7/21/2019 Seb Diskrit

1/17

SEBARAN PELUANGBERSAMA

Idhia Sriliana

7/21/2019 Seb Diskrit

2/17

Sebaran Peluang Bersama Diskrit

Definisi

Fungsi f(x,y) merupakanfungsi peluang

bersama peubah acak diskritXdan Y bila:

( , ) 0 untuk semua ( , )

( , ) 1

( , ) ( ; )

x y

f x y x y

f x y

f x y P X x Y y

=

= = =

7/21/2019 Seb Diskrit

3/17

Sebaran Peluang Marjinal Diskrit

Fungsi peluang marjinalpeubah acak diskrit

Xsaja dari suatu sebaran peluang bersamaadalah:

= ,y

Fungsi peluang marjinalpeubah acakdiskrit Ysaja dari suatu sebaran peluang

bersama adalah:

( ) ( , )Yx

f y f x y

=

7/21/2019 Seb Diskrit

4/17

Contoh 1

Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong

yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. JikaXadalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y

adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah

fungsi peluang bersama dariXdan Y,( , ) ( , )i j P X i Y j= = =

7/21/2019 Seb Diskrit

5/17

7/21/2019 Seb Diskrit

6/17

Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1

f(x,y) x

0 1 2 3

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220 112/220

( ) ( , )Yx

f y f x y=

Sebaran peluang bersama bagiXdan Y untuk contoh inidapat dinyatakan dalam rumus berikut

UntukX=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0X+Y3

2 30/220 18/220 48/220

3 4/220 4/220

84/220 108/220 27/220 1/220 1

3 4 5

3( , )

12

3

y x yf x y

=

( ) ( , )Xy

f x f x y=

7/21/2019 Seb Diskrit

7/17

Contoh 2

Fungsi peluang bersama dari X dan Y berbentuk:

a. Tentukan nilai konstanta c!

( , ) ( 2 ); 0,1,2,3 0,1,2,3f x y c x y x dan y= + = =

b.

ung ,c. Hitung

d. Hitung

e. Hitung

( 1, 2)P X Y

(1 2)X atau

(3)Yf

7/21/2019 Seb Diskrit

8/17

Penyelesaian3 3

0 0

. ( , ) 1

(0, 0) (0,1) (0, 2) ... (3, 3) 1

0 2 4 ... 9 1

72 1

x y

a f x y

f f f f

c c c

c

= =

=

+ + + + =

+ + + + =

=

( )

3 2

1 0

72

4 1. (2,1)

72 18

1. ( 1, 2) 272

1(1 3 5 2 4 6 3 5 7 )

72

36 1

72 2

x y

c

b f

c P X Y x y= =

=

= =

= +

= + + + + + + + +

= =

7/21/2019 Seb Diskrit

9/17

Sebaran Peluang Bersama Kontinu

Fungsi f(x,y) merupakanfungsi peluang

bersama peubah acak kontinuXdan Y bila:

( , ) 0 untuk semua ( , )f x y x y

( , ) 1

[( , ) ] ( , )A

f x y dx dy

X Y A f x y dx dy

=

=

untuk setiap daerah Apada bidang datar (x,y)

7/21/2019 Seb Diskrit

10/17

Sebaran Peluang Marjinal Kontinu

Fungsi peluang marjinal peubah acak kontinu

X saja dari suatu sebaran peluang bersamaadalah:

( ) ( , )x x d

=

Fungsi peluang marjinal peubah acak kontinu

Y saja dari suatu sebaran peluang bersama

adalah:

( ) ( , )Yf y f x y dx

=

7/21/2019 Seb Diskrit

11/17

Tugas Jelaskan definisi mengenai Peluang Bersyarat dan Peubah Acak

Independen (Saling Bebas)

Misalkan fungsi peluang bersama dari X dan Y:

1. Tentukan nilai k

( , ) ; 1, 2,3 1,2,3f x y kxy x dan y= = =

2. Hitung

3. Hitung

Misalkan fungsi peluang bersama dari X dan Y:

1. Tentukan nilai k

2. Hitung

3. Hitung

2 2( , ) ( ); 1,0,1,3 1, 2,3f x y k x y x dan y= + = =

( 0, 2) ( 2 )P X Y dan P X Y= >

, ,an > >

(0) ( 1)X Yf dan f

(2) (3)X Yf dan f

7/21/2019 Seb Diskrit

12/17

Sebaran Peluang Bersyarat Jika dua peubah acak X dan Y, baik diskrit

maupun kontinu, maka dapat didefinisikansebaran peluang bersyarat dari peubah acakX

pada Y=y sebagai:

sebaran peluang bersyarat dari peubah acak Y

pada X=x sebagai:

( , ) ( , )( ) = dimana ( ) 0( ) ( )

Y

Y

f x y P X x Y yf x y f yf y P Y y

= == >=

( , ) ( , )( ) = dimana ( ) 0

( ) ( ) x

x

f x y P X x Y yf y x f x

f x P X x

= == >

=

7/21/2019 Seb Diskrit

13/17

ContohDari Sebaran bersama berikut

f(x,y)x

Total Baris0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220 112/220

2 30 220 18 220 48 220

a. P(X=0|Y=1)

b. P(X=1|Y=1)c. P(X2|Y=1)

3 4/220 4/220Total Kolom 84/220 108/220 27/220 1/220 1

7/21/2019 Seb Diskrit

14/17

Jawaba. P(X=0|Y=1) =

P(Y=1) = fY(1) =

( 0, 1)

( 1)

P X Y

P Y

= =

=

3

0

( ,1)x

x=

, , , ,

=

Sehingga

P(X=0|Y=1) =

40 60 12 112

220 220 220 220+ + =

( 0, 1) 40 / 220 40( 1) 112 / 220 112

P X YP Y

= == ==

7/21/2019 Seb Diskrit

15/17

b. P(X=1|Y=1) =

c. P(X2|Y=1) =

( 1, 1) 60 / 220

( 1) 112 / 220

P X Y

P Y

= ==

=

( 2, 1) ( 2, 1) ( 3, 1)

( 1) ( 1)

P X Y P X Y P X Y

P Y P Y

= = = + = ==

= =

= 12 / 220 0 12112 / 220 112

+=

7/21/2019 Seb Diskrit

16/17

Peubah Acak yang Bebas (Independent)

Definisi

Misalkan X mempunyai fungsi sebaranfx(x), Y mempunyai fungsi sebaranfy(y), dan Xdan Ymemiliki fungsi sebaran bersamaf(x,y), maka X dan Y dikatakan bebas jika dan

hanya jika

x = x .

untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)Jika X dan Y diskret dengan fungsi peluang bersama p(x,y) dan fungsi peluang

marginal px(x) dan py(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika

p(x,y) = px(x)py(y)

untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

Jika X dan Y kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan kepekatanmarginal fx(x) dan fy(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika

f(x,y) = fx(x)fy(y)

untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

7/21/2019 Seb Diskrit

17/17

Contoh

f(x,y) x

Total Baris0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220 112/220

2 30/220 18/220 48/220

Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut:

Total Kolom 84/220 108/220 27/220 1/220 1

Apakah X dan Y saling bebas?

Jawab.Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan f(0,0) adalah 10/220, sedangkan fX(0) =

84/220 dan fY(0) = 56/220 sehingga

f(0,0) fX(0).fY(0) X dan Y tidak saling bebas