Download - Koordinat Polar
-
Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3)
Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.
O (the pole)ray (polar axis)
-
Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi: - derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam)- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial : koordinat sudut
-
Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r, + n ) , untuk n bil. bulat genap
Example: the following polar coordinates represent the same point (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).
-
Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos , y = r sin Maka r2 = x2 + y2, tan = y/x, jika x 0Catt. menentukan Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 < < /2 = arctan(y/x).Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3, = + arctan(y/x).
-
Persamaan2 dalam Koordinat PolarPers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = aUntuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin - berpusat di (a,0): r = 2a cos r = 2 sin r = 2 cos
r002/20
r200 /2-2
-
Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat tegak:Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1
-
Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin and r2 = 4 sin . Solusi: (1 + sin )2 = 4 sin 1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0 sin2 - 2 sin + 1 = 0 (sin - 1)2 = 0 sin = 1 Jadi sudut = /2 + 2n, dimana n = 0,1, Jadi salah satu titik potong: (2, /2)
-
Grafik Persamaan PolarCardioid:
-
Limaon: r = a + b cos , r = a + b sin Limaon: r() = 3 2 cos()
-
Persamaan berbentukr = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil, 2n jika n genap
-
Rose: r() = a b sin (n) contoh: r() = 5 sin(2)
-
Grafik persamaan polar
-
Lemniscate:
-
Spiral: r =
-
Grafik dari butterfly curver() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin( /4)^3
-
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar Definisi: Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial = dan = dan kurva r = f( ), , adalah = =r = f()
-
Diket. luas lingkaran berjari r : Luas juring (sektor) lingkaran:
Partisi selang [, ]: = 0
-
Hitung luas daerah limaon dgn pers. r = 3 +2 cos , 0 2
-
ExampleSolution:
-
Contoh 2: Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop limacon
-
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar:
Luas yg dibatasi ikalan dalam (r
-
Luas daerah antara dua kurva polar r = f() dan r = g(), dengan f() g() 0, :
-
Kurva Parametrik (Ch.10.4) Definisi: Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah sepasang fungsi x = f(t), y = g(t) (pers. Parametrik) yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam interval tertentu, t bilangan real (parameternya).
Contoh: x = cos t, y = sin t, 0 t 2Atau
-
Kurva parameter dari fungsi parameterx= cos 3t, y = sin 5t,0 t 2
-
Cycloid: Suatu lingkaran berjari r menggelinding sepanjang garis horisontal, jejak sebuah titik pada lingkaran tsb. membentuk kurva cycloid
-
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat C(at,a)x = a(t sin t)y = a(1- cos t)
P(x,y)Q(at,y)C(at,a)
-
Garis tangen pada persamaan parametrikKurva parametrik x = f(t), y= g(t) dikatakan mulus (smooth) jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara bersamaan.Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs. tangen
Contoh; Cari persamaan garis tangenpada t yang ditentukan
-
Parametrik Koordinat PolarKurva dalam koordinat polar, r = f( ), dapat dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter : x( ) = f( ) cos , y( ) = f( ) sin , (x dan y dinyatakan dgn parameter ).
Kemiringan dy/dx dari garis tangen
-
Cari persamaan garis tangen dari kurva parametrik
-
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar berikut ini r = f(q) = 2 + 3 cos(8 q) di q = 3p/4.Hit. dy/dq, dx/dq , dy/dx
-
Conic Sections
-
*