1

KARYA TULIS ILMIAH

VISUALISASI GERAK PELURU MENGGUNAKAN MATLAB

Oleh:

Drs. Ida Bagus Alit Paramarta, M.Si.

Dra. I.G.A. Ratnawati, M.Si.

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

2015

2

3

ABSTRAK

Telah dibuat visualisasi gerak peluru menggunakan bahasa pemrograman MATLAB.

Visualisai meliputi gerak peluru tanpa memperhitungkan hambatan udara dan gerak

peluru yang memperhitungkan hambatan udara yang sebanding dengan kecepatan

peluru. Hasi pemrograman menunjukan bahwa ada perbedaan yang sangat jelas tinggi

maksimum dan jangkaun maksimum yang dicapai oleh peluru untuk kedua kasus

tersebut. Ke depannya akan diusahakan untuk membuat visualisasi gerak peluru dengan

hambatan udara ynag sebanding dengan kuadrat kecepatan peluru.

Kata kunci: gerak peluru, hambatan udara, ketinggian maksimum, jangkauan uan

maksimum

ABSTRACT

Visualisation on projectile motion have been made by means of computer progrem

MATLAB. This visualisation including projectile motion without air resistance and

with air resistance that propotional to the projectile velocity. From result of thr prograit

can be shown that the maximum high and maximum range clearly different for both of

the case. For the future, it will be attempt to made a visualisation on projectile motion

thac includ the air resistance that propotional to square the velocity of the projectile

Key words: projectile motions, air resistance, maximum height, range maximum

4

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehaapan Ida Sang Hyang Widhi Wasa/Tuhan

Yang Maha Esa, ata asung kerta wara nugrahanya sehingga penulisan karya ilmiah ini

dapat diselesaikan dengan baik. Makalah ini bertujuan untuk memberikan tambahan

pengetahuan kepada pembaca tentang persoalan gerak peluru. Persoalan gerak peluru

sudah dibahas sejak SMA hingga perguruan tinggi, teapi tidak ada yang menyertakan

hambatan udara di dalam pembahasannya.

Pada makalah ini dibahas persoalan geak peluru dengan menyertakan hambatan

udara yang sebanding dengan kecepatan peluru. Persoalan dibatasi hanya untuk gerak

peluru dekat permukaan bumi sehingga efek koriolis bumi dapat diabaikan. Juga telah

dibuat program untuk menunjukan perbedaan ketinggian maksimum dan jangkauan

maksimum yang dicapai peluru untuk gerak peluru tanpa dan dengan hambatan udara.

Hasil visualisasi gerak peluru menggunakan bahasa pemrograman MATLAB

menunjukan ada perbedaan yang jelas untuk jangkauan maksimum dan ketinggian

maksimum yang dicapai peluru untuk kedua kasus yang dibaha.

Penulis menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang elah membantu

baik itu rekan-rekan dosen atas masukannya maupun mahasiswa atas koreksinya

sehingga penulisan makalah ini dapat diselesaikan dengan baik

Penulis menyadari bahwa meskipun segenap kemampuan telah dicurahkan untuk

menyelesaikan karya tulis ilmiah ini tetapi masih banyak kekurangannya. Untuk itu

setiap kritik dan saran untuk kesempurnaan karya tulis ini akan diterima dengan tangan

dan hati terbuka

Bukit Jimbaran, Desember 2015

Penulis

5

DAFTAR ISI

ABSTRAK

KATA PENGANTAR

Daftar Isi

BAB I. PENDAHULUAN 1

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2

BAB III. HASIL DAN PEMBAHASAN 5

BAB IV. PENUTUP 11

DAFTAR PUSTAKA 18

6

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam pembelajaran fisika persoalan gerak peluru menjadi topik yang sangat

penting mulai dari tingkat SMA sampai perguruan tinggi. Banyak hal yang bisa

dipelajari dari persoalan gerak peluru, mulai dari konematika yang paling sederhana

sampaii penyelesaian secara numerik dan dengan membuat visualisasinya dengan

bahasa pemrograman. Persoalan gerak peluru yang paling sederhana adalah dengan

menyelesaikannya dengan menggunakan persaman-persamaan kinematika.

Penyelesaian kasus seperti ini biasa dilakukan di tingkat SMA dan pada awal-awal

kuliah di perguruan tinggi yang terdapat dalam mata kuliah fisika dasar..

Penyelesaian persoalan gerak peluru menjadi tidak sederhana ketika hambatan

udara disertakaan dalam pembahasannya. Untuk persoalan seperti ini gerak peluru tidak

dapat lagi diselesaikan secara analiktik tetapi harus dengan pendekatan tertentu.

Misalnya untuk peluru yang bergerak dengan kecepatan samapi 24 m/s hambatan udara

sebanding dengan kecepatan udara dan untuk kecepatan peluru yang lebih besar dari

nilai tersebut tetapi di bawah kecepatan suara, hambatan udara berbanding lurus dengan

kuadrat kecepatan peluru. ( Marion , 1988)

Hambatan udara yang disertakan dalam pembahsan gerak peluru akan memberikan

pemahaman yang lebih kepada mahasiswa tentang bagaimana sutu teori fisika

digunakan dan batasan-batasan teori tersebut berlaku dan benar untuk menyelesaikan

suatu persoalan fisika. Dengan memasukan hambatan udara dalam pembahasan gerak

peluru dapat dilihat bahwa ada koreksi terhadap pengidealan kasus gerak peluru dengan

mengabaikan hambatan udara. Ketinggian maksimum, jangkauan maksimum yang

dicapai peluru akan berkurang dengan adanya hambatan udara. Mahasiswa akan

menyadari bagaimana transisi dari teori yang ideal menjadi teori dengan kenyataan yang

sebenarnya. Ketika hambatan udara menjadi semakin kecil dan bisa diabaikan,

penyelesaian geak peluru dengan menyertakan hambatan udara harus bisa

dikembalikan ke hasil ketika gerak peluru dianggap ideal, yaitu tidak ada hambatan

udara.

7

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Gerak Peluru

Gerak peluru merupakan gabungan antara gerak dengan kecepatan tetap/Gerak

Lurus Beraturan (GLB) pada arah horizontal serta gerak dengan percepatan tetap /Gerak

Lurus Berubah Beraturan (GLBB) pada arah vertikal. Gerak peluru selalu mempunyai

kecepatan awal. Walaupun demikian, tidak berarti setiap gerakan yang mempunyai

kecepatan awal termasuk gerak peluru. Gerak Peluru adalah gerak dimana suatu benda

diberi kecepatan awal dan bergerak sejauh lintasan yang dipengaruhi gaya gravitasi

bumi (lintasannya berbentuk parabola).

Gambar 2.1 Lintasan Gerak Parabola

(Suryani, Gita. 2015)

Kecepatan awal kearah horizontal (sumbu X)

𝑉0𝑥 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ (2.1)

Kecepatan awal kearah vertikal (sumbu Y)

𝑉0𝑦 = 𝑉0 𝑠𝑖𝑛 ∝ (2.2)

2.1.1 Persamaan Gerak Peluru tanpa Memperhitungkan Hambatan Udara

Persamaan yang digunakan pada gerak peluru tanpa memperhitungkan hambatan

udara sebagai berikut:

8

Kecepatan peluru saat t sekon:

Pada sumbu X :

Karena jenis geraknya GLB (gerak lurus beraturan) maka kecepatannya selalu

konstan , sehingga akan sama dengan kecepatan awal untuk sumbu X yaitu:

𝑉𝑥 = 𝑉0𝑥 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ (2.3)

Pada sumbu Y:

Jenis gerakan pada sumbu Y adalah GLBB (gerak lurus berubah beraturan),

rumus untuk mencari kecepatan saat t yaitu Vt = Vo - gt dengan Vo disini diganti Vo

miliknya Y atau Voy , yaitu:

𝑉𝑦 = 𝑉0 sin ∝ −𝑔𝑡 (2.4)

Saat t sekon, ketinggian peluru (y) adalah:

𝑦 = 𝑉0𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑡 −1

2𝑔𝑡2 (2.5)

Saat t sekon, jarak mendatar peluru (x) adalah:

𝒙 = (𝑽𝟎𝒄𝒐𝒔 ∝) ∙ 𝒕 (2.6)

Tinggi maksimum 𝑌𝑚𝑎𝑘𝑠 yang bisa dicapai peluru adalah:

𝑌𝑚𝑎𝑘𝑠 = (𝑉0

2𝑠𝑖𝑛2∝

2𝑔) (2.7)

Jarak terjauh 𝑋𝑚𝑎𝑘𝑠 yang dicapai peluru adalah:

𝑋𝑚𝑎𝑘𝑠 = (𝑉0

2 𝑠𝑖𝑛 2∝

𝑔) (2.8)

2.1.2 Persamaan Gerak Peluru yang Memperhitungkan Hambatan Udara

Persamaan yang digunakan pada gerak peluru yang memperhitungkan hambatan

udara sebagai berikut:(Marion, 1988)

Kondisi awal:

𝑥(𝑡 = 0) = 0

𝑦(𝑡 = 0) = 0

𝑉𝑥(𝑡 = 0) = 𝑉0 cos ∝

𝑉𝑦(𝑡 = 0) = 𝑉0 sin ∝

Persamaan Gerak:

𝑚 𝑎𝑥 = −𝑘 𝑚 𝑉𝑥 (2.9)

𝑚 𝑎𝑦 = −𝑘 𝑚 𝑉𝑦 − 𝑚 𝑔 (2.10)

9

Persamaan gerak kearah X:

𝐹 = 𝑚 𝑎𝑥

𝑚 𝑎𝑥 = 𝑚𝑑 𝑉𝑥

𝑑𝑡= −𝑘 𝑚 𝑉𝑥

𝑑 𝑉𝑥

𝑑𝑡= −𝑘 𝑉𝑥 (2.11)

Dimana (𝑘 𝑚 𝑉𝑥) adalah besarnya gaya hambat dengan k = konstanta. Dengan

mengintegrasikan persamaan (2.11), didapatkan persamaan sebagai berikut:

∫𝑑𝑉𝑥

𝑉𝑥= − 𝑘 ∫ 𝑑𝑡

ln 𝑉𝑥 = −𝑘 𝑡 + 𝐶1 (2.12)

Konstanta integrasi pada persamaan (2.12) didapat jika ditentukan kondisi awal

𝑉(𝑡 = 0) = 𝑉0

cos ∝ sehingga diperoleh 𝐶1 = ln (𝑉0 cos ∝)

ln 𝑉𝑥 = −𝑘 𝑡 + 𝐶1

ln 𝑉𝑥 = −𝑘 𝑡 + ln (𝑉0 cos ∝)

ln 𝑉𝑥 − ln (𝑉0 cos ∝) = −𝑘 𝑡

𝑙𝑛𝑉𝑥

𝑉0𝑐𝑜𝑠 ∝= −𝑘 𝑡

𝑉𝑥

𝑉0𝑐𝑜𝑠 ∝= 𝑒−𝑘 𝑡

Sehingga diperoleh kecepatan dalam arah X yaitu:

𝑉𝑥 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑒−𝑘 𝑡 (2.13)

Dengan menggunakan persamaan tersebut, didapat persamaan perpindahan X

sebagai fungsi waktu:

𝑉𝑥 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑒−𝑘 𝑡

𝑥 = 𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝ ∫ 𝑒−𝑘 𝑡 𝑑𝑡

𝑥 = −𝑉0 𝑐𝑜𝑠∝

𝑘𝑒−𝑘 𝑡 + 𝐶2 (2.14)

Dengan kondisi awal 𝑥(𝑡 = 0) = 0 dan 𝐶2 =𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝

𝑘 diperoleh:

10

𝑥 = −𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝

𝑘𝑒−𝑘 𝑡 +

𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝

𝑘

𝑥 =𝑉0 𝑐𝑜𝑠 ∝

𝑘(−𝑒−𝑘 𝑡 + 1)

𝑥 =𝑉0 𝑐𝑜𝑠∝

𝑘(1 − 𝑒−𝑘 𝑡) (2.15)

Dimana nilai ≪ 1 , dengan menggunakan deret exponensial didapat:

𝑥 ≈𝑉0 cos ∝

𝑘 (𝑘𝑡 −

1

2𝑘2𝑡2 +

1

6𝑘3𝑡3 − ⋯ )

Dengan mengambil 2 suku pertama dari deret tersebut, diperoleh jarak mendatar peluru:

𝑥 = 𝑉0 cos ∝ (𝑡 −1

2𝑘𝑡2) (2.16)

Persamaan gerak kearah Y:

𝐹 = 𝑚 𝑎𝑦

𝑚 𝑎𝑦 = 𝑚𝑑 𝑉𝑦

𝑑𝑡= −𝑘 𝑚 𝑉𝑦 − 𝑚 𝑔

𝑑 𝑉𝑦

𝑑𝑡= −𝑘 𝑉𝑦 − 𝑔

𝑑 𝑉𝑦

𝑘 𝑉𝑦+𝑔= − 𝑑 𝑡 (2.17)

Dimana (𝑘 𝑚 𝑉𝑥) adalah besarnya gaya hambat dengan k = konstanta. Dengan

mengintegrasikan persamaan (2.17), didapatkan persamaan sebagai berikut:

∫𝑑 𝑉𝑦

𝑘 𝑉𝑦 + 𝑔 = − ∫ 𝑑𝑡

1

𝑘 ln(𝑘 𝑉

𝑦+ 𝑔) = − 𝑡 + 𝐶1

ln(𝑘 𝑉𝑦

+ 𝑔) = − 𝑘𝑡 + 𝑘𝐶1

𝑘 𝑉𝑦 + 𝑔 = 𝑒−𝑘𝑡+𝑘𝐶1 (2.18)

Dengan cara yang sama pada persamaan (2.12), diperoleh kecepatan dalam arah

Y yaitu:

𝑉𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡 = −

𝑔

𝑘+

𝑘 (𝑉0 sin∝)+𝑔

𝑘 (𝑒−𝑘𝑡) (2.19)

11

Dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan (2.14), didapat

persamaan perpindahan Y sebagai fungsi waktu:

𝑉𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡 = −

𝑔

𝑘+

𝑘 (𝑉0 sin ∝) + 𝑔

𝑘 (𝑒−𝑘𝑡)

𝑦 = −𝑔𝑡

𝑘+

𝑘 (𝑉0 sin∝)+𝑔

𝑘2 (1 − 𝑒−𝑘𝑡) (2.20)

Dimana nilai ≪ 1 , dengan menggunakan deret exponensial didapat:

𝑦 ≈ −𝑔𝑡

𝑘+

𝑘 (𝑉0 sin ∝) + 𝑔

𝑘2 (𝑘𝑡 −1

2𝑘2𝑡2 +

1

6𝑘3𝑡3 − ⋯ )

Dengan mengambil 2 suku pertama dari deret tersebut, diperoleh ketinggian peluru:

𝑦 = 𝑉0 sin ∝ (𝑡 −1

2𝑘𝑡2) −

1

2𝑔𝑡2 (2.21)

Waktu untuk mencapai jarak terjauh:

𝑡𝒙 = (2𝑉0 𝑠𝑖𝑛∝

𝑔) (1 −

𝑘(𝑉0 sin∝)

3𝑔) (2.22)

Tinggi maksimum 𝑌𝑚𝑎𝑘𝑠 yang bisa dicapai peluru adalah:

𝑌𝑚𝑎𝑘𝑠 =𝑔

2(

𝑉0 sin∝

𝑔 (1 −

𝑘(𝑉0 sin∝)

3𝑔))

2

(2.23)

Jarak terjauh 𝑋𝑚𝑎𝑘𝑠 yang dicapai peluru adalah:

𝑋𝑚𝑎𝑘𝑠 = (𝑉0

2 𝑠𝑖𝑛 2∝

𝑔) (1 −

4𝑘 (𝑉0 sin∝)

3𝑔) (2.24)

2.2 MATLAB (MATRIX LABORATORY)

MATLAB singkatan dari Matrix Laboratory, merupakan bahasa pemrograman yang

dikembangkan oleh The Mathwork Inc. Bahasa pemrograman ini bersifat extensible,

yang artinya seorang pengguna dapat menulis fungsi baru untuk ditambahkan pada

library. (Benny,2013). Matlab yang digunakan pada karya tulis ilmiah ini adalah versi

7.8.0.347 (R2009a).

Program yang lengkap untuk menunjukan hasil dari karya ilmiah ini ada pada

penulis. Pembaca yang tertarik dengan program untuk menampilkan hasil visualisasi

gerak peluru ini bisa menghubungi penulis.

12

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Perbandingan antara Gerak Peluru tanpa Memperhitungkan Hambatan

Udara dan Gerak Peluru yang Memperhitungkan Hambatan Udara dengan

Sudut Elevasi yang Berbeda

Masukkan nilai dari ‘Kecepatan Awal’, ‘Sudut Elevasi’ dan ‘Gravitasi’ pada

panel ‘input’, selanjutnya klik ‘Hitung’ pada kedua panel

Gambar 4.3 Simulasi Grafik dengan Kecepatan Awal = 50 m/s, Sudut Elevasi = 60°, Gravitasi = 9,8

m/s2, Koefisien Hambatan = 0,02

Dengan mengubah besaran sudut, dapat diketahui bahwa nilai besaran sudut

berpengaruh terhadap ketinggian maksimum (Ymax) tersebut.

13

4.2 Perbandingan antara Gerak Peluru tanpa Memperhitungkan Hambatan

Udara dan Gerak Peluru yang Memperhitungkan Hambatan Udara dengan

Koefisien Hambatan yang Berbeda

Gambar 4.6 Simulasi Grafik dengan Kecepatan Awal = 50 m/s, Sudut Elevasi = 60°, Gravitasi = 9,8

m/s2, Koefisien Hambatan = 0,03

Dengan mengubah beberapa nilai koefisien hambatan, dapat diketahui pengaruh dari

hambatan udara yang bekerja pada gerak peluru tersebut. Semakin besar nilai koefisien

hambatan udara, maka jarak tempuh peluru semakin kecil. Hal ini dikarenakan lintasan

yang bekerja pada peluru tidak hanya seutuhnya dipengaruhi oleh gaya gravitasi,

melainkan juga dipengaruhi oleh hambatan udara yang arahnya berlawanan dengan arah

kecepatan.

14

BAB IV

PENUTUP

5.1 Simpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan, dapat disimpulkan bahwa:

1) Hambatan udara sangat berpengaruh terhadap pergerakan kebanyakan benda,

oleh karena itu anggapan bahwa efek-efek hambatan udara sangat kecil sehingga

dapat diabaikan tidaklah selalu benar. Penggunaan software MATLAB dalam

melakukan perhitungan pada gerak peluru tanpa memperhitungkan hambatan

udara dan gerak peluru yang memperhitungkan hambatan udara setidaknya

mampu meminimalisir kesalahan dari anggapan-anggapan tersebut.

2) Terlihat perbedaan grafik yang terjadi antara gerak peluru tanpa

memperhitungkan gaya hambat udara maupun gerak peluru yang

memperhitungkan gaya hambat udara dimana semakin besar nilai koefisien

hambatan udara, maka semakin pendek jarak tempuh (X max) peluru.

5.2 Saran

Dalam pembuatan program simulasi dengan MATLAB ini tentu masih banyak

kekurangan dan kesalahan sehingga untuk penelitian lebih lanjut dapat disempurnakan,

dibuat lebih menarik dan data yang disajikan bisa lebih banyak lagi serta lebih teliti

dalam pembuatan program ataupun persamaan yang digunakan sehingga hasilnya lebih

akurat.

15

16

DAFTAR PUSTAKA

Benny. 2013. Pengertian MATLAB (Matrix Laboratory). http://bennyadiwijaya.

blogspot.co.id/2013/02/pengertian-matlab-matrix-laboratory.html (diakses tanggal

17 November 2015)

Marion, J.B. and Thornton, S.T. 1988. Classical Dynamics of Particles & Systems.

Edisi 3. Harcourt Brace Jovanovich: United States of Amerika

Sari, S.R. Prihanto, Agus. 2013. Simulasi Gerak Peluru yang Dipengaruhi Gaya

Hambat Udara Beserta Analisisnya dengan Menggunakan Bahasa

Pemrograman Delphi 7.0. Vol 02 No 01. Halaman 01-05

Suryani, Gita. 2015. Gerak Peluru. https://istanafisika.wordpress.com/2015/09/27/soal-

dan-pembahasan-fisika-gerak-peluru/(diakses tanggal 17 November 2015)

Widagda, IGA. 2012. Pemrograman Komputer dengan Matlab. Fisika FMIPA

Universitas Udayana