diktat himpunan

33
LECTURE NOTES LOGIKA MATEMATIKA Disusun Oleh : Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA. 0

Upload: afna-ria

Post on 27-Jun-2015

221 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: diktat himpunan

LECTURE NOTES

LOGIKA MATEMATIKA

Disusun Oleh :Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.

0

Page 2: diktat himpunan

UNIVERSITAS GUNADARMAPONDOK CINA, MARET 2003

1

Page 3: diktat himpunan

DAFTAR ISI

BAB I HIMPUNAN DAN OPERASI BINER...............................................................2

1.1. OPERASI PADA HIMPUNAN......................................................................................41.2. PERHITUNGAN ANGGOTA HIMPUNAN.............................................................61.3. ALJABAR HIMPUNAN................................................................................................7

BAB II RELASI......................................................................................................................9

2.1. PERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI.................................................................92.2. PENYAJIAN RELASI...................................................................................................112.3. RELASI INVERS.........................................................................................................112.4. SIFAT RELASI............................................................................................................132.5. RELASI EKIVALEN....................................................................................................142.6. RELASI PENGURUTAN SEBGAIAN........................................................................15

BAB III FUNGSI.................................................................................................................17

3.1. FUNGSI SATU-SATU DAN FUNGSI PADA.............................................................183.2. INVERS DARI FUNGSI...............................................................................................193.3. KOMPOSISI FUNGSI..................................................................................................20

2

Page 4: diktat himpunan

Pertemuan 1

BAB I HIMPUNAN DAN OPERASI BINER

Sebuah himpunan adalah kumpulan obyek atau simbol yang memiliki sifat

yang sama. Anggota himpunan disebut elemen.

Contoh 1.1.

D himpunan nama hari dalam satu minggu.

M himpunan mahasiswa jurusan teknik informatika di Universitas

Gunadarma.

N himpunan bilangan asli.

Sebuah himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk daftar anggota (bentuk

pendaftaran) atau dengan menyebutkan sifat yang dimiliki oleh semua anggota

(bentuk pencirian).

Contoh 1.2.

D = { Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu }

= { x x nama hari dalam satu minggu }

Himpunan P disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan Q, jika setiap

anggota P merupakan anggota Q. Hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis

sebagai P Q. Dengan cara lain, hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis

sebagai Q P dan dibaca Q superset dari P atau P terdapat di dalam Q .

Contoh 1.3.

Mahasiswa tingkat dua dari jurusan teknik informatika di Universitas

Gunadarma merupakan anggota dari himpunan M pada contoh 1.1 di atas.

Jika P merupakan himpunan mahasiswa tingkat dua tersebut, maka P

merupakan himpunan bagian dari himpunan M dan ditulis sebagai P M.

Dapat pula ditulis sebagai M P dan dibaca M superset dari P .

3

Page 5: diktat himpunan

Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) jika mereka tidak memiliki

anggota bersama.

Contoh 1.4.

Himpunan mahasiswa S1 Universitas Gunadarma dan himpunan dosen S1

Universitas Gunadarma merupakan himpunan yang saling lepas.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan

dinyatakan sebagai { } atau .

Contoh 1.5.

A = { x x bilangan asli dan x < 1 } = .

Dalam rangka menyelidiki hubungan antara beberapa himpunan, seringkali

dibutuhkan pendefinisian sebuah himpunan yang disebut himpunan semesta.

Himpunan-himpunan lain yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari

himpunan semesta tersebut. Himpunan semesta biasanya dinyatakan sebagai

himpunan S atau U .

Contoh 1.6.

Himpunan bilangan riil R merupakan semesta dari himpunan bilangan asli N

dan himpunan bilangan bulat Z .

Dua buah himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota yang

benar-benar sama.

Contoh 1.7.

{ x x + 2 = 4 } = { y 3 y = 6 }.

Diagram Venn biasa digunakan untuk menggambarkan himpunan dan

hubungan antar himpunan. Anggota dari setiap himpunan ditempatkan dalam

4

Page 6: diktat himpunan

sebuah bentuk tertutup, biasanya lingkaran. Himpunan semesta didefinisikan harus

mengandung semua himpunan lain dan biasa digambarkan dengan sebuah segi

empat.

Contoh 1.8.

S = himpunan bilangan riil.

Z = himpunan bilangan bulat.

N = himpunan bilangan asli.

1.1. OPERASI PADA HIMPUNAN

Jika S adalah himpunan semesta dan himpunan A S , komplemen dari

A , ditulis A’ , adalah himpunan dari semua anggota S yang bukan merupakan

anggota A .

A’ = { x x A }

Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A B, adalah

sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau

anggota keduanya.

A B = { x x A atau x B }

Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A B, adalah

sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A

dan B.

A B = { x x A dan x B }

Contoh 1.9.

Diketahui

S = { k k Z , 1 k 12 }

A = { x x Z , 1 < x < 10 }.

B = { y y Z , y kelipatan 3 dan 3 y 12 }.

5

SZ

N

Page 7: diktat himpunan

Gambarkan diagram Venn yang memperlihatkan hubungan ketiga himpunan

tersebut dan hitung banyaknya anggota A B, A B, A’, B’, A’ B’ .

Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...

Gambar di bawah ini menunjukkan beberapa keadaan yang mungkin terjadi.

Kondisi

OperasiA B A B = B A

A Bdaerah berbayang n(A B) =

n(A) + n(B) – n(A B)n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) = n(A)

A Bdaerah berbayang

n(A B) =n(A) + n(B) – n(A B)

n(A B) = 0 n(A B) = n(B)

Selain ketiga operasi tersebut di atas, pada himpunan berlaku pula operasi selisih

dan operasi selisih simetri.

Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B,

adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang

bukan merupakan anggota himpunan B.

A - B = { x x A dan x B }.Jelas bahwa

B - A = { x x B dan x A }.

Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B,

ditulis sebagai A B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan

anggota gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan

himpunan A dan B.

A B = ( A B ) – ( A B )atau

A B = ( A – B ) ( B - A ).

6

Page 8: diktat himpunan

1.2. PERHITUNGAN ANGGOTA HIMPUNAN

Banyaknya anggota himpunan D (kardinalitas D) dinyatakan sebagai n(D)

atau D.

Contoh 1.10.

Dari contoh sebelumnya, n(D ) = 7, n(N ) tak hingga.

Contoh 1.11.

Sebuah survei dilakukan terhadap 30 siswa SD dan diperoleh data berikut :

B himpunan siswa yang memiliki sepeda, D himpunan siswa yang memiliki

anjing. n(B)=23 , n(D)=10, n(B D) = 6.

Tentukan :

a). banyaknya anak yang memiliki sepeda dan anjing.

b). banyaknya anak yang tidak memiliki sepeda maupun anjing.

c). banyaknya anak yang memiliki salah satu sepeda atau anjing, tapi tidak

keduanya.

Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...

Soal Latihan 1.1.

1. Sajikan himpunan A = { x x + 2 < 10, x Z+ } dalam bentuk pendaftaran.

2. Tunjukkan bahwa jika A B dan B C , maka A C.

3. Tunjukkan bahwa himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan bagian

dari A B.

4. Tunjukkan bahwa (A B) merupakan himpunan bagian dari himpunan A dan

dari himpunan B.

5. Tunjukkan bahwa jika A dan B adalah himpunan, maka (A – B) (A B).

6. Tunjukkan bahwa jika A B, maka A B = B.

7

Page 9: diktat himpunan

Pertemuan 2

1.3. ALJABAR HIMPUNAN

Himpunan di bawah operasi gabungan, irisan dan komplemen memenuhi

berbagai hukum aljabar. Tabel berikut menampilkan hukum-hukum yang berlaku

pada operasi himpunan tersebut.

Hukum Asosiatif ( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C )

Hukum Komutatif A B = B A A B = B A

Hukum Distributif A ( B C ) = ( A B ) (A C ) A ( B C ) = ( A B ) (A C )

Hukum Involusi (A’) ’ = A

Hukum Idempoten A A = A A A = A

Hukum Identitas A = A A S = A

Hukum Komplemen A A’ = S A A’ =

Hukum de Morgan ( A B ) ‘ = A’ B’ ( A B )’ = A’ B’

Contoh 1.12.

Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan bahwa

( P Q ) ( P’ R )’ = P ( Q’ R )’ .

Jawab :

Pernyataan

( P Q ) ( P’ R )’ = ( P Q ) ( (P’ )’ R’ )

(P’ )’ = P

( P Q ) ( P’ R )’ = ( P Q ) ( P R’ )

( P Q ) ( P R’ ) = P ( Q R’ )

( Q R’ ) = ( Q’ R )’

( P Q ) ( P’ R )’ = P ( Q’ R )’

Alasan

hukum de Morgan

hukum involusi

substitusi

hukum distribusi

hukum de Morgan

substitusi

8

Page 10: diktat himpunan

Contoh 1.13.

Jika P, Q dan R adalah himpunan,

tunjukkan bahwa P’ (Q R)’ (P’ Q’ ) = P’ Q’

Jawab : ...diserahkan kepada pembaca....

Soal Latihan 1.2.

1. Buktikan bahwa (A B) (A B’ ) = A.

2. Buktikan bahwa, jika A B = S, maka A’ B. (S = semesta).

3. Buktikan bahwa A (A’ B ) = A B.

9

Page 11: diktat himpunan

Pertemuan 3

BAB II RELASI

Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain

atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi.

Contoh 2.1.

Misalkan M = { Ami, Budi, Candra, Dita } dan N = { 1, 2, 3 }. Misalkan pula,

Ami berusia 1 tahun, Budi berusia 3 tahun, Candra berusia 2 tahun dan Dita

berusia 1 tahun, maka kita dapat menuliskan sebuah himpunan P = {(Ami, 1),

(Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)} dimana P merupakan himpunan pasangan

terurut yang menggambarkan hubungan antara himpunan M dengan

himpunan N. Himpunan P merupakan relasi antara himpunan M dengan

himpunan N dan dapat ditulis sebagai P = { (x,y) x berusia y, dimana xM

dan yN }.

2.1. PERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI

Misalkan A dan B adalah sembarang himpunan yang tidak kosong.

Perkalian Cartesian A x B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dimana

xA dan yB.

A x B = { (x,y) | untuk setiap xA dan yB }

Contoh 2.2.

Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.

C x D = { (2,x) , (2,y) , (3,x) , (3,y) , (4,x) , (4,y) }

D x C = { (x,2) , (y,2) , (x,3) , (y,3) , (x,4) , (y,4) }

Banyaknya anggota himpunan hasil perkalian cartesian A x B sama dengan

hasil kali antara banyaknya anggota A dengan banyaknya anggota B .

10

Page 12: diktat himpunan

n(A x B ) = n (A ) x n(B ) .

Pada umumnya, A x B B x A . Akan tetapi n(A x B ) = n (B x A ).

Contoh 2.3.

1. Dari contoh 2.2. di atas, diketahui n(C ) = 3 dan n(D) = 2.

Dengan demikian n(C x D ) = 3 x 2 = 6.

2. Dari contoh 2.1. di atas, n(M x N ) = n(N x M ) = 12.

Sebuah relasi R yang memasangkan anggota himpunan A kepada anggota

himpunan B merupakan sebuah himpunan bagian dari perkalian cartesian A x B,

ditulis R : A B .

Jika sebuah relasi R didefinisikan pada himpunan A , maka R A x A dan

ditulis R : A A .

Contoh 2.4.

1. Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.

Sebuah relasi R1: C D didefinisikan sebagai R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x),

(4,y) }. Jelas bahwa R1 C x D.

2. Relasi R2 : G G didefinisikan pada himpunan G = {5, 7, 11} sebagai

R2 = { (x,y) |x < y, dimana x, yG }. Relasi tersebut dapat dinyatakan

sebagai R2 = {(5,7),(5,11), (7,11)} dan jelas bahwa R2 G x G.

3. Diketahui Q = {w, k} . Tentukan Q x Q dan relasi R3 = { (x,y) | x y, x,

yQ }. Apakah R3 Q x Q ?

Jika A dan B adalah himpunan yang masing-masing memiliki sebanyak n(A)

dan n(B) anggota, maka n(A x B) = n(A) x n(B). Setiap relasi yang memasangkan

anggota A dengan anggota B merupakan himpunan bagian dari perkalian cartesian

A x B . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa dapat didefinisikan

sebanyak ................... relasi yang memasangkan anggota A kepada anggota B .

11

Page 13: diktat himpunan

2.2. PENYAJIAN RELASI

Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu : himpunan

pasangan terurut dalam bentuk pendaftaran (tabulasi), himpunan pasangan terurut

dalam bentuk pencirian, diagram panah, diagram koordinat atau grafik relasi, matriks

relasi, bentuk graf berarah (digraf)

Contoh 2.5.

