derivative - arumprimandari.files.wordpress.comย ยท kasar, berbentuk bola dengan radius r. jika...
Post on 07-May-2019
228 Views
Preview:
TRANSCRIPT
DERIVATIVEArum Handini primandari
INTRODUCTION
Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan)
Calculus dikembangkan pada abad ke-17 oleh Isaac Newton dan G. W. Leibniz, dan ilmuwan lainnya; yang pada mulanya berusaha untuk menyelesaikan masalah:
1. Garis singgung (tangent line): mencari garis singgung di titik tertentu pada suatu kurva
2. Luas area: menentukan luas area di bawah suatu kurva
TINGKAT PERUBAHAN (CHANGE OF RATE)
Fungsi linier (garis), antara satu titik dantitik yang lain memiliki tingkat perubahan
yang sama, yaitu sebesar m
Kurva, antara satu titik dan titik yang lain memiliki tingkat perubahan yang
berbeda, yaitu diberikan oleh kemiringandari garis singgung pada P(c,f(c))
CONTOH: TINGKAT PERUBAHAN KURVA
Fungsi daripengaruh
penggangguranterhadap inflasi
BERAPAKAH BESAR TINGKAT PERUBAHAN?
Berapakah besar tingkat perubahan di titik๐(๐, ๐ ๐ )?
Misalkan diketahui titik:
๐(๐ + โ, ๐ ๐ + โ )
Ruas garis PQ disebut garis potong (secant line)
Perhatikan: seiring โ mendekati 0, garispotong PQ semakin mendakati garissinggung di titik P
Sehingga besar tingkat perubahan:
limโโ0
๐๐๐๐ข๐๐โ๐๐ ๐ฆ
๐๐๐๐ข๐๐โ๐๐ ๐ฅ= lim
โโ0
๐ ๐ + โ โ ๐(๐)
โ
DERIVATIVE
Fungsi derivative:
Fungsi derivative ๐(๐ฅ) adalah suatu fungsi ๐โฒ(๐ฅ) yang dirumuskan:
๐โฒ ๐ฅ = limโโ0
๐ ๐ฅ + โ โ ๐(๐ฅ)
โ
Proses dari perhitungannya disebut diferensial (turunan). Dikatakan bahwa ๐(๐ฅ) terdiferensial di ๐ฅ = ๐ jika ๐โฒ(๐ฅ) ada, yaitu jika limit yang mendefinisikan ๐โฒ(๐ฅ) ada di titik ๐ฅ = ๐
CONTOH 1:
Tentukan diferensial dari fungsi ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2
Jawab:
๐โฒ ๐ฅ = limโโ0
๐ ๐ฅ+โ โ๐ ๐ฅ
โ
๐โฒ ๐ฅ = limโโ0
๐ฅ+โ 2โ๐ฅ2
โ= lim
โโ0
(๐ฅ2+2๐ฅโ+โ2)โ๐ฅ2
โ= lim
โโ0
2๐ฅโ+โ2
โ= lim
โโ02๐ฅ + โ = 2๐ฅ
NOTASI LEIBNIZ
Misalkan notasi turunan:
๐โฒ ๐ฅ = limโโ0
ฮ๐ฆ
ฮ๐ฅ= lim
โโ0
๐ ๐ฅ + โ โ ๐(๐ฅ)
โ
dituliskan๐๐ฆ
๐๐ฅ= lim
โโ0
๐ ๐ฅ + โ โ ๐(๐ฅ)
โ= ๐โฒ(๐ฅ)
Order yang lebih tinggi:
2
2
4(4)
4
''d y
f xdx
d yf x
dx
TEKNIK DIFERENSIAL
Diferensial dari suatu konstanta๐
๐๐ฅ๐ = 0
Jika ๐ bilangan riil, maka berlaku๐
๐๐ฅ๐ฅ๐ = ๐๐ฅ๐โ1
Jika ๐ adalah konstan dan ๐(๐ฅ) fungsi terdiferensial, maka: ๐
๐๐ฅ๐๐ ๐ฅ = ๐
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
LATIHAN 1
Tentukan diferensial dari fungsi berikut:
1. ๐ ๐ฅ =1
4๐ฅ8 โ
1
2๐ฅ6 โ ๐ฅ + 2
2. ๐ฆ =1
๐ก+
1
๐ก2โ
1
๐ก
3. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 +1
๐ฅ5
4. ๐ ๐ก = 2 ๐ก3 +4
๐กโ 2
5. ๐ฆ = โ๐ฅ2
16+
2
๐ฅโ ๐ฅ
3
2 +1
3๐ฅ2
6. ๐ฆ =7
๐ฅ1.2+
5
๐ฅโ2.1
7. ๐ฆ =3๐ฅ5 + 2๐ฅ +
4
๐ก
KEGUNAAN DIFERENSIAL
1. Kemiringan Kurva
Kemiringan suatu kurva ๐ฆ = ๐(๐ฅ) di titik ๐ฅ = ๐ adalah ๐ = ๐โฒ(๐)
2. Tingkat perubahan
Tingkat perubahan dari ๐(๐ฅ) terhadap ๐ฅ, ketika ๐ฅ = ๐ adalah ๐โฒ(๐)
MENENTUKAN TINGKAT (RATE) PERUBAHAN
Kegunaan fungsi derivative, salah satunya, adalah menentukan tingkat (rate) perubahan, contohnyapada gerak linier.
Jika posisi obyek yang bergerak pada lintasan linier pada waktu ๐กdiberikan oleh fungsi ๐ (๐ก), maka obyek memiliki:
1) Kecepatan ๐ฃ ๐ก = ๐ โฒ ๐ก =๐๐
๐๐ก
2) Percepatan ๐ ๐ก = ๐ฃโฒ ๐ก =๐๐ฃ
๐๐ก
Obyek bergerak maju ketika ๐ฃ ๐ก > 0, bergerak mundur ketika ๐ฃ ๐ก < 0, dan berhenti (stasioner) ketika ๐ฃ ๐ก = 0
RELATIFITAS DAN PERSENTASE PERUBAHAN
Tingkat perubahan dari kuantitas ๐(๐ฅ) pada saat ๐ฅ diberikan oleh rasio:
Persentase perubahan dari ๐(๐ฅ) pada waktu ๐ฅ adalah:
ฮ =๐โฒ ๐ฅ
๐ ๐ฅ
% ฮ =๐โฒ ๐ฅ
๐ ๐ฅโ 100%
TANDA SIGNIFIKAN PADA DERIVATIVE
Jika fungsi ๐ terdiferensial pada ๐ฅ = ๐, maka:
1. ๐ naik di ๐ฅ = ๐, jika ๐โฒ ๐ > 0
2. ๐ turun di ๐ฅ = ๐, jika ๐โฒ ๐ < 0
Penggunaan aturan ini adalah ketika menentukan titik stasioner dan sketsa kurva.
Titik-titik stasioner ๐ฅ, yaitu memenuhi ๐โฒ ๐ฅ = 0
CONTOH 2:
Tentukan titik stasioner dan sketsa dari ๐ ๐ฅ =๐ฅ3
3+ 2๐ฅ2 โ 21๐ฅ + 3
CONTOH
Posisi suatu benda bergerak linier diberikan oleh fungsi ๐ ๐ก = ๐ก3 โ 6๐ก2 + 9๐ก + 5
a) Tentukan kecepatan obyek tersebut saat ๐ก = 0 dan ๐ก = 4
b) Tentukan total jarak yang ditempuh oleh obyek tersebut antara ๐ก = 0 dan ๐ก = 4
c) Tentukan percepatan obyek antara ๐ก = 0 dan ๐ก = 4
LATIHAN 2
1.
2.
Pertumbuhan Populasi Diperkirakan bahwa x bulan darisekarang, populasi dari kota tertentu akan menjadi
๐ ๐ฅ = 2๐ฅ + 4๐ฅ3
2 + 5,000.a) Sembilan bulan dari sekarang, berapakah kecepatan
pertumbuhan populasi tersebut?b) Berapakah persentase kecepatan pertumbuhan
populasi saat 9 bulan dari sekarang?
Polusi udara Studi lingkungan dari suatu daerahmengemukakan bahwa ๐ก tahun dari sekarang, rata-rata tingkat karbon monoksida di udara akan menjadi๐ ๐ก = 0.05๐ก2 + 0.1๐ก + 3.4 ppm.a) Pada 1 tahun mendatang, berapakah kecepatan
perubahan tingkat karbon monoksida di udara?b) Berapakah kecepatan perubahan tingkat karbon
monoksida tahun ini?
3.
4. Efisiensi Pekerja Studi efisiensi dari shift pagi pada suatuperusahaan mengindikasikan bahwa rata-rata pekerjayang datang pukul 08:00, akan mengumpulkansebanyak ๐ ๐ฅ = โ๐ฅ3 + 6๐ฅ2 + 15๐ฅ unit pekerjaan, ๐ฅjam kemudian. a) Tentukan fungsi kecepatan pekerja dalam
mengumpulkan pekerjaan setelah ๐ฅ jam.b) Pada pukul 09:00, berapakah kecepatan pekerja
mengumpulkan pekerjaannya?c) Sketsakan grafik keefektifan pekerja tersebut.
