Kelompok 5

Riza Fahlevi Rizqi Zakaria Nur Rohmah Itsnawati Rudi Handoko Septian Ika Prasetya Shaffil Wildaan Siti Nurhayati

ABSTRAK

Kami melakukan percobaan untuk menentukan titik berat dari sebuah benda datar yang

tidak beraturan. Titik berat atau disebut juga pusat massa yaitu suatu titik dimana massa

sistem dapat dikonsentrasikan yang jika diberikan gaya pada titik tersebut maka sistem akan

bergerak translasi murni.

Tujuan dari percobaan ini adalah untuk menentukan titik berat benda datar tidak

beraturan. Percobaan ini dilakukan dengan cara menentukan tiga garis berat pada sisi yang

berbeda, kemudian menentukan titik perpotongan dari garis-garis berat tersebut. Titik

perpotongan dari beberapa garis berat adalah pusat massa atau titik berat benda.

Kata kunci: Vektor, Benda Tegar, Torsi, Momen Inersia, Titik Berat

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat, taufiq,

hidayah, serta inayah-Nya, sehingga kami dapat melaksanakan kegiatan praktikum

menentukan titik berat bidang datar tak beraturan serta menyusun laporan kegiatan praktikum

menentukan titik berat.

Kegiatan praktikum bertujuan untuk menentukan titik berat atau pusat massa dari

sebuah benda/bidang datar yang bentuknya tidak beraturan (poligon). Metode yang digunakan

untuk menentukan titik berat benda adalah dengan metode garis berat. Sementara penyusunan

laporan kegiatan praktikum menentukan titik berat benda bertujuan untuk melaporkan

struktur, proses, hasil, dan kesimpulan yang kami peroleh dari kegiatan praktikum kami.

Keberhasilan kami dalam melaksanakan praktikum serta menyelesaikan penyusunan

laporan praktikum tidak lepas dari dukungan serta bantuan langsung dari berbagai pihak.

Maka dari itu, kami mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya

kepada:

1.) Kepala SMA Negeri Ajibarang, Bapak Drs.Arif Priadi, M,Ed Terima kasih kami ucapkan

atas bimbingan dan dukungan yang senantiasa diberikan kepada seluruh stakeholders

demi pembangunan sekolah kita tercinta;

2.) Bapak dan Ibu Guru SMA Negeri Ajibarang. Terima kasih kami ucapkan dan

penghargaan yang setinggi-tingginya atas didikan, motivasi, serta ilmu yag senantiasa

ditularkan kepada kami sepanjang waktu;

3.) Orang tua kami tercinta, Ayah dan Bunda yang telah membesarkan dan mendidik kami.

Terima kasih atas do’a yang selalu kalian panjatkan demi kesuksesan kami serta dukungan

yang tiada henti;

4.) Guru mata pelajaran Fisika kelas XI selaku pembimbing kegiatan praktikum kami, Bapak

Drs. Kusno. Terima kasih yang sebanyak-banyaknya serta penghargaan yang setinggi-

tingginya atas bimbingan, tuntunan, didikan, serta motivasi tiada henti yang selalu Bapak

berikan pada kami;

5.) Siswa-siswi SMA Negeri Ajibarang, khususnya siswa-siswi kelas XI-IPA 2. Yang

senantiasa menemani kami menjalani hari-hari dalam suka dan duka. Terima kasih kami

sampaikan atas dukungan yang senantiasa kawan berikan.

6.) Pihak-pihak lan yang turut mendukung dan membantu kegiatan praktikum dan

penyusunan laporan yang tidak dapat kami sebutkan satu per satu. Terima kasih dan

penghargaan yang setinggi-tingginya atas dukungan dan bantuan anda.

Kami berharap agar kegiatan praktikum dan laporan yang sederhana ini tidak

hanya sekedar untuk memenuhi tugas belaka. Namun seyogyanya laporan ini dapat

memberikan manfaat yang lebih bagi kami sebagai penyusun serta bagi pembaca

sekalian untuk menambah khazanah pengetahuan keilmuan.

Kami telah berusaha semaksimal mungkin agar laporan ini dapat disusun

sedemikian baik, namun kami tentu menyadari masih terdapat banyak kekurangan dan

kekeliruan. Maka, kami sangat mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca dan

pengguna laporan ini demi perbaikan pada penyusunan laporan-laporan selanjutnya.

Ajibarang, Januari 2012

Penyusun

MOTTO

”Hidup adalah drama penuh improvisasi,tanpa scenario,tanpa tahu apa yang akan

terjadi, siapa yang akan kau temui, atau tempat-tempat mana yang akan kau pijak. Katakan

“ya”. Dan jika kau beruntung, kau akan bertemu dengan seseorang yang akan mengatakan

“ya” kembali padamu. Apakah dengan berkata “ya” bisa mengantarkanmu pada kesulitan?

Apakah dengan berkata “ya” bisa menyebabkan kau melakukan suatu kesalahan? Ya,tentu

bisa. Tapi jangan takut membuat kesalahan. Ingat, kau tak bisa menjadi muda dan bijak

dalam waktu bersamaan. Orang muda yang berlagak bijak dan mengerti tentang hidup,

kebanyakan adalah orang-orang sinis. Merka tidak akan belajar apapun. Karena sikap sinis

berarti membutakan diri sendiri,penolakan terhadap dunia luar karena selalu ketakutan jika

dunia luar akan menyakiti dan mengecewakan. Orang-orang sinis selalu berkata “tidak”.

Tetapi dengan berkata “ya” berarti memulai sesuatu yang baru. Berkata “ya”

mengantarkanmu pada pengetahuan baru. Jadi, selama kau mempunyai kekuatan, katakan

“ya”

.:: Stephen Colbert

DAFTAR ISI

Halaman Judul...........................................................................................................

Kata Pengantar...........................................................................................................

Motto..........................................................................................................................

Daftar isi.....................................................................................................................

BAB I PENDAHULUAN

1. Latar Belakang2. Rumusan Masalah3. Tujuan Praktikum4. Manfaat Praktikum

BAB II LANDASAN TEORI

A. Analisis VektorB. Kinematika RotasiC. Dinamika RotasiD. Titik BeratE. Kesetimbangan Benda Tegar

BAB III METODOLOGI PRAKTIKUM

A. Alat dan Bahan PraktikumB. Desain PraktikumC. Pengolahan dan Analisis Data

BAB IV HASIL PRAKTIKUM DAN PEMBAHASAN

A. Proses PraktikumB. Bidang Datar Tak BeraturanC. Data Hasil PraktikumD. Pembahasan

BAB V PENUTUP

A. Tes KomprehensifB. Tes FormatifC. KesimpulanD. Saran

DAFTAR PUSTAKA................................................................................................

BAB I

PENDAHULUAN

A.Latar Belakang

Perkembangan Sains semakin pesat seiring dengan semakin meningkatnya taraf

hidup manusia di era modernisasi. Sains semakin mantap kedudukannya dalam

kehidupan manusia, tidak sekedar untuk menjelaskan dan mempelajari fenomena-

fenomena alam, tetapi tendensinya semakin mengarah ke aplikasi dalam berbagai

produk teknologi dari hasil pengembangan dan pengkajian penemuan-penemuan dan

teori-teori yang telah diungkap manusia. Sebagai rujukan, adalah bagaimana teori-teori

tentang gelombang elektromagnetik yang pada awalnya hanya sekedar rumusan-

rumusan matematis, sekarang telah membawa revolusi dalam kehidupan dan budaya

manusia setelah diaplikasikan ke dalam berbagai produk teknologi yang senantiasa

dikembangkan, seperti gelombang radio untuk telekomunikasi dan kepentingan militer,

sinar-X dan sinar gamma digunakan dalam teknologi medis. Kemajuan ilmu-ilmu murni

telah menjadi sumber bagi ilmu-ilmu terapan seiring semakin bijak dan berkembangnya

dimensi pemikiran manusia.

Selama ini kebanyakan orang di Indonesia adalah pelanggan setia dari produk-

produk teknologi yang berkembang sedemikian pesatnya. Mereka adalah objek statis,

konsumen dari produk-produk teknologi yang jarang berpikir bagaimanakah prinsip

kerja dari produk-produk teknologi yang mereka gunakan. Apalagi berinisiatif untuk

menciptakan inovasi dalam bidang teknologi sains.

