Donny Prasetyanto

Ibnu Sina Alfatih

Imam Hamdani

Irman Firman R

KELOMPOK 5

SISTEM PERSAMAAN

LINEAR DUA VARIABEL

POKOK BAHASAN

Sejarah Persamaan linearPengertian SPLDVMetode Menyelesaikan SPLDVAplikasi SPLDVSoal – Soal

Sejarah Persamaan LinearPenyelesaian masalah perhitungan menggunakan system

persamaan linier, sebenarnya bukan sesuatu yang baru. Sistem

persamaan linier bahkan sudah digunakan sejak 4000 tahun yang

lalu (sekitar tahun 2000SM) pada masa Babylonian (Babel).

Hal ini bisa kita lihat dalam tablet YBC 4652 yang menjelaskan

bagaimana Babel menyelesaikan suatu masalah dengan persamaan

linier. Dalam tablet YBC 4652 dituliskan:

Yang artinya antara lain:

Saya menemukan sebuah batu, (tetapi) tidak menimbang, (setelah)

saya menimbang (dari) 8 kali beratnya, ditambah 3 gin, sepertiga

dari sepertiga belas dikalikan dengan 21, kemudian (itu)

ditambahkan, lalu saya menimbang(nya): 1 ma-na [= 60 gin]. 

Berapa (berat sesungguhnya) dari batu? Berat asli dari batu itu

adalah 4 ½ gin.

Meskipun babel sudah menggunakan Sistem Persamaan Linier

dalam kehidupan sehari-hari mereka, namun istilah “Sistem

Persamaan Linier (Linear Equation)” sendiri baru muncul sekitar

abad ke-17 oleh seorang matematikawan Perancis bernama Rene

Decartes. Rene Descartes dilahirkan pada tahun 1596, tanggal 31

Maret di sebuah desa di Prancis. Dia menempuh pendidikan di

Belanda dan belajar matematika di waktu luang, karya Descartes

yang paling menghargai adalah pengembangannya geometri

Cartesian yang menggunakan aljabar untuk menggambarkan

geometri. Kemungkinan, Descartes menemukan istilah untuk

“Sistem Persamaan Linier (Linear Equation)” ketika dia belajar di

Belanda.

Pengertian SPLDV

Sistem persamaan linier dua variabel ( SPLDV ) adalah

suatuang terdiri atas dua persamaan linier dan setiap persamaan

mempunyai dua variabel, serta masing - masing variabel

berpangkat satu

Bentuk umum dari SPLDV

ax + by = c

px + qy = r dengan a, b, p, dan q ≠ 0

Metode Menyelesaikan SPLDV

Subtitusi

Eliminasi

Gabungan

Grafik

Subtitusi

Contoh :

x + 2y = 8 ...... (1)

2x – y = 6 ...... (2)

Pers (1) x + 2y = 8 kita ubah menjadi x = 8 – 2y

Lalu kita subtitusikan ke pers 2

2(8 - 2y) - y = 6

-5y = -10 dengan cara yang sama,

y = 2 maka kita dapat nilai x = 4

Eliminasi

Contoh :

x + 2y = 8 ...... (1)2x – y = 6 ...... (2)

Kita akan menghilang kan variabel x dari persamaan

x + 2y = 8 x2 2x + 4y = 162x – y = 6 x1 2x - y = 6 -

5y = 10 y = 2

dengan cara yang sama, maka kita dapat nilai x = 4

Gabungan

Contoh :

x + 2y = 8 ...... (1)2x – y = 6 ...... (2)

Kita akan menghilang kan variabel x dari persamaan

x + 2y = 8 x2 2x + 4y = 162x – y = 6 x1 2x - y = 6 -

5y = 10 y = 2

dengan cara mensubtitusikan nilai y =2 ke peramaan, maka kita dapat nilai x = 4

Grafik

untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara

grafik,

langkahnya adalah sebagai berikut :

I. Menggambar garis dari kedua persamaan pada bidang cartesius

II. Koordinat titik potong dari kedua garis merupakan himpunan

penyelesaian

III. Menentukan titik potong kedua persamaan tersebut (x,y)

Contoh :Tentukan penyelesaian dari x + 2y = 8 dan 2x – y = 6Langkah-langkah penyelesaiannya :1. Menentukan titik-titik potong pada sumbu x dan sumbu y dari kedua persamaan

Persamaan (1)x + 2y = 8titik potong dengan sumbu x apabila y = 0x + 2y = 8x + 2.0 = 8x = 8titik potong dengan sumbu y apabila x = 0x + 2y = 80 + 2.y = 82y = 8y = 8/2 = 4

tabelnya :

Persamaan (2)

2x - y = 6

titik potong dengan sumbu x apabila y = 0

2x - y = 6

2x - .0 = 6

2x = 6

x = 6/2

= 3

x + 2y = 8

X 8 0

y 0 4

titik potong dengan sumbu y apabila x = 0

2x - y = 6

0 - .y = 6

-y = 6

y = -6

tabelnya :

2. Buatlah grafik garis lurus menggunakan tabel-tabel di atas.

3. Menentukan titik potong kedua persamaan tersebut (x,y)

2x – y = 6

X 3 0

y 0 -6

Terlihat titik potongnya adalah x =4 dan y =2 ,

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah (4,2)

Aplikasi SPLDV

Biasanya aplikasi soal sistem persamaan linear dua variabel

disajikan dalam bentuk soal cerita yang berkaitan dengan

kehidupan sehari – hari. Contoh aplikasi soalnya1 :

Dalam bidang perdagangan

Dalam bidang perternakan

Dalam bidang perikanan

Dalam bidang teknik informatika

Dalam bidang perdagangan

Contohnya :

Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-.Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk ?a. RP. 10.000b. RP. 11.000c. RP. 12.000d. RP. 13.000

Pembahasan :

Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika. Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y

Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :

2x + 3y = 6000

5x + 4 y = 11500

Ditanya 4x + 5y = ?

Kita eliminasi variable x :

2x + 3y = 6000 | x 5 | = 10x + 15y = 30.000

5x + 4y = 11500 | x 2 | = 10x + 8y = 23.000

7y = 7000

y = 1000

masukkan ke dalam suatu persamaan :2x + 3 y = 60002x + 3 . 1000 = 60002x + 3000 = 60002x = 6000 – 30002x = 3000x = 1500didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jerukadalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000 = 6000 + 5000= Rp. 11.000,-

Dalam bidang peternakan

Contohnya :

Pada suatu ladang terdapat 13 ekor hewan terdiri dari ayam dan

kambing, sedangkan jumlah kaki hewan itu ada 36 buah.

Banyak kambing diladang tersebut adalah ?a. 5 ekorb. 6 ekorc. 7 ekord. 8 ekor

Pembahasan :

Misal : banyak ayam = x ekor banyak kambing = y ekor

x + y = 13 x 2 2x + 2y = 262x + 4y = 38 x 1 2x + 4y = 38 -

-2y = -12 y = 6 Subsitusikan nilai y = 6 ke dalam persamaan : x + y = 13

x = 13 - 6 x = 7

Jadi, banyak ayam = 7 ekor dan kambing = 6 ekor.

Dalam bidang perikanan

a. 640 m2

b. 720 m2

c. 800 m2

d. 810 m2

Diketahui keliling sebuah kolam ikan adalah 114 m dan

panjangnya 7 m lebih dari lebarnya. Maka luas kolam itu adalah ?

Pembahasan :

Model matematikanya sbb :

P – l = 7 …………………………………. (1)

K = 2 ( p + l )

114 = 2 ( p + l ) p + l = 57 …………(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2). maka

P – l = 7

P + l = 57

2p = 64

p = 32

Subsitusikan nilai p = 32

P + l = 57

32+ l = 57

l = 57 – 32

l = 25

Jadi Luas persegi panjang adalah :

L = p x l

= 32 x 25

= 800 m2

Dalam bidang teknik informatika

Dalam bidang teknik informatika sistem persamaan

linier juga diterapkan, yaitu dalam bentuk komputasi,

pemrograman komputasi dan komputasi numerik

dengan menggunakan metode persamaan linier di

dalamnya. Contohnya ialah penyelesaian persamaan

linier program eliminasi gauss dengan menggunakan

c++.

• z

Metode Eliminasi Gauss itu sendiri adalah metode yang

dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu

menghilangkan atau mengurangi jumlah variable

sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable

bebas. Atau bisa disebut juga metode dimana bentuk

matrik augmented, pada bagian kiri diubah menjadi

matrik segitiga atas / segitiga bawah dengan

menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

Soal - Soal

SOAL - 1

SOAL - 2

SOAL – 3

Pembahasan (soal 1)

Pembahasan (soal 2)

Pembahasan (soal 3)

SOAL – 1

Harga 2 buku dan 3 pulpen adalah Rp 10.200,- Sedangkan harga

3 buku dan 4 pulpen adalah Rp14.400,-. Harga sebuah buku dan

2 buah pulpen adalah ...

a. Rp 7.200,-

b. Rp 6.500,-

c. Rp 6.200,-

d. Rp 6.000,- Pembahasan (soal 1)

SOAL - 2

Panjang sebuah kolam adalah 9 m lebih dari lebarnya. Jika

kelilingnya 74 m, maka luas kolam itu adalah ...

a. 232 m2

b. 322 m2

c. 332 m2

d. 360 m2

Pembahasan (soal 2)

Soal - 3

Pada suatu ladang terdapat 13 ekor hewan terdiri dari bebek dan

sapi, sedangkan jumlah kaki-kakinya ada 38 buah. Banyak sapi

diladang tersebut adalah ...

a. 5 ekor

b. 6 ekor

c. 7 ekor

d. 8 ekor

Pembahasan (soal 3)

Pembahasan soal 1

Misal : 1 buku = x rupiah

1 pulpen = y rupiah

2x + 3y = 10.200 x 3 6x + 9y = 30.600

3x + 4y = 14.400 x 2 6x + 8y = 28.800 -

y = 1.800

Subsitusikan nilai y = 1.800

2x + 3y = 10.200

2x + 3( 1.800 ) = 10.200

2x = 10.200 – 5.400 = 4.800

x = 2.400.

Jadi harga 1 buku + 2 pulpen

= Rp 2.400 + 2 (Rp 1.800 )

= Rp 6.000,00.

Pembahasan soal 2

Model matematikanya sbb :

P – l = 9 …………………………………. (1)

K = 2 ( p + l )

74 = 2 ( p + l ) p + l = 37 …………(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2).

P – l = 9

P + l = 37 +

2p = 46 maka didapat p = 23

Subsitusikan nilai p = 23

P + l = 37

23 + l = 37

l = 37 – 23

l = 14

Jadi Luas kolam tersebut adalah :

L = p x l = 23 x 14

= 322 m2

Pembahasan soal 3

Misal : banyak bebek = x ekor

banyak sapi = y ekor

x + y = 13 x 2 2x + 2y = 26

2x + 4y = 38 x 1 2x + 4y = 38 -

-2y = -12

y = 6

Subsitusikan nilai y = 6 ke dalam persamaan :

x + y = 13

x = 13 - 6

x = 7

Jadi, banyak bebek = 7 ekor dan sapi = 6 ekor.

Congratulations

Tidak Cerdas Anda

TERIMA KASIH

Wasslamu’alaikumCreated by : 4 icon (Boy Band)