BAB VI

TRANSFORMASI KANONIK DAN TEORI HAMILTON-JACOBI

V1.1 Transformasi Kanonik

Pilihan koordinat umum q sebenarnya tidak ada pembatasan; dan mereka dapat berupa

s besaran yang secara tunggal menentukan kedudukan system dalam ruang. Dalam hal ini

persamaan Lagrange sama sekali tak bergantung pada pilihan koordinat, atau dengan kata lain

persamaan Lagrange bersifat invariant (tak berubah) terhadap transformasi kumpulan q1,q2,q3,

…ke koordinat lain yang bebas Q1,Q2,Q3..... Kumpulan koordinat Q yang baru ini adalah

merupakan fungsi q yang secara eksplisit bergantung pula pada waktu t sehingga:

Qi=Qi (q,t)

yang dikenal sebagai transformasi titik

Karena persamaan Lagrange tak berubah dibawah transformasi titk, maka persamaan

Hamilton juga demikian. Akan tetapi untuk persamaan Hamilton sesungguhnya dimungkinkan

rangkuman yang lebih luas. Ini disebabkan karena dalam persamaan Hamilton, perlakuan

terhadap momentum p juga merupakan perubah yang sama kedudukannya dengan koordinat q.

Oleh karena itu transformasi titik buat persamaan Hamilton, dapat diperluas hingga meliputi

2s perubah bebas p dan q. Jadi kedua-duanya harus ditransformasikan menurut:

(V1.1.1)

Mulai sekarang p dan P adalah momentum umum dan variabel Q dan P disebut variabel

kanonik. Perluasan ini adalah merupakan keuntungan menggunakan sajian Hamilton. Akan

tetapi tidak semua transformasi (V1.1.1) dapat mempertahankan bentuk kanonik persamaan

Hamilton.

Untuk keperluan ini, syarat yang harus dipenuhi sehingga persamaan gerak Hamilton

dalam perubah baru Q, P, yakni bila ada fungsi Hamilton yang baru sehingga:

(V1.1.2a)

1

(V1.1.2b)

Jika ini dipenuhi maka transformasi (V1.1.1) disebut kanonik dan persamaan (V1.1.2b) bisa

diperoleh dari prinsip aksi.

Untuk merumuskan transformasi kanonik kita meninjau kembali prinsip variasi, yakni:

(V1.1.3)

yang pada uraian lalu telah digunakan menurunkan persamaan gerak Hamilton. Menurut

keterangan di atas, variasi ini berlaku untuk sembarang system koordinat dan momentum.

Oleh karena itu, buat perubah baru P dan Q juga harus memenuhi asas variasi pada persamaan

(V1.1.3) agar persamaan Hamilton (V1.1.2b) dapat diturunkan dari:

(V1.1.4)

Kedua variasi (V1.1.3) dan (V1.1.4) hanya akan setara bila integrannya sama terlepas dari

pada perbedaan dengan diferensial total suatu fungsi F terhadap koordinat, momentum dan

waktu.

Dengan demikian menurut uraian di atas, dari kedua persamaan (V1.1.3) dan (V1.1.4)

haruslah dipenuhi syarat:

(V1.1.5)

dimana :

F adalah fungsi sembarang yang punya turunan kedua yang kontinu

adalah konstanta skala yang selalu dapat dibuat sama dengan satu

dengan melakukan transformasi yang tepat.

Bila hubungan antara P,Q dengan p,q sebagai P=p, Q=q dan K=H, maka:

2

Transformasi skala bersifat kanonik jika:

(V1.1.6a)

Karena itu selalu dipilih =1, maka:

(V1.1.6b)

Jadi setiap transformasi kanonik ditandai dengan suatu fungsi tertentu F yang disebut fungsi

generator transformasi.

