kalkulus ii - ugm

Kalkulus II

Diferensial dalam ruang berdimensi n

Minggu ke-9

DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n

1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih

2. Diferensial Parsial

3. Limit dan Kekontinuan


Contoh fungsi yang telah dipelajari dalam Kalkulus I

f(x) = x2

f(x) merupakan fungsi bernilai real dari peubah real.

Kalkulus 2:

Fungsi bernilai real dari dua peubah real

Contoh

f(x,y) = x2 + 3y2


f(x,y) = x2 + 3y2

Fungsi f memadankan setiap pasangan berurutan (x,y) dalam himpunan D pada

bidang dengan bilangan real tunggal f(x,y).

Contoh:

f(x,y) = x2 + 3y2 f(-1,4) = (-1)2 + 3(4)2

= 1 + 3(16)

= 49


Dalam fungsi ada beberapa istilah:

1. wilayah (daerah) asal fungsi, himpunan D

2. jelajah (daerah nilai)

3. peubah bebas

4. peubah tak bebas

Wilayah asal, yakni himpunan semua titik (x,y) pada bidang

tempat fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan real.

Contoh:

f(x,y) = x2+3y2 wilayah asal fungsi adalah

seluruh bidang

wilayah asal fungsi adalah


Dalam fungsi ada beberapa istilah:

1. wilayah (daerah) asal fungsi, himpunan D

2. jelajah (daerah nilai)

3. peubah bebas

4. peubah tak bebas

Jelajah (daerah nilai) adalah himpunan semua nilai fungsi f.

Peubah bebas dan peubah tak bebas

f(x,y) = x2+3y2 z = f(x,y) adalah peubah tak bebas

x dan y adalah peubah bebas

z = g(x,y) adalah peubah tak bebas

x dan y adalah peubah bebas

Contoh grafik fungsi f dua

peubah dari persamaan

z = f(x,y).

Biasanya grafik merupakan

permukaan.

Karena setiap (x,y) di daerah asal

hanya berpadanan dengan satu

nilai z, maka setiap garis tegak

memotong permukaan paling

banyak di satu titik.


Contoh 1:

Sketsa grafik dari

Penyelesaian:

perhatikan bahwa .

kedua ruas dikuadratkan

Persamaan elipsoid.(Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2,

Edwin J.Purcell & Dale Varberg)

9𝑥2 + 4𝑦2+9 𝑧2=36


Contoh 1 (lanjutan penyelesaian):

Persamaan elipsoid.(Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2,

Edwin J.Purcell & Dale Varberg)

ELIPSOID

9𝑥2 + 4𝑦2+9 𝑧2=36



sehingga

Grafik dari persamaan

yang diberikan

merupakan sebagian

dari permukaan

atas elipsoid.

9𝑥2 + 4𝑦2+9 𝑧2=36


Contoh 2:

Sketsa grafik z = f(x,y) = y2 – x2

Penyelesaian:

Grafiknya merupakan sebuah paraboloid hiperbol.(Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J.Purcell & Dale Varberg)

PARABOLOID HIPERBOL



Sketsa grafik z = f(x,y) = y2 – x2 adalah sebagai berikut:


“Kontur” merupakan cara lain dan biasanya lebih mudah untuk

menggambarkan sebuah permukaan.

Setiap bidang mendatar z = c memotong permukaan dalam bentuk

sebuah kurva.

Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian.

Apakah mudah

untuk mensketsa permukaan

yang berpadanan dengan

grafik fungsi dua peubah

z = (x,y) ?


Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian.

Kumpulan lengkungan-lengkungan disebut peta kontur.


Peta kontur.


Contoh 3:

Gambar peta-peta kontur untuk permukaan

Penyelesaian:

Kurva-kurva ketinggian dari berpadanan

dengan z = 0; 1; 1,5; 1,75; 2.

Peta konturnya adalah:


Beberapa contoh grafik permukaan di ruang dimensi-tiga


Untuk tugas studio:

Sketsalah peta kontur untuk

a. z = f(x,y) = xy

b. z = y2 – x2


• Fungsi f adalah suatu fungsi dua peubah x dan y.

• Jika y ditahan agar konstan, misal y = y0 ,

Maka f(x, y0) menjadi fungsi satu peubah x.

• Diferensial f di x = x0 disebut diferensial parsial f terhadap x di

(x0 , y0) dan dinyatakan sebagai fx(x0 , y0).


Diferensial• parsial f terhadap x di (x0 , y0) dinyatakan sebagai

fx(x0 , y0) dan ditulis sebagai:

Diferensial• parsial f terhadap y di (x0 , y0) dinyatakan sebagai

fy(x0 , y0) dan ditulis sebagai:


Cara menyelesaikan:

1. Mencari fx(x,y) dan fy(x,y) dengan menggunakan aturan baku

diferensial.

2. Substitusikan x = x0 dan y = y0


Contoh 1:

Carilah fx(1,2) dan fy(1,2) jika f(x,y) = x2y + 3y3

Penyelesaian:

Untuk mencari fx(x,y), kita anggap y sebagai konstanta dan

mendiferensialkan fungsi ini terhadap x.

f(x,y) = x2y + 3y3

fx(x,y) = 2xy + 0 fx(1,2) = 2 . 1. 2

= 4

f(x,y) = x2y + 3y3

fy(x,y) = x2 + 9y2 fy(1,2) = 12 + 9 . 22

= 37


Jika z = f(x,y), kita gunakan cara penulisan lain, maka

Lambang khas dalam matematika dan disebut

tanda diferensial parsial


Contoh 2:

Jika z = x2 sin(xy2), cari z/x dan z/y.

Penyelesaian:

= ?



z = x2 sin(xy2)


TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Kemiringan (gradien) garis

singgung

▪ Permukaan yang mempunyai

persamaan z = f(x,y).

▪ Bidang y = y0 memotong

permukaan kurva pada bidang

PQR.

▪ Nilai fx(x0,y0) adalah

kemiringan (gradien) garis

pada kurva tersebut di

P(x0,y0).



singgung


▪ Bidang x = x0 memotong

permukaan pada kurva bidang

LPM.

▪ fy(x0,y0) adalah kemiringan

garis singgung pada

kelengkungan di titik P.


singgung


TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat)

▪ Diferensial parsial dapat juga ditafsirkan sebagai laju perubahan

(sesaat).

▪ Misal dawai biola diikat di titik A dan B dan bergetar pada

bidang xz.

▪ Gambar di atas menunjukkan posisi dawai pada suatu waktu

tertentu t.



▪ z = f(x,t) menyatakan tinggi senar di titik P dengan absis x pada

saat t.

▪ z/x adalah kemiringan dawai di P.

▪ z/t adalah kecepatan tegak dari P.



Contoh 3:

Volume suatu gas tertentu dikaitkan terhadap suhunya T

tekanannya P menurut hukum gas PV = 10T. V diukur

dalam inci kubik, P dalam pon per inci kuadrat, dan T

dalam derajat Celsius. Jika T diusahakan konstan 200,

berapa laju perubahan sesaat

pada

V = 50 ?

Penyelesaian:

tekanan terhadap volumenya




Laju perubahan sesaat tekanan terhadap volume

Jadi


DIRENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI

Secara umum, karena diferensial parsial suatu fungsi x dan y adalah

fungsi lain dari dua peubah yang sama ini,

diferensial tersebut dapat didiferensialkan secara parsial terhadap x

dan y untuk memperoleh empat buah diferensial parsial kedua

fungsi f.


DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI

Contoh 4:

Cari keempat diferensial parsial kedua dari

Penyelesaian:



Diferensial parsial tingkat tiga dan lebih didefinisikan dengan cara

yang sama dan cara penulisannya pun serupa.

Jadi, jika f suatu fungsi dua peubah x dan y, diferensial parsial ketiga

f yang diperoleh dengan mendiferensialkan f secara parsial, pertama

kali terhadap x dan kemudian dua kali terhadap y, akan ditunjukkan

oleh



Andaikan f suatu fungsi tiga peubah x, y, dan z. Diferensial parsial f

terhadap x di (x, y, z) dinyatakan oleh

fx(x, y, z) atau

dan didefinisikan oleh

Jadi, fx(x, y, z) diperoleh dengan memperlakukan y dan z sebagai

konstanta dan mendiferensialkan terhadap x.

Diferensial parsial terhadap y dan z didefiniskan dengan cara yang

sama.



Contoh 5:

Jika f(x, y, z) = xy + 2yz + 3zx,

cari fx , fy dan fz.

Penyelesaian:

fx(x, y, z) = y + 3z

fy(x, y, z) = x + 2z

fz (x, y, z) = 2y + 3x



Contoh 6:

Jika f(x, y, z) = x cos(y - z),

Cari f/ x, f/ y, dan f/ z.

Penyelesaian:

LIMIT

Arti lambang limit di atas:

Nilai f(x,y) semakin dekat ke bilangan L pada waktu (x,y) dapat

mendekati (a,b) dengan cara tak berhingga.


LIMIT

Kita memerlukan suatu definisi yang memberikan L yang sama,

tidak bergantung pada jalur (x,y) yang diambil dalam mendekati

(a,b).


LIMIT

Definisi

Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa

untuk setiap > 0 (betapa pun kecilnya) terdapat d > 0 yang

berpadanan sedemikian sehingga

dengan syarat bahwa


LIMIT

Titik-titik yang memenuhi adalah

titik-titik di dalam suatu lingkaran dengan radius d terkecuali pusat

(a,b).


LIMIT

Perhatikan beberapa segi dari definisi ini:

Secara1. lengkap definisi ini mengabaikan jalur pendekatan ke

(a,b). Ini berarti bahwa jika jalur pendekatan yang berlainan

menuju nilai-nilai L yang berlainan, maka limit tidak ada.

Perilaku2. f(x,y) di (a,b) tidak relevan, bahkan fungsi tidak harus

terdefinisi di (a,b). Ini sebagai akibat pembatasan


LIMIT

Perhatikan beberapa segi dari definisi ini:

3. Definisi diungkapkan sedemikian sehingga langsung dapat

diperluas ke fungsi tiga peubah (atau lebih). Cukup

menggantikan (x,y) dan (a,b) oleh (x, y, z) dan (a, b, c) pada

kemunculan mereka


LIMIT

Contoh:

Contoh pada slide selanjutnya menggambarkan bahwa kita harus

hati-hati


LIMIT

Contoh 1:

Perhatikan bahwa fungsi f yang didefinisikan oleh

tidak mempunyai limit di titik asal.

Penyelesaian:

Fungsi f didefinisikan dimana saja di bidang xy terkecuali di titik

asal.

Di semua titik pada sumbu x, yang berlainan dari titik asal, nilai f

adalah


LIMIT


Jadi, limit f(x,y) untuk (x,y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu x

adalah


LIMIT


Serupa dengan langkah sebelumnya, di semua titik pada sumbu y,

yang berlainan dari titik asal, nilai f adalah:


LIMIT


Limit f(x,y) untuk (x,y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu y adalah

3. Limit dan KekontinuanLIMIT


Jadi, kita mendapatkan jawaban berbeda yang tergantung bagaimana

(x,y) (0,0).

Sebenarnya terdapat titik-titik yang dekat terhadap (0,0) tempat

nilai f adalah 1 dan titik-titik lain yang sama dekatnya tempat nilai f

adalah -1.

Limit tidak terwujud.

3. Limit dan KekontinuanLIMIT

Tugas:

Andaikan

Perlihatkana. bahwa f(x,y) 0 untuk (x,y) (0,0) sepanjang

garis lurus sebarang y = mx.

Perlihatkanb. bahwa

untuk (x,y) (0,0) sepanjang parabola y = x2

Kesimpulanc. apa yang anda tarik ?

(No 17 halaman 242, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid II, Edwin J.Purcell dan Dale Varberg)


REVIEW KALKULUS 1: KEKONTINUAN FUNGSI

• Dalam bahasa sehari-hari, kata kontinu digunakan untuk

menggambarkan suatu proses yang berkelanjutan tanpa

perubahan yang mendadak.

• Bagaimana pengertian fungsi yang kontinu ?

Dari ketiga gambar di atas, gambar yang mana yang

mengilustrasikan suatu fungsi kontinu ?


REVIEW KALKULUS 1: KEKONTINUAN FUNGSI

tidak ada ada

tetapi


REVIEW KALKULUS1: KEKONTINUAN FUNGSI

Definisi:

(Kekontinuan di suatu titik).

Kita katakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang

terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan

Dengan definisi di atas, syarat suatu fungsi kontinu adalah:

1. ada

2. f(c) ada

3.

Jika salah satu dari ketiga syarat ini tak

dipenuhi, maka f tak kontinu di c.


KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK

Seperti pafa fungsi peubah tunggal, pada fungsi peubah banyak,

untuk mengatakan bahwa f(x,y) kontinu di titik (a,b), kita syaratkan

bahwa:

1. f mempunyai nilai di (a,b)

2. f mempunyai limit di (a,b)

3. Nilai f di (a,b) sama dengan limitnya di sana.



▪ Seperti halnya dengan fungsi satu peubah:

jumlah, hasil kali, dan hasil bagi fungsi-fungsi kontinu adalah

kontinu (asalkan pada kasus pembagian, kita menghindari

pembagian oleh nol).

▪ Dapat dikatakan bahwa fungsi polinom dua peubah kontinu

dimana-mana, karena merupakan jumlah dan hasil kali kontinu

ax, by, dan c dengan a, b, dan c adalah konstanta. Umpamanya,

fungsi f(x, y) = 5x4y2 – 2xy3 + 4 adalah kontinu dimana-mana di

bidang xy.



▪ Fungsi rasional dua peubah adalah hasil bagi dua fungsi

polinom sehingga kontinu asalkan penyebutnya bukan nol.

Sebagai contoh:

kontinu dimana-mana di bidang xy kecuali di titik-titik pada

parabol y2 = 4x.

▪ Seperti untuk fungsi satu peubah, suatu fungsi kontinu dari

fungsi yang kontinu adalah kontinu.



Teorema 15.3A

(Fungsi tersusun).

Jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f suatu fungsi

satu peubah kontinu di g(a,b), maka fungsi tersusun yang

didefinisikan oleh

adalah kontinu di (a,b)

Tugas

Baca Teorema 2.7D Buku Kalkulus dan

Geometri Analitis Jilid 1



Contoh 2:

Perlihatkan bahwa F(x,y) = cos(x3 – 4xy +y2) adalah kontinu di

setiap titik dari bidang.

Penyelesaian:

Fungsi g(x,y) = x3 – 4xy +y2

yang merupakan sebuah polinom, adalah kontinu

dimana-mana.

Juga f(t) = cos t adalah kontinu di setiap bilangan t di R.

Berdasarkan teorema 15.3A, kita simpulkan bahwa

F(x,y) = f(g(x,y))

kontinu di semua (x,y) di bidang.


KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN

Arti▪ fungsi f(x,y) kontinu pada suatu himpunan S adalah

jika f(x,y) kontinu di setiap titik dari himpunan.

Beberapa▪ istilah terkait himpunan-himpunan di bidang (dan

ruang dimensi lebih tinggi), adalah:

1. Lingkungan beradius d dari suatu titik P, yaitu:

Himpunan semua titik Q yang memenuhi Q – P< d.

Q – P< d

P - d < Q < P + d




Q – P< d

P - d < Q < P + d

Di ruang berdimensi 2, suatu lingkungan adalah “bagian dalam”

suatu lingkaran.




Q – P< d

P - d < Q < P + d

Di ruang berdimensi 3, suatu lingkungan adalah “bagian dalam”

suatu bola.



Titik P adalah titik dalam himpunan S jika terdapat suatu

lingkungan dari P yang mengandung S.

Himpunan semua titik dalam dari S adalah bagian dalam dari S.



Sebaliknya, P adalah titik batas dari S jika semua lingkungan dari

P mengandung titik-titik yang berada di S dan titik-titik yang bukan

S.

Himpunan semua titik batas dari S disebut batas dari S.



Pada gambar di atas,

A: suatu titik dalam dari S

B: suatu titik batas dari S

Suatu himpunan adalah terbuka jika semua titik-titiknya adalah titik

dalam.

Suatu himpunan adalah tertutup jika mengandung semua titik batasnya.



▪ Jika S suatu himpunan terbuka, untuk mengatakan bahwa f kontinu

pada S secara tepat berarti bahwa f kontinu di setiap titik S.

▪ Sebaliknya, jika S mengandung beberapa atau semua titik

batasnya, kita harus hati-hati untuk memberikan tafsiran yang

benar dari kekontinuan pada titik-titik yang demikian. Untuk

mengatakan bahwa f kontinu pada suatu titik batas P dari S berarti

bahwa f(Q) harus mendekati f(P) untuk Q mendekati P melalui

titik-titik dari S.

▪ Contoh untuk membantu memperjelas, dapat dilihat pada slide

selanjutnya.



▪ Andaikan

▪ Jika S adalah himpunan

adalah benar untuk mengatakan

bahwa f(x,y) kontinu pada S.

▪ Sebaliknya, akan tidak benar untuk mengatakan bahwa f(x,y)

kontinu pada seluruh bidang.



Teorema 15.3B

(Kesamaan parsial campuran).

Andaikan f, fx, fy, fxy, dan fyx kontinu pada suatu himpunan terbuka S.

Maka fxy = fyx pada tiap titik dari S.

TERIMAKASIH

kalkulus ii - ugm

Documents