Urgensi yang krusial saat ini adalah bagaimana menciptakan atmosfer courage

and interest terhadap perkembangan teknologi terutama bagi generasi muda. Tidak

sekedar mengikuti perkembangan teknologi, tetapi juga mampu menguasai,

memanfaatkan, serta diharapkan mampu memberikan sumbangsih bagi perkembangan

teknologi. Jalan terbaik agar dapat menguasai, memanfaatkan, serta menciptakan

inovasi teknologi adalah dengan mempelajari, menguasai, dan menerapkan Sains.

Dalam mempelajari Sains, langkah awal yang terbaik adalah dengan mempelajari

dasar-dasar sains. Dasar-dasar tersebut berupa konsep dan prinsip suatu fenomena alam

dalam sebuah disiplin ilmu. Konsep-konsep dan prinsip tersebut merupakan konsep dan

prinsip yang ilmiah, yang menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan sehari-

hari.Tahap selanjutnya yang sangat krusial adalah menerapkan konsep-konsep dan

prinsip-prinsip tersebut untuk menjelaskan prinsip kerja dari suatu produk teknologi.

Bahkan, bagi siswa yang memiliki kreativitas dan pemikiran ilmiah, mengaktualisasikan

diri untuk menciptakan inovasi produk teknologi berdasarkan konsep dan prinsip ilmiah

yang telah dikuasai merupakan langkah emas menuju teciptanya sumber daya unggul.

Semangat dan motivasi untuk mempelajari dan menguasai konsep dan prinsip

ilmiah yang menjelaskan fenomena natural dalam kehidupan sehari-hari adalah pemicu

yang mendorong kami untuk mempelajari konsep dan prinsip titik berat dalam disiplin

ilmu Fisika. Diharapkan, setelah mempelajari konsep dan prinsip titik berat, kami dapat

menguasai konsep dan prinsip tersebut, kemudian mengaplikasikannya dalam keidupan

sehari-hari agar mendatangkan manfaat.

Konsep titik berat, yang berhubungan erat dengan dinamika rotasi dan

kesetimbangan benda tegar adalah konsep yang sangat penting dan diterapkan secara

meluas di berbagai bidang dalam kehidupan manusia. Hal itulah yang menarik minat

kami untuk mempelajarinya. Penerapan dari konsep titik berat meliputi bidang

arsitektur, teknik sipil, olahraga, dan banyak bidang lainnya.Sehingga penguasaan

konsep titik berat dapat memberikan prospek bagi pilihan karier di masa depan.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan sebelumnya, maka rumusan

masalah dari kegiatan praktikum ini adalah:

1. Bagaimana cara menentukan titik berat dari suatu benda datar yang bentuknya tidak

beraturan?

2. Bagaimana hubungan antara titik berat suatu benda dengan titik berat dari bagian-

bagian benda yang dipisahkan kemudian digabungkan kembali?

3. Bagaimana cara menentukan titik berat sistem benda yang merupakan gabungan dari

beberapa benda?

C.Tujuan Praktikum

Berdasarkan Rumusan Masalah diatas, kegiatan praktikum menentukan titik berat

benda datar tak beraturan dan penulisan laporan kegiatan praktikum memiliki beberapa

tujuan, yaitu:

1. Tujuan Umum (Tujuan Kegiatan Praktikum)

Kegiatan Praktikum menentukan titik berat benda datar tak beraturan bertujuan:

a. Untuk menentukan titik berat suatu benda datar tak beraturan dengan metode

menentukan beberapa garis berat yang saling berpotongan pada suatu titik;

b. Untuk membuktikan bahwa titik berat suatu sistem benda sama dengan titik berat

dari gabungan benda-benda yang merupakan hasil pemisahan dari sistem benda

tersebut.

2. Tujuan Khusus

Kegiatan praktikum menentukan titik berat suatu benda datar tak beraturan dan

laporan kegiatn praktikum tersebut bertujuan untuk memenuhi tugas mata pelajaran

Fisika bab Kesetimbangan Benda Tegar, serta untuk mengaktualisasikan diri dalam

aktifitas akademik ilmiah secara mandiri.

D.Manfaat Penelitian

Dengan tercapainya tujuan dari kegiatan praktikum dan penulisan laporan

praktikum, maka manfaat yang dapat diperoleh adalah sebagai berikut:

1. Dapat memahami konsep-konsep dan prinsip-prinsip mengenai kesetimbangan benda

tegar beserta konsep, prinsip dan metode menentukan titik berat suatu benda

menggunakan metode garis berat benda;

2. Dapat membuktikan bahwa titik berat suatu sistem benda sama dengan titik berat

gabungan dari benda-benda yang merupakan penyusun dari benda tersebut;

3. Dapat mengaktualisasikan diri dalam suatu kegiatan akademik yang menyangkut

kajian ilmiah, sehingga dapat meningkatkan taraf pengetahuan dan penerapan Sains;

4. Dengan pemahaman yang mendalam tentang konsep dan prinsip ilmu Fisika,

terutama dalam bab kesetimbangan benda tegar dan titik berat benda, maka siswa

dapat memiliki modal dasar yang krusial bagi mereka yang hendak meneruskan

jenjang pendidikannya di tingkat universitas pada jurusan arsitektur maupun teknik

sipil.

BAB II

LANDASAN TEORI

A. ANALISIS VEKTOR

I. Besaran Vektor dan Besaran Skalar

Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Contoh dari

besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Sementara besaran

skalar adalah besaran yang hanya mempunyai besar,tetapi tidak mempunyai arah.

Contoh dari besaran skalar adalah massa, energi, dan volume.

Suatu besaran vektor dapat digambarkan dengan sebuah anak panah yang

memiliki suatu titik tangkap dan ujung anak panah yang menyatakan arah vektor.

Berikut adalah notasi dari sebuah besaran vektor.

O A

Gambar II.A.1 Vektor OA

Keterangan:

O adalah titik tangkap vektor

A adalah ujung vektor

OA adalah panjang vektor yang menyatakan besar vektor

OA adalah arah anak panah yang menyatakan arah vektor

Suatu vektor dapat dituliskan dengan satu huruf, berupa huruf kecil atau huruf

besar, misalnya a atau A . Vektor dapat pula dituliskan dengan dua huruf besar,

misalnya AB.

II.Resultan Dua Buah Vektor

Penjumlahan (resultan) dua buah vektor dapat dilukiskan dengan tiga

metode,yaitu;

1. Metode Jajaran Genjang

2. Metode Segibanyak (Poligon)

3. Metode Analitis

Untuk menggambarkan resultan dua buah vektor dengan metode jajaran genjang,

caranya adalah dengan menggambarkan dua vektor dalam satu pangkal, kemudian

lukiskanlah garis yang ditarik dari ujung masing-masing vektor yang sejajar dengan

vektor lainnya, kemudian tariklah sebuah vektor resultan yang pangkalnya ditarik dari

titik yang sama dari pangkal kedua vektor dan berujung di titik perpotongan dari garis-

garis yang ditarik dari ujung masing masing vektor dan sejajar dengan vektor lainnya.

Berikut adalah contoh lukisan penjumlahan dua buah vektor yang saling tegak lurus.

A + B = C

A C

B

Gambar II.A.2 Melukiskan resultan 2 vektor dengan metode jajaran genjang

Untuk melukiskan resultan dua vektor dengan metode segibanyak (poligon),

misalnya p + q = r, langkah-langkahnya sebagai berikut. Dari ujung vektor p,

diteruskan dengan pangkal vektor q, lalu gambarlah resultan vektor p + q yang dilukis

dari titik tangkap/pangkal vektor p dan berujung di ujung vektor q

r

q

p

Gambar II.A.3 Melukiskan resultan 2 vektor dengan metode segibanyak

(poligon)

Besar dari resultan dua buah vektor dapat dihitung dengan rumus sebagai

berikut:

(1-1)

Keterangan :

o a = besar vektor a

o b = besar vektor b

o α = sudut apit terkecil yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b

o R = besar resultan dua buah vektor

Dari persamaan (1-1) terlihat bahwa jumlah dua buah vektor bergantung pada

sudut apit yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Jika dua buah vektor searah dijumlahkan, maka vektor resultannya searah dengan

kedua vektor itu dan besarnya sama dengan jumlah aljabar kedua vektor tersebut.

