diktat ilmu-ilmu dasar farmasi bidang matematika (fa125150)

DIKTAT ILMU-ILMU DASAR FARMASIBIDANG MATEMATIKA(FA125150)

Disusun Oleh:I Wayan Sumarjaya, S.Si., M.Stats.

JURUSAN FARMASIFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANASEMESTER GANJIL 2015/2016

KATA PENGANTAR

Diktat ini merupakan bagian dari mata kuliah Ilmu-ilmu Dasar Farmasi (FA125150)yang berbobot 5 SKS, yang tersusun dari tiga mata kuliah yaitu kimia (2 SKS),matematika (2 SKS), dan fisika (1 SKS). Materi diktat ini secara garis besar meliputienam topik utama yakni himpunan, fungsi, limit, integral, turunan, dan matriks.

Bab 1 membahas himpunan, sistem bilangan real, aljabar, dan ketaksamaan.Bab ini merupakan dasar bagi bab-bab selanjutnya. Bab 2 membahas fungsi yangmeliputi cara menyatakan fungsi, grafik fungsi, fungsi genap dan fungsi ganjil,fungsi-fungsi elementer, dan kombinasi fungsi. Konsep limit dan kekontinuan diba-has pada Bab 3. Pengunaan limit lebih lanjut dibahas pada Bab 4 dalam mendefi-nisikan turunan. Bab 5 membahas tentang integral yang meliputi integral tertentu,integral taktentu, teknik substitusi-u dan perubahan variabel. Materi tentang ma-triks yang meliputi konsep matriks, operasi-operasi pada matriks, balikan matriks,dan transpos matriks dibahas pada Bab 6 dan sekaligus mengakhiri materi matakuliah Ilmu-ilmu Dasar Farmasi bidang Matematika.

Akhir kata semoga diktat ini bermanfaat bagi mahasiswa yang mengambil matakuliah Ilmu-ilmu Dasar Farmasi. Segala kritik dan saran guna perbaikan diktat iniharap dikirim via email ke [email protected].

Bukit Jimbaran, September 2015

Penulis

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i

DAFTAR ISI ii

DAFTAR GAMBAR v

BAB 1. PENDAHULUAN 11.1 Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sistem Bilangan Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Klasifikasi bilangan real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Representasi desimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Representasi geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Sifat-sifat Urutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.5 Densitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.6 Nilai Mutlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.7 Selang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.8 Keterbatasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Formula pemfaktoran dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Polinom dan Ekspresi Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Ketaksamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Pengayaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

BAB 2. FUNGSI 122.1 Empat Cara Menyatakan Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Grafik Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Fungsi Genap dan Ganjil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Konvensi pada Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Fungsi-fungsi Elementer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1 Fungsi polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.2 Fungsi rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.3 Fungsi trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Kombinasi Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6.1 Aljabar kombinasi fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6.2 Komposisi fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

ii

DAFTAR ISI iii

2.7 Pengayaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 213.1 Konsep Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Definisi Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Alternatif formulasi limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Limit kiri dan limit kanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Beberapa Teorema Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Kekontinuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 Limit Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Pengayaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

BAB 4. TURUNAN 314.1 Definisi Turunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1 Garis singgung dan garis normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.2 Keterdiferensialan dan kekontinuan . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Beberapa Rumus Turunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Turunan Tingkat Tinggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3.1 Notasi Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Aturan Rantai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5 Turunan Fungsi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6 Pengayaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.7 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

BAB 5. INTEGRAL 405.1 Masalah Luas Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Integral Tertentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.1 Integral tertentu fungsi kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.2 Teorema fundamental kalkulus integral . . . . . . . . . . . . . 455.2.3 Beberapa sifat kelinearan integral . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3 Integral taktentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4 Substitusi-u dan Perubahan Variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4.1 Substitusi dan integral-integral tertentu . . . . . . . . . . . . . 485.5 Beberapa Sifat Integral Tertentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.6 Pengayaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.7 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

BAB 6. MATRIKS 526.1 Konsep Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2 Operasi-operasi pada Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.2 Perkalian Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3 Balikan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4 Transpos Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.5 Pengayaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

DAFTAR ISI iv

6.6 Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

DAFTAR PUSTAKA 57

DAFTAR GAMBAR

Gambar 5.1 Grafik fungsi fpxq dan Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Gambar 5.2 Ω terbagi menjadi subarea Ω1,Ω2, . . . ,Ωn. . . . . . . . . . . . . 41Gambar 5.3 Luas ri, Ωi, dan Ri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Gambar 5.4 Jumlah bawah dan jumlah atas untuk f . . . . . . . . . . . . . . 42

v

BAB 1PENDAHULUAN

Pada bab ini kita akan membicarakan konsep penting dalam kalkulus, yaitu him-punan, sistem bilangan real, nilai mutlak, ketaksamaan.

1.1 HimpunanHimpunan merupakan koleksi atau kumpulan objek. Objek-objek di dalam suatuhimpunan disebut elemen atau anggota. Suatu himpunan dapat dinyatakan ataudispesifikasikan dengan dua cara, yaitu dengan membuat daftar anggota dari him-punan tersebut atau dengan menyebutkan aturan keanggotaan di dalam himpunan.Kedua metode ini dapat dijelaskan sebagai berikut (Arya and Lardner, 1979).

1. Metode daftarPada metode ini suatu himpunan dideskripsikan dengan mendaftarkan semuaanggota himpunan tersebut dan menutup daftar tersebut dengan tanda ku-rung t dan u. Contoh t2, 3, 5u adalah himpunan yang terdiri dari tiga bilangan2, 3, dan 5. Untuk himpunan dengan elemen yang jumlahnya sangat banyaktanda elipsis ”. . . ” dapat digunakan untuk menyatakan barisan elemen secarakontinu. Contoh t2, 4, . . . , 100u menyatakan himpunan yang anggotanya bi-langan genap dari 2 sampai 100. Penggunaan elipsis ini juga dapat diterapkanapabila himpunan memiliki anggota yang tak terhingga banyaknya. Sebagaicontoh t1, 3, 5, . . .u menyatakan himpunan bilangan ganjil.

2. Metode aturanAda banyak kasus tidaklah mungkin atau tidaklah nyaman untuk mendaf-tarkan anggota dari suatu himpunan tertentu. Pada kasus seperti ini him-punan dapat dispesifikasikan dengan menyatakan aturan keanggotaan. Se-bagai contoh himpunan semua orang yang hidup di Indonesia. Untuk men-spesifikasikan himpunan ini dengan mendaftar anggota tentu merupakan halyang sangat susah. Untuk mengatasi hal itu, kita dapat menspesifikasikannyasebagai berikut

tx : x adalah orang yang hidup di Indonesiau. (1.1)

Simbol : dibaca ”sedemikian hingga” dan ekspresi ini dibaca ”himpunan semuax sedemikian hingga x adalah orang yang hidup di Indonesia.” Catatan: pada

1

BAB 1. PENDAHULUAN 2

beberapa buku kalkulus alternatif tanda : adalah tanda | sehingga (1.1) dapatditulis sebagai tx|x adalah orang yang hidup di Indonesiau.

Himpunan biasanya ditulis dengan huruf kapital seperti A, B, dan C. Untuk meny-atakan anggota atau elemen dari himpunan tersebut biasanya digunakan huruf kecilseperti a, b, dan c. Keanggotaan himpunan ini haruslah dapat didefinisikan denganbaik (well-defined) yaitu untuk setiap objek x, haruslah mungkin untuk menen-tukan apakah x adalah anggota atau bukan anggota dari suatu himpunan terse-but. Kembali kepada contoh di atas, kita dapat menyebutkan orang yang hidupdi Indonesia, meskipun sangat susah dan memakan waktu yang sangat lama un-tuk mendaftarkan orang-orang yang hidup di Indonesia. Di lain pihak, apabila kitaingin mendiskusikan pantai-pantai indah di Indonesia mungkin setiap orang memilikipandangan yang berbeda. Sehingga setiap orang memiliki himpunan yang berbeda.Dengan demikian himpunan pantai-pantai indah bukanlah suatu himpunan.

Suatu himpunan dikatakan hingga (finite) jika jumlah elemen himpunan terse-but berhingga (dapat dihitung). Contoh H “ t´3,´2,´1, 0, 1, 2, 3, 4u. Sedangkanhimpunan yang anggotanya tak berhingga dikatakan himpunan tak hingga (infinite).

Misalkan A adalah sebarang himpunan dan x adalah sebarang objek. Notasix P A digunakan untuk menyatakan x adalah anggota atau elemen dari himpunanA. Dengan kata lain, objek x berada di dalam himpunan A. Sebaliknya, jika xbukan anggota atau elemen dari A, kita tulis x R A. Untuk contoh himpunan H diatas, kita peroleh ´3 P H tetapi 5 R H.

Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong (emptyset). Himpunan ini dinotasikan ∅. Sebagai contoh B “ ∅ berarti bahwa himpunanB tidak memiliki anggota. Contoh himpunan B “ tx : x adalah bilangan bulat 3x “2u “ ∅.

Misalkan kita memiliki dua himpunan: A dan B. Himpunan A dikatakan him-punan bagian dari himpunan B atau A berada di dalam B, dituliskan A Ă B, jikasetiap anggota himpunan A juga merupakan anggota dari himpunan B. Sebagaicontoh A “ t2, 4, 6u dan B “ t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8u. Dalam hal ini A Ă B.

Gabungan dua himpunan A dan B, ditulis AYB, didefinisikan sebagai AYB “tx : x P A ataux P Bu. Sebagai contoh himpunan A “ t2, 4, 6u dan B “ t1, 2, 3u.Gabungan A Y B “ t1, 2, 3, 4, 6u. Himpunan juga memiliki irisan, ditulis A X B,dan didefinisikan sebagai A X B “ tx : x P A danx P Bu. Untuk himpunan A danB ini, AXB “ t2u.

1.2 Sistem Bilangan RealStudi kita tentang kalkulus berdasarkan pada sistem bilangan real. Bilangan realterdiri atas himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan, pengurangan,perkalian, dan pembagian.

1.2.1 Klasifikasi bilangan real

Bilangan real ini diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Bilangan asli atau bulat positif, disimbolkan N , yaitu N “ t1, 2, 3, . . .u.


2. Bilangan bulat, dinotasikan Z, yaitu Z “ t. . . ,´2,´1, 0, 1, 2, . . .u.

3. Bilangan rasional yang didefinisikan sebagaiQ “ tx : x “ pq, dengan p, q adalah bilangan bulat dan q ‰ 0u. Catatan:pembagian dengan 0 tidak terdefinisikan. Contoh bilangan rasional adalah25, ´194, 51 “ 5.

4. Bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak rasional. Contoh?

2, 7?

3, π, dansolusi dari persamaan 3x2 ´ 5 “ 0.

Catatan tentang pembagian dengan nol: penjumlahan dan pembagian adalahdua operasi balikan (invers) dalam matematika. Pernyataan ab “ c adalah benarjika dan hanya jika bˆc “ a adalah benar. Sekarang, misalkan 40. Hal ini tentu sajabukan bilangan karena tidak ada bilangan c sedemikian hingga pernyataan invers0 ˆ c “ 4. Demikian pula dengan 00 bukanlah suatu bilangan karena pernyataaninvers 0 ˆ c “ 0 dipenuhi oleh sebarang bilangan c. Dengan demikian pembagiandengan nol tidaklah memiliki arti (meaningless) dan pada setiap pecahan kita tidakmembolehkan pembagi nol.

1.2.2 Representasi desimal

Setiap bilangan real dapat direpresentasikan oleh suatu desimal. Jika r “ pq adalahbilangan rasional, maka representasi desimalnya dicari dengan membagi pembilangdengan penyebut. Hasil representasi desimal akan berhenti (terminate), seperti25 “ 0,4, atau berulang (repeat) seperti 23 “ 0,666666 . . . “ 0,6. Tanda garisatas pada 0,6 menunjukkan barisan digit berulang terus (indefinitely). Contoh lain197 “ 2,714285714285 “ 2,714285. Kemudian terdapat pula ekspansi bilanganirasional tidak berhenti atau berulang. Sebagai contoh

?2 “ 1,414213562 . . . ;

π “ 3,141592653 . . . .

Jika kita hentikan ekspansi desimal dari suatu bilangan pada desimal tertentu makahasilnya adalah pendekatan bilangan rasional untuk bilangan tersebut. Contoh1,414 “ 14141000. Pendekatan yang lebih akurat dapat diperoleh dengan mengam-bil lebih banyak desimal dalam ekspansi.

1.2.3 Representasi geometri

Salah satu konsep dasar dalam matematika yang menghubungkan ide abstrak (ab-stract notion) dari bilangan real dengan ide geometri dari titik adalah representasibilangan real sebagai titik pada suatu garis lurus. Hal ini bisa dilakukan denganmemilih sebarang titik O pada garis yang mewakili titik 0 dan titik lain U (biasanyadi sebelah kanan O untuk menyatakan bilangan 1). Titik O disebut titik asal danjarak antara O dan U merupakan sebuah skala (sebuah unit panjang). Dengan Odan U yang telah ditentukan, masing-masing bilangan real dapat diwakilkan sebagaisebuah titik pada garis dan sebaliknya masing-masing titik pada garis menyatakanbilangan real. Garis yang mewakili bilangan real disebut garis bilangan (number


line) atau garis real (real line). Selanjutnya bilangan yang berasosiasi dengan titikP pada garis disebut koordinat dari P . Bilangan positif diidentifikasi oleh titik-titikyang berada pada sisi sebelah kanan O dan bilangan negatif diidentifikasi pada sisisebelah kiri O. Dengan demikian, titik yang mewakili bilangan x dengan x ‰ 0adalah x unit dari O jika x positif dan ´x unit dari O jika x negatif. Pada konteksini bilangan real dikatakan ”titik” dan yang kita maksud adalah ”titik pada bilanganreal”.

1.2.4 Sifat-sifat Urutan

Jika a dan b adalah bilangan real, maka a lebih kecil daripada b, dinotasikan a ă b,jika b ´ a adalah bilangan positif. Hal ini sama dengan mengatakan bahwa b lebihbesar daripada a, yang dinotasikan oleh b ą a. Secara geometri, a ă b jika titika berada di sebelah kiri dari titik b pada garis bilangan. Dengan analogi serupa,notasi a ď b berarti a ă b atau a “ b (atau ekuivalen b ě a).

