Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat

Bola

Tim Kalkulus II

Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat 2 DimensiSistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y

Koordinat Kartesius

y

x

Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat 3 DimensiSistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yangketiganya saling tegak lurus

Koordinat Kartesius

x

y

z

Koordinat Polar

• Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya.

• Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

Koordinat Polar

O (titik kutub) Sumbu Polar

Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi:

- derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam)

- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah.

r: koordinat radial : koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar

(r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r, + n ), untuk n bil. Bulat genap

Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius. (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

Koordinat Polar

r

Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi:

x = r cos , y = r sin Maka r2 = x2 + y2, tan = y/x, jika x 0Catt. menentukan

Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 < < /2 = arctan(y/x).

Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3, = + arctan(y/x).

Koordinat Polar

Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = aContoh: Untuk lingkaran berjari a,

- berpusat di (0,a): r = 2a sin - berpusat di (a,0): r = 2a cos

Koordinat Polar Jika a=1, maka

r = 2 sin r = 2 cos

Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat tegak:

Kalikan kedua sisi dengan r:

r2 = 2r sin x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak

adalah x2 + (y -1)2 = 1

Titik 3D dalam koordinat tabung

r

Koordinat Polar dalam bidang datar

Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,).

r

r

Titik 3D dalam koordinat tabung

r

(r,,z)

Konversi antara koordinat tabung dan koordinat kartesius

r

r

(r,,z) cos( )sin( )

x ry rz z

2 2 2

tan( )

r x yyx

z z

Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola

(x,y,z)

Titik-titik 3D dalam koordinat bola

Titik-titik 3D dalam koordinat bola

0 .

Titik-titik 3D dalam koordinat bola

Titik-titik 3D dalam koordinat bola

Titik-titik 3D dalam koordinat bola

Sudut .

0 2 .

Suatu titik dalam koordinat bola

( , ,)

Konversi antara koordinat boladan koordinat kartesius

(x,y,z)

z

r

sin( ) cos( ) tan( )r z rz

Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius

(x,y,z)

z

r

cos( ) sin( ) cos( )sin( ) sin( )sin( )cos( )

x ry rz

Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius

(x,y,z)

z

r

2 2 2

2 2

2 2 2

tan( )

tan( )

cos( )

x y zyx

x yrz zz z

x y z

Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat

Bola

Integral

Integral: Koordinat Kartesius

Riemann Sum dalam triple integral sbb:

Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang . , lebar , dan tinggi

* * *( , , ) .i i i i i if x y z x y z

* * *( , , ) .i i i i i i

nilai fungsi pada volumebalok keciltitik tertentu

f x y z x y z

ix iyiz

Integral: Koordinat Tabung

Bagaimana dengan ukuran-ukuran

dalam koordinat tabung r, and z?

, , andr z

Dengan menganggap kasus 2D dalam koordinat polar

r

r

Integral: Koordinat Tabung

Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r

r

r+r

r

Integral: Koordinat Tabung

r+r

r

Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+ r.

r

r+r

Integral: Koordinat TabungSudut Ada penambahan sudut sebesar .

Integral: Koordinat Tabung

Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r+r dan sudut

Integral: Koordinat Tabung

Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut

Integral: Koordinat Tabung

Dengan penambahan z .

Integral dalam Koordinat Tabung

dA r dr d

Untuk mencari volume benda padat

Integral dalam Koordinat Tabung

dV r dr d dz

Maka . . .( , , )

S

f r z r dr d dz

Soal

1. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).

x y z

S

e dV

Soal2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung:

a. b.

Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

2 2 9r z 2 cos 3 sin 6r r z

Soal3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:

a. b.

Tentukan persamaan dalam koordinat tabung & gambarkan

2 2 9x y 2 2 22 12 14 0x y z z

Soal4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola:

a.b.

c.Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

3

3

4

Soal5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:

a.b.

Tentukan persamaan dalam koordinat bola & gambarkan

2 2 2 4x y z 2 2 2 1x y z