sebaran peluang diskret & kontinu

SEBARAN PELUANGDISKRET & KONTINU

HADI SUMARNO

DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

BEBERAPA SEBARAN PELUANG DISKRET

1. Sebaran Seragam 5. Sebaran Multinomial2. Sebaran Bernoulli 6. Sdebaran Negatif

Binom3. Sebaran Binomial 7. Sebaran Geometrik4. Sebaran Hipergeometrik 8. Sebaran Poisson

SEBARAN SERAGAM

1 2

1 2

222

, , ,

1, ; , , ,

k

k

i

ix

X x x x

f x k untuk x x x xk

xE X

k

xE X

k

Contoh:Sebuahdadubersisienamseimbangdilemparkan. Tentukansebaranpeluangbaginilai yang merepresentasikanangkadadu yang muncul

HADI SUMARNODEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

SEBARAN BERNOULLI Percobaan dilakukan

satu kali, dengan peluang sukses =p dan peluang gagal = q = 1- p

Contoh-contoh sebaran Bernoulli

1. Sekeping mata uang dilempar sekali. Sukses jika muncul sisi gambar

2. Sebuah dadu bersisi 6 dilempar sekali. Sukses jika muncul sisi dengan angka 6

1

2

{0,1}

( , ) , 0,1

( )

x x

x

X

Bernoulli x p p q untuk x

E X p

pq


Contoh : Sebaran Bernoulli Pelemparan

sekepingmatauangseimbang

S={G,A} X=#

Gambar={0,1}

Munculnya angka 6 dalampelemparandadu

SEBARAN BINOMIAL Ciri-ciri percobaan

binom1. Merupakan

percobaan Bernoulli diulang n kali

2. Setiap percobaan saling bebas

1

2

banyaknya sukses dari n kali percobaan

= {0,1,2, ,n}

( , , ) , untuk 0,1,2, ,

!

! !

1 !

1! 1 1 !

Buktikan bahwa

x n x

x n x x n x

x n x

x

X

nb x n p p q x n

x

n xnE X x p q p q

x x n x

n npp q np

x n x

npq


CONTOH PERCOBAAN BINOM

3

3 31 1 1 12 2 2 2

Sekeping uang logam dilempar 3 kali

Jika X=banyaknysa sisi gambar yang muncul,

tentukan sebaran bagi p.a. X

3

( ) untuk 0,1,2,32

3 3( ,3, )

x x

xf x x

atau

b xx x

323

2

Peluang terjadi hujan minimal

dua hari selama tiga hari

berturut-turut jika

diketahui bahwa dalam satu

bulan terakhir terjadi

hujan selama 20 hari.

( ,3, ) 0.740741

x

b x

HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

CONTOH TABEL PELUANG BINOM

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.93 0 0.7290 0.5120 0.3430 0.2160 0.1250 0.0640 0.0270 0.0080 0.0010

1 0.9720 0.8960 0.7840 0.6480 0.5000 0.3520 0.2160 0.1040 0.02802 0.9990 0.9920 0.9730 0.9360 0.8750 0.7840 0.6570 0.4880 0.27103 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Pn r

1 0

0 0

(1,3,0.6) ( ,3,0.6) ( ,3,0.6) 0.3520 0.0640 0.2880

(1,3,0.6, ) (0,3,0.6, )

(1,3,0.6, )

r r

x x

b b x b x

BINOMDIST TRUE BINOMDIST TRUE

BINOMDIST FALSE


PERCOBAAN HIPERGEOMETRIK


HipergeometrikPercobaan sukses dan gagalTanpa pengembalian (antar percobaan tidak saling bebas) Misalkan dari N benda, k berhasilDiambil contoh berukuran n, x diantaranya berhasil

( , , , ) 0,1,2, ,

k N k

x n xh x N n k untuk x k

N

n

2

; dengan

11 1

x

x

nk k kn np p

N N NN n k k N n

n npqN N N N

CONTOH PERCOBAAN HIPERGEOMETRIK


Dari 6 mhs laki-laki dan 4 mhs perempuan akan dipilih 3 orang sebagai wakil mhs dalam kompetisi. Jika X menyataan jumlah perempuan terpilih, tentukan sebaran peluang bagi X

