laporan modul 2a

Praktikum Teori ProbabilitasModul 2A Teori Peluang

Kelompok 34

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Statistika merupakan alat dan juga metode analisis yang dipakai untuk

mengevaluasi data yang pada akhirnya akan diperoleh suatu kesimpulan dari

data penarikan contoh yang ada. Dari semua alat analisis , konep peluang

merupakan salah satu alat analisis yang sangat penting, karena dalam ilmu

statistik teori peluang banyak digunakan untuk memecahkan masalah.

Jika seseorang mengunjungi supernmarket dan membeli sepuluh kaleng

minuman segar yang harganya Rp. 3.300,00 per kaleng ia dapat memastikan

dengan mudah bahwa ia harus membayar sebesar Rp. 33.000,00 untuk

kesepuluh minuman kaleng tersebut. Akan tetapi sebaliknya , seorang manager

department store dihadapkan pada masalah ketidakpastian yakni ia tidak dapat

menentukan dengan pasti berapa kaleng minuman segar terjual pada hari itu.

Berapakah pendapatan yang akan diperoleh dari hasil penjualan barang, tidak

dapat ia nyatakan dengan tepat.

Teori peluang merupakan teori yang banyak digunakan dalam kehidupan

sehari hari seperti memilih buah dalam tumpukan buah, dalam kondisi itu ada

puluang terambilnya buah yang bagus maupun yang kurang bagus. Contoh lain

adalah dalam saat kita mengerjakan soal pilihan ganda, diberikan 4 pilihan

jawaban, kemungkinan terpilihnya jawaban yang bener adalah 1 : 5.

Kasus seperti diatas merupakan bentuk ketidakpastian, Ketidakpastian

ini hanya bisa diukur , digeneralisir atau dikuantisasi dengan konsep peluang.

Setiap peristiwa dan peluang dapat ditabulasi. Jika daftar tabulasi setiap

peristiwa yang mungkin terjadi dan memberikan kemungkinan pada setiap

peristiwanya maka daftar itu disebut distribusi kemungkinan. Dengan demikian

Program Studi Teknik IndustriUniversitas Diponegoro 1


Kelompok 34

distribusi kemungkinan adalah daftar dari semua kemungkinan hasil atau

peristiwa yang mungkin terjadi , disertai kemungkinan terjadinya peristiwa

tersebut.

.

Dalam hal ini, akan dipelajari mengenai peluang yang berbicara

mengenai bagaimana suatu kejadian dapat diperkirakan hasilnya. Pembuatan

laporan ini ditujukan untuk mengasah kompetnsi mahasiswa dalam hal peluang.

Diharapkan pembuatan laporan ini dapat membantu mahasiswa dalam

memahami aplikasi peluang pada data – data yang sudah tersedia.

Pada praktikum teori peluang kita dihadapkan dalam suatu skenario yang

diharuskan dapat mengetahui dan menganalisa kondisi yang terjadi dalam

skenario tersebut. Dalam praktikum teori peluang ini mengenalkan bagaimana

cara menerapkan rumus kombinasi, permutasi, dan variansi dalam aplikasi

dalam kehidupan sehari hari.

1.2 TUJUAN PRAKTIKUM

Tujuan praktikum modul 2A Teori Peluang adalah:

1. Mampu memahami konsep teori peluang.

2. Memahami konsep teori distribusi peluang

3. Memahami dan menggunakan analisis kombinatorial

4. Memahami konsep harapan matematik, variansi dan kovariansi, serta

teorema Chebysev

5. Mampu menyelesaikan permasalahan dengan konsep ilmu peluang.



Kelompok 34

1.3 PEMBATASAN MASALAH

Pada praktikum teori peluang dimana kelompok kami mendapat permasalahan

pada skenario 13 yaitu dalam skenario tersebut ada suatu kejadian dimana praktikan di

tuntut untuk menganalisis kondisi kondisi yang terjadi dalam skenario tersebut. Pada

skenario 13 menceritakan tentang pengujian kualitas pensil kayu oleh Rani dimana

terdapat 7 buah pensil kayu dalam 1 kemasan dan alat penguji pensil kayu hanya dapat

memuat 2 pensil kayu dalam 1 kali pengujian.

