Kalkulus merupakan salah satu cabang matematik yang mempelajari tentang kadar

perubahan termasuk had pembezaan, pengamiran fungsi terbitan dan deret tak

terhingga. Kalkulus pembezaan berpusat kepada menganalisis kadar perubahan

dalam fungsi. Kalkulus pengamiran meliputi pengumpulan kuantiti termasuk luas di

bawah lengkung dan isipadu kawasan. Kalkulus digunakan secara meluas dan

diaplikasikan dalam bidang tertentu seperti bidang ekonomi sains dan kejuruteraan.

1. Berdasarkan pernyataan di atas kumpulkan bahan-bahan dan maklumat berkaitan,

tulis satu esei tentang konsep kalkulus dan huraikan penggunaan kalkulus dalam

situasi kehidupan harian.

Kalkulus adalah cabang ilmu matematik yang merangkumi had, terbitan, sayaran, dan

deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri

adalah ilmu mengenai bentuk dan algebra adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk

memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam

bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknikal; serta dapat menyelesaikan pelbagai masalah

yang tidak dapat diselesaikan dengan algebra asas. Kalkulus mempunyai dua cabang

utama, iaitu kalkulus pembezaan dan kalkulus sayaran yang saling berhubungan melalui

teorem asas kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematik

lain yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum

dinamakan analisis matematik.

Penyelidiakan tentang topik kalkulus telah dijalankan pada awal kurun ke-17. Sir Isaac

Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz telah menjalankan penyelidikan secara berasingan

dan telah memberi sumbangan terbesar dalam kajian tersebut. Penyelidikan Sir Isaac

Newton bermula apabila University of Cambridge ditutup pada tahun 1665 yang

menyebabkan beliau terpaksa pulang ke tempat asalnya iaitu Lincolnshire. Selama 18 bulan

di sana, beliau telah mencipta ‘Method of Fluxions’, teori graviti dan teori cahaya. Berikutan

dengan penciptaan teori-teori tersebut, beliau telah menulis sebuah buku yang berjudul ‘De

Methodis Serierum et Fluxionum’ pada tahun 1671. Namun, Sir Isaac Newton telah gagal

untuk menerbitkan buku tersebut. Buku tersebut tidak diterbitkan sehingga John Colson

berjaya menerbitkannya dalam versi Bahasa Inggeris pada tahun 1736. Walau

bagaimanapun, buku hasil tulisan Sir Isaac Newton tidak mempunyai simbol dan rumus.

Gottfried Wilhelm Leibniz telah memulakan penyelidikan beliau pada tahun 1673. Beliau

merupakan tokoh yang telah mencipta simbol pembezaan dan pengamiran. Penerbitan

pertamanya adalah pada tahun 1684 iaitu ‘Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque

Tangentibus’ dalam ‘Acta Eruditorum’, sebuah surat khabar yang diwujudkan pada tahun

1682 di Leipzig. Kemudian dua orang adik-beradik Bernoulli iaitu Jacob dan Johann

mengambil idea tersebut dan mengembangkannya. Sejak kurun ke-17, penyelidikan tentang

kalkulus telah mula berkembang dan mencapai tahap seperti yang sedia ada sekarang.

Zaman kuno memperkenalkan beberapa idea yang menyebabkan terpisahkan kalkulus,

tetapi tampaknya tidak telah mengembangkan ide-ide ini dengan cara yang ketat dan

sistematis. Perhitungan volume dan daerah, salah satu tujuan dari integral kalkulus, dapat

ditemukan di Mesir Moskow papirus (c. 1820 SM), tetapi formula instruksi belaka, dengan

indikasi untuk metode, dan beberapa dari mereka salah. Sejak usia matematika Yunani ,

Eudoxus (sekitar 408-355 SM) menggunakan metode kelelahan , yang prefigures konsep

batas, untuk menghitung luas dan volume, sementara Archimedes ( 287-212 SM)

mengembangkan gagasan ini lebih jauh , menciptakan heuristik yang menyerupai metode

kalkulus integral. Para metode kelelahan kemudian diciptakan kembali di Cina oleh Liu Hui

pada abad ke-3 untuk menemukan luas lingkaran. Pada abad ke-5 , Zu Chongzhi

membentuk metode yang kemudian akan disebut prinsip Cavalieri 's untuk mencari volume

sebuah bola .

Dalam matematika abad ke-14 India Madhava dari Sangamagrama dan sekolah Kerala

astronomi dan matematika menyatakan banyak komponen kalkulus seperti deret Taylor ,

terbatas seri perkiraan, sebuah uji integral untuk konvergensi, bentuk awal diferensiasi,

Istilah integrasi dengan istilah, metod iteratif untuk solusi non-linear persamaan, dan teori

bahwa area di bawah kurva adalah integralnya. Beberapa mempertimbangkan Yuktibhāṣā

seb Garis singgung pada (x, f (x)). F turunan '(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah

kemiringan (naik lebih dari menjalankan) garis singgung dengan kurva pada titik tersebut.