Berdasarkan persamaan (V1.1.6b) di atas dapat pula dituliskan sebagai:

(V1.1.7)

Sehingga segera kita melihat bahwa:

(V1.1.8)

Berdasarkan persamaan ini, maka kita dapat melihat bahwa F adalah merupakan fungsi dari

perubah koordinat lama dan baru serta waktu; yakni . Fungsi pembangkit ini

dikenal sebagai fungsi pembangkit jenis pertama . Dengan demikian transformasi ini bersifat

kanonik karena hubungan persamaan (V1.1.8) dan fungsi pembangkit ini memenuhi

persamaan transformasi dari Lagrangian, yakni:

3

(V1.1.9)

Contoh 1: Dengan menggunakan fungsi pembangkit tipe pertama, carilah syarat agar

persamaan suatu osilator harmonic 1-dimensi bersifat kanonik

Jawab: Hamiltonian osilator harmonic 1-dimensi adalah:

(1)

Bentuk jumlah kuadrat memberi ide:

(2)

Dengan mesubstitusi ini ke dalam Hamiltonian di atas, maka diperoleh:

(3)

f(P) harus dipilih supaya transformasinya bersifat kanonik. Dengan membagi p dengan q,

maka:

(4)

sehingga

(5)

Selanjutnya untuk:

4

(6)

atau

(7)

Jadi transformasi akan bersifat kanonik bila:

(8)

Hasil transformasinya adalah:

Jadi (9)

Dapat pula lebih menguntungkan bila fungsi generator itu bukannya dinyatakan dalam

perubah (q,Q,t) melainkan dalam perubah (q,P,t). Kadang-kadang fungsi generator tipe I,

penyelesaian transformasinya tidak dapat diperoleh sehingga perlu dicobakan fungsi generator

F2= F2(q,P,t) dengan menuliskan dalam bentuk sebagai berikut:

(V1.1.10)

Bila ini disubstitusikan ke dalam syarat transformasi kanonik, maka:

5

(V1.1.11a)

atau

(V1.1.11b)

karena q,P dianggap bebas, maka:

(V1.1.12)

Untuk generator tipe III:

F3=F3(p,Q,t)

(V1.1.13a)

Dengan cara yang sama, akan diperoleh:

(V1.1.13b)

Selanjutnya untuk generator tipe IV, yakni:

F4=F4(p,P,t)

Transformasi generatornya diberikan oleh:

6

(V1.1.14a)

dan diperoleh:

(V1.1.14b)

Daftar fungsi pembangkit persamaan kanonik

VI.2 Beberapa Gambaran Tentang Transformasi Kanonik

Perlu dikemukakan bahwa transformasi kanonik dalam sajian Hamiltonian memiliki

banyak sekali kemungkinan yang tidak mengubah arti perubah lama dan keperubah baru.

Dalam hal ini karena transformasi pada persamaan (V1.1.1) menghubungkan besaran P,Q

terhadap q dan p, maka perubah Q kiranya tidak lagi mesti sebagai perubah yang berhubungan

dengan ruang. Sebagai contoh, akan diberikan beberapa transformasi khusus dan

generatornya yakni:

1. Transformasi Qi=pi , Pi=-qi dengan fungsi generator sama sekali tak

mengubah persamaan kanonik Hamilton. Hal ini dapat dilihat, karena F tak

bergantung pada waktu secara eksplisit maka:

7

Dalam hal ini, tidak penting yang mana koordinat dan yang mana momentum

karena bersifat kanonik.

2. Fungsi generator

Ini adalah transformasi identitas

3. Fungsi generator

Transformasi ini adalah transformasi koordinat.

VI.3 Kurung Poisson

Misalkan f(q,p,t) suatu fungsi terhadap koordinat, momentum dan waktu. Turunan

totalnya terhadap waktu adalah:

(VI.3.1)

Dengan memasukkan harga dari persamaan Hamilton pada persamaan (V.5.7), kita

dapat menyatakan :

8

(VI.3.2a)

dengan

(VI.3.2b)

Pernyataan (VI.3.2b) dikenal sebagai “ kurung Poisson” (Poisson bracket) besaran H dan f.

Kita melihat dari persamaan (VI.3.2a), bila suatu besaran; katakanlah f disini

merupakan integral gerak, maka df/dt=0. Ini berarti . Kalau integral gerak itu

tak bergantung secara eksplisit terhadap waktu, maka:

(VI.3.3)

yang menunjukkan bahwa kurung Poisson H dan f haruslah lenyap.

