ma1201 matematika 2a - · pdf file12.3 limit dan kekontinuan ma1201 matematika 2a 3/21/2014...

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

22 Maret 2017

Kuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah

12.5 Turunan berarah dan gradien

12.6 Aturan Rantai

12.7 Bidang singgung dan aproksimasi

12.8 Maksimum dan minimum

12.9 Metode pengali Lagrange

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari Ini

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah

12.5 Turunan berarah dan gradien

12.6 Aturan Rantai

12.7 Bidang singgung dan aproksimasi

12.8 Maksimum dan minimum

12.9 Metode pengali Lagrange

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 3

12.3 LIMIT DAN KEKONTINUANMA1201 MATEMATIKA 2A

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4

• Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubahmempunyai limit di titik tertentu danmenentukan limitnya (bila ada)

• Memeriksa kekontinuan fungsi dua peubahdi titik tertentu

Limit Fungsi Dua Peubah

Diberikan suatu fungsi dua peubah, sebutlah z = f(x,y).

Bila (x,y) mendekati (x0,y0), apayang terjadi dengan f(x,y)?

Def. apabila

untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0sedemikian sehingga

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 5

(x0,y0)

L

.),(),(),(0 00 Lyxfyxyx

Lyxfyxyx

),(lim),(),( 00

Beberapa Catatan

• Limit f di (x0,y0) sama dengan L apabila untuk setiap (x,y) yang berada dalam radius δ dari (x0,y0), kecuali mungkin (x0,y0) sendiri, nilaif(x,y) berada dalam radius ε dari L.

• Dalam hal ini, nilai f(x,y) harusmenuju L, bagaimanapun caranya(x,y) mendekati (x0,y0).

• Jika melalui lintasan berbeda fmenuju nilai yang berbeda, maka ftidak mempunyai limit di (x0,y0).

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6

x

y

Teorema Substitusi

Jika f(x,y) merupakan polinom dalam x dan y, yakni

maka

Jika f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) dengan p dan q polinomdalam x dan y, maka

asalkan q(a,b) ≠ 0. 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7

n

i

m

j

ji

ij yxcyxf0 0

,),(

).,(),(lim),(),(

bafyxfbayx

,),(

),(),(lim

),(),( baq

bapyxf

bayx

Teorema Apit

• Jika …

• Maka …

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Contoh

1.

2. tidak ada, karena

pembilangnya menuju 1 sementarapenyebutnya menuju 0.

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9

.2543)(lim 2222

)4,3(),(

yx

yx

22)0,0(),(

1lim

yx

xy

yx

Contoh

3. tidak ada, karena alasan

sebagai berikut:

Sepanjang garis y = mx, kita amati bahwa

yang bergantung pada nilai m. Jadi tidak adanilai tertentu yang dituju ketika (x,y) men-dekati (0,0).

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10

22)0,0(),(lim

yx

xy

yx

2222

2

022)0,0(),( 1limlim

m

m

xmx

mx

yx

xy

xyxmxy

Soal

Selidiki apakah limit berikut ada/tidak ada.

1.

2.

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11

.lim42

2

)0,0(),( yx

xy

yx

.lim22

44

)0,0(),( yx

yx

yx

Kekontinuan

Fungsi f(x,y) dikatakan kontinu di (a,b) apabila

Sebagai contoh, polinom kontinu di setiap titik.

Teorema: Jika g(x,y) kontinu di (a,b) dan f(t) kontinu di g(a,b), maka f ◦ g kontinu di (a,b).

Sebagai contoh, kontinu disetiap titik (x,y).

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12

).,(),(lim),(),(

bafyxfbayx

22:),( yxyxf

Kesamaan Turunan Parsial Campuran

Jika fxy dan fyx kontinu pada suatu cakram disekitar (a,b), maka fxy(a,b) = fyx(a,b).

Contoh fungsi yang turunan parsial campuran-nya tidak sama diberikan di buku Purcell (Soal12.3 no. 42). Lihat slide berikut…

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13

Soal

Diketahui

Hitung fxy(0,0) dan fyx(0,0).

Apakah hasilnya sama?

3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14

).0,0(),(,0:

),0,0(),(,:),(22

22

yx

yxyx

yxxyyxf