Jika dua buah vektor yang saling tegak lurus dijumlahkan, maka besar vektor

resultannya dapat dihitung dengan dalil phytagoras untuk segitiga siku-siku.

Jika dua buah vektor yang berlawanan arah dijumlahkan, maka arah vektor

resultannya searah dengan vektor yang terbesar dan besarnya sama dengan besar

vektor yang terbesar dikurangi dengan besar vektor yang terkecil.

Dalam kasus mengurangkan 2 buah vektor, misalnya c = a – b sama dengan

menjumlahkan vektor c = a + (-b). Pengurangan vektor (selisih 2 buah vektor) dapat

dilukiskan sebagai berikut:

b

a

-b c

Gambar II.A.4 Melukiskan pengurangan vektor a - b = c

III. Menguraikan Vektor Menjadi Komponen-Komponen Sumbu Koordinat

Cartesius

Setiap vektor dapat diuraikan menjadi komponen-komponennya pada sumbu-

sumbu dalam koordinat Cartesius. Misalkan vektor V diuraikan, maka komponen

R = √a2+b2+2ab cosα

vektor V pada sumbu X ditulis Vx, sementara komponen vektor V pada sumbu Y

ditulis Vy. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor V terhadap sumbu X positif adalah α,

maka berdasarkan rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku siku AOB

diperoleh:

cos α = V xV

(1-4 a)

sin α = V yV

(1-4 b)

Bila besar komponen Vx dan Vx diketahui maka besar sudut yang

dibentuk oleh vektor V terhadap sumbu x-positif dapat dicari sebaga berikut:

(1-5)

IV. Menjumlahkan Vektor Secara Analitis

Menjumlahkan secara analitis adalah menjumlahkan komponen-komponen vektor

pada sumbu x dan sumbu y. Langkah-langkah menjumlahkan vektor secara analitis

adalah sebagai berikut:

1. Uraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya padda sumbu x dan sumbu

y, kemudian hitung besar komponen-komponen tersebut dengan persamaan:

2. Jumlahkan komponen-komponen vektor pada sumbu x dan sumbu y

Rx = ∑Vx

= V1x + V2x + V3x + ....... + Vnx

Ry = ∑Vy

Vx = V cos α

Vy = V sin α

tan α= V yV x

Vx = V cos α Vy = V sin α

Ry = V1y + V2y + V3y + ....... + Vny

3. Hitung besar dan arah resultan vektor dengan dalil phytagoras

V.Perkalian Vektor

Terdapat 2 (dua) macam perkalian vektor, yaitu:

1. Perkalian Skalar

2. Perkalian Vektor

1. Perkalian Skalar

Perkalian skalar antara dua vektor a dan b, yang dituliskan sebagai a . b

(dibaca “ a dot b”), menghasilkan sebuah skalar yang didapat dengan mengalikan

besar a dan besar b serta cosinus sudut apit terkecil antara kedua vektor.

a = besar vektor a

b = besar vektor b

θ = sudut apit terkecil antara vektor a dan b.

Contoh besaran fisika yang merupakan hasil perkalian skalar ialah

usaha,yang dirumuskan sebagai:

Dengan=

W = usaha (joule)

R=√Rx2+Ry 2

tan α = RyRx

a.b = a.b cos θ

b

θ

a

W = F . s

= F.s cos θ

F = vektor gaya

F = besar gaya

s = vektor perpindahan

s = besar perpindahan (m)

θ = sudut apit F dan s

Operasi perkalian skalar mengikuti hukum komutatif dalam

matematika,yaitu:

a.b = b.a

2. Perkalian Vektor

Perkalian vektor antara dua vektor a dan b, yang ditulis sebagai a × b

(dibaca a cross b), menghasilkan sebuah vektor yang besarnya dirumuskan oleh:

Dengan:

a = besar vektor a

b = besar vektor b

θ = sudut apit terkecil antara antara kedua vektor a dan b.

Vektor | a × b∨¿ tegaklurus dengan bidang yang yang dibentuk oleh vektor

a dan vektor b.

Perkalian vektor tidak bersifat komutatif, tetapi anti komutatif.

Contoh besaran fisika yang merupakan hasil perkalian vektor adalah luas,

momen gaya, dan gaya lorentz.

Luas jajaran genjang contohnya, didefinisikan sebagai:

| A | = A = p.l sin θ

Dengan p dan l adalah vektor-vektor yang membentuk jajaran genjang.

|a× b∨¿ a .b sin θ

Y

X

Z

j

k

i

Ay

AxAz

Keterangan

Vektor A

Sumbu-sumbu koordinat Cartesius

Komponen-komponen vektor A pada sumbu koordinat

Vektor-vektor satuan pada sumbu koordinat

A

VI. Vektor Satuan

Suatu vektor yang terletak bidang 2 dimensi dapat diuraikan menjadi komponen-

komponen vektor dalam sumbu X dan sumbu Y. Sementara vektor yang yang terletak

dalam ruang, maka vektor tersebut juga dapat diuraikan menjadi komponen-komponen

pembentukya pada sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z. Gambar II.E.1 menunjukkan

vektor A yang terletak dalam ruang diuraikan menjadi komponen-komponen

pembentuknya, yaitu Ax, Ay, dan Az. Dengan demikian vektor A dapat ditulis sebagai

berikut:

Untuk memudahkan analisis maka ditetapkanlah vektor-vektor satuan pada sumbu

X, sumbu Y, dan sumbu Z. Lihat gambar II.E.1

A = Ax + Ay + Az

Vektor satuan adalah vektor sebuah vektor yang besarnya sama dengan satu.

Vektor satuan pada sumbu X diberi lambang I, pada sumbu Y diberi lambang j, dan

pada sumbu Z diberi lambang k. Sesuai dengan definisi vektor datuan maka;

Berdasarkan vektor satuan ini maka vektor A dinyatakan dengan:

Pada gambar II.E.1, vektor A merupakan diagonal ruang bangun berbentuk balok

dengan rusuk-rusuk Ax, Ay, dan Az, sehingga berlaku:

1. Penjumlahan Vektor Satuan

Penjumlahan vektor satuan identik dengan penjumlahan suku-suku aljabar.

2. Perkalian Skalar Dua Buah Vektor Satuan

Perkalian Skalar Vektor Satuan yang Sejenis

i.i = | i |.| i | cos 0o

= (1) . (1)(1)

i.i = 1

jadi, kesimpulan untuk perkalian vektor satuan yang sejenis adalah:

| i | = | j | = | j | = 1

A = Ax + Ay + Az

A = Axi + Ayj + Azk

A =√A x2+A y

2+A z2

ai + bj + ck + di + ej + fk = (a+d)i + (b+e)j + (c+f)k

i.i = j.j = k.k = 1

Perkalian skalar Vektor Satuan yang Tidak Sejenis

i.j = | i |.| j | cos 90o

= (1) . (1)(0)

i.j = 0

Jadi, perkalian skalar vektor-vektor satuan yang tidak sejenis rumusnya adalah

Perkalian vektor-vektor satuan sama dengan satu jika vektor-vektor satuan

tersebut sejenis, dan sama dengan nol jika keduanya tidak sejenis.