Sesuai denga analogi persamaan (VI.3.2b), maka kurung Poisson bagi besar g dan f

didefinisikan berdasarkan sangkutan:

(VI.3.4)

Dapat pula ditunjukkan bahwa kurung Poisson memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

(VI.3.5)

(VI.3.6)

(VI.3.7)

(VI.3.8)

Kalau persamaan (VI.3.4) diambil turunan parsialnya terhadap waktu, maka akan:

9

(VI.3.9)

Jika salah satu dari f atau g adalah koordinat atau momentum, maka dipenuhi sangkutan:

(VI.3.10)

(VI.3.11)

Dengan menggunakan persamaan (VI.3.10) dan (VI.3.11), maka dapat pula ditunjukkan

bahwa:

(VI.3.12)

Contoh 2: Tentukan kurung Poisson terhadap komponen Cartesian momentum linear p

dengan momentum sudut L=r x p

Jawab. Dengan menggunakan persamaan (VI.3.11), dan menyatakan momentum sudut

sebagai maka:

Selanjutnya perubahan p dan q dalam sajian Hamiltonian sering disebut perubah yang

berpasangan secara konjugat kanonis. Syarat yang menghubungkan perubah yang

berkonjugasi secara kanonis adalah kurung Poisson. Dalam hubungan ini jika [f,g]pq

merupakan kurung Poisson bagi besaran f dan g terhadap p dan q. Sementara [f,g]P,Q sebagai

10

kurung Poisson bagi besaran yang sama terhadap sebagai kurung Poisson bagi besaran yang

sama terhadap peubah P,Q, maka akan dipenuhi hubungan, yakni:

(V1.3.13)

Hal ini dapat ditunjukkan secara langsung dengan menggunakan transformasi (V1.1.12).

Dalam hal ini:

(V1.3.14)

Bahwa persamaan (V1.3.13) dipenuhi, tinggal menunjukkan bahwa =1. Ini dapat

diperlihatkan karena menurut persamaan (V1.1.12),

sehingga nyata =1. Karena dipenuhinya rumus (VI.3.12) dan (V1.3.13) , maka

juga berlaku:

(V1.3.15) Inilah syarat yang harus dipenuhi suatu transformasi

bila dinyatakan dalam kurung Poisson bersifat kanonik

Contoh 3: Perlihatkan bahwa transformasi berikut ini kanonik:

11

Jawab: Dengan menggunakan kurung Poisson sebagai syarat kanonik, , maka:

Contoh 4: Perlihatkan secara langsung bahwa transformasi berikut:

adalah kanonik.

Jawab: Dengan menggunakan metode simplektif sebagai syarat kanonik, yakni:

Tinjau

Dengan demikian transformasi di atas adalah kanonik, karena:

Contoh 5: Persamaan transformasi antara dua koordinat adalah:

12

Jawab: Dengan menggunakan metode simplektif sebagai syarat kanonik, yakni

Jadi transformasi di atas adalah kanonik, karena:

Sedangkan fungsi pembangkitnya (diberikan ) adalah:

13

Dengan demikian fungsi pembangkitnya adalah:

V.4 Persamaan Hamilton-Jacobi

Pada uraian yang lalu besaran aksi telah diketahui sebagai fungsi dari koordinat dan

waktu. Dalam hal ini, menurut persamaan integral aksi, perubahan aksi dari suatu lintasan ke

lintasan lain, adalah:

(VI.4.1a)

Dan jika Lagrangian tidak bergantung waktu secara eksplisit, maka sehingga:

(VI.4.1b)

Karena prinsip Hamilton menyatakan bahwa “ perubahan system dari keadaan t1 ke keadaan

t2 yang membuat integral aksi stasioner/ekstremum”, sehingga:

14

(VI.4.2)

Jika pada suku ke 2 (dua) pada ruas kanan, dengan mengambil dan menandai

dan mengganti , maka diperoleh . Jadi terlihat bahwa turunan

parsial aksi terhadap koordinat adalah merupakan momentum, yaitu:

(VI.4.3)

Dengan demikian aksi dapat dipandang secara eksplisit merupakan fungsi waktu dan

koordiant dengan meninjau lintasan yang bermula pada saat t1 pada kedudukan q1.