Bilangan real dikatakan terurut (ordered) dalam pengertian jika a dan b adalahbilangan real, maka salah satu dari hal berikut pasti terjadi

a ă b, a “ b, a ą b. (1.2)

Sifat pada (1.2) disebut trikotomi (trichotomy). Simbol-simbol seperti ă, ą, ď, ědisebut ketaksamaan (inequalities). Ketaksamaan memenuhi sifat-sifat berikut:

1. Jika a ă b dan b ă c, maka a ă c.

2. Jika a ă b, maka a` c ă b` c untuk semua bilangan real c.

3. Jika a ă b dan c ă d, maka a` c ă b` d.

4. Jika a ă b dan c ą 0, maka ac ă bc.

5. Jika a ă b dan c ă 0, maka ac ą bc.

1.2.5 Densitas

Di antara dua bilangan real terdapat tak berhingga jumlah bilangan rasional dantak berhingga jumlah bilangan irasional. Lebih khusus lagi tidak terdapat bilanganreal positif terkecil.

1.2.6 Nilai Mutlak

Dua sifat penting dari suatu bilangan real a adalah tanda dan ukurannya, ataumagnitud. Secara geometri, tanda a memberitahu kita bahwa titik a berada disebelah kanan atau kiri dari 0 pada garis bilangan. Magnitud dari a adalah jarakantara titik a dan 0; 0 sendiri tidak memiliki tanda dan magnitudnya 0. Magnituda disebut nilai mutlak dari a (absolute value of a), dinotasikan |a|. Nilai absolut adidefinisikan oleh

|a| “

#

a, jika a ě 0,

´a, jika a ă 0.(1.3)


Karakteristik lain: |a| “ maxta,´au dan |a| “?a2. Secara geometri |a| berarti

jarak antara a dan 0. Misalkan c adalah suatu titik, |a´ c| merupakan jarak antaraa dan c. Sifat-sifat nilai mutlak yang lain adalah sebagai berikut:

1. |a| “ 0 jika dan hanya jika a “ 0;

2. | ´ a| “ |a|;

3. |ab| “ |a||b|;

4. |a` b| ď |a| ` |b| (ketaksamaan segitiga);

5.ˇ

ˇ|a| ´ |b|ˇ

ˇ ď |a´ b|.

1.2.7 Selang

Misalkan a dan b adalah bilangan real. Misalkan pula a ă b. Selang terbuka pa, bqadalah himpunan bilangan antara a dan b, yaitu

pa, bq “ tx : a ă x ă bu. (1.4)

Selang tertutup ra, bs adalah selang terbuka pa, bq dengan titik akhir (ujung tertutup)a dan b:

ra, bs “ tx : a ď x ď bu. (1.5)

Jenis-jenis selang yang lain:

1. pa, bs “ tx : a ă x ď bu;

2. ra, bq “ tx : a ď x ă bu;

3. pa,8q “ tx : a ă xu;

4. ra,8q “ tx : a ď xu;

5. p´8, bq “ tx : x ă bu;

6. p´8, bs “ tx : x ď bu;

7. p´8,8q = himpunan bilangan real.

Catatan: tanda r dan s digunakan untuk menandakan bahwa titik akhir diikutkandan tanda p dan q digunakan untuk menandakan bahwa titik akhir tidak diikutkan.Pada garis bilangan, diikutkan atau tidak titik akhir digunakan tanda titik tebal dantitik terbuka. Simbol 8 dan ´8 yang dibaca ”tak berhingga (infinity)” dan ”takberhingga negatif (negative infinity)” bukanlah bilangan real. Simbol 8 di dalamselang mengindikasikan selang diperluas secara tak berhingga dengan arah positif.Mengingat 8 dan ´8 bukanlah bilangan real, kita tidak memiliki selang berbentukra,8s atau r´8, bs.


1.2.8 Keterbatasan

Suatu himpunan bilangan real S dikatakan:

1. terbatas ke atas jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan realM sedemikianhingga x ďM untuk semua x P S; (M disebut batas atas (upperbound) untukS).

2. terbatas ke bawah jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan realm sedemikianhingga x ě m untuk semua x P S; (m disebut batas bawah (lower bound) un-tuk S).

3. terbatas jika dan hanya jika terbatas ke atas dan ke bawah.

Sebagai contoh, selang p´8, 4s dan p´8, 4q terbatas ke atas, tetapi tidak ke bawah.Selang r2, 5s, r´3, 8s, dan p´5,

?2s adalah terbatas.

1.3 Aljabar

1.3.1 Formula pemfaktoran dasar

Pada bagian ini kita akan meninjau sekilas formula-formula pemfaktoran dasar:

pa` bq2 “ a2 ` 2ab` b2;

pa´ bq2 “ a2 ´ 2ab` b2;

pa` bq3 “ a3 ` 3a2b` 3ab2 ` b3;

pa´ bq3 “ a3 ´ 3a2b` 3ab2 ´ b3;

a2 ´ b2 “ pa´ bqpa` bq;

a3 ´ b3 “ pa´ bqpa2 ` ab` b2q;

a3 ` b3 “ pa` bqpa2 ´ ab` b2q.

1.3.2 Polinom dan Ekspresi Rasional

Suatu peubah (variabel) adalah simbol yang digunakan untuk menyatakan suatuelemen sebarang di dalam suatu himpunan. Variabel ini biasanya disimbolkan de-ngan huruf kecil, terutama huruf pada akhir alfabet, seperti t, u, x, dan y. Dalamkonteks bilangan real, variabel ini disebut variabel real (real variables).

Suatu polinom dengan satu variabel adalah ekspresi dengan bentuk

P pxq “ anxn` an´1x

n´1` ¨ ¨ ¨ ` a2x

2` a1x` a0 (1.6)

dengan a0, a1, . . . , an, an ‰ 0 merupakan bilangan real yang disebut koefisien dariP and n adalah bilangan bulat nonnegatif yang disebut derajat dari P . Sebagaicontoh,

P pxq “ 3x4 ´ 5x3 ` 2x´ 3 (1.7)


adalah polinom dengan derajat 4. Polinom-polinom P pxq “ 5x ` 2 dan P pxq “ 7masing-masing merupakan polinom dengan derajat 1 dan 0. Catatan: 0 adalah jugapolinom, namun tidak diberikan derajat. Ekspresi dengan bentuk

F pxq “ x3 ` 3x52 `1

x2(1.8)

bukanlah polinom.Suatu bilangan r dikatakan akar atau solusi dari polinom


n´1` ¨ ¨ ¨ ` a2x

2` a1x` a0 “ 0 (1.9)

jika dan hanya jika

P prq “ anrn` an´1r

n´1` ¨ ¨ ¨ ` a2r

2` a1r ` a0 “ 0. (1.10)

Bilangan r juga disebut nol dari polinom. Teorema faktor menyatakan bahwa x´ radalah faktor dari polinom P jika dan hanya jika r adalah nol dari P , yaitu

P pxq “ px´ rqQpxq, untuk beberapa polinom Q (1.11)

jika dan hanya jika P prq “ 0.Suatu polinom derajat 1 dengan bentuk P pxq “ ax ` b, a ‰ 0 disebut polinom

linear. Bilangan r “ ´ba adalah solusi tunggal dari P . Polinom derajat 2 denganbentuk P pxq “ ax2 ` bx ` c, a ‰ 0 disebut polinom kuadratik. Polinom kuadratikP memiliki dua solusi yang diberikan oleh formula kuadratik

r1 “´b`

?b2 ´ 4ac

2a, (1.12)

r2 “´b´

?b2 ´ 4ac

2a, (1.13)

dan P dapat ditulis dalam suku r1 dan r2 sebagai

P pxq “ apx´ r1qpx´ r2q. (1.14)

Ekspresi (1.14) disebut bentuk-faktor dari P .Misalkan kita memiliki dua polinom P danQ. Ekspresi dengan bentuk P pxqQpxq

disebut ekspresi rasional. Sebagai contoh

1

x´ 3,

x3 ´ 2x

x4 ´ 1, dan

x

x2 ` 1.

Ekspresi dengan bentukx54 ´ 2x

?x4 ` 3x´ 6

bukanlah ekspresi rasional. Catatan: ekspresi rasional Rpxq “ P pxqQpxq tidakterdefinisikan pada titik x dengan Qpxq “ 0. Demikian pula Rpxq “ 0 pada titik xdengan P pxq “ 0.


1.4 KetaksamaanPada bagian ini kita akan membahas bagaimana menyelesaikan ketaksamaan. Prin-sip menyelesaikan ketaksamaan adalah serupa dengan menyelesaikan persamaan.Hal yang perlu diperhatikan adalah apabila kita mengalikan atau membagi denganbilangan negatif, ketaksamaan dibalik.

Contoh 1.1. Selesaikan ketaksamaan

´3p4´ xq ă 12.

Solusi:Mengalikan kedua sisi ketaksamaan dengan ´13 kita peroleh

4´ x ą ´4.

Mengurangkan kedua sisi dengan empat kita dapat

´x ą ´8.

Selanjutnya mengalikan dengan -1 kita peroleh

x ă 8.

Jadi solusi ketaksamaan adalah himpunan dalam selang p´8, 8q.


px` 3q5px´ 1qpx´ 4q2 ă 0.

Solusi:Kita lihat bahwa px ` 3q5px ´ 1qpx ´ 4q2 adalah hasil perkalian dari tiga faktorpx` 3q5, px´ 1q, dan px´ 4q2. Hasil perkalian ini memiliki solusi atau nol pada ´3,1, dan 4. Titik-titik ini dipisahkan oleh selang

p´8,´3q, p´3, 1q, p1, 4q, p4,8q.

Pada keempat selang ini, hanya selang p´3, 1q bernilai negatif. Dengan demikianpenyelesaian dari ketaksamaan ini adalah selang terbuka p´3, 1q.

1.4.1 Ketaksamaan dan Nilai Mutlak

Pada bagian sebelumnya kita telah membahas beberapa sifat nilai mutlak. Untukmenyelesaikan ketaksamaan yang mengandung nilai mutlak ada beberapa hal yangperlu diperhatikan. Untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan bentuk |x| ă δ, kitatahu bahwa ini berarti x berada dalam δ unit dari 0. Dengan kata lain x terletakdi antara ´δ dan δ. Jadi

|x| ă δ jika dan hanya jika ´ δ ă x ă δ.


Dengan cara serupa, kita paham bahwa untuk menyelesaikan |x ´ c| ă δ berarti xterletak di antara c´ δ dan c` δ. Dengan demikian,

|x´ c| ă δ jika dan hanya jika c´ δ ă x ă c` δ.

Apabila kita kembangkan lagi untuk ketaksamaan dengan bentuk 0 ă |x ´ c| ă δ.Kita peroleh |x´ c| ă δ dengan syarat tambahan x ‰ c. Jadi,

0 ă |x´ c| ă δ jika dan hanya jika c´ δ ă x ă c atau c ă x ă c` δ.

Contoh 1.3. Ketaksamaan |x| ă 12 jika dan hanya jika ´12 ă x ă 12. Jadisolusinya p´12, 12q.

Contoh 1.4. Ketaksamaan 0 ă |x ´ 5| ă 1 jika dan hanya jika 4 ă x ă 5 atau5 ă x ă 6. Jadi solusinya p4, 5q Y p5, 6q.


|x` 2| ă 3.

Solusi:Ketaksamaan |x` 2| ă 3 akan berlaku jika dan hanya jika

|x´p´2q| ă 3 jika dan hanya jika ´2´3 ă x ă ´2`3 jika dan hanya jika ´5 ă x ă 1.

Dengan demikian solusinya adalah selang terbuka p´5, 1q.

Misalkan ε ą 0. Kita ingin menyelesaikan |a| ą ε. Kita tahu bahwa

|a| ą ε jika dan hanya jika a ą ε atau a ă ´ε.


|2x` 3| ą 5.

Solusi:Kita peroleh

2x` 3 ą 5 atau 2x` 3 ă ´5. (1.15)

Dari ketaksamaan pertama kita peroleh 2x ą 2 atau x ą 1. Sedangkan dari ketak-samaan kedua kita peroleh 2x ă ´8 atau x ă ´4. Dengan demikian kita perolehsolusi keseluruhan sebagai gabungan dari

p´8,´4q Y p1,8q.

1.5 PengayaanUntuk menambah pemahaman tentang materi ini disarankan untuk membaca buku-buku karangan Salas and Etgen (1995), Stewart (1999), dan Varberg et al. (2000).


1.6 Latihan Soal1. Klasifikasikan bilangan-bilangan berikut sebagai bilangan bulat, rasional, ira-

sional, atau kompleks.

a) 178

b) 2,131313 . . . “ 2,3

c) 0

d) -9

e)?

2´ π

f) 0,145

g) 0,999 . . . “ 0,9

h) 1p2πq

i) 0,21211211121111 . . .

j) 3?

8

k) 723

2. Tulis bilangan-bilangan berikut tanpa nilai mutlak

a) |7|

b) |2´ 8|

c) | ´ 5| ` | ´ 9|

d) | ´ 5| ´ | ´ 8|

e) |5´?

5|

f) |2´ π|

3. Nyatakan dalam garis bilangan real semua nilai x yang memenuhi kondisiberikut.

a) x ě 4

b) ´3 ď x ď 5

c) x2 ě 25

d) x2 ą 0

e) |x` 1| ą 4

f) x2 ă 16

g) |x| ď 0

h) |x´ 4| ď 3

i) |x` 5| ď 0

4. Sketsa pada garis bilangan real selang-selang berikut.

a) r4,8q


b) p´4, 8s

c) p´8, 10q

d) p1, 4s Y r4, 9q

5. Untuk himpunan-himpunan berikut tentukan apakah himpunan tersebut ter-batas ke atas, terbatas ke bawah, atau terbatas.

a) t0, 1, 2, 3, 4, 5u

b) t0,´1,´2,´3, . . . u

c) S adalah himpunan bilangan bulat genap

d) S “ tx : x2 ą 4u

6. Carilah nol dari polinom kuadratik berikut.

a) P pxq “ x2 ` 8x` 16

b) P pxq “ x2 ´ 2x` 2

c) P pxq “ x2 ´ x´ 2

d) P pxq “ 2x2 ´ 5x´ 3

7. Selesaikan ketaksamaan berikut dan gambar grafik penyelesaiannya pada garisbilangan real.

a) 2` 3x ď 5

b)1

xă x

c) xpx´ 1qpx´ 2q ą 0

d)x2

x2 ´ 4ă 0

e)x2 ´ 4x` 3

x2ą 0

8. Selesaikan ketaksamaan berikut dan nyatakan solusinya dalam bentuk selang.

a) |x| ă 5

b) |x´ 2| ă 12

c) 0 ă |x´ 2| ă 8

d) |5x´ 1| ą 9

e) |3x` 1| ą 6

BAB 2FUNGSI

Fungsi memegang peranan penting dalam mempelajari kalkulus. Proses-proses fun-damental kalkulus, turunan dan integral, merupakan proses yang diterapkan kepadafungsi. Fungsi dapat direpresentasikan dalam empat cara: dengan persamaan,dalam tabel, dengan grafik, atau dengan kata-kata.

2.1 Empat Cara Menyatakan FungsiFungsi muncul pada satu kuantitas bergantung kepada yang lain. Ada empatcara menyatakan fungsi (Stewart, 1999)). Misalkan terdapat kondisi-kondisi sepertiberikut.

1. Luas bujur sangkar L bergantung kepada sisi s. Aturan yang menghubungkans dan L diberikan oleh persamaan L “ s2. Untuk setiap bilangan positif sberasosiasi dengan satu nilai L dan kita katakan L adalah fungsi dari s.

2. Populasi penduduk dunia P bergantung kepada waktu t. Tabel berikut mem-berikan estimasi penduduk dunia P ptq pada saat t.

Tahun Populasi (juta)

1900 16501910 17501920 18601930 20701940 23001950 2520

Berdasarkan tabel di atas kita peroleh P p1950q « 2.520.000.000. Untuk setiaptahun t terdapat satu nilai P . Jadi kita katakan P adalah fungsi dari t.

3. Biaya pengiriman surat C bergantung kepada berat surat w. Meskipun tidakterdapat formula sederhana yang menghubungkan w dan C, namun kantor posmemiliki aturan untuk menentukan C begitu w diketahui.

4. Pencatatan detak jantung dengan electro cardiogram (EKG) merupakan fungsiwaktu t.

12

BAB 2. FUNGSI 13

Dari keempat kondisi di atas kita dapat menyimpulkan bahwa L, P , dan Cadalah fungsi dari s, t, dan w. Misalkan A dan B adalah himpunan.

Definisi 2.1. Suatu fungsi f adalah suatu aturan yang menugaskan setiap elemenx di dalam A dengan tepat satu elemen, disebut fpxq, di dalam himpunan B.

Fungsi yang kita bicarakan biasanya melibatkan bilangan real. Himpunan Adisebut domain fungsi. Bilangan fpxq disebut nilai f pada x. Rentang dari fadalah semua nilai yang mungkin dari fpxq. Suatu simbol yang menyatakan suatubilangan sebarang di dalam domain fungsi f disebut variabel bebas (independentvariable). Sedangkan, suatu simbol yang menyatakan bilangan di dalam rentangdari f disebut variabel takbebas (dependent variable).

Contoh 2.1. Misalkan kita mempunyai fungsi fpxq “ x2 untuk semua bilangan realx. Domain fungsi f , dinotasikan dompfq, secara tersurat adalah himpunan semuabilangan real. Nilai fungsi f dapat diperoleh dnegan mensubstitusikan x di dalampersamaan. Sebagai contoh

fp´4q “ p´4q2 “ 16, fp5q “ 52“ 25, fp0q “ 02

“ 0.

Kita melihat bahwa sebagaimana x bernilai real, x2 bernilai bilangan tak negatif.Dengan demikian rentang fungsi f adalah r0,8q. Kita dapat menuliskan ini sebagai

dompfq “ p´8,8q dan rentangpfq “ r0,8q,

dan kita katakan f memetakan p´8,8q ke r0,8q.

Contoh 2.2. Misalkan fungsi gpxq “?

2x` 4, x P r0, 6s. Domain g adalah selangtertutup r0, 6s. Pada saat x “ 0, g bernilai 2 dan pada x “ 6, g bernilai 4. De-ngan demikian rentang fungsi g adalah selang tertutup r2, 4s. Dengan demikian gmemetakan r0, 6s ke r2, 4s.

Aturan fungsi dapat ditentukan oleh himpunan persamaan. Dengan kata lain,aturan ini bisa ditentukan oleh lebih dari satu persamaan.

Contoh 2.3. Fungsi nilai mutlak yang didefinisikan oleh

|x| “

#

x, jika x ě 0,

´x, jika x ă 0.(2.1)

Fungsi ini memiliki domain p´8,8q dan rentang r0,8q.

Fungsi dapat digambarkan sebagai mesin, diagram panah (arrow diagram) dangrafik. Sebagai mesin fungsi dapat digambarkan sebagai berikut. Jika x berada didalam domain dari fungsi f , maka pada saat x masuk ke dalam mesin, x diterimasebagai input dan mesin memproduksi luaran fpxq menurut aturan fungsi. Dengandemikian kita dapat menganggap domain sebagai himpunan dari semua masukan(input) yang mungkin dan rentang sebagai himpunan dari semua luaran (output)yang mungkin.

BAB 2. FUNGSI 14

Cara lain untuk menggambarkan fungsi adalah dengan diagram panah. Padadiagram ini masing-masing panah menghubungkan satu elemen A dengan satu ele-men B. Panah mengindikasikan bahwa fpxq berasosiasi dengan x, fpaq berasosiasidengan a, dan seterusnya.

Cara ketiga untuk menggambarkan fungsi adalah dengan grafik. Cara ini meru-pakan cara yang paling umum digunakan. Jika f adalah suatu fungsi dalam domainA, maka grafik fungsi adalah himpunan pasangan terurut

tpx, fpxqq : x P Au. (2.2)

Dengan kata lain, grafik dari fungsi f terdiri atas semua titik px, yq di dalam koor-dinat bidang sedemikian hingga y “ fpxq dan x di dalam domain f .

2.2 Grafik FungsiPada bagian sebelumnya kita telah membahas tiga cara untuk menggambarkanfungsi. Cara ketiga merupakan cara yang paling lazim digunakan untuk menggam-barkan fungsi.

Contoh 2.4. Kita akan membuat grafik fungsi gpxq “?

2x` 4, x P r0, 6s sepertipada contoh di atas.

Contoh 2.5. Berikut ini adalah grafik fungsi

hpxq “

#

x2, jika x ě 0,

2x` 1, jika x ă 0.(2.3)

Grafik suatu fungsi adalah kurva pada bidang-xy. Kurva yang bagaimana padabidang-xy yang merupakan fungsi? Untuk menjawab pertanyaan ini kita bisa meng-gunakan uji garis vertikal. Suatu kurva pada bidang-xy adalah grafik suatu fungsidari x jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang berpotongan.

2.3 Fungsi Genap dan GanjilPada subbab ini kita akan membicarakan fungsi genap (even function) dan fungsiganjil (odd function).

Definisi 2.2. Suatu fungsi f dikatakan genap jika dan hanya jika fp´xq “ fpxquntuk semua x P dompfq.

Contoh 2.6. Fungsi kuadrat fpxq “ x2 adalah fungsi genap karena fp´xq “p´xq2 “ x2 “ fpxq.

Definisi 2.3. Suatu fungsi f dikatakan ganjil jika dan hanya jika fp´xq “ ´fpxquntuk semua x P dompfq.

Contoh 2.7. Fungsi fpxq “ x3 adalah fungsi ganjil karena fp´xq “ p´xq3 “ ´x3 “´fpxq.

Grafik fungsi genap simetrik dengan sumbu y dan grafik fungsi ganjil simetrikdengan titik asal (origin).

BAB 2. FUNGSI 15

2.4 Konvensi pada DomainSeringkali domain fungsi tidak diberikan secara tersurat. Sebagai contoh diberikanfungsi

fpxq “ x4 ` 1, atau fpxq “1

x´ 3

tanpa penjelasan lebih lanjut. Konvensi dalam hal ini adalah mengambil domainhimpunan bilangan real terbesar x sehingga fpxq juga adalah bilangan real. Padafungsi pertama, domain fungsi tersebut adalah p´8,8q. Jadi dompfq “ p´8,8q.Untuk fungsi kedua, kita lihat fungsi tersebut tidak terdefiniskan pada x “ 3. De-ngan demikian, domain fungsi adalah dompfq “ tx : x ‰ 3u “ p´8, 3q Y p3,8q.

2.5 Fungsi-fungsi Elementer

2.5.1 Fungsi polinom

Pada bab sebelumnya kita telah membahas tentang fungsi polinom dengan bentuk


n´1` ¨ ¨ ¨ ` a2x

2` a1x` a0 (2.4)

dengan a0, a1, . . . , an, an ‰ 0 merupakan bilangan real. Domain fungsi P adalahp´8,8q. Rentang fungsi ini adalah p´8,8q jika derajatnya ganjil. Jika derajatnyagenap, rentang fungsi ini adalah selang berbentuk rb,8q bila an ą 0 dan selangberbentuk p´8, bs jika an ă 0. Contoh fungsi polinom adalah fungsi dengan bentukP pxq “ ax2 ` bx` c, a ‰ 0.

2.5.2 Fungsi rasional

Fungsi rasional adalah fungsi dengan bentuk

Rpxq “P pxq

Qpxq, (2.5)

dengan P pxq dan Qpxq adalah polinom. Fungsi rasional R “ P Q tidak terdefin-isikan pada titik x dengan Qpxq “ 0, sehingga domain fungsi ini adalah dompRq “tx : Qpxq ‰ 0u. Contoh fungsi rasional adalah

Rpxq “1

x2 ´ 4x` 4. (2.6)

2.5.3 Fungsi trigonometri

Pada subbab ini kita akan meninjau sekilas tentang fungsi trigonometri. Dalammempelajari trigonometri kita menggunakan satuan radian. Radian x dan derajatA dihubungkan oleh persamaan

A

360“

x

2π. (2.7)

Tabel berikut berisi ukuran sudut dalam derajat dan radian.

BAB 2. FUNGSI 16

derajat 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600

radian 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π

Sebagaimana telah disebutkan, kita akan menggunakan satuan radian θ. Untuktabel di atas nilai fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen adalahsebagai berikut

0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2πsin θ 0 12

?22

?32 1

?32

?22 12 0 ´1 0

cos θ 1?

32?

22 12 0 ´12 ´?

22 ´?

32 -1 0 1tan θ 0

?33 1

?3 * ´

?3 ´1 ´

?33 0 * 0

Tanda bintang (*) menunjukkan tan θ tidak terdefinisikan. Nilai secan, cosecan, dancotangen dapat dihitung dari hubungan

csc θ “1

sin θ, (2.8)

sec θ “1

cos θ, (2.9)

cot θ “cos θ

sin θ. (2.10)

Keperiodean

Suatu fungsi f dikatakan periodik (periodic) jika terdapat suatu bilangan p, p ‰ 0,sedemikian hingga fpx ` pq “ fpxq dengan x dan x ` p berada di dalam domainf . Bilangan positif terkecil dengan sifat ini disebut periode dari f . Sebagai contohsinpθ`2πq “ sin θ dan cospθ`2πq “ cos θ untuk semua θ. Dengan demikian, periodefungsi ini adalah 2π.

Beberapa identitas penting

Berikut ini kita akan meninjau kembali beberapa identitas penting fungsi trigonometri:

1. lingkaran satuan (unit circle):

sin2 θ ` cos2 θ “ 1, (2.11)tan2 θ ` 1 “ sec2 θ, (2.12)1` cot2 θ “ csc2 θ. (2.13)

2. rumus penjumlahan

sinpα ` βq “ sinα cos β ` cosα sin β, (2.14)sinpα ´ βq “ sinα cos β ´ cosα sin β, (2.15)cospα ` βq “ cosα cos β ´ sinα sin β, (2.16)cospα ´ βq “ cosα cos β ` sinα sin β. (2.17)

BAB 2. FUNGSI 17

3. fungsi genap dan ganjil

sinp´θq “ ´ sin θ (2.18)cosp´θq “ cos θ. (2.19)

4. rumus sudut ganda

sin 2θ “ 2 sin θ cos θ, (2.20)cos 2θ “ cos2 θ ´ sin2 θ “ 2 cos2 θ ´ 1 “ 1´ 2 sin2 θ. (2.21)

5. rumus setengah-sudut

sin2 θ “1

2p1´ cos 2θq, (2.22)

cos2 θ “1

2p1` cos 2θq. (2.23)

2.6 Kombinasi FungsiFungsi sering dikombinasikan dengan fungsi lain. Beberapa sifat tersebut akan diba-has pada subbab berikut.

2.6.1 Aljabar kombinasi fungsi

Misalkan f dan g adalah fungsi bernilai real dari variabel real. Penjumlahan, pen-gurangan, perkalian, dan pembagian fungsi didefiniskan secara alamiah (defined innatural way) sebagai berikut:

1. penjumlahan: rf ` gspxq “ fpxq ` gpxq,

2. pengurangan: rf ´ gspxq “ fpxq ´ gpxq,

3. perkalian: rf ¨ gspxq “ fpxq ¨ gpxq,

4. pembagian: rfgspxq “ fpxqgpxq.

Berdasarkan definisi ini, pf`gqpxq, pf´gqpxq, dan pf ¨gqpxq hanya ada jika fpxq dangpxq ada. Dengan demikian, f`g, f´g, dan f ¨g masing-masing memenuhi domaindompfq X dompgq. Untuk pembagian fg, diperlukan syarat tambahan gpxq ‰ 0.

Contoh 2.8. Misalkan fpxq “ x3 ` x´ 2 dan gpxq “ x2´?x. Akan dihitung (a)

f ` g, (b) f ´ g, dan (c) fg. Kemudian carilah domain untuk setiap kasus.SolusiMengingat f adalah polinom, dompfq “ p´8,8q dan dompgq “ r0,8q.

(a) pf ` gqpxq “ fpxq ` gpxq “ px3 ` x´ 2q ` px2´?xq “ x3 ` 3

2x´ 2´

?x dan

dompf ` gq “ p´8,8q X r0,8q “ r0,8q.

(b) pf ¨gqpxq “ fpxqgpxq “ px3`x´2qpx2´?xq “ 1

2x4` 1

2x2´x´x3

?x´x

?x`2

?x

dan dompf ¨ gq “ r0,8q.

BAB 2. FUNGSI 18

(c) pfgqpxq “ fpxqgpxq “ px3 ` x´ 2qpx2´?xq. Domain dompfq X dompgq “

r0,8q. Sekarang, gpxq ‰ 0. Pada gpxq “ 0 kita peroleh x2 “?x atau x24 “ x.

Jadi gpxq “ 0 untuk x “ 0 dan x “ 4. Jadi

dompfgq “ tx : x P r0,8q dan x ‰ 0, 4u “ p0, 4q Y p4,8q. (2.24)

2.6.2 Komposisi fungsi

Definisi 2.4. Misalkan f dan g adalah fungsi dan misalkanD “ x P dompgq; gpxq P dompfq.Komposisi f ˝ g adalah fungsi yang didefinisikan pada D oleh

pf ˝ gqpxq “ fpgpxqq. (2.25)

Contoh 2.9. Misalkan gpxq “ x2 dan fpxq “ x` 5. Komposisi

pf ˝ gqpxq “ fpgpxqq “ gpxq ` 5 “ x2 ` 5. (2.26)

Tetapi,pg ˝ fqpxq “ gpfpxqq “ rfpxqs2 “ px` 5q2. (2.27)

Komposisi fungsi juga dapat dibentuk untuk fungsi yang berjumlah lebih daridua. Sebagai contoh kita memiliki komposisi

pf ˝ g ˝ hqpxq “ f rgphpxqqs. (2.28)

Contoh 2.10. Misalkan fpxq “ 1x, gpxq “ x2 ` 1, dan hpxq “ cosx. Komposisi

pf ˝ g ˝ hqpxq “ f rgphpxqqs “1

gphpxqq“

1

rhpxqs2 ` 1“

1

cos2 x` 1. (2.29)

2.7 PengayaanUntuk menambah pemahaman tentang materi ini disarankan untuk membaca buku-buku karangan, Arya and Lardner (1979), Salas and Etgen (1995), Stewart (1999),dan Varberg et al. (2000).

2.8 Latihan Soal1. Hitunglah (a) fp0q, (b) fp1q, (c) fp´2q, dan (d) fp32q pada soal-soal berikut:

a) fpxq “?x2 ` 2x,

b) fpxq “2x

|x` 2| ` x2,

c) fpxq “ |x` 3| ´ 5x,

d) fpxq “ 1´1

px` 1q2.

2. Hitung nilai (a) fp´xq, (b) fp1xq, dan (c) fpx`yq pada soal soal-soal berikut:

BAB 2. FUNGSI 19

a) fpxq “ x2 ´ 2x,

b) fpxq “?

1` x2,

c) fpxq “x

x2 ` 1,

d) fpxq “x

|x2 ´ 1|,

e) fpxq “x

|x|.

3. Carilah domain dan rentang untuk fungsi-fungsi pada soal 1–2. Kemudiangambarlah grafik fungsinya.

4. Carilah domain dan rentang fungsi-fungsi berikut dan buatlah gambar grafiknya.

a) fpxq “

#

´1, jika x ă 0;

1, jika x ą 0;

b) fpxq “

#

x2, jika x ď 0;

1´ x, jika x ą 0;

c) fpxq “

$

’

&

’

%

x2, jika x ă 0;

´1, jika 0 ă x ă 2;

x, jika 2 ă x;

5. Untuk fungsi-fungsi pada soal 1–2, carilah apakah fungsi tersebut ganjil ataugenap.

6. Tentukanlah apakah fungsi-fungsi berikut adalah fungsi polinom, fungsi ra-sional, atau bukan. Jika fungsi tersebut polinom tentukan derajatnya.

a) fpxq “ 3,

b) gpxq “1

x,

c) fpxq “ 1`x

2,

d) hpxq “x2 ´ 4?

2,

e) F pxq “x3 ´ 3x32 ` 2x

x2 ´ 1,

f) fpxq “ 5x4 ´ πx2 `1

2,

g) fpxq “?xp?x` 1q,

h) gpxq “x2 ´ 2x´ 8

x` 2,

i) fpxq “?x2 ` 1

x2 ´ 1,

BAB 2. FUNGSI 20

j) hpxq “sin2 x` cos2x

x3 ` 8,

7. Carilah domain dan rentang fungsi berikut. Kemudian gambar grafiknya.

a) fpxq “ 3x´1

2.

b) gpxq “ x2 ´ x´ 6.

c) fpxq “1

x` 1.

d) gpxq “ x`1

x.

e) fpxq “ | sinpxq|.

f) gpxq “ sin2 x` cos2 x.

g) hpxq “?

cos2 x.

h) fpxq “ 1` sinx.

i) gpxq “ 1´ cosx.

8. Untuk fungsi-fungsi pada soal 7, tentukanlah apakah fungsi tersebut ganjil,genap, atau bukan.

9. Misalkan fpxq “ 2x2 ´ 3x ` 1 dan gpxq “ x2 ` 1x. Hitunglah nilai-nilaiberikut:

a) pf ` gqp2q,

b) pfgqp´2q,

c) pf ´ gqp´1q,

d) pfgqp1q,

e) p2f ´ 3gqp12q,

f) pf ˝ gqp1q,

g) pg ˝ fqp1q

10. Hitunglah komposisi f ˝ g dan g ˝ f untuk fungsi-fungsi berikut:

a) fpxq “ 2x` 5, gpxq “ x2;

b) fpxq “?x, gpxq “ x` 5;

c) fpxq “ x2 ` x, gpxq “?x;

d) fpxq “ 1x, gpxq “?x;

e) fpxq “?

1´ x2, gpxq “ cos 2x;

f) fpxq “?

1´ x, gpxq “ sinx;

g) fpxq “ 1px´ 1q, gpxq “ px2 ´ 1q2.

BAB 3LIMIT DAN KEKONTINUAN

3.1 Konsep LimitPada subbab ini kita akan membicarakan limit, yakni suatu konsep yang sangatpenting dalam mempelajari kalkulus. Ada tiga metode intuitif yang akan kita gu-nakan: (1) menggunakan grafik fungsi f ; (2) menganalisis tingkah laku fungsi funtuk nilai-nilai f yang dekat dengan suatu bilangan c; dan (3) menggunakan pen-dekatan numerik atau percobaan apabila metode (1) dan (2) sulit diterapkan.

Misalkan L adalah suatu bilangan dan suatu fungsi f didefinisikan di dekatbilangan c tetapi tidak harus terdefinisikan pada c itu sendiri. Secara kasar hal inidapat diterjemahkan sebagai

limxÑc

fpxq “ L, (3.1)

yang dapat kita baca ”sebagaimana x mendekati c, fpxq mendekati L” atau ”jika xdekat ke c tetapi berbeda dengan c (bukan c), fpxq dekat ke L”.

Dalam pengambilan limit x mendekati c, tidaklah menjadi masalah apakah fterdefinisikan pada c. Yang menjadi masalah adalah nilai f pada saat x dekat c.Bilangan c ini terbagi atas dua kategori yaitu bilangan yang terletak di sebelah kiric dan bilangan yang terletak di sebelah kanan c. Kita tulis

limxÑc´

fpxq “ L, (3.2)

untuk menyatakan ”sebagaimana xmendekati c dari kiri, fpxqmendekati L”. Dengancara serupa,

limxÑc`

fpxq “ L, (3.3)

untuk menyatakan ”sebagaimana x mendekati c dari kanan, fpxq mendekati L”.Limit kiri pada (3.2) dan limit kanan pada (3.3) disebut limit satu sisi (one-sidedlimit). Hubungan antara ”limit f sebagaimana x mendekati c” dan dua ”limit satusisi f sebagaimana x mendekati c” adalah jelas, yaitu

limxÑc

fpxq “ L, (3.4)

jika dan hanya jika kedua limit

limxÑc´

fpxq “ L dan limxÑc`

fpxq “ L. (3.5)

21

BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 22

Contoh 3.1. Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan oleh fpxq “ |x|x untukx ‰ 0. Fungsi ini dapat ditulis sebagai

fpxq “

#

1, jika x ą 0;

´1, jika x ă 0.

Kita akan lihat limxÑc fpxq untuk beberapa nilai c. Untuk c “ 0,

limxÑc´

fpxq “ limxÑc´

p´1q “ ´1

danlimxÑc`

fpxq “ limxÑc`

p1q “ 1.

Dengan demikian, limxÑ0 |x|x tidak ada. Jika c “ c1 adalah sembarang bilanganpositif, maka fpxq ”dekat dengan 1” apabila x dekat dengan c1. Jadi untuk c1 ą 0,kita peroleh limxÑc1 |x|x “ 1. Dengan analisis yang serupa, apabila c “ c2 adalahbilangan negatif, limxÑc2 |x|x “ ´1.

Contoh 3.2. Nilai limxÑ3p2x`5q “ 11. Sebagaimana x mendekati 3, 2x mendekati6, dan 2x` 5 mendekati 11.

Ingat bahwa dalam mengambil limit, sebagaimana x mendekati suatu bilan-gan c, tidaklah masalah apakah fungsi tersebut terdefinisikan pada c dan kalaupundemikian, bagaimana fungsi tersebut didefinisikan. Satu hal yang menjadi masalahadalah bagaimana fungsi tersebut didefinisikan di dekat bilangan c.

Contoh 3.3. NilailimxÑ4

x2 ´ 2x´ 8

x´ 4“ 6. (3.6)

Pada x “ 4, fungsi ini tidak terdefinisikan karena kedua pembilang dan penyebutnyaadalah 0 dan terjadi pembagian dengan nol, yakni 00. Namun, ini tidaklah menjadimasalah. Untuk x ‰ 4 dan semua x yang dekat dengan 4,

x2 ´ 2x´ 8

x´ 4“px` 2qpx´ 4q

x´ 4“ x` 2.

Dengan demikian,

limxÑ4

x2 ´ 2x´ 8

x´ 4“ lim

xÑ4px` 2q “ 6.

Pada awal subbab dikatakan ada tiga metode untuk menghitung limit. Sekarangkita akan membicarakan metode ketiga yaitu metode numerik atau percobaan.

Contoh 3.4. Misalkan fpxq “ psinxqx. Jika ingin menghitung nilai f pada 0, kitamemperoleh rasio 0/0. Namun, f terdefinisikan pada semua x ‰ 0, jadi kita dapatmenghitung

limxÑ0

sinx

x. (3.7)

Dengan menggunakan kalkulator, kita peroleh


Sisi kiri Sisi kananx (radian) psinxqx x (radian) psinxqx

-1 0,84147 1 0,84147-0,5 0,95885 0,5 0,95885-0,1 0,99833 0,1 0,99833-0,01 0,99998 0,01 0,99998-0,001 0,99999 0,001 0,99999

Jadi berdasarkan perhitungan di atas kita peroleh

limxÑ0´

sinx

x“ 1 dan lim

xÑ0`

sinx

x“ 1. (3.8)

Sehingga kita simpulkan limxÑ0psinxqx “ 1.

3.2 Definisi LimitPada bagian sebelumnya kita telah membicarakan limit dalam konteks informal.Misalkan f adalah suatu fungsi dan c adalah suatu bilangan real. Kita tidak memer-lukan bahwa f terdefinisikan pada c, namun kita memerlukan bahwa f terdefinisikansetidaknya pada interval pc ´ p, cq Y pc, c ` pq dengan p ą 0. Ini untuk menjaminbahwa kita dapat membentuk fpxq untuk semua x ‰ c yang cukup dekat dengan c.Dengan kata lain,

limxÑc

fpxq “ L,

berarti kita dapat membuat fpxq sedekat L dengan memilih x yang cukup dekatdengan c, x ‰ c.

Secara formal limit suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3.1. Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan pada setidaknya him-punan dengan bentuk pc´ p, cq Y pc, c` pq dengan p ą 0. Maka

limxÑc

fpxq “ L (3.9)

jika dan hanya jika untuk setiap ε ą 0, terdapat δ ą 0 sedemikian hingga

jika 0 ă |x´ c| ă δ, maka |fpxq ´ L| ă ε. (3.10)

Contoh 3.5. Tunjukkan bahwa

limxÑ2p2x´ 1q “ 3.

Solusi:Mencari δ: Misalkan ε ą 0. Kita akan mencari bilangan δ ą 0 sedemikian hinggajika

0 ă |x´ 2| ă δ, maka |p2x´ 1q ´ 3| ă ε.

Sekarang kita mencari hubungan antara |p2x´ 1q´ 3| dan |x´ 2|. Kita lihat bahwa

|p2x´ 1q ´ 3| “ |2x´ 4| “ 2|x´ 2|. (3.11)


Untuk menjadikan |2px ´ 1q ´ 3| kurang dari ε, kita perlu membuat 2|x ´ 2| ă εyang dapat dilakukan dengan membuat |x ´ 2| ă ε2. Sehingga kita pilih δ “ ε2.Untuk menunjukkan δ ”bekerja”: Jika 0 ă |x ´ | ă ε2, maka 2|x ´ 2| ă ε danberdasarkan (3.11) kita peroleh |p2x´ 1q ´ 3| ă ε.

Berikut ini beberapa limit dasar yang perlu diketahui:

1. limxÑc x “ c,

2. limxÑc |x| “ c,

3. limxÑc a “ a.

3.2.1 Alternatif formulasi limit

Berikut ini empat alternatif formulasi limit:

1. limxÑc fpxq “ L,

2. limhÑ0 fpc` hq “ L,

3. limxÑcpfpxq ´ Lq “ 0,

4. limxÑc |fpxq ´ L| “ 0.

Keempat alternatif definisi di atas adalah sama.

Contoh 3.6. Untuk fpxq “ x3, kita peroleh (berdasarkan definisi alternatif):

limxÑ2

x3 “ 8,

limhÑ0p2` hq3 “ 8,

limxÑ2px3 ´ 8q “ 0,

limxÑ2

|x3 ´ 8| “ 0.

3.2.2 Limit kiri dan limit kanan

Pada subbab sebelumnya kita telah mempelajari limit kiri dan kanan. Secara formallimit tersebut didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3.2. (Limit kiri) Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan setidaknyapada suatu interval dengan bentuk pc´ p, cq dengan p ą 0. Maka

limxÑc´

fpxq “ L (3.12)

jika dan hanya jika untuk setiap ε ą 0 terdapat δ ą 0 sedemikian hingga jika

c´ δ ă x ă c, maka |fpxq ´ L| ă ε.


Definisi 3.3. (Limit kanan) Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan setidaknyapada suatu interval dengan bentuk pc, c` pq dengan p ą 0. Maka

limxÑc`

fpxq “ L (3.13)

jika dan hanya jika untuk setiap ε ą 0 terdapat δ ą 0 sedemikian hingga jika

c ă x ă c` δ, maka |fpxq ´ L| ă ε.

Kedua definisi limit kiri dan kanan di atas membantu kita untuk menentukanapakah limit (dua sisi) ada atau tidak yaitu

limxÑc

fpxq “ L jika dan hanya jika limxÑc´

fpxq “ L dan limxÑc`

fpxq “ L.

Contoh 3.7. Misalkan fungsi f didefinisikan oleh

fpxq “

#

2x` 1, jika x ď 0,

x2 ´ x, jika x ą 0.(3.14)

Limit limxÑ0 fpxq tidak ada. Perhatikan bahwa limit kiri

limxÑ0´

fpxq “ limxÑ0´

p2x` 1q “ 1

dan limit kananlimxÑ0`

fpxq “ limxÑ0´

px2 ´ xq “ 0.

3.3 Beberapa Teorema LimitPada bagian ini kita akan membicarakan beberapa teorema penting limit.

Teorema 3.1. Jika limxÑc fpxq “ L dan limxÑc fpxq “M , maka L “M .

Teorema 3.2. Jika limxÑc fpxq “ L dan limxÑc gpxq “M , maka

1. limxÑcrfpxq ` gpxqs “ L`M ,

2. limxÑcrαfpxqs “ αL, untuk setiap bilangan real α,

3. limxÑcrfpxqgpxqs “ LM .

Teorema 3.3. Jika limxÑc gpxq “M dengan M ‰ 0, maka

limxÑc

1

gpxq“

1

M. (3.15)

Teorema 3.4. Jika limxÑc fpxq “ L dan limxÑc gpxq “M dengan M ‰ 0 maka

limxÑc

fpxq

gpxq“

L

M.


Teorema 3.5. Jika limxÑc fpxq “ L dengan L ‰ 0 dan limxÑc gpxq “ 0 denganM ‰ 0 maka

limxÑc

fpxq

gpxqtidak ada.

Contoh 3.8. Hitung

limxÑ3

x2 ´ x´ 6

x´ 3.

Dengan memfaktorkan

limxÑ3

x2 ´ x´ 6

x´ 3“ lim

xÑ3

px` 2qpx´ 3q

px´ 3q“ lim

xÑ3px` 2q “ 5.

Contoh 3.9. Hitung

limxÑ´1

x` 1

p2x2 ` 7x` 5q2.

Dengan memfaktorkan

limxÑ´1

x` 1

p2x2 ` 7x` 5q2“ lim

xÑ´1

px` 1q

p2x` 5q2px` 1q2.

Untuk x ‰ ´1

limxÑ´1

1

p2x` 5q2px` 1q

tidak ada. Sehingga

limxÑ´1

x` 1

p2x2 ` 7x` 5q2

tidak ada.

3.4 KekontinuanPada bahasa sehari-hari kata ”kontinu” berarti tidak terputus atau tanpa perubahan.Pada matematika kata kontinu ini mirip penggunaannya.

Definisi 3.4. Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan pada setidaknya suatuselang terbuka pc´ p, c` pq dengan p ą 0. Maka fungsi f dikatakan kontinu pada cjika dan hanya jika

limxÑc

fpxq “ fpcq. (3.16)

Catatan: pada definisi ”limit f pada c” kita tidak memerlukan bahwa f ter-definisikan pada c. Berbeda dengan definisi ”kekontinuan pada c” f diperlukanuntuk terdefinisikan pada c. Dengan demikian, menurut definisi ini, suatu fungsi fdikatakan kontinu pada titik c jika dan hanya jika

1. f terdefinisikan pada c,

2. limxÑc fpxq ada,

3. limxÑc fpxq “ fpcq.


Fungsi f dikatakan takkontinu (discontinue) apabila fungsi tersebut tidak kontinudi sana.

Teorema 3.6. Jika f dan g kontinu pada c, maka

1. f ` g kontinu pada c,

2. αf kontinu pada c untuk setiap real α,

3. fg kontinu pada c,

4. fg kontinu pada c bila gpcq ‰ 0.

Teorema 3.7. Jika g kontinu pada c dan f kontinu pada gpcq, maka komposisi f ˝gkontinu pada c.

3.5 Limit TrigonometriBerikut ini adalah limit-limit trigonometri yang akan sering kita gunakan:

1. limxÑ0 sinx “ 0,

2. limxÑ0 cosx “ 1,

3. limxÑc sinx “ sin c,

4. limxÑc cosx “ cos c,

5. limxÑ0 sinxx “ 1,

6. limxÑ0p1´ cosxqx “ 0.

Contoh 3.10. Hitung

limxÑ0

sin 4x

x. (3.17)

Kita tahu bahwalimxÑ0

sinx

x“ 1.

Dengan analogi kita peroleh

limxÑ0

sin 4x

4x“ 1.

Sehingga

limxÑ0

sin 4x

x“ lim

xÑ04

ˆ

sin 4x

4x

˙

“ 4 limxÑ0

sin 4x

4x“ 4.

Contoh 3.11. HitunglimxÑ0

x cot 3x. (3.18)

Untuk menghitung limit ini perhatikan bahwa

x cot 3x “ xcosx

sinx.


Kita juga tahu bahwalimxÑ0

x

sinx“ 1.

Sehingga

limxÑ0

x cot 3x “ limxÑ0

1

3

ˆ

3x

sin 3x

˙

cos 3x “1

3limxÑ0

ˆ

3x

sin 3x

˙ˆ

limxÑ0

cos 3x

˙

“1

3p1qp1q “

1

3.


3.7 Latihan Soal1. Hitunglah limit-limit berikut:

a) limxÑ3px´ 5q

b) limxÑ´2

px2 ` 2x´ 1q

c) limxÑ2

x2 ´ 4

x´ 2

d) limxÑ´t

x2 ´ t2

x` t

e) limxÑ´t

a

pt´ 7q3

t´ 7

2. Gunakan kalkulator atau komputer untuk mencari limit-limit berikut. Gam-barlah grafik untuk memplot fungsi dekat titik limit.

a) limxÑ0

sinx

2x

b) limxÑ0

px´ sinxq2

x2

c) limtÑ0

1´ cost

2t

d) limtÑ0

1´ cott

1t

e) limuÑπ2

2´ 2 sinu

3u

3. Sketsalah grafik dari

fpxq “

$

’

&

’

%

´x, jikax ă 0;

x, jika 0 ď x ă 1;

1` x, jikax ě 1.

(3.19)

Kemudian hitung nilai-nilai berikut atau nyatakan jika tidak ada


a) limxÑ0

fpxq

b) limxÑ1

fpxq

c) limxÑ1´

fpxq

d) limxÑ1`

fpxq

e) fp0q

f) fp1q

4. Sketsalah grafik dari

gpxq “

$

’

&

’

%

´x` 1, jikax ă 1;

x´ 1, jika 1 ă x ă 2;

5´ x2, jikax ě 2.

(3.20)

Kemudian hitung nilai-nilai berikut atau nyatakan jika tidak ada

a) limxÑ2

gpxq

b) limxÑ1

gpxq

c) limxÑ1´

gpxq

d) limxÑ1`

gpxq

e) limxÑ2´

gpxq

f) limxÑ2`

gpxq

g) gp1q

h) gp2q

5. Hitunglah limit trigonometri berikut:

a) limxÑ0

cosx

x` 1

b) limxÑ0

cos2 x

1` sinx

c) limxÑ0

sin 3x

tanx

d) limθÑ0

sin 3θ

2θ

e) limθÑ0

tan2 3θ

2θ

6. Hitunglah limit-limit berikut:

a) limxÑ8

x

x´ 5q


b) limxÑ´8

x2

7´ x2

c) limxÑ8

x2

x` 1

d) limxÑ8

x

x2 ` 1

e) limxÑ´8

x

x´ 5

7. Apakah fungsi yang ditunjukkan berikut kontinu atau tidak pada 3?

a) fpxq “ px´ 3qpx´ 4q

b) gpxq “3

x´ 3

c) hpxq “|t´ 3|t´ 3

d) fpxq “21´ 7x

x´ 3

e) gpxq “

$

&

%

x3 ´ 27

x´ 3, jikax ‰ 3;

27, jikax “ 3.

f) hpxq “

#

x´ 3, jikax ď 3;

3´ x, jikax ą 3.

8. Carilah nilai-nilai a dan b sehingga fungsi berikut kontinu di mana-mana.

fpxq “

$

’

&

’

%

x` 1, jikax ă 1;

ax` b, jika 1 ď x ă 2;

3x, jikax ě 2.

BAB 4TURUNAN

Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit dan kekontinuan. Konsep-konseplimit dan kekontinuan ini akan kita gunakan dalam mempelajari turunan. Bab iniakan membicarakan tentang definisi turunan, beberapa rumus turunan, turunantingkat tinggi, turunan sebagai laju perubahan (rate of change), aturan rantai, tu-runan fungsi trigonometri, turunan implisit dan pangkat rasional dan pendekatanNewton-Raphson.

4.1 Definisi TurunanDefinisi 4.1. Suatu fungsi f dikatakan terdeferensialkan (differentiable) pada x jikadan hanya jika

limhÑ0

fpx` hq ´ fpxq

h(4.1)

ada. Jika limit ini ada, dikatakan turunan f pada x dan dituliskan f 1pxq. Selanjutnyafungsi f adalah fungsi yang terdeferensialkan (differentiable function) jika fungsitersebut terdeferensialkan pada setiap x di dalam domainnya.

Secara geometri

f 1pxq “ limhÑ0

fpx` hq ´ fpxq

h, (4.2)

merupakan lereng (slope) dari grafik pada titik px, fpxqq. Garis yang melalui titikpx, fpxqq dengan lereng f 1pxq disebut garis singgung (tangent line) grafik f padapx, fpxqq.

Contoh 4.1. Misalkan fpxq “ x2. Kita akan menghitung f 1pxq. Kita tahu bahwadomain f adalah semua bilangan real. Untuk menghitung f 1pxq terlebih dahulu kitabentuk hasil-bagi beda (difference quotient)

fpx` hq ´ fpxq

h“px` hq2 ´ x2

h, h ‰ 0

“x2 ` 2xh` h2 ´ x2

h

“2xh` h2

h“ 2x` h.

31

BAB 4. TURUNAN 32

Dengan demikian

f 1pxq “ limhÑ0

fpx` hq ´ fpxq

h“ lim

hÑ02x` h “ 2x. (4.3)

Perlu diingat bahwa dalam menerapkan definisi turunan

f 1pxq “ limhÑ0

fpx` hq ´ fpxq

h, (4.4)

x dan x`h haruslah berada di dalam domain f , dan mengingat limit yang dihitungadalah limit dua sisi, f harus didefinisikan pada beberapa selang terbuka yang berisix. Dalam menghitung turunan x adalah tetap dan h adalah ”variabel”.

Contoh 4.2. Kita akan menghitung turunan dari fungsi fpxq “?x, x ě 0. Untuk

menghitung f 1pxq terlebih dahulu kita bentuk hasil-bagi beda (difference quotient)

fpx` hq ´ fpxq

h“

a

px` hq ´?x

h, h ‰ 0

“

ˆ

a

px` hq ´?x

h

˙ˆ

a

px` hq `?x

a

px` hq `?x

˙

“1

?x` h`

?x.

Dengan demikian

f 1pxq “ limhÑ0

fpx` hq ´ fpxq

h“ lim

hÑ0

1?x` h`

?x“

1

2?x, x ą 0. (4.5)

Contoh 4.3. Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai berikut

fpxq “

#

x2, x ď 1,

2x´ 1, x ą 1.(4.6)

Kita akan menghitung f 1p´4q dan f 1p1q. Pertama kita akan menghitung f 1p´4q.Menurut definisi

f 1p´4q “ limhÑ0

fp´4` hq ´ fp´4q

h.

Kita lihat untuk semua x yang cukup dengan dengan ´4, fpxq “ x2 dan kita telahmenghitung f 1pxq “ 2x. Sehingga f 1p´4q “ 2p´4q “ ´8. Sekarang kita akanmenghitung f 1p1q. Menurut definisi

f 1p1q “ limhÑ0

fp1` hq ´ fp1q

h.

Kita lihat bahwa f tidak terdefinisikan dengan formula yang sama pada kedua sisidari 1. Kita akan mengevaluasi limit kedua sisi dan kita tahu bahwa fp1q “ 12 “ 1.Limit kiri dapat kita hitung sebagai berikut:

limhÑ0´

fp1` hq ´ fp1q

h“ lim

hÑ0´

p1` hq2 ´ 1

h

“ limhÑ0´

1` 2h` h2 ´ 1

h

“ limhÑ0´

2` h “ 2.

BAB 4. TURUNAN 33

Untuk limit kanan kita peroleh

limhÑ0`

fp1` hq ´ fp1q

h“ lim

hÑ0`

r2p1` hq ´ 1s ´ 1

h

“ limhÑ0`

2 “ 2.

Dengan demikian kita peroleh

f 1p1q “ limhÑ0

fp1` hq ´ fp1q

h“ 2.

4.1.1 Garis singgung dan garis normal

Pada subbab ini kita akan membahasa garis singgung dan garis normal. Misalkansuatu fungsi f dan px0, y0q adalah titik pada grafik. Jika terdeferensialkan padax0, maka garis singgung pada titik ini memiliki lereng f 1px0q. Untuk mendapatkanpersamaan garis singgung, kita gunakan persamaan titik-lereng (point-slope)

y ´ y0 “ mpx´ x0q. (4.7)

Dalam hal ini m “ f 1px0q dan persamaan (4.7) menjadi

y ´ y0 “ f 1px0qpx´ x0q. (4.8)

Garis yang melalui px0, y0q dan tegak lurus dengan garis singgung disebut garisnormal. Lereng garis normal didefinisikan sebagai ´1f 1px0q, dengan syarat f 1px0q ‰0. Dengan demikian untuk garis normal kita peroleh

y ´ y0 “ ´1

f 1px0qpx´ x0q. (4.9)

Contoh 4.4. Carilah garis singgung dan garis normal grafik fpxq “ x2 pada titikp´2, 4q. Kita tahu bahwa f 1pxq “ 2x. Pada titik p´2, 4q lerengnya adalah f 1p´2q “´4, sehingga persamaan garis singgungnya adalah

y ´ 4 “ ´4px` 2q. (4.10)

Persamaan garis normalnya adalah

y ´ 4 “1

4px` 2q. (4.11)

4.1.2 Keterdiferensialan dan kekontinuan

Keterdiferensialan (differentiability), seperti halnya kekontinuan, merupakan ”kon-sep titik” artinya fungsi f terdeferensialkan pada titik x jika dan hanya jika

limhÑ0

fpx` hq ´ fpxq

h(4.12)

ada. Seperti halnya konsep kekontinuan, f terdeferensialkan pada selang terbukapa, bq jika fungsi tersebut terdeferensialkan pada setiap x P pa, bq. Sebagai contohfpxq “ x2 terdeferensialkan pada p´8,8q, sedangkan fpxq “

?x terdeferensialkan

pada p0,8q.Suatu fungsi dapat kontinu pada beberapa bilangan x tanpa terdeferensialkan

pada bilangan tersebut.

BAB 4. TURUNAN 34

Contoh 4.5. Fungsi nilai mutlak fpxq “ |x| kontinu pada 0 (kontinu di mana-mana), tetapi tidak terdiferensialkan pada 0:

fp0` hq ´ fp0q

h“|0` h| ´ |0|

h“|h|

h“

#

´1, h ă 0;

1, h ą 0.(4.13)

Limit kirilimhÑ0´

fp0` hq ´ fp0q

h“ ´1 (4.14)

dan limit kananlimhÑ0`

fp0` hq ´ fp0q

h“ 1. (4.15)

JadilimhÑ0

fp0` hq ´ fp0q

h

tidak ada.

Meskipun tidak semua fungsi kontinu terdeferensialkan, setiap fungsi yang ter-deferensialkan adalah kontinu seperti dinyatakan oleh teorema berikut.

Teorema 4.1. Jika f terdeferensialkan pada x, maka f kontinu pada x.

4.2 Beberapa Rumus TurunanPada subbab ini kita akan membicarakan beberapa rumus turunan serta beberapateorema turunan.

Teorema 4.2. Jika fpxq “ c dan c adalah sembarang konstanta, maka f 1pxq “ 0untuk semua bilangan real x.

Teorema 4.3. Jika fpxq “ x, maka f 1pxq “ 1 untuk semua bilangan real x.

Teorema 4.4. Misalkan α adalah sebuah bilangan real. Jika f dan g terdeferen-sialkan pada x, maka f ` g dan αf terdeferensialkan pada x. Lebih lanjut,

pf ` gq1pxq “ f 1pxq ` g1pxq, (4.16)pαfq1pxq “ αf 1pxq. (4.17)

Sebagai implikasi dari Teorema 4.4, kita dapat menghitung pf ´ gq1pxq. Karenaf ´ g “ f ` p´1qg dan f serta g terdeferensialkan pada x, f ´ g terdeferensialkanpada x, sehingga

pf ´ gq1pxq “ f 1pxq ´ g1pxq. (4.18)

Teorema 4.5. Jika f dan g terdeferensialkan pada x,

pfgq1pxq “ fpxqg1pxq ` gpxqf 1pxq. (4.19)

BAB 4. TURUNAN 35

Implikasi dari Teorema 4.5 adalah kita dapat menghitung turunan dari fungsippxq “ xn untuk setiap bilangan bulat n, yaitu

p1pxq “ nxn´1. (4.20)

Teorema 4.6. Jika g terdeferensialkan pada x dan gpxq ‰ 0, maka 1g terdeferen-sialkan pada x dan

ˆ

1

g

˙1

pxq “ ´g1pxq

rgpxqs2. (4.21)

Teorema 4.7. Jika f dan g terdeferensialkan pada x dan gpxq ‰ 0, maka hasil-bagifg terdeferensialkan pada x dan

ˆ

f

g

˙1

pxq “gpxqf 1pxq ´ fpxqg1pxq

rgpxqs2. (4.22)

Contoh 4.6. Diketahui fungsi

fpxq “6x2 ´ 1

x4 ` 5x` 1.

Kita akan menghitung f 1pxq. Teorema hasil-bagi memberikan

f 1pxq “px4 ` 5x` 1qp12xq ´ p6x2 ´ 1qp4x3 ` 5q

px4 ` 5x` 1q2

“´12x5 ` 4x3 ` 30x2 ` 12x` 5

px4 ` 5x` 1q2.

4.3 Turunan Tingkat Tinggi

4.3.1 Notasi Leibniz

Pada bagian sebelumnya kita telah membicarakan tentang turunan dan penger-tiannya. Dalam penghitungan turunan kita menggunakan notasi f 1. Selanjutnyaturunan kedua dan ketiga dinyatakan sebagai f2 dan f3. Untuk turunan tingkatyang lebih tinggi dari tiga digunakan notasi f pnq. Notasi lain yang digunakan untukmenyatakan turunan adalah notasi Leibniz seperti

dydx,

dydt, atau

dydz,

tergantung apakah huruf x, y, atau z digunakna sebagai elemen dari domain y.Sebagai contoh jika y didefinisikan oleh ypxq “ x3 dengan notasi Leibniz diperoleh

dypxqdx

“ 3x2.

BAB 4. TURUNAN 36

Dengan notasi Leibniz kita dapat mneyatakan rumus-rumus turunan pada Bagian 4.2sebagai berikut:

ddxrfpxq ` gpxqs “

ddxrfpxqs `

ddxrgpxqs, (4.23)

ddxrαfpxqs “ α

ddxrfpxqs, (4.24)

ddxrfpxqgpxqs “ fpxq

ddxrgpxqs ` gpxq

ddxrfpxqs, (4.25)

ddx

„

1

gpxq

“ ´1

rgpxqs2ddxrgpxqs, (4.26)

ddx

„

fpxq

gpxq

“

gpxqddxrfpxqs ´ fpxq

ddxrgpxqs

rgpxqs2. (4.27)

Seringkali fungsi f dan g diganti oleh u dan v dan variabel x dibiarkan. Sebagaicontoh untuk persamaan (4.23), bisa ditulis sebagai

ddxpu` vq “

dudx`

dvdx. (4.28)

Contoh 4.7. Diketahuiy “

3x´ 1

5x` 2. (4.29)

Kita akan menghitungdydx.

Dengan aturan hasil-bagi kita peroleh

dydx“

p5x` 2qddxp3x´ 1q ´ p3x´ 1q

ddxp5x` 2q

p5x` 2q2

“p5x` 2qp3q ´ p3x´ 1qp5q

p5x` 2q2

“11

p5x` 2q2.

Notasi Leibniz dapat digunakan untuk menyatakan turunan tingkat tinggi. Se-bagai contoh turunan tingkat dua dan tiga dapat dinyatakan sebagai

d2y

dx2dan

d3y

dx3.

Untuk turunan tingkat yang lebih tinggi notasi Leibniznya adalah sebagai berikut:

dnydxn

“ddx

ˆ

dn´1ydxn´1

˙

. (4.30)

BAB 4. TURUNAN 37

4.4 Aturan RantaiMisalkan y adalah fungsi terdeferensialkan dari u, yakni y “ fpuq, dan u adalahfungsi terdeferensialkan dari x, yakni u “ gpxq. Kita peroleh y sebagai komposisifungsi dari x:

y “ fpuq “ fpgpxqq “ pf ˝ gqpxq. (4.31)

Kita dapat menghitungdydx“

dydu

dudx. (4.32)

Persamaan (4.32) disebut aturan rantai.

Contoh 4.8. Diketahuiy “

u´ 1

u` 1

danu “ x2.

Kita akan menghitung dydx. Terlebih dahulu kita hitung

dydu“pu` 1qp1q ´ pu´ 1qp1q

pu` 1q2“

2

pu` 1q2

dandudx“ 2x.

Sehingga kita peroleh

dydx“

dydu

dudx“

2

pu` 1q22x “

4x

pu` 1q2.

Jika f adalah fungsi terdeferensialkan dari u dan u adalah fungsi terdeferen-sialkan dari x, maka menurut aturan rantai (4.32) kita peroleh

ddxrfpuqs “

ddurfpuqs

dudx. (4.33)

Implikasi praktis dari rumus (4.33) adalah

ddxpunq “ nun´1

ddx. (4.34)

Contoh 4.9. Hitungddxrpx2 ´ 1q10s.

Dengan aturan rantai kita peroleh

ddxrpx2 ´ 1q10s “ 10px2 ´ 1q9

ddxpx2 ´ 1q

“ 10px2 ´ 1q92x

“ 200xpx2 ´ 1q9.

BAB 4. TURUNAN 38

Aturan rantai dapat diperluas untuk banyak variabel. Misalkan x tergantung s.Kemudian s tergantung t. Kita peroleh

dydt“

dydu

dudx

dxdx

dsdt. (4.35)

Aturan rantai secara formal diberikan oleh teorema berikut:

Teorema 4.8. Jika g terdeferensialkan pada x dan f terdeferensialkan pada gpxq,maka komposisi fungsi f ˝ g terdeferensialkan pada x dan

pf ˝ gq1pxq “ f 1pgpxqqg1pxq. (4.36)

4.5 Turunan Fungsi TrigonometriBerikut ini adalah beberapa rumus turunan fungsi trigonometri (Ingat, satuan yangkita gunakan adalah radian):

ddxpsinxq “ cosx,

ddxpcosxq “ ´ sinx,

ddxptanxq “ sec2 x,

ddxpcotxq “ ´ csc2 x,

ddxpsecxq “ ´ secx tanx,

ddxpcscxq “ ´ cscx cotx.

Anda juga dapat menerapkan aturan rantai pada turunan trigonometri. Misalnya

ddxpsinuq “ cosu

dudx,

ddxpcosuq “ ´ sinu

dudx,

ddxptanuq “ sec2 u

dudx,

ddxpcotuq “ ´ csc2 u

dudx.

Contoh 4.10. Turunan

ddxpcos 2xq “ ´ sin 2x

ddxp2xq “ ´2 sin 2x. (4.37)

BAB 4. TURUNAN 39


4.7 Latihan Soal1. Gunakan definisi turunan untuk menghitung turunan pada x untuk soal soal

berikut.

a) fpxq “ 2x` 1

b) gpxq “2

x

c) hpxq “?x

d) fpxq “x´ 1

x` 1

e) gpxq “1?

3x

2. Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut:

a) y “ 2 sinx` 3 cosx

b) y “ sinx tanx

c) y “ tan2 x

d) y “ sec2 x

3. Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut:

a) y “ p1` xq15

b) y “ cosp3x2 ´ 2xq

c) y “ sin4p3x2q

d) y “ px` 1q2p3x´ 4q

BAB 5INTEGRAL

Pada bab sebelumnya kita telah membicarakan tentang turunan (derivative) besertapenggunaan aturan rantai untuk turunan tingkat tinggi. Pada bab ini kita akanmembicarakan tentang integral (sering juga disebut antiderivatif): integral tidaktentu dan integral tertentu. Sebelum membicarakan integral kita akan mempelajarikonsep integral yang dipicu oleh masalah luas dan masalah kecepatan serta jarak.

5.1 Masalah Luas AreaMisalkan kita ingin menghitung luas daerah Ω yang dibatasi oleh fungsi taknegatifkontinu f (atas), dibatasi oleh sumbu x (bawah), dibatasi oleh garis x “ a (kiri),dan dibatasi oleh garis x “ b (kanan). Bagaimana cara kita menghitung luas Ωseperti pada Gambar 5.1?

Gambar 5.1: Grafik fungsi fpxq dan Ω.

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita dapat membagi selang ra, bs menjadisejumlah subselang

rx0, x1s, rx1, x2s, . . . , rxn´1, xns, (5.1)

dengan a “ x0 ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xn “ b. Ini akan memecah Ω menjadi n subarea (lihatGambar 5.2):

Ω1,Ω2, . . . ,Ωn. (5.2)

Dengan demikian kita dapat mengestimasi luas total Ω dengan mengestimasi jumlahmasing-masing subarea Ωi dan menjumlahkannya. Misalkan Mi adalah nilai mak-simum f pada rxi´1, xis dan mi adalah nilai minimum f pada rxi´1, xis. Sekarang

40

BAB 5. INTEGRAL 41

Gambar 5.2: Ω terbagi menjadi subarea Ω1,Ω2, . . . ,Ωn.

perhatikan luas persegi panjang ri dan Ri. Kita dapat amati bahwa ri Ď Ωi Ď Ri

sehingga kita perolehluas ri ď luas Ωi ď luas Ri. (5.3)

Mengingat luas persegi panjang adalah panjang kali lebar, kita peroleh

Gambar 5.3: Luas ri, Ωi, dan Ri.

mipxi ´ xi´1q ď luas Ωi ďMipxi ´ xi´1q. (5.4)

Selanjutnya buat xi ´ xi´1 “ ∆xi, kita dapatkan

mi∆xi ď luas Ωi ďMi∆xi. (5.5)

Ketaksamaan ini berlaku untuk i “ 1, i “ 2, . . . , i “ n. Menjumlahkan semuaketaksamaan ini kita peroleh pada satu sisi

m1∆x1 `m2∆x2 ` ¨ ¨ ¨ `mn∆xn ď luas Ω (5.6)

pada sisi lain kita juga peroleh

luas Ω ďM1∆x1 `M2∆x2 ` ¨ ¨ ¨ `Mn∆xn. (5.7)

Jumlah dengan bentuk m1∆x1`m2∆x2`¨ ¨ ¨`mn∆xn disebut jumlah bawah f(lower sum for f). Sedangkan jumlah dengan bentukM1∆x1`M2∆x2`¨ ¨ ¨`Mn∆xndisebut jumlah atas f (upper sum for f). Berdasarkan persamaan (5.6) dan (5.7)kita dapat simpulkan bahwa luas Ω haruslah lebih besar atau sama dengan luasjumlah bawah dan lebih kecil atau sama dengan jumlah luas atas. Jika fungsif kontinu pada selang ra, bs maka terdapat satu dan hanya satu bilangan yangmemenuhi luas area tersebut.

BAB 5. INTEGRAL 42

Gambar 5.4: Jumlah bawah dan jumlah atas untuk f .

5.2 Integral Tertentu

5.2.1 Integral tertentu fungsi kontinu

Pada subbab sebelumnya kita telah mempelajari integral secara intuitif melaluipembagian atau partisi selang dan menghitung luas. Partisi selang tertutup ra, bsadalah sejumlah berhingga subhimpunan ra, bs yang berisi titik-titik a dan b. Kitadapat mengindeks elemen-elemen partisi menurut urutan alaminya. Jadi jika kitatulis

P “ tx0, x1, . . . , xnu (5.8)

adalah partisi dari selang ra, bs kita dapat simpulkan

a “ x0 ă x1 ă ¨ ¨ ¨ ă xn “ b. (5.9)

Jika P “ tx0, x1, . . . , xnu adalah partisi pada ra, bs, maka P memecah ra, bs menjadisejumlah berhingga subselang

rx0, x1s, rx1, x2s, . . . , rxn´1, xns, (5.10)

dengan panjang ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn. Misalkan f kontinu pada ra, bs dan padamasing-masing interval rxi´1, xis fungsi f bernilai maksimum Mi dan minimum mi.Didefinisikan

Lf pP q “ m1∆x1 `m2∆x2 ` ¨ ¨ ¨ `mn∆xn (5.11)

sebagai jumlah bawah P untuk f dan

Uf pP q “M1∆x1 `M2∆x2 ` ¨ ¨ ¨ `Mn∆xn (5.12)

sebagai jumlah atas P untuk f .

Contoh 5.1. Fungsi kuadratik fpxq “ x2 kontinu pada r0, 1s. Partisi P “ t0, 14, 12, 1u

memecah selang r0, 1s menjadi tiga subselang:

rx0, x1s “ r0,14s, rx1, x2s “ r

14, 12s, rx2, x3s “ r

12, 1s (5.13)

dengan panjang ∆x1 “14, ∆x2 “

14dan ∆x3 “

12. Fungsi f adalah fungsi naik pada

r0, 1s, sehingga nilai maksimumnya adalah ujung kanan pada setiap subselang:

M1 “ fp14q “ 1

16, M2 “ fp1

2q “ 1

4, M3 “ fp1q “ 1.

BAB 5. INTEGRAL 43

Demikian pula untuk nilai minimum, kita peroleh ujung kiri setiap subselang

m1 “ fp0q “ 0, m2 “ fp14q “ 1

16, m3 “ fp1

2q “ 1

4.

Sehingga kita peroleh

Uf pP q “M1∆x1 `M2∆x2 `M3∆x3 “116ˆ 1

4` 1

4ˆ 1

4` 1ˆ 1

2“ 37

64;

dan

Lf pP q “ m1∆x1 `m2∆x2 `m3∆x3 “ 0ˆ 14` 1

16ˆ 1

4` 1

4ˆ 1

2“ 9

64.

Jika fungsi f kontinu pada ra, bs terdapat satu dan hanya satu bilangan I yangmemenuhi ketaksamaan

Lf pP q ď I ď Uf pP q (5.14)

untuk semua partisi P pada ra, bs. Bilangan I inilah yang kita inginkan.

Definisi 5.1 (Integral Tertentu). Misalkan f kontinu pada ra, bs. Bilangan tunggalI yang memenuhi ketaksamaan

Lf pP q ď I ď Uf pP q (5.15)

untuk semua partisi P pada ra, bs disebut integral tertentu (definite integral) f daria ke b dan dinotasikan

ż b

a

fpxqdx. (5.16)

Bilangan a adalah batas bawah integral dan b adalah batas atas integral. Fungsif yang diintegralkan disebut integran.

Contoh 5.2. Jika fpxq “ 3 untuk semua x pada ra, bs makaż b

a

fpxqdx “ 3pb´ aq. (5.17)

Ambil P “ tx0, x1, . . . , xnu partisi sembarang pada ra, bs. Mengingat f konstanpada ra, bs sehingga konstan juga pada subselang rxi´1, xis. Sehingga Mi “ mi “ 3.Selanjutnya

Uf pP q “ 3∆x1 ` 3∆x2 ` ¨ ¨ ¨ ` 3∆xn

“ 3p∆x1 `∆x2 ` ¨ ¨ ¨ `∆xnq

“ 3rpx1 ´ x0q ` px2 ´ x1q ` ¨ ¨ ¨ ` pxn´1 ´ xn´2q ` pxn ´ xn´1qs

“ 3rpxn ´ x0qs

“ 3pb´ aq

dan

Lf pP q “ 3∆x1 ` 3∆x2 ` ¨ ¨ ¨ ` 3∆xn

“ 3p∆x1 `∆x2 ` ¨ ¨ ¨ `∆xnq

“ 3rpx1 ´ x0q ` px2 ´ x1q ` ¨ ¨ ¨ ` pxn´1 ´ xn´2q ` pxn ´ xn´1qs

“ 3rpxn ´ x0qs

“ 3pb´ aq.

BAB 5. INTEGRAL 44

Dengan demikianLf pP q ď 3pb´ aq ď Uf pP q. (5.18)

Mengingat ketaksamaan ini berlaku untuk semua partisi P pada ra, bs kita simpulkanż b

a

fpxqdx “ 3pb´ aq. (5.19)

Dengan cara analog kita dapat menghitungż b

a

kdx “ kpb´ aq. (5.20)

Contoh 5.3. Misalkan fpxq “ x untuk semua x P ra, bs. Integralż b

a

xdx “1

2pb2 ´ a2q. (5.21)

Misalkan P “ tx0, x1, . . . , xnu adalah partisi sembarang pada ra, bs. Pada masing-masing subselang rxi´1, xis fungsi fpxq “ x memiliki nilai maksimum Mi dan mini-mum mi. Karena f adalah fungsi naik, nilai maksimum Mi “ xi terjadi pada titikujung kanan dari subselang dan minimum mi “ xi´1 terjadi pada titik ujung kiri.Kita peroleh

Uf pP q “ x1∆x1 ` x2∆x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xn∆xn (5.22)

danLf pP q “ x0∆x1 ` x1∆x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xn´1∆xn. (5.23)

Untuk setiap indeks i

xi´1 ď1

2pxi ` xi´1q ď xi. (5.24)

Kalikan dengan ∆xi “ xi ´ xi´1 diperoleh

xi´1∆xi ď1

2px2i ´ x

2i´1q ď xi∆xi. (5.25)

Menjumlahkan dari i “ 1 sampai i “ n diperoleh

Lf pP q ď1

2px21 ´ x

20q `

1

2px22 ´ x

21q ` ¨ ¨ ¨ `

1

2px2n ´ x

2n´1q ď Uf pP q. (5.26)

Sehingga

Lf pP q ď1

2px2n ´ x

20q ď Uf pP q. (5.27)

atauLf pP q ď

1

2pb2 ´ a2q ď Uf pP q. (5.28)

Karena P dipilih secara sembarang kita dapat simpulkan bahwa ketaksamaan berlakuuntuk semua partisi P pada ra, bs. Dengan demikian

ż b

a

xdx “1

2pb2 ´ a2q. (5.29)

BAB 5. INTEGRAL 45

Kita telah melihat bagaimana menghitung integral dengan mempartisi selangmenjadi sejumlah berhingga subselang. Metode di atas tidaklah efektif dan kadangsulit dilakukan. Sebagai contoh integral

ż 5

2

x3 ` x52 ´2x

1´ x2dx (5.30)

memerlukan proses yang cukup panjang dan tidak efektif. Untuk itu kita akan meng-gunakan metode lain untuk menghitung integral sejenis seperti ini dengan menggu-nakan teorema fundamental kalkulus integral.

5.2.2 Teorema fundamental kalkulus integral

Sebelum kita membicarakan teorema fundamental kalkulus integral terlebih dahuludidefinisikan antiderivatif.

Definisi 5.2 (Antiderivatif). Misalkan f kontinu pada ra, bs. Suatu fungsi G disebutantiderivatif f pada ra, bs jika dan hanya jika G kontinu pada ra, bs dan G1pxq “ fpxquntuk semua x P pa, bq.

Teorema 5.1 (Teorema Fundamental Kalkulus Integral). Misalkan f kontinu padara, bs. Jika G adalah antiderivatif f pada ra, bs, maka

ż b

a

fptqdt “ Gpbq ´Gpaq. (5.31)

Contoh 5.4. Kita akan menghitungş4

1x2dx. Kita tahu antiderivatif untuk fpxq “

x2 adalah Gpxq “ 13x3. Sehingga dengan teorema fundamental kalkulus integral kita

perolehż 4

1

x2dx “ Gp4q ´Gp1q “ 13p4q3 ´ 1

3p1q3 “ 21. (5.32)

Ekspresi Gpbq ´Gpaq biasanya ditulis„

Gpxq

b

a

. (5.33)

Untuk sehingga kita juga bisa menuliskan (5.32) sebagai:ż 4

1

x2dx “„

1

3x34

1

“ 13p4q3 ´ 1

3p1q3 “ 21. (5.34)

Contoh 5.5. Kita akan menghitungż π2

0

sinxdx. (5.35)

Kita akan menggunakan antiderivatif Gpxq “ ´ cosx:ż π2

0

sinxdx “„

´ cosx

π2

0

“ ´ cospπ2q ´ r´ cosp0qs “ 1. (5.36)

BAB 5. INTEGRAL 46

5.2.3 Beberapa sifat kelinearan integral

Berikut ini adalah beberapa sifat kelinearan integral.

1. Konstanta dapat difaktorkan melalui tanda integral:ż b

a

αfpxqdx “ α

ż b

a

fpxqdx. (5.37)

2. Integral dari jumlah adalah jumlah dari integral:ż b

a

rfpxq ` gpxqsdx “ż b

a

fpxqdx`ż b

a

gpxqdx. (5.38)

3. Integral dari kombinasi linear adalah linear kombinasi dari integral:ż b

a

rαfpxq ` βgpxqsdx “ α

ż b

a

fpxqdx` βż b

a

gpxqdx. (5.39)

5.3 Integral taktentuJika kita tidak tertarik dengan nilai selang ra, bs, namun justru ingin menekankanbahwa F adalah antiderivatif untuk f pada beberapa selang, kita dapat menghi-langkan a dan b dan hanya menuliskan

ż

fpxqdx “ F pxq ` C. (5.40)

Antiderivatif yang dinyatakan dalam bentuk ini disebut integral taktentu (indefi-nite integrals). Konstanta C disebut konstanta pengintegralan dan nilainya adalahkonstanta sembarang, karena dapat diberikan nilai berapa saja.

Berikut ini beberapa contoh integral taktentu:

1.ż

xrdx “xr`1

r ` 1` C, r rasional dan r ‰ ´1,

2.ż

sinxdx “ ´ cosx` C,

3.ż

cosxdx “ sinx` C.

Contoh 5.6. Nilai integralż

3x2 ´ 2x´ 6dx “ x3 ´ x2 ´ 6x` C. (5.41)

Catatan: sifat-sifat kelinearan integral tertentu juga berlaku untuk integral tak-tentu.

BAB 5. INTEGRAL 47

1. Konstanta dapat difaktorkan melalui tanda integral:ż

αfpxqdx “ α

ż

fpxqdx. (5.42)

2. Integral dari jumlah adalah jumlah dari integral:ż

rfpxq ` gpxqsdx “ż

fpxqdx`ż

gpxqdx. (5.43)

3. Integral dari kombinasi linear adalah linear kombinasi dari integral:ż

rαfpxq ` βgpxqsdx “ α

ż

fpxqdx` βż

gpxqdx. (5.44)

Contoh 5.7. Carilah f yang memenuhi f 1pxq “ x3 ` 2 dan fp0q “ 1. Terlebihdahulu kita hitung:

fpxq “

ż

x3 ` 2dx “1

4x4 ` 2x` C, (5.45)

untuk beberapa konstanta C. Sekarang kita akan menghitung nilai C. Karenafp0q “ 1 dan fp0q “ 1

404 ` 2p0q ` C “ C. Jadi C “ 1, sehingga

fpxq “1

4x4 ` 2x` 1. (5.46)

5.4 Substitusi-u dan Perubahan VariabelKetika kita menurunkan fungsi komposit, kita dapat menggunakan aturan rantai.Dalam menghitung integral taktentu kita juga dapat menghitung dengan analogiserupa dengan metode substitusi-u.

Suatu integral dengan bentukż

fpgpxqqg1pxqdx (5.47)

dapat ditulis sebagaiż

fpuqdu (5.48)

dengan u “ gpxq dan du “ g1pxqdx. Jika F adalah antiderivatif untuk f , maka

rF pgpxqqs1 “ F 1pgpxqqg1pxq “ fpgpxqqg1pxq (5.49)

sehinggaż

fpgpxqqg1pxqdx “ż

rF pgpxqqs1dx “ F pgpxqq ` C. (5.50)

Dengan demikian kita bisa mendapatkan hasil yang sama dengan menghitungż

fpuqdu (5.51)

dan mensubstitusikan gpxq kembali untuk u:ż

fpuqdu “ F puq ` C “ F pGpxqq ` C. (5.52)

BAB 5. INTEGRAL 48

Contoh 5.8. Hitungż

px2 ´ 1q42xdx. (5.53)

Misalkan u “ x2 ´ 1. Kita peroleh du “ 2xdx. Dengan demikianż

px2 ´ 1q42xdx “ż

u4du “1

5u5 ` C “

1

5px2 ´ 1q5 ` C. (5.54)

Contoh 5.9. Hitungż

sinx cosxdx. (5.55)

Misalkan u “ sinx, du “ cosxdx. Sehinggaż

sinx cosxdx “ż

udu “1

2u2 ` C “

1

2sin2 x` C. (5.56)

5.4.1 Substitusi dan integral-integral tertentu

Pada subbab sebelumnya kita telah menghitung integral taktentu dengan tekniksubstitusi-u. Misalkan kita ingin menghitung integral tertentu katakanlah

ż 2

0

px2 ´ 1qpx3 ´ 3x` 2q3dx. (5.57)

Kita bisa menghitung integral taktentu terlebih dahulu kemudian memasukkanbatas-batas pengintegralan. Namun, pada subbab ini kita akan menggunakan for-mula perubahan variabel (change of variables formula)

ż b

a

fpgpxqqg1pxqdx “ż gpbq

gpaq

fpuqdu. (5.58)

Formula (5.58) berlaku bila f dan g1 keduanya kontinu. Lebih tepatnya, g1 haruskontinu pada ra, bs dan f harus kontinu pada himpunan nilai yang diambil g.

