SOLUSI PENYISIHAN SMA

1. Empat pasang suami-isteri membeli karcis untuk 8 kursi sebaris pada suatu pertunjukkan. Dua

orang akan duduk bersebelahan hanya kalau keduanya pasangan suami isteri atau berjenis

kelamin sama. Banyaknya cara menempatkan keempat pasang suami-isteri ke 8 kursi tersebut

adalah …

a. 716 d. 818

b. 718 e. 820

c. 816

Solusi:

Misal S = suami dan I = isteri

Kemungkinan susunannya adalah:

a. SIISSIIS atau ISSIISSI

Karena yang berdekatan haruslah pasangan suami isteri maka kasus ini seolah-olah

menempatkan 4 pasangan suami isteri dalam 4 tempat. Banyaknya cara = 2 . 4P4 = 48

b. SIISSSII atau ISSIIISS

Karena ada 3 pasang kursi yang harus diisi 3 pasang suami isteri maka banyaknya cara

menyusun = 2 ⋅ 4C3 ⋅ 3! = 48

c. SSIISSII atau IISSIISS

Kasus ini sama dengan (a). Banyaknya cara adalah 48.

d. SIIISSSI atau ISSSIIIS

Karena ada 3 pasang kursi yang harus diisi 3 pasang suami isteri maka banyaknya cara

adalah 2 ⋅ 4 ⋅ 3! = 48

e. SSIIISSI atau IISSSIIS

Kasus ini sama dengan (c). Banyaknya cara ada 48 cara.

f. SIIIISSS atau ISSSSIII

Ada 2 pasang kursi yang harus diisi oleh 2 pasang suami isteri. Banyaknya cara = 4C2 ⋅

2!. Empat kursi lain terdiri dari 2 kursi diisi oleh 2 perempuan dan 2 kursi lainnya diisi

2 lelaki. Maka banyaknya cara = 2 ⋅ (4C2 ⋅ 2!) ⋅ 2! ⋅ 2! = 96

g. SSIIIISS atau IISSSSII

Soal ini mirip dengan bagian (f). Banyaknya cara ada 96.

h. SSSIIIIS atau IIISSSSI

Soal ini juga mirip dengan bagian (f). Banyaknya cara ada 96.

i. SSSSIIII atau IIIISSSS

Pasangan yang di tengah dipilih dari 4 pasangan yang lain.

Maka banyaknya cara = 2 ⋅ 4 ⋅ 3! ⋅ 3! = 288

Maka banyaknya cara = 48 + 48 + 48 + 48 + 48 + 96 + 96 + 96 + 288 = 816 cara

∴ Jadi, banyaknya cara menempatkan keempat pasang suami isteri ke-8 kursi adalah 816.

2. Nilai dari log(tan 1°) + log(tan 2°) + log(tan 3°) + ⋯ + log(tan 89°) adalah …

a.½ d. ∞

b. 1 e. √3

c. 0

Solusi:

Perhatikan bahwa,

tan 1° =1

tan 89° , tan 2° =1

tan 88° , tan 3° =1

tan 87° , … tan 44° =1

tan 46°

tan 1° × tan 89° = tan 2° × tan 88° = tan 3° × tan 87° = ⋯ = tan 45°

= tan 44° × tan 46° = 1

Kemudian menggunakan sifat logaritma, diperoleh

Log(tan 1°) + log(tan 2°) + log(tan 3°) + ⋯ + log(tan 89°) = log(tan 1° × tan 2° ×

tan 3° × … tan 89°)

= 𝑙𝑜𝑔(1)

= 0

3. Sebuah lingkaran, sebuah segitiga sama sisi, dan sebuah persegi memiliki keliling 𝑎. Di antara

ketiga bangun tersebut, urutan yang paling benar luasnya dari yang terbersar hingga yang

terkecil adalah ...

a. Segitiga, Lingkaran, Persegi

b. Persegi, Lingkaran, Segitiga

c. Persegi, Segitiga, Lingkaran

d. Lingkaran, Segitaga, Persegi

e. Lingkaran, Persegi, Segitiga

Solusi:

Keliling masing-masing bangun adalah 𝑎

Untuk segitiga 3𝑠 = 𝑎 → 𝑠 =𝑎

3 maka 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 =

1

2𝑠2 sin(60°) =

1

36√3𝑠2

Untuk lingkaran 2𝜋𝑟 = 𝑎 → 𝑟 =𝑎

2𝜋 maka 𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 =

𝑎2

4𝜋

Untuk persegi 4𝑠 = 𝑎 → 𝑠 =𝑎

4 maka 𝐿𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 =

𝑎2

16

Karena 𝜋 = 3.12 < 4 dan √3 < 2 sehingga

1

4𝜋>

1

16>

1

18

∴ Urutan yang benar adalah Lingkaran, Persegi, Segitiga

4. Jika fungsi 𝑓(𝑥) = cos 𝑎𝑥 + sin 𝑏𝑥 memenuhi 𝑓′(0) = 𝑏 dan 𝑓′ (𝜋

2) = −1, maka 𝑎 + 𝑏 =

⋯

a. 10 d. 4

b. -4 e. 22

c. 0

Solusi:

𝑓(𝑥) = cos 𝑎𝑥 + sin 𝑏𝑥

𝑓′(𝑥) = −𝑎 sin 𝑎𝑥 + 𝑏 cos 𝑏𝑥

𝑓′(0) = −𝑎 sin 𝑎(0) + 𝑏 cos 𝑏(0) = 𝑏

Kemungkinan untuk nilai 𝑎 dan 𝑏 adalah 0,1,2, 3.

𝑓′ (𝜋

2) = −𝑎 sin 𝑎 (

𝜋

2) + 𝑏 cos 𝑏 (

𝜋

2) = −1

Kemungkinan nilai 𝑎 yang memenuhi hanya 𝑎 = 1.

Oleh karena 𝑏 cos 𝑏 (𝜋

2) menghasilkan 0, maka nilai yang memenuhi hanya 1 dan 3.

3 cos 3 (𝜋

2) = 0 dan 1 cos 1 (

𝜋

2) = 0

Jadi, nilai 𝑎 yang memenuhi adalah 1 dan nilai 𝑏 yang memenuhi adalah 1 dan 3.

Maka,

Untuk 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 1

𝑎 + 𝑏 = 1 + 1 = 2 (tidak ada pilihan)

Untuk 𝑎 = 1dan 𝑏 = 3

𝑎 + 𝑏 = 1 + 3 = 4

5. Misalkan x, y, z tiga bilangan asli berbeda. Faktor persekutuan terbesar ketiganya adalah

12, sedangkan kelipatannya persekutuan terkecil ketiganya adalah 840. Nilai terbesar bagi

x + y + z adalah …

a. 1280 d. 1286

b. 1282 e. 1288

c. 1284

Solusi:

Karena faktor persekutuan terbesar dari x, y, z adalah 12, maka x, y, z akan berbentuk x =

12a, y = 12b dan z = 12c dengan a, b dan c adalah bilangan bulat FPB(a, b, c) = 1 Dan

karena 840 : 12 = 70, maka a, b dan c masing-masing harus faktor dari 70. Nilai a, b dan

c harus diambil dari faktor-faktor 70 yaitu : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 dan 70.

Karena diinginkan nilai x + y + z yang terbesar maka nilai a + b + c juga harus yang

terbesar. Karena FPB (14, 35, 70), FPB (10, 35, 70), FPB (7, 35, 70), FPB (5, 35, 70)

semuanya lebih dari 1 maka a, b dan c diambil dari 2, 35 dan 70 atau 10, 14, 35 dan

karena 2 + 35 + 70 > 10 + 14 + 35 maka a, b dan c diambil dari 2, 35 dan 70.

∴ (x + y + z)terbesar = 12 ⋅ 2 + 12 ⋅ 35 + 12 ⋅ 70 = 1284

6. 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 adalah bilangan riil positif dimana 𝑎𝑏4 𝑐 = 254, Berapakah nilai minimum

dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 minimum?

a. 4 d. 9

b. 12 e. 6

c. 7

Solusi:

Pertama, pasangkan koefisien pada variabel – variabel dalam soal sehingga kedua pernyataan

yang terdapat dalam soal dapat terhubung melalui rumus ketaksamaan AM-GM berbobot

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 4 (1

4𝑏) + 𝑐

𝑎𝑏4 𝑐 = 254

𝑎 (1

4𝑏)

4

𝑐 = 254 (1

4)

4

𝑎 (1

4𝑏)

4

𝑐 =254

254

𝑎 (1

4𝑏)

4

𝑐 = 1

Sekarang masukkan kedalam rumus AM-GM berbobot

𝑎 + 4 (14 𝑏) + 𝑐

1 + 4 + 1≥ √𝑎 (

1

4𝑏)

4

𝑐1+4+1

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

6≥ √1

6

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 6

Nilai minimumnya adalah 6.

