hubungan antara lingkaran-lingkaran - copy

58
HUBUNGAN ANTARA LINGKARAN – LINGKARAN GARIS SINGGUNG UKURAN SUDUT DAN UKURAN BUSUR PADA LINGKARAN LINGKARAN

Upload: anis-ziyaadaturrahmah

Post on 11-Dec-2014

212 views

Category:

Documents


7 download

TRANSCRIPT

Page 1: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

HUBUNGAN ANTARA

LINGKARAN – LINGKARAN

GARIS SINGGUNG

UKURAN SUDUT DAN UKURAN

BUSUR PADA LINGKARAN

LINGKARAN

Page 2: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Lingkaran (circle) adalah kumpulan semua titik di dalam suatu bidang yang berjarak sama dari titik pusat.

HUBUNGAN ANTARA LINGKARAN - LINGKARAN

V V V

>

Page 3: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Keliling (circumference) suatu lingkaran adalah panjang jarak mengelilingi lingkaran tersebut. Keliling ini mencakup .

Jari – jari (radius) adalah ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan suatu titik pada lingkaran. (lihat gb. 5-1)

Setengah lingkaran

Jari -jari Jari -jari

Jari

-jari

Tali Busur

A C

B

O

Busu

r

Busur

Gambar 5-1

Page 4: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Dari definisi lingkaran, dapat diketahui bahwa semua

jari – jari lingkaran adalah kongruen.

• Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan 2

titik sembarang pada lingkaran.

• Diameter adalah tali busur yang melalui pusat

lingkaran; diameter merupakan tali busur terpanjang

& panjangnya 2x panjang jari-jari.

• Sudut-pusat adalah sudut yang terbentuk oleh 2 jari-

jari.

• Busur adalah bagian dari suatu lingkaran. Setengah

lingkaran adalah busur yang berukuran setengah

keliling lingkaran, jadi mencakup .

Page 5: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Busur minor adalah busur yang lebih kecil dari setengah lingkaran. Busur mayor adalah busur yang lebih besar dari setengah lingkaran. Jadi, pada Gambar 5-1, adalah busur pendek dan adalah busur mayor (utama).

Pada gambar 5-1, & memotong .

Page 6: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Busur lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan 2 titik pada keliling.

Jadi, pada gambar 5-2, adalah busur.Diameter lingkaran adalah busur yang melalui titik

pusat.Garis potong lingkaran adalah garis yang memotong

lingkaran tersebut pada dua titik .Garis Singgung(atau tangen) lingkaran adalah garis yang

menyentuh lingkaran tersebut pada satu dan hanya satu titik, berapapun panjangnya garis yang dibuat.

Jadi, pada gambar 5-2, adalah diameter lingkaran tersebut di titik P. P adalah titik kontak atao titik singgung.

Page 7: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Gambar 5-2

Tali Busur

Diameter

o

Garis Potong

Garis Singgung

A B

C D

E F

G H

Page 8: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Poligon-dalam adalah poligon yang sisi-sisinya merupakan busur dari suatu lingkaran

Lingkaran-luar adalah lingkaran yang melewati setiap titik suatu poligon.

Poligon-Dalam Lingkaran -Luar

Jadi, ∆ ABD, ∆ BCD dan segiempat ABCD adalah poligon-poligon dalam pada lingkaran O pada gambar 5-3.

Lingkaran O adalah lingkaran-luar pada segiempat ABCD

D

CB

AO

Page 9: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Poligon-Luar adalah poligon yang semua sisinya merupakan garis singgung suatu lingkaran.

Lingkaran-dalam adalah lingkaran dimana semua sisi suatu poligon merupakan garis singgungnya.

Poligon-Luar Lingkaran-Dalam

Gambar 5-4

Jadi, ∆ ABC adalah poligon luar pada lingkaran O pada gambar 5-4 & Lingkaran O adalah lingkaran-dalam pada ∆ ABC.

B C

A

O

Page 10: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Lingkaran-lingkaran konsentrik adalah lingkaran-lingkaran yang mempunyai titik pusat yang sama.

Lingkaran-lingkaran Konsentrik

Gambar 5-5

AB

C

D

O

P

Jadi, 2 lingkaran pada gambar 5-5 = lingkaran-lingkaran konsentrik, = garis singgung lingkaran-dalam &busur lingkaran-luar. = garis potong lingkaran-dalam & busur lingkaran-luar.

Page 11: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

2 lingkaran sama jika panjang jari-jarinya sama, dan 2 lingkaran kongruen jika jari2nya kongruen.

V V

A B

Lingkaran A lingkaran B

Page 12: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

2 busur kongruen jika besar derajat dan panjangnya sama.

A

BO

C

DO

m m

Page 13: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Prinsip 1

PRINSIP LINGKARAN

Diameter

Diameter membagi lingkaran menjadi 2 bagian yang sama

Page 14: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Jika suatu busur membagi lingkaran menjadi 2 bagian yang sama,maka busur tersebut adalah diameter.

A B

Busur AB = Diameter

Prinsip 2

Page 15: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Prinsip 3

Suatu titik terletak diluar, pada, atau didalam lingkaran tergantung apakah jaraknya dari titik pusat lebih besar

daripada, sama dengan, atau lebih kecil daripada jari-jari lingkaran.

A

B

C

Jari-jari

A > Jari-jari, maka A berada di luar lingkaran

B = Jari-jari, maka B berada pada lingkaran

C < Jari-jari, maka C berada di dalam lingkaran.

Page 16: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 4Jari-jari lingkaran-lingkaran yang sama / kongruen adalah kongruen

A B=

=

O P

A B

O P

PRINSIP 5Diameter lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen adalah kongruen.

A B=

O P

=

C D

O P

Page 17: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, sudut-sudut pusat yang kongruen mempunyai busur-busur yang kongruen.

PRINSIP 6

O

A

B

C

D

P

E

F

G

H

O P

Page 18: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, busur-busur yang kongruen mempunyai sudut-sudut pusat yang kongruen

Prinsip 7

OBA

DC

PFE

HG

Page 19: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, tali busur-tali busur yang kongruen mempunyai busur-busur yang kongruen.

PRINSIP 8

S

D

C

B

A

T

H

G

F

E

ll ll

ll ll

Page 20: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, busur-busur yang kongruen mempunyai tali busur yang kongruen.

PRINSIP 9

S

D

C

B

A

T

H

G

F

E

Page 21: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Diameter yang tegak lurus dengan suatu tali busur membagi 2 tali busur tersebut dan juga membagi 2 busurnya.

PRINSIP 10

┴A B

C

D

Page 22: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Garis-berat suatu tali busur melalui titik pusat lingkaran.

PRINSIP 11

OA B

Page 23: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Pada lingkaran-lingkaranyang sama/kongruen, tali busur yang kongruen berjarak sama dari titik pusat.

PRINSIP 12

O

A B

Q

P

C D

R

Q & R : Jarak tali busur dari titik pusat

maka, Q = R

Page 24: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, tali busur yang berjarak sama dari titik pusat adalah kongruen.

PRINSIP 13

O

AB

Q

P

C D

R

Q & R : Jarak tali busur dari titik pusat

Jika, Q = R maka,

Page 25: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

GARIS SINGGUNG

Panjang garis singgung dari suatu titik ke

lingkaran adalah panjang segmen garis singgung tersebut dari

suatu titik tertentu ke titik

singgung

PA

O

Jadi PA adalah panjang garis singgung dari titik P ke lingkungan O pada

Gambar 5-6

Gambar 5-6

Page 26: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP GARIS SINGGUNG

PR

INSIP

1

Garis Singgung adalah garis tegak lurus terhadap jari-jari dan menuju titik

singgung

A

BOJari-jari

h

Jadi,garis AB adalah merupakan garis singgung h

yang melalui titik B pada lingkaran O

Page 27: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PR

INSIP

2Suatu garis merupakan garis singgung

lingkaran jika garis tersebut tegak lurus terhadap jari-jari pada ujung terluarnya

A

BOJari-jari

h

Jadi,garis h adalah merupakan garis singgung karena

tegak lurus terhadap jari-jari

OB

Page 28: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PR

INSIP

3Suatu garis melalui titik pusat lingkaran jika garis tersebut tegak lurus terhadap

suatu garis singgung pada titik singgungnya.

Jadi,garis h adalah merupakan garis yang

melalui titik pusat lingkaran karena garis tersebut tegak

lurus terhadap garis singgung A pada titik

singgung B

A

B

Oh

Page 29: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PR

INSIP

4Garis-garis singgung lingkaran dari suatu titik di luar lingkaran adalah

kongruen

Jadi,

MN & NP = Garis Singgung

Page 30: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 5Ruas garis dari titik pusat lingkaran ke suatu titik di luar

lingkaran membagi-dua sudut di antara garis-garis singgung dari titik tersebut ke lingkaran

Jadi, garis ON membagi-dua sudut diantara

garis-garis singgung MN & NP

Page 31: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Dua lingkaran pada Posisi Relatif yang Berbeda

Garis titik pusat lingkaran adalah garis yang menghubungkan titik pusat

lingkaran.

O O’

Jadi, adalah garis titik pusat

lingkaran O dan O’ pada Gambar 5-7

Gambar 5-7

Page 32: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Lingkaran-lingkaran yang Bersinggungan di Luar

AC

D

R r

O O'

E

p

F

B

Gambar 5-8

Lingkaran O dan O' pada

Gambar 5-8 bersinggungan di luar

pada titik P. adalah garis

singgung dalam kedua lingkaran

tersebut. Garis titik pusat

melewati P, tegak lurus dengan ,

dan panjangnya sama dengan jumlah

jari-jarinya, yaitu R+r. Selain itu,

membagi-dua setiap garis singgung

luar bersama, &

Page 33: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Lingkaran-lingkaran yang Bersinggungan di Dalam

A

R

P

B

rO'O

Gambar 5-9

Lingkaran O & O' pada Gambar 5-9

bersinggungan di dalam pada titik P.

adalah garis singgung luar kedua

lingkaran tersebut. Garis titik pusat

jika diperpanjang melewati

P, tegak lurus dengan , dan

panjangnya sama dengan selisih

antara jari-jarinya, yaitu R+r.

Page 34: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Lingkaran-lingkaran yang Bertumpang-Tindih

BO'O

E

A

C

D

F

P

Gambar 5-10

Lingkaran O & O' pada Gambar 5-10

bertumpang-tindih. merupakan

tali busur bgersama. Jika lingkaran-

lingkaran tidak sama, garis singgung

luar kedua lingkaran tersebut (yang

sama) yaitu & bertemu

di P. Garis titik pusat

merupakan garis-berat dan jika

diperpanjang akan melalui P.

Page 35: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

A

PBC

G

H

D

P'

F

E

O'O

Gambar 5-11

Lingkaran-lingkaran yang Saling Terpisah

Lingkaran O & O' pada Gambar 5-11

benar-benar terpisah satu sama lain.

Garis singgung dalam keduanya,

& , bertemu di titik P. Jika

lingkaran-lingkaran tidak sama, garis

singgung luar kedua lingkaran

tersebut, & , jika

diperpanjang, bertemu di titik P. Garis

titik pusat melewati P & P'.

Selain itu , = & =

Page 36: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

A

D

C

B

O

Gambar 5-12

Ukuran Sudut dan Ukuran Busur pada Lingkaran

Sudut-sudut mempunyai derajat

yang sama dengan derajat busur yang

dipotong. Jadi, seperti terlihat pada

gambar 5-12, sudut-pusat yang

merupakan sudut siku-siku memotong

busur , sudut-sudut

memotong busur , dan sudut

pusat yang merupakan sudut lurus

memotong setengah lingkaran

berderajat .

Page 37: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Sudut-dalam adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya merupakan tali busur. Sudut yang terlingkupi dalam suatu busur mempunyai titik sudut yang berada pada busur tersebut dan sisi-

sisinya melalui ujung-ujung busur.

B

C

OA

Gambar 5-13

Jadi, memotong dan

terlingkupi dalam

Page 38: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP PENGUKURAN SUDUT

PR

INS

IP 1

Sudut-pusat diukur dengan busur yang dipotongnya.

O B

A

Sudut-pusat O

memotong busur AB

(besarnya )

→ m =

Page 39: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PR

INS

IP 2

Sudut-dalam diukur dengan setengah dari busur yang dipotongnya.

B

C

OA

Sudut-dalam A

memotong busur AB

Page 40: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PR

INS

IP 3

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen , sudut-dalam yang kongruen

mempunyai busur-busur terpotong yang kongruen

B

C

OA

E

F

PD

Page 41: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 4

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, sudut-dalam yang mempunyai busur-busur terpotong kongruen adalah

kongruen

B

C

OA

E

F

PD

Page 42: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 5

Sudut-dalam pada busur-busur yang sama/kongruen adalah kongruen

B

C

A

E

F

D

Page 43: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

└O D

C

B

A

PRINSIP 6

Sudut-dalam pada setengah lingkaran adalah siku-siku

Page 44: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 7

Sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat-dalam bersifat suplementer.

DC

BA

O

Page 45: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 8

Garis-garis yang sejajar memotong busur-busur yang kongruen dalam suatu lingkaran.

D

C

BA

F

EAB : diameter &

Jadi,

memotong busur ECB

& busur ADF

Page 46: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 9

Sudut yang terbentuk oleh garis singgung dan tali busur ukurannya adalah setengah dari busur yang

dipotongnya

A

B

C

Page 47: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 10

Sudut yang terbentuk oleh 2 tali busur yang berpotongan ukurannya adalah setengah dari jumlah busur-

busur yang dipotong

A

BC

D

1

Page 48: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 11Sudut yang terbentuk oleh dua garis

potong yang berpotongan di luar lingkaran ukurannya adalah setengah

dari selisih busur-busur yang dipotong

A

B

C

ED

Page 49: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 12Sudut yang terbentuk oleh garis singgung dan garis potong yang

berpotongan diluar lingkaran ukurannya adalah setengah dari

selisih busur-busur yang dipotong

A B

C

D

Page 50: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

PRINSIP 13Sudut yang terbentuk oleh dua garis

singgung berpotongan di luar lingkaran ukurannya adalah setengah

dari selisih busur-busur yang dipotong

A

B

C

D

Page 51: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Posisi Verteks

Jenis Sudut Diagram Rumus Pengukuran

Metode Pengukuran

Titik pusatLingkaran

Sudut-pusat(gunakan prinsip 1)

Dengan busur yang dipotong

Pada Lingkaran

Sudut-dalam(gunakan prinsip 2)

Dengan setengah busur yang dipotong.

Sudut yang terbentuk oleh garis singgung bdan tali busur (gunakan prinsip 9)

Tabel Prinsip Pengukuran Sudut

A

O

B

C

BA

AB

C

Page 52: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Di dalam lingkaran

Sudut yang terbentuk oleh dua tali busur yang berpotongan (gunakan prinsip 10)

Dengan setengah dari jumlah busur-busur yang dipotong

Di luar lingkaran

Sudut yang terbentuk oleh 2 garis potong (gunakan prinsip 11) Dengan

setengah dari selisih busur-busur yang dipotong

Sudut yang terbentuk oleh garis potong &garis singgung 9gunakan prinsip 12)

1

D

CB

A

A

B

C

D

E

C

BA

D

Page 53: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Sudut yang terbentuk oleh 2 garis singgung (gunakan prinsip 13)

AB

DC

Page 54: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

CONTOH SOAL

Buktikan bahwa tali busur yang sejajar pada ujung-ujung diameter panjangnya sama

Penyelesaian

Diketahui : Lingkaran O

. Adalah diameter

Untuk pembuktian : AC = BD

Bukti bahwa : - sesuai dengan gambar dpat diketahui

bahwa

O

D

C

BA

Page 55: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

BUKTI 2

A B

D

C

Terbukti karena diameter memotong

lingkaran menjadi 2 buah setengah lingkaran yang

sama & sesuai dengn prinsip lingkaran yang ke-1

A B

adalah diameter

Terbukti karena sesuai dengan prinsip lingkaran

yang ke-1

BUKTI 1

Page 56: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

BUKTI 4

C

BA

F

ED

Terbukti sesuai dengan prinsip pengukuran sudut

yang ke-8

Terbukti sesuai dengan definisi dari garis-garis

sejajar

BUKTI 3

A

B C

D

Page 57: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

Terbukti sesuai dengan definisi busur-busur yang

kongruen

BUKTI 5

A

B C

D

BUKTI 6

AC = BD

Terbukti: Pada lingkaran, busur-busur

yang sama mempunyai tali busur yang sama

panjangnya.

A

B C

D

Page 58: Hubungan Antara Lingkaran-lingkaran - Copy

SEKIANNNN…………

WASSALAMU’ALAIKUM Wr.

Wb.