Diketahui C = { 2, 3, 4 }, D = { x, y } dan sebuah relasi yang ditulis dalam

bentuk pendaftaran R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x), (4,y) }. Relasi tersebut dapat

disajikan dalam bentuk lain, misalnya :

Bentuk diagram panah Bentuk diagram koordinat Bentuk Matriks

2.3. RELASI INVERS

Setiap relasi R dari himpunan A kepada himpunan B memiliki invers yang

dinamakan R-1 dari himpunan B kepada himpunan A, yang ditulis sebagai

R-1 = { ( y , x ) ( x , y ) R }

Dengan kata lain, relasi invers R-1 dari R mengandung pasangan-pasangan

terurut yang bila dibalikkan akan terkandung dalam relasi R .

Contoh 2.6.

Misalkan A = {1, 2, 3}, B = { a, b} dan relasi R = { (1,a) , (2,a) , (2,b) , (3,a) }

merupakan relasi dari A pada B. Invers dari relasi R adalah relasi

R-1 = { (a,1) , (a,2) , (b,2) , (a,3) }.

Contoh 2.7.

12

C D

2

3

4

x

y 2 3 4

yx

01M =1011

Page 14: diktat himpunan

Misalkan W = {a, b, c}, relasi R = { (a,b) , (a,c) , (c,c) , (c,b) } merupakan

relasi pada W . Invers dari relasi R adalah relasi

R-1 = { (b,a) , (c,a) , (c,c) , (b,c) }

Soal Latihan 2.1.

1. Diketahui G = { 5, 7, 11 }. Tentukan G x G dan n(G x G ).

2. Diketahui himpunan A = {a, b} dan himpunan B = { 9 }. Tentukan semua relasi

R : A B yang dapat didefinisikan dan hitung jumlahnya.

3. Diketahui himpunan C = {x, y}. Tentukan semua relasi R : C C yang dapat

didefinisikan dan hitung jumlahnya.

4. Misalkan D = {1, 3, 5, 9}. Pada himpunan tersebut didefinisikan relasi

a. R 1 = { (x,y) x y }

b. R 2 = { (x,y) x + 2 y }

c. R 3 = { (x,y) x.y 50 }

Sajikan relasi-relasi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan terurut.

Tentukan invers dari setiap relasi tersebut.

5. Nyatakan invers dari tiap relasi berikut :

a. R = { (x,y) x habis dibagi oleh y, x, y Z }

b. R = { (x,y) x y, x, y Z }

c. R = { (x,y) x – 4 = y, x, y Z }

13

Page 15: diktat himpunan

Pertemuan 4

2.4. SIFAT RELASI

Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A. Relasi R

dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap a A berlaku (a,a) R.

Contoh 2.8.

Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R1 = { (1,1), (1,2), (2,2),

(2,3) , (3,3) , (3,2) }. Relasi R1 tersebut bersifat refleksif.

Contoh 2.9.

Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R2={(x,y)x kelipatan y,

x,yB }. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat

refleksif.

Contoh 2.10.

Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R3 = {(x,y)x + y <10,

x,yA}. Maka R3={(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4)}. Relasi R3

tersebut tidak bersifat refleksif.

Relasi R bersifat simetris jika untuk setiap (a,b) R berlaku (b,a) R.

Contoh 2.11.

Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R4 = { (1,1) , (1,2) ,

(2,2) , (2,1) , (3,3) }. Relasi R4 tersebut bersifat simetris.

Contoh 2.12.

Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) x

kelipatan y , x,y B } = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }. Relasi R2 tersebut tidak

bersifat simetris karena (4,2) R2 tetapi (2,4) R2.

14

Page 16: diktat himpunan

Relasi R bersifat transitif, jika untuk setiap (a,b)R dan (b,c)R berlaku (a,c)R.

Contoh 2.13.

Diketahui A = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R4 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }

Relasi R4 tersebut bersifat transitif.

Contoh 2.14.

Relasi R1 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2) } yang didefinisikan pada

himpunan A = {1, 2, 3 } tidak bersifat transitif, karena terdapat (1,2) R1

dan (2,3) R1, tetapi (1,3) R1 .

Relasi R dikatakan bersifat antisimetris jika untuk setiap (a,b) R dan (b,a) R

berlaku a = b.

Contoh 2.15.

Pada himpunan B = { 2, 4, 5 } didefinisikan relasi R2 = { (x,y) x kelipatan y ,

x,y B }. Dengan demikian R2 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}. Relasi R2 tersebut

bersifat antisimetris.

Contoh 2.16.

Diketahui A = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }

Relasi R5 tersebut tidak bersifat antisimetris karena terdapat (1,2)R5 dan

(2,1) R5, tetapi 1 2.

2.5. RELASI EKIVALEN

Relasi R disebut sebagai sebuah relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat

refleksif, simetris dan transitif.

Contoh 2.17.

15

Page 17: diktat himpunan

Diketahui A = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }

Relasi R5 tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu

relasi R5 merupakan relasi ekivalen.

Contoh 2.18.

Diketahui B = { 2, 4, 5 }.

Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) x kelipatan y , x,y B }.

R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }

Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut

bukan relasi ekivalen.

2.6. RELASI PENGURUTAN SEBGAIAN

Relasi R disebut sebagai sebuah relasi pengurutan sebagian (partial

ordering), jika relasi tersebut bersifat refleksif, transitif dan antisimetris.

Contoh 2.19.

Diketahui A = { 1, 2, 3 }.

Pada A didefinisikan relasi R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }

Relasi R5 tersebut bersifat refleksif dan transitif, tetapi tidak bersifat

antisimetris. Oleh karena itu relasi tersebut bukan merupakan relasi

pengurutan sebagian.

Contoh 2.20.

Diketahui B = { 2, 4, 5 }.

Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) x kelipatan y , x,y B }.

R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }

Relasi R2 tersebut bersifat refleksif, antisimetris dan transitif. Oleh karena itu

relasi tersebut merupakan relasi pengurutan sebagian.

Soal Latihan 2.2.

16

Page 18: diktat himpunan

1. Diketahui D = { x x garis lurus }

Pada D didefinisikan relasi R = { (x,y) x sejajar y, x D , y D }

Relasi R tersebut bersifat .....................................................

2. Diketahui P = { x x subset dari himpunan A }

Pada P didefinisikan relasi R = { (x,y) x y , x P , y P }

Relasi R tersebut bersifat .....................................................

3. Diketahui D = { x x garis lurus }

Pada D didefinisikan relasi R = { (x,y) x tegak lurus y, x D , y D }

Relasi R tersebut bersifat .....................................................

4. Relasi-relasi berikut didefinisikan pada himpunan B = { 2, 4, 5 }.

a. R = { (2,2) , (4,4) , (5,5) }

b. R = { (2,4) , (4,5) , (2,5) , (5,2) , (2,2) }

c. R = { (5,4) }

d. R = { (x,y) x habis membagi y , x,y B }.

Tentukan sifat yang dimiliki oleh masing-masing relasi tersebut.

5. Relasi-relasi berikut didefinisikan pada himpunan Z (himpunan bilangan bulat).

a. R = { (2,2) , (4,4) , (5,5) }

b. R = { (2,4) , (4,5) , (2,5) , (2,2) }

c. R = { (5,4) }

d. R = { (x,y) x habis membagi y }.

e. R = { (x,y) x y }.

Tentukan sifat yang dimiliki oleh masing-masing relasi tersebut.

6. Diketahui D = { x x garis lurus }. Pada D didefinisikan relasi

a. R = { (x,y) x sejajar y, x D , y D }

b. R = { (x,y) x tegak lurus y, x D , y D }

c. R = { (x,y) x berpotongan dengan y, x D , y D }

Di antara ketiga relasi tersebut, sebutkan relasi yang merupakan relasi ekivalen

dan relasi yang merupakan relasi pengurutan sebagian.

17

Page 19: diktat himpunan

Pertemuan 5

BAB III FUNGSI

Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak kosong. Sebuah relasi f

dari A pada B disebut fungsi jika untuk setiap x A terdapat satu dan hanya

satu y B dimana (x ,y ) f .

Contoh 3.1.

Relasi R1 didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R1 = {(3,4),(4,4),

(5,3)}. Relasi R1 tersebut merupakan sebuah fungsi.

Relasi R2 didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R2 = {(3,4),(3,5),

(4,4), (5,3)}. Relasi R2 tersebut bukan sebuah fungsi.

Relasi R3 didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R3 = {(3,4),(3,5),

(5,3)}. Relasi R3 tersebut bukan sebuah fungsi.

Jika f merupakan fungsi yang memasangkan kepada setiap anggota A satu

dan hanya satu anggota B , atau ditulis f : A B, maka A disebut sebagai

domain dan B disebut sebagai co-domain. Jika f(x) = y , maka y disebut image

dari x di bawah f dan x disebut preimage dari y .

Contoh 3.2.

Dari contoh 1, fungsi R1 = {(3,4),(4,4), (5,3)}. Himpunan A = {3, 4, 5}

merupakan domain dan co-domain dari fungsi R1 .

Daerah hasil (range) dari f : A B adalah himpunan image dari semua anggota A

di bawah fungsi f.

