Transformasi

1. M adalah pencerminan terhadap garis x + y = 0. R adalah rotasi sejauh 90 searah jarum jam dengan pusat O. Tentukan matriks transformasi yang bersesuaian dengan R o M !

Jawab :

−=

−

−

−

=1001

0110

0110

MR

2. Diketahui

=

−

=0110

1001

21 MdanM . Tentukan bayangan titik (2,-5) oleh

transformasi 12 MM

Jawab :

=

−

−=

−

−

=

− 2

552

0110

52

1001

0110

52

)( 12 MM

3. Tentukan bayangan titik (3,2) karena pencerminan terhadap garis x = 3 dilanjutkan terhadap garis x = 5 !

Jawab :( ) )2,7()2),35(23()),(2('','' =−+=−+= yklxyx

4. Tentukan bayangan lingkaran 122 =+ yx karena transformasi yang bersesuaian dengan

matriks

1002

Jawab :

( ) 4411)'('

1

''2

1002

''

22224122

21

22

21

=+⇔=+⇔=+

=+

==

⇒

=

=

yxyxyx

yx

yyxx

yx

yx

yx

5. Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 karena pencerminan terhadap sumbu X kemudian diputar dengan rotasi sejauh 90 dengan pusat O !

Jawab :

0323''2''32

''''

1001

0110

''''

=−−⇔+=+=

==

⇒

=

−

−=

yxyxxy

xyyx

xy

yx

yx

6. Tentukan matriks transformasi yang bersesuaian dengan perputaran sebesar 6π terhadap O

dan berlawanan dengan arah perputaran jarum jam !

1

Jawab :

−=

−=

−3113

21

33

cossinsincos

21

21

21

21

66

66ππ

ππ

7. 1T adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks

3021

dan 2T bersesuaian

dengan matriks

− 2103

. Tentukan matriks yang bersesuaian dengan 12 TT !

Jawab :

−

=

−

=4163

3021

2103

12 TT

8. Tentukan matriks yang bersesuaian dengan xxy MRM 90=

Jawab :

=

−

−

== 10

011001

0110

0110

90 xxy MRM

9. Tentukan matriks yang menyatakan perputaran sebesar 3π terhadap O dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis x + y = 0 !

Jawab :

−−=

−

−

−=−= 31

133

30110

21

21

21

21

21

3πRM xy

10. Tentukan bayangan titik A(1,3) oleh gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 3 !

Jawab :

=

=

=

310

31

1031

101

''

yxk

yx

11. Tentukan bayangan titik (4,-8) yang dicerminkan terhadap garis x = 6 dilanjutkan dengan rotasi ( )60,O !

Jawab :

−+=

−

−=

−

=

+

−

−=

434344

88

33

''''

88

06.2

84

1001

''

21

21

21

21

yx

yx

12. Bayangan titik A(x,y) karena refleksi terhadap garis x = -2, dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 3 dan kemudian dilanjutkan rotasi pusat O bersudut 2π radian adalah (-4,6). Tentukan koordinat titik A !

Jawab :

2

)2,10(210

64

46

64

64

0110

)6,4()6,4)((

)6,4()3.2,)2(2)((

)6,4(),)((

2

2

223

−=−=

⇒

−=

−−

−

−=

−

−−

−

−=−−−

−=−−−

−=−==

AJadiyx

xy

yx

yxR

yxR

yxMMR xy

π

π

π

13. T suatu transformasi linear yang memetakan titik-titik (0,1) dan (1,0) berturut-turut menjadi titik-titik (1,0) dan (0,1). Tentukan bayangan titik (-1,2) oleh transformasi T !

Jawab :

−

=

−

=⇒

=

⇔

=

=

12

21

0110

0110

1001

1001

0110

:

Sehingga

Tcdab

dcba

makadcba

TMisal

14. Tentukan bayangan titik-titik A(2,1), B(6,1) dan C(5,3) karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi ( )90,O !

Jawab :

−−−−−−

=

−

−=

562311

311562

1001

0110

''''yx

Jadi A’’(-1,-2), B’’(-1,-6) dan C’’(-3,-5)

15. Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian dilanjutkan dengan transformasi

sesuai matriks

−2112

menghasilkan titik (1,-8), maka tentukan nilai a+ b !

Jawab :

1)3(232

81

22

81

1001

2112

−=−+=+−=

=⇒

−

=

+−+

−

=

−

−

baba

baba

ba

16. Tentukan luas bayangan persegi panjang PQRS dengan P(-1,2), Q(3,2), R(3,-1) dan S(-1,-1) karena dilatasi (O,3) dilanjutkan rotasi pusat O bersudut 2π !

Jawab :

−−

−−=

−−−−

−=

39933366

11221331

3003

0110

''''yx

3

Y (-6,-9) (3,9)

Jadi Luas = 12 x 9 = 108

(-6,-3) (3,-3)

17. Jika titik P(2,-3) dicerminkan terhadap garis lurus m menghasilkan bayangan P’(4,5), maka tentukan persamaan garis m !

Jawab : m

P(2,-3) M P’(4,5)

Koordinat M )1,3(253,

242 M=

+−+

074)3(1:414

24)3(5

41

21

=−+⇔−−=−

−=⇒=−

−−=

yxxyadalahmgarisPersamaan

mm

18. Tentukan bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x !

Jawab :

12'2'22

''

0110

''

21 −=⇔+=

+===

⇒

=

=

xyyxxy

xyyx

xy

yx

yx

19. Tentukan persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat O sejauh 90 , dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = x !

Jawab :

04204)''(2''042

''''

0110

0110

''''

=++⇒=+−−=+−

−==

⇒

−

=

−

=

yxyxyx

yyxx

yx

yx

yx

4

20. Tentukan bayangan garis 2x + y + 4 = 0 yang dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan

dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks

1021

Jawab :

0404"2""2042

"2""2"2""2

0110

1021

""

=+⇒=+−+=++

−=⇔+=⇒+==

⇒

+=

=

xyxyyx

yxyyyxyxxyx

xyx

yx

yx

21. Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 karena translasi dengan matriks

−23

dan

dilanjutkan dengan

− 11

Jawab :

05326)1"(3)2"(2632

1"2"

12

1213

""

=−+⇒=−++=+

−=+=

⇒

+−

=

−

+−+

=

yxyxyx

yyxx

yx

yx

yx

22. Tentukan bayangan garis y = -3x + 3 oleh refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x !

Jawab :

13"3"33

""

1001

0110

""

31 +=⇒+−=−

+−=−=

=⇒

−=

−

=

xyyxxy

xyyx

xy

yx

yx

23. Parabola 42 −= xy dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian digeser

− 13

. Tentukan

ordinat titik potong hasil transformasi dengan sumbu Y !

Jawab :

6600664)3"(1"4

1"3"

13

13

1001

""

222

−=−+=−+−=⇒−−=−−⇒−=

−−=−=

⇒

−−

+=

−

+

−

=

ydiyaituXsumbudenganpotongTitikxxyxyxy

yyxx

yx

yx

yx

24.

Jawab :

032303)"8"5(2"19"12032"8"5"19"12

198125

5221

3221

""

=++−⇒=+−−−⇒=+−−=−=

⇒

−−

=

−−

=

yxxyxyyxxyyxyx

yxyx

yx

yx

5

25.

Jawab :

545)'(4)'('54

''

1001

''

22

2

−+=⇒−−−−=−−=

=−=

⇒

−=

−=

xxyxxyxxy

yyxx

yx

yx

yx

6