Diferensial kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari

turunan dari suatu fungsi. Proses untuk menemukan turunan disebut diferensiasi. Mengingat

fungsi dan titik dalam domain, turunan pada titik itu adalah cara pengkodean perilaku skala

kecil fungsi di dekat titik itu. Dengan menemukan turunan dari fungsi pada setiap titik dalam

domainnya, adalah mungkin untuk menghasilkan fungsi baru, yang disebut fungsi turunan

atau hanya turunan dari fungsi asli. Dalam jargon matematika, derivatif adalah operator

linear yang input dan output fungsi fungsi kedua. Ini lebih abstrak dari banyak proses

dipelajari dalam aljabar dasar, di mana fungsi biasanya masukan angka dan output nomor

lain. Sebagai contoh, jika fungsi penggandaan diberi masukan tiga, maka itu output, dan

enam jika fungsi mengkuadratkan diberi masukan tiga, maka itu output sembilan. Derivatif,

bagaimanapun, dapat mengambil fungsi mengkuadratkan sebagai masukan. Ini berarti

bahwa derivatif mengambil semua informasi dari mengkuadratkan fungsi seperti bahwa dua

dikirim ke empat, tiga dikirim ke sembilan, empat dikirim ke enam belas, dan sebagainya-

dan menggunakan informasi ini untuk menghasilkan fungsi lain. (Fungsi ini menghasilkan

ternyata menjadi fungsi penggandaan.)

Simbol yang paling umum untuk derivatif adalah suatu tanda apostrof seperti disebut

prima . Dengan demikian, turunan dari fungsi f adalah f ', diucapkan "f prima." Misalnya, jika

f (x) = x 2 adalah fungsi mengkuadratkan, maka f '(x) = 2 x adalah turunannya, fungsi

penggandaan.

Jika input merupakan fungsi waktu, maka turunan yang mewakili perubahan yang

berkenaan dengan waktu. Misalnya, jika f adalah fungsi yang mengambil waktu sebagai

input dan memberikan posisi bola pada waktu itu sebagai output, maka turunan dari f adalah

bagaimana posisi berubah dalam waktu, yaitu, itu adalah kecepatan dari bola.

Jika suatu fungsi linear (yaitu, jika grafik fungsi adalah garis lurus), maka fungsi tersebut

dapat ditulis sebagai y = mx + b, di mana x adalah variabel independen, y adalah variabel

dependen, b adalah y-intercept, dan:

Hal ini memberikan nilai yang pasti untuk kemiringan garis lurus. Jika grafik fungsi

bukanlah garis lurus, bagaimanapun, maka perubahan y dibagi dengan perubahan x

bervariasi. Derivatif memberikan makna yang tepat dengan gagasan perubahan output

terhadap perubahan input. Agar konkret, marilah f fungsi, dan memperbaiki titik dalam

domain dari f. (A, f (a)) adalah titik pada grafik fungsi. Jika h adalah angka mendekati nol,

maka h + adalah angka yang dekat dengan. Oleh karena itu (a + h, f (a + h)) dekat dengan

(a, f (a)). Kemiringan antara dua titik adalah

Ungkapan ini disebut hasil bagi perbedaan. Sebuah garis melalui dua titik pada kurva

disebut garis garis potong, sehingga m adalah kemiringan garis garis potong antara (a, f (a))

dan (a + h, f (a + h)). Garis garis potong hanya perkiraan dengan perilaku fungsi tersebut

pada titik karena itu tidak menjelaskan apa yang terjadi antara a dan h +. Hal ini tidak

mungkin untuk menemukan perilaku dengan dengan mengatur jam ke nol karena ini akan

memerlukan membagi dengan nol, yang tidak mungkin. Derivatif didefinisikan dengan

mengambil batas sebagai h cenderung nol, yang berarti bahwa ia menganggap perilaku f

untuk semua nilai kecil h dan ekstrak nilai konsisten untuk kasus ketika h sama dengan nol:

Secara geometris, derivatif adalah kemiringan dari garis singgung pada grafik f pada.

Garis singgung batas garis garis potong seperti derivatif adalah batas quotients perbedaan.

Untuk alasan ini, derivatif kadang-kadang disebut kemiringan fungsi f. Berikut ini adalah

contoh khusus ini, turunan dari fungsi mengkuadratkan di input 3. Misalkan f (x) = x 2

menjadi fungsi mengkuadratkan.