18

Page 20: diktat himpunan

Contoh 3.3.

• f(a) = X.

• image dari d adalah X.

• domain dari f adalah P = {a, b, c, d}

• co-domain dari f adalah Q = { X, Y, Z }

• f(P) = { X, Y }

• preimage dari Y adalah c

• preimage dari X adalah a, b dan d

• f({c,d}) = {X,Y }

• range dari f adalah {X,Y }

3.1. FUNGSI SATU-SATU DAN FUNGSI PADA

Misalkan f sebuah fungsi dari himpunan A pada himpunan B. Fungsi f

disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau injectif jika semua preimage adalah

unik. Dengan kata lain, jika a b maka f(a) f(b) . Fungsi f disebut fungsi

pada (onto) atau surjectif jika setiap y pada B memiliki preimage. Dengan kata

lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam A demikian hingga f(x) = y .

Fungsi f disebut bijectif, jika f merupakan fungsi satu-satu dan pada .

Contoh 3.4.

1. Fungsi pada contoh 3.3 di atas bukan merupakan fungsi satu-satu dan

bukan merupakan fungsi pada. Dengan demikian, fungsi tersebut bukan

merupakan fungsi bijektif.

Nyatakan fungsi-fungsi berikut sebagai fungsi satu-satu, fungsi pada atau

fungsi bijektif.

19

a b c d

X

Y

Z

P Qf

Page 21: diktat himpunan

Jika terdapat bijeksi antara himpunan A dan himpunan B, maka banyaknya

anggota kedua himpunan tersebut harus sama. Dengan kata lain, kedua himpunan

tersebut harus memiliki kardinalitas yang sama.

3.2. INVERS DARI FUNGSI

Misalkan f sebuah fungsi dari himpunan A pada himpunan B. Invers dari

fungsi f adalah relasi f -1 : B A dimana f -1(B) = { x | f (x) = y , xA, yB }.

Contoh 3.5.

Diketahui fungsi f : P Q

Invers dari fungsi tersebut adalah f -1 : Q P :

Contoh 3.6.

Diketahui fungsi f : PQ , dimana P = { 2,4,6 }, Q = { 1,2,4,9,16,25,36 } dan

f(x) = x2. Invers dari fungsi f adalah f -1(x) = x dimana x Q dan f -1(x)P

Sebuah fungsi disebut sebagai fungsi invers jika invers dari fungsi tersebut

merupakan sebuah fungsi.

Contoh 3.7.

20

a b c d

X

Y

Z

P Qf

a b c d

X

Y

Z

Q Pf-1

Page 22: diktat himpunan

Fungsi f dari contoh soal 3.5. di atas bukan fungsi invers, karena f-1 bukan

fungsi.

3.3. KOMPOSISI FUNGSI

Misalkan f : B C dan g : A B adalah fungsi. Komposisi f dengan g ,

ditulis fog adalah fungsi dari A kepada C yang didefinisikan sebagai fog(x) = f(g(x)).

Contoh 3.8.

Jika f (x) = x2 dan g (x) = 2x + 1, maka fog (x) = f(g (x)) = (2x+1)2

dan gof (x) = g (f (x)) = 2x2 + 1.

Contoh 3.9.

fog(a) = r , fog(b) = r , fog(c) = p , fog(d) = r .

Soal Latihan 3.1.

1. Di antara relasi-relasi berikut, relasi manakah yang merupakan fungsi ?

2. Fungsi-fungsi berikut didefinisikan pada himpunan bilangan riil R. Tentukan fungsi

yang merupakan fungsi satu-satu, fungsi pada atau fungsi bijektif.

a. f(x) = x

b. f(x) = x2

c. f(x) = x3

d. f(x) = | x |

21

P Q R

a b c d

X

Y

Z

f

p

q

r

g

Page 23: diktat himpunan

3. Fungsi-fungsi berikut didefinisikan pada himpunan bilangan riil R. Tentukan invers

dari setiap fungsi tersebut dan tentukan fungsi yang merupakan fungsi invers.

a. f(x) = x

b. f(x) = x2

c. f(x) = x3

d. f(x) = | x |

4. Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Tentukan semua fungsi invers yang dapat didefinisikan

untuk memetakan A pada A.

5. Diketahui f(x) = 2 x . Tentukan

a. f(N ) ; N = himpunan bilangan asli.

b. f(Z ) ; Z = himpunan bilangan bulat.

c.c. f(R ) ; R = himpunan bilangan riil.

22