3

Kamiran

Kamiran

Kamiran Tak Terbatas

Di dalam matematik banyak prinsip pasangan yang dapat melakukan songsangan kembali kepada konsep asalnya. Pasangan yang nyata sekali ialah mendharab dan membahagi. Jika anda mendharab sesuatu nombor dengan satu skala bukan sifar, k, dan kemudian membagikannya semula dengan k, anda akan mendapat nombor yang asal. Situasi ini diterangkan dengan menyatakan dua operasi ini adalah songsangan. Di dalam kalkulus, songsangan bagi pembezaan adalah kamiran.

Katakan anda diperlukan untuk mencari fungsi F(x) dimana pembezaannya adalah,

Anda boleh meneka apakah F(x) di dalam kes ini. Dengan fungsi di atas dengan mudah kita mendapatkan jawapan dengan memeriksanya, iaitu,

disebabkan,

Secara amnya, jika F'(x) = f(x) maka F(x) dikatakan kamiran f(x) dan ditulis sebagai,

Didalam tanda ini,

dan

Contoh 3.1:

Didalam masalah diatas kita boleh menulis,

Walau bagaimanapun, terdapat kemungkinan lain. Sebagai contoh, bagi fungsi berikut

x2 + 6

dan

x2 - 59

di mana pembezaannya adalah 2x disebabkan pembezaan skala adalah sifar. Sebenarnya, kita boleh menambahkan sebarang skala, c, kepada x2 untuk mendapatkan fungsi yang dibezakan menjadi x2. Oleh itu,

Pemalar c, dipanggil sebagai kamiran malar. Secara amnya, jika F(x) yang merupakan satu fungsi yang dibezakan menjadi f(x) oleh itu,

F(x) + c

maka

Secara amnya, prinsip kamiran sesuatu fungsi adalah,

Untuk mengkamirkan fungsi yang mempunyai kuasa, anda hanya menambahkan kuasa fungsi tersebut dengan satu dan kemudian membahagikannya dengan nombor yang anda perolehi. Formula diatas adalah benar apabila n adalah positif, negatif, nombor bulat atau pecahan. Hanya satu pengecualian terhadap peraturan tersebut iaitu apabila n = -1, Prinsip tersebut tidak boleh mengkamirkan fungsi,

disebabkan adalah mustahil untuk membahagikan satu angka dengan sifar. Oleh itu kamiran fungsi ialah

Peraturan asas kamiran yang akhir yang perlu diketahui ialah

Didalam bahagian yang lepas, kita telah membincangkan peraturan pembezaan yang dikenali sebagai pembezaan pemalar, hasil tambah dan hasil tolak sesuatu fungsi. Di dalam peraturan kamiran, prinsip yang sama juga boleh digunakan. ketiga-tiga peraturan tersebut juga boleh digabungkan menjadi satu peraturan tunggal dimana

Contoh 3.2:

(a) Kamirkan

(b) Kamirkan

(c) Kamirkan

(d) Fungsi kos marginal MC = Q2 + 2Q + 4. Carikan fungsi kos jika kos tetap 100

MC = Q2 + 2Q + 4

Pemalar didalam hasil kamiran diatas merupakan kos tetap kepada fungsi tersebut. Oleh kerana kos tetap adalah 100, maka

Kamiran Melalui PenggantianKamiran bagi fungsi yang mengandungi dua rangkap atau lebih seperti

tidak boleh dilakukan secara langsung menggunakan peraturan mudah seperti yang diterangkan didalam bahagian di atas. Walau bagaimanapu, jika kamiran boleh dinyatakan sebagai pekali skala dengan fungsi lain u dan terbitannya , dikamirkan dengan penggantian maka ia boleh dilaksanakan. Dengan menyatakan pengkamir f(x) sebagai fungsi kepada u dan terbitannya dan dikamirkan terhadap x, maka,

Kaedah penggantian ini adalah songsangan kepada peraturan rantaian di dalam kalkulus pembezaan.

Contoh 3.3:

Kamirkan

Penyelesaian:

1. Pastikan pengkamir boleh dinyatakan sebagai pekali skala y dan . Untuk u, ambil fungsi dimana pembolehubah bebas yang mempunyai kuasa tertinggi.

