MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

29 Januari 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

7 3 Integral Trigonometrik7.3 Integral Trigonometrik

Menghitung beberapa integral trigonometrik

7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan

Menghitung integral dengan teknik substitusiMenghitung integral dengan teknik substitusiyang merasionalkan

1/29/2014 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

7 5 Integral Fungsi Rasional7.5 Integral Fungsi Rasional

Menghitung integral fungsi rasional denganmenggunakan pecahan parsialmenggunakan pecahan parsial

7 6 Strategi Pengintegralan7.6 Strategi Pengintegralan

Mengetahui apa yang harus dilakukan biladihadapkan pada suatu bentuk integraldihadapkan pada suatu bentuk integral

1/29/2014 3(c) Hendra Gunawan

7.5 INTEGRAL FUNGSI RASIONALMA1201 MATEMATIKA 2A

7.5 INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Menghitung Integral Fungsi RasionalMenghitung Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsipolinom. Secara umum, fungsi rasional dapatdituliskan sebagai

dengan P Q dan R polinom dan derajat R <,)()( )(

)(xQxRxPxf

dengan P, Q dan R polinom, dan derajat R < derajat Q. Integral dari P(x) dapat diperolehdengan mudah Karena itu untuk menghitungdengan mudah. Karena itu, untuk menghitungintegral dari f(x), kita perlu mengetahui bagai‐mana menghitung integral dari R(x)/Q(x)mana menghitung integral dari R(x)/Q(x). 

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 5

Contoh/LatihanContoh/Latihan

1. Tentukan dxx

11

2

Jawab: x 12

ddxdx 11

dx

xdx

xdx

x 111 222

tan)1ln( 121 Cxx .tan)1ln(2 Cxx

1/29/2014 6(c) Hendra Gunawan

2.  Tentukan dxxx 1

2

2

Jawab: xx )1( 2

1/29/2014 7(c) Hendra Gunawan

Dekomposisi atas Faktor LinearDekomposisi atas Faktor Linear

3 Misalkan kita hendak menghitung 1 dx3. Misalkan kita hendak menghitung

Perhatikan bahwa

.12

dxx

.11)1)(1(

11

1 21

21

2

Jadi11)1)(1(12 xxxxx

111

dx

xdx

xdx

x 11

11

11

21

21

2

|1|ln|1|ln 11 Cxx 1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 8

.|1|ln|1|ln 22 Cxx

4.  Tentukan dx)(

1

Petunjuk: Tuliskan dan

xx )1(1

BA

Petunjuk: Tuliskan dan

carilah nilai A dan B yang memenuhinya.1)1( xxxx

1/29/2014 9(c) Hendra Gunawan

5.  Tentukan dxx 22

Jawab: 

dxxxx )2)(1(

1/29/2014 10(c) Hendra Gunawan

6.  Tentukan dx)(

12

Petunjuk: Tuliskan dan

xx )1( 2

122

CBxAPetunjuk: Tuliskan dan

carilah nilai A, B dan C yang memenuhinya.1)1( 22 xxxx

1/29/2014 11(c) Hendra Gunawan

7.  Tentukan dx)(

12 xxx )52( 2

1/29/2014 12(c) Hendra Gunawan

8.  Tentukan dx)(

12

Petunjuk: Tuliskan

xx )1(2

11)1(1

222

xC

xB

xA

xC

xBAx

xxcarilah nilai A, B dan C yang memenuhinya.

1/29/2014 13(c) Hendra Gunawan

9.  Tentukan dx13

Petunjuk: Faktorkan dahulu x3 – 1.

x 13

1/29/2014 14(c) Hendra Gunawan

Persamaan Diferensial LogistikPersamaan Diferensial Logistik

Pada semester I kita membahas persamaanPada semester I, kita membahas persamaandiferensial y’ = ky yang terkait dgn pertumbuhansuatu populasi y = y(t) Di sini kita mengasumsi‐suatu populasi y = y(t). Di sini kita mengasumsikan bahwa ruang tidak terbatas, sehinggapopulasi dapat bertumbuh terus (tak terbatas)populasi dapat bertumbuh terus (tak terbatas).

Bila ruang terbatas, maka ada kapasitas maksi‐mum L dan persamaan diferensialnya menjadimum L, dan persamaan diferensialnya menjadi

y’ = ky(L – y), yang dikenal sebagai persamaandif i l l i ikdiferensial logistik.1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 15

10.  Suatu populasi bertumbuh sesuai dgn per‐p p g psamaan logistik y’ = 0.01y(250 – y). Populasi awaldiketahui 100. Tentukan populasi pada saat t = 5.p p p

Jawab:

1/29/2014 16(c) Hendra Gunawan

7.6 STRATEGI PENGINTEGRALANMA1201 MATEMATIKA 2A

7.6 STRATEGI PENGINTEGRALAN

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 17

Berbeda dengan turunan, tidak ada aturan pengintegralanyang berlaku secara umum.Bila kita dihadapkan pada suatu bentuk integral tak tentumaka yang dapat kita lakukan adalah:maka yang dapat kita lakukan adalah:1. Coba hitung integral tsb dgn teknik substitusi, bila ada

substitusi yg dpt mengubah integral tsb ke salah satubentuk baku yang kita kenal.

2. Bila teknik substitusi gagal, coba hitung integral tsbdengan pengintegralan parsialdengan pengintegralan parsial.

3. Bila integral mengandung bentuk akar, coba substitusiyang merasionalkan.y g

4. Jika integrannya merupakan fungsi rasional, hitunglahintegralnya dengan mendekomposisi integrannya atasf k f k li d / k d ikfaktor‐faktor linear dan/atau kuadratiknya. 

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 18

Contoh/LatihanContoh/Latihan

1.  Tentukan dxxe x2

Jawab:

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 19

2.  Tentukan dxxln

Jawab:

x

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 20

3.  Tentukan dxxx .1

Jawab: 

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 21

4.  Tentukan dxx2

2sin

Jawab:

dxx2cos

1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 22

5.  Tentukan 2

dx

Jawab:

2169 x

1/29/2014 23(c) Hendra Gunawan

PR. Tentukan dxx4

dxx 115 4

1/29/2014 24(c) Hendra Gunawan