Jadi

(VI.4.4)

Selanjutnya dari aksi diperoleh , maka:

(VI.4.5)

Disisi lain , maka akan diperoleh persamaan buat aksi I(q,t)

yang ditentukan oleh:

(VI.4.6)

Sementara , maka dengan mengganti dari dalam Hamiltonian diperoleh:

15

(VI.4.7)

yang menentukan besaran aksi I(q,t). Persamaan diferensial parsial orde satu terhadap waktu

ini dikenal sebagai persaman Hamilton-Jacobi. Seperti halnya persamaan Lagrange dan

persamaan kanonik Hamilton, maka juga persamaan Hamilton-Jacobi adalah merupakan

adalah basis dalam menentukan metode umum mengintegralkan persamaan gerak.

Sebelum mengupas metode di atas, perlu dikemukakan kenyataan bahwa setiap

persamaan diferensial parsial orde satu memiliki penyelesaian yang hanya bergantung pada

satu fungsi sembarang. Dalam penerapan mekanisme integral umum persamaan Hamilton-

Jacobi kurang penting dibanding dengan integral lengkap, yang mengandung tetapan bebas

sebanyak perubah bebas.

Untuk perubah bebas dalam persamaan Hamilton-Jacobi terdiri atas perubah waktu

dan koordinat . Untuk system dengan n buah derajat kebebasan, integral lengkapnya hruslah

mengandung n+1 buah tetapan integrasi. Karena fungsi aksi I terpaut dalam persamaan

melalui turunan, maka satu diantara tetapan itu haruslah bersifat menjumlah, sehingga integral

lengkap persamaan Hamilton-Jacobi akan dapat disajikan sebagai:

(VI.4.8)

Untuk menentukan hubungan integral lengkap persamaan Hamilton-Jacobi dengan

penyelesaian persamaan gerak yang dicari, maka dalam transformasi kanonik dari perubah p,q

ke perubah yang baru, kita pilih f(t,q,) sebagai fungsi generator dengan 1, …,nsebagai

perubah momentum baru. Misalkan koordinat baru itu adalah 1,…, n , dan mengingat fungsi

generator adalah merupakan fungsi koordinat lama dengan momentum baru, maka:

1).

2)

16

3)

Akan tetapi karena f juga mengikuti persamaan Hamilton-Jacobi, maka Hamiltonian baru

. Ini berarti , akibatnya , sehingga

i=tetap, i=tetap.

Selanjutnya persamaan Hamilton-Jacobi akan mengambil bentuk yang lebih sederhana

bila H tidak bergantung pada waktu secara eksplisit; yaitu bila system konservatif.

Ketergantungan aksi terhadap waktu ditentukan oleh suku –Et, sehingga aksi akan dapat

dinyatakan sebagai:

(VI.4.9)

yang dikenal sebagai solusi umum persamaan Hamilton-Jacobi

Contoh 6: Tinjaulah osilator harmonic dimana Hamiltoniannya adalah:

(1a)

dengan

(1b)

Persamaan Hamilton-Jacobi

(2)

dimana telah digunakan .

Kalau I diketahui, maka p=p(t) dan q=q(t) dapat dicari. Andaikan solusinya:

17

Jika diderensialkan terhadap q maka akan diperoleh:

(3)

sehingga:

02

1 222

2

0

t

Iqm

q

I

m (4)

karena , dimana H tiada lain adalah energi total osilator (H=T+V) karena

dibangkitkan oleh gaya konservatif. Dengan menandai H=E , maka:

(5)

atau (6a)

atau (6b)

sehinga:

(7)

Transformasi kanonik dari perubah q,p ke perubah baru, yakni:

maka:

(8)

atau

18

(9)

Selanjutnya dengan menggunakan sifat integral:

maka

(10)

Akhirnya diperoleh solusi osilator harmonic, yakni:

(11)

Soal latihan:

1. Transformasi berikut:

a. Tunjukkan bahwa transformasi ini adalah kanonik untuk semua harga .

b. Dapatkan generatornya (gunakan tipe II)

2. Carilah syarat agar transformasi berikut:

dimana dan adalah konstan, merepresentasikan sebuah transformasi kanonik untuk

system satu derajat kebebasan.

3. Persamaan transformasi:

adalah kanonik. Tentukan fungsi generatornya.

19

4. Jika Lagrangian diganti oleh:

dimana F(q,t) adalah sebuah fungsi tetapan, persamaan gerak Lagrange akan invariant.

Buktikan bahwa transformasi ini kanonik dan carilah fungsi generator yang berkaitan

dengan transformasi ini.

20