ATURAN PENJUMLAHAN
The sum rule:๐
๐๐ฅ๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ =
๐
๐๐ฅ๐ ๐ฅ +
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
Then, the difference of derivative: ๐
๐๐ฅ๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ =
๐
๐๐ฅ๐ ๐ฅ โ
๐
๐๐ฅ๐(๐ฅ)
ATURAN PERKALIAN
Aturan perkalian fungsi derivative:
Jika ๐ dan ๐ fungsi yang terdiferensial pada ๐ฅ, maka perkalian kedua fungsi tersebutdidefinisikan:
๐ โ ๐ โฒ ๐ฅ = ๐โฒ ๐ฅ ๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ ๐โฒ(๐ฅ)
ATURAN PEMBAGIAN
Aturan perkalian fungsi derivative:
Jika ๐ dan ๐ fungsi yang terdiferensial pada ๐ฅ dan ๐(๐ฅ) โ 0, maka pembagian keduafungsi tersebut didefinisikan:
๐
๐
โฒ๐ฅ =
๐โฒ ๐ฅ ๐ ๐ฅ โ๐ ๐ฅ ๐โฒ ๐ฅ
๐ ๐ฅ 2
ATURAN RANTAI
LATIHAN 3
1) ๐น ๐ฅ =๐ฅ2โ1
2๐ฅ+3
2) ๐บ ๐ฅ = (๐ฅ3 โ 2๐ฅ)(2๐ฅ + 5)
3) Diketahui fungsi ๐บ ๐ฅ = (9๐ฅ8 โ 8๐ฅ9) ๐ฅ +1
๐ฅ:
a) Tentukan ๐บโฒ(๐ฅ)
b) Tentukan ๐บโฒ(โ1)
4) ๐น ๐ฅ =1
๐ฅ5โ2๐ฅ+1 2
5) Tentukan nilai ๐บโฒ(2) dari ๐บ ๐ =3
5๐ 2+2
DIFERENSIALFUNGSI IMPLISIT
LATIHAN 4
1. ๐ฅ3 + ๐ฆ3 = ๐ฅ๐ฆ
2. 5๐ฅ โ ๐ฅ2๐ฆ3 = 2y
3. ๐ฆ2 + 3๐ฅ๐ฆ โ 4๐ฅ2 = 9
4. ๐ฅ + ๐ฆ = 1
Tentukan persamaan garis singgung kurva pada titik yang sudah diberikan:
5. ๐ฅ2 = ๐ฆ3 di (8, 4)
6. ๐ฅ2 โ ๐ฆ3 = 2๐ฅ di (1, โ1)
7. Pertumbuhan tumor suatu tumor dimodelkan, secarakasar, berbentuk bola dengan radius R. Jika radius tumor saat ini ๐ = 0.54 cm dan mempunyaikecepatan tumbuh 0.13 cm per bulan. Berapakankecepatan perubahan volume dari tumor, diketahui:
๐ =4
3๐๐ 3
APLIKASI DERIVATIVE
LATIHAN
Tentukan interval naik dan turun dari kurva berikut
1. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2 โ 4๐ฅ + 5
2. ๐(๐ก) = ๐ก3 + 3๐ก2 + 1
3. ๐ ๐ฅ = 3๐ฅ5 โ 5๐ฅ3
4.
THE MEAN-VALUE THEORM
Jika ๐ adalah fungsi terdiferensial pada selang terbuka (๐, ๐) dan kontinu di selangtertutup [๐, ๐], maka terdapat paling tidak satu bilangan ๐ di (๐, ๐) sedemikiansehingga:
๐โฒ ๐ =๐ ๐ โ๐ ๐
๐โ๐
KETERANGAN
Perhatikan gambar:Nilai dari
๐ ๐ โ๐ ๐
๐โ๐adalah kemiringan dari suatu garis, โ,
yang melalui titik (๐, ๐ ๐ ) dan (๐, ๐ ๐ ).
Teorema mean-value dengan kata lain berkata bahwagrafik ๐ mempunyai paling tidak satu titik (๐, ๐ ๐ )dimana garis singgungnya sejajar dengan garis โ.
ROLLE THEORM
Andaikan bahwa ๐ adalah fungsi yang terdiferensial pada selang terbuka (๐, ๐) dankontinu pada selang tertutup ๐, ๐ . Jika ๐(๐) dan ๐(๐) keduanya bernilai 0, makaterdapat paling tidak satu bilangan ๐ sedemikian hingga:
๐โฒ ๐ = 0
LATIHAN
Tunjukkan bahwa ๐ memenuhi kondisi dari teorema Rolle di interval yang diberikan. Tentukan bilangan ๐ di dalam interval sedemikian sehingga ๐โฒ ๐ = 0
1. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ3 โ ๐ฅ; [0,1]
2. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ4 โ 2๐ฅ2 โ 8; [โ2,2]
Tunjukkan bahwa ๐ memenuhi kondisi teorema mean-value pada interval yang diberikan. Tentukan nilai ๐ yang memenuhi konklusi dari teorema.
3. ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2; [1,2]
4. ๐ ๐ฅ = 3 ๐ฅ โ 4๐ฅ; [1,4]
top related