F turunan '(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung

terhadap kurva yang pada saat itu. Kemiringan ini ditentukan dengan mempertimbangkan

nilai limit dari lereng garis garis potong. Di sini fungsi yang terlibat (ditarik merah) adalah f (x)

= x 3 - x. Garis singgung (dalam hijau) yang melalui titik (-3 / 2, -15 / 8) memiliki kemiringan

23/4. Perhatikan bahwa skala vertikal dan horisontal dalam gambar ini berbeda.

Kemiringan garis singgung fungsi mengkuadratkan pada titik (3,9) adalah 6, artinya, ia

akan naik enam kali lebih cepat seperti yang akan ke kanan. Proses batas yang baru saja

dijelaskan dapat dilakukan untuk setiap titik dalam domain fungsi mengkuadratkan. Ini

mendefinisikan fungsi turunan dari fungsi mengkuadratkan, atau hanya turunan dari fungsi

mengkuadratkan untuk pendek. Sebuah perhitungan yang mirip dengan yang di atas

menunjukkan bahwa turunan dari fungsi mengkuadratkan adalah fungsi penggandaan.agai

teks pertama pada kalkulus.

Integral kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua

konsep terkait, integral tak tentu dan integral tertentu. Proses menemukan nilai terpisahkan

itu disebut integrasi. Dalam bahasa teknis, kalkulus integral mempelajari dua terkait operator

linear .

Integral tak tentu adalah antiturunan , operasi terbalik dengan derivatif. F adalah integral

tak tentu dari f ketika f adalah turunan dari F. (Ini penggunaan huruf besar dan huruf kecil

untuk fungsi dan integral tak tentu adalah umum dalam kalkulus.)

Masukan integral tertentu fungsi dan output sebuah angka, yang memberikan daerah

antara grafik input dan sumbu x . Definisi teknis dari integral tertentu adalah batas dari

sejumlah bidang persegi panjang, yang disebut penjumlahan Riemann .

Sebuah contoh yang memotivasi adalah jarak perjalanan dalam waktu tertentu. Jika

kecepatan adalah konstan, perkalian hanya diperlukan, tetapi jika perubahan kecepatan,

maka kita perlu metode yang lebih kuat untuk menemukan kejauhan. Salah satu metode

tersebut adalah untuk perkiraan jarak yang ditempuh oleh putus waktu ke interval pendek

banyak waktu, kemudian mengalikan waktu yang telah berlalu di masing-masing interval

dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian mengambil jumlah (a

jumlah Riemann ) dari perkiraan jarak tempuh pada setiap interval. Ide dasarnya adalah

bahwa jika hanya berlalu waktu singkat, maka kecepatan akan tetap kurang lebih sama.

Namun, jumlah Riemann hanya memberikan perkiraan jarak yang ditempuh. Kita harus

mengambil batas semua jumlah Riemann seperti untuk menemukan jarak yang tepat

bepergian.

Integrasi dapat dianggap sebagai tolok area di bawah kurva, didefinisikan oleh f (x),

antara dua titik (di sini a dan b). Jika f (x) pada diagram di sebelah kiri mewakili kecepatan

seperti itu bervariasi dari waktu ke waktu, jarak yang ditempuh (antara waktu diwakili oleh a

dan b) adalah luas daerah yang diarsir s. Untuk perkiraan bahwa area, metode intuitif adalah

dengan membagi jarak antara a dan b menjadi beberapa segmen yang sama, panjang

setiap segmen diwakili oleh Ax simbol. Untuk setiap segmen kecil, kita dapat memilih satu

nilai dari fungsi f (x). Call bahwa h nilai. Maka luas persegi panjang dengan basis Ax dan

tinggi h memberikan jarak (waktu Ax dikalikan dengan kecepatan h) perjalanan di segmen

itu. Terkait dengan setiap segmen adalah nilai rata-rata dari fungsi di atas itu, f (x) = h.

Jumlah dari semua persegi panjang seperti memberikan perkiraan daerah antara sumbu

dan kurva, yang merupakan perkiraan dari total jarak yang ditempuh. Sebuah nilai yang

lebih kecil untuk Ax akan memberikan persegi panjang lebih dan dalam kebanyakan kasus

pendekatan yang lebih baik, tapi untuk jawaban yang tepat kita perlu mengambil batas

sebagai Ax mendekati nol.