PERBEDAAN PERCOBAAN BINOMIAL & HIPERGEOMETRIK


Dari 5 bola terdiri dari 3 merah dan 2 putih. Diambil dua bola

a. dengan pengembalian B. tanpa pengembalian Jika X menyataan jumlah

bola merah terpilih terpilih, tentukan sebaran peluang bagi X

a. Dengan pengembalian (Binomial); x=0,1,2

PERBEDAAN PERCOBAAN BINOMIAL & HIPERGEOMETRIK


b. Tanpapemulihan (Hipergeometrik)Binomial Hipergeomet

rik

Untuk

PERCOBAAN MULTINOMIAL

Dari percobaanmasing-masingterdiridarikkemungkinan, denganJikamenyatakanjumlahmunculnyakemungkinanke-i, makasebaranpeluangbagi adalah

1 2

1 2 1 2

1 21 2

( , , , ; , , , ; )

, , ,

k

k k

xx xk

k

f x x x p p p n

np p p

x x x


CONTOH PERCOBAAN MULTINOMIAL

Dalam 10 kali permainan, berapapeluang 3 kali menang, 4 kali gagaldan 3 kali seri, jikadiketahuipeluangmenang, 0,3 danpeluangkalah 0,4.


Kemungkinan 1 (menang), 2 (gagal), 3 (seri).

SEBARAN NEGATIF BINOM & GEOMETRIK

Sukses yang ke k pada percobaan yang ke x

1( , , ) , untuk , 1, 2,

1k x kx

nb x k p p q x k k kk

1

Sukses yang pertama kali pada percobaan yang ke x

( , ) , untuk 1,2,3,xg x p pq x


Negatif Binom

Geometrik

Binom, negatif binom, dan geometrik

Seseorang melemparkan bola kekeranjang basket. Jikapeluangtepatadalah 0.8, hitunglahpeluang:a. Dalam 10 kali pelemparan, sukses 9 kalib. Sukses yang kesembilanpadapelemparan yang kesepuluhc. Sukses yang pertamapadapelemparan yang kesepuluh


SEBARAN POISSON Sebaran Poisson: merupakan sebaran

peluang dari suatu percobaan Poisson

X = merupakan peubah acak dari hasil percobaan Poisson.

Hasil percobaan Poisson memiliki siat sebagai berikut:

1. Kejadian pada dua selang waktu/daerah yang saling terpisah adalah saling bebas

2. Peluang terjadinya percobaan pada selang waktu/daerah tertentu, sebanding dengan panjang waktu/luas daerah tersebut.

3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan dalam waktu yang singkat/daerah yang kecil diabaikan.

2

( , ) , untuk 1,2,3,!

( )

x

x x

ep x x

x

E X

Misalkan secara rata-rata banyaknya mobil yang melintas per menit di suatu perempatan adalah 30. a. Berapa peluang terdapat 3

mobil yang lewat dalam 1 detik.b. Berapa peluang paling banyak 3

mobil lewat dalam satu detik.

HADI SUMARNO DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

CONTOH SEBARAN POISSON

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.40661 0.9953 0.9825 0.9631 0.9384 0.9098 0.8781 0.8442 0.8088 0.77252 0.9998 0.9989 0.9964 0.9921 0.9856 0.9769 0.9659 0.9526 0.93713 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9982 0.9966 0.9942 0.9909 0.98654 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9986 0.99775 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.99976 1.0000 1.0000 1.0000

mr

30 mobil per menitatau 0.5 mobil per detika.

POISSON(3,0.5,FALSE)=9.9982-0.9856=0.0126

b. =POISSON(3,0.5,TRUE)=0.9982


PENDEKATAN SEBARAN POISSON

Misalkan 1 di antara 1000 mahasiswa IPB adalah perokok. a. Berapa peluang bahwa dari

8000 mahasiswa 3 di antaranya adalah perokok.

b. Berapa peluang dari 8000 mhasiswa paling banyak 3 mahasiswa adalah perokok


BEBERAPA SEBARAN PELUANG KONTINU

1. Sebaran Seragam2. Sebaran Eksponen 3. Sebaran Normal4. Sebaran lainnya (Chi-Square, F, Gamma, Studentize T

SEBARAN SERAGAM

HADI SUMARN3DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

SEBARAN EKSPONENSIAL

HADI SUMARN3DEPARTEMEN MATEMATIKA FMIPA-IPB

SEBARAN NORMAL

2

121

, , , untuk 2

3.14159...; 2.71828...

