMATIKA 2A

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 3

Sasaran Kuliah Hari Ini

8.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0

Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 denganmenggunakan Aturan l’Hopital

8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya

Menghitung limit bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, dan 1∞

2/5/2014 4(c) Hendra Gunawan

8.1 BENTUK TAK TENTU TIPE 0/0MA1201 MATEMATIKA 2A

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 5

Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 denganmenggunakan Aturan l’Hopital

Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0

Di Semester I, kita pernah membahas limit-limit berikut:

Ketiga bentuk limit ini mempunyai kemiripan: baik pembilang maupun penyebutnya sama-sama menuju 0. Ketiga limit tsb merupakan limit bentuk tak tentu tipe 0/0.2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 6

.)()(

lim,1

1lim,

sinlim

3

10 cx

cfxf

x

x

x

x

cxxx

Catatan

• Ketika kita membahas sistem bilangan real, 0/0 tidak didefinisikan.

• Yang sedang kita bahas adalah limit “bentuktak tentu 0/0”, bukan 0/0.

• Limit tsb disebut “bentuk tak tentu”, karenanilainya memang tak tentu (bisa ada, bisatidak; dan kalaupun ada, bisa berbeda antarasatu bentuk 0/0 dan bentuk 0/0 lainnya).

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 7

Aturan L’Hôpital

Misalkan . Jika

ada (terhingga) atau tak terhingga,

maka

Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c-, ∞ atau -∞.

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 8

.)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

cxcx

0)(lim)(lim

xgxfcxcx

)('

)('lim

xg

xf

cx

Contoh/Latihan

1. Hitung

Jawab:

Bentuk limit di atas merupakan bentuk 0/0. Dengan Aturan L’Hopital:

Catatan: (L) berarti bhw kita menggunakanAturan L’Hopital.

2/5/2014 9(c) Hendra Gunawan

.1

1lim

3

1

x

x

x

.31

1.3

1

3lim

1

1lim

22

1

)(3

1

x

x

x

x

L

x

2. Hitung (a) , (b)

Jawab:

2/5/2014 10(c) Hendra Gunawan

20

sinlim

x

xx

x

.

sinlim

30 x

xx

x

3. Hitung

Jawab:

2/5/2014 11(c) Hendra Gunawan

.tan

2sinlim

0 x

xx

x

4. Hitung

Jawab:

2/5/2014 12(c) Hendra Gunawan

.sin2

lim0 x

ee xx

x

5. Hitung

Jawab:

2/5/2014 13(c) Hendra Gunawan

.1

lnlim

2

2

1 x

x

x

Bahan Diskusi

Perhatikan bentuk limit berikut:

• Apakah limit ini merupakan bentuk 0/0?

• Apakah Aturan L’Hopital dapat diterapkan?

• Hitunglah nilai limit tsb (terserah dengancara apa).

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 14

.tan

)sin(lim

12

0 x

xx

x

8.2 BENTUK TAK TENTU LAINNYAMA1201 MATEMATIKA 2A

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 15

Menghitung limit bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, dan 1∞

Bentuk Tak Tentu Tipe ∞/∞

Selain bentuk tipe 0/0, limit berbentuk seperti

juga sering kita hadapi. Dalam bentuk ini, baikpembilang maupun penyebut sama-samamenuju tak hingga. Bentuk limit ini merupakanbentuk tak tentu juga, yang kita sebut sebagaibentuk tak tentu tipe ∞/∞.

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 16

xx e

x2

lim

Aturan L’Hôpital utk Bentuk ∞/∞

Misalkan . Jika

ada (terhingga) atau tak terhingga,

maka

Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c-, ∞ atau -∞.2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 17

.)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

cxcx

)(lim)(lim xgxfcxcx

)('

)('lim

xg

xf

cx

Contoh/Latihan

1. Hitung

Jawab:

Bentuk limit di atas merupakan bentuk ∞/∞. Dengan Aturan L’Hopital:

Catatan: Seperti biasa, (L) berarti bahwa kitamenggunakan Aturan L’Hopital.

2/5/2014 18(c) Hendra Gunawan

.2

limx

e x

x

.2

lim2

lim)(

x

x

Lx

x

e

x

e

2. Hitung

Jawab:

2/5/2014 19(c) Hendra Gunawan

.lim2

xx e

x

Bahan Diskusi

Perhatikan bentuk limit berikut:

• Apakah limit ini merupakan bentuk ∞/∞?

• Apakah Aturan L’Hopital dapat diterapkan?

• Hitunglah nilai limit tsb (terserah dengan caraapa).

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 20

2lim .

1x

x

x

Bentuk 0.∞

3. Hitung

Jawab: Di sini x 0+ dan ln x -∞ bila x 0+. Untuk menghitung limit ini, kita tuliskan

Perhatikan bahwa bentuk di ruas kananmerupakan bentuk ∞/∞. Karena itu

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 21

.lnlim0

xxx

./1

lnlimlnlim

00 x

xxx

xx

.0)(lim/1

/1lim

/1

lnlimlnlim

02

0

)(

00

x

x

x

x

xxx

xx

L

xx

4. Hitung

Jawab:

2/5/2014 22(c) Hendra Gunawan

.ln.sinlim0

xxx

Bentuk ∞ – ∞

5. Hitung

Jawab: Kita ubah terlebih dahulu bentuk di ataske bentuk 0/0 atau ∞/∞.

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 23

0

1 1lim .

sinx x x

6. Hitung [Wow, bentuk apakah ini?]

Jawab:

2/5/2014 24(c) Hendra Gunawan

.)(sinlim0

x

xx

7. Hitung [Eh, bentuk apa lagi ini?]

Jawab:

2/5/2014 25(c) Hendra Gunawan

.)1(lim 1 x

xx

8. Hitung [Bentuk apa pula ini?]

Jawab:

2/5/2014 26(c) Hendra Gunawan

.)(tanlim cos

2

x

x

x

Bahan Diskusi

Perhatikan bentuk limit berikut:

(a)

(b)

• Apakah mereka merupakan bentuk tak tentu?

• Hitunglah nilai masing-masing limit tersebut(terserah dengan cara apa).

2/5/2014 (c) Hendra Gunawan 27

.)(sinlim cos

2

x

xx

.ln

lim0 x

x

x