7. Presiden, wakil presiden, sekretaris cabinet, dan 6 orang menteri duduk pada sebuah meja

bundar untuk mengadakan rapat kabinet terbatas. Jika sekretaris kabinet harus duduk

diantara presiden dan wakil presiden, maka banyaknya cara duduk ke-9 orang tersebut

adalah ….

a. 240 d. 1440

b. 360 e. 2880

c. 720

Solusi:

Terdapat 9 orang yang duduk melingkar. Karena sekretaris harus duduk di antara

presiden dan wakil presiden maka kelompok ini terdapat 2 cara dan dianggap 1 orang.

Sehingga, banyak cara susunan duduk melingkar diperoleh dari permutasi siklis 8 orang,

yaitu:

P = (8 – 1)! = (8 – 1)!

=7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040

Sehingga, banyak susunan seluruhnya ada 5040 x 2 = 10080 (Tidak ada di pilihan)

8. Suatu persegi panjang berukuran 8 kali 4√2 mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu

lingkaran berjari-jari 4. Luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut

adalah...

a. 8𝜋 + 16 c. 𝜋 − 2

b. 8𝜋 − 16 d. −𝜋 + 2

c. 𝜋 + 2

Solusi:

𝐷𝐸 = 8; 𝐸𝐹 = 4√2; 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 4

𝑂𝐶 =1

2𝐸𝐹 =

1

2 . 4√2 = 2√2

cos(𝛼) =𝑜𝑐

𝑜𝑎=

2√2

4=

1

2√2 → 𝛼 = 45°

< 𝐴𝑂𝐵 = 90°

Luas juring 𝑂𝐴𝐵 =90°

360°𝜋𝑟2 = 4𝜋

Luas ∆𝑂𝐴𝐵 =1

2 . 𝑂𝐴 . 𝑂𝐵. sin(< 𝐴𝑂𝐵) = 8

Luas tembereng 𝐴𝐵 = Luas juring 𝑂𝐴𝐵 −Luas ∆𝑂𝐴𝐵 = 4𝜋 − 8

Luas irisan = luas lingkaran − 2 . Luas tembereng 𝐴𝐵 = 8𝜋 + 16

∴ Luas daerah irisan adalah 8𝜋 + 16

9. Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling (2𝑥 + 24)m dan lebar (8 − 𝑥)m. Agar

luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah…

a. 100 m d. 24 m

b. 55 m e. 10 m

c.120 m

Solusi:

(Aplikasi Turunan)

𝑘 = 2(𝑝 + 𝑙)

2𝑥 + 24 = 2(𝑝 + (8 − 𝑥))

𝑥 + 12 = 𝑝 + 8 − 𝑥

𝑝 = 𝑥 + 12 − 8 + 𝑥

𝑝 = 2𝑥 + 4

𝐿 = 𝑝 ∙ 𝑙

= (2𝑥 + 4)(8 − 𝑥)

= 16𝑥 − 2𝑥2 + 32 − 4𝑥

= −2𝑥2 + 12𝑥 + 32

𝐿′ = 4𝑥 − 12

Luas akan maksimum untuk 𝑥 yang menyebabkan 𝐿′ = 0

𝐿′ = 0

4𝑥 + 12 = 0

−4𝑥 = −12

𝑥 = 3

Jadi, panjang taman yang menyebabkan luas taman menjadi maksimum adalah :

𝑝 = 2𝑥 + 4 = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10 m

10. Pada suatu jam digital yang angka-angkanya tertera mulai dari 00:00 sampai dengan 23:59,

dimungkinkan terjadi penampakan bilangan Palindrom (bilangan yang dibaca dari depan

dan dari belakang sama nilainya, misalnya 02:20 dan 13:31). Dalam satu hari satu malam,

bilangan Palindrom yang ditampakkan oleh jam tersebut ada sebanyak …

a. 16 d. 19

b. 17 e. 20

c. 18

Solusi:

Dengan strategi membuat daftar yang sistematis, soal ini dapat diselesaikan dengan

mudah sekali. Kita hanya memerlukan kecermatan dan ketelitian dalam mendaftar.

Kecermatan diperlukan dengan mengingat bahwa 1 jam adalah 60 menit sehingga kita

tidak mungkin menuliskan 06:60, 07:70 dan seterusnya. Bilangan-bilangan Palindrom

yang ditampakkan oleh jam tersebut adalah sebagai berikut: 00:00, 01:10, 02:20, 03:30,

04:40, 05:50, 10:01, 11:11, 12:21, 13:31, 14:41, 15:51, 20:02, 21:21, 22:22 dan 23:32

atau sebanyak 16

11. Misalkan ada sebuah sistem tiga persamaan dengan variabel x, y, dan z seperti dibawah.

Berapakah jumlah minimum koefisien (yang dilambangkan oleh huruf – huruf

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑗, 𝑘, 𝑙) yang harus bernilai nol agar sistem ini tidak dapat diselesaikan?

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑

𝑒𝑥 + 𝑓𝑦 + 𝑔𝑧 = ℎ

𝑗𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑙𝑧 = 𝑚

a. 3 d. 9

b. 6 e. 7

c. 0

Solusi:

Untuk membuat sistem persamaan ini tidak dapat diselesaikan, setidaknya salah satu

baris atau kolom dari matriks koefisien – koefisiennya, yaitu

[𝑎 𝑏 𝑐𝑒 𝑓 𝑔𝑗 𝑘 𝑙

]

bergantung secara linier(proporsional) dengan baris atau kolom yang lainnya(baris

dengan baris, kolom dengan kolom) sehingga membuat determinannya menjadi nol.

Misalnya, baris pertama merupakan perkalian baris kedua dengan suatu konstanta 𝑛

[𝑎 𝑏 𝑐] = 𝑛[𝑒 𝑓 𝑔]

Jadi, tidak harus ada koefisien yang bernilai nol atau jumlah minimum koefisien

yang bernilai nol adalah nol.

12. Diketahui 𝑆 = {𝑛 ∈ ℕ|𝑛2018+8

𝑛+2∈ ℕ}. Banyaknya subset dari 𝑆 adalah …

a. 0 d. 3

b. 1 e. 4

c. 2

Solusi:

𝑆 = {𝑛 ∈ ℕ|𝑛2018 + 8

𝑛 + 2 ∈ ℕ}

𝑛2018 + 8

𝑛 + 2=

𝑛2018 + 2

𝑛 + 2+

6

𝑛 + 2∈ ℕ

Karena 𝑛 + 2|𝑛2018 + 2 maka haruslah 𝑛 + 2|6

Dapat dilihat bahwa 𝑛 yang memenuhi adalah 𝑛 = 1 dan 𝑛 = 4. Sehingga 𝑛 yang

memenuhi hanya terdapat 2.

13. Sebuah segibanyak beraturan (reguler)R dengan 2018 titik sudut beserta semua diagonalnya.

Banyaknya segitiga yang terbentuk yang semua titik sudutnya adalah titik sudut R dan kedua

sisinya merupakan sisi R adalah ...

a. 2.596.723.451 d. 776.952.671

b. 1.363.560.582 e. 992.356.646

c. 2018

Solusi:

Ada 3 kemungkinan yang mungkin terjadi yaitu :

Segitiga yang dapat dibentuk termasuk segitiga yang merupakan sisi R

𝐶32018 =

2018!

3! 2015!= 2018 . 2017 . 338

Hanya 1 sisi yang merupakan sisi R

Untuk membentuk segitiga ini maka haruslah 2 dari 3 titiknya harus berurutan, namun

ketiganya tidak boleh berurutan. Banyaknya 2 titik yang berurutan adal 2018

kemungkinan yaitu 1 − 2, 2 − 3, … ,2017 − 2018, 2018 − 1. Misalnya titik yang

dipilih adalah 3 − 4 maka titik ketiga tidak boleh titik 2 atau 5. Maka banyaknya

kemungkinan 1 titik ketiganya adalah 2014 cara. Banyaknya segitiga yang dapat

dibentuk adalah 2014 × 2018 cara

2 sisinya merupakan sisi R

Untuk membentuk segitiga ini ketiga sisinya harus berurutan. Banyaknya segitiga yang

dapat dibentuk adalah 2018 cara.

∴ 2018 cara

14. Jika kita menyusun 5 huruf-huruf A,B,C,D dan E dengan cara-cara berbeda, kita dapat 120

membuat “kata” bebeda. Misalkan kita daftar kata-kata tersebut dan kita urutkan secara

alphabet serta kita menomori 1 sampai 120. Dengan demikian, ABCDE dapat nomor 1 dan

EDCBA dapat nomor 120. Apa nomor untuk DECAB?

a. 87 d. 98

b. 89 e. 99

c. 95

Solusi:

Penyelesaian : perhatikan bahwa ada 120

5= 24 kata yang dimulai dengan A,24 dimulai

dengan B, 24 dimulai dengan C dan semuanya muncul sebelum DECAB.