Kataka u = x3 + 2

Oleh itu

Menyelesaikan untuk dx

Menggantikan u = x3 + 2 dan ke dalam persamaan asal kita memperolehi

2. Kamirkan fungsi yang baru terhadap u, maka

3. Menggantikan u = x3 + 2 maka,

Contoh 3.4:

Kamirkan 4x(x + 1)3 dx

Penyelesaian:

Katakan u = x + 1

dx = du

Oleh itu

Oleh kerana x pekali bukan skala maka ia tidak boleh difaktorkan, oleh itu pengkamir tidak boleh ditransformasikan kepada pekali skala . Oleh iti kaedah penggantian tidak boleh digunakan di dalam kes ini.

Kamiran Mengikut Bahagian

Jika pengkamir bagi fungsi x tidak boleh dinyatakan sebagai pekali skala u, kamiran mengikut bahagian biasanya amat berguna. Kaedah ini diterbitkan dari proses soangsangan pembezaan bagi hasil dharab. Ingat kembali,

dengan mengkamirkan pembezaan di atas memberikan

Kemudian menyelesaikan untuk kamiran pertama dibahagian sebelah kanan,

Bagi fungsi yang lebih rumit, jadual kamiran biasanya digunakan. Jadual kamiran memberikan formula untuk kamiran sebanyak 500 fungsi yang berbeza, dan boleh didapati dari buku panduan matematik.

Contoh 3.5:

Kamirkan 4x(x + 1)3 dx menggunakan kamiran mengikut bahagian.

Penyelesaian:

1. Asingkan kamiran kepada dua bahagian sebagaimana formula didalam (1).

Katakan f(x) = 4x

g(x) = (x + 1)3

Jika

f(x) = 4x,

maka

f'(x) = 4.

dan jika

g(x) = (x + 1)3

maka

dan boleh dikamirkan dengan mudah sebagai

dimana c boleh diabaikan untuk sementara.

2. Gantikan nilai f(x), g(x), dan f'(x) didalam (1); dan perhatikan g'(x) tidak digunakan didalam formula

3. Menggunakan kamiran yang biasa bagi kamiran yang tinggal, maka

Contoh 3.6:

Kamirkan

Penyelesaian:

Katakan f(x) = 2x

Oleh itu f'(x) = 2

Kamiran Terbatas

Salah satu penggunaan kamiran adalah untuk mencari keluasan pada sesuatu geraf. Di dalam Rajah 3.1 adalah kawasan yang dibataskan oleh keluk y x2, garisan x = 1, x = 2 dan paksi x. Sari cara untuk mencari keluasan yang berwarna dengan cepat dan tepat ialah menggunakan kamiran. Kita mulakan dengan kamiran fungsi

f(x) = x2

Untuk mendapatkan

Didalam contoh, kita hendak mencari keluasan dibawah keluk di antara x = 1 dan x = 2, oleh itu kita menilai

Akhir sekali, kita tolakkan F(1) dari F(2) untuk memperolehi

Angka ini merupakan nilai yang tepat bagi kawasan yang dilakarkan didalam Rajah 3.1. Diberi hubungan dengan kamiran kita tuliskan kawasan ini sebagai:

Secara amnya, kamiran terbatas ialah

menandakan keluasan dibawah graf f(x) diantara x = a dan x = b sebagaimana ditunjukkan di dalam Rajah 3.2. Nombor a dan b dipanggil limit kamiran dan diandaikan di dalam bahagian ini b > a dan sebagaimana ditunjukkan di dalam Rajah 3.2.

Teknik untuk menilai kamiran terbatas adalah sebagaimana berikut:

1.Fungsi f(x) diperolehi dengan kamirkan terhadap f(x)

2.Fungsi baru f(x) kemudian dinilaikan pada limit x = a dan x = b untuk mendapatkan F(x) dan F(x)

3.Tolakkan nombor kedua, F(b) dengan nombor pertama, F(a) untuk mendapatkan jawapan

F(b) - F(a)

Secara simbol

Proses untuk menilaikan fungsi pada dua titik x yang berbeza dan menolakkannya antara satu sama lain yang digunakan dengan kerap di dalam matematik adalah menggunakan tatatanda khusus. Kita tuliskan sebagai

sebagai ringkasan untuk F(b) - F(a) dan oleh itu kamiran terbatas dinilaikan sebagai

dimana F(x) merupakan kamiran tak terbatas f(x). menggunakan tatatanda ini penilaian bagi

adalah ditulis sebagai

Perhatikan tidak perlu untuk memasukkan nilai pemalar bagi kamiran disebabkan ia akan dihapuskan apabila menolak F(a) dari F(b).

