ma1201 matematika 2a - wordpress.com€¦ · 12.1 fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 turunan...
Post on 20-Nov-2020
18 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2019/2020
20 Maret 2020
Kuliah Hari Ini
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12.5 Turunan berarah dan gradien
12.6 Aturan Rantai
12.7 Bidang singgung dan aproksimasi
12.8 Maksimum dan minimum
12.9 Metode pengali Lagrange
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 2
12.5 TURUNAN BERARAHMA1201 MATEMATIKA 2A
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 3
• Menentukan turunan berarah dari suatufungsi di suatu titik dalam arah tertentu
Laju Perubahan dalamArah Sembarang
Misalkan z = f(x,y). Turunanparsial fx dan fy mengukur lajuperubahan nilai f dalam arahsejajar dengan sumbu-x dansumbu-y.
Bagaimana bila kita bergerakdalam arah lainnya?
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 4
P
x
y
z
Review: Definisi Turunan Parsial
Misalkan p = (x,y), i = (1,0), dan j = (0,1). Makakedua turunan parsial dari z = f(x,y) di p dapatdidefinisikan ulang sebagai
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 5
.)()(
lim)(0 h
pfihpfpf
hx
.)()(
lim)(0 h
pfjhpfpf
hy
Definisi Turunan Berarah
Dengan menggantikan i atau j dengan vektorsatuan u = (u1,u2) sembarang, maka kita dapatmendefinisikan turunan berarah dari z = f(x,y) di p = (x,y) sebagai
Jadi, dan
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 6
.)()(
lim)(0 h
pfuhpfpfD
hu
)()( pfpfD xi ).()( pfpfD yj
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1; misal u = (0.6, 0.8).
Hubungan dengan Gradien
Jika f mempunyai turunan (atau linear secaralokal) di p, maka f mempunyai turunan berarahdi p dalam arah vektor u = (u1,u2) sembarang, dan
Fakta ini dapat dibuktikan sebagai berikut:
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 7
).()()()( 21 pfupfupfupfD yxu
Bukti
Karena f mempunyai turunan di p, maka
dengan Bagi kedua ruas dgn h,
Hitung limitnya untuk h 0, kita peroleh
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 8
),()()()()()( uhuhuhpfpfuhpf
.0)(lim0
uhh
.)()()()(
uuhupfh
pfuhpf
.)()( upfpfDu
Contoh
Turunan parsial dari di (1, 2) adalah
Turunan berarah dari f di (1, 2) dalam arahvektor u = (0.6, 0.8) adalah
yang ternyata lebih besar daripada Dj f(1, 2).3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 9
22),( yxyxf
;22)2,1( )2,1( xfDi
.4.42.32.1)8.0,6.0()4,2()2,1( fDu
.42)2,1( )2,1( yfDj
Laju Perubahan Maksimum
Misal θ adalah sudut antara u dan . Maka
Jadi Du f(p) akan bernilai maksimum bila θ = 0 dan minimum bila θ = π.
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 10
.cos)()()( pfupfupfDu
.)()(
.)()(0
pfpfD
pfpfD
u
u
)( pf
Contoh
Tentukan dalam arah vektor manakah turunanberarah dari di (1,2) mencapai
(a) nilai maksimum;
(b) nilai minimum.
Tentukan laju perubahan maksimum danminimumnya.
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 11
22),( yxyxf
Kurva Ketinggian dan Gradien
Pada kurva ketinggian, nilai f konstan. Jadi, jika kita bergerak dalam arah vektorsinggung u pada kurva tsb, maka lajuperubahan ketinggiannya akan samadengan nol:
Jadi vektor gradien f di p tegak lurus padakurva ketinggian f yang melalui p.
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 12
.0)()( pfupfDu
u
)( pf
Contoh
Misal . Maka turunan berarahdari f di (1, 2) dalam arah vektor u = sama dengan nol:
Ini terjadi karena vektor u merupakan vektorsinggung pada kurva ketinggian f di (1, 2).
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 13
22),( yxyxf
.0)4,2()1,2(5
1)( pfDu
)1,2(5
1
Soal 1
Diketahui f(x,y) = 1 untuk (x,y) dengan 0 < y < x2, dan f(x,y) = 0 untuk (x,y) lainnya. Buktikanbahwa f mempunyai turunan berarah di (0,0) dalam arah sembarang, tetapi f tidak mem-punyai turunan (bahkan tidak kontinu) di (0,0).
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 14
Soal 2
Diketahui
Gambarlah peta kontur dan medan gradien-nya(yang menggambarkan vektor-vektor gradien fdi sejumlah titik) pd sistem koordinat yg sama.
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 15
.),( 22 yxyxf
Soal 3
Diketahui
Gambarlah peta kontur dan medan gradiennya(yang menggambarkan vektor-vektor gradien fdi sejumlah titik) pd sistem koordinat yg sama.
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 16
2 2( , ) .f x y x y
12.6 ATURAN RANTAIMA1201 MATEMATIKA 2A
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 17
• Menggunakan Aturan Rantai untuk me-nentukan turunan fungsi komposisi antarafungsi dua peubah dengan fungsi vektor
• Menentukan turunan dari fungsi satupeubah yang diberikan secara implisit
Aturan Rantai, Versi Pertama
Jika x = x(t) dan y = y(t) mempunyai turunan di tdan z = f(x,y) mempunyai turunan di (x(t),y(t)), maka z = f(x(t),y(t)) mempunyai turunan di tdengan
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 18
.dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
Contoh
Misalkan z = x2y3 dengan x = t2 + 1 dan y = t2 – 1. Maka
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 19
).145)(1(2
)1(6)1()1(4
)1()1(6)1)(1(4
)2(3)2(2
244
24422
2222322
223
tttt
ttttt
tttttt
tyxtxydt
dy
dy
z
dt
dx
dx
z
dt
dz
Soal
Diketahui volume tabung V = πr2h. Misalkanpada saat r = 10 cm dan h = 20 cm, tabung tsbmengembang dengan jari-jarinya bertambah 1 cm per jam dan tingginya bertambah 0.5 cm per jam. Berapakah laju pertambahan volumenya?
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 20
Aturan Rantai, Versi Kedua
Jika x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai turunanparsial di (s,t) dan z = f(x,y) mempunyai turunandi (x(s,t),y(s,t)), maka z = f(x(s,t),y(s,t)) mem-punyai turunan di (s,t) dengan
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 21
.s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
.t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
Contoh
Misalkan z = x2y dengan x = s + t dan y = 1 – st . Maka
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 22
.)()1)((2
)()1(2
2
2
tststts
txxys
y
y
z
s
x
x
z
s
z
.)()1)((2
)()1(2
2
2
tssstts
sxxyt
y
y
z
t
x
x
z
t
z
Turunan Fungsi Implisit (Lagi)
Misalkan F(x,y) = 0 mendefinisikan y secaraimplisit sebagai fungsi dari x. Maka, denganmenurunkan terhadap x, kita peroleh:
Jadi,
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 23
.0
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
./
/
yF
xF
dx
dy
Turunan Fungsi Implisit (Baru)
Misalkan F(x,y,z) = 0 mendefinisikan z secaraimplisit sebagai fungsi dari x dan y. Maka, dgnmenurunkan secara parsial terhadap x dan y, kita peroleh:
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 24
./
/
zF
xF
x
z
./
/
zF
yF
y
z
Contoh/Latihan
1. Diketahui x3 + 2xy – y3 = 0. Tentukan dy/dx.
2. Diketahui 3x2z + y3 – xy2z3 = 0. Tentukandan
3/28/2014 (c) Hendra Gunawan 25
z
x
.
z
y
top related