spldv dari anung
TRANSCRIPT
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
(SPLDV)
Matematika Kelas VII Semester GasalSemester Gasal
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali permasalahan-permasalahan yang dapat dipecahkan menggunakan SPLDV. Pada umumnya, