grup objek

8/16/2019 GRUP OBJEK

1/11

GRUP OBJEK-OBJEK YANG LAIN

1. H = { x ∈ R │x = 3m6n m, n ∈ Z }

Apakah < H, X > merupakan grup ?

Penyee!a"an #

". Akan $"%uk&"kan < H,X > merupakan grup'"$

Am%" a, % ∈ H

("!akana = 3m 6n

% = 3k 6 m, n, k, ∈ Z

maka # a ×b=3m

6

n

×3

k

6

l

=3m+k

6

n+l

karena m, n, k, ∈ Z maka m ) k, n ) *uga ∈ Z. !eh"ngga %eraku

!"+a& &er&u&up $an < H,X > merupakan grup'"$

"". Akan $"%uk&"kan < H,X > merupakan !em" grup

Am%" a, %, ∈ H

("!akana = 3m 6n

% = 3k 6

= 3' 6 p m, n, k, , ', p ∈ Zmaka #

3m6

n× (3k 6 l ×3o6 p )= (3m6n ×3k 6l ) ×3o6 p

3m6

n× (3k +o6l+ p )=(3m+k 6n+l ) ×3o 6 p

3m+k +o

6n+l+ p=3m+k +o6n+l+ p

karena3m6n× (3k 6l×3o6 p )=(3m6n×3k 6l )×3o6 p , maka pa$a

%eraku !"+a& a!'!"a&"+ !eh"ngga < H,X > merupakan !em" grup

""". Apakah < H,X > punya un!ur ke!a&uan ?

Am%" a, % ∈ H, $"mana #

a = 3m 6n

% = 3k 6 m, n, k, ∈ Z

("!akan % a$aah unke! k"r" $" H ,maka #3k 6l×3

m6n=3m6n

3k 6l=3m6

n

3m6n=3

060


2/11

-a$" b=3060

adalahunkeskiri di H

("!akan % a$aah unke! kanan $" H ,maka #3m6n×3

k 6l=3m6n

3k 6l=3m6

n

3m6

n=3

060

-a$" b=3060

adalahunkeskanandi H

arena a mem""k" unke! k"r" = unke! kanan= 3060

, maka < H,X > m'n'"$

"/. Apakah !e&"ap un!ur $" < H,X > mem""k" "n/er! ?Am%" a, % ∈ H $" mana #

a = 3m 6n

% = 3k 6l

m,n,k, ∈ Z

("!akan % "n/er! k"r"$ar" a maka #b × a=e 3k 6l×3m6n=3060

3k 6l=

3060

3m6

n=3

−m6−n

-a$" a mem""k" "n/er! k"r" ya"&u % = 3−m6−n .

("!akan % a$aah "n/er! kanan $ar" a ,maka #a×b=e 3m6n×3k 6l=3060

3k 6l=

3060

3m6n=3−m6−n

-a$" a mem""k" "n/er! kanan ya"&u % = 3−m

6−n

.

arena a mem""k" "n/er! k"r" = "n/er! kanan = 3

−m6−n

.0eh"ngga < H, X > merupakan grup.

. K = {log x , x∈ R }

Apakah < , ) > merupakan grup ?

Penyee!a"an #". Akan $"%uk&"kan< , ) >merupakan grup'"$

Am%" # a, % ∈

("!akan #


3/11

a = 'g p

% = 'g 2 p,2 ∈ R

maka #log p+log q=log pq

arena p,2 ! ∈ R maka p2 *uga ∈ R. %eraku !"+a& &er&u&up, !eh"ngga <

, ) > grup'"$.

"". Akan $"%uk&"kan < , ) >merupakan !em" grup

Am%" a, %, ∈

("!akan #a = 'g p

% = 'g 2

= 'g r p,2,r ∈ R

maka # ( log p+log q )+ logr=log pq+log r

¿ log pqr

¿ log p+log qr

¿ log p+( log q+ logr )

arena (log p+logq )+ logr=log p+( log q+ log r ) , maka pa$a< , ) >

%eraku !"+a& a!!'!"a&"+. 0eh"ngga < , ) > grup'"$

""". Apakah < , ) > mem""k" un!ur ke!a&uan ?

Am%" # a,% ∈

("!akan #a = 'g p

% = 'g 2 p,2 ∈ R

m"!akan % a$aah unke! k"r" $" , maka #log q+ log p=log p

log q=log p− log p

logq=log p

p= log1

q=1

-a$" % = 'g 1 a$aah unke! k"r" $" .m"!akan % a$aah unke! kanan $" , maka #log p+log q=log p


4/11

log q=log p− log p

logq=log p

p= log1

q=1

*a$" % = 'g 1 a$aah unke! kanan $"

karena a mem""k" unke! k"r" = unke! kanan = 'g 1, maka < , ) > merupakanm'n'"$

"/. Apakah !e&"ap un!ur $" < , ) > mem""k" "n/er!?

Am%" a, % ∈

a = 'g p % = 'g 2 p,2 ∈ R

("!akan % "n/er! k"r" $ar" a maka #

b+a=e

logq+ log p=log1

logq=log1−log p=log 1

p

q=1 p

-a$" a mem""k" "n/er! k"r" ya"&u % = log 1

p .

("!akan % "n/er! kanan $ar" a maka#

a+b=e

log p+log q=log 1

logq=log1−log p=log 1 p

q=1

p

-a$" a mem""k" "n/er! kanan ya"&u % = log 1

p

arena a mem""k" "n/er! k"r" = "n/er! kanan = log 1

p

0eh"ngga < , )> merupakan grup.


5/11

3. L={a x, x∈ R }

Apakah < ,X > merupakan grup ?

Penyee!a"an #". Akan $"%uk&"kan < , X > merupakan grup'"$

Am%" !, & ∈

("!akan # s=ag

t =ah g , h∈ R

(aka #a

g× a

h=ag+h

arena g , h∈ R maka g+h juga ∈ R . 4eraku !"+a& &er&u&up. 0eh"ngga

< , X > grup'"$.

"". Akan $"%uk&"kan < , X > merupakan !em" grup

Am%" !, &, u ∈

("!akan # s=ag

& ¿ah

u=ai g , h , i∈ R

(aka #a

g× (ah × ai )=( ag × ah ) ×ai

¿ag+h ×a I

¿ag+h+i

¿ag×ah+i

¿ag× (ah ×a i )

arena ag

× (ah × ai )=( ag × ah ) ×ai , maka pa$a < ,X> %eraku !"+a&

a!!'!"a&"+. 0eh"ngga < ,X> !em" grup

""". Apakah < , X > punya un!ur ke!a&uan ?

Am%" !, & ∈ $"mana #

s=ag

t =ah g ,h∈ R

("!akan & a$aah unke! k"r" $" ,maka #


6/11

ah

× ag=ag

ah=

ag

ag=a

g− g=a

0=1

-a$" & = 1 a$aah unke! k"r" $" ("!akan & a$aah unke! kanan $" ,maka #

ag

× ah=ag

ah=

ag

ag=ag− g=a0=1

-a$" & = 1 a$aah unke! kanan $"

arena a mem""k" unke! k"r" = unke! kanan = 1, maka < ,X> m'n'"$.

"/. Apakah !e&"ap un!ur $" < , X > mem""k" "n/er!?

Am%" !, & ∈ $"mana #

! ¿ag

& ¿ah

g,h ∈ R

("!akan & "n/er! k"r" $ar" ! maka #ah×a

g=e

ah

× ag=1

ah=

1

ag=a−g

-a$" ! mem""k" "n/er! k"r" ya"&u & = a−g

("!akan & "n/er! kanan $ar" ! maka #ag×a

h=e

ag

× ah=1

ah= 1ag=a−g

-a$" ! mem""k" "n/er! kananya "&u & = a−g

arena ! mem""k" "n/er! k"r" = "n/er! kanan = a−g

0eh"ngga < , X > merupakan grup.

5. = {a7% 8 a, % ∈ Z $an % ≠ 9}

Apakah h"mpunan %"angan ra!"'na &erha$ap 'pera!" :;);;, yang $"am%angkan

$engan < , ) > merupakan grup ?pera!" pen*umahan $"$e+"n"!"kan $engan a&uran a7% ) 7$ = a$ ) %7%$


7/11

Penyee!a"an #". Akan $"%uk&"kan < , ) > merupakan grup'"$

Am%" # a7% $an 7$ $"mana a,%,,$ ∈ Z

4er$a!arkan $e+"n"!" 'pera!" pen*umahan pa$a %"angan ra!"'na $"$apa& #ab+c

d=

(ad+bc )bd

arena a, %, ,$ ∈ Z maka a$, %, %$ *uga ∈ Z. *a$" ha!"

pen*umahan $" a&a! memenuh" !"+a& &er&u&up. 0eh"ngga < , ) > grup'"$."". Akan $"%uk&"kan < , ) > merupakan !em" grup

Am%" # a7%, 7$ $an e7+ $"mana a, %, , $, e, + ∈ Z

(aka #

(ab+ cd )+

ef = ad+bc

bd + e

f

¿( ad+bc ) f + (bd )e

(bd ) f

¿ adf +bcf +bde

bdf

¿ a(df )+b(cf )+b(de)

b(df )

¿ a

b+(cf +de)

df

¿ a

b+( cd +

e

f )

arena ( ab+c

d )+e

f =

a

b+( cd +

e

f ) maka < ,)> memenuh" !"+a& a!!'!"a&"+ *a$" < ,) > !em" grup.

""". Akan $"%uk&"kan < , ) > merupakan m'n'"$

Am%" # a7% , 7$ $"mana a, %, , $ ∈ Z $an b ,d≠0

("!akan 7$ merupakan unke! k"r" $ar" a7%, maka #c

d+

a

b=

a

b

cb+adbd

=a

b

bd=b


8/11

d=1

cb+ad=a→cb=a−ad

arena $ = 1, maka cb=0

arena b≠0 , maka c=0

(aka unke! k"r" $ar"a

b a$aah0

1

("!akanc

d merupakan unke! kanan $ar" a7% #

a

b+

c

d=

a

b

( ad+bc)bd

=a

b

bd=b

d=1

ad+bc=a→bc=a−ad

arena $ = 1,maka cb=0

arena

b≠0

, maka

c=0

(aka unke! kanan $ar"a

b a$aah0

1

arena unke! k"r" = unke! kanan =0

1 , maka < , ) > m'n'"$.

"/. Apakah !e&"ap un!ur $" < , ) > mem""k" "n/er!?

Am%"a

b, c

d∈ $"mana a, %, , $ ∈ Z, $an %,$ ≠ 9

("!akanc

d merupakan "n/er! kanan $ar"a

b , maka #

a

b+

c

d=

0

1

c

d=

0

1−

a

b →

c

d=

0−ab

c

d=−a

b


9/11

-a$"a

b mem""k" "n/er! kanan ya"&u−a

b .

("!akan

c

d merupakan "n/er! k"r" $ar"

a

b , maka #

c

d+

a

b=

0

1

c

d=

0

1−

a

b →

c

d=

0−ab

c

d=−a

b

-a$"ab mem""k" "n/er! kanan ya"&u

−ab .

arenaa

b mem""k" "n/er! k"r" = "n/er! kanan =−a

b

0eh"ngga < , )> merupakan grup.

@. (engapa h"mpunan $ar" %"angan %ua& gan*" %ukan !e%uah grup ?Penyee!a"an#ua aa!an mengapa h"mpunan $ar" %"angan %ua& gan*" %ukan !e%uah grup a$aah#

B"$ak &er&u&up karena *"ka $ua %"angan gan*" $"*umahkan maka akanmengha!"kan %"angan genap.4uk&"#a, b %"angan %ua& gan*"("!a# a = n ) 1b = m ) 1a ) b = n ) m ) a ) b = n ) m ) 1 %"angan %ua& genap

B"$ak mempunya" "$en&"&a! karena un&uk 'pera!" pen*umahan "$en&"&a!nya a$aah9. 0e$angkan 9 &"$ak &erma!uk $aam %"angan %ua& gan*".

6. aam C h"mpunan %"angan a!" %"a $"$e+"n"!"kanpera!" x∗ != x+ !+ x!

Bun*ukan %ahDa < C, ¿ > a$aah !e%uah grup

". Akan $"%uk&"kan < C, ¿>¿ merupakan grup'"$?

Am%" x,y ∈ C x∗ != x+ !+ x!

arena x, y ∈ C, maka x, y, xy *uga ∈ C !eh"ngga 'pera!" perka"an "n"

%er!"+a& &er&u&up < C, ¿ > grup'"$


10/11

"". Akan $"%uk&"kan< C, ¿ > merupakan !em"grup?

Am%" x, y, E ∈ C

(aka x∗( !∗ " )=( x∗ ! )∗ "

x∗( !+ "+ !" )=( x+ !+ x! )∗ "

( x+ !+ "+ !" )+( x!+ x"+ x!" )=( x+ !+ x!+ " ) ( x"+ !"+ x!" )

x+ !+ "+ x!+ x"+ !"+ x!"= x+ !+ "+ x!+ x"+ !"+ x!"

arena ha!" pen*a%aran rua! k"r" = rua! kanan, maka< C, ¿ > merupakan!em"grup.

""". Apakah < C, ¿ > punya un!ur ke!a&uan?

Am%" x, y ∈ C

("!anya y a$aah unke! k"r" $ar" x maka# !∗ x= x

!+ x+ !x= x

!+ !x= x− x

! ( x+1 )=0

!= 0

x+1=0

("!akan y a$aah unke! kanan $ar" x, maka # x∗ != x

x+ !+ x!= x

!+ !x= x− x

! ( x+1 )=0

!= 0

x+1=0

arena x mem""k" unke! k"r" = unke! kanan = 9, maka < C, ¿

> m'n'"$."/. Apakah < C, ¿ > merupakan grup?

Am%" x,y ∈ C

("!anya y a$aah "n/er! k"r" $ar" x maka#

!∗ x=0

!+ x+ !x=0

!+ !x=− x

! ( x+1 )=− x


11/11

grup objek

Documents