tugas terstruktur kalkulus peubah banyak€¦ · tugas terstruktur kalkulus peubah banyak dari buku...
TRANSCRIPT
TUGAS TERSTRUKTUR
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Dari Buku Kalkulus Edisi Keempat Jilid II James Stewart, Penerbit
Erlangga.
Disusun oleh :
K i r b a n i M0105044
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
2007
Halaman 349
13 24
2
)0,0(,
2lim.
yx
yxyx
,carilah limitnya jika ada, atau perlihatkan bahwa limit tidak
ada!
Penyelesaian:
didekati sepanjang sumbu x sehingga 0y dan 0x maka:
00
0
02lim
2lim
424
2
024
2
)0,0(),(
xx
x
yx
yxxyx
didekati sepanjang kurva 2xy ,maka:
12
22lim
2lim
4
4
44
22
024
2
)0,0(),(
x
x
xx
xx
yx
yxxyx
karena diperoleh limit yang berlainan, maka limit dari fungsi yang
diberikan tidak ada.
14. 22
23
)0,0(),(lim
yx
yxyx
, carilah limitnya jika ada, atau perlihatkan bahwa limit tidak
ada!
Penyelesaian:
didekati sepanjang sumbu x , 0y , 0x
00
0limlim
2
3
022
23
)0,0(),(
x
x
yx
yxxyx
didekati sepanjang sumbu y , 0,0 yx
00
0limlim
2
2
022
23
)0,0(),(
y
y
yx
yxyyx
didekati sepanjang garis xy , 0x
02
lim2
limlimlim3
02
5
022
23
022
23
)0,0(),(
x
x
x
xx
xx
yx
yxxxxyx
didekati sepanjang garis xy , 0x
02
lim2
limlimlim3
02
5
022
23
022
23
)0,0(),(
x
x
x
xx
xx
yx
yxxxxyx
diperoleh 0lim22
23
)0,0(),(
yx
yxyx
Halaman 350
33. zyx
xyzzyxf
22),,( ,tentukan himpunan terbesar dimana fungsi tersebut
kontinue!
Penyelesaian:
Himpunan terbesar fungsi tersebut kontinue
adalah }|),,{( 223 zyxRzyx
37.22
33
)0,0(),(lim
yx
yxyx
,gunakan koordinat polar untuk mencari limit tersebut!
Penyelesaian:
Jika ),( r merupakan bentuk koordinat polar dari ),( yx dengan
0r ,sehingga jika )0,0(),( yx maka 0r
;arctan;22
x
yyxr
rSinyrCosx ; ,sehingga
22
33
)0,0(),(lim.
yx
yxyx
2222
3333
0lim
SinrCosr
SinrCosrr
=
2222
3333
0lim
SinrCosr
SinrCosrr
=2
333
0
)(lim
r
SinCosrr
= )(lim 33
0 SinCosr
r
= )(0lim 33
0 SinCos
r
=0.
Halaman 363
74. Suhu di titik (x,y) pada plat baja rata diberikan oleh T(x,y) = 60/(1 + x2 + y2),
dengan T diukur dalam oC serta x dan y dalam meter. Carilah laju perubahan
suhu terhadap jarak di titik (2,1) dalam (a) arah-x dan (b) arah-y.
Penyelesaian:
a).arah-x
)1(60
x
T(1-x2+y2)-2.2x
= 222 )1(
120
yx
x
di titik (2,1)= 67,636
240
)141(
)2(1202
Jadi Laju perubahan suhu turun pada : 6,670C
b).arah-y
y
T60(-1) (1+x2+y2)-2.2y
= 222 )(1
120
yx
y
di titik (2,1)= 33,336
120
)141(
)1(1202
Laju perubahan suhu turun pada:3,330C.
Halaman 364
80. Paraboloid z = 6 – x – x2 -2y2 memotong bidang x = 1 di sebuah parabola.
Carilah persamaan parametrik garis singgung terhadap parabola ini di titik
(1, 2, -4). Gunakan komputer untuk membuat grafik paraboloid, parabola, dan
garis singgung pada layar yang sama.
Penyelesaian :
87.misalkan ),( yxf)0,0(),(
)0,0(),(
0
22
33
yxjika
yxjikayx
xyyx
(a) Gunakan komputer untuk membuat grafik f.
(b) Carilah ),( yxf x dan ),( yxf y ketika )0,0(),( yx .
(c) Carilah )0,0(xf dan )0,0(yf dengan menggunakan Persamaan 2 dan 3.
(d) Perlihatkan bahwa dan 1)0,0( xyf dan 1)0,0( yxf .
(e) Apakah hasil bagian (d) bertentangan dengan Teorema Clairaut? Gunakan
grafik ),( yxf x dan )0,0(yf untuk mengilustrasikan jawaban Anda.
Penyelesaian:
(a).Dengan menggunakan software matlab maka diperoleh hasil sebagai
berikut:
b). ),( yxf x = 222
332232
)(
2)())(3(
yx
xxyyxyxyyx
= 222
324532324
)(
2233
yx
yxyxyyxyxyx
= 222
5324
)(
4
yx
yyxyx
),( yxf y =222
332223
)(
2)())(3(
yx
yxyyxyxxyx
=222
423423235
)(
2233
yx
xyyxxyyxyxx
=222
4235
)(
4
yx
xyyxx
c).Persamaan 2 :
),( baf x = h
bafbhafh
),(),(lim
0
)0,0(xf = h
fhfh
)0,0()0,0(lim
0
=h
fhfh
)0,0()0,(lim
0
= 000
lim0
hh
Persamaan 3:
),( baf y = h
bafhbafh
),(),(lim
0
)0,0(yf = h
fhfh
)0,0()0,0(lim
0
= h
hfh
0),0(lim
0
=hh
00lim
0
= 0
d). ),( yxf xy
=422
5324222224224
)(
)4)(2)((2))(512(
yx
yyxyxyyxyxyyxx
=322
5324224224
)(
)4(4))(512(
yx
yyxyxyyxyyxx
=322
642246422442246
)(
4164512512
yx
yyxyxyyxyxyxyxx
=322
642246
)(
99
yx
yyxyxx
),( yxf yx
=422
4235222224224
)(
)4)()(2(2))(125(
yx
xyyxxyxxyxyyxx
=322
4235224224
)(
)4)(2(2))(125(
yx
xyyxxxyxyyxx
=322
422466422442246
)(
4164125125
yx
yxyxxyyxyxyxyxx
=322
642246
)(
99
yx
yyxyxx
),( yxf xy ),( yxf yx
e).Berikut ini gambar kurva permukaan ),( yxf xy ),( yxf yx
Halaman 373
16. Jelaskan mengapa fungsi terdiferensiasi di titik yang diberikan. Kemudian
carilah linierisasi L(x,y) dari fungsi dititik tersebut dengan
f(x,y) = 221 yx di titik (0, 2)
Penyelesaian :
Turunan parsial
o ),( yxf x =2
1 2
122 )1(
yx 22xy =
22
2
1 yx
xy
)2,0(xf = 001
0
o ),( yxf y =2
1 2
122 )1(
yx yx 22 =
yx
yx22
2
1
)2,0(yf = 01
0
#Turunan parsial xf dan yf keduanya adalah fungsi kontinu,sehingga
berdasarkan pada teorema : “ Jika turunan parsial xf dan yf ada dekat
(a,b)dan kontinu di (a,b),maka f terdeferensiasi di (a,b)”.
Maka f terdeferensiasi.
o Linierisasi ),( yxL :
),( yxL = ))(,())(,(),( aybafaxbafbaf yx
= )2)(2,0()0)(2,0()2,0( yfxff yx
= 1 + )2(0)0( yx
=1
19.Carilah hampiran linier dari fungsi 222),,( zyxzyxf di (3, 2, 6) dan
gunakan untuk menghampiri bilangan 222 99,597,102,3
Penyelesaian :
222
222)2(2
1),,(
zyx
xzyxxzyxf x
7
3
623
3)6,2,3(
222
xf
222
222)2(2
1),,(
zyx
yzyxyzyxf y
7
2
623
2)6,2,3(
222
yf
222
222)2(2
1),,(
zyx
zzyxzzyxf z
7
6
623
6)6,2,3(
222
zf
)6)(6,2,3()2)(6,2,3()2)(6,2,3()6,2,3(),,( zfyfxffzyxL zyx
)6(7
6)2(
7
2)3(
7
37 zyx
7
36
7
6
7
4
7
2
7
9
7
37 zyx
zyx7
6
7
2
7
3
99.6)99,5(7
6)97,1(
7
2)02,3(
7
3)99,5;97,1;02,3( L
20. Tinggi gelombang h di laut terbuka bergantung pada laju angin v dan lama
waktu t dimana angin bertiup pada laju tersebut. Nilai fungsi h = f(v,t) dicatat
dalam tabel berikut.
Durasi (jam)
Mnn
b L
aju
angi
n (
knot
)
Tt4t v t 5 10 15 20 30 40 50
10 2 2 2 2 2 2 2
15 4 4 5 5 5 5 5
20 5 7 8 8 9 9 9
30 9 13 16 17 18 19 19
40 14 21 25 28 31 33 33
50 19 29 36 40 45 48 50
60 24 37 47 54 62 67 69
Gunakan table untuk mencari hampiran linier terhadap fungsi tinggi
gelombang ketika v dekat 40 knot dan t dekat 20 jam. Kemudian taksirlah
tinggi gelombang ketika angin telah bertiup selama 24 jam pada laju 43 knot.
Penyelesaian :
h
bafbhaff
hv
),(),(lim)20,40(
0
Untuk h=10 maka:
10
)20,40()20,50()20,40(
fffv
.2,110
1210
2840
Untuk h=-10 maka:
10
)20,40()20,30()20,40(
ff
fv
.1,1
10
1110
2817
Maka .15,12
1,12,1)20,40(
vf
h
fhff
ht
)20,40()20,40(lim)20,40(
0
Untuk h=10 maka:
10
)20,40()30,40()20,40(
ffft
.3,0
10
310
2831
Untuk h=-10 maka:
10
)20,40()10,40()20,40(
ffft
.7,0
10
710
2821
Maka 5,02
7,03,0)20,40(
tf
)20)(20,40()40)(20,40()20,40(),(),( tfvfftvLtvf tv
285.015,1
)20(5,0)40(15,128
tv
tv
Sehingga .45,3328)24(5,0)43(15,1)24,43()24,43( Lf
tinggi gelombangnya 33,45 ketika angin bertiup selama 24 jam
dengan kecepatan 43 knot.
Halaman 382
36.Jari-jari kerucut lingkaran tegak bertambah besar pada laju 1,8 inci/ detik
sedangkan tingginya menyusut pada laju 2,5 inci/ detik. Pada laju berapakah
volume kerucut berubah ketika jari-jari adalah 120 inci dan tinggi adalah 140
inci?
Penyelesaian :
TrV ucut2
ker 3
1 ;
t
r1,8 ik
incidet ;
t
T-2,5 ik
incidet
t
V
=
t
T
T
V
t
r
r
V3
1
=
22
3
1r
t
TrT
t
r =t
Tr
t
rrT
2
3
1
3
2 ;
Maka laju perubahn Volum kerucut ketika jari-jarinya 120 inci dan tingginya
140 inci adalah:
t
V
= 1401203
2 1,8 ikinci
det3
21203
1 (-2,5) ikinci
det3
=( 20160 12000) ikinci
det3
=8160 ikinci
det3
Jadi laju Volum kerucut bertambah sebesar 8160 ikinci
det3
ketika jari-
jarinya 120 inci dan tingginya 140 inci
40. Mobil A melaju ke utara pada Jalan Raya 16 dan mobil B melaju ke barat pada
Jalan Raya 83. Masing-masing mobil mendekati persimpangan jalan raya ini.
Pada saat tertentu, mobil A berada 0,3 km dari persimpangan dan melaju pada
90 km/jam sedangkan mobil B berada 0,4 km dari persimpangan dan melaju
pada 80 km/jam. Seberapa cepat jarak antara mobil itu berubah pada saat
tersebut?
Penyelesaian :
Jarak mobil A ke persimpangan=0,3 km,
jamkmdt
dA/90
(tanda negatif karena jarak mobil A ke persimpangan semakin berkurang)
Jarak mobil B ke persimpangan=0,4 km,
jamkmdt
dB/80
(tanda negatif karena jarak mobil B ke persimpangan semakin berkurang)
Jarak kedua mobil :
22 BAr
Maka berdasarkan aturan rantai :
dt
dB
B
r
dt
dA
A
r
dt
dr
U
B
A
r
1185,0
59
25,0
59
16,0009,0
32
16,0009,0
27
804,03,0
4,090
4,03,0
3,0
2)(2
12)(
2
1
2222
2222
2/1222/122
dt
dB
BA
B
dt
dA
BA
Adt
dBBBA
dt
dAABA
Jadi jarak antara kedua mobil itu berkurang dengan laju=118 km/jam
=32,78 m/detik.
Halaman 395
18. yxzzyxg 23),,( , (1, 6, 2), v = 3i + 4j + 12k
Penyelesaian :
12)2,6,1(2 xx gxyg ;
1)2,6,1(2 xy gxg ;
12)2,6,1(3 2 xz gzg ;
jadi ;12,1,12),,( zyxg
v = 3i+4j+12k
IvI = 13169144169
Jadi vektor satuan u = )1243(13
1kji
Du g(1,6,2) =
v g(1,6,2).u
=(-12i-j+12k)( )13
12
13
4
13
3kki
13
10413
144
13
4
13
36
=8
32. Andaikan bahwa Anda sedang mendaki bukit yang bentuknya diberikan oleh
persamaan z = 1000 – 0,01x2 – 0,02y2 dan Anda sedang berdiri di titik dengan
koordinat (60, 100, 764).
(a) Ke arah manakah seharusnya Anda melangkah mula-mula agar mencapai
puncak bukit paling cepat?
(b) Jika Anda mendaki dalam arah tersebut, pada sudut di atas garis horisontal
berapakah Anda akan mendaki mula-mula?
Penyelesaian :
a). 2,1)100,60(02,0 xx fxf
4)100,60(04,0 yy fxf
b). tan θ = -4/-1,2 =3,33
θ = 73,30 derajat
sehingga besar sudut adalah 73,30 derajat.
Halaman 407
31. f (x,y) = 1 + xy – x – y, D adalah daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2
dan garis y = 4
Penyelesaian :
yxxyyxf 1),( ,dibatasi oleh 2xy dan 4y karena f polinom ,
f kontinu pada 2xy dan 4y sehingga terdapat maximum mutlak dan
minimum mutlak.
1.Mencari titik kritis
01 yf x dan 01 xf y
sehingga satu-satunya titik kritis adalah (1,1) dan nilai )1,1(f = 0
2.Grafik
-3 -2 -1 0 1 2 3-1
0
1
2
3
4
5
x
y
y=x2
y=4
441)4,( xxxf
= 33 x ,untuk 22 x
Ini merupakan fungsi menurun ,dengan nilai minimum adalah
9)4,2( f dan nilai maksimum 3)4,2( f
232 1),( xxxxxf
9)4,2(min ff
3)4,2(max ff
Sehingga nilai-nilai ini dibandingkan dengan nilai 0)1,1( f di titik kritis.Di
sini dapat disimpulkan bahwa nilai maksimal mutlak f pada D adalah
3)4,2( f dan nilai minimal mutlak adalah 9)4,2( f
43. Carilah volume kotak persegi panjang terbesar dengan sisi-sisi yang sejajar
dengan sumbu yang dapat diletakkan didalam ellipsoid
9x2 + 36y2 + 4z2 = 36
Penyelesaian :
Misalkan kotak persegi panjang mempunyai panjang = x satuan, lebar = y
satuan, tinggi = z satuan. Maka volume kotak adalah
xyzV ,
yang berada di dalam elipsoida 364369 222 zyx , maka akan dicari volume
kotak pada kuadran I yang dibatasi oleh elipsoida dengan besar x , y , dan z
adalah positif.