Rumus perkalian skalar dua buah vektor

Jika vektor A dan B dinyatakan dengan vektor-vektor satuan sebagai berikut:

A = Axi + Ayj + Azk dan B = Bxi + Byj + Bzk

Maka dengan menggunakan rumus perkalian skalar dua buah vektor satuan,

diperoleh:

A.B = (Ax i + Ay j + Az k) . (Bx I + By j + Bz k)

3. Perkalian Vektor Dua Buah Vektor Satuan

Perkalian Vektor Dua Buah Vektor Satuan Yang Sejenis:

| i x i | = | i |.| i | sin 0o

= (1) . (1)(0)

| i x i | = 0

i.i = 0

Jadi, perkalian vektor dua vektor satuan yang sejenis:

i.j = j.k = i.k = 0

A.B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

i x i = j x j = k x k = 0

+

-

Perkalian Vektor Dua Buah Vektor Satuan Yang Tidak Sejenis

Untuk memperoleh hasil perkalian vektor dua buah vektor satuan yang tidak

sejenis digunakan diagram lingkaran putar kiri, sebagai berikut:

Dari diagram lingkaran putar kiri, diperoleh:

i x j = k

j x k = i

k x i = j

k x j = -i

j x i = -k

i x k = -j

Penghitungan perkalian vektor beberapa vektor satuan tidak sejenis juga dapat

diselesaikan dengan metode yang lebih cepat menggunakan determinan yang

menggunakan cara Sarrus.

a11 a12 a13 a11 a12 = a11 a22 a33 + a12 a 23 a31 +

a21 a22 a23 a21 a22 a13 a21 a32 – a13 a 22 a31 -

a31 a32 a33 a31 a32 a11 a23 a32 – a12 a21 a33

Contoh E.2 1

Tentukan hasil perkalian vektor dari vektor-vektor:

A = 2i + 3j – k dan B = -i + j + 2k

i j k vektor-vektor satuan i, j dan k

a x b = 2 3 -1 koefisien-koefisien vektor a

-1 1 2 koefisien-koefisien vektor b

Sehingga:

i j k i j = i (3)(2) + j (-1)(-1) + k (2)(1) -

a x b = 2 3 -1 2 3 k (3)(-1) – i(-1)(1) – j(2)(2)

-1 1 2 -1 1 = 6i + j + 2k + 3k + i + 4j

=7i - 3j + 5k

B. KINEMATIKA ROTASI

Gerak rotasi merupakan gerak benda yang berputar terhadap sebuah sumbu putar

( sumbu rotasi ). Contoh dari gerak rotasi dalam kegiatan sehari hari misalnya gerak

roda mobil yang berputar, gerakan pintu yang berputar pada engselnya, dan gerak rotasi

pada sumbunya.

ry = r sin

x=r cos

Dalam melukiskan gerak rotasi, besaran-besaran yang digunakan meliputi posisi

sudut, kecepatan sudut, dan percepatan sudut.

I. Posisi Sudut

Posisi suatu benda dapat dinyatakan dalam koordinat cartesius (x,y) ataupun

dalam koordinat polar. Pada koordinat polar, posisi benda dinyatakan dalam r dan .

disebut posisi sudut yang diukur terhadap sumbu x-positif, berputar berlawanan arah

dengan arah putaran jarum jam.

Hubungan antara (x,y) dan (r,) adalah:

X = r cos

y = r sin

r = √ x2+ y2

= tan−1( yx )

Menyatakan Posisi Sudut dalam Derajat Radian

Dalam penghitungan kinematika rotasi, posisi sudut sering juga dinyatakan dalam

radian atau disingkat rad. Satuan radian didefinisikan sebagai perbandingan antara

panjang busur suatu juring lingkaran dengan jari-jari lingkaran.

= 1 radian

1 radian s = r

s = r

=

+

A

t t + t

t

B

O

Dari definisi diatas, besar sudut

dalam radian= 1 apabila s = r.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa

satu radian adalah sudut yang dibentuk

suatu juring lingkaran yang panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran tersebut.

Dalam kasus sebuah lingkaran penuh, keliling lingkaran adalah 2r, sehingga

besar sudut suatu lingkaran penuh dalam radian adalah sebagai berikut:

Besar sudut lingkaran penuh = sr

= 2rr

= 2 radian

Sehingga, diperoleh:

Pada gerak rotasi, posisi sudut suatu partikel senantiasa berubah. Dengan kata

lain, posisi sudut merupakan fungsi waktu dan dapat ditulis dengan = (t).

II.Kecepatan Sudut

Sudut dalam radian = panjang busur lingkaran

jari− jari lingkaran =

sr

2 radian = 360o

1 rad = 360o

2 = 57,296o

O

A

garis singgung

Gambar diatas melukiskan grafik posisi sudut suatu partikel sebagai fungsi

waktu. Misalkan pada waktu t partikel berada di A (posisi sudutnya ) dan setelah t + t

posisi sudutnya adalah + (titik B).

Kecepatan sudut rata-rata partikel didefinisikan sebagai perubahan posisi sudut

dibagi dengan selang waktu selama perubahan posisi sudut tersebut.

¿❑t

Kecepatan sudut sesaat (selanjutnya disebut sebagai kecepatan sudut) merupakan

kecepatan sudut rata-rata ketika t sangat kecil. Arah kecepatan sudut menyinggung

kurva (t). Lambang kecepatan sudut adalah .

ω= lim∆t →0

∆ θ∆ t

=dθdt

Satuan kecepatan sudut adalah radian/sekon atau disingkat rad/s. Suatu gerak

rotasi dengan kecepatan sudut konstan dinamakan gerak melingkar beraturan.

Pada gerak melingkar beraturan, frekuensi putaran didefinisikan sebagai

banyaknya putaran setiap detik. Karena 1 putaran sama 2 radian, maka frekuensi sama

dengan kecepatan sudut dibagi dengan 2:

f¿ω

2 π

Perlu ditekankan bahwa : ω=dθdt

(kecepatan sudut) merupakan fungsi waktu, berbeda dengan

besaran yang lain seperti:

ω=√ km

atau ω=√ gl

Pada gerak melingkar beraturan keduanya sama.

Satuan dari frekuensi adalah putaran per detik atau disingkat putaran/s. Seringkali satuan

frekuensi ditulis sebagai s-1 atau Hz (Hertz). Frekuensi juga dapat dinyatakan dalam rpm

(rotation per minute) atau putaran per menit.

1 rpm = 1

60 putaran/s =

160

Sementara itu, periode,T, merupakan waktu yang diperlukan untuk melakukan 1 kali putaran.

Hubungan antara frekuensi dan periode adalah:

f= 1T

III. Menentukan posisi sudut dari kecepatan sudut

Posisi sudut suatu benda dapat ditentukan dengan mengintegralkan kecepatan

sudut. Jika posisi sudut awal partikel adalah θ0, maka posisi sudut pada waktu t adalah

θt dan dapat dihitung sebagai berikut (anggap t0 = 0)

B

t + t

A

ω=dθdt

dθ=ω dt

∫θ0

θt

dθ = ∫0

t

ωdt

Jika konstan, maka gerakan benda adalah gerak melingkar beraturan.

θt=θ0+ωt

IV. Percepatan sudut

Gambar diatas merupakan grafik kecepatan sudut suatu partikel sebagai fungsi

waktu. Misalkan pada waktu t, partikel berada di A (kecepatan sudutnya ω) dan setelah t

+ ∆ t partikel berada di B (kecepatan sudutnya ω+∆ ω).

Percepatan sudut rata-rata didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut

dibagi dengan selang waktu selama perubahan kecepatan sudut tersebut.

α=∆ ω∆ t

θt=θ0+∫0

t

ωdt

Percepatan sudut sesaat (disebut percepatan sudut) sama dengan percepatan sudut

rata-rata ketika t sangat kecil. Arah percepatan sudut sama dengan arah gradien garis

singgung kurva ω ( t ) .Percepatan sudut diberi lambang α .

Satuan dari percepatan sudut adalah radian/detik2 atau disingkat rad/s2.

V.Menentukan kecepatan sudut dari percepatan sudut

Kecepatan sudut dapat dihitung dengan mengintegralkan percepatan sudut. Jika

kecepatan sudut awal partikel adalah α 0 maka kecepatan sudut pada waktu t adalah α t

dan dapat dihitung sebagai berikut (anggap t0 = 0).

α=dωdt

dω=α dt

∫ω0

ω1

dω=∫0

t

α dt

ωt−ω0=∫0

t

α dt

Jika α konstan, maka

Posisi sudut untuk α konstan,

θt=θ0+∫0

t

ωdt

α= lim∆ t →0

∆ ω∆ t

¿ dωdt

ωt=ω0+∫0

t

α dt

ωt=ω0+αt

SO

R

θt=θ0+∫0

t

(ω0+αt )dt

Gerakan dengan α konstan dinamakan gerak melingkar berubah beraturan.

VI. Besaran-besaran Tangensial

Gambar disamping melukiskan sebuah titik pada tepi roda yang berputar mengelilingi

sumbu putar O. Jika jarak titik tersebut ke pusat putaran adalah R, maka panjang lintasan titik

setelah menempuh sudut θ adalah:

s = Rθ

Karena jari-jari lintasan R adalah konstan, maka laju

perubahan s sepenuhnya disebabkan oleh laju

perubahan θ .

