6 bab ii a. sistem koordinat sistem koordinat ini ...repository.ump.ac.id/3350/3/tuti sundari bab...

6

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Sistem Koordinat

1. Sistem Koordinat dalam Dimensi Dua

a. Sistem Koordinat Kartesius

Sistem koordinat ini mempunyai sepasang sumbu yang

berpotongan tegak lurus. Sumbu yang mendatar adalah sumbu x dan

disebut absis. Sedangkan sumbu yang tegak adalah sumbu y dan disebut

ordinat. Kedua sumbu berpotongan pada sebuah titik yang disebut titik

pangkal.

Sumbu x dan sumbu y membagi bidang datar menjadi 4 bagian

atau daerah yang dinamakan kuadran, yaitu :

Kuadran I : di atas sumbu x dan di sebelah kanan sumbu y.

Kuadran II : di atas sumbu x dan di sebelah kiri sumbu y.

Kuadran III : di bawah sumbu x dan di sebelah kiri sumbu y.

Kuadran IV : di bawah sumbu x dan di sebelah kanan sumbu y.

Gambar 2.1 : Sistem Koordinat Kartesius

y

x

0

6

Aplikasi Sistem Koordinat..., Tuti Sundari, FKIP UMP, 2011

7

Untuk lebih jelasnya bisa diamati pada gambar 2.2 di bawah ini.

Dengan demikian setiap titik dalam bidang ditentukan oleh

sepasang bilangan, yang pertama menunjukkan absis dan yang kedua

menunjukkan ordinat. Notasi titik biasanya ditulis dengan huruf kapital.

Misal sebuah titik P yang berabsis xo dan berordinat yo ditulis P(xo, yo),

yang dapat digambarkan sebagai berikut :

b. Sistem Koordinat Kutub

Dalam koordinat kutub, sebuah titik ditentukan oleh sebuah

jarak dan sebuah sudut. Lebih jelasnya pada gambar 2.4 berikut,

y

x

Kuadran IVKuadran III

Kuadran II Kuadran I

Gambar 2.2 : Kedudukan Kuadran

y

x

yo

xo

P (xo, yo)

Gambar 2.3 : Letak Suatu Titik

A (r, θ)

θr

O

Gambar 2.4 : Sistem Koordinat Kutub

x


8

Keterangan :r : panjang ruas garis OA. |r| ≥ 0.θ : sudut yang dibentuk oleh garis OA terhadap sumbu dengan

0° ≤ α < 180°.O : titik kutub atau titik asal.Ox : poros atau sumbu kutub.

(Kusdiono, 1995:105)

c. Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat kutub

Misalkan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x posisi sistem

koordinat kartesius. Koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat

kartesius (x, y) titik itu dihubungkan oleh persamaan:

x = r cos θ, y = r sin θ

r2 = x2 + y2 tan θ =x

y

Persamaan di atas diperoleh dari gambar 2.5 berikut,

d. Konsep Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak

sama terhadap sebuah titik tertentu (Siswanto, 2005: 161). Jarak yang

sama disebut dengan jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut dengan

Gambar 2.5 : Hubungan KoordinatKartesius dengan Koordinat Kutub

θO x

P

r

y

x


9

pusat lingkaran. Pada Gambar 2.6 ditampilkan tempat kedudukan titik-

titik P, Q, R dan S yang membentuk lingkaran. Jari-jari lingkaran

dinyatakan dengan r dan pusat lingkaran dinyatakan dengan titik O.

Selain jari-jari dan pusat lingkaran juga terdapat sudut. Sudut

tersebut dapat diukur dengan satuan derajat dan radian.

1) Satuan Derajat

Derajat disebut juga satuan sudut sexagesimal, yaitu

keliling lingkaran dibagi dengan 360 bagian yang sama. Tiap

bagian disebut 1 derajat. Dengan demikian satu putaran penuh

yaitu 360 derajat. Simbol yang menyatakan derajat adalah ”...° ”

1 putaran penuh = keliling lingkaran = 360°

2

1putaran penuh =

2

1keliling lingkaran = 180°

Setiap derajat dibagi dalam 60 menit dan setiap menit

dibagi lagi dalam 60 detik. Simbol menit adalah ” ... ' ” dan simbol

detik ” ... " ”.

Q

S

P

rr

r

rO

Gambar 2.6 : Lingkaran yang Berpusat diO dengan Jari – Jari r

R


10

Contoh dalam penulisannya,

15 menit ditulis : 15'

20 detik ditulis : 20"

1° = 60' = 3600"

(Negoro, 1982:492)

2) Satuan Radian

Perhatikan gambar berikut ini,

Nilai perbandingan dari Gambar 2.7 adalah sebagai berikut:

OF

EFbusurpanjang

OCjarijari

CDbusurpanjang

OAjarijari

ABbusurpanjang

Nilai perbandingan tersebut merupakan satuan radian sudut AOB

atau sudut COD atau sudut EOF.

Jadi, ukuran radian =ri-jaripanjang ja

surpanjang bu

•O ECA

FD

B

Gambar 2.7 : Tiga Lingkaran yangKosentrasi di Titik O


11

Dari gambar 2.8 (i) menunjukkan besar sudut 1 radian, yaitu sudut

pusat juring di hadapan busur yang panjangnya 1 r.

Besar POQ = 1 rad.

Gambar 2.8 (ii) panjang busur PQR = 2 r, maka

besar POR = 2 rad.

Gambar 2.8 (iii) besar POS = 3 rad.

Dari contoh diatas dapat dinyatakan bahwa:

1 radian =r

rsurpanjang bu

1

1

2 radian =r

rsurpanjang bu

1

2

3 radian =r

rsurpanjang bu

1

3

3) Hubungan antara Radian dengan Derajat

Telah diketahui bahwa panjang busur 1 r pada keliling

lingkaran membentuk sudut 1 radian di pusat lingkaran. Keliling

lingkaran 2 r, berarti keliling lingkaran (2r) membentuk sudut

•

r

r r

r

O

P Q

1 rad

•rr

r

r

O

P

Q

1 rad 1 radR

r

•r r

r

r

OP

Q

1 rad1 rad

Rr

S

r

1 rad

( i ) ( ii ) ( iii )

Gambar 2.8 : Tiga Lingkaran denganRadian yang Berbeda - beda


12

2 radian di pusat lingkaran. Sedangkan sudut pusat lingkaran

360°, maka hubungan antara radian dan derajat adalah :

2 rad = 360°

rad = 180°

Dari rad = 180°, didapat:

1 rad =

29577951,5714,3

180180

57° 17' 45"

Dari 180° = rad, didapat:

1° = radradrad 017,0180

14,3

180

Jadi, rad = 180°

1 rad 57, 29577951° 57° 17' 45"

1° = 0,017 rad

e. Luasan dan Pusat pada Bidang-Bidang Datar Sederhana

Dalam hal ini titik berat adalah pusat luasan. Di bawah ini cara

menentukan pusat luasan dari beberapa bangun datar

1) Bangun Persegi

Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk

oleh empat buah rusuk yang sama panjang dan memiliki empat

sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku (Anonim, 2010).

Letak titik berat persegi adalah pada titik potong antara kedua

diagonalnya (Kanginan, 2005:136), yang dapat digambarkan

sebagai berikut:


13

Titik pusat P(xp,yp)

xp = P′ =2

1OA =

2

1BC

yp = P″ =2

1OC =

2

1AB

Dengan OA = AB = BC = OC dan luas persegi OABC sama dengan

(OA)2 = (AB)2 = (BC)2 = (OC)2

2) Bangun Persegi Panjang

Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang

dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang

dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut

yang kesemuanya adalah sudut siku-siku (Anonim, 2009). Letak

titik berat persegi panjang adalah pada titik potong antara kedua

diagonalnya (Kanginan, 2005 : 135), yang dapat digambar sebagai

berikut :

C B

Gambar 2.9 : Titik Berat Persegi

PP”

P’ AOxp

yp

Gambar 2.10 : Titik Berat Persegi Panjang

xp

yp

P

BC

AO

P″

P′


14

OA // CB dan OC // AB

AB ┴ OA dan OC ┴ CB

Titik pusat P(xp,yp)

Jarak OP′= xp =2

1OA =

2

1BC

Jarak OP″= yp =2

1OC =

2

1AB

Luas bangun OABC = OA x AB

3) Bangun Segitiga Sama Sisi

Bangun segitiga sama sisi yaitu segitiga yang ketiga sisinya

sama panjang dan sudutnya sama besar yaitu 60º (Anonim, 2010).

Letak titik berat adalah perpotongan garis berat, yang dapat

digambarkan sebagai berikut,

Segitiga OAB sama sisi,

OA = AB = OB

Sudut AOB = sudut OBA = sudut BAO = 60º

Pusat segitiga P (xp, yp)

Jarak xp =2

1OA

Gambar 2.11 : Titik Berat Segitiga Sama Sisi

x

xp

P

B

AO B′

yp

y


15

Jarak yp =3

1BB′ =

3

1(OA) sin 60º

Luas segitiga OAB =2

tinggixalas=

2

1(OA)2 sin 60º

4) Bangun Segitiga Tidak Beraturan

Segitiga sembarang atau segitiga tidak beraturan adalah

segitiga yang panjang ketiga sisinya berbeda dan besar masing –

masing sudutnya berbeda (Anonim, 2010). Letak titik berat adalah

pada perpotongan garis berat, dan untuk tinggi segitiga = BB´ = h,

maka tinggi titik berat (yp) adalah3

1h (Kanginan, 2005 : 136).

Segitiga OAB tidak beraturan,

Panjang OP′ = xp

Panjang OP″ = yp

B’ proyeksi titik B pada sumbu x

BB” tinggi segitiga OAB

Luas segitiga OAB =2

1alas x tinggi =

2

1 x OA x BB’

xp

O

B

Pyp

P″

y

h

┘┘B′ AP′

x

Gambar 2.12 : Titik Berat Segitiga Tidak Beraturan


16

5) Pusat Luasan Bidang Tidak Beraturan

Bangun sebarang dapat diurai dalam luas-luasan kecil,

misalkan A1, A2,…,An. Masing-masing dengan pusat C1(x1,y1),

C2(x2,y2), …, Cn (xn,yn).

Maka pusat luasan dapat dirumuskan,

n

nnP A...AA

xA...xAxAx

21

2211 =

n

ii

n

iii

A

xA

1

1

n

nnP A...AA

yA...yAyAy

21

2211 =

n

ii

n

iii

A

yA

1

1

(Kanginan, 2005:135)

2. Sistem Koordinat Dalam Dimensi Tiga

a. Sistem Koordinat Kartesius

Koordinat kartesius di ruang dimensi tiga mempunyai tiga

sumbu yang masing-masing saling tegak lurus (Isnaini, 1985:178).

Ketiga sumbu tersebut antara lain :

x1 x2 xn

A1

yn

y1

y2

A2

An

Gambar 2.13 : Pusat Luasan Bangun Sembarang

A2


17

1) sumbu x yang biasa disebut absis,

2) sumbu y yang biasa disebut dengan ordinat,

3) sumbu z yang biasa disebut dengan aplikat.

Ketiga sumbu tersebut bersama-sama membentuk sistem

koordinat yang orthogonal xyz. Sumbu-sumbu tersebut terbagi atas

sumbu x positif dan negatif. Sumbu y positif dan negatif. Sumbu z

positif dan negatif. Sedangkan titik potong ketiga sumbu tersebut

dinamakan titik nol, ditulis dengan 0, atau biasa disebut titik awal

sistem koordinat. Lebih jelasnya pada gambar 2.14 berikut ini,

Dalam sistem koordinat kartesius di ruang dimensi tiga, titik P

dinyatakan oleh rangkap tiga terurut (x, y, z), seperti Gambar 2.15 di

bawah ini :

x +

Gambar 2.14 : Kedudukan KoordinatKartesius

x -

y +

z +

z -

y -0

z P (x, y, z)

y

x

Gambar 2.15 : Koordinat Kartesius Sebuah Titik


18

Sistem koordinat akan membagi ruang dalam 8 bagian atau

disebut oktan, hingga titik P (x, y, z) dapat berada pada salah satu

bagian ruang tersebut (Isnaini, 1985 : 179). Kedelapan bagian ruang

tersebut yaitu :

Oktan I : x, y, z positif

Oktan II : x negatif, y dan z positif

Oktan III : x dan y negatif, z positif

Oktan IV : y negatif, x dan z positif

Oktan V : x dan y positif, z negatif

Oktan VI : x dan z negatif, y positif

Oktan VII : x, y, z negatif

Oktan VIII : y dan z negatif, x positif

b. Sistem Koordinat Bola

Koordinat bola adalah perumusan koordinat kutub ke ruang

berdimensi tiga (Nababan, 1991:268). Sistem koordinat bola berguna

untuk masalah-masalah geometri dan fisika tertentu yang melibatkan

suatu pusat simetri.

Di dalam koordinat bola terdapat suatu bidang kutub dan suatu

sumbu z yang tegak lurus pada bidang kutub tersebut, dengan titik asal

sumbu z berimpit dengan titik kutub dari bidang kutub tersebut. Suatu

titik tertentu dalam koordinat bola dinyatakan oleh rangkap tiga terurut

(ρ, θ, ), dimana ρ = |OP| adalah jarak dari titik asal ke P, θ adalah

ukuran sudut kutub dari proyeksi P pada bidang kutub, dan adalah


19

sudut antara sumbu z positif dan ruas garis OP. Titik asal mempunyai

representasi koordinat bola (ρ, θ, ), dimana θ dan dapat mengambil

sebarang nilai. Jika titik P(ρ, θ, ), bukan titik asal, maka ρ > 0 dan

0 π; = 0. Jika P pada bagian positif sumbu z dan = π , jika

titik P pada bagian negatif sumbu z. Lebih jelasnya dapat diamati pada

gambar 2.16 berikut,

(Nababan, 1991 : 270)

Manfaat utama sistem koordinat bola dalam soal-soal yang

memuat suatu simetri terhadap sebuah titik dan titik asal ditempatkan

pada titik ini. Contohnya, bola yang berpusat di titik asal dan berjari-jari

c mempunyai persamaan yang sederhana ρ = c. Grafik persamaan θ = c

adalah setengah bidang vertikal. Persamaan = c menyatakan setengah

kerucut dengan sumbu z sebagai sumbunya.

(Stewart, 2003:272-273)

θ

P (ρ, θ, )

x

y

ρ

z

O

Gambar 2.16 : Sistem Koordinat Bola


20

c. Tinggi Rata – Rata Luasan

Dalam penentuan rumus untuk mencari tinggi rata – rata analog

dengan penentuan pusat pada suatu bangun sembarang. Maka tinggi

rata-rata (hrr) dirumuskan sebagai berikut,

n

nnn

ii

n

iii

rr A...AA

hA...hAhA

A

hAh

21

2211

1

1

3. Transformasi Koordinat

Gambar 20 : tinggi rata – rata wilayah

(A2, h2)

(An, hn)

(A1, h1)

y

z

x Q(r, θ,0)

rθ

P(x,y,z)(ρ, θ, )

x

y

z

Oρ

Gambar 2.18 : Hubungan Sistem Koordinat Bola dengan Kartesius

Gambar 2.17 : Tinggi Rata – Rata Luasan

(A2, h2)

(An, hn)

(A1, h1)


21

Dengan menempatkan suatu sistem koordinat bola dan suatu sistem

koordinat kartesius bersama-sama seperti terlihat dalam gambar 2.18 di

atas, diperoleh hubungan antara koordinat bola dan koordinat kartesius

sebagai berikut,

x = OQ cos θ ; y = OQ sin θ ; z = QP

Karena OQ = ρ sin dan QP = ρ cos ,

persamaan ini menjadi : x = ρ sin cos θ

y = ρ sin sin θ

z = ρ cos

Dengan mengkuadratkan setiap persamaan dan menjumlahkannya

diperoleh

x2 + y2 + z2 = ρ2 sin2 cos2 θ + ρ2 sin2 sin2 θ + ρ2 cos2

x2 + y2 + z2 = ρ2 sin2 (cos2 θ + sin2 θ) + ρ2 cos2

x2 + y2 + z2 = ρ2 (sin2 + cos2 )

x2 + y2 + z2 = ρ2 (Nababan, 1991 : 272)

B. Bola Bumi

1. Fisik bumi

Dalam bidang pengukuran dan pemetaan bumi, dikenal bidang

geoid yang merupakan bentuk bumi dalam pengertian fisik. Geoid adalah

bidang nivo (level surface) atau bidang ekuipotensial gaya berat yang

terletak pada ketinggian muka air rata-rata. Arah gaya berat di setiap titik


22

pada geoid adalah tegak lurus. Karena arah-arah gaya berat menuju pusat

bumi, bidang geoid merupakan permukaan tertutup yang melingkupi bumi

dan bentuknya tidak teratur. Secara teoritis, permukaan geoid pada

umumnya tidak berhimpit dengan muka air laut rata-rata, karena

penyimpangannya relatif kecil, maka secara praktis, geoid berhimpit

dengan muka air laut rata-rata.

(Handoko, 2004:6)

2. Bumi sebagai bola

a. Posisi tempat di muka bumi

Posisi tempat di muka bumi biasanya dinyatakan dalam satuan

astronomi yaitu derajat, menit, dan detik. Hubungan koordinat geografi

dan jarak di bumi ditentukan oleh lokasinya di permukaan bumi.

Disepanjang ekuator dan meridian, 1o adalah 111,11 km, diasumsikan

bahwa keliling bumi adalah 40.000 km (Kraak, 2007:71).

Bentuk bumi adalah bulat ibarat seperti bola oleh karena itu

bumi sering disebut dengan bola bumi. Pada bola langit, bumi adalah

sebagai titik pusatnya. Diameter rata-rata dari bulatan bumi adalah

12.742 km sehingga jari-jari rata-ratanya 6371 km (Anonim, 2010).

Diameter ini adalah sebagai khatulistiwa bumi. Beberapa istilah yang

terdapat pada bola bumi untuk mengetahui letak suatu titik di

permukaan bumi :


23

1) Lingkaran ekuator

Lingkaran ekuator yaitu lingkaran yang membagi dua sama

besar bola bumi menjadi bagian utara dan selatan.

2) Lingkaran lintang

Lingkaran lintang yaitu lingkaran-lingkaran yang sejajar

dengan lingkaran ekuator.

3) Lintang tempat

Lintang tempat yaitu jarak antara suatu tempat ke ekuator.

Lintang biasanya dinotasikan dengan abjad Yunani (phi). Bagi

Gambar 2.19 : Lingkaran Ekuator

S

B T

U

Lingkaran Ekuator

U

S

B TLingkaran Ekuator

Gambar 2.20 : LingkaranLintang


24

tempat-tempat di sebelah utara ekuator, lintang tempat dihitung

positif. Sedangkan bagi tempat-tempat yang berada di sebelah

selatan ekuator dihitung negatif. Tempat-tempat yang terlalui

ekuator, lintang tempatnya nol. Nilai maksimum koordinat lintang

tempat adalah 90° yaitu terletak di kutub-kutub bumi. Lintang

tempat titik Kutub Utara yaitu 90°, sedangkan Kutub Selatan yaitu

-90°. Garis lintang di sebelah utara lingkaran ekuator disebut

Lintang Utara (LU) dan garis lintang di sebelah selatan lingkaran

ekuator disebut Lintang Selatan (LS).

4) Lingkaran bujur

Lingkaran bujur yaitu lingkaran-lingkaran besar yang melalui

titik-titik kutub dan memotong ekuator tegak lurus. Lingkaran bujur

yang melalui Greenwich Inggris disebut bujur nol sebagai standar

untuk menentukan waktu di seluruh dunia. Waktu Greenwich

dikenal dengan singkatan GMT atau Greenwich Mean Time. Selisih

waktu antara setiap 15° garis bujur adalah satu jam. Sehingga selisih

waktu setiap,

1° =15

1x 60 menit = 4 menit

U

S

B TLingkaranEkuator

kuator

●Greenwich

Gambar 2.21: Lingkaran Bujur


25

5) Bujur Tempat

Bujur tempat yaitu jarak suatu tempat ke lingkaran bujur

yang melalui kota Greenwich. Bujur biasanya dinotasikan dengan

abjad Yunani lamda (λ). Bujur tempat menggambarkan lokasi sebuah

tempat di timur atau barat bumi dari sebuah garis utara-selatan yang

disebut Meridian Utama. Tempat-tempat yang berada di sebelah

barat Greenwich, bujur tempatnya disebut Bujur Barat (BB)

sedangkan bagi tempat-tempat yang berada di sebelah timur

Greenwich, bujur tempatnya disebut Bujur Timur (BT). Istilah Bujur

Barat dan Bujur Timur tidak dijumpai dalam bahasa Inggris, istilah

tersebut hanya ditemui dalam bahasa Indonesia.

6) Ketinggian Tempat

Ketinggian adalah elevasi suatu objek dari suatu tingkat yang

diketahui atau datum. Datum yang biasa digunakan adalah

permukaan laut. Di Amerika Serikat dan Britania Raya, ketinggian

biasa diukur dalam satuan kaki, sedangkan di seluruh bagian dunia

lain, ketinggian diukur dengan satuan meter. Diketahui bahwa 1 kaki

sama dengan 12 inci dan 1 inci sama dengan 2,54 cm. Titik tertinggi

di permukaan bumi adalah gunung Everest setinggi 8.848 meter.

(Anonim, 2010)

Ketinggian suatu tempat sangat mempengaruhi suhu.

Semakin tinggi tempat dari permukaan laut, suhu udara semakin


26

rendah. Pada umumnya suhu udara turun 0,6° C setiap naik 100

meter dari permukaan laut.

(Hadisumarno, 1987:44)

b. Peta

Secara etimologis, peta (Map) berasal dari bahasa Yunani

mappa yang berarti tutup meja (table cloth). Peta dipandang sebagai

penutup permukaan bumi, baik sebagian bumi yang terdiri dari berbagai

kenampakan geografi di atasnya.

Secara istilah peta adalah bola bumi yang dipaksa menjadi

dataran atau representasi dua dimensi dari suatu ruang tiga dimensi

(Anonim, 2010). Dengan kata lain, peta adalah gambaran permukaan

bumi di atas bidang datar dalam ukuran diperkecil yang kebenarannya

dapat dipertanggungjawabkan secara visual atau matematis yang

menyajikan informasi tentang bumi (Mahyu, 2010).

Gambar pembuatan peta dari bentuk bola (globe) ke bidang

datar atau peta (Sutama, 14).

Syarat-syarat peta: peta harus rapi dan bersih, peta tidak boleh

membingungkan, peta harus mudah dipahami, peta harus memberikan

Gambar 2.22 : Pembuatan Peta dari Bentuk Bola ke Bidang Datar


27

gambaran yang sebenarnya (Anonim, 2010). Fungsi peta antara lain:

menyeleksi data, memperlihatkan ukuran, menunjukkan lokasi relatif,

memperlihatkan bentuk (Anonim, 2010).

Di Indonesia lembaga yang berwenang membuat peta dasar

Indonesia yaitu BAKOSURTANAL (Badan Koordinasi Survei dan

Pemetaan Nasional). Menggunakan datum geodetik nasional Indonesia

dalam membuat peta rupa bumi Indonesia.

c. Skala

Skala peta adalah merupakan perbandingan jarak antara dua titik

di peta dengan jarak yang bersangkutan di permukaan bumi (jarak

mendatar) (Handoko, 2004:7). Dengan kata lain, skala adalah angka

yang menunjukkan perbandingan jarak sebenarnya dengan jarak pada

peta (Anonim, 2002). Secara matematika dapat ditulis:

Skala =m petajarak dala

narnyajarak sebe

Cara menentukan skala pada peta yang belum berskala :

1) Membandingkan dua jarak tempat di peta dengan jarak kedua

tempat di lapangan.

2) Membandingkan dengan peta lain yang luasnya sama dan telah

diketahui skalanya.

3) Membandingkan kenampakan-kenampakan dalam peta yang sudah

pasti ukurannya.

(Anonim, 2003)


28

Terdapat beberapa cara untuk menyatakan skala peta, beberapa

cara yang umum tersebut antara lain :

1) Dengan menuliskan hubungan antara jarak di peta dengan jarak di

muka bumi dalam bentuk persamaan.

Misalnya 1 cm = 100 m, hal ini berarti bahwa 1 cm di peta sesuai

dengan 100 m di lapangan atau di permukaan bumi (jarak mendatar).

Tipe skala ini disebut skala teknis (Engineer’s Scale).

2) Dengan menuliskan angka perbandingan.

Misalnya 1 : 5000, hal ini mempunyai arti jika 1 cm di peta akan

sama dengan 5000 cm di lapangan. Tipe skala ini disebut skala

numeris (Numerical Scale).

3) Dengan menuliskan skala grafis.

Suatu garis lurus dibagi ke dalam bagian-bagian yang sama,

misalnya tiap bagian panjangnya 1 cm. Pada setiap ujung bagian

garis dituliskan angka jarak yang sebenarnya, misal 1 km.

Ini berarti bahwa 1 cm di peta sesuai dengan 1 km dilapangan. Tipe

skala ini di sebut skala grafis (Graphical Scale).

Pada hakekatnya besar kecilnya skala suatu peta akan

mencerminkan ketelitian serta banyaknya informasi yang disajikan.

Misalnya kita mengukur jarak antara dua titik pada peta skala 1:5000

dan 1:20.000, kesalahannya 0,1 mm. Hal ini berarti, pada peta skala

Gambar 2.23 : Skala Grafis


29

1:5000 memberikan kesalahan sebesar 0,1 x 5000 mm = 500 mm

= 0,5 meter sedangkan pada skala 1:20.000 memberikan kesalahan

jarak 0,1 x 20.000 = 2 meter. Sedangkan informasi yang diberikan peta

skala besar akan menginformasikan secara lebih lengkap dan mendetail

dibandingkan dengan peta skala kecil.

(Handoko, 2004:7 ; 8)

3. Kabupaten Banyumas

Wilayah Kabupaten Banyumas terletak di sebelah barat daya dan

merupakan bagian dari Propinsi Jawa Tengah. Terletak di antara garis

bujur timur 108˚39΄17˝ sampai 109˚27΄15˝ dan di antara garis lintang

selatan 7˚15΄05˝ sampai 7˚37΄10˝ yang berarti berada di belahan selatan

garis khatulistiwa. Batas-batas Kabupaten Banyumas adalah :

a Sebelah Utara : Gunung Slamet, Kabupaten Tegal dan Kabupaten

Pemalang.

b Sebelah Selatan : Kabupaten Cilacap

c Sebelah Barat : Kabupaten Cilacap dan Kabupaten Brebes

d Sebelah Timur : Kabupaten Purbalingga, Kabupaten Kebumen dan

Kabupaten Banjarnegara

Luas wilayah Kabupaten Banyumas sekitar 1.327,60 km2 atau

setara dengan 132.759,56 ha, dengan keadaan wilayah antara daratan dan

pegunungan dengan struktur pegunungan terdiri dari sebagian lembah

Sungai Serayu untuk tanah pertanian, sebagian dataran tinggi untuk


30

pemukiman dan pekarangan, dan sebagian pegunungan untuk perkebunan

dan hutan tropis terletak di lereng Gunung Slamet sebelah selatan. Bumi

dan kekayaan Kabupaten Banyumas masih tergolong potensial karena

terdapat pegunungan Slamet dengan ketinggian puncak dari permukaan air

laut sekitar 3.400 m dan masih aktif. Keadaan cuaca dan iklim di

Kabupaten Banyumas karena tergolong di belahan selatan khatulistiwa

masih memiliki iklim tropis basah. Demikian Juga karena terletak di antara

lereng pegunungan jauh dari garis pantai atau lautan maka pengaruh angin

laut tidak begitu tampak, namun dengan adanya dataran rendah yang

seimbang dengan pantai selatan angin hampir nampak bersimpangan

antara pegunungan dengan lembah dengan tekanan rata-rata antara 1.001

mbs, dengan suhu udara berkisar antara 21,4˚C - 30,9˚C.

(Anonim, 2010)

C. Pusat Wilayah dan Tinggi Rata – Rata

1. Pusat Pemerintahan dan Pusat Wilayah

Pusat pemerintahan merupakan kompleks perkantoran pemerintah

yang dilengkapi dengan hunian terbatas untuk rumah-rumah dinas pejabat

(Sarwono, 2008). Contohnya Jakarta sebagai pusat pemerintahan

Indonesia, kantor bupati sebagai pusat pemerintahan daerah dan kantor

kecamatan sebagai pusat pemerintahan kecamatan. Sedangkan, pusat

wilayah merupakan koordinat rata-rata di titik wilayah tertentu.


31

2. Penentuan Lintang dan Bujur Standar Berdasarkan Hasil

Pengukuran Badan Hisab dan Rukyat

a. Hasil Pengukuran Badan Hisab dan Rukyat

Adapun data lintang dan bujur 6 tempat hasil penelitian Badan

Hisab dan Ruhyat adalah sebagai berikut:

1) Desa Cingebul Rt/ Rw : 03/ 01, Kecamatan Lumbir

Desa tersebut merupakan batas paling barat Kabupaten Banyumas.

Desa tersebut berada pada posisi:

p (lintang pusat) = 108º 53´ 29,1˝

λ p (bujur pusat) = -7º 27´ 20,9˝

h p (tinggi pusat) = 48 m

2) Desa Losari, Kecamatan Rawalo

Desa tersebut berada pada posisi

p = 109º 08´ 46,8˝

λp = -7º 34´ 43,9˝

hp = 28 m

3) Desa Kemutug Lor Rt/ Rw : 05/ 04 Kecamatan Baturraden

Desa tersebut merupakan batas paling utara Kabupaten Banyumas.


p = 109º 13´ 52,2˝

λp = -7º 18´ 47,7˝

hp = 660 m


32

4) Masjid Agung Baitussalam Alun – Alun Purwokerto

p =109º 13´ 41,8˝

λp = -7º 25´ 29,2˝

hp = 95 m

5) Grumbul Kedung Sampang desa Nusadadi Rt/ Rw : 03/ 01

Kecamatan Sumpiuh

Desa tersebut merupakan batas paling selatan Kabupaten

Banyumas. Desa tersebut berada pada posisi:

p = 109º 23´ 06,1˝

λp = -7º 39´ 31,3˝

hp = 46 m

6) Desa Buniayu, Kecamatan Tambak

Desa tersebut merupakan batas paling timur Kabupaten Banyumas.


p = 109º 26´ 42,4˝

λp = -7º 37´ 15,4˝

hp = 46 m

b. Penentuan Lintang dan Bujur Standar Kabupaten Banyumas

Skala =m petajarak dala

narnyajarak sebe

k =XiXj

λiλj

t =YiYj

ij


33

dengan: k = skala horisontal

t = skala vertikal

λi, λj = bujur tempat

i, j = lintang tempat

Xi, Xj = absis tempat dalam peta

Yi, Yj = ordinat tempat dalam peta

Langkah-langkah dalam menentukan lintang dan bujur standar

Kabupaten Banyumas sebagai berikut :

1) Menghitung Skala Horisontal Rata – Rata (krr)

Rumus : k =petaabsisjarak

tempatbujurjarak

=XiXj

λiλj

=ΔXΔλ

krr =

k

nn

k

nn

ΔX

Δλ

1

1

Tabel 2.1Data Bujur

No. Posisi Bujur Absis1. Cingebul 108˚53΄29,1˝ 3 mm2. Losari 109˚08΄46,8˝ 523 mm3. Kemutug Lor 109˚13΄52,2˝ 551 mm4. Masjid Baitussalam Purwokerto 109˚13΄41,8˝ 570 mm5. Kedung Sampang 109˚23΄61,2˝ 928 mm6. Buniayu 109˚26΄42,4˝ 994 m


34

Tabel 2.2Perhitungan Jumlah Bujur dalam Derajat

No. Kode j - i λj - λi Δ λn

1. 2 – 1 109˚08΄46,8˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚15΄17,7˝2. 3 – 1 109˚13΄52,2˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚20΄23,1˝3. 4 – 1 109˚13΄41,8˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚20΄12,7˝4. 5 – 1 109˚23΄06,1˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚29΄37,0˝5. 6 – 1 109˚26΄42,4˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚33΄13,3˝6. 3 – 2 109˚13΄52,2˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚05΄05,4˝7. 4 – 2 109˚13΄41,8˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚04΄55,0˝8. 5 – 2 109˚23΄06,1˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚04΄19,3˝9. 6 – 2 109˚26΄42,4˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚17΄55,6˝10. 4 – 3 109˚13΄41,8˝ - 109˚13΄52,2˝ - 0˚00΄10,6˝11. 5 – 3 109˚23΄06,1˝ - 109˚13΄52,2˝ 0˚09΄13,9˝12. 6 – 3 109˚26΄42,4˝ - 109˚13΄52,2˝ 0˚12΄50,2˝13. 5 – 4 109˚23΄06,1˝ - 109˚13΄41,8˝ 0˚09΄24,3˝14. 6 – 4 109˚26΄42,4˝ - 109˚13΄41,8˝ 0˚13΄00,6˝15. 6 – 5 109˚26΄42,4˝ - 109˚23΄06,1˝ 0˚03΄36,3˝

15

1nn 3˚28΄54˝

"12534'00

''54'28315

1

n

nλΔ


35

Tabel 2.3Perhitungan Jumlah Bujur dalam Peta

No.Kodej – i

Xj – Xi ΔXn (mm)

1. 2 – 1 523 – 3 5202. 3 – 1 551 – 3 5483. 4 – 1 570 – 3 5674. 5 – 1 928 – 3 9255. 6 – 1 994 – 3 9916. 3 – 2 551 – 523 287. 4 – 2 570 – 523 478. 5 – 2 928 – 523 4059. 6 – 2 994 – 523 47110. 4 – 3 570 – 551 1911. 5 – 3 928 – 551 37712. 6 – 3 994 – 551 44313. 5 – 4 928 – 570 35814. 6 – 4 994 – 570 42415. 6 – 5 994 – 928 66

6189

15

1

15

1

nn

nn

rr

xk

mm6189

"12534'00 = 2,025206"/mm = 2,02 "/mm

2) Menghitung Skala Vertikal Rata – rata (trr)

petaordinatJarak

tempatanglJarakt

int:Rumus

=Yiji

ij

=ΔYΔ

trr =

k

nn

k

nn

ΔY

Δ

1

1


36

Tabel 2.4Data Lintang

No. Posisi Lintang Ordinat1. Kedung Sampang -7˚39΄31,3˝ 1 mm2. Buniayu -7˚37΄15,4˝ 74 mm3. Losari -7˚34΄43,9˝ 109 mm4. Cingebul -7˚27΄20,9˝ 181 mm5. Masjid Baitussalam Purwokerto -7˚25΄29,2˝ 359 mm6. Kemutug Lor -7˚18΄47,7˝ 543 mm

Tabel 2.5Perhitungan Jumlah Lintang dalam Derajat

No.Kodej - i

j - i Δλn

1. 2 – 1 -7˚37΄15,4˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚02΄15,9˝2. 3 – 1 -7˚34΄43,9˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚04΄47,4˝3. 4 – 1 -7˚27΄20,9˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚12΄10,4˝4. 5 – 1 -7˚25΄29,2˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚14΄02,1˝5. 6 – 1 -7˚18΄47,7˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚20΄43,6˝6. 3 – 2 -7˚34΄43,9˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚02΄31,5˝7. 4 – 2 -7˚27΄20,9˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚09΄44,5˝8. 5 – 2 -7˚25΄29,2˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚11΄46,2˝9. 6 – 2 -7˚18΄47,7˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚18΄27,7˝10. 4 – 3 -7˚27΄20,9˝ + 7˚34΄43,9˝ 0˚07΄23,0˝11. 5 – 3 -7˚25΄29,2˝ + 7˚34΄43,9˝ 0˚09΄14,7˝12. 6 – 3 -7˚18΄47,7˝ + 7˚34΄43,9˝ 0˚15΄56,2˝13. 5 – 4 -7˚25΄29,2˝ + 7˚27΄20,9˝ 0˚01΄51,7˝14. 6 – 4 -7˚18΄47,7˝ + 7˚27΄20,9˝ 0˚08΄33,2˝15. 6 – 5 -7˚18΄47,7˝ + 7˚25΄29,2˝ 0˚06΄41,5˝

15

1nnΔ 0˚138΄483,66˝

66"8763,0'0

483,66"138'0Δ15

1nn


37

Tabel 2.6Perhitungan Jumlah Lintang dalam Peta

No.Kodej – i ij YY nYΔ

1. 2 – 1 74 – 1 732. 3 – 1 109 – 1 1083. 4 – 1 181 – 1 1804. 5 – 1 359 – 1 3585. 6 – 1 543 – 1 5426. 3 – 2 109 – 74 357. 4 – 2 181 – 74 1078. 5 – 2 359 – 74 2859. 6 – 2 543 – 74 46910. 4 – 3 181 – 109 7211. 5 – 3 359 – 109 25012. 6 – 3 543 – 109 43413. 5 – 4 359 – 181 17814. 6 – 4 543 – 181 36215. 6 – 5 543 – 359 184

15

1nnYΔ 3637

15

1

15

1

nnYΔ

nnΔ

rrt

mm3637

"66,8763'00 = 2,4095848"/mm = 2,41 "/mm

3) Menghitung Bujur Standar (Sumbu Y)

Sumbu Y → absis X = 0 → λ0= ?

k =XiXj

λiλj

=00

Xj

λλj

apabila k = krr, maka krr Xj = λj – λ0

λ0 = λj – krr Xj


38

Daerah yang dipergunakan dalam menghitung bujur standar yaitu

Cingebul, dengan alasan bahwa Cingebul adalah daerah yang

paling dekat dengan sumbu Y.

Kasus Cingebul :

λj = 108° 53' 29,1"

Xj = 3 mm

krr = 2,02"/mm

sehingga, λ0 = 108° 53' 29,1" – (2,02"/mm x 3 mm)

= 108° 53' 29,10" – 6,06"

λ0 = 108° 53' 23,04"

Jadi bujur standar (sumbu Y) adalah 108° 53' 23,04"

4) Menghitung Lintang Standar (Sumbu X)

Sumbu X → ordinat Y = 0 → 0 = ?

t =YiYj

ij

=0

0

Yj

j

apabila t = trr, maka trr Yj = j – 0

0 = j – trr Yj

Daerah yang dipergunakan dalam menghitung bujur standar yaitu

Sampang, dengan alasan bahwa Sampang adalah daerah yang

paling dekat dengan sumbu X.

Kasus Sampang Nusadadi :

j = -7° 39' 31,3"

Yj = 1 mm

trr = 2,41"/mm


39

sehingga, 0 = -7° 39' 31,3" – (2,41"/mm x 1 mm)

0 = -7° 39' 33,71"

Jadi lintang standar (sumbu X) adalah -7° 39' 33,71"

(Meita, 2008:76-84)

D. Program Matlab

1. Pengertian Matlab

Matlab (matrix laboratory) merupakan program interaktif untuk

melakukan perhitungan-perhitungan yang meliputi numerik ketehnikan,

komputasi simbol, visualisasi, grafis, analisa data matematis, statistika,

simulasi dan pemodelan. Matlab merupakan perangkat lunak (softwere)

yang canggih, cukup lengkap dan bahasa pemprograman Matlab jauh lebih

hebat dan lebih mudah dari bahasa pemprograman yang lain seperti Basic,

Pascal, Delphi maupun C++. Matlab juga menyediakan sekelompok

penyelesaian masalah untuk problem-problem khusus, yaitu yang disebut

toolbox. Sebagai contoh versi mahasiswa, Matlab ini menyediakan Control

System Toolbox, Signal Prosesing Toolbox, dan Simbolix Math Toolbox

bahkan dapat membuat toolbox sendiri. Pemberian perintah dalam matlab,

dalam pengetikan hurufnya membedakan antara huruf besar dan huruf

kecil.