1.4 METODOLOGI PRAKTIKUM

Metodologi Praktikum Modul 2A Teori Peluang adalah sebagai berikut :

Gambar 1.1 Flowchart Metodologi Praktikum


Kesimpulan dan saran

Analisa

Pengolahan Data

Pengumpulan

Studi Pustaka

Identifikasi


Kelompok 34

1.5 SISTEMATIKA PENULISAN

Sistematika Penulisan Laporan Modul 2A Teori Peluang adalah sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN

Berisi tentang latar belakang, tujuan praktikum, pembatasan

masalah,metodologi praktikum dan sistematika penulisan.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Berisi tentang dasar teori peluang dan formula yang digunakan dalam

pengolahan data antara lain adalah Peluang, Permutasi, Kombinasi,

Distribusi Peluang, dan Harapan Matematis.

BAB III PENGUMPULAN DATA DAN PENGOLAHAN DATA

Berisi data – data yang diperoleh pada saat praktikum pengambilan

kartu Bridge dan dilanjutkan dengan pengolahan data sehingga

mendapatkan output yang dituju.

BAB IV ANALISIS DATA

Berisi tentang analisis dari hasil pengolahan data.

BAB V PENUTUP

Berisi tentang kesimpulan dan saran.



Kelompok 34

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 PELUANG

Probabilitas adalah proporsi yang muncul dalam jangka panjang bila

percobaaan ini diulang secara terus menerus dalam arti kataukuran contoh

bertambah besar .

(Wonnacott,1989)

Sedangkan Papoulis menyatakan bahwa probabilitas mempelajari rata-

rata gejala massa yang terjadi secara berurutan atau bersamaan seperti pancaran

electron, hubungan telefon, deteksi radar, pengendalian kualitas, kegagalan

system, mekanikan statistika, turbulen gangguan, laju natalitas dan mortalitas

serta teori antrian.

(Papoulis,1984)

Tujuan dari teori probabilitas itu sendiri adalah untuk menggambarkan

dan menaksir rata-rata sedemikian itu dalam bentuk probabilitas peristiwa.

Probabilitas peristiwa A adalah bilangan P(A) yang ditetapkan bagi peristiwa

tersebut. Bila suatu kejadian dapat terjadi melalui n cara yang saling terputus

dan jika n hasil percobaan memiliki suatu cirri tertentu A, maka peluang

kejadian A adalah m/n.

(Steell,1995)

Probabilitas didefinisikan sebagai bagian dimana pembilangnya adalah

jumlah kejadian yang diharapkan dan penyebutnya adalah jumlah kejadian yang



Kelompok 34

diharapkan dan penyebutnya adalah jumlah kejadian yang mungkin terjadi atau

digunakan jika dua kejadian terkait yang mana jika suatu kejadian telah terjadi

maka kejadian yang lain dapat terjadi. Teori probabilitas berkembang dari

permainan peluang yang dilakukan oleh penjual untuk memperkirakan peluang

untuk kemenangannya dan mungkin merupakan dasar untuk menentukan nisbah

yang diharapkan dari tipe-tipe persilangan genotip yang berbeda. Penggunaan

teori ini memungkinkan kita untuk menduga kemungkinan diperolehnya suatu

hasil tertentu dari persilangan tersebut .

(Dwijoseputro,1977)

Secara sederhana, Peluang adalah hasil perbandingan antara nilai

percobaan dengan seluruh ruang sampel. Percobaan adalah suatu proses yang

menghasilkan data, sedangkan Ruang Sampel adalah suatu himpunan yang

mencakup seluruh kemungkinan hasil dari suatu percobaan

Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu

percobaan,dan untuk ruang sampel dilambangkan dengan huruf S. Setiap

kemungkinan hasil dalam suatu ruang sampel disebut unsure atau anggota ruang

sampel.

(Walpole,1995)

Kejadian adalah suatu himpanan bagian dari ruang contoh. Bila diketahui

ruang contoh S = {tlt ≥ 0},sedangkan t adalah umur(tahun) komponen elektronik

tertentu,maka kejadian A yaitu komponen tersebut rusak sebelum akhir tahun

kelima dapat dinyatakan sebagai himpunan A = {tl0 ≤ t < 5}.Himpunan A

merupakan himpunan bagian ruang cotoh S.

Kesimpulan yang dibuat mengenai sesuatu hal umumnya diharapkan

berlaku untuk hal itu secara keseluruhan dan bukan hanya untuk sebagian saja.