364369 222 zyx
22 442
3yxz (ambil z yang bernilai positif), sehingga persamaan
untukV menjadi
22 442
3yxxyV .
Diperoleh turunan parsial dari V
22
22
442
344
2
3
yx
xxyyxy
x
V
22
22
44
4
2
344
2
3
yx
yxyyxx
y
V
.
Jika V maksimum maka 0
y
V
x
V
0442
344
2
322
22
yx
xxyyxy
044
)22(322
22
yx
yxy ( y tidak bernilai
nol)
022 22 yx
044
4
2
344
2
322
22
yx
yxyyxx
0442
)84(322
22
yx
yxx ( x tidak bernilai
nol)
084 22 yx
Ini menyatakan bahwa
2222 8422 yxyx
26 2 y
ambil nilai y yang positif sehingga 33
1y , maka diperoleh
03
22 2 x
3
42 x 33
2x (diambil nilai x yang positif)
33
2x , 3
3
1y , dan 3z . Maka volume kotak persegi panjang terbesar
pada kuadran I adalah
)3)(33
1(3
3
2V
33
2V .
Besar volume kotak persegi panjang terbesar yang dibatasi oleh elipsoida
364369 222 zyx adalah 33
16)3
3
2(88 V (satuan)3
Halaman 417
18.Carilah nilai ekstrem dari:f (x,y) = 2x2 + 3y2 – 4x – 5 pada daerah yang
diberikan oleh pertidaksamaan x2 + y2 ≤ 16
Penyelesaian :
1044 xxf x ;
006 yyf y ;
diperoleh titik kritis yaitu dititik (1,0),sehingga:
754025140312)0,1( 22 f ;
Kemudian kita akan mencari nilai f (x,y) di titik-titik yang terletak pada
lingkaran 1622 yx .
Berikut adalah gambar lingkaran x2 + y2 ≤ 16
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
x2+y2-16 = 0
Untuk 04 yx ,sehingga:
5440342)0,4( 22 f
11
516032
5)4(403)4(2)0,4( 22 f
43
516032
Untuk 04 xy ,sehingga:
5044302)4,0( 22 f
43
548
504)4(302)4,0( 22 f
= 50480
=43
Dengan metode Pengali Lagrange diperoleh sebagai berikut:
44 xf x dengan xg x 2
yf y 6 dengan yg y 2 ;
Sehingga diperoleh persamaan:
44 x xxx 222 …………….(1)
326 yy …………………………(2)
Dari (1) dan (2) maka diperoleh nilai x -2;kemudian kita akan mencari
nilai-nilai di titik- titik yang terketak pada lingkaran x2 + y2 =16;
sehingga untuk 2x diperoleh
12
12
y
y.
47583685)2(4)12(3)2(2)4,0( 22 f
47583685)2(4)12(3)2(2)4,0( 22 f
Jadi pada daerah 1622 yx diperoleh nilai maximum didua titik yaitu
yaitu )12,2( sehingga 47)12,2(max f dan nilai nilai minimum
di satu titik yaitu di )0,1( sehingga 7)0,1(min f
Halaman 423
9.Plat baja berada di bidang-xy dan menempati persegi panjang 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y
≤8 dengan x dan y diukur dalam meter. Suhu di titik (x,y) di bidang adalah T(x,
y), dengan T diukur dalam derajat Celcius. Suhu pada titik-titik yang berjarak
sama diukur dan dicatat dalam tabel.
Tt4t x y 0 2 4 6 8
0 30 38 45 51 55
2 52 56 60 62 61
4 78 74 72 68 66
6 98 87 80 75 71
8 96 90 86 80 75
10 92 92 91 87 78
(a) Taksir nilai turunan parsial )4,6(xT dan )4,6(yT . Apa satuannya ?
