TUGAS PERSAMAAN DIFERENSIAL

BIDANG FISIKA

OLEH :

FERNINDA

130803042

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2014

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas kekuatan dan

hikmat yang diberikan-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan makalah yang

berjudul “PERSAMAAN DIFERENSIAL BIDANG FISIKA” dapat

diselesaikan dengan ketentuan waktu yang diberikan. Saya selaku penulis

mengucapkan terima kasih kepada Bapak/Ibu Dosen yang telah memberi

dorongan sehingga makalah ini bisa selesai.

Saya dari penulis manyadari bahwa makalah ini masih jauh dari

kesempurnaan. Namun saya sudah berusaha semaksimal mungkin agar makalah

ini bisa terselesaikan dengan baik.

Untuk itu saya selaku penulis mengharapkan saran dan kritikan yang

bersifat membangun untuk penyempurnaan makalah ini, sehingga dapat

bermanfaat untuk pembaca dan bisa dijadikan sebagai salah satu pedoman ilmu

pengetahuan untuk kedepan. Amin.

Medan, 26 November 2014

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ......................................................................................... i

DAFTAR ISI .........................................................................................................ii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................1

1.1. Latar Belakang ................................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 1

1.3 Tujuan Masalah ................................................................................ 1

BAB II PEMBAHASAN.................................................................................... 2

2.1. Penerapan Turunan Terhadap Gerak Lurus Beraturan

(GLB) .......................................................................................... 2

2.2. Penerapan Turunan Terhadap Rangkaian Listrik

RLC ............................................................................................. 2

2.3. Penerapan Turunan Terhadap Torsi .............................................. 8

BAB III PENUTUP ........................................................................................... 10

3.1. Kesimpulan ................................................................................... 10

3.2. Saran ............................................................................................. 10

DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................... 11

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Diferensial merupakan ilmu cabang dari kalkulus. Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", yang digunakan untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga.. Diferensial memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, teknik, dan aljabar elementer.

Diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Turunan sangat berguna dalam bidang fisika. Seperti para penemu-penemu rumus- rumus baru menemukan rumus baru tersebut juga banyak yang berdasarkan ilmu turunan. Seperti Newton yang menemukan hukum gerak kedua Newton dengan menggunakan turunan.

Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.

1.2. Rumusan Masalah

Adapun yang menjadi masalah didalam makalah ini yaitu:

a. Penerapan turunan dalam bidang fisika yaitu pada materi Gerak Lurus

Beraturan (GLB).

b. Penerapan turunan dalam bidang fisika yaitu pada materi rangkaian listrik

RLC.

c. Penerapan turunan dalam bidang fisika yaitu pada materi torsi benda tegar.

1.3. Tujuan Masalah

Adapun yang menjadi tujuan dari penyusunan makalah ini yaitu:

a. Mengetahui aplikasi turunan dalam bidang fisika.

b. Mengetahui apa-apa saja materi dalam fisika yang menggunakan konsep

konsep turunan.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Penerapan Turunan Terhadap Gerak Lurus Beraturan (GLB)

a). Kecepatan ( V )

Istilah kelajuan atau laju menyatakan seberapa jauh sebuah benda bergerak dalam selang waktu tertentu. Umumnya, laju sebuah benda didefinisikan sebagai jarak total yang ditempuh sepanjang lintasannya dibagi waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut.

V = st

Dimana :

V : laju rata (m/s) s : jarak total yang ditempuh( meter) t : waktu tempuh yang diperlukan (sekon)

b.) Percepatan Rata- Rata(a)

Percepatan sesaat dapat didefinisikan sebagai percepatan rata-rata pada limit t yang menjadi sangat kecil, mendekati nol. Percepatan sesaat (a) untuk satu dimensi dapat dituliskan sebagai berikut:

a = lim delta t menuju 0 delta v / delta t.

Dalam hal ini v menyatakan perubahan yang sangat kecil pada kecepatan selama selang waktu t yang sangat pendek. Perhatikan dengan teliti bahwa percepatan menunjukkan seberapa cepat kecepatan berubah, sementara kecepatan menunjukkan seberapa cepat posisi berubah.

2.2. Penerapan Turunan Terhadap Rangkaian Listrik RLC

Hukum Kirchof II untuk menentukan arus listrik dari model PD :

(2.2.1)

dimana q adalah kapasitas dari kapasitor pada waktu t, konstanta RLC adalah resistansi, induktansi dan kapasitas dari elemen circuit dan E(t) menunjukkan EMF (Electromotive force). Gambar rangkaian RLC terlihat pada gambar (2.2.1).

Arus dalam circuit berhubungan dengan perubahan kapasitas yang berada dalam kapasitor melalui:

(2.2.2)

Sehingga persamaan (2.2.1) dapat ditulis sebagai PD tingkat 2 dengan koefisien konstan :

(2.2.3)

persamaan (2.2.3) ekivalen dengan persamaan diferensial untuk pergerakan pegas-

massa pada:

Perhatikan PD homogen

(2.2.4)

ini mempunyai persamaan karakteristik:

Dan akar-akar karakteristik :

Tiga hal yang akan menjadi kemungkinan dari rangkaian ini :

1. Underdamped (redaman kecil) jika

2. Critically damped (redaman kritis) jika

3. Overdamped Jika

Solusi yang terkait untuk (2.2.4) bagi a, b dan c adalah :

a. (2.2.5a)

b.

(2.2.5b)

c.