Jika dikatakan: 20 % mahasiswa di Indonesia berasal dari keluarga



Kelompok 34

berpenghasilan rendah, maka pernyataan ini berlaku umum untuk seluruh

mahasiswa di Indonesia ditinjau dari segi ekonomi keluarganya dan bukan

hanya untuk sekelompok mahasiswa saja. Untuk sampai kepada pernyataan

demikian, diperlkan data mentah yang bisa dikumpulkan dengan dua jalan:

Semua orang tua mahasiswa beserta karakteristiknya yang

diperlukan (dalam hal inikeadaan ekonomi keluarga), diteliti atau

dijadikan obyek penelitian.

Sebagian saja dari semua orang tua mahasiswa yang dikenai

penelitian.

Dalam hal pertama, sensus telah dilakukan sedangkan dalam hal kedua,

penelitian telah dilakukan secara sampling. Totalitas semua nilai yang mungkin,

hasil menghitung ataupun pengukuran, kuantitatif maupun kualitatifmengebai

karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas yang

ingin dipelajari sifat-sifatnya, dinamakan populasi. Adapun sebagian yang

diambil dari populasi disebut sampel.

(Sujana, 2002)

Peluang Suatu Kejadian

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing

berkesempatansama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil

yang merupakan kejadian A, makapeluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan

dengan rumus :

P ( A )= kn

. . . . . .. . . . . . . .(1)

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan

peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah

n x P( A ).

Peluang Komplemen Suatu Kejadian



Kelompok 34

Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian

pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A,

maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

P ( Ac )=n−kn

=1− kn=1−P ( A ) ↔ P ( A )+P ( Ac )=1 . . . . . .. . . . . . . .(2)

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang

hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peubah Acak dan Distribusi Peluang

Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika

X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan

berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah

acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y

disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan

bilangan real R, untuk setiap a ,b , c ∊ Rdan setiapA⊂R maka:

(i)P(x=a) merupakan P ({x∨x∈S dan X ( x )=a })

(ii) P(x ≤ a)merupakan P ({x∨x∈S dan X ( x )≤ a })

(iii)P(x>a) menyatakan P ({x∨x∈S dan X ( x )>a })(iv)P(b<x<c)menyatakanP ¿

(v)P(x∈a)menyatakanP ({x∨x∈S dan X ( x )∈a })

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi

masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang

ditentukan dengan rumus berikut :

{f ( X )=P (x=x ) , untuk x∈ XCSf ( x )=0untuk x∉ XCS

. . . . . .. . . . . . . .(3)

Gabungan Dua Kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :



Kelompok 34

P ( A∪B )=P ( A )+P(B)P( A ∩ B) . . . . . .. . . . . . . .(4)

Catatan :P( A∪B) dibaca “ Kejadian A atau B dan P( A ∩ B)dibaca

“Kejadian A dan B”

Kejadian Saling Lepas

Untuk setiap kejadian berlaku

P ( A∪B )=P ( A )+P (B )−P( A ∩ B) . . . . . .. . . . . . . .(5)

JikaA ∩ B=∅ , .P ( A ∩B )=0.Sehingga

P ( A∪B )=P ( A )+P(B) . . . . . .. . . . . . . .(6)

Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

Kejadian Bersyarat

Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan

sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika P( A ∩ B)adalah

peluang terjadinya A dan B, maka

P ( A ∩B )=P(B)× P (A∨B) . . . . . .. . . . . . . .(7)

Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

Diagram Venn

Diagram Venn adalah diagram yang ditetapkan menampilkan semua

hubungan logisyang mungkin antara koleksi terbatas set(agregasi hal). Diagram

Vennyang dikandung sekitar tahun 1880oleh JohnVenn, dalam tulisannya yang

berjudul On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions

and Reasonings yang diterbitkan pada Philosophical Magazine and Journal of

Science S. 5. Vol. 9. No. 59. Juli 1880.nMereka digunakanuntuk

mengajarmenetapkan teoridasar,sertamenggambarkanhubungandiatursederhana

dalamprobabilitas, logika, statistik, linguistik dan ilmu komputer.