∆ s∆ t

=R∆ θθt

Dengan mengambil limit ∆ t mendekati nol, maka persamaan diatas dapat

dituliskan sebagai:

lim∆t →0

∆ s∆ t

=R lim∆ t →0

∆θ∆ t

dsdt

=Rdθdt

v=dsdt

merupakan kecepatan translasi atau kecepatan tangensial. Arah kecepatan

ini searah dengan gerakan titik.

θt=θ0+ω0 t+ 12

α t2

v=Rω

Jika putaran roda dipercepat, maka kecepatan tangensial v aka semakin besar dan

laju perubahan kecepatan sepenuhnya disebabkan oleh laju perubahan kecepatan sudut.

dvdt

=RΔωΔt

Dengan mengambil limit ∆ t sangat kecil, rumus diatas dapat dituliskan sebagai:

lim∆t →0

Δ vΔt

=R lim∆t → 0

ΔωΔt

dvdt

=Rdωdt

a=dvdt

merupakan kecepatan tangensial. Arah percepatan ini searah dengan arah

gerakan titik. Selain percepatan tangensial, suatu titik yang bergerak melingkar akan

mengalami percepatan sentripetal (perceatan normal atau percepatan radial) yang

arahnya menuju ke pusat lingkaran.

Besar percepatan tangensial adalah:

Kesimpulan:

Hubungan antara besaran- besaran tangensial dengan besaran- besaran sudutnya

adalah=

C. Dinamika Rotasi Benda Tegar

a=Rα

a= v2

r= ω2 R

s=Rθ

v=Rω

a=Rα

Benda tegar didefinsikan sebagai benda yang tidak berubah bentuknya jika pada

benda itu bekerja sejumlah gaya. Misalnya baja, beton, besi, batu dan sebagainya.

Dinamika adalah ilmu yang mempelajari gerak benda dengan memperhatikan

penyebabnya. Sementara gerak rotasi atau gerak melingkar adalah gerak suatu benda

yang lintasannya berbentuk lingkaran. Maka dalam dinamika rotasi yang dipelajari

adalah gerak rotasi berkaitan dengan penyebabnya.

I. Torsi (Momen Gaya)

Sebuah gaya dapat menimbulkan gerak rotasi apabila garis kerja gaya tidak

melalui pusat rotasi. Gaya yang menyebabkan gerak rotasi menghasilkan torsi atau

disebut juga dengan momen gaya.

Torsi atau momen gaya adalah penyebab dari benda berotasi yang berperan

layaknya gaya pada gerak lurus. Momen gaya disebut juga torsi atau torka ataupun

dobrakan putar. Torsi didefinisikan sebagai hasil perkalian vektor (cross product) antara

vektor gaya F dengan vektor jarak r Semakin besar momen gaya, semakin besar

percepatan sudut yang dihasilkannya.Secara matematis, torsi atau momen gaya (:

tau) dirumuskan dengan:

Dengan = torsi/momen gaya

r = vektor jarak r = besar jarak

F = vektor gaya F = besar gaya

= sudut apit terkecil antara r dan F

Arah vektor r × F tegaklurus terhadap bidang yang dibentuk oleh r dan F

τ=r × F τ=rF sin θ

r

arah putaran

O

r

F

Gaya F menyebabkan batang berputar searah putaran jarum jam dengan titik O sebagai poros putaran. Arah torsi yang dihasilkan menuju bidang sesuai aturan perkalian vektor

lLengan momen

Garis kerja gaya

Momen gaya bergantung pada besar gaya yang

diberikan dan lengan momen. Lengan momen adalah

jarak tegak lurus sumbu rotasi dengan garis kerja gaya.

Dengan kata lain, lengan momen merupakan jari-jari

rotasi. Pada gambar dibawah, lengan momen ditarik dari

sumbu putar (O) tegak lurus garis kerja gaya.

Dengan mengikutsertakan lengan momen, persamaan

momen gaya dapat dinyatakan dengan:

τ=(r sin θ ) F atau τ=Fl

Torsi merupakan besaran vektor, maka ketentuan mengenai harga torsi sesuai arahnya adalah

sebagai berikut:

τ>0(berharga positif ) apabila menyebabkan putaran searah dengan putaran jarum jam;

τ ¿0 (berharga negative) apabila menyebabkan putaran berlawanan arah dengan putaran

jarum jam.

II.Momen Inersia

Inersia adalah kecenderungan benda untuk mempertahankan posisinya. Benda

yang sukar untuk digerakkan ketika diam dan benda yang sukar dihentikan ketika ia

bergerak dikatakan memiliki inersia yang besar. Massa merupakan ukuran dari inersia.

Pada kasus gerak rotasi, besaran yang menentukan inersia benda adalah inersia rotasi.

Inersia rotasi yaitu kecenderungan benda untuk mempertahankan keadaan rotasinya.

Jika benda dalam keadaan diam, maka benda tersebut cenderung tetap diam. Jika benda

dalam keadaan berotasi, benda tersebut cenderung untu terus berotasi.

Ukuran yang menyatakan besarnya kecenderungan benda untuk mempertahankan

keadaan rotasinya adalah momen inersia.Momen inersia bergantung pada massa benda,

bentuk benda, dan cara penyebaran massa pada benda tersebut. Benda yang bermassa

sama namun bentuk bangunnya berbeda memiliki momen inersia yang berbeda.

Untuk merumuskan momen inersia secara matematis, pada kasus momen inersia

benda titik yang berputar;momen inersianya didefinisikan sebagai hasil perkalian antara

massa partikel,m dengan kuadrat jarak partikel tersebut dari sumbu putarnya.

Untuk momen inersia sebuah sistem yang memiliki banyak partikel, momen

inersia dari sistem partikel tersebut adalah jumlah total momen inersia dari tiap-tiap

partikel.

I=m r2

I=∑i

n

mi ri2

l

r

III. Momen Inersia Benda Tegar

Momen inersia dari benda tegar (benda yang tidak berubah bentuk walau

mendapat gaya atau momen gaya) adalh jumlah dari momen inersia setiap partikel

dalam partikel benda tersebut. Berikut adalah tabel momen inersia dari benda-benda

homogen.

NO BENTUK BENDA TEGAR KETERANGAN MOMEN INERSIA

1

Batang silinder tipis.

Poros melalui pusat

titik tengah batang

112

M l2

Batang silinder tipis.

Poros melalui salah

satu ujung batang

13

M l2

Cincin.

Poros melalui sumbu

simetri

M R2

Cincin.

Poros melalui

diameter.

12

MR2

l

r

r

r

Silinder pejal.

Poros melalui pusat

silinder.

12

MR2

Silinder pejal.

Poros melalui tepi

silinder.

32

MR2

Kulit bola.

Poros melalui pusat

kulit bola.

23

MR2

Bola pejal.

Poros melalui pusat

bola.

25

MR2

Bola pejal.

Poros melalui tepi

bola.

75

MR2

Or

L

z

p y

IV. Momentum Sudut

Momentum sudut suatu partikel (benda titik) yang berputar terhadap suatu titik O

didefinisikan sebagai:

P merupakan vektor momentum partikel dan r adalah vektor posisi partikel

terhadap titik O.

Pada gambar diatas, sebuah partikel berputar mengelilingi sumbu putar yang

melalui O. Momentum sudut terhadap titik O adalah:

L=r × p=|r||p|sin θ k

¿ r mv sin (90o )k

¿ rm (ωr )k

¿m r2ω k

¿ I ω

L=r × p

L

P

r

L

r

P

z

x

y

F

BA

r

Besar dari momentum sudut dapat dituliskan:

k merupakan vektor satuan arah sumbu z positif dan ω merupakan vektor

kecepatan sudut.Arah dari vektor kecepatan sudut:

Jika partikel bergerak melingkar berlawanan arah dengan putaran jarum jam

dalam bidang xy, maka arah vektor kecepatan sudutnya kea rah sumbu z positif;

Jika partikel bergerak melingkar searah dengan putaran jarum jam, maka

vektor kecepatan sudutnya kea rah sumbu z negatif.

Rumus L=I ω berlaku juga untuk benda tegar.