Sedangkan yang dimulai dengan huruf D ada 24 kata, yaitu 24

4= 6 kata dimulai dengan

DA, 6 kata dimulai dengan DB, kata kata dimulaii dengan DC dan semuanya muncuul

sebelum DECAB.

Untuk kkata yang dimulai dengan DE uruutannya addalah

DEABC,DEACB,DEBAC,DEBCA,DECAB,DECBA

Dengan demikian, kata DECAB dapat nomor

3 × 24 + 3 × 6 + 5 = 95

15. Pada sebuah segi–6 beraturan ABCDEF memiliki titik pusat 0. Jika P terletak di tengah

sisi AB maka perbandingan antara OP dan diagonal terpanjang segi-6 tersebut adalah...

a. √3 ∶3 d. √2 ∶4

b. √3 ∶4 e. √2 ∶5

c. √2 ∶3

Solusi:

Karena merupakan segi-6 beraturan maka panjang tiap sisi adalah sama.

Mis : panjang sisi-sisi tersebut adalah 𝑘

Sudut-sudut yang terbentuk dari segitiga pada sub bagian segi enam tersebut adalah

masing-masing 60° ini berarti segitiga-segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi.

Sehingga 𝑂𝐴 = 𝑘 = 𝐴𝐵 = 𝑂𝐹 = 𝑂𝐶.

𝑂𝑃 = √(𝑂𝐴)2 − (𝐴𝑃)2 =𝑎

2√3

Karena 𝐹𝐶 = 2𝑎 maka perbandingan antara 𝑂𝑃 dan diagonal terpanjang segi-6 tersebut

adalah √3 ∶ 4

16. Berapakah jumlah semua bilangan bulat positif kurang dari 100.000 yang hanya terdiri dari

digit 0 & 1 ?

a. 160.000 d. 178.000

b. 166.667 e. 179.010

c. 177.776

Solusi:

Agar bilangan kurang dari 100.000 maka banyak digitnya maksimal ada 5. Bilangan-

bilangan tersebut berbentuk abcde dengan a,b,c,d & e berniali 0 atau 1. Perhatikan bahwa

a menempati puluhan ribu, b menempati ribuan, c menempati ratusan, d menempati

puluhan & e menempati satuan.

Banyak bilangan dengan a = 1 ada 24 = 16 bilangan, sehingga ini akan

berkontribusi pada penjumlahan sebesar 16x10.000 = 160.000

Banyak bilangan dengan b = 1 ada 24 = 16 bilangan, sehingga ini akan

berkontribusi pada penjumlahan sebesar 16x1.000 = 16.000

Banyak bilangan dengan c = 1 ada 24 = 16 bilangan, sehingga ini akan

berkontribusi pada penjumlahan sebesar 16x100 = 1.600

Banyak bilangan dengan d = 1 ada 24 = 16 bilangan, sehingga ini akan

berkontribusi pada penjumlahan sebesar 16x1.000 = 160

Banyak bilangan dengan e = 1 ada 24 = 16 bilangan, sehingga ini akan

berkontribusi pada penjumlahan sebesar 16x100 = 16

17. Nilai dari lim𝑎→𝑏

tan 𝑎−tan 𝑏

1+(1−𝑎

𝑏) tan 𝑎 tan 𝑏−

𝑎

𝑏

= ⋯

a. 𝑎√3 d. 1

b. – 𝑏 e. 𝑎𝑏

c. 𝑎

𝑏

Solusi:

lim𝑎→𝑏

tan 𝑎 − tan 𝑏

1 + (1 −𝑎𝑏

) tan 𝑎 tan 𝑏 −𝑎𝑏

= lim𝑎→𝑏

tan 𝑎 − tan 𝑏

(1 −𝑎𝑏

) + (1 −𝑎𝑏

) tan 𝑎 tan 𝑏

= lim𝑎→𝑏

tan 𝑎 − tan 𝑏

(1 −𝑎𝑏

) (1 + tan 𝑎 tan 𝑏)

= lim𝑎→𝑏

tan(𝑎 − 𝑏)

1 −𝑎𝑏

= lim𝑎→𝑏

tan(𝑎 − 𝑏)

−1𝑏

(𝑎 − 𝑏)

= −𝑏

18. Sebanyak 12 marsmellow yang masing-masing memiliki diameter 8 satuan dan tinggi 5

satuan disusun dengan cara membentuk 3 baris dan 4 kolom. Sehingga terdapat cela di

antara marsmellow yang satu dan dengan yang ada di sekitarnya. Tepat di bagian atas

marsmellow diberikan susunan yang serupa dengan yang sebelumnya. Jika di bagian sela

marsmellow akan diberikan coklat cair, maka coklat yang di butuhkan ada

sebanyak ... satuan.

a. 728.5 d. 829.7

b. 779.3 e. 854.4

c. 781.4

Solusi:

Tampak bagian atas

Yang akan diberikan coklat adalah yang di arsir. Misalkan di ambil sub bagian dari

susunan tersebut maka volume coklat yang dibutuhkan adalah 12 kali arsiran di atas atau

2 kali 6 susunan di tiap barisan.

𝑉𝑐𝑜𝑘𝑙𝑎𝑡 = 12 𝑘𝑎𝑙𝑖 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛

= 12(𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑏𝑎𝑙𝑜𝑘 − 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑚𝑎𝑟𝑠𝑚𝑒𝑙𝑙𝑜𝑤)

= 12[(8 . 8 . 5) −1

4(𝜋 . 82 . 5)] = 854.4

19. Diketahui Budi adalah seorang siswa laki-laki dan Wati adalah seorang siswa perempuan.

Saat ini mereka duduk di kelas IX pada suatu sekolah. Mereka mencatat banyak siswa

kelas IX disekolah mereka. Wati mencatat 3/20 dari total siswa di kelas IX adalah laki-

laki. Sedangkan menurut catatan budi 1/7 dari total siswa dikelas IX selain dirinya adalahh

laki-laki. Banyaknya siswa laki-laki kelas IX disekolah mereka adalah?

a. 12 orang d. 21 orang

b. 16 orang e. 25 orang

c. 18 orang

Solusi:

Penyelesaian : Misal banyak siswa laki-laki adalah L, dan banyak siswa perempuan

adalah P.

Menurut Wati : 𝐿 =3

20(𝑃 + 𝐿) ⇔ 𝑃 + 𝐿 =

20

3𝐿

Menurut Budi :𝐿 − 1 =1

7(𝑃 + 𝐿 − 1)………………….(*)

Kita substitusikan kita peroleh

𝐿 − 1 =1

7(20

3𝐿 − 1)

7(𝐿 − 1) =20

3𝐿 − 1

7𝐿 − 7 =20

3𝐿 − 1

21𝐿 − 21 = 20𝐿 − 3

𝐿 = 18

Jadi banyaknya siswa laki-laki kelas IX adalah 18 orang.

20. Berapa jumlah bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaann |x-2000|+|x|≤9999?

a. 9999 d. 5999

b. 9998 e. 10000

c. 6000

Solusi:

Untuk 𝑥 > 2000

𝑥 − 2000 + 𝑥 ≤ 9999

2𝑥 − 2000 ≤ 9999

2𝑥 ≤ 11999

𝑥 ≤ 5999.5

Sehingga, 2000 < 𝑥 ≤ 5999.5

Untuk 0 < 𝑥 ≤ 2000

2000 − 𝑥 + 𝑥 ≤ 9999

2000 ≤ 9999

Ini selalu benar, sehingga 0 < 𝑥 ≤ 2000 semuanya memnuhi

Untuk 𝑥 < 0

2000 − 𝑥 − 𝑥 ≤ 9999

−2𝑥 ≤ 7999

𝑥 ≥ −3999.5

Sehingga, 𝑥 ≥ −3999.5

Jadi, nilai 𝑥 yang memenuhi berada pada rentang −3999.5 ≤ 𝑥 ≤ 5999.5

karna yang ditanyakan adalah bilangan bulat jadi solusinya adalah −3999 ≤ 𝑥 ≤ 5999

dan jumlahnya ada 9999.

21. Tentukan 20182 − 20172 + 20162 − 20152 + ⋯ + 42 − 32 + 22 − 12

a. 550.500 d. 518.671

b. 525.550 e. 550.550

c. 500.550

Solusi:

Tentukan 20182 − 20172 + 20162 − 20152 + ⋯ + 42 − 32 + 22 − 12

= (2018-2017)(2018+2017) + (2016-2015)(2016+2015) + ... + (4-3)(4+3)+(2-1)(2+1)

= 1 (2035) + 1 (2031) + ... + 1(7) + 1 (3)