(b) Taksir nilai )4,6(TDu , dengan u =(i+j) / 2 . Taksirkan hasil Anda.
(c) Taksir nilai )4,6(xyT
Penyelesaian :
a) )4,6(xTh
ThTLimh
)4,6()4,6(0
;Ambil 2h sehingga:
Untuk h -2 )4,6(xT2
)4,6()4,26(
TT
2
)4,6()4,4(
TT
2
8072
4
Untuk h 2 )4,6(xT2
)4,6()4,26( TT
2
)4,6()4,8( TT
2
8086
3
Sehingga dengan mengambil nilai rata-ratanya maka
)4,6(xT 5,32
34
.
)4,6(yTh
ThTLimh
)4,6()4,6(0
; Ambil 2h sehingga:
Untuk h -2 )4,6(yT2
)4,6()24,6(
TT
2
)4,6()2,6(
TT
2
8087
5,3
Untuk h 2 )4,6(yT2
)4,6()24,6( TT
2
)4,6()6,6( TT
2
8075
5,2
Sehingga denga mengambil nilai rata-ratanya maka
)4,6(yT 32
5,25,3
b) u =2
1,
2
1, 3;5,3)4,6( T ,sehingga:
)4,6(uD )4,6(T2
1,
2
1
3;5,3 2
1,
2
1
2
13
2
15,3
22
1
24
1
22
1
c)
h
ThhTT
hxy
4,64,6lim)4,6(
0
3
2
8074
2
4,62,44,62untuk
02
8080
2
4,66,84,62untuk
2atau 2ambil
TTTh
TTTh
hh
xy
xy
Dengan merata-rata hasil di atas kita dapatkan 5,14,6 xyT
28. Gunakan komputer untuk membuat grafik permukaan z = x3 +2xy dan bidang
singgungnya serta garis normal di (1,2,5) pada layar sama. Pilih daerah asal
dan titik pandang sehingga Anda memperoleh pandangan bagus terhadap
ketiga objek tersebut.
Penyelesaian :
Halaman 424
39. Jika z = f(u,v), dengan u = xy, v = y/x, dan f mempunyai turunan parsial kedua
kontinu, perlihatkan bahwa : uvy
zy
x
zx 4
2
22
2
22
v
zv
vu
z
2
2
Penyelesaian :
Bukti:
x
z
=x
v
v
z
x
u
u
z
=v
z
x
y
u
zy
2
2
2
x
z
=
v
z
xx
z
x
=
v
z
x
y
u
zy
x 2
=
23
2
2
2 2
x
y
xx
y
x
u
vu
z
x
y
x
v
vu
zy
=v
z
x
y
x
u
vu
z
x
y
x
v
vu
zy
3
2
2
2 2
=v
z
x
y
vu
z
x
y
vu
z
x
y
3
2
2
22
2
2 2
Maka 2
22
x
zx
=v
z
x
y
vu
zy
vu
zy
22
22
2
=v
z
x
y
vu
z
x
yxy
vu
z
x
yxy
2
22
=v
zv
vu
zuv
22
2
y
z
=y
v
v
z
y
u
u
z
=v
z
xu
zx
1
2
2
y
z
=
v
z
xu
zx
y
1
=
v
z
yxu
z
yx
1
=y
u
vu
z
xy
v
vu
zx
22 1
=vu
zx
xvu
zx
x
22 11
=vu
z
vu
z
22
.
Sehingga 2
22
y
zy
=vu
zy
vu
zy
22
22
=vu
z
x
yxy
vu
z
x
yxy
22
=vu
zuv
vu
zuv
22
Jadi 2
22
2
22
y
zy
x
zx
=v
zv
vu
zuv
22
2
vu
zuv
vu
zuv
22
=v
zv
vu
zuv
24
2
.Terbukti
Halaman 425
63. Pentagon dibentuk dengan menempatkan segitiga sama kaki pada
persegipanjang, seperti diperlihatkan dalam gambar. Jika pentagon
mempunyai keliling tetap P, carilah panjang sisi pentagon yang
memaksimumkan luas pentagon.
x
Penyelesaian :
Max : f(x,y,z) = xy + 22
4
1
2
1xzx
Kendala :g(x,y,z) = x + 2y + 2z = P , x,y,z >0
z
θ
z
y y
xf =
x
xz
xxzy2
1.
