ma1201 m10-2-28-03-14

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

28 Maret 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12 5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag I12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag I12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange

3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12.5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag II12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange


12.5 TURUNAN BERARAHMA1201 MATEMATIKA 2A

12.5 TURUNAN BERARAH• Menentukan turunan berarah dari suatuf i di t titik d l h t t tfungsi di suatu titik dalam arah tertentu


Laju Perubahan dalamh bArah Sembarang

Misalkan z = f(x,y). Turunanparsial fx dan fy mengukur laju P

z

perubahan nilai f dalam arahsejajar dengan sumbu‐x dan ysumbu‐y. Bagaimana bila kitabergerak dalam arah lainnya? x


Review: Definisi Turunan ParsialReview: Definisi Turunan Parsial

Misalkan p = (x,y), i = (1,0), dan j = (0,1). Makap ( ,y), ( , ), j ( , )kedua turunan parsial dari z = f(x,y) di p dapatdidefinisikan ulang sebagaig g

.)()(lim)(h

pfihpfpfx

)(0 h

pfhx

)()(lim)( pfjhpfpf .lim)(

0 hpf

hy


Definisi Turunan BerarahDefinisi Turunan Berarah

Dengan menggantikan i atau j dengan vektorg gg j gsatuan u = (u1,u2) sembarang, maka kita dapatmendefinisikan turunan berarah dari z = f(x,y) f( ,y)di p = (x,y) sebagai

)()( pfuhpf

d d

.)()(lim)(0 h

pfuhpfpfDhu

)()( ffD )()( ffDJadi, dan )()( pfpfD xi ).()( pfpfD yj


Hubungan dengan GradienHubungan dengan Gradien

Jika fmempunyai turunan (atau linear secaraf p y (lokal) di p, maka fmempunyai turunan berarahdi p dalam arah vektor u = (u1,u2) sembarang, p ( 1, 2) g,dan

)()()()( ffffD ).()()()( 21 pfupfupfupfD yxu

Fakta ini dapat dibuktikan sebagai berikut:


BuktiBukti

Karena fmempunyai turunan di p makaKarena fmempunyai turunan di p, maka

),()()()()()( uhuhuhpfpfuhpf

dengan Bagi kedua ruas dgn h,.0)(lim0

uhh

)()( fhf .)()()()( uuhupfh

pfuhpf

Hitung limitnya untuk h 0, kita peroleh

)()( upfpfD 3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 9

.)()( upfpfDu

ContohContoh

Turunan parsial dari di (1 2)22)( yxyxf Turunan parsial dari di (1,2) adalah

),( yxyxf

)(f

Turunan berarah dari f di (1 2) dalam arah vektor

;22)2,1( )2,1( xfDi .42)2,1( )2,1( yfDj

Turunan berarah dari f di (1,2) dalam arah vektoru = (0.6,0.8) adalah

l b h b d d f( )

.4.42.32.1)8.0,6.0()4,2()2,1( fDu

yang ternyata lebih besar daripada Dj f(1,2).3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 10

Laju Perubahan MaksimumLaju Perubahan Maksimum

Misal θ adalah sudut antara u dan Maka)( pfMisal θ adalah sudut antara u dan . Maka

.cos)()()( pfupfupfDu )( pf

Jadi Du f(p) akan bernilai maksimum bila θ = 0 dan minimum bila θ = π.

.)()(0 pfpfDu

.)()( pfpfDu


ContohContoh

Tentukan dalam arah vektor manakah turunanTentukan dalam arah vektor manakah turunanberarah dari di (1,2) mencapai

(a) nilai maksimum;

22),( yxyxf (a) nilai maksimum;

(b)nilai minimum.

Tentukan laju perubahan maksimum danminimumnya.


Kurva Ketinggian dan GradienKurva Ketinggian dan Gradien

Pada kurva ketinggian, nilai f konstan. )(fPada kurva ketinggian, nilai f konstan. Jadi, jika kita bergerak dalam arah vektorsinggung u pada kurva tsb, maka laju u

)( pf

perubahan ketinggiannya akan samadengan nol:

.0)()( pfupfDu

Jadi vektor gradien f di p tegak lurus padakurva ketinggian f yang melalui p.


ContohContoh

Misal Maka turunan berarah22)( yxyxf Misal . Maka turunan berarahdari f di (1,2) dalam arah vektor u = sama dengan nol:

),( yxyxf )1,2(

51

sama dengan nol:

.0)4,2()1,2(5

1)( pfDu

Ini terjadi karena vektor umerupakan vektor

5

singgung pada kurva ketinggian f di (1,2).