Kelompok 34

Gambar 2.1 Diagram Venn

Dalam Ruang sampel ada 2 kejadian yang dapar terjadi, yaitu irisan dan

gabungan. Irisan kejadian A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya

merupakan anggota kejadian A dan sekaligus merupakan anggota kejadian B.

sedangkan, Gabungan kejadian A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-

anggotanya merupakan anggota A saja, anggota B saja, dan anggota

persekutuan A dan B.

(http://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram)

2.2 PERMUTASI

Permutasi merupakan penyusunan obyek-obyek yang ada ke dalam suatu

urutan tertentu. Hal yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah bahwa

obyek-obyek yang ada harus dapat “dibedakan” antara yang satu dengan lain.

Permutasi dapat dirumuskan : nPx = (n!)/(n-x)! ; dimana n = banyaknya

seluruh obyek, dan x = banyaknya obyek yang dipermutasikan.

Nilai n dan x masing-masing harus lebih besar dari nol. Jika nilai x < n disebut

dengan Permutasi Sebagian Obyek. Jika nilai x = n, maka disebut Permutasi

Seluruh Obyek, sehingga rumus tersebut dapat disederhanakan menjadi : nPx =

n! .

(Santoso,2009)

Kaidah 1 :



Kelompok 34

Banyaknya permutasi dari n objek yang berbeda adalah n ! (baca n faktorial)

adalah :

n ! = n × (n-1) × (n-2) …. × (2) × (1) . . . . . . . . . . . . . .(8)

Kaidah 2 :

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r objek dari n objek yang berbeda

adalah :

n Pr=n!

(n−r )! . . . . . . . . . . . . . . (9)

Kaidah 3 :

Banyaknya permutasi yang berbeda dari n objek yang n1 diantaranya berjenis

pertama, n2 berjenis kedua, ... , nk berjenis ke-k adalah :

n !n1 !n2 ! . . .nk ! . . . . . . . . . . . . . . (10)

Kaidah 4 :

Banyaknya cara menyekat sekumpulan objek ke dalam r sel, dengan n1 dalam

sel pertama, n2 unsur dalam sel kedua demikian seetrusnya adalah :

(n1 , n2 ,. . . , nr

n )= n!n1 !n2 ! .. . nr !

. . . . . . . . . . . . . . . (11)

(http://id.wikipedia.org)

2.3 KOMBINASI

Perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi terletak pada masalah

“urutan atau kedudukan” penyusunan dari sekelompok obyek. Dalam permutasi

masalah urutan atau kedudukan menjadi sangat penting, sedangkan dalam

kombinasi tidak mementingkan urutan atau kedudukan dari sekelompok obyek

tersebut.



Kelompok 34

Pada permutasi urutan obyek XYZ; XZY; ZYX adalah berbeda, tetapi

untuk kombinasi urutan tersebut dianggap sama. Dengan demikian kombinasi

merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan dengan tidak

memperhatikan urutan dari obyek tersebut. Untuk menghitung banyaknya hasil

kombinasi dari obyek dapat diformulasikan : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; dimana n :

banyaknya seluruh obyek yang ada, dan x : banyaknya obyek yang

dikombinasikan. Nilai x < n dan jika x = n formulasi tersebut menjadi nCn = 1.

(Santoso,2009)

Dari sebuah himpunan yang memiliki n elemen, banyaknya kombinasi

yang berukuran (kombinasi dengan jumlah elemen) r ditulis sebagai C(n,r) atau

nCr atau nCr.

Rumusnya adalah :

C(n,r) = nCr = nCr = n!

r! (n - r)! . . . . . . . . . . . . . .(12)

dimana n! (n faktorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 dan 0! = 1

Kombinasi dari kombinasi merupakan perkalian perkalian antara

banyaknya kombinasi suatu kumpulan obyek dengan banyaknya kombinasi dari

obyek lainnya. Formulasi untuk mencari kombinasi dari kombinasi adalah

sebagai berikut : nCx . mCy = (n!)/(x!(n-x)!) . (m!)/(y!(m-y)!).

Koefisien binomial dan multinomial

Nilai ( nr ) atau (

nr , n−r

) sebetulnya merupakan koefisien binomial.