Contoh 3.7:

(a)

(b)

Peraturan Kamiran Terbatas

1. Songsangan susunan had akan mengubah tanda kamiran terbatas

2. Jika had atas kamiran sama dengan had bawah, nilai kamiran terbatas adalah sifar

3. Kamiran terbatas boleh dinyatakan sebagai jumlah komponen sub- kamiran

Contoh 3.8:

Untuk menggambarkan keadaan yang dinyatakan diatas, kamiran terbatas berikut adalah dinilaikan

.

.

Penggunan Kamiran di dalam Ekonomi

Lebihan Pengguna

Fungsi permintaan sebagaimana didalam Rajah 3.3, memberikan harga yang berbeza untuk pengguna membayaar berbagai kuantiti barangan. Pada titik Q = Qo harganya ialah P = Po.. Jumlah wang yang diperuntukkan keatas Qo unit ialah QoPo yang memberikan keluasan kawasan OABC. Katakan, Po ialah harga yang sedia dibayar oleh pengguna bagi unit terakhir yang dibeli, iaitu Qo unit. Untuk kuantiti sehingga mereka sebenarnya sanggup membayar harga yang lebih tinggi daripada yang diberi oleh keluk permintaan. Oleh itu, kawasan yang berwarna BCD mewakili keuntungan kepada pengguna membayar harga tetap dan dipanggil lebihan pengguna. Nilai lebihan pengguna ini boleh diperolehi dari

kawasan BCD = kawasan OABD - kawasan OABC

Luas kawasan OABD ialah luas kawassan dibawah keluk permintaan, P = f(q), diantara Q = 0 dan Q = Qo oleh itu ia sama dengan

Keluasan kawasan OABC ialah keluasan empat persegi dengan lebar Qo dan tinggi Po, oleh itu

QABC = Qo Po

Oleh yang demikian

Contoh 3.9:

Kirakan lebihan pengguna pada Q = 5 bagi fungsi permintaan

P = 30 - 4Q

Di dalam kes ini

f(Q) = 30 - 4Q

dan Qo = 5, oleh itu harga ialah

Penyelesaian:

Formula lebihan pengguna diberi oleh

memberikan

Lebihan Pengeluar

Fungsi penawaran, P = g(q), didalam Rajah 3.4 memberikan harga yang berbeza dimana pengeluar bersedia untuk menawarkan berbagi kuantiti barangan. Pada Q = Qo harga ialah P = Po. Andaikan semua keluaran dijual, jumlah pendapatan yang diterima ialah PoQo dan diberi oleh keluasan kawasan empatsegi OABC

Katakan Po ialah harga dimana pengeluar bersedia untuk menawarkan unit terakhir, iaitu Qo unit. Untuk kuantiti sehingga Qo mereka sebenarnya sanggup untuk menerima harga yang lebih rendah diberi oleh keluk penawaran. Kawasan berwarna BCD adalah mewakili keuntungan kepada pengeluar menjual pada harga tetap Po dan dinamakan lebihan pengeluar, PS. Nilai PS adalah diperolehi dari

kawasan BCD = kawasan OABC - kawasan OABD

Kawasan OABD ialah empatsegi dengan lebar Qo dan tinggi Po, oleh itu

Keluasan OABD ialah keluasan dibawah keluk penawaran, P = q(Q) diantara Q = 0 dan Q = Qo, oleh itu sama dengan

oleh itu

Contoh 3.10:

Diberi fungsi permintan sebagai dan fungsi penawaran sebagai . Carikan nilai lebihan pengeluar dengan mengandaikan persaingan sempurna.

Penyelesaian:

Oleh kerana andaian kita ialah persaingan sempurna maka harga adalah ditentukan oleh pasaran. Sebelum kita mengira lebihan pengeluar kita terlebih dahulu perlu untuk mengira harga dan kuantiti kesimbangan. Dengan menggunakan tatatanda biasa bagi nilai QD dan QS oleh Q maka fungsi permintaan dan penawaran diberi oleh

dan

oleh itu

dan penyelesaiannya ialah . Kita biasanya tidak menghirukan nilai negatif kerana tidak memberikan sebarang nilai ekonomi. Oleh itu kuantiti kesaimbangan ialah 4. Harga yang berpadanan sama ada untuk penawaran dan permintaan boleh diperolehi dari fungsi permintaan, adalah

Formula bagi lebihan pengeluar ialah

memberikan nilai

Aliran Pelaboran

Pelaboran bersih, I, didefinisikan sebagai kadar perubahan stok modal, oleh itu

Disini, (t) menandakan aliran wang, diukur didalam ringgit per tahun, dan K(t) ialah jumlah modal terkumpul pada masa t sebagai hasil dari aliran pelaboran dan diukur didalam ringgit