Contoh 5.10. Hitungż 2

0

px2 ´ 1qpx3 ´ 3x` 2q3dx. (5.59)

Misalkan u “ x3 ´ 3x ` 2, du “ 3px2 ´ 1qdx. Pada x “ 0, u “ 2 dan pada x “ 2,u “ 4. Sehingga

ż 2

0

px2 ´ 1qpx3 ´ 3x` 2q3dx “1

3

ż 4

2

u3du “„

1

12u44

2

“ 20. (5.60)

5.5 Beberapa Sifat Integral TertentuBerikut ini beberapa sifat integral tertentu. Diasumsikan fungsi f dan g kontinudan a ă b.

BAB 5. INTEGRAL 49

1. Integral fungsi taknegatif adalah taknegatif. Jika fpxq ě 0 untuk semua x Pra, bs, maka

ż b

a

fpxqdx ě 0. (5.61)

2. Integral fungsi positif adalah positif. Jika fpxq ą 0 untuk semua x P ra, bs,maka

ż b

a

fpxqdx ą 0. (5.62)

3. Integral mempertahakan urutan (order-preserving). Jika fpxq ď gpxq untuksemua x P ra, bs maka

ż b

a

fpxqdx ďż b

a

gpxqdx (5.63)

dan jika fpxq ă gpxq untuk semua x P ra, bs makaż b

a

fpxqdx ăż b

a

gpxqdx. (5.64)

4. Nilai mutlak integral adalah kurang dari atau sama dengan integral nilai mut-lak:

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ż b

a

fpxqdxˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ď

ż b

a

|fpxq|dx. (5.65)

5. Jika m adalah nilai minimum f pada ra, bs dan M adalah nilai maksimummaka

mpb´ aq ď

ż b

a

fpxqdx ďMpb´ aq. (5.66)

6. Jika u adalah fungsi terdeferensialkan dari x dan f kontinu, maka

ddx

ˆż u

a

fptqdt˙

“ fpuqdudx. (5.67)

7. Sifat simetri pengintegralan. Jika f adalah fungsi ganjil pada rá, as makaż a

á

fpxqdx “ 0. (5.68)

Jika f adalah fungsi genap pada rá, as makaż a

á

fpxqdx “ 2

ż a

0

fpxqdx. (5.69)

Contoh 5.11. Hitungddx

ˆż x3

0

1

1` tdt˙

. (5.70)

Kita peroleh fptq “ 1p1` tq dan u “ x3. Gunakan persamaan (5.67) sehingga

ddx

ˆż u

a

fptqdt˙

“ fpuqdudx“

3x2

1` x3. (5.71)

BAB 5. INTEGRAL 50


5.7 Latihan Soal1. Carilah jumlah bawah dan jumlah atas P , yaitu Lf pP q dan Uf pP q untuk

fungsi-fungsi berikut.

a) fpxq “ 2x, x P r0, 1s; P “ t0, 14, 12, 1u.

b) fpxq “ x2, x P r´1, 0s; P “ t´1,´12,´1

4, 0u.

c) fpxq “ 1` x3, x P r0, 1s; P “ t0, 12, 1u.

d) fpxq “ |x|, x P r´1, 1s; P “ t´1,´12, 0, 1

4, 1u.

e) fpxq “ sinx, x P r0, πs; P “ t0; 16π, 1

2π, πu

2. Dengan menggunakan partisi sembarang P hitunglah integral-integral berikut:

a)ż 1

0

x2dx.

b)ż 1

0

x3dx.

c)ż 1

0

x4dx.

3. Hitung integral-integral tertentu berikut.

a)ż 1

0

p2x´ 3qdx.

b)ż 4

1

2?xdx.

c)ż a

0

p?a´

?xq2dx.

d)ż π2

0

cosxdx.

e)ż 2π

0

sinxdx.

4. Hitung integral-integral taktentu berikut.

a)ż

1?

1` xdx.

b)ż

pt2 ´ aqpt2 ´ bq?t

dt.

BAB 5. INTEGRAL 51

c)ż

4a

p4x` 1q2dx.

d)ż

tanx sec2 xdx.

e)ż

sinx cosxdx.

5. Carilah f dari informasi yang diberikan oleh kondisi-kondisi berikut.

a) f 1pxq “ 2x´ 1, fp3q “ 4.

b) f 1pxq “ sinx, fp0q “ 2.

c) f2pxq “ 6x´ 2, f 1p0q “ 1, fp0q “ 2.

d) f2pxq “ cosx, f 1p0q “ 1, fp0q “ 2.

e) f2pxq “ sinx, f 1p0q “ ´2, fp0q “ 1.

6. Hitung integral-integral berikut dengan metode substitusi-u.

a)ż

1

p2´ 3xq2dx.

b)ż

t2p5t3 ` 9q4dt.

c)ż

b3x3?

1´ a4x4dx.

d)ż a

0

ya

a2 ´ y2dy.

e)ż 0

´1

x3px2 ` 1q6dx.

7. Hitung turunan-turunan berikut.

a)ddx

ˆż 1`x2

0

dt?

2t` 5

˙

b)ddx

ˆż 3

x2

sin t

tdt˙

c)ddx

ˆż

?x

1

t2

1` t2dt˙

d)ddx

ˆż x2

1

1

tdt˙

BAB 6MATRIKS

Pada bab-bab sebelumnya kita telah mempelajari himpunan, fungsi, limit, turunan,dan integral. Semua yang telah kita pelajari tersebut berhubungan satu denganlainnya. Bab ini akan membicarakan konsep matriks, penjumlahan dan perkalianmatriks, balikan (invers) matriks, dan transpos (transpose)

6.1 Konsep MatriksDefinisi 6.1. Suatu matriks mˆn adalah larik persegi panjang (rectangular array)bilangan real dengan m baris dan n kolom.

Matriks biasanya ditulis dengan huruf kapital tebal seperti A, B, dan V.

Contoh 6.1. Matriks berbentuk

A “

„

1 423 8

(6.1)

adalah matriks 2ˆ 2 karena memiliki 2 baris dan 2 kolom.

Contoh 6.2. Matriks berbentuk

B “

»

—

—

–

a b cd e fg h ij k l

fi

ffi

ffi

fl

(6.2)

adalah matriks 4ˆ 3 dengan elemen-elemen yang tidak ditentukan dan dinyatakandengan huruf.

Secara umum, matriks A memiliki elemen yang dinotasikan aij, dengan i meny-atakan baris dan j menyatakan kolom. Lebih lanjut, untuk matriks A berukuranatau berdimensi mˆ n secara umum berbentuk

A “

»

—

—

—

—

—

–

a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2na31 a32 a33 . . . a3n...

...... . . . ...

am1 am2 am3 . . . amn

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

. (6.3)

52

BAB 6. MATRIKS 53

6.2 Operasi-operasi pada MatriksPada subbab berikut kita akan membicarakan operasi-operasi pada matriks: pen-jumlahan, pengurangan, perkalian, transpos, dan balikan matriks.

6.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan

Misalkan A dan B adalah dua matriks dengan ukuran yang sama, katakanlahmˆn.Penjumlahan matriks A`B adalah matriks mˆn yang elemen ke-ij adalah aij`bij.Demikian pula untuk pengurangan A´B adalah matriks yang elemen ke-ij adalahaij ´ bij.

Contoh 6.3. Misalkan matriks

A “

„

1 0 ´10 ´2 4

dan B “

„

3 2 1´2 1 ´2

.

Penjumlahan

A`B “

„

1` 3 0` 2 ´1` 10´ 2 ´2` 1 4´ 2

“

„

4 2 0´2 ´1 2

(6.4)

dan pengurangan

A´B “

„

1´ 3 0´ 2 ´1´ 10´ p´2q ´2´ 1 4´ p´2q

“

„

´2 ´2 ´22 ´3 6

(6.5)

Contoh 6.4. Misalkan matriks

A “

„

1 0 ´10 ´2 4

(6.6)

danC “

„

3 2´2 ´2

. (6.7)

Penjumlahan A`C serta pengurangan A´C tidak bisa dilakukan. Kenapa?

6.2.2 Perkalian Matriks

Misalkan A adalah matriks berukuran mˆn dan B adalah matriks berukuran nˆp.Perkalian matriks AB adalah suatu matriks berukuran mˆp dengan elemen-elemenke-ij -nya diperoleh dengan mengalikan baris ke-i pada A (dianggap sebagai vektorbaris) dan kolom ke-j pada B (dianggap sebagai vektor kolom).

Contoh 6.5. Misalkan

A “

„

1 2 34 5 6

dan B “

»

–

1 2 34 5 67 8 9

fi

fl .

BAB 6. MATRIKS 54

Matriks A berukuran 2ˆ 3 dan B berukuran 3ˆ 3. Sehingga perkalian AB dapatdilakukan dan matriks hasil kali ini berukuran 2 ˆ 3 (kenapa)? Selanjutnya kitaperoleh perkalian

AB “

„

p1qp1q ` p2qp4q ` p3qp7q p1qp2q ` p2qp5q ` p3qp8q p1qp3q ` p2qp6q ` p3qp9qp4qp1q ` p5qp4q ` p6qp7q p4qp2q ` p5qp5q ` p6qp8q p4qp3q ` p5qp6q ` p6qp9q

“

„

1` 8` 21 2` 10` 24 3` 12` 274` 20` 42 8` 25` 48 12` 30` 54

“

„

30 36 4266 81 96

Bagaimana dengan BA?

6.3 Balikan MatriksSebelum membicarakan balikan suatu matriks ada beberapa matriks khusus yangakan kita bicarakan.

Definisi 6.2. Suatu matriks berukuran n ˆ n, yakni matriks dengan banyak barisdan kolom yang sama, disebut matriks bujur sangkar (square matrix ).

Salah satu matriks bujur sangkar yang penting adalah matriks identitas yangdinotasikan I, dengan semua elemen sama dengan 0 kecuali pada diagonal utama.Berikut ini adalah matriks identitas 4ˆ 4:

I “

»

—

—

–

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

fi

ffi

ffi

fl

. (6.8)

Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. Jika terdapat suatu matriks Bsedemikian hingga AB “ I, maka B disebut balikan (invers) matriks A yang dino-tasikan oleh A´1. Jika AB “ I, maka dapat ditunjukkan bahwa BA “ I. Apabilaterdapat matriks B sedemikian hingga AB “ BA “ I maka matriks A dikatakantaksingular (nonsingular); sebaliknya jika tidak demikianA dikatakan singular. Ma-triks A dikatakan terbalikkan (invertible) jika A memiliki balikan. Sebagai contohkita dapat menghitung balikan matriks 2ˆ 2 menggunakan teorema berikut.

Teorema 6.1. Misalkan matriks

A “

„

a bc d

. (6.9)

Matriks A terbalikkan jika dan hanya jika ad´ bc ‰ 0. Jika ad´ bc ‰ 0 maka

A´1“

1

ad´ bc

„

d ´b´c a

. (6.10)

BAB 6. MATRIKS 55

Contoh 6.6. Hitunglah balikan matriks

A “

„

1 0´1 ´2

. (6.11)

Kita hitung ad´ bc “ p1qp´2q ´ 0 “ ´2 ‰ 0. Sehingga

A´1“

1

´2

„

´2 01 1

“

„

1 0´0,5 ´0,5

(6.12)

6.4 Transpos MatriksJika baris dan kolom matriks A ditukar, matriks hasil operasi ini disebut transposdari matriks A dan dinotasikan AT. Jika matriks A berukuran mˆn, maka matriksAT berukuran nˆm.

Contoh 6.7. Transpos dari matriks

A “

„

1 0´1 ´2

(6.13)

adalahAT

“

„

1 ´10 ´2

. (6.14)

6.5 PengayaanUntuk menambah pemahaman tentang materi ini disarankan untuk membaca buku-buku karangan, Arya and Lardner (1979), Salas and Etgen (1995), Stewart (1999),dan Varberg et al. (2000).

6.6 Latihan Soal1. Berapakah ukuran matriks-matriks berikut:

A “

„

1 0´1 ´2

, B “

„

2 3 13 1 2

, C “

»

–

´122

fi

fl ,

D “

»

–

1 2 00 1 2´1 3 4

fi

fl , E “

„

2 1 ´1´2 3 0

, F “

„

´3 21 1

,

G ““

4 1‰

, H ““

2 ´2 1‰

.

2. Untuk matriks-matriks pada soal 1, hitunglah:

a) 2D

b) A´ F

BAB 6. MATRIKS 56

c) C` 2H

d) GA

e) A`B

f) AF´ FA

g) ABC

3. Gunakan A dan F pada soal 1 untuk menghitung:

a) A´1

b) F´1

c) A´1F´1

d) F´1A´1

e) pAFq´1

f) pA` Fq´1

g) pA´ Fq´1

h) pFAq´1

4. Hitunglah transpos masing-masing matriks pada soal no 1 dan 2.

DAFTAR PUSTAKA

Arya, J. C. and Lardner, R. W. 1979. Mathematics for the Biological Sciences.Prentice Hall, New Jersey.

Salas, S. L. and Etgen, G. J. 1995. Salas and Hille’s Calculus: One and SeveralVariables. Seventh edition. John Wiley and Sons, New York.

Stewart, J. 1999. Calculus. Fourth edition. Brooks/Cole Publishing Company, Pa-cific Grove, California.

Varberg, D., Purcell, E. J., and Rigdon, S. E. 2000. Calculus. Eight edition. Prentice-Hall International, New Jersey.

57

diktat ilmu-ilmu dasar farmasi bidang matematika (fa125150)

Documents