4
1
1
2
1.
2
1
4
1
2
1
22
22
= 22
222
22
2
22
4
1
8
1
4
1
2
1
4
18
1
4
1
2
1
xz
xxz
y
xz
xxzy
= 22
22
4
14
1
2
1
xz
xzy
xf y
2222
4
12
4
1
2.2
1.
2
1
xz
xz
xz
xxf z
2;2;1 zyx ggg
Metode lagrange : gf
2
4
12
;2;
4
14
1
2
1
2222
22
xz
xzx
xz
xzy
22
4
12 xz
xzx
22
4
12 xzz
222 4 xzz
33
1;3 22 xzxz
x
xz
xzy
2
1
4
14
1
2
1
22
22
x
xx
xx
y2
1
4
1
3
1
4
1
3
1.
2
1
22
22
x
x
xxy
2
1
12
14
1
2
1
2
22
x
x
xy
2
1
12
112
1
2
2
xxy2
1
12
1 2
xxy2
1
12
1
xxy12
1
2
1
= x
32
1
2
1
= x
3
6
1
2
1
pzyx 22
pxxx
3
3
1.2
6
1
2
12
px
3
3
23
3
111
px 32
32
32.
32
px
= p32
xy
3
6
1
2
1
= p32.36
1
2
1
= p
2
13
2
13
3
11
= p
3
6
1
2
1
= p
6
33
pxz 3233
13
3
1
p
3
332
Halaman 426
3. Selembar panjang lembaran baja yang dilapisi seng, selebar w inci harus
ditekuk menjadi bentuk simetri dengan tiga sisi lurus untuk membuat talang
air. Penampang melintang diperlihatkan dalam gambar.
(a) Tentukan ukuran yang memungkinkan aliran maksimum, dengan kata lain,
carilah ukuran yang memberikan kemungkinan luas penampang melintang
maksimum.
(b) Apakah akan lebih baik untuk menekuk baja menjadi talang air dengan
penampang melintang setengah lingkaran daripada penampang melintang
tiga-sisi?
Penyelesaian :
Misal :
22,, zxzyzzyxf
22 zx
xzfx
22
22 .zx
zzzxyfy
=
22
222
zx
zzxy
= 22
22 2
zx
zxy
wyxzyxg 2:,,
0
1
2
gz
gy
gx
Metode lagrange :
222
zx
xz z
zx
xz2
22
z
Max. : 2.2
1.2 22 zxyz
= 222 zxyz Kendala : wyx 2
02
22
22
zx
zxy
zzx
xz2
22
222 zxx
222 44 zxx
22 43 zx
xz 32
1
02
22
22
zx
zxy
0
4
34
3.2
22
22
xx
xxy
xy
xy
x
xy
0
0
2
12
1 2
wyx 2
wx3
3,
3
wy
wx , dan
ww
xz 36
1
33
2
13
2
1
a. Luas maksimum 22 zxzyz
36
3
9.3
6
13
6
1.
3
22 wwww
w
www6
1.
6
3
18
3 2
222 144,012
3
36
1
18
13 www
b. Jika membentuk lingkaran :
L = 22
2
22 159,0
2
1
2
1
2
1ww
wr
Ternyata hasilnya lebih dari luas maksimum. Jadi penampang melintang
talang lebih baik dibentuk legkung setengah lingkaran.
Halaman 427
9. Jika elips x2/a2 + y2/b2 = 1 menutupi lingkaran x2 + y2 = 2y, berapakah nilai a dan b yang meminimumkan luas elpis?
Penyelesaian :
wr
wr
2.2
1