(2.2.5c)

dalam ketiga kasus dengan maka :

sebanding dengan menyatakan bahwa fungsi komplemen dari (2.2.3) q = qc dan

memenuhi :

qc merupakan bagian treansien dari solusi (2.2.4) karena berkaitan dengan waktu

sebagai eksponensial .

Contoh Soal :

1. Suatu sistem pegas-massa yang mana gerakannya diberikan dalam bentuk MNA :

dimana , x0 ,v0 adalah konstanta. Dapatkan Frekuensi sudut sistem, Amplitudo, Fase gerakan dan Periode dari sistem untuk berosilasi.

Jawab :

Misalkan ekx adalah penyelesaian , diperoleh :PK :

Akar-akar karakteristik :

PUPD:

X(0) = x0

maka

maka

PPPD :

Karena pegas berosilasi bebas tanpa redaman maka bentuk PD :

Maka diperoleh :

Frekuensi sudut sistem :

Amplitudo:

Fase gerakan:

Periode dari sistem untuk berosilasi :

2. Perhatikan suatu sistem pegas-massa tanpa gaya redam yang mana gerakannya diberikan oleh :

Dapatkan penyelesaiannya jika :

Jawab :

Dari soal no 2 diatas diperoleh :PUPR :

Untuk

PUPD :

Untuk

PPUD :

2.3. Penerapan Turunan Terhadap Torsi

Sebuah benda berotasi dengan sumbu putar adalah sumbu z. Sebuah gaya F bekerja pada salah satu partikel di titik P pada benda tersebut. Torsi yang bekerja pada partikel tersebut adalah :

                                 t = r x F            Arah torsi t searah dengan sumbu z. Setelah selang waktu dt partikel telah berputar menempuh sudut dq dan jarak yang ditempuh partikel ds, dimana ds = r dq. Usaha yang dilakukan gaya F untuk gerak rotasi ini

                                dW = F . ds                                dW = F cos f ds                                 dW = (F cos f) (r dq)                                dW = t dq           dW = F . ds

Laju usaha yang dilakukan (daya) adalah :

                                 dW/dt = t dq/dt                   P = t w                           P = F v            Untuk benda yang benar-benar tegar, tidak ada disipasi tenaga, sehingga laju dilakukannya usaha pada benda tegar tersebut sama dengan laju pertambahan tenaga kinetik rotasinya.

                         dW/dt = dK/dt                        dW/dt = d(1/2 I w2)/dt                                     t w    = 1/2 I dw2/dt                         t w    = Iw dw/dt                               t w    = Iw a                         t   = I a                      F = m a

Contoh Soal :

Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s = f(t) = t3 - 6t2 + 9t (t dalam detik dan s dalam meter). Tentukan :a. Kecepatan pada waktu t?b. Kecepatan setelah 2 detik?c. Kapan partikel berhenti?d. Kapan partikel bergerak maju ?

Jawab :

a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.    s = f(t) = t3 - 6t2 + 9t     v(t) = 3t2-12t+9

b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2.

    v(t) = 3t2 - 12t + 9    v(2) = 3(2)2 - 12(2) + 9

= -3 m/dt c. Partikel berhenti jika v(t)=0.

    v(t)= 3t2 -12t + 9 = 0

   ó 3t2 – 12t + 9   ó 3 ( t2 – 4t + 3 )   ó 3 ( t – 1 ) ( t – 3 ) = 0   ó t1 = 1 dan t2 = 3 

Partikel berhenti setelah t = 1 atau t = 3 

d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t) > 0

    3t2 - 12t + 9 = 3 ( t – 1 ) ( t – 3 ) > 0

Partikel bergerak maju jika    t < 1 atau t > 3

Partikel bergerak mundur jika    1 < t < 3

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

        Diferensial sangat berguna untuk menemukan rumus-rumus dalam ilmu fisika. Sebagian besar rumus pada fisika menggunakan konsep turunan ,salah satunya dalah gerak lurus beraturan (GLB), rangkaian listrik RLC, dan torsi.

Newton adalah salah satu fisikawan yang menggunakan turunan untuk menemukan rumus pada hukumnya yang ke dua. Ia mendapatkan bahwa kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu dan percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu. Beberapa rumus torsi untuk benda tegar  juga menggunakan konsep diferensial, dengan adanya turunan kita dapat menyelesaikan permasalahan fisika.

       Turunan dapat menyelesaikan permasalahan dengan cara yang lebih mudah dan gampang sehingga banyak bidang yang menggunakannya. Fisika termasuk bidang yang  sangat berhubungan dengan matematika yaitu Turunan.

3.2. Saran

Adapun yang menjadi saran dari pemakalah disini, apabila pembaca masih

menemui kejanggalan berupa materi yang belum sempurna, silahkan mengunjungi

referensi langsung yang kami kemas didalam daftar pustaka.

DAFTAR PUSTAKA

Donald A. McQuarrie .2003. Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books.

Stewart J .2002. Calculus: Early Transcendentals. 5th ed. Brooks Cole.

Bronson Richard, Costa Gabriel .2006. Persamaan Diferensial Schaum’s Outlines. Erlangga.

http://info-toyou.blogspot.com/2011/05/aplikasi-turunan-dalam-bidang-fisika.html

http://www.ittelkom.ac.id/admisi/elearning/prog3.php?proses=1&kd=Fis-010202&bab=Gerak%20Lurus&judul=Fisika&rincian=Kelajuan%20dan%20Kecepatan&kd_judul=Fis-01&kode_bab=02&kode_sub=02

http://www.PENGGUNAAN TURUNAN DALAM BIDANG FISIKA (KALKULUS 1)

http://www.Aplikasi Persamaan Diferensial Linier Tingkat 2