Deret tersebt merupakan deret Aritmatika dgn U1 = 3 dan Un = 2035 dan beda = 4

Oleh karena itu, Un = 2035 = U1 + (n-1) b

2035 = 3 + 4n – 4

2035 – 3 + 4 = 4n

n = 509

Sn = n/2 (U1 + Un ) = 509/2 (3+2035) = 509 . 1019 = 518.671

22. Hasil dari 𝑑𝑦

8𝑑𝑥=

1

𝑒𝑥 , jika 𝑦 = 4 untuk 𝑥 = 0 adalah…

a. 𝑦 =1

8 d. 𝑦 = 8 + 𝑒𝑥

b. 𝑦 =1

8𝑒𝑥+ 12 e. 𝑦 =

8

𝑒𝑥+ 12

c. 𝑦 =1

𝑒𝑥 + 4

Solusi:

1

8

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑒𝑥

∫1

8𝑑𝑦 = ∫

1

𝑒𝑥𝑑𝑥

1

8𝑦 =

1

𝑒𝑥

𝑦 = −8

𝑒𝑥+ 𝐶

Jika 𝑦 = 4 untuk 𝑥 = 0

−8

𝑒𝑥+ 𝐶 = 4

𝐶 = 12

Jadi, jawab umum untuk persamaan diferensial ini adalah

𝑦 =8

𝑒𝑥+ 12

23. Diberikan dua buah persegi 𝐴 dan B dimana luas 𝐴 adalah separuh dari luas 𝐵. Jika keliling

𝐵 adalah 𝑃, maka keliling 𝐴 adalah …

a. (𝑝 + 2)√2 d. 𝑝

2√2

b. 𝑝+2

3√3 e. 𝑝 + √3

c. 𝑝√3

Solusi:

Luas 𝐵 = 2 . Luas 𝐴 maka 𝐵 = 2𝐴

Mis : Panjang sisi 𝐴 = 𝑥 dan panjang sisi 𝐵 = 𝑦 maka luas 𝐵 = 𝑦2

Sehingga 𝑦 = 𝑥√2.

Keliling 𝐵 = 4𝑦 maka 4 . √2 = 𝑝 sehingga 𝑥 =𝑎

8√2

Keliling 𝐴 = 4𝑥 =𝑝

2√2

24. Diketahui 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah bilangan riil positif dengan 𝑥 > 𝑦 > 𝑧 sedemikian sehingga

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12, 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 50, dan 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 = 216. Nilai dari 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧

adalah …

a. 13 d. 22

b. 19 e. 15

c. 26

Solusi:

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟐

(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 = 144

𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 + 2(𝑥 + 𝑦)𝑧 + 𝑧2 = 144

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) = 144

50 + 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) = 144

2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) = 94

(𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 + 𝒚𝒛) = 𝟒𝟕

𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 − 3𝑥𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − (𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧))

216 − 3𝑥𝑦𝑧 = 12(50 − 47)

3𝑥𝑦𝑧 = 216 − 36

𝑥𝑦𝑧 =180

3

𝒙𝒚𝒛 = 𝟔𝟎

Menurut teorema vieta, ini merupakan koefisien – koefisien dari polinomial monik

(koefisien dari pangkat tertinggi adalah satu) pangkat tiga dimana akar – akarnya adalah

𝑥, 𝑦, 𝑧. Jadi 𝑥, 𝑦, 𝑧 adalah solusi untuk

𝑎3 − (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑎2 + (𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧)𝑎 − 𝑥𝑦𝑧

= 𝑎3 − 12𝑎2 + 47𝑎 − 60

= (𝑎 − 3)(𝑎 − 4)(𝑎 − 5)

𝑥 > 𝑦 > 𝑧 , jadi 𝑥 = 5, 𝑦 = 4, 𝑧 = 3, lalu 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 26

25. Banyaknya cara mengisi persegi panjang berukuran 2 × 16 dengan persegi panjang yang

berukuran 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4 adalah...

a. 45 d. 120

b. 50 e. 150

c. 60

Solusi:

Persegi 2 × 16 akan diisi 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4. Panjangnya dapat diabaikan dan lebarnya

yang diperhatikan. Ketiga persegi harus diisi terlebih dahulu 2 + 3 + 4 = 9 tersisa 7

kotak, di dalam 7 kotak dapat diisi 2, 2, 3 dan 3, 4

Jumlah cara untuk 3 persegi pertama 2, 3, 4 adalah 3 × 2 × 1 = 6

Kemudian jumlah cara untuk mengisi tempat yang tersisa ada dua yaitu :

2, 2, 3 → 6 → 6 × 3 × 2 × 1 = 36

4,3 → 6 × 2 × 1 = 12

Jadi, jumlah untuk mengisi persegi 2 × 16 dengan persegi 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4

adalah 36 + 12 = 50

26. Nilai dari

∫𝑑𝜃

√𝑡𝑎𝑛2𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃= ⋯

𝜋2

𝜋6

a. 𝜋 d. 1

b. 𝜋

2 e.