Diberi formula stok modal didalam sebutan masa, kita hanya kamirkannya untuk mencari pelaboran bersih. Sebaliknya, jika kita tahu fungsi pelaboran bersih, maka kita kamirkan untuk mencari stok modal. Khususnya, untuk mengira pembentukan modal didalam tempohmasa t = t1 hingga t = t2 kita nilaikan kamiran

Contoh 3.11:

Jika aliran pelaboran ialah

Kirakan:

a.Pembentukan modal dari akhir tahun pertama hingga akhir tahun keempat

b.bilangan tahun diperlukan sebelum stok modal melebehi RM100,000

Penyelesaian

(a)Didalam bahagian ini kita pelu mengira pembentukan modal dari t = 1 hingga t = 4, oleh itu kita menilai kamiran berikut

(b)Didalam bahagian ini kita perlu mengira bilangan tahun yang diperlukan untuk mengumpul sejumlah RM100,000. Selepas T tahun stok modal ialah

Kita dikehendaki mencari nilai T, oleh itu

Kamirannya ialah

oleh itu T

Oleh itu untuk mencapai nilai RM100,000 adalah lebih kurang 6.65 tahun

LATIHAN 3

1. Carikan kamiran yang berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

2. Ulang soalan 1 bagi setiap yang berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

3. Carikan kamiran bagi y = , jikan keadaan awal y = 0 apabila x = 0.

4. Carikan kamiran bagi y = (2x5 - 3x-1/4) dx jika keadaan awal y = 6 apabila x = 0.

5. Carkan kamiran y = dx jika y = 21 apabila x = 1.

6. Ulang soalan 1 bagi setiap yang berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

7. Cari kamiran yang berikut menggunakan kaedah penggantian:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

8. Gunakan kamiran mengikut bahagian bagi kamiran berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

9. Kadar pelaburan bersih = I = 40t3/5 dan stok modal pada t = 0 adalah 75. Carikan fungsi modal, K.

10. Kadar pelaburan bersih ialah I = 10t1/3 dan stok modal pada t = 1 ialah 85. Carikan K.

11. Kos marginal diberi oleh MC = = 25 + 30Q - 9Q2. Kos tetap ialah 55. Carikan (a) jumlah kos, (b) kos purata dan (c) fungsi kos berubah.

12. Jika MC = dTC/dQ = 32 + 18Q - 12Q2 dan FC = 43. Carikan (a) TC, (b) AC dan (c) fungsi VC.

13. Jika hasil marginal diberi oleh MR = 60 - 2Q - 2Q2. Carikan (a) fungsi jumlah hasil dan fungsi permintaan P = f(Q).

14. Carikan (a) fungsi jumlah hasil dan (b) fungsi permintaan jika MR = 84 - 4Q - Q2.

15. Dengan C = f(Y), kecenderungan mengguna marginal diberi oleh MPC = = f'(Y). Jika MPC = 0.8 dan penggunaan adalah 40 jika pendapatan sifar, carikan fungsi penggunaan.

16. Jika MPC = 0.6 + 01Y1/3 dan C = 45 apabila Y = 0, carikan fungsi penggunaan.

17. Jika MC = 12e0.5Q dan FC = 36, carikan fungsi jumlah kos.

18. Jika MC = 16e0.4Q dan FC = 100, carikan jumlah kos.

19. Nilaikan setiap kamiran berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

20.Gunakan kaedah penggantian untuk mengkamirkan persamaan berikut:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

21.Kamirkan persamaan berikut menggunakan kamiran mengikut bahagian:

a.

b.

c.

22. Jika fungsi permintaan, P = 45 - 0.5Q, carikan lebihan pengguna apabila Po = 32.5 dan Qo = 25.

23.Jika fungsi penawaran, P = (Q + 3)2, kirakan lebihan pengeluar pada Po = 81 dan Qo = 6.

24.Jika fungsi permintaan, Pd = 25 - Q2, dan fungsi penawaran, Ps = 2Q + 1. Andaikan persaingan sempurna, kirakan (a) lebihan pengguna, dan (b) lebihan pengeluar.

25.Jika fungsi permintaan Pd = 113 - Q2, dan fungsi penawaran Ps = (Q + 1)2. Andaikan pasaran persaingan sempurna, kirakan (a) lebihan pengguna, dan (b) lebihan pengeluar.

26.Di dalam keadaan persaingan monopoli, kuantiti yang dijual dan harga pasaran adalah ditentukan oleh fungsi permintaan. Jika fungsi permintaan bagi monopoli untuk memaksimumkan keuntungan dinyatakan sebagai P = 274 - Q2 dan MC = 4 + 3Q, kirakan lebihan pengguna.

27.Jika diberi, I(t) = 9t1/2, kirakan pembentukkan modal didalam (a) 8 tahun, dan (b) tahun kelima hingga tahun ke lapan [selang masa (4,8)].

5

((

PAGE 13

_1067844044.unknown

_1067845576.unknown

_1067846126.unknown

_1067850460.unknown

_1067850865.unknown

_1067851048.unknown

_1067851097.unknown

_1067851150.unknown

_1067851474.unknown

_1067851497.unknown

_1067851155.unknown

_1067851166.unknown

_1067851119.unknown

_1067851139.unknown

_1067851114.unknown

_1067851079.unknown

_1067851086.unknown

_1067851063.unknown

_1067851072.unknown

_1067850983.unknown

_1067851032.unknown

_1067850952.unknown

_1067850751.unknown

_1067850805.unknown

_1067850830.unknown

_1067850782.unknown

_1067850548.unknown

_1067850711.unknown

_1067850525.unknown

_1067847400.unknown

_1067850209.unknown

_1067850344.unknown

_1067850400.unknown

_1067850303.unknown

_1067850029.unknown

_1067850039.unknown

_1067847446.unknown

_1067846284.unknown

_1067846347.unknown

_1067847167.unknown

_1067847362.unknown

_1067847160.unknown

_1067847145.unknown

_1067846300.unknown

_1067846247.unknown

_1067846268.unknown

_1067846170.unknown

_1067845751.unknown

_1067845994.unknown

_1067846029.unknown

_1067846053.unknown

_1067846012.unknown

_1067845875.unknown

_1067845905.unknown

_1067845926.unknown

_1067845851.unknown

_1067845660.unknown

_1067845715.unknown

_1067845734.unknown

_1067845684.unknown

_1067845582.unknown

_1067845586.unknown

_1067845579.unknown

_1067845360.unknown

_1067845498.unknown

_1067845542.unknown

_1067845551.unknown

_1067845553.unknown

_1067845545.unknown

_1067845518.unknown

_1067845535.unknown

_1067845509.unknown

_1067845417.unknown

_1067845433.unknown

_1067845456.unknown

_1067845428.unknown

_1067845401.unknown

_1067845411.unknown

_1067845378.unknown

_1067844301.unknown

_1067845285.unknown

_1067845302.unknown

_1067845356.unknown

_1067845293.unknown

_1067845177.unknown

_1067845180.unknown

_1067845172.unknown

_1067844113.unknown

_1067844139.unknown

_1067844143.unknown

_1067844116.unknown

_1067844077.unknown

_1067844105.unknown

_1067844072.unknown

_1067842973.unknown

_1067843580.unknown

_1067843897.unknown

_1067843962.unknown

_1067843989.unknown

_1067843992.unknown

_1067843969.unknown

_1067843941.unknown

_1067843947.unknown

_1067843928.unknown

_1067843672.unknown

_1067843769.unknown

_1067843884.unknown

_1067843766.unknown

_1067843592.unknown

_1067843608.unknown

_1067843589.unknown

_1067843175.unknown

_1067843528.unknown

_1067843567.unknown

_1067843576.unknown

_1067843544.unknown

_1067843416.unknown

_1067843500.unknown

_1067843250.unknown

_1067843052.unknown

_1067843067.unknown

_1067843109.unknown

_1067843064.unknown

_1067843011.unknown

_1067843045.unknown

_1067842988.unknown

_1067842412.unknown

_1067842611.unknown

_1067842808.unknown

_1067842907.unknown

_1067842963.unknown

_1067842903.unknown

_1067842679.unknown

_1067842791.unknown

_1067842718.unknown

_1067842745.unknown

_1067842634.unknown

_1067842433.unknown

_1067842507.unknown

_1067842601.unknown

_1067842493.unknown

_1067842420.unknown

_1067842430.unknown

_1067842416.unknown

_1067842170.unknown

_1067842357.unknown

_1067842394.unknown

_1067842408.unknown

_1067842369.unknown

_1067842342.unknown

_1067842354.unknown

_1067842185.unknown

_1067841997.unknown

_1067842011.unknown

_1067842164.unknown

_1067842002.unknown

_1060537747.unknown

_1060537750.unknown

_1060537751.unknown

_1060537749.unknown

_1060537292.unknown

_1060537746.unknown

_1060537437.unknown

_1060537130.unknown

_1060537291.unknown