V.Hubungan antara Torsi, Momen Inersia, dan Percepatan Sudut

Momen gaya () menyebabkan gerak rotasi pada benda, sehingga timbul

percepatan sudut ()

Pada gambar disamping, benda kecil bermassa m

dihubungkan dengan tongkat ringan yang dapat berputar

bebas pada ujung A. Gaya F bekerja pada ujung B. Gaya

tersebut menimbulkan momen gaya sebesar τ=rF yang

menyebabkan benda berotasi.

Besar percepatan tangensial dari partikel tersebut adalah a = αr .

Berdasarkan hukum II Newton, diperoleh F = maT, maka:

τ=rF

=rm (αr )

=m r2 ( α )

Karena momen inersia benda adalah I = m r2, maka:

Persamaan diatas merupakan hukum II Newton pada gerak melingkar.

L = Iω

τ=Iα

VI. Energi Kinetik Rotasi

Dalam gerak translasi, energi kinetik dirumuskan dengan

EK=12

mv2

Dalam gerak rotasi, v= ωr , sehingga:

EK=12

m (ωr )2

EK=12

(mr2 )ω2

Dengan I adalah momen inersia dan merupakan kecepatan sudut.

Pada benda yang melakukan gerak translasi sekaligus gerak rotasi, hukum

kekekalan energi mekanik dapat dirumuskan dengan:

EKtranslasi1+EKrotasi1+¿E P1=EKtranslasi 2+EKrotasi 2+¿EP 2¿¿

Atau,

12

m v12+1

2Iω1

2+mg h1=12

m v22+ 1

2Iω2

2+mg h2

EK=12

I ω2

VII. Kekekalan Momentum Sudut

Torsi merupakan turunan pertama momentum sudut terhadap fungsi waktu. Dapat

dituliskan sebagai:

τ=d Ldt

Jika tidak ada momen gaya luar yang bekerja pada sistem (τ=0¿ ,maka:

Persamaan diatas berarti bahwa momentum sudut sistem selalu konstan (tidak

berubah sepanjang waktu baik besar maupun arahnya).

L = konstan

Dapat disimpulkan, dalam kasus tidak ada momen gaya luar,

Iω=konstan

Iω=I 0 ω0

Dimana I0 dan I adalah momen inersia mula-mula dan momen inersia akhir.

Sedangkanω0 dan ω menyatakan kecepatan sudut mula-mula dan kecepatan sudut akhir.

D.KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Bangunan tinggi dapat berdiri kokoh , kita dapat berdiri tegak lurus atau lampu

dapat tergantung semua ini disebabkan karena mereka dalam keadaan seimbang.

Ada dua macam keseimbangan :

Keseimbangan statik , yaitu keseimbangan ketika benda diam.

Keseimbangan dinamik , yaitu keseimbangan ketika benda bergerak dengan

kecepatan tetap.

I. Keseimbangan Titik

Gaya Resultan

Anggap suatu partikel atau benda titik mengalami 3 buah gaya F1 , F2 ,dan F3 .

Resutan dari ketiga gaya ini merupakan suatu gaya tunggal:

R = ∑Fi = F1 + F2 + F3

Syarat Keseimbangan

Anggap suatu partikel (benda titik )menerima beberapa buah gaya. Resultan gaya-

gaya ini adalah R. Apa yang terjadi jika partikel tersebut diberi gaya yang besarnya

sama dengan R tetapi arahnya berlawanan ? Resultan gaya-gaya ini akan sama dengan

nol .

Karena resultan total gaya-gaya yang bekerja pada partikel itu sama dengan nol,

maka menurut hokum II Newton (F = ma ) percepatan partikel juga nol . Artinya

partikel yang semula diam akan tetap diam. Partikel dalam kondisi ini dikatakan berada

dalam keseimbangan static. Jadi dapat dikatakan bahwa suatu partikel berada dalam

keseimbangan static jika jumlah gaya atau resultan gaya yang bekerja pada partikel ini

sama dengan nol.

Secara matematis pernyataan tersebut dapat ditulis:

∑Fx= 0 ………………………………….(1)

∑Fy=0 ………………………………….(2)

Persamaan (1) dan (2) dinamakan Syarat Keseimbangan benda titik.

II.Resultan Gaya pada Benda Tegar

Benda tegar atau benda pejal merupakan benda yang tidak mengalami perubahan

bentuk atau volume walaupun diberi gaya atau momen gaya.

Seperti halnya pada benda titik, pada benda tegar gaya-gaya yang bekerja juga

dapat digantikan dengan satu gaya tunggal asalkan arah resultan dari gaya-gaya (R)

yang bekerja adalah tegak lurus dengan arah momen gaya () yang ditimbulkan oleh

gaya-gaya ini. Maksud kata “digantikan” disini adalah jika seluruh gaya-gaya yang

bekerja pada benda kita gantikan dengan suatu gaya lain, kondisi gerak benda akan tetap

sama.

Misalkan gaya-gaya yang bekerja pada benda tegar adalah F1, F2, F3,…..,dan titik

tangkap masing-masing gaya adalah r1, r2, r3,…….

Keadaan gerak benda akan tetap sama jika jumlah gaya (∑F) dan jumlah momen

gaya (∑) yang bekerja padanya tetap sama. Misalkan kita gantikan gaya-gaya tersebut

dengan suatu gaya Ft yang bekerja pada titik tangkap rt, maka Ft dan rt harus memenuhi :

Ft = F1 + F2 + F3 +……………

rt X Ft = r1 X F1 + r2 X F2 + r3 X F3 +….

Ternyata Ft sama dengan resultan gaya R. Dari persamaan diketahui

rt X Ft = r1 X F1 + r2 X F2 + r3 X F3 +……..=

rt X R =

(Catatan : momen gaya diukur terhadap sembarang titik)

Karena didapat dari hasil kali silang antara rt dan R, maka arah R pastilah tegak

lurus arah . JAdi, terbukti bahwa gaya-gaya yang bekerja dapat digantikan dengan gaya

tunggal. Dengan catatan arah resultan gaya R harus tegak lurus dengan arah total

momen gaya ().

Syarat agar R dan tegak lurus ( R. = 0 )

R dan akan tegak lurus ( R. = 0 ) jika gaya-gaya yang bekerja pada sebuah

benda tegar mempunyai sifat sebagai berikut :

a) Gaya-gaya sepusat , maksudnya semua gaya yang bekerja mempunyai titik

tangkap yang sama.

b) Gaya-gaya sebidang,maksudnya semua gaya yang bekerja terletak pada bidang

yang sama.

c) Gaya-gaya paralel , maksudnya semua gaya yang bekerja sejajar.

Gaya-gaya sepusat

Gambar 12.3a melukiskan dua buah gaya F1 dan F2 yang bekerja pada suatu titik

pada sebuah benda tegar.

Titik tangkap dari resultan gaya terletak pada titik tangkap kedua gaya ini.

Mari kita hitung momen gaya akibat kedua gaya ini . Untuk mempermudah kita

ambil momen ini terhadap titik O.

0 = r X F1 + r x F2

= r X (F1 + F2 ) = r X R

Pada perkalian silang (cross product ) , vektor hasil perkalian selalu tegak lurus

dengan vector-vektor yang dikalikan . Dengan demikian terbukti bahwa R tegak lurus

terhadap 0 .

b) Gaya-gaya sebidang

Gambar 12.4 melukiskan 3 buah gaya F1,F2 dan F3 pada bidang xy (sebidang ) .

Titik tangkap ketiga gaya berada pada titik (x1,y1 ) , ( x2,y2 ) dan (x3,y3).i

Gaya resultan R :

R = F1 + F2 + F3

= (Fx + Fx2 + Fx3 ) i + ( Fy + Fy2 + Fy3 ) j

Vector posisi titik tangkap ketiga gaya adalah :

r1 = x1 i + y1 j

r2 = x2 i + y2 j

r3 = x3 I + y2 j

Momen gaya total akibat gaya-gaya yang bekerja pada benda ( terhadap titik O )

adalah

0 = ri X Fi = r1 X F1 + r2 X F2 + r3 X F3

=(x1fy1 – y1 Fx1 ) k + ( x2Fy2 – y2 Fx2 ) k + ( x3Fy3 – y3 Fx3 ) k

=(xiFy1 + x2Fy2 + x3Fy3 ) k – (y1Fy1 + y2Fy2 + y3Fy3 ) k

=0

Ternyata R. 0 = 0, sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga gaya ini dapat

digantikan dengan sebuah gaya tunggal.

Besar gaya tunggal ini sama dengan besar gaya resultan. Lokasi titik tangkap gaya

tunggal ini adalah (xc, yc) dimana

ϰc=ϰ1 F y 1+ϰ2 F y2+ϰ3 F y 3

Ry

yc=y1 Fϰ 1+ y2 Fϰ2+ y3 Fϰ 3

Rϰ

Bukti :

Vektor posisi titik tangkap gaya resultan:

Rc = xc I + yc j

Momen gaya di titik O akibat gaya resultan :

(0) = rc X R = (xcRy - ycRx) k

Karena gaya resultan dianggap sebagai pengganti dari gaya-gaya yang bekerja

pada benda, maka momen gaya yang disebabkan oleh gaya resultan ini harus sama

dengan momen gaya total yang ditimbulkan oleh tiap-tiap gaya yang bekerja. Dengan

kata lain

(0) gaya-gaya = (0) resultan

(ϰ¿¿1F y 1+ϰ2 F y 2+ϰ3 F y 3)k – ( y1 Fϰ1+ y2 Fϰ 2+ y3 Fϰ 3 )k=(ϰc R y− yc Rϰ)k ¿

Atau , ϰc Ry=ϰ1 F y 1+ϰ2 F y 2+ϰ3 F y 3

ϰc=ϰ1 F y 1+ϰ2 F y2+ϰ3 F y 3

Ry

yc Rϰ= y1 Fϰ 1+ y2 Fϰ2+ y3 Fϰ 3

yc=y1 Fϰ 1+ y2 Fϰ2+ y3 Fϰ 3

Rϰ

Secara umum koordinat titik tangkap resultan dapat ditulis sebagai

ϰc=∑ F yi ϰ i

R y

yc=∑ Fϰi y i

Rϰ

Rϰ=∑i

Fϰi

R y=∑i

F yi

Gaya-gaya sejajar

Gambar 12.6a melukiskan 3 gaya F1, F2, dan F3 yang sejajar sumbu y dengan

titik tangkap masing-masing gaya pada titik (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) dan

besarnya masing-masing gaya adalah F1, F2, dan F3.

Resultan gaya R :

R = F1 + F2 + F3

Arah gaya resultan sudah tentu berada pada sumbu y karena arah ketiga gaya

penyusunnya semuanya berada pada sumbu y.

R = ( F1+ F2 +F3) j

Vektor posisi titik tangkap dari ketiga gaya adalah :

r1 = x1 +y1 j + z1 k

r2 = x2 + y2 j + z2 k

r3 = x3 + y3 j + z3 k

Momen gaya total (terhadap titik o)

¿∑i

ri × F i

= -(zi Fy1 +z2Fy2 + z3Fy3) i + (x1Fy1 + x2Fy2 + x3Fy3) k

R. 0 = ( F1 + F2 + F3) j . (x1Fy1 + x2Fy2 + x3Fy3) k – (z1Fy1 + z2Fy2 + z3Fy3) i

= 0

Ternyata R. o = 0 sehingga dapat disimpulkan bahwa ketiga gaya dapat

digantikan dengan sebuah gaya tunggal. Gaya tunggal ini sama dengan gaya resultan :

R = (F1 + F2 + F3 ) j

Lokasi titik tangkap gaya tunggal (gaya resultan) ini adalah ( xci + ycj + zck ) dapat

dicari sebagai berikut :

Vektor posisi titik tangkap :

rc = xci + ycj + zck

Momen gaya di titik O akibat gaya resultan adalah :

( 0) = rc x R = -zcRy i + xcRyk

Karena gaya resultan dianggap sebagai pengganti gaya-gaya, maka momen gaya

akibat gaya resultan ini harus sama dengan momen gaya total akibat gaya gaya yang

bekerja. Dengan kata lain

III.Syarat Kesetimbangan benda tegar

Telah kita lihat bahwa adalam keadaan tertentu gaya gaya yang bekerja pada suatu

benda tegar dapat digantiakan oleh sebuah gaya tunggal dengan arah dan titik tangkap

tertentu. Jika benda diberikan gaya lain yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan

dengan gaya tunggal pengganti, maka benda tidak akan bergarak translasi ataupun

berputar (berotasi). Keadaaan tidak bergerak translasi dan rotasi ini dinamakan keadaan

seimbang.

Pada keadan kesetimbangan, jumlah gaya yang bekerja sama dengan nol dan

jumlah momen gaya terhadap sembarang titik juga sama dengan nol.

E. PUSAT MASSA DAN TITIK BERAT

I.Pusat masa

1) Titik pusat massa dapat dianggap sebagai suatu titik dimana masa system dapat

dikonsentrasikan.

2) Gaya yang bekerja di titik pusat massa suatu system akan membuat system bergerak

translasi murni (tanpa rotasi)

JIka kita mempunyai system yang terdiri dari n buah benda yang bermassa

masing-masing m1, m2, m3, ….., mn dan terletak pada koordinat (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)

……….. (xn,yn), maka koordinat pusat masa dari system ini (xpm,ypm) dimana xpm dan ypm

didefinisikan sebagai berikut:

ϰ pm=ϰ1 m1+ϰ2m2+ϰ3m3+…+ϰn mn

m1+m2+m3+…+mn

y pm=y1 m1+ y2 m2+ y3 m3+…+ yn mn

m1+m2+m3+…+mn

II. Titik Berat

Berat suatu benda tergantung pada gravitasi di tempat benda itu berada. Berat

benda dapat dianggap terkonsentrasi pada suatu titik. Titik ini dinamakan pusat gravitasi

atau titik berat. Dalam medan gravitasi homogen (medan gravitasi di setiap titik

sama)lokasi titik berat sama dengan lokasi pusat massa.

X1,y1 X2,y2 X1,y1 X2,y2

m1 m2

m1g m2g

m3 X3,y3 X3,y3

m3g

W = mg

(a) (b)

Keterangan gambar: benda dibagi dalam sejumlah besar partikel-partikel kecil

dengan massa m1, m2, m3,….. yang terletak pada koordinat (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3),…

koordinat x pusat massa untuk system ini adalah :

ϰ pm=ϰ1 m1+ϰ2m2+ϰ3m3 …

m1+m2+m3 …=∑

i

miϰ i

∑i

mi

Gaya berat yang ditimbulkan tiap partikel memberikan momen gaya terhadap titik

0 yang besarnya sama dengan berat partikel dikalikan dengan lengan momennya,

misalnya berat m1g momen gayanya m1g1x1 dan seterusnya.

Anggap suatu gaya W (besarnya sama dengan berat benda) diletakkan di suatu

titik sedemikian sehingga momen gaya yang dihasilkannya sama dengan jumlah total

momen gaya yang dihasilkan oleh seluruh partikel. Titik ini adalah titik berat benda.

(τ¿¿0)akibat W=(τ¿¿0)akibat semua partikel ¿¿

−W × ϰtb=−m1 g1ϰ1−m2 g2 ϰ2−m3 g3 ϰ3−…

ϰ t b=m1 g1 ϰ1+m2 g2ϰ2+m3 g3 ϰ3+…

W

ϰ tb=m1 g1ϰ1+m2 g2 ϰ2+m3 g3 ϰ3+…

m1 g+m2 g+m3 g+…

¿∑ miϰ i

∑ mi

Terbukti bahwa koordinat titik berat sama dengan koordinat titik pusat massa

ketika medan gravitasi uniform!

I. Titik Berat Benda Tegar

Benda Beraturan

Titik berat benda yang beraturan dan sederhana seperti segiempat atau segitiga,

terletak pada perpotongan garis beratnya.

Misalnya segiempat berukuran a X b. Titik berat segiempat tersebut adalah

terletak pada perpotongan kedua garis berat yaitu pada titik (1/2 a, ½ b) (di tengah-

tengah benda)

b

a

Suatu segitiga mempunyai garis berat seperti nampak pada gambar dan titik

beratnya terletak pada perpotongan ketiga garis berat itu yaitu pada titik (0, 1/3 t)

Gabungan beberapa benda

Untuk gabungan dari beberapa benda tegar seperti tampak pada gambar. Titik

beratnya (anggap g uniform) dicari dengan menggunakan rumus ¿∑ miϰ i

∑ mi

dimana

(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) menyatakan titik berat masing-masing benda tegar.

(½ a, ½ b)

TABEL TITIK PUSAT MASSA BENDA

GAMBAR NAMA LETAK TITIK BERAT KETERANGAN

y0

A Z B

Garis lurus y0 = ½ ABZ= ditengah-tengah

AB

Z

A R y0` B

M

Busur lingkaran y0=ABAB

R

AB = Tali busur AB

AB= busur AB

R= jari-jari

lingkaran

Z

y0

M

Busur setengah

lingkarany0=

2 Rπ

R= jari-jari

lingkaran

A Z

B

R y0

x

M

Juring lingkaran y0=ABAB

.23

R

AB = Tali busur AB

AB= busur AB

R= jari-jari

lingkaran

Z

y0

M

Setengah

lingkarany0=

4 R3 π

R = jari-jari

lingkaran

Selimut setengah

lingkarany0=

12

RR= jari-jari

lingkaran

Selimut kerucuty0=

13

t t = tinggi kerucut

Setengah bola y0=38

R R= jari-jari bola

Limas y0=14

t t= tinggi limas

Kerucut y0=14

t t= tinggi kerucut

Selimut limas y0=13

t t = tinggi limas

BAB III

METODOLOGI PRAKTIKUM

A. Alat dan Bahan Praktikum

Bahan-bahan yang diperlukan dalam melaksanakan praktikum menentukan titik

berat suatu benda datar tak beraturan adalah sebagai berikut:

1. Kertas karton

2. Kertas millimeter block

3. Lem kertas

4. Benang

5. Kertas Kerja (tabel data hasil pengukuran)

Alat-alat yang diperlukan dalam melaksanakan praktikum menentukan titik berat

suatu benda datar tak beraturan adalah sebagai berikut:

1. Statif

2. Penggaris

3. Bolpoin

4. Gunting kertas

5. Kamera

B. Desain

Praktikum

Rancangan dasar dari praktikum mentukan titik berat suatu benda datar tak

beraturan adalah dengan

1. Menentukan tiga titik tangkap dari garis-garis berat suatu benda;

2. Menentukan garis-garis berat dari benda dengan cara menggantungnya pada

seutas benang. Setelah benda diam, garis berat benda dilukiskan lurus terhadap

benang.

3. Menentukan titik potong dari beberapa garis berat yang yang telah dilukiskan.

Titik potong tersebut merupakan titik berat benda.

Untuk menguji ketepatan dari titik benda yang telah ditemukan dari

perpotongan garis-garis berat benda, maka desain praktikumnya adalah sebagai

berikut.

1.Menimbang massa benda sebelum dipisahkan menjadi beberapa bagian;

2.Memotong benda menjadi beberapa bagian

3.Menimbang massa dari setiap potongan bagian benda

4.Menentukan titik berat dari masing-masing potongan benda dengan metode yang

sama dengan menentukan titik berat benda sebelum dipotong;

5.Menggabungkan kembali potongan-potongan benda menjadi benda yang utuh

pada kertas millimeter block.

6.Menentukan koordinat dari titik berat sistem benda (titik berat benda sebelum

dipotong yang telah digambarkan sebelumnya):

7.Menentukan koordinat titik berat dari masing-masing bagian/ potongan benda

8.Menghubungkan titik berat masing-masing potongan benda dengan titik berat

sistem benda

C. Pengolahan dan Analisis Data

M M1 M2 M1 + M2 X Y X1 Y1 X2 Y2 M.X M.Y M1.X1+M2.X2 M1.Y1+M2.Y2

Data hasil pengukuran variabel-variabel praktikum dicatat secara teliti dalam table

di kertas kerja. Variabel dari praktikum menentukan titik berat suatu benda datar tak

beraturan adalah massa sistem benda(massa benda secara keseluruhan sebelum

dipotong-potong menjadi beberapa bagian, massa dari setiap potongan-potongan benda,

serta koordinat dari titik benda system benda maupun koordinat potongan-potongan

benda dalam koordinat cartesius.

Format Tabel dalam kertas kerja untuk pengolahan dan analisi data adalah sebagai

berikut:

Teknik menganalisa data untuk menguji ketepatan pengukuran titik berat adalah

dengan memerikas ekuivalensi dari kolom M.X dengan kolom M1.X1+M2.X2 dimana

kedua kolom pada table tersebut merupakan angka penunjuk letak titik berat benda pada

sumbu x jika system benda diletakkan pada koordinat cartesius. Jika harga pada kedua

kolom tersebut equivalent, yang artinya keduanya memiliki harga yang sama atau

mendekati sama, maka pengukuran titik berat benda pada sumbu x tersebut tepat.

Demikian halnya dengan harga dari kolom M.Y dengan kolom M1.Y1+M2.Y2,.Jika harga

pada kedua kolom tersebut equivalent, jika keduanya memiliki harga yang sama atau

mendekati sama, maka pengukuran titik berat benda pada sumbu y tersebut tepat.

Yang dimaksud dengan titik berat dari benda yang sedang diukur adalah X dan Y

dalam koordinat cartesius, yang harganya sama atau mendekati sama dengan:

M1 x1+M 2 x2

M 1+M 2

, untuk harga dari X

M1 y1+M 2 y2

M 1+M 2

, untuk harga dari Y

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

I. Pembahasan

Dengan pengukuran terhadap massa benda sebelum dipisahkan dan massa

masing-masing bagian benda yang diukur dengan teliti, maka diperoleh nilai M (massa

benda sebelum dipotong menjadi dua bagian menurut garis beratnya) sama dengan

nilai M1 (massa bagian benda ke-1) ditambah dengan M2 (massa bagian benda ke-2).

Ekuivalensi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

M ≡ M1 + M2

4,3 g≡ 2,3 g + 2,5 g

Dari hasil pengukuran terhadap koordinat jarak titik berat benda sebelum dipotong

dan titik berat masing-masing bagian benda pada sumbu-x koordinat cartesius,

diperoleh harga M.X mendekati harga M1.X1+M2.X2.Kesamaan tersebut dapat dituliskan

sebagai berikut:

M . X ≈M1.X1+M2.X2

57,6 g.cm ≈17,94 + 39,75 = 57,69 g.cm

Sementara dalam sumbu-y, terlihat bahwa harga M.Y mendekati harga

M1.Y1+M2.Y2.

M.Y ≈ M1.Y1+M2.Y2.

38,4 g.cm ≈ 17,02 + 21,75 = 38,77 g.cm

Dari ekuivalensi harga-harga MX dan MY terhadap sesamanya, dapat

disimpulkan bahwa nilai hasil perkalian dari massa benda (sebelum dipotong) dengan

jarak koordinat titik berat pada sumbu x mendekati nilai jumlah keseluruhan dari hasil

kali antara massa masing-masing bagian benda dengan jarak koordinat titik berat pada

sumbu x dari bagian benda tersebut. Demikian juga dengan sumbu y, nilai hasil

perkalian dari massa benda dengan jarak koordinat titik berat pada sumbu y mendekati

nilai jumlah keseluruhan dari hasil kali antara massa masing-masing bagian benda

dengan jarak koordinat titik berat pada sumbu y.

Jika kesalahan pengukuran diabaikan, maka diperoleh nilai hasil perkalian dari

massa benda (sebelum dipotong) dengan jarak koordinat titik berat pada sumbu x,y

mendekati nilai jumlah keseluruhan dari hasil kali antara massa masing-masing bagian

benda dengan jarak koordinat titik berat pada sumbu x,y dari bagian benda tersebut.

Secara matematis dapat dituliskan

M.X = M1.X1+M2.X2 dan M.Y = M1.Y1+M2.Y2

Dari keseluruhan persamaan yang diperoleh dari simpulan data hasil penelitian,

diperoleh kesimpulan bahwa titik berat sebuah system benda (gabungan benda) sama

dengan jumlah total titik berat dari masing-masing bagian penyusun benda.

DanXo = M1 X1+M 2 X2

M 1+M 2Yo =

M1 Y 1+M 2Y 2

M 1+M 2