x

n x e x

dengan

e

, ,a

P X a n x dx

HADI SUMARNO


KURVA NORMAL

SEBARAN NORMAL

100

20

1 15 29 43 57 71 85 99 1131271411551691831972112250

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

1 15 29 43 57 71 85 99 1131271411551691831972112250

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

200

20

150

20

150

40


SEBARAN NORMAL – LUAS BAWAH KURVA

150

40

1 15 29 43 57 71 85 99 1131271411551691831972112250

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012


Standarisasi ke normal

baku

SEBARAN NORMAL BAKU

XZ

1

2

115 100115

15

1exp 1 84%

2

P X P Z

z dz NORMSDIST

HADI SUMARNO


SOURCE: TR BLACK 1998

𝑍 𝑁 (0,1)

Tabel Normal Bakuz 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

-1.4 0.0808 0.0823 0.0838 0.0853 0.0869 0.0885 0.0901 0.0918 0.0934 0.0951-1.3 0.0968 0.0985 0.1003 0.1020 0.1038 0.1056 0.1075 0.1093 0.1112 0.1131-1.2 0.1151 0.1170 0.1190 0.1210 0.1230 0.1251 0.1271 0.1292 0.1314 0.1335-1.1 0.1357 0.1379 0.1401 0.1423 0.1446 0.1469 0.1492 0.1515 0.1539 0.1562-1 0.1587 0.1611 0.1635 0.1660 0.1685 0.1711 0.1736 0.1762 0.1788 0.1814

-0.9 0.1841 0.1867 0.1894 0.1922 0.1949 0.1977 0.2005 0.2033 0.2061 0.2090-0.8 0.2119 0.2148 0.2177 0.2206 0.2236 0.2266 0.2296 0.2327 0.2358 0.2389-0.7 0.2420 0.2451 0.2483 0.2514 0.2546 0.2578 0.2611 0.2643 0.2676 0.2709-0.6 0.2743 0.2776 0.2810 0.2843 0.2877 0.2912 0.2946 0.2981 0.3015 0.3050-0.5 0.3085 0.3121 0.3156 0.3192 0.3228 0.3264 0.3300 0.3336 0.3372 0.3409-0.4 0.3446 0.3483 0.3520 0.3557 0.3594 0.3632 0.3669 0.3707 0.3745 0.3783-0.3 0.3821 0.3859 0.3897 0.3936 0.3974 0.4013 0.4052 0.4090 0.4129 0.4168-0.2 0.4207 0.4247 0.4286 0.4325 0.4364 0.4404 0.4443 0.4483 0.4522 0.4562-0.1 0.4602 0.4641 0.4681 0.4721 0.4761 0.4801 0.4840 0.4880 0.4920 0.4960

0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133


Latihan Sebuah jenis motor kecil mempunyai umur rata2 10

tahun, dengan simpangan baku 5 tahun. Pabrik akan menjamin mengganti dengan yang baru semua motor yang rusak selama masa garansi. Jika pabrik hanya bersedia mengganti 10%, berapa lama

garansi yang harus diberikan. Asumsi menyebar normal. Berapa peluang motor rusak antara 6 s/d 11 tahun? Berapa peluang motor rusak tepat berumur 3 tahun Berapa peluang motor rusak lebih dari 15 tahun.


Latihan ;


Hampiran normal terhadap sebaran binom

Menurut majalah Consumers Digest, hasil angka sensus menunjukkan bahwa dalam tahun 78, hampir 53% diantara semua rumahtangga di AS terdiri atas 1 – 2 orang. Berapa peluang bahwa di antara 1000 rumah yang diambil

secara acak, antara 490 s/d 515 terdiri dari 1-2 orang saja. Berapa peluang lebih dari 500 di antaranya terdiri dari 1-2

orang. Berapa peluang tidak lebih dari 300 di antaranya terditi dari

1-2 orang.


Hampiran normal terhadap sebaran binom


sebaran peluang diskret & kontinu

Documents