Bab 4

Probabilitas

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Bab 4PROBABILITAS

A. Pengertian Dasar Probabilitas

1. Peluang

• Probabilitas atau kemungkinan bersumber kepada peluang

• Selama ada peluang maka selama itu pula sesuatu dapat terjadi

• Sekalipun ada kemungkinan sesuatu terjadi, namun di dalam peluang kita tidak dapat memastikan kapan sesuatu itu terjadi

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 1

• Pada lemparan dadu yang memiliki mata 1 sampai 6, ada peluang untuk keluar mata 5

• Pada lemparan koin yang memiliki sisi muka dan belakang, ada peluang untuk keluar muka

• Pada hasil ujian mata pelajaran statistika, ada peluang untuk memperoleh nilai 8

• Pada suatu hari di tempat kerja, ada peluang terdapat 4 orang yang bolos

• Pada tugas mengarang di kalangan siswa SMA tertentu, ada peluang tidak terdapat kata yang salah eja

• Pada satu halaman suatu buku, ada peluang terdapat 11 kata berawalan me-

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

2. Ruang Probabilitas

• Himpunan dari semua, tanpa kecuali, peluang yang dapat terjadi pada suatu hal dikenal sebagai ruang probabilitas

• Perhatikan kata tanpa kecuali

Contoh 2

Ruang probabilitas S(1, 2, 3, 4, 5, 6)

Lemparan satu dadu

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 3

Lempar dua koin dengan M = muka dan B = belakang

Ruang probabilitas S(MM, ___, ___, ___ )

Contoh 4

Nilai ujian berbentuk bilangan bulat dari 0 sampai 10

Ruang probabilitas S( )

M M

B BMB

M B

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

3. Cobaan (trial)

Cobaan adalah proses yang dilakukan untuk menemukan nilai probabilitas

Contoh 5

• Lempar satu dadu untuk menemukan nilai probabilitas bagi keluarnya mata 5

• Lempar dua koin untuk menemukan nilai probabilitas bagi keluarnya dua sisi sama

• Ujian mata kuliah statisika untuk menemukan nilai probabilitas bagi 90% jawaban betul

• Menarik bilangan secara acak untuk menemukan nilai probabilitas bagi tertariknya bilangan 13

• Menarik undian untuk menemukan nilai probabilitas bagi keluarnya hadiah pertama

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

4. Peristiwa (event)

Kejadian yang muncul atau diharapkan muncul pada cobaan dikenal sebagai peristiwa

Contoh 6

• Peristiwa keluar mata 3 pada lemparan satu dadu

• Peristiwa keluar mata genap pada lemparan satu dadu

• Peristiwa keluar sisi BB pada lemparan dua koin

• Peristiwa memperoleh nilai paling sedikit 6 pada ujian mata pelajaran statistika

• Peristiwa kena hadiah ketiga pada tarikan suatu undian

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

5. Unsur Probabilitas

Peristiwa paling sederhana (tidak dapat diuraikan lagi) pada hasil cobaan dikenal sebagai unsur probabilias

Contoh 7

Pada Lemparan satu dadu

Unsur probabilitas

mata 1, mata 2, mata 3, mata 4, mata 5, mata 6

Bukan unsur probabilitas

mata genap (2, 4, 6)mata ganjil (1, 3, 5)mata di atas 2 (3, 4, 5, 6)

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 8

Pada lemparan dua koin

Unsur porbabilitas

Sisi MM, MB, BB

Bukan unsur probabilitas

Sisi sama (MM, BB)

Contoh 9

Pada hasil ujian mata pelajaran statistika

Unsur probabilitas

Nilai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Bukan unsur probabilitas

Nilai lulus (6, 7, 8, 9, 10)Nilai gagal (0, 1, 2, 3, 4, 5)

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

6. Bobot Unsur Probabilitas

Bobot beda

• Ada kalanya unsur probabilitas tidak memiliki peluang yang sama besar

• Perbandingan peluang di antara unsur probabilitas dikenal sebagai bobot unsur probabilitas

Contoh 10

Pada lemparan satu dadu, bobot mata 3 adalah dua kali bobot mata 4

Ini berarti bahwa peluang untuk keluar mata 3 adalah dua kali dari peluang keluar mata 4

Bobot sama

• Jika tidak disebut secara khusus, maka semua unsur probabilitas dianggap berbobot sama

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

7. Probabilitas Peristiwa dan Notasi

• Peristiwa memiliki probabilitas yakni probabilitas peristiwa

• Probabilitas peristiwa diberi notasi dan terdapat banyak cara untuk memberikan notasi kepada suatu peristiwa

Beberapa contoh notasi

• Tanpa keterangan

Probabilitas peristiwa X

P(X) umumP(X = 3) ketika X = 3P(X 3) ketika X 3P(2 X 5) ketika 2 X 5

-----------------------------------------------------------------------------Bab 4

-----------------------------------------------------------------------------

• Dengan keterangan

Keterangan diletakkan di belakang ;

n(X; X, X)

n(X; 5, 2)

B(X; n, p)B(X; 10, 0,15)

b(X; n, p)b(X; 9, 0,95)

Bilangan di belakang ; adalah keterangan tentang probabilitas, misalnya,

n(X; 5, 2)Probabilitas X (pada distribusi probabilitas normal) ketika rerata adalah 5 dan simpangan baku adalah 2

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

B. Konsep dan Nilai Probabilitas

1. Konsep Probabilitas Laplace

• Probabilitas dihitung dari ciri unsur yang telah diketahui (a priori, matematik)

• Unsur X sebanyak n• Seluruh unsur sebanyak N

• Probabilitas Laplace atau probabilitas a priori atau probabilitas matematik untuk X

YX

YA

BX

C

A

CX

B

AYX A

C

AX

C

Y

B

B

XCA

XB

Y

XC

BY

A

X

BX

C

A

Y

CY

A XB X

A

XB A

A

NnXP )(

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Dikatakan a priori (sebelum) karena probabilitas sudah dapat dihitung sebelum dilakukan cobaan

Dikatakan matematik karena probabilitas dapat dihitung secara matematika

Probabilitas dapat dihitung melalui perhitungan n dan N

Perhitungan n dan N hanya dapat dilakukan apabila ciri unsur probabilitas besaran telah diketahui

CiriBesaran

Diketahui Dihitung

Probabilitas

Konsep Laplace

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 11

Lemparan satu dadu dengan 6 mata

P(X = 2) =

P(X ≠ 2) =

P(X = genap) =

21 3

4 5 61

6

1 2 3

4 5 6

n = 1

N = 6

5

6

n = 5

N = 6

1 2 3

4 5 63

6

n = 3

N = 6

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 12

Lempar 2 koin (M = muka B = belakang)

MM MB X = 0 kali M

BM BB P(X) = = 0,25

MM BM X = 1 kali M

BM BB P(X) = = 0,50

MM BM X = 2 kali M

BM BB P(X) = = 0,25

1

4n = 1

2

4

1

4

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Diagram pohon

Salah satu cara praktis untuk menghitung ruang probabilitas dilakukan melalui diagram pohon

Ruang probabilitas lemparan 2 koin

koin 1 koin 2

Ruang probabilitas adalah S (MM, MB, BB)

Probabilitas 0 kali M P(0) = 1 / 4 = 0,25Probabilitas 1 kali M P(1) = 2 / 4 = 0,50Probabilitas 2 kali M P(2) = 2 / 4 = 0,25

M MB

B MB

MMMBBMBB

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Ruang probabilitas lemparan 3 koin

koin 1 koin 2 koin 3

Ruang probabilitas adalah N = 8

Probabilitas 0 kali muka P(0) = 0,125Probabilitas 1 kali muka P(1) = 0,375Probabilitas 2 kali muka P(2) = 0,375Probabilitas 3 kali muka P(3) = 0,125

MBMBMBMB

MB

MB

M

B

MMMMMBMBMMBBBMMBMBBBMBBB

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 13

Ada 10 putri dan 10 putra pergi ke pesta. Berapa probabilias putri I berpasangan dengan putra A

• Pasangan putri I dengan putra A n = 1• Ruang probabilitas pasangan N =

• Probabilitas pasangan I dan A P(X) =

Contoh 14

Di dalam kantong terdapat 2 bola merah (M) dan 3 bola biru (B). Secara acak ditarik 2 bola

Probabilitas P(MM) =Probabilitas P(MB atau BM) =Proabilias P(BB) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 15

Pada lemparan dua dadu, berapa probabilitas

(a) keluar mata sama(b) keluar mata berjumlah 7(c) keluar mata berjumlah 11(d) keluar mata berjumlah 2(e) keluar satu kali mata 6(f) keluar pasangan mata 6

Catatan: Lempar dua dadu satu kali, dan lempar satu dadu dua kali,

memberikan hasil yang sama

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

2. Konsep Probabilitas von Mises

• Probabilias dihitung dari hasil cobaan (a posteriori, statistik)

• Cobaan sebanyak N kali menghasilkan X sebanyak n kali

• Probabilitas von Mises atau probabilitas a posteriori atau probabilitas statistik untuk X

dengan N menunju ke tak hingga

• Kalau N cukup besar maka probabilitas mendekati probabilitas von Mises ini

NnXP

N lim)(

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Dikatakan a posteriori (sesudah) karena probabilitas dihitung setelah dilakukan cobaan

Dikatakan statistik karena probabilitas dihitung berdasarkan statistik hasil cobaan

Secara teoretik memerlukan N sebanyak tak hingga namun tak dapat dilaksanakan di dalam praktek

Dalam praktek biasanya dilakukan dengan N yang cukup besar

Perhitungan dapat dilakukan sekalipun ciri unsur probabilitas besaran tidak diketahui

Ciri Besaran

Tidak diketahui Dicoba

Probabilitas

Konsep von Mises

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 16

Lemparan koin sebanyak N kali, keluar sisi muka sebanyak X kali, dan probabilitas keluar sisi muka sebesar P(X)

N X |X - ½N| P(X) 10 4 1 0,400 100 45 5 0,450 1000 490 10 0,490 10000 4950 50 0,495 100000 49900 100 0,499

• Menurut probabilitas matematik atau a priori probabilitas P(X) = 0,50

• Tampak bahwa makin besar N, sekalipun selisih di antara X dan ½N makin besar, namun probabilitas makin mendekati probabilitas matematik 0,5

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 17

Di antara 50 siswa, 18 siswa lulus ujian

• Probabilitas lulus ujian P(lulus) =

Di antara 75 kata, terdapat 14 kata berawalan me-

• Probabilitas kata berawalan me- P(me-) =

Ada 1500 orang melamar beasiswa dan 75 orang memperolehnya

• Probabilitas mendapat beasiswa P(beasiswa) =

Di antara 250 panahan, terdapat 50 kali kena sasaran

• Probabilitas kena sasaran P(sasaran) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 18

Ada 2500 calon mahasiswa mendaftarkan diri untuk masuk ke suatu perguruan tinggi. Calon yang diterima adalah 150 mahasiswa.

• Probabilitas untuk diterima menjadi mahasiswa adalah P(X)

• Calon mahasiswa N = 2500• Yang diterima n = 150

P(X) =

Contoh 19

Suatu pemilihan diikuti oleh 500 calon yang terdiri atas 400 pria dan 100 wanita. Pemilihan tidak membedakan pria atau wanita. Terpilih 15 pria dan 5 wanita

• Probabilitas pria terpilih P(p) =• Probabilitas wanita terpilih P(w) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

3. Ciri Besaran

Ciri Besaran dan Probabilitas

• Pada konsep Laplace, ciri besaran telah diketahui sehingga probabilitas dapat dihitung

• Pada konsep von Mises, ciri besaran tidak diketahui sehingga probabilitas dicari melalui cobaan

• Di dalam penelitian, ciri besaran belum diketahui dan ingin diketahui melalui percobaan

• Penelitian menggunakan konsep probabilitas von Mises untuk menemukan probabilitas

• Setelah menemukan probabilitas, melalui konsep Laplace untuk menemukan ciri besaran

-----------------------------------------------------------------------Bab 4

-----------------------------------------------------------------------

Diketahui Dihitung

ProbabilitasMatematik

Konsep Laplacep=n/N

Probabilitas

Probabilitas

DicobaTidakDiketahui

ProbabilitasStatistik

Konsep von Mises

Nnp

N lim

CiriVariabel =?Penelitian

Dibuat N cukup besar sehingga

pvon Mises - pLaplace (dapat diabaikan)

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Ciri Besaran dan Parameter

• Ciri besaran sering ditemukan melalui kelompok data yang diperoleh melalui percobaan

• Ciri besaran pada kelompok data adalah parameter (parameter populasi)

• Penelitian sering menggunakan sampel sehingga hanya menemukan statistik (statistik sampel)

• Dari statistik sampel peneliti menyimpulkan parameter populasi melalui probabilitas

• Terjadi lompatan penyimpulan dari statistik sampel (sebagian) ke parameter populasi (keseluruhan)

• Lompatan kesimpulan ini sering diikuti dengan probabilitas keliru (risiko penyimpulan)

-----------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Lompatan penyimpulan

sampel

populasi

statistik

parameter

Penyimpulan dengan probabilitas keliru

Menggunakan probabilitas

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

4. Batas Nilai Probabilitas

Nilai probabilitas bergantung kepada nilai n dan nilai N karena P(X) = n / N

Nilai n terkecil adalah n = 0 sehingga P(X) = 0Nilai n terbesar adalah n = N sehingga P(X) = 1Batas nilai probabilitas

0 P(X) 1

P(p) = 0 / N = 0

P(w) = N / N = 1

ww

ww

w

ww

w

ww

w

w

ww

w

w

p = priaw = wanita

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

5. Probabilitas p dan q

Cobaan dapat menghasilkan sukses atau gagal yang dinyatakan dengan p dan q, misalnya, probabilitas

P(lulus) = p P(gagal) = qP(mata 6) = p P(bukan mata 6) = qP(X) = p P(bukan X) = q

p = n / N q = (N – n) /N

p + q = n / N + (N – n) / N = 1

p + q = 1 p = 1 – q q = 1 – p

X Bukan X(n) (N-n)

N

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 20

Pada lemparan satu dadu dengan enam mata

• P(5) = 1 / 6• P(bukan 5) = 1 – 1 /6 = 5 / 6

• P(mata ganjil) = 3 / 6• P(mata genap) = 1 – 3 / 6 = 3 / 6

• P(X > 2) =• P(X 2) =

Sejumlah mahasiswa menempuh ujian statistika dengan probabilitas lulus sebesar p dan probabilitas tidak lulus sebesar q

• p = 0,50 q =• p = 0,75 q =• p = 0,99 q =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

6. Probabilitas dan Frekuensi

• Pada probabilitas statistik (konsep von Mises) terjadi cobaan

• Pada cobaan, peristiwa terjadi berkali-kali atau dalam suatu frekuensi

• Pada N cobaan, frekuensi terjadinya peristiwa adalah f, sehingga probabilitas peristiwa adalah

sehingga frekuensi f menjadi

f = p N

Nfp

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 21

Ada 50 siswa menempuh ujian dengan probabilitas lulus 0,80

• p = 0,80 N = 50• Banyaknya siswa yang lulus ujian adalah

f = pN = (0,80)(50) = 40

Ada 800 orang pelamar sedangkan probabilitas untuk dapat diterima adalah 0,15

• p = N =• Banyaknya pelamar yang diterima adalah

f =

Probabilitas sakit adalah 0,05 sehingga di antara 600 siswa, probabilitas sakit adalah

f =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

C. Hubungan pada Dua atau Lebih Peristiwa

1. Independensi Peristiwa

• Hubungan dua atau lebih peristiwa dapat

Independendependen

• Independen

Dua peristiwa X dan Y adalah independen apabila probabilias P(Y) tidak ditentukan oleh probabilitas P(X), dan sebaliknya

• Dependen

Dua peristiwa X dan Y adalah dependen apabila probabilitas P(Y) ditentukan oleh probabilitas P(X), dan sebaliknya

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 22

Lempar dadu keluar mata 3. Lemparan sebelumnya menghasilkan mata 1

• Peristiwa independen

Mendaftarkan diri menjadi mahasiswa, tetapi sebelumnhya harus lulus SMA

• Peristiwa dependen

Naik kereta api ke Bandung dan naik mobil ke Bandung

• Peristiwa independen

Memberi jawaban setuju dan menerima pertanyaan

• Peristiwa dependen

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

2. Keeksklusivian peristiwa

Hubungan dua atau lebih peristiwa dapat

• Saling ekskluwif• Tidak saling eksklusif

Saling eksklusif

• Dua peristiwa X dan Y adalah saling eksklusif apabila unsur probabilitas pada X dan Y sama sekali terpisah

• Tidak ada unsur probalitas di X yang juga di Y dan sebaliknya

X Y

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Tidak saling eksklusif

• Dua peristiwa X dan Y tidak saling eksklusif apabila ada unsur probabilitas yang sekaligus ada di X dan Y

• Terdapat irisan di antara X dan Y sehingga pada irisan, unsur probabilitas sekaligus terletak di X dan Y

• Pada tiga peristiwa, terdapat banyak macam ketidakeksklusivan di antara mereka

X Y

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Pada tiga peristiwa A, B, C

A B C A B C

A B C A C B

A B C B A C

A C B

A

B C

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 23

Lempar satu dadu

1 2 Mata ganjil 3 4 Mata genap 5 6 Saling eksklusif

1 2 Mata genap 3 4 Mata di atas 2 5 6 Tidak eksklusif

Mata 5 1 2 Mata bukan lima 3 4 5 6 Saling eksklusif

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 24

Dua dosen pada waktu sama di kelas A dan di kelas B

________________________

Mahasiswa asal luar kota dan mahasiswa semester tiga

_______________________

A

B

Mahasiswa asal luar kota

Mahasiswa semester 3

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

D. Probabilitas pada Dua atau Lebih Persitiwa

1. Hubungan “DAN”

• Notasi

Probabilitas hubungan DAN di antara X1 dan X2 dapat ditulis dalam beberapa macam notasi

P(X1 DAN X2)

P(X1 X2) atau P(X1X2)

P(X1 ∩ X2)

• Ada sejumlah kaidah untuk probabilitas hubungan DAN namun di sini hanya dikemukan kaidah untuk hubungan independesni

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

2. Kaidah Probabilitas Hubungan DAN

Jika X1 dan X2 independen, maka

P(X1 ∩ X2) = P(X1) . P(X2)

Jika X1, X2, X3, . . . Independen, maka

P(X1 ∩ X2 ∩ X3 ∩ . . . = P(X1).P(X2).P(X3) . . .

= ∏(X)

• Kaidah ini hanya berlaku apabila, semua peristiwa adalah independen

• Sering kaidah hubungan DAN ini digunakan untuk hitungan kebetulan ada hubungan pada kasus yang tidak berhubungan

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 25

Pada lemparan dadu, keluar mata 2 dan keluar mata 6 adalah independen dan saling eksklusif. Probabilitas keluar mata 2 dan mata 6 adalah

• P(mata 2) = 1 / 6• P(mata 6) = 1 / 6• P(mata 2 dan 6) = (1/6)(1/6) = 1 / 36

Contoh 26

Pada lemparan dadu, keluar mata genap dan keluar mata di atas 2 adalah independen tetapi tidak eksklusif. Probabilitas keluar mata genap dan mata di atas 2 adalah

• P(mata genap) = 3 / 6 = 1 / 2• P(mata di atas 2) = 4 / 6 = 2 / 3• P(mata genap dan di atas 2) = (1/2)(2/3) = 1 / 3

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 27

Probabilitas lulus mata pelajaran X adalah 0,8 dan probabilitas lulus mata pelajaran Y adalah 0,7. Kedua peristiwa ini adalah independen.

• P(X) =• P(Y) =• P(XY) =

Contoh 28

Probabilitas jatuh (X1) adalah 0,4, probabilitas tertimpa tangga (X2) adalah 0,1, dan probabilitas patah kaki (X3) adalah 0,2.

• P(X1) =

• P(X2) =

• P(X1 ∩ X2 ∩ X3) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

3. Hubungan “ATAU”

• Notasi

• Probabilitas hubungan “ATAU” di antara peristiwa X1 dan X2 dapat ditulis dalam beberapa macam notasi

P(X1 ATAU X2)

P(X1 + X2)

P(X1 U X2)

• Di sini dikemukan kaidah probabilitas hubungan ATAU untuk hubungan yang eksklusif dan hubungan yang tidak eksklusif (tidak eksklusif hanya untuk dua peristiwa)

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

4. Kaidah Probabilitas Hubungan ATAU

Jika X1 dan X2 saling eksklusif, maka

P(X1 U X2) = P(X1) + P(X2)

Jika X1, X2, X3, . . . Saling eksklusif, maka

P(X1 U X2 U X3 U . . . ) = P(X1) + P(X2) +P(X3) + . . .

Jika X1 dan X2 tidak saling eksklusif, maka

P(X1 U X2 = P(X1) + P(X2) – P(X1 ∩ X2)

X1 ∩ X2 telah dihitung

dua kali sehingga perlu dikurangi satu kali

X1 X2

X1 ∩ X2

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 29

Pada lemparan dadu, keluar mata 2 dan keluar mata 5 adalah saling eksklusif. Probabilitas keluar mata 2 atau mata 5 adalah

• P(mata 2) = 1 / 6• P(mata 5) = 1 / 6• P(mata 2 atau 5) = 1 / 6 + 1 / 6 = 1 / 3

Contoh 30

Pada lemparan dadu, keluar mata genap dan keluar mata di atas 2 adalah tidak saling eksklusif. Probabilitas keluar mata 2 atau mata 5 adalah

• P(mata genap) = 3 / 6 = 1 / 2• P(mata > 2) = 4 / 6 = 2 / 3• P(mata genap ∩ mata > 2) = 2 / 6 = 1 / 3• P(mata genap atau 2) = 1 / 2 + 2 / 3 – 1 / 3 = 5 / 6

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 31

Di perguruan tinggi, mahasiswa tingkat satu (X1), tingkat dua (X2), tingkat tiga (X3), dan tingkat empat (X4) adalah saling eksklusif.

• Jika P(X1) = 0,4 P(X2) = 0,3

• P(X3) = 0,2 P(X4) = 0,1

• Probabilitas seorang mahasiswa duduk di tingkat dua atau tingkar tiga adalah

P(X3 + X$) =

Contoh 32

Probabilias lulus mata pelajaran bahasa (X1) adalah 0,8 dan lulus mata pelajaran matematika (X2) adalah 0,7. Mereka independen tetapi tidak saling eksklusif. Probabilitas lulus bahasa atau matematika adalah

• P(X1 + X2) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

E. Dalil Bayes

1. Probabilitas Bersyarat

• Probabilitas B bersyarat A ditulis P(B|A)

• Kita mencari di syarat A untuk menemukan berapa probabilitas B di situ

Kita lihat suatu contoh

Mahasiswa (M) Siswa (S) Jumlah Pria (P) 460 40 500Wanita (W) 140 260 400 Jumlah 600 300 900

• Probabilitas wanita bersyarat mahasiswa P(W|M). Kita lihat ke syarat mahasiswa (prob 600 / 900) dan melihat berapa wanita di situ (prob 140 / 900) sehingga

P(W|M) = (140 / 900) / (600 / 900) = 0,77

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Rumus umum probabilitas bersyarat

)()()|(

,

)()()|(

MPMWPMWP

mahasiswaasprobabilitmahasiswawanitaasprobabilitMWP

770900460

900600900140

)()|()(

)()()|(

APABPABP

APABPABP

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 33

Diketahui probabilitas suami menonton TV adalah 0,4, probabilitas istri menonton TV adalah 0,5, serta probabilitas suami menontoh TV bersyarat istri menonton TV adalah 0,7

Dari data ini, jika suami adalah S dan istri adalah I maka

P(S) = 0,4 P(I) = 0,5 P(S|I) = 0,7

• Probabilitas istri bersama suami menonton TV adalah

P(S∩I) = P(I).P(S|I) = (0,5)(0,7) = 0,35

• Probabilitas istri menonton TV bersyarat suami menonton TV

P(I|S) = P(S∩I) / P(S) = 0,35 / 0,4 = 0,875

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 34

Pemilihan gubernur diikuti oleh tiga calon B1, B2, dan B3. Setiap calon mungkin menaikkan pajak penjualan A.

• Probabilitas B1 terpilih adalah 0,60 dan probabilitas untuk menaikkan pajak penjualan A adalah 0,90

• Probabilitas B2 terpilih adalah 0,20 dan probabilitas untuk menaikkan pajak penjualan adalah 0,50

• Probabilitas B3 terpilih adalah 0,20 dan probabilitas untuk menaikkan pajak penjualan adalah 0,05

Probabilitas pajak penjualan dinaikkan adalah apabila B1 terpilih atau B2 terpilih atau B3 terpilih

• P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + P(A ∩ B3) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

2. Dalil Bayes

Dalil Bayes berkaitan dengan banyak komponen, misalnya, komponen

B1, B2,, B3, . . .

Komponen ini mengalami peristiwa A

Dalil Bayes berkenaan dengan berapa besar probabilitas suatu komponen B (misalnya Bk) bersyarat A yakni berapa besar P(Bk|A)

P(Bk|A)

B1B2

Bi Bk

A

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Dalil Bayes

Contoh 35

Bola merah, putih, dan biru di dalam kotak 1, 2, dan 3

kotak 1 2 3 jumlah merah 2 4 3 9 putih 3 1 4 8 biru 5 3 3 11 jumlah 10 8 10 28

Berapa probabilitas bola merah dari kotak 3

)|()()|()(

)()()|(

ii

kk

i

kk

BAPBPBAPBP

ABPABPABP

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Di sini Bk = bola merah

A = kotak 3

P(bola merah) = 9 / 28 P(bola putih) = 8 / 28 P(bola biru) = 11 / 28

P(kotak 3|bola merah) = 3 / 28 P(kotak 3|bola putih) = 4 / 28 P(kotak 3|bola biru) = 3 / 28

P(Bk) P(A|Bk) = P(bola merah) P(kotak 3|bola merah) = (9 / 28) (3 / 28) = 27 / (28)(28)

P(Bi) P(A|Bi) = (9 / 28)(3 / 28) + (8 / 28)(4 / 28) + (11 / 28)( 3 / 28) = 92 / (28)(28)

P(Bk|A) = P(bola merah|kotak 3) = (27 / (28)(28))/ (92 / (28)(28)) = 0,29

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 36

Produksi semacam barang

• berasal dari mesin I (B1) sebesar 50% dengan probabilitas cacat (A) 0,4%

• Berasal dari mesin II (B2) sebesar 30% dengan probabilitas cacat (A) 0,6%

• Berasal dari mesin III (B3) sebesar 20% dengan probabilitas cacat (A) 1,2%

Probabilitas satu barang cacat berasal dari mesin I adalah

• P(B1|A) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

F. Distribusi Probabilitas

1. Jumlah Probabilitas

• Semua probabilitas dari semua peristiwa dijumlahkan

• Ini berarti bahwa 1 itu dibagi-bagikan atau didistribusikan ke semua X sehingga terjadilah distribusi probabilitas

1

321

321321

NN

NnnnNn

Nn

NnXPXPXP

...

......)()()(

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 37

Lemparan 2 koin untuk probabilitas banyaknya sisi muka yang keluar

Dari contoh 12

P(0 muka) = 0,25P(1 muka) = 0,50P(2 muka) = 0,25 Jumlah 1,00

Contoh 38

Lemparan 3 koin pada contoh diagram pohon

Probabilitas 0 kali muka P(0) = 0,125Probabilitas 1 kali muka P(1) = 0,375Probabilitas 2 kali muka P(2) = 0,375Probabilitas 3 kali muka P(3) = 0,125

Jumlah 1,000

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 39

Hasil ujian menghasilkan nilai ujian (hasil cobaan) berbentuk distribusi probabilitas sebagai berikut

Nilai ujian X Frek f Probabilitas 4 3 0,06 5 5 0,10 6 10 0,20 7 15 0,30 8 11 0,22 9 6 0,12 50 1,00

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

2. Fungsi Densitas

• Probabilitas dari semua peristiwa membentuk fungsi dan dikenal sebagai fungsi densitas

• Fungsi densitas adalah densitas (kerapatan) yang diakibatkan pembagian (pendistribusian) probabilitas 1 ke semua peristiwa

• Fungsi densitas dapat disajikan dalam beberapa bentuk

Bentuk tabelBentuk grafikBentuk rumus

• Bentuk tabel untuk membaca bilangan, bentuk grafik untuk visualisasi, bentuk rumus untuk proses matematik

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 40

Fungsi densitas hasil ujian dalam bentuk tabel

Nilai ujian X Frek f Probabilitas 4 3 0,06 5 5 0,10 6 10 0,20 7 15 0,30 8 11 0,22 9 6 0,12 50 1,00

Fungsi densitas dalam bentuk grafik histogram

X

P(X)

4 5 6 7 8 9

0,10

0,20

0,30

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 41

Fungsi densitas distribusi probabilitas dalam bentuk tabel

Peristiwa X Frek f Probabilitas 1 1 0,01 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6

100

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Fungsi densitas distribusi probabilitas dalam bentuk grafik histogram

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

3. Kumulasi Probabilitas

Kumulasi probabilitas

Jumlah probabilitas pada suatu bentangan peristiwa dikenal sebagai kumulasi probabilitas

Contoh 42

Dari contoh 40, kumulasi probabilitas

Dari X = 5 sampai 7

P(X) = 0,10 + 0,20 + 0,30 = 0,60

Dari X = 5 sampai 8 P(X) = 0,10 + 0,20 + 0,30 + 0,22 = 0,82

-----------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

4. Fungsi Distribusi

Fungsi distribusi bawah

• Kumulasi probabilitas secara bertahap dari peristiwa terkecil sampai peristiwa terbesar dikenal sebagai fungsi distribusi bawah (FDB)

Fungsi distribusi atas

• Kumulasi probabilitas secara bertahap dari peristiwa terbesar sampai peristiwa terkecil dikenal sebagai fungsi distribusi atas (FDA)

Contoh

Nilai ujian X Frek f Prob FDB FDA 4 3 0,06 0,06 1,00 5 5 0,10 0,16 0,94 6 10 0,20 0,36 0,84 7 15 0,30 0,66 0,64 8 11 0,22 0,88 0,34 9 6 0,12 1,00 0,12

-----------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 43

Fungsi densitas dan fungsi distribusi pada distribusi probabilitas dalam bentuk tabel

Peristiwa X Frek f Prob FDB FDA 1 1 0,01 0,01 1,00 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6

100

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 44

Fungsi densitas dan fungsi distribusi pada distribusi probabilitas

Kelompok Nil kel X Frek Prob FDB FDA 31 – 40 35,5 2 41 – 50 45,5 3 51 – 60 55,5 5 61 – 70 65,5 14 71 – 80 75,5 25 81 – 90 85,5 18 91 – 100 95,5 13

Bentuk histogram

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

5. Kumulasi Probabilitas Melalui Fungsi Distribusi

• Kumulasi probabilitas dapat dihitung dari fungsi distribusi

Contoh 45

Nilai ujian X Frek f Prob FDB FDA 4 3 0,06 0,06 1,00 5 5 0,10 0,16 0,94 6 10 0,20 0,36 0,84 7 15 0,30 0,66 0,64 8 11 0,22 0,88 0,34 9 6 0,12 1,00 0,12

Dengan FDB

P(6 X 8) = P(X 8) – P(X 5) = 0,88 – 0,16 = 0,72

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Kumulasi distribusi ini dapat dilihat juga pada fungsi densitas berbentuk grafik histogram

Kumulasi distribusi di antara X = 6 sampaiX = 8 mencakup histogram dari 6 sampai 8

Kumulasi distribusi X = 6 sampai X = 8 ini merupakan pengurangan fungsi distribusi bawah

dari bawah sampai X = 8 dikurangi

dari bawah sampai X = 6

X

P(X)

4 5 6 7 8 9

0,10

0,20

0,30

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 46

Dari contoh 43, kumulasi probabilitas

P(5 X 9) =P(5 < X 9) =P(5 X < 9) =P(5 < X < 9) =

Dari contoh 44, kumulasi probabilitas

P(45,5 X 85,5) =P(45,5 < X 85,5) =P(45,5 X < 85,5) =P(45,5 < X < 85,6) =

Dari contoh 45

P(5 X 8) =P(5 X < 8) =P(5 < X 8) =P(5 < X < 8) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

G. Harapan Matematik

1. Pengertian

Harapan matematik adalah rerata dari suatu fungsi, misalnya, f(X)

Harapan matematik pada suatu fungsi X adalah

E [ f(X)] = p f(X)

2. Rerata

Rerata adalah harapan matematik dari suatu variabel, misalnya, X

X = E (X) = pX

sama dengan rumus rerata pada statistika deskriptif

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

3. Variansi

Variansi adalah harapan matematik dari kuadrat simpangan

2X = E (X – X)2

= E (X2) – 2X

= E (X2) – [ E (X) ]2

= pX2 – ( pX)2

sama dengan rumus variansi pada statistika deskriptif

Rerata dan variansi dapat dihitung melalui harapan matematik

Harapan matematik adalah rerata dalam bentuk umum melalui fungsi, misalnya,

E(X – 2) E(X2 + 5)

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

-----------------------------------------------------------------------------

Contoh 47

Data X Frek f Prob p X2 pX pX2

4 3 0,06 16 0,24 0,96 5 5 0,10 25 0,50 2,50 6 10 0,20 36 1,20 7,20 7 15 0,30 49 2,10 14,70

8 11 0,22 64 1,76 14,08 9 6 0,12 81 1,08 9,72 50 1,00 6,88 49,16

X = pX = 6,88

2X = pX2 – ( pX)2

= 49,16 – (6,88)2

= 49,16 – 47,33 = 1,83

-----------------------------------------------------------------------------Bab 4

-----------------------------------------------------------------------------

Contoh 48

Data X Frek f Prob p X2 pX pX2

1 1 3 5 4 9 5 15 6 23 7 15 8 17 9 9 10 6

X =

2X =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

4. Kovariansi

Kovariansi adalah harapan matematik dari perkalian simpangan

XY = E [ (X – X)(Y – Y) ] = E (XY) – [E (X) E (Y)] = pXY – ( pX)( pY)

Sama dengan rumus kovariansi pada statistika deskriptif

Contoh 49

X Y Frek f Prob p XY pX pY pXY 4 5 1 0,2 20 0,8 1,0 4,0 5 7 1 0,2 35 1,0 1,4 7,0 6 5 1 0,2 30 1,2 1,0 6,0 6 8 1 0,2 48 1,2 1,6 9,6 4 3 1 0,2 12 0,8 0,6 2,4 5,0 5,6 29,0

XY = pXY – ( pX)( pY) = 29,0 – (5,0)(5,6) = 1

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 50

X Y f p XY pX pY pXY63 87 50 7455 7665 9055 8570 8764 9270 9858 8268 91

XY =

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

H. Jenis Distribusi Probabilitas

1. Sumber Distribusi

Dari sumber data, distribusi probabilitas mencakup

• Distribusi probabilitas empirik• Distribusi probabilitas teoretik

2. Jenis Data

Dari jenis data, distribusi probabilitas mencakup

• Distribusi probabilitas diskrit• Distribusi probabilitas kontinu

------------------------------------------------------------------------------Bab 4

------------------------------------------------------------------------------

3. Banyaknya variabel

Dari banyaknya variabel, distribusi probabilitas mencakup

• Distribusi probabilitas univariat• Distribusi probabilitas bivariat• Distribusi probabilitas multivariat

4. Pembahasan

• Tidak semua macam distribusi probabilitas dibahas di sini

• Pembahasan meliputi distribusi probabilitas yang banyak dipakai di dalam statistika terapan

• Pembahasan mencakup beberapa distribusi probabilitas teoretik, diskrit dan kontinu, terutama univariat