𝜋

6

c. 2√3

Solusi:

∫𝑑𝜃

√𝑡𝑎𝑛2𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝜋2

𝜋6

= ∫cos 𝜃

𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜃 = [

−1

sin 𝜃]

𝜋6

𝜋2

=

𝜋2

𝜋6

−1

sin𝜋2

− (−1

sin𝜋6

) =−1

1− (

−1

12

) = −1 + 2 = 1

27. Berapkah nilai dari 1 + 𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 + 2𝑎𝑏 + 3𝑎𝑐 + 6𝑏𝑐 + 6𝑎𝑏𝑐 jika diketahui 𝑎 =

999, 𝑏 = 666, 𝑐 = 333?

a. 1320000000 d. 13320000000

b. 13220000000 e. 13332000000

c. 13332000000

Solusi:

Sederhanakan, sederhanakan, sederhanakan.

1 + 𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 + 2𝑎𝑏 + 3𝑎𝑐 + 6𝑏𝑐 + 6𝑎𝑏𝑐

= 1 + 𝑎 + 2𝑏(1 + 𝑎) + 3𝑐(1 + 𝑎) + 6𝑏𝑐(1 + 𝑎)

= (1 + 𝑎)(1 + 2𝑏 + 3𝑐 + 6𝑏𝑐)

= (1 + 𝑎)((1 + 3𝑐)(1 + 2𝑏))

Kemudian substitusikan nilai dari 𝑎,𝑏, dan 𝑐

= (1 + 999)(1 + 3(333))(1 + 2(666))

= (1000)(1000)(1332)

= 1332000000

28. Pada babak final sebuah turnamen, tim pemenang adalah tim yang pertama sekali

memenangkan dua pertandingan secara berurutan atau tim yang pertama sekali

memenangkan empat pertandingan. Banyaknya cara turnamen terjadi adalah...

a. 3 d. 14

b. 7 e. 19

c. 10

Solusi:

Misalkan menang adalah 𝑀 dan kalah adalah 𝐾. Kemungkinan turnamen yang terjadi

adalah

2 pertandingan {𝑀𝑀}

3 pertandingan {𝐾𝑀𝑀}

4 pertandingan {𝑀𝐾𝑀𝑀}

5 pertandingan {𝐾𝑀𝐾𝑀𝑀}

6 pertandingan {𝑀𝐾𝑀𝐾𝑀𝑀}

7 pertandingan {(𝐾𝑀𝐾𝑀𝐾𝑀𝑀), (𝑀𝐾𝑀𝐾𝑀𝐾𝑀)}

Jadi ada 7 turnamen yang mungkin terjadi.

29. Sebuah bola dengan jari-jari 𝑟 di tendang dari 𝐴 ke 𝐵. Bola tersebut menggelinding

sebanyak tepat 16 putaran sebelum membentur dinding dan berhenti. Jarak dari 𝐴 ke 𝐵

adalah ...

a. (32𝜋 + 1)𝑟 d. (18𝜋 + 3)𝑟

b. (32𝜋 + 3)𝑟 e. (18𝜋 + 5)𝑟

c. (32𝜋 + 5)𝑟

Solusi:

𝐴𝐶 = 16 . 2𝜋𝑟 = 32𝜋𝑟

𝐵𝐶 = 𝑂𝐶 𝑐𝑡𝑔(45°) = 𝑟

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 32𝜋𝑟 + 𝑟

∴ jarak dari 𝐴 ke 𝐵 adalah (32𝜋 + 1)𝑟

30. Bilangan 4 angka dibentuk dari angka 0, 1, 2, 8 dimana masing-masing angka digunakan

tepat satu kali. Jika semua bilangan 4 angka yang diperoleh dengan cara ini dijumlahkan,

maka jumlah ini mempunyai angka satuan ...

a. 0 d. 6

b. 2 e. 8

c. 4

Solusi:

Banyaknya bilangan yang mungkin adalah 4!=24

Masing-masing angka 0, 1, 2, 8 akan muncul (4-1)!=6 kali sebagai angka satuan.

Angka satuan bilangan tersebut = angka satuan 6.0 + 6.1 + 6.2 + 6.8 = 66