Secara aljabar, (p + q)2 = (p + q) (p + q) = p2 + 2pq + q2. Koefisien tiap suku

dalam penguraian binomial demikian dapat diperoleh dengan cara menghitung

tiap kombinasinya. Koefisien p2 = ( 22

) = ( 20

) = 1, koefisien pq = ( 21

) = 2 dan



Kelompok 34

koefisien q2 = ( 20

) = ( 22

) = 1. Alhasil, secara keseluruhan (p+q)2 dapat diuraikan

dengan koefisiennya sebagai kombinasi ( nr ) atau (

nr , n−r

).

( Simbolon,, 2009)

2.4 HARAPAN MATEMATIS

Jika X menyatakan suatu variabel acak diskrit yang dapat mengambil

nilai x1, x2, x3, …,xn yang masing-masing mempunyai probabilitas f(x1), f(x2) ,

f(x3)…., f(xn), maka nilai harapan dari X yang dinyatakan sebagai E(X)

didefinisikan sebagai:

E( X )=∑x

x f (x ) . . . . . .. . . . . . . .(13)

Untuk suatu variabel acak kontinu X yang dapat mengambil setiap nilai

x yang memiliki probabilitas f(x) dx, nilai harapan dinyatakan sebagai

E( X )=∫ ∞−∞

x. f ( x ) dx . . . . . .. . . . . . . .(14)

Dari kedua persamaan di atas maka dapat dipahami bahwa nilai harapan

E(x) merupakan mean aritmatika dari variabel X.

( Walpole, 1995)

Variansi

Rataan atau nilai harapan suatu peubah acak X mempunyai peran khusus

dalam statistika karena menggambarkan letak pusat distribusi peluang. Akan

tetapi, rataan itu sendiri tidaklah memberikan keterangan cukup mengenai

bentuk distribusinya. Keragaman distribusi perlu dicirikan.



Kelompok 34

Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang f(x) dan rataan

µ.Variansi X adalah :

σ2 = E[(X - µ)2] = ∑x

(x−µ )2 f (x) . . . . . . . . . . . . . .(15)

bila X diskret,

σ 2=E [ ( X−µ )2 ]=∫−∞

∞

( x−µ )2 f ( x ) dx . . . . . . . . . . . . .(16)

bila X kontinu.

Akar positif variansi, σ, disebut simpangan baku X.

Rumus σ2 lain, yang sering digunakan dan lebih mudah, adalah:

σ 2=E ( x2 )−µ2 . . . . . . . . . . . . . .(17)

(Walpole, 1995)

Kovariansi

Kovariansi antara dua peubah acak adalah ukuran sifat asosiasi

(hubungan) antara keduanya.

Misalkan X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan

gabungan f(x,y). Kovariansi X dan Y adalah :

σ xy=E [ ( X−µx ) ( Y−µy ) ]=∑x∑

y( x−µx ) ( y−µ y) f (x , y ) . . . . . . . .(18)

bila X dan Y diskret,

σ xy=E [ ( X−µx ) ( Y−µy ) ]=∫−∞

∞

∫−∞

∞

( x−µx) ( y−µ y) f (x , y ) dxdy. . ..(19)

bila X dan Y kontinu.

Rumus lain untuk σ xy yang lebih berguna yaitu :

Kovariansi dua peubah acak X dan Y dengan rataan, masing-masing, µx

dan µydiberikan oleh



Kelompok 34

σ XY=E ( XY )−µx µy . . . . . . . . . . .(20)

(Walpole, 1995)

2.5 TEOREMA CHEBYSEV

Telah kita ketahui bahwa variansi suatu peubah acak memberikan

gambaran mengenai penyebaran pengamatan disekitar nilai tengahnya. Bila

variansi ataupun simpangan baku suatu peubah acak kecil nilainya maka

umumnya pengamatan mengelompokkan dekat disekitar nilai

tengahnya,sebaliknya jika variansi ataupun simpangan bakunya semakin besar

nilainya maka umumnya pengamatan lebih menyebar /jauh dari nilai

tengahnya. Keadaan ini berlaku pada sebaran diskret maupun kontinu.

Perbandingan tersebut dapat digambarkan dengan kurva berikut :

Gambar 2.2 Gambar penyebaran pengamatan peubah acak kontinu disekitar

nilai tengah disini αx<αy

Chebyshev,seorang matematikawan berkebangsan rusia menemukan

bahwa bagian paling luas dua nilai tengahnya berkaitan denagn simpangan

bakunya. Karena luas dibawah sebaran peluang peubah acak sama denagn 1

maka luas antara bilangan sembarang menyatakan peluang peubah acak yang

bersangkutan mendapat nilai antara kedua bilangan tersebut .

Teorema Chebyshev menyatakan bahwa peluang setiap peubah acak X

mendapat nilai k simpangan baku dari nilai rata-rata adalah paling sedikit

(11/k2) yaitu :


y1 y y2μx1 x x2μ

yαxα

YX


Kelompok 34

P(μ – kα <X<μ+kα≥1-1/k2 . . . . . . . . . . . . . .(21)

Teorema tersebut memberikan taksiran yang berhati-hati (konservatif)

tentang peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam jarak kesimpangan

baku dari harga rata-rata.

(Sampurna, 2007)

BAB III

PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA

3.1 PENGUMPULAN DATA

Skenario yang digunakan oleh kelompok 34 adalah skenario 13

3.1.1 Kasus 1

Pengambilan 4 pensil kayu dari sebuah kotak yang berisi 7 pensil kayu

yang diberi label 1 hingga 7. Pensil yang terambil adalah pensil kayu

yang berlabel 5, 2, 6, dan 7. Dimana banyak pilihan yang dilakukan oleh

Rani tersebut dari 4 pensil kayu yang ada dengan memperhatikan

prioritas pemasangan pensil kayu pada alat penguji (permutasi).

3.1.2 Kasus 2

Pengambilan 4 pensil kayu dari sebuah kotak yang berisi 7 pensil kayu

yang diberi label 1 hingga 7. Pensil kayu yang terambil adalah pensil

berlabel 5,2,6,7. Dimana banyak pilihan yang dilakukan oleh Rani

tersebut dari 4 pensil kayu yang ada tanpa memperhatikan prioritas

pemasangan pensil kayu pada alat penguji (kombinasi).

3.1.3 Kasus 3

Terdapat 7 pensil kayu didalam kemasan. Didalam kemasan tersebut

terdapat 3 buah pensil yang tidak dalam keadaan baik.



Kelompok 34

a) Peluang terambilnya pensil yang pertama rusak atau yang rusak

keduanya

b) Kemungkinan terjadi dua pensil cacat terambil berurutan

c) Peluang jika salah satu pensil yang terambil adalah pensil yang

berlabel 2 dan jika diketahui pensil yang terambil lainnya

berlabel 5

3.1.4 Kasus 4

Diketahui bahwa pada 7 buah pensil dalam kemasan terdiri dari 3 pensil

dalam keadaan buruk dan 4 pensil lainnya dalam keadaan baik.

a) Dari kejadian pengambilan tersebut dapat dicari distribusi

peluang pensil yang dalam keadaan baik.

b) Nilai harapan mengambil pensil yang cacat

c) Besar keragaman dari kondisi atau kejadian tersebut

d) Sifat hubungan antara terambilnya pensil-pensil tersebut

e) Dengan distribusi yang belum diketahui hitunglah pula P (0<x<2)

dari nilai rataan 1 dan variansi 0,7 pensil kayu tersebut

3.2 PENGOLAHAN DATA

3.2.1 Kasus 1

Minitab



Kelompok 34

Gambar 3.1 Perhitungan Permutasi dengan Software Minitab 15

SSP

Gambar 3.2 Perhitungan Permutasi dengan Software SSP



Kelompok 34

Excel

Gambar 3.3 Perhitungan Permutasi dengan Excel

Manual

P24 =

4 !(4−2 ) ! =

4 !2 !

= 4.3 .2!

2! = 12

3.2.2 Kasus 2

Minitab



Kelompok 34

Gambar 3.4 Perhitungan Kombinasi dengan Software Minitab 15

SSP

Gambar 3.5 Perhitungan Kombinasi dengan Software SSP

Excel



Kelompok 34

Gambar 3.6 Perhitungan Kombinasi dengan Excel

Manual

C24 =

4 !(4−2 ) !2!

= 5 !

2! .2 ! =

4.3 .2!2 ! .2 !

=122.1

=6

3.2.3 Kasus 3

Tabel 3.1 Ruang Sampel dari Pengambilan 2 Pensil Kayu

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

2.1 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

3.1 3.2 3.4 3.5 3.6 3.7

4.1 4.2 4.3 4.5 4.6 4.7

5.1 5.2 5.3 5.4 5.6 5.7

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.7

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

N= 42 kejadian

a) A= Pensil yang pertama cacat



Kelompok 34

P(A) =P ( A )= kn

= 1242

B= Pensil yang keduanya cacat

P(B) =P (B )= kn

= 6

42

P( A∪B )=P ( A )+P (B )=¿ 1242

+¿ 6

42 =

1842

b) Peluang terambilnya dua pensil cacat berurutan

Minitab

Gambar 3.7 Perhitungan Permutasi dengan Minitab



Kelompok 34

SSP

Gambar 3.8 Perhitungan Permutasi dengan SSP

Excel



Kelompok 34

Gambar 3.9 Perhitungan Permutasi dengan Excel

Manual

P24 =

4 !(4−2 ) ! =

4 !2 !

= 4.3 .2!

2! = 12

c) A = Pensil yang terambil berlabel 2

B = Pensil yang terambil berlabel 5

P ( A|B )= P(B ∩ A )P(B)

=

242642

=26

3.2.4 Kasus 4

a) Distribusi peluang pensil kayu dalam keadaan buruk yang

diambil 2 dari 7 pensil kayu didapatkan 3 pensil dalam keadaan

buruk. Sedangkan pensil yang dalam keadaan baik ada 4 buah

pensil kayu. Misalkan x peubah acak dengan nilai x kemungkinan

banyaknya mata yang cacat, maka x dapat memperoleh setiap

nilai 0,1, dan 2.

f(0) = P (x=0) = (30)(4

2)(72)

= 1× 12

21 =

621



Kelompok 34

f(1) = P (x=1) = (31)(4

1)(72)

= 3× 421

= 1221

f(2) = P (x=2) = (32)(4

0)(72)

= 3× 121

= 3

21

Tabel 3.2 Hasil Distribusi Peluang

x f(x) fk

0 621

621

1 1221

1821

2 321

2121

b) Harapan matematis terambilnya bohlam yang rusakNilai harapan:

μ=Ex=∑x

xf ( x )

¿0. f (0 )+ (1 ) . f (1 )+(2 ) . f (2 )

= 0 ×6

21+1×

1221

+2×3

21

= 1821



Kelompok 34

c) Variansi dalam pengambilan bohlam

σ 2= ∑x=2

2

(x−μ)2 f (x)

= (0−1821

)2

( 621 )+(1−18

21)

2

( 1221 )+(2−18

21)

2

( 321 )

σ=√ 2049

d) Sifat hubungan antara terambilnya pensil-pensil tersebut

σ xy=E ¿

Tabel 3.2 Kovariansi

f (x , y ) x=¿

0

x=¿

1

x=¿

2

y=¿0 - - 621

y=¿1 - 1221

-

y=¿2 321

- -

E ( x , y )=∑x=0

2

∑y=0

2

xy f ( x )

¿ (0 ) (2 ) f (0,2 )+(1 ) (1 ) f (1,1 )+ (2 ) (0 ) f (2,0)



Kelompok 34

¿ (0 ) (2 )( 321 )+(1 ) (1 )( 12

21 )+(2 ) (0 )( 621 )

¿1221

E ( x )=∑x=0

2

(x )(g (x))

¿ (0 ) ( f (0 ) )+(1 ) (f (1 ) )+(2 ) ( f (2 ))

¿ (0 )( 621 )+ (1 )( 12

21 )+ (2 )( 321 )

¿1221

E ( x )=∑x=0

2

( y )(g( y ))

¿ (2 ) (f (0 ) )+ (1 ) ( f (1 ) )+(0 ) ( f (2 ))

¿ (2 )( 621 )+(1 )( 12

21 )+(0 )( 321 )

¿2421

σxy¿ E ( x , y )−E (x ) E ( y )

¿ 1221

−( 1821 )( 24

21 ) ¿ −2049

e) Dengan distribusi yang belum diketahui hitunglah pula P (0<x<2)

dari nilai rataan 1 dan variansi 0,7 pensil kayu tersebut adalah :

P ( μ−kσ<x<μ+kσ )≥ 1− 1

k 2

P ¿



Kelompok 34

BAB V

PENUTUP

5.1 KESIMPULAN

5.2 SARAN


laporan modul 2a

Documents