Soal 1Soal 1

Diketahui f(x y) = 1 untuk (x y) dengan 0 < y < x2Diketahui f(x,y) = 1 untuk (x,y) dengan 0 < y < x , dan f(x,y) = 0 untuk (x,y) lainnya. Buktikanbahwa fmempunyai turunan berarah di (0 0)bahwa fmempunyai turunan berarah di (0,0) dalam arah sembarang, tetapi f tidak mem‐punyai turunan (bahkan tidak kontinu) di (0 0)punyai turunan (bahkan tidak kontinu) di (0,0).


Soal 2Soal 2

Diketahui )( 22 yxyxf Diketahui

Gambarlah peta kontur dan medan gradiennya(yang menggambarkan vektor vektor gradien f

.),( yxyxf

(yang menggambarkan vektor‐vektor gradien fdi sejumlah titik) pd sistem koordinat yg sama.


12.6 ATURAN RANTAIMA1201 MATEMATIKA 2A

12.6 ATURAN RANTAI• Menggunakan Aturan Rantai untuk me‐

t k t f i k i i tnentukan turunan fungsi komposisi antarafungsi dua peubah dengan fungsi vektorM t k t d i f i t• Menentukan turunan dari fungsi satupeubah yang diberikan secara implisit


Aturan Rantai, Versi PertamaAturan Rantai, Versi Pertama

Jika x = x(t) dan y = y(t) mempunyai turunan di t( ) y y( ) p ydan z = f(x,y) mempunyai turunan di (x(t),y(t)), maka z = f(x(t),y(t)) mempunyai turunan di tf( ( ),y( )) p ydengan

dyzdxzdz .dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz


ContohContoh

Misalkan z = x2y3 dengan x = t2 + 1 dan y = t2 – 1Misalkan z = x y dengan x = t + 1 dan y = t 1. Maka

ddd )2(3)2(2 223

tyxtxydtdy

dyz

dtdx

dxz

dtdz

)1()1(6)1)(1(424422

2222322 tttttty

)145)(1(2)1(6)1()1(4

244

24422

ttttttttt


).145)(1(2 tttt

SoalSoal

Diketahui volume tabung V = πr2h MisalkanDiketahui volume tabung V = πr h. Misalkanpada saat r = 10 cm dan h = 20 cm, tabung tsbmengembang dengan jari‐jarinya bertambah 1mengembang dengan jari jarinya bertambah 1 cm per jam dan tingginya bertambah 0.5 cm per jam Berapakah laju pertambahan volumenya?jam. Berapakah laju pertambahan volumenya?


Aturan Rantai, Versi KeduaAturan Rantai, Versi Kedua

Jika x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai turunan( , ) y y( , ) p yparsial di (s,t) dan z = f(x,y) mempunyai turunandi (x(s,t),y(s,t)), maka z = f(x(s,t),y(s,t)) mem‐( ( , ),y( , )), f( ( , ),y( , ))punyai turunan di (s,t) dengan

yzxzz .sy

yz

sx

xz

sz

.ty

yz

tx

xz

tz


ContohContoh

Misalkan z = x2y dengan x = s + t dan y = 1 – stMisalkan z = x y dengan x = s + t dan y = 1 st . Maka

yzxzz )()1(2 2 txxysy

yz

sx

xz

sz

.)()1)((2 2tststts

yzxzz )()1(2 2 sxxyty

yz

tx

xz

tz


.)()1)((2 2tssstts

Turunan Fungsi Implisit (Lagi)Turunan Fungsi Implisit (Lagi)

Misalkan F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara( ,y) yimplisit sebagai fungsi dari x. Maka, denganmenurunkan terhadap x, kita peroleh:p , p

.0

dyFdxF

Jadi,

.0

dxydxx

/Fd .//

yFxF

dxdy


Turunan Fungsi Implisit (Baru)Turunan Fungsi Implisit (Baru)

Misalkan F(x,y,z) = 0 mendefinisikan z secara( ,y, )implisit sebagai fungsi dari x dan y. Maka, dgnmenurunkan secara parsial terhadap x dan y, p p y,kita peroleh:

/ xFz ./ zFx

/F .//

zFyF

yz


Contoh/LatihanContoh/Latihan

1 Diketahui x3 + 2x2y – y3 = 0 Tentukan dy/dx1. Diketahui x + 2x y y = 0. Tentukan dy/dx.

2 ik h i 3 2 3 3 0 kz

2. Diketahui 3x2z + y3 – xyz3 = 0. Tentukandan

zx.z

yy


ma1201 m10-2-28-03-14

Documents