40

Macam-macam window dalam Matlab, antara lain :

a. Command Windows

Command windows muncul pada saat pertama kali membuka

program Matlab. Dalam window ini dapat melaksanakan akses ke

command Matlab, mengetik ekspresi Matlab, mengakses help window,

dan sebagainya. Command window juga dapat mengakses barisan

perintah yang telah ditulis pada baris prompt sekarang (dan di atasnya

lagi) menggunakan tanda panah ke atas atau ke bawah.

Untuk menyimpan perintah-perintah yang telah ditulis dan

output yang telah ditampilkan di layar commad window, dapat dengan

memanfaatkan command diary. Dalam command ini, perintah –

perintah yang diberikan selalu disimpan antara sesi – sesi Matlab

sehingga dapat memilih, mengeksekusi dan meneruskan sekelompok

perintah dari pekerjaan sebelumnya.

b. Windows M – File

Fungsi-fungsi yang berguna dalam M-file, antara lain :

disp (ans) menampilkan hasil tanpa menampilkan nama

variabel

echo mengatur jendela command dalam penampilakan

kembali perintah yang sedang dikerjakan

input meminta pemakai untuk memberikan input

pause berhenti sampai pemakai menekan sembarang

tombol


41

pause (n) berhenti sampai ada penekanan tombol mouse atau

tombol keyboard

clc membersihkan jendela command

clear menghapus variabel dan fungsi dari memori

% memberikan komentar atau keterangan pada

perintah mMatlab

, (tanda koma) menampilkan hasil

; (titik koma) mencegah penampilan hasil

c. Grafik Window

Grafik window secara otomatis dibuka untuk menampilkan

suatu grafik yang dibuat dengan Matlab. Penggambaran grafik ini

dinamakan fplot. Fungsi tersebut mencari nilai-nilai fungsi yang akan

digambar secara teliti dan meyakinkan dan diekspresikan dalam bentuk

grafik hasil.

d. Help Window dan Demo Window

Pada window ini memuat petunjuk dan perintah-perintah yang

dimiliki Matlab. Adapun, daftar command yang ditampilkan

merupakan semua command Matlab standar dan semua toolbox yang

di-instal dalam Matlab. Toolbox adalah suatu kumpulan M-file yang

dibuat untuk analisis statistik, numerik dan lain-lain.

2. Operator Matlab

Di bawah ini merupakan daftar operator dan karakter khusus pada

Matlab, setiap operator mempunyai fungsi masing-masing.


42

Tabel 2.7Operator Aritmatik

Fungsi Operator KeteranganPlus + PenjumlahanMinus - PenguranganTimes * Perkalian arrayMtimes .* mengalikan matriks elemen ke elemenMpower ^ pemangkatan matrikMldivide \ pembagian kiriMrdivide / pembagian kanan

Tabel 2.8Operator Rasional

Fungsi Operator KeteranaganEq = = sama denganNe ~= tidak sama denganLt < kurang dariGt > lebih dariLe <= kurang dari atau sama denganGe >= lebih dari atau sama dengan

(Hanselman, 2001:368-369)

Variabel dengan arti khusus pada Matlab :

disp :menampilkan matrik atau teks

find :mencari indek posisi elemen tak nol

pi :nilai 3,1415926535897…

inf :tak berhingga

end :indeks terakhir

Fungsi matematika dasar :

fix :membulatkan bilangan ke bilangan bulat menuju nol.

mod :menghitung nilai modulus (sisa pembagian bilangan bulat)

sqrt :menghitung akar pangkat dua dari suatu bilangan

(Peranginangin, 2006:23-26)


43

3. Struktur Kontrol Program

Dalam matlab terdapat beberapa pernyataan pengendali untuk

melakukan operasi yang menghasilkan nilai, antara lain :

a. Perintah if … end, if … else … end, if … elseif … else … end

Perintah if digunakan untuk mengambil keputusan instruksi yang harus

dieksekusi berikutnya tergantung apakah ekspresi bernilai true atau

false.

Sintaksnya :

Bentuk I

if ekspresiinstruksi1intsruksi2…interuksiN

end

Keterangan : ekspresi adalah pernyataan yang bernilai logika true atau false. instruksi1, instruksi2, …, instruksiN merupakan instruksi yang akan

dilaksanakan apabila bernilai true.

Bentuk II

if ekspresiblok statement1

elseblok statement2

end

Keterangan : ekspresi adalah pernyataan yang bernilai logika true atau false. blok statement1 merupakan instruksi yang akan dilaksanakan apabila

ekspresi bernilai true. blok statement2 merupakan instruksi yang akan dilaksanakan apabila

ekspresi bernilai false.


44

Bentuk III

if ekspresi1blok statement1

elseif ekspresi2blok statement2…

elseif ekspresiNblok statementN

elseblok statement

end

Keterangan : ekspresi adalah pernyataan yang bernilai logika true atau false. blok satement1 merupakan instruksi yang dilaksanakan apabila

ekspresi1 bernilai true. blok statement2 merupakan instruksi yang akan dilaksanakan apabila

ekspresi2 bernilai true. blok statement N merupakan instruksi yang akan dilaksanakan

apabila ekspresiN bernilai true. blok statement merupakan instruksi yang akan dilaksanakan apabila

ekspresi1, ekspresi2, hingga ekspresiN bernilai false.

b. Perintah for

Perintah for digunakan untuk mengulang blok instruksi sebanyak

jumlah tertentu.

Sintaksnya :

for indeks = awal : langkah : akhirblok instruksi

end

Keterangan : indeks adalah variabel yang digunakan untuk menampung jumlah

perulangan yang akan dilakukan. awal adalah nilai mulai perulangan dilakukan. langkah adalah nilai pertambahan atau pengurangan yang dimulai

dari nilai awal hingga nilai akhir. Default adalah nilai pertambahansebesar 1.

akhir adalah nilai berhenti perulangan dilakukan. blok instruksi adalah perintah-perintah yang akan dikerjakan selama

perulangan.


6 bab ii a. sistem koordinat sistem koordinat ini ...repository.ump.ac.id/3350/3/tuti sundari bab...

Documents