Simbol integrasi adalah , S memanjang (S singkatan dari "jumlah"). Integral tertentu

ditulis sebagai: dan dibaca "integral dari b ke f-of-x terhadap x." Para notasi Leibniz dx

dimaksudkan untuk menyarankan membagi area di bawah kurva ke dalam jumlah tak

terbatas persegi panjang, sehingga Ax lebar mereka menjadi dx sangat kecil. Dalam

formulasi dari kalkulus didasarkan pada batas, nota harus dipahami sebagai operator yang

mengambil fungsi sebagai masukan dan memberikan nomor, daerah itu, sebagai output; dx

bukan angka, dan tidak sedang dikalikan dengan f (x). Integral tak tentu, atau antiturunan,

tertulis: Fungsi yang berbeda dengan hanya konstan memiliki turunan yang sama, dan oleh

karena itu antiturunan dari sebuah fungsi yang diberikan sebenarnya adalah keluarga fungsi

yang berbeda hanya dengan suatu konstanta. Karena turunan dari fungsi y = x ² + C, di

mana C adalah setiap konstan, adalah y '= 2 x, antiturunan dari yang terakhir diberikan oleh:

Sebuah konstan belum ditentukan seperti C di antiturunan dikenal sebagai konstanta

integrasi.

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani,

Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa

pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan

prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat

terhadap perkembangan fisika. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan

dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral

meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi

lebih jauh meliputi deret pangkat danderet Fourier. Kalkulus juga digunakan untuk

mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama

berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang

meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang

filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus

memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret tak terhingga, yang kemudian berhasil

memecahkan paradoks tersebut.

Ketika berlakunya pergerakan atau pertumbuhan, atau berlakunya daya yang berubah-

ubah bagi menghasilkan pecutan maka ketika itu kalkulus merupakan matematik yang tepat

untuk digunakan. Keadaan ini benar pada zaman permulaan subjek tersebut, hinggalah ke

sekarang ini. Kalkulus mula dicipta untuk memenuhi keperluan matematik bagi ahli-ahli

sains di abad ketujuh belas. Kalkulus pembeza menangani masalah mengira kadar

perubahan. Ia membolehkan seseorang mentakrif kecerunan lengkung, mengira halaju dan

pecutan jasad yang bergerak, mendapat sudut tembakan meriam yang akan memberikan

julat yang terbesar, dan untuk meramal masa planet akan berada paling dekat atau paling

jauh di antara satu sama lain. Kalkulus sayaran menangani masalah menentukan fungsi

daripada maklumat mengenai kadar perubahannya. Ia membolehkan seseorang mengira

kedudukan akan datang sesuatu jasad berdasarkan kedudukan sekarang dan mendapat

pengetahuan mengenai daya yang bertindak ke atasnya, untuk mendapatkan luas rantau

tak sekata dalam satah, untuk mengukur panjang lengkung, dan untuk menentukan

kedudukan pusat jisim pepejal sembarangan.

Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan

teknikal; serta dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan

algebra asas. Kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu kalkulus pembezaan dan

kalkulus sayaran yang saling berhubungan melalui teorem asas kalkulus. Pelajaran kalkulus

adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematik lain yang lebih tinggi, yang khusus

mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematik.

Sesungguhnya pada hari ini, kalkulus dan lanjutannya dalam analisis matematik telah

berkembang luas. Ahli ekonomi menggunakan kalkulus untuk meramal trend secara

menyeluruh. Ahli Osianografi menggunakan kalkulus untuk merumus teori mengenai arus

lautan dan ahli kaji cuaca menggunakannya untuk menghurai aliran udara pada lapisan atas

armosfera. Ahli Biologi menggunakan kalkulus untuk meramal saiz populasi dan untuk

menghurai cara pemangsa seperti serigala berinteraksi dengan mangsa mereka. Penyelidik

perubatan menggunakan kalkulus untuk mereka bentuk alat ultrabunyi dan sinar-x bagi

meneliti organ dalam badan. Ahli sains angkasa lepas menggunakan kalkulus untuk mereka

bentuk roket dan menerokai planet yang jauh. Ahli psikologi menggunakan kalkulus untuk

memahami ilusi optic dalam persepsi penglihatan. Ahli fizik menggunakan kalkulus untuk

mereka bentuk system pandu arah inersia dan untuk mengkaji tabii masa dan alam

semesta. Jurutera hidraul menggunakan kalkulus untuk mendapatkan corak penutup yang

selamat bagi injap dalam talian paip. Jurutera elektrik menggunakannya untuk mereka

bentuk alat kelip stroboskop dan untuk menyelesaikan persamaan pembeza yang

mnghuraikan aliran arus elektrik dalam computer. Pembuat alat sukan menggunakan

kalkulus untuk mereka bentuk reket tenis dan pemukul besbol. Penganalisis bursa saham

menggunakan kalkulus untuk meramal harga dan menilai risiko kadar faedah. Ahli fisiologi

menggunakan kalkulus untuk menghurai impuls elektrik dalam neuron yang terdapat dalam

system saraf manusia. Syarikat farmasi menggunakan kalkulus untuk menggunakan

menentukan tahap inventori yang menguntungkan manakala syarikat pembalakan

menggunakan kalkulus untuk memutuskan masa pembalakan yang paling menguntungkan.

Senarai ini tidak berkesudahan, kerana hamper setipa bidang professional hari ini ada

menggunakan sedikit sebanyak kalkulus.

Sumbangan kalkulus dalam bidang sains memang tidak dapat disangkal lagi. Pelbagai

kajian dan penemuan baru dapat dicipta apabila ilmu sains digabungkan dengan ilmu

kalkulus sekaligus memantapkan dan mengukuhkan lagi penemuan tersebut. Contohnya,

kalkulus pembezaan digunakan dalam kajian mengenai pertumbuhan terhad populasi. Lebih

khusus lagi, untuk melihat bahawa kita boleh membangunkan model grafik daripada andaian

tentang kadar perubahan. Pertumbuhan natural dalam populasi biologikal bermula dengan

andaian kadar pertumbuhan adalah berkadaran terus dengan populasi dan tiada sekatan ke

atas pertumbuhan. Anggapan ini membawa kepada formula model yang eksponen. Dalam

modul ini, kita modelkan populasi dan hadkan saiz populasi berkenaan. Bermula daripada

andaian teori tentang kadar pertumbuhan, kita mengkaji apakah andaian ini meramalkan

tentang populasi. Selain daripada itu, ahli biologi turut menggunakan kalkulus pembezaan

untuk menentukan dengan tepat kadar pertumbuhan bakteria apabila pelbagai

pembolehubah seperti suhu dan sumber makanan berubah. Kajian ini membantu dalam

meningkatkan kadar pertumbuhan bakteria tertentu yang elok dan membantutkan kadar

pertumbuhan bakteria yang berbahaya.

2. Kenal pasti dua contoh penggunaan kalkulus yang anda anggap penting dan tulis

laporan mengenai kepentingannya terhadap manusia.

Kepentingannya dapat dilihat daripada penggunaannya dalam kehidupan seharian

mahupun dalam bidang-bidang professional. Thomas & Finney (1992) dalam prolognya ada

mengatakan bahawa "Pa/car ekonomi menggunakan Kalkulus untuk meramal haluan

ekonomi dunia, ahli kaji laut menggunakan Kalkulus untuk membina teori tentang

gelombang laut, syarikat-syarikat swasta menggunakan Kalkulus untuk menentukan tahap

keuntungan inventori mereka, jurutera hklraulik menggunakan Kalkulus untuk mendapatkan

bentuk injap yang selamat dalam salur paip. Senarai ini nampaknya tidak ada kesudahan

dalam hamper setiap bidang kerja professional kini yang rata-rata menggunakan Kalkulus

dengan cara tertentu" (terjemahan; m.s.xvi) Untuk menyediakan tenaga kerja dalam bidang-

bidang professional seperti yang disebutkan di atas, maka kalkulus menjadi salah satu

matapelajaran yang amat penting daripada peringkat sekolah menengah lagi. Ini disokong

oleh Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (NCTM, 1989) yang

mengatakan "....secondary school students study the conceptual underpinnings of calculus"

(m.s.12-13). Menurut Steen (1987) seperti yang dilaporkan oleh Ferrini dan Gaugard (1992)

mengatakan kira-kira 300 000 pelajar mengambil kursus Kalkulus setiap tahun di peringkat

sekolah menengah di Amerika Syarikat walaupun 15-20% kursus yang ditawarkan adalah

"advanced placement courses". Di peringkat pengajian tinggi pula, hampir 600 000 pelajar

mengambil mata pelajaran Kalkulus 1 pada tahun pertama mereka di kolej dan universiti di

Amerika pada tahun pengajian 1986-8 (Anderson and Loftsgarden, 1987).

Dalam kehidupan seharian kita, kadang-kadang kita akan berdepan dengan masalah

yang jarang-jarang berlaku. Contohnya, kita perlu menolak kotak yang berat dari satu

kawasan yang rendah ke kawasan yang lebih tinggi. Jika jalan ke kawasan yang lebih tinggi

itu lurus, kita perlu menyelesaikan masalah berkenaan menggunakan algebra dan

trigonometri. Namun, sekiranya jalan berkenaan tidak rata maka kita perlu mengaplikasikan

kalkulus dalam permasalahan ini. Ini adalah kerana dengan jalan yang lurus, kita akan

menolak dengan satu kuasa yang tidak berubah. Begitu juga dengan penggunaan tenaga

yang tidak berubah. Hal ini berbeza untuk jalan yang tidak lurus. Kuasa dan tenaga yang

digunakan akan berubah-ubah. Inilah yang dikatakan sebagai pengaplikasian kalkulus yang

bermaksud perubahan.

Bidang kejuruteraan turut tidak dapat lari dari pengaplikasian kalkulus.

Pengaplikasian kalkulus pecahan (Fractional Calculus, FC) hanya bermula dua dekad yang

lepas. Dalam bidang sistem teori dinamik, sesetengah perkara telah dijalankan tetapi model

dan algoritma yang dicadangkan itu masih dalam peringkat awal penubuhan. Baru-baru ini

FC telah membuahkan hasil dalam bidang penyelidikan dan kejuruteraan sekaligus

menjadikan banyak bidang-bidang saintifik yang lain memberikan perhatian yang lebih luas

kepada konsep FC ini.

Kalkulus dan astronomi juga tidak dapat dipisahkan. Perkembangan matematik dan

pengiraan astronomi digabungkan dan digunakan. Kebanyakan ahli astronomi yang terkenal

juga merupakan pakar dalam bidang matematik dan begitulah sebaliknya. Kalkulus telah

digunakan dalam bidang astronomi sejak abad ke-17 untuk mengira orbit planet-planet di

sekitar bintang. Kalkulus juga diperlukan untuk mengira dengan tepat kelajuan objek-objek

yang berubah dan bergerak di angkasa seperti asteroid, komet dan lain-lain. Dengan

menggunakan kalkulus, kita hanya mengambil masa sepetang sahaja untuk mendapatkan

hukum Kepler daripada hukum pergerakan Newton seperti yang akan anda temui jika anda

membaca.

Selain daripada itu, kalkulus juga berguna dalam bidang ekonomi. Sebagai contoh,

ahli ekonomi menggunakan kalkulus untuk menentukan masa yang sesuai untuk membeli

atau menjual sesuatu, berapa harga barang mempengaruhi berapa banyak orang yang

membelinya atau contoh-contoh lain yang memerlukan perubahan diukur dari semasa ke

semasa dalam dua atau lebih pembolehubah yang berkaitan. Syarikat kad kredit juga

menggunakan kalkulus untuk menetapkan kadar bayaran minimumnya yang perlu dibayar

pada masa yang tepat dengan mengambil kira pembolehubah tertentu seperti perubahan

kadar faedah dan baki yang berubah-ubah.

Gambar kiri mengaplikasikan teknik algebra dan trigonometri. Gambar kanan mengaplikasikan kalkulus.

Elemen seni bagi sesebuah bangunan juga tidak lari dari mengaplikasikan nilai

kalkulus bagi pembinaannya. Arkitek akan menggunakan kalkulus sayaran untuk

menentukan jumlah bahan yang diperlukan untuk membina sebuah kubah yang melengkung

untuk stadium sukan yang baru sekaligus mengira berat kubah dan menentukan jenis

struktur sokongan yang diperlukan. Seorang pelukis grafik akan menggunakan kalkulus

untuk menentukan bagaimana model tiga dimensi yang berbeza akan bertindak mengikut

syarat-syarat perubahan yang dikenakan. Kesan grafik yang realistik akan dapat dihasilkan

menggunakan prinsip kalkulus.

Jurutera penerbangan angkasa lepas kerap menggunakan kalkulus apabila

merancang misi yang panjang. Untuk memulakan siasatan penerokaan, mereka mesti

mengambil kira halaju yang berbeza ketika mengelilingi bumi dan planet yang disasarkan

serta pengaruh graviti yang lain seperti matahari dan bulan. Kalkulus membolehkan setiap

pembolehubah-pembolehubah dikira dengan tepat. Jelas sekali, pelbagai bidang telah

mengaplikasikan prinsip perubahan dalam kalkulus dari universiti, syarikat penerbangan,

studio hiburan dan syarikat pembinaan adalah antara beberapa contoh yang mendapat

manfaat dari prinsip perubahan kalkulus. Malah doktor dan peguam menggunakan kalkulus

untuk membantu membina dispilin yang diperluklan bagi menyelesaikan masalah yang

kompleks seperti mendiagnos pesakit atau merancang kes pendakwaan. Walaupun kalkulus

merupakan salah satu cabang matematik yang kompleks, namun ia berjaya memberikan

kesan yang baik dalam hidup kita.

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik,

ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di

mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan

massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari

sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan

magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan

elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak

Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan

momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada

benda tersebut dengan arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton:

Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena

percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell

dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.

Pada awalnya ilmu ekonomi diajarkan dengan pendekatan verbal-filosofis seperti

yang disajikan pada buku “The Wealth of Nations” yang ditulis oleh Adam Smith yang

dikenal sebagai seorang ahli filsafat. Memang pada mulanya, ilmu ekonomi merupakan

bagian dari ilmu filsafat dan setelah era Adam Smith, Ilmu Ekonomi baru menjadi disiplin

ilmu tersendiri. Selang beberapa saat setelah era ini, pendekatan pengajaran ilmu ekonomi

diperkenalkan dengan menggunakan simbol-simbol matematik dan grafik. Kita tidak tahu

pasti kapan sebenarnya penggunaan perangkat-perangkat non-verbal ini dimulai, namun

kebanyakan para ahli menganggap bahwa mazhab neoklasiklah yang menjadi pelopor

pendekatan ini. Akhirnya, sampai saat ini, ilmu ekonomi dikenal sebagai sebuah disiplin ilmu

yang multidimensional dalam artian bisa digunakan tak terbatas hanya pada penyampaian

intuisi secara kualitatif, melainkan bisa juga diterapkan secara kuantitatif. Dari kedua

pendekatan ini, maka lahirlah terminologi “ekonomi kualitatif” dan “ekonomi kuantitatif”.

Namun perlu digaris bawahi bahwa keduanya bukanlah dua cabang ilmu yang terpisah,

melainkan hanya merupakan pendekatan penyampaian yang berbeda seperti halnya kalau

kita mengekspresikan sesuatu menggunakan bahasa yang agak berbeda (Perdana dalam

Anwar, dkk, 1997).

Analisis kuantitatif dalam ilmu ekonomi dapat dikategorikan menjadi dua, yaitu matematika

ekonomi dan ekonometrika. Matematika ekonomi digunakan dalam ilmu ekonomi lebih ke

arah penyusunan teori secara deduktif. Sedangkan ekonometrika digunakan sebagai studi

terhadap observasi empiris, dengan menggunakan metode perkiraan statistik serta

pengujian hipotesis. Ekonometrika, dengan kata lain, menekankan pada pengujian empiris

atas teori ekonomi, dan dibutuhkan untuk pengambilan kesimpulan secara induktif. Para ahli

ekonometrikapun umumnya menggunakan persamaan-persamaan matematika yang

disusun oleh ahli matematika dengan membuat modifikasi secukupnya agar memungkinkan

untuk dilakukan pengujian empiris terhadap hukum-hukum ekonomi. Memang benar bahwa

model matematika dapat mempermudah dalam memahami ilmu ekonomi dan menganalisis

fenomena-fenomena ekonomi. Namun, karena model tersebut bagaikan pisau yang bermata

dua, diperlukan kehati-hatian dalam membangun dan menggunakannya. Pilihan model dan

penggunaan model yang kurang tepat dapat menyesatkan. Bila hasil yang kurang tepat ini

digunakan sebagai landasan untuk membuat kebijakan ekonomi yang menyangkut hajat

hidup orang banyak, hal ini dapat berakibat pada biaya sosial yang sangat tinggi. Oleh

sebab itu, sebelum solusi dari model tersebut digunakan perlu diverifikasi terlebih dahulu

untuk mengetes validitas model tersebut. Atau, jika dimungkinkan, hasil tersebut dapat

dicobakan dulu dalam suatu ”laboratorium” yaitu dalam suatu kelompok masyarakat dengan

sekala kecil atau dibuat suatu simulasi-simulasi terlebih dahulu.

REFLEKSI

Pertama sekali saya sangat bersukur kerana dapat menyiapkan tugasan ini dengan

jayanya. Apa yang dapat saya gambarkan semasa menerima tugasan ini ialah halangan-

halangan yang terpaksa saya hadapi sama ada dari segi kewangan,masa serta sumber.

Namun setelah diberi penerangan daripada oleh para pensyarah Matematik, saya dapat

memahami serta memudahkan ia memudahkan saya untuk merangka setiap proses untuk

melaksanakan tugasan ini.

Kalkulus adalah cabang ilmu matematik yang merangkumi had, terbitan, sayaran,

dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri

adalah ilmu mengenai bentuk dan algebra adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk

memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam

bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknikal; serta dapat menyelesaikan pelbagai masalah

yang tidak dapat diselesaikan dengan algebra asas. Kalkulus mempunyai dua cabang

utama, iaitu kalkulus pembezaan dan kalkulus sayaran yang saling berhubungan melalui

teorem asas kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematik

lain yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum

dinamakan analisis matematik.

Sepanjang proses saya menyiapkan kerja kursus ini,saya dapati bahawa setiap yang

saya pelajari selama ini bukan mudah untuk difahami. Sebagai contoh, sebelum ini saya

kurang memahami tentang Kalkulus dan kepentinganya pendidikan Matematik yang

terdapat dalam matematik. Namun begitu setelah saya mengkaji serta mencari maklumat

mendalam tentang perkara tersebut bagi tugasan ini, saya dapat memahami subjek ini

dengan lebih mendalam.

Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan

teknikal; serta dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan

algebra asas. Kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu kalkulus pembezaan dan

kalkulus sayaran yang saling berhubungan melalui teorem asas kalkulus. Pelajaran kalkulus

adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematik lain yang lebih tinggi, yang khusus

mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematik.

Sesungguhnya pada hari ini, kalkulus dan lanjutannya dalam analisis matematik

telah berkembang luas. Ahli ekonomi menggunakan kalkulus untuk meramal trend secara

menyeluruh. Ahli Osianografi menggunakan kalkulus untuk merumus teori mengenai arus

lautan dan ahli kaji cuaca menggunakannya untuk menghurai aliran udara pada lapisan atas

armosfera.

Hasil daripada tugasan yang telah dilakukan, banyak pengetahuan baru yang saya

dapati.Sebagai seorang guru saya juga difahamkan bahawa pembezaan dan pengamiran

sangat penting dalam pedidikan terutama dalam matapelajaran matematik. Saya juga

menyedari bahawa terdapat banyak aplikasi pembezaan dan pengamiran dalam kehidupan

seharian.Contohnya seperti memenuhkan kolam bilik mandi,litar elektrik dan

sebagainya.Seterusnya pembezaan dan pengamiran juga boleh diaplikasikan dalam

pekerjaan seperti dalam bidang sains,matematik perniagaan dan sebagainaya.

Sepanjang menyiapkan kerja kursus pendek ini, saya tidak merasakan terlalu

terbeban kerana saya telah membahagikan beberapa topik untuk setiap ahli bagi

memudahkan tugasan. Malahan, cara ini dapat saya lihat dengan positifnya betapa

pentingnya setiap ahli memberikan kerjasama yang amat tinggi untuk menghasilkan sebuah

kerja kursus yang terbaik. Sesungguhnya, tidaklah kerja kursus ini dapat dihasilkan jika tidak

melalui sebarang halangan dan kekangan. Bagi saya,sepanjang menyiapkan kerja kursus

ini, saya mempunyai sedikit masalah. Masalah yang paling utama ialah pengurusan masa.

Hal ini kerana terdapat beberapa tugasan lain yang turut perlu dihantar pada waktu yang

sama.

Selain itu, saya mempunyai masalah untuk mencari bahan rujukan buku. Hal ini

kerana buku-buku yang terdapat di perpustakaan amat terhad. Selain itu, saya juga

menukar-nukarkan bahan maklumat sesama sendiri dalam memantapkan lagi kerja kursus

yang dijalankan saya dan ahli kumpulan mengalami sedikit kepahitan dalam mencari

maklumat.

Walaupun sepanjang proses melaksanakan tugasan ini saya terpaksa berkorban

sama ada dari segi masa, tenaga, kewangan dan sebagainya, saya tetap berpuas hati

kerana hasil kerja keras saya dapat juga saya menyiapkan tugasan ini. Akhir kata, saya

begitu bersyukur serta gembira kerana dapat juga saya siapkan kerja kursus ini dengan

jayanya walaupun pelbagai halangan terpaksa saya hadapi sepanjang proses

melaksanakan tugasan.

RUJUKAN

BAHAN BUKU

Halijah Osman, Hamidah Abd Hamid, Khamisah Jafar, Madihah Khalid, Munira Ismail

(2000), Kalkulus dan Geometri Analisis, Penerbit Universiti Teknologi Malaysia :Skudai

Zaini Mahbar, Siti Hajar Mohd Idris (1993) Kalkulus untuk penuntut ekonomi dan

pengurusan, : Kuala Lumpur, Dewan Bahasa Dan Pustaka.

Abu Bakar Haji Musa (1998) Kalkulus Awalan: Kuala Lumpur, Penerbit Universiti Putra

Malaysia.

Lau Too Kya (1998) Kalkulus Asas : Shah Alam, Biro Teks Institut Teknologi MARA.

Salas Hille Etgen .(1999). One and Several Variables Calculus. Unites States of America: Library pof Congress Cataloging-in-Publication-Data

Ernest F.Haeussler,JR.Richards S.Paul.(1996).Introductory Mathematical Anaylysis Unites States Of America: Prentice-Hall

Francis .(1998). Business Mathematics and Statistics. Britian. Ashford Colour Press

Wong Sin Mong. Pendekatan Cara Baru Federal Matematika Tambahan: Tulen. Kuala Lumpur. Federal Publications.

BAHAN BUKAN BUKU

Calculus. Dirujuk pada Ogos 17, 2011 dari http://www.analyzemath.com/calculus.html

Applications of Differential Equations. Dirujuk pada Ogos 17, 2011 dari http://www.analyzemath.com/calculus/Differential_Equations/applications.html