Koordinat Polar

Koordinat Polar

Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku

sinP ry

cosP rx

P[r,]

[0,0] x

y

r

xP

yPP(xP ,yP)

Koordinat Polar

Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah

222 cyx

[0,0] x

y

Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi

222 )sin()cos( crr

r

a

[0,0] x

y

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah

222)( cyax

Koordinat Polar

r

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

222 )sin()cos( crar

Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah

222 )()( cbyax

Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi

222 )sin()cos( cbrar

b

a

[0,0] x

y

r

Koordinat Polar

Koordinat Polar

Contoh-1.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1

y

x

r

P[r,]

Bentuk ini disebut cardioid

)cos1(2 r

Koordinat Polar

Contoh-2.

y

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -3 -1 1 3 5

r

P[r,]

cos162r

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-1 0 1 2 3x

y

= = 2 = 3 = 4

r

P[r,]y = 2

2r

Contoh-3.

Koordinat Polar

Persamaan Garis Lurus

Koordinat Polar

O

y

x

l1

a

r

P[r,]

arl cos :1

O

y

x

b

l2

brl sin :2

Koordinat Polar

r

P[r,]

l3

O

y

x

a

A

r

P[r,]

arl )cos( :3

Koordinat Polar

l4

O

y

x

a

r

P[r,] arl )cos( :4

Koordinat Polar

Koordinat Polar

Parabola, Elips, Hiperbola

cos1

krParabola:

Eksentrisitas

cosPD

PF

rk

resEksentrisitas:

D

B

r

P[r,]

F

titik fokusDengan pengertian eksentrisitas ini

kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola.

Elips:

1se

cos1 s

s

e

ker

cos)cos( rekerker sss

1se

cos2cos5,01

5,0 kkr (misal es = 0,5)

Hiperbola: 1se

cos21

2 kr (misal es = 2)

x

y

A

direktriks

k

Lemniskat dan Oval Cassini

Koordinat Polar

F1[a,] F2[a,0]

P[r,]

r = 0 =

= /2

Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan

cos2

cossinPF22

2221

arar

rar

cos2

cossinPF22

2222

arar

rar

221 PFPF b Misalkan

)cos21(2

cos2cos222244

22224

raar

ararararb

2cos2 2244 raar

)1(2cos2cos 42222 kaar

Buat b dan a berrelasib = ka 2cos2 224444 raarak )1(2cos20 44224 karar

Koordinat Polar

Lemniskat )1(2cos2cos 42222 kaar

Kondisi khusus: k = 1

2cos2 22 ar

= 0 =

= /2

-0,6

-0,2

0

0,2

0,6

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1

= 0 =

= /2

-1

-0,5

0

0,5

1

-2 -1 0 1 2

Kurva dengan

a = 1

Oval Cassini

Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8

= 0 =

= /2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-2 -1 0 1 2

Koordinat Polar

)1(2cos2cos 42222 kaar

Courseware

Koordinat Polar

Sudaryatno Sudirham