Bentuk Koordinat

Koordinat Kartesius, Koordinat Polar,Koordinat Tabung, Koordinat Bola

Desember 2011

Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat 2 Dimensi

Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu

X dan Y

Koordinat Kartesius

y

x

Koordinat Kartesius

Sistem Koordinat 3 Dimensi

Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang

ketiganya saling tegak lurus

Koordinat Kartesius

x

y

z

Koordinat Polar

• Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya.

• Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau garis OP yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

Koordinat Polar

Otitik kutub sumbu polar

Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar.

Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada di posisi:

- derajat dari sumbu-x (sumbu polar)

( diukur berlawanan arah jarum-jam)

- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.

Perhatian:

jika r < 0, maka P berada di posisi yang

berlawanan arah.

r : koordinat radial

: koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar

(r, ) = (-r, +n ), untuk n bilangan bulat ganjil

= ( r, +n ), untuk n bilangan bulat genap

Contoh:

Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam

bentuk koordinat kartesius.

(2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3)

Koordinat Polar

r

Konversi koordinat polar ke dalam koordinat kartesius

Gunakan relasi:

x = r cos , y = r sin Maka r2 = x2 + y2,

tan = y/x, jika x 0

Catatan: menentukan Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4

jadi -/2 < < /2 = arctan (y/x).

Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,

= + arctan (y/x).

Koordinat Polar

Persamaan polar dari lingkaran berjari-jari a adalah r = a

Contoh:

Untuk lingkaran berjari-jari a,

- berpusat di (0,a): r = 2a sin - berpusat di (a,0): r = 2a cos

Koordinat Polar Jika a = 1, maka

r = 2 sin r = 2 cos

Konversikan persamaan polar r = 2 sin ke dalam sistem koordinat tegak:

Kalikan kedua sisi dengan r menjadi

r2 = 2r sin x2 + y2 = 2y

x2 + y2 - 2y = 0

Jadi persamaan tersebut dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

Titik dalam koordinat tabung

r

Koordinat Polar dalam bidang datar

Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,).

r

Titik dalam koordinat tabung

r

r

(r,,z)

Titik dalam koordinat tabung

Konversi antara koordinat tabung dan koordinat kartesius

r

r

(r,,z)cos( )

sin( )

x r

y r

z z

2 2 2

tan( )

r x y

y

xz z

(x,y,z)

Titik dalam koordinat bola

Titik dalam koordinat bola

0 .

Titik dalam koordinat bola

Titik dalam koordinat bola

Titik dalam koordinat bola

Sudut .

0 2 .

Titik dalam koordinat bola

Titik dalam koordinat bola

( , ,)

Konversi antara koordinat boladan koordinat kartesius

(x,y,z)

z

r

sin( ) cos( ) tan( )r z r

z

Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius

(x,y,z)

z

r

cos( ) sin( ) cos( )

sin( ) sin( )sin( )

cos( )

x r

y r

z

Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius

(x,y,z)

z

r 2 2 2

2 2

2 2 2

tan( )

tan( )

cos( )

x y z

y

x

x yr

z zz z

x y z

Integral pada Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

Integral: Koordinat Kartesius

Riemann Sum dalam triple integral sbb:

Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang , lebar , dan tinggi

* * *( , , ) .i i i i i if x y z x y z

* * *( , , ) .i i i i i i

nilai fungsi pada volumebalok keciltitik tertentu

f x y z x y z

ixiy

iz

Integral: Koordinat Tabung

Bagaimana dengan ukuran-ukuran

dalam koordinat tabung r, , q and z?

Dengan menganggap kasus 2 dimensi dalam koordinat polar

r

r

zr dan,,

Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r

r

r+Dr

r

Integral: Koordinat Tabung

r+Dr

r

Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+D r.

r

r+Dr

Integral: Koordinat Tabung

Sudut q terjadi penambahan sudut sebesar Dq.

Dq

Integral: Koordinat Tabung

Integral: Koordinat Tabung

Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut

Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut

Integral: Koordinat Tabung

Dengan penambahan Dz.

Integral: Koordinat Tabung

dA r dr d

Untuk mencari volume benda padat

Integral: Koordinat Tabung

dV r dr d dz

Maka . . .

( , , )S

f r z r dr d dz

Integral: Koordinat Tabung

Soal

1. Tunjukkan dengan gambar titik-titik berikut dalam koordinat polar

(2, 4) (-1, 4) (3, 34) (2, -4) (-4, -4)

2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung:

a.

b.

Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius dan gambarkan

2 2 9r z 2 cos 3 sin 6r r z

Soal

3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:

a.

b.

Tentukan persamaan dalam

koordinat tabung dan gambarkan

2 2 9x y 2 2 22 12 14 0x y z z

Soal

4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola:

a.

b.

c.

Tentukan persamaan dalam

koordinat kartesius dan gambarkan

3

3

4

Soal

5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:

a.

b.

Tentukan persamaan dalam

koordinat bola dan gambarkan

2 2 2 4x y z 2 2 2 1x y z

6. Hitunglah dimana S

tetrahedron dengan titik-titik sudut

(0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).

x y z

S

e dV

Soal