Nama : Syifa Rahmi Fadhila

Kelas : SCI A

I. lingkaran

lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-

jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.

Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian

dalam dan bagian luar.

II. Elemen lingkaran

Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :

Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :

1. Titik pusat (P)

merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik

manapun pada lingkaran selalu tetap.

Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :

1. Jari-jari (R)

merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.

1

d r

2. Tali busur (TB)

merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua

titik yang berbeda.

3. Busur (B)

merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit

dengan lingkaran.

4. Keliling lingkaran (K)

merupakan busur terpanjang pada lingkaran.

5. Diameter (D)

merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-

jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.

6. Apotema

merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.

Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :

1. Juring (J)

merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah

jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.

2. Tembereng (T)

merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan

tali busurnya.

3. Cakram (C)

merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-

jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

2

III. Persamaan lingkaran

Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak

sama terhadap satu titik tertentu.

3

Persamaan umum lingkaran adalah:

Mencari jarak antara 2 titik A (x1,y1) dan B (x2,y2):

Mencari jarak antara titik A (x1,y1) dan garis Ax+By+C=0 :

Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran

:

Contoh 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!

Jawab:

4

Contoh 2:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola

dan menyinggung garis !

Jawab:

maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).

5

IV. Persamaan parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu

Yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran

dalam ruang x-y.

V. Kedudukan garis terhadap lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran,

substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.

Lihat diskriminannya:

Jika:

D < 0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)

D = 0, berarti garis menyinggung lingkaran

D > 0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:

6

Tentukan posisi garis:

o terhadap lingkaran

Jawab:

Karena , maka garis berada di luar lingkaran.

Contoh 2:

Tentukan p agar garis terletak di luar lingkaran

Jawab:

syarat:

7

atau

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan

nilai p : atau

VI. Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran

Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:

Jika persamaan lingkaran ( x – xp )2 + ( y – yp )2 = r2, maka persamaan

garis singgungnya:

Jika persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka persamaan garis

singgungnya:

x1 x+ y1 y+12A (x+x1 )+ 1

2B ( y+ y1 )+C=0

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

y=mx±r √m+1 atau y− y p=m ( x−xp )±r √m+1

VII. Luas lingkaran

8

Luas lingkaran memiliki rumus

Dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

Dalam koordinat polar, yaitu

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran,

seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat

dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam r1 dan jari-jari luar r2.

9

Penjumlahan elemen juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-

elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi

panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama

dengan R yaitu jari-jari lingkaran.

Luas juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan

fungsi dari R dan θ, yaitu;

Dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang

dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas cincin lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam r1dan

jari-jari r2 luar, yaitu:

10

Dimana untuk r1 = 0 , rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

Yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

VIII. Keliling lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus:

Panjang busur lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

Yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

Dimana digunakan

11

Sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda ± mengisyaratkan bahwa

terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat

definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya

dikalikan dua.

IX. π(Pi)

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu

perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

X. Garis Singgung Lingkaran

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan

Q, dengan jari-jari R dan r. Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ,

sedangkan garis q merupakan garis singgung persekutuannya. Geser garis q melalui

perpanjangan PA sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis CQ dengan CQ//q.

Perhatikan segitiga PQC siku-siku di C, dengan pythagoras maka:

Karena CQ = q maka panjang garis singgung persekutuan dalam adalah:

q=√ p2−¿¿

Keterangan:

q = garis singgung persekutuan dalam

12

p = jarak kedua titik pusat lingkaran

R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

Garis Singgung Persekutuan Luar

Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan

Q, dengan jari-jari r dan R. Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ,

sedangkan garis l merupakan garis singgung persekutuan luarnya. Geser garis l

sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis PR dengan PR//l. Perhatikan segitiga PQR

siku-siku di R, dengan pythagoras maka:

Karena PR = l, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah

l=√ p2−¿¿

Keterangan:

l = garis singgung persekutuan luar

p = jarak kedua titik pusat lingkaran

R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

XI. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

13

Berdasarkan gambar di atas, kita dapat melihat bahwa garis k tidak memotong

lingkaran O, garis l menyinggung lingkaran O di titik A, dan garis m memotong lingkaran O di

titik-titik B dan C. Karena suatu garis singgung tepat melalui satu titik pada lingkaran

(misalkan titik A), maka garis singgung tersebut akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran

yang menghubungkan titik A dengan titik pusat lingkaran. Sifat dari garis singgung tersebut

dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran.

Menentukan Persamaan Garis Singgung

Pada bagian ini kita akan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1, y1)

pada lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 = r2, yaitu lingkaran yang berpusat di titik (0,

0) dan berjari-jari r. Perhatikan ilustrasi berikut.

14

Misalkan kita akan menentukan persamaan garis g yang melalui titik A(x1, y1), yaitu titik

pada lingkaran x2 + y2 = r2. Karena titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka,

Selanjutnya kita buat ruas garis OA, yaitu ruas garis yang memiliki ujung-ujung di titik O

(pusat lingkaran) dan titik A. Sehingga gradien dari ruas garis tersebut adalah

Karena garis g tegak lurus dengan ruas garis OA, maka

Karena garis g melalui titik A(x1, y1) dan bergradien mg = –x1/y1, maka persamaan garis g

dapat ditentukan sebagai berikut.

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh x1x + y1y = r2. Sehingga,

persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran x2 + y2 = r2 dapat

disimpulkan sebagai berikut.

15

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x +

y1y = r2.

Untuk lebih memahami mengenai persamaan garis singgung lingkaran, perhatikan contoh

berikut.

Contoh: Menentukan Persamaan Garis Singgung

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2, –3) pada lingkaran x2 + y2 = 13.

Pembahasan Dengan (x1, y1) = =(2, –3) dan x2 + y2 = 13, kita mendapatkan x1 = 2, y1 = –3, dan

r2 = 13. Sehingga persamaan garis singgung tersebut adalah

XII. Irisan Dua Lingkaran

16

Hubungan Dua Lingkaran

P P P

P

P

PP

Q

Q

QQQ

QQ

R

rL2 L1

L2 L2

L2 L2 L2

L2 L1 L1

L1 L1 L1

L1

L2 di dlm L1

PQ=0L1

konsentris L2

L2 di dlm L1

PQ<R-r

bersinggungan di dlmPQ<R-r

berpotongan di dlm

PQ<R-r

berpotongan di luarPQ<R-r

bersinggungan di luar

PQ<R-r

terpisahPQ<R-r

PQ =

Mencari titik potong dua lingkaran

• Eliminasi x2 dan y2 pada kedua persamaan lingkaran sehingga diperoleh persamaan

garis yang melalui kedua titik potong lingkaran

• Substitusikan nilai x atau y dari garis tersebut ke salah satu persamaan lingkaran

sehingga diperoleh persamaan koordinat

• Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat pada langkah b

• Substitusikan nilai x atau y yang diperoleh ke persamaan lingkaran sehingga

mendapatkan pasangannya

17

Keliling Irisan dua Lingkaran

INGAT KEMBALI!

C

B

ac

b

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

cos α =

?

Panjang Busur =

ATAU

A

r

rn cos α =

18

Luas Irisan Dua Lingkaran

Bc a

bA C

r

r

r

r

A

A

B

B

P

P

A

B

19

Bentuk dan Luas Irisan Dua Lingkaran

BENTUK 1 BENTUK 2

PQ α β

A

Br

r

R

R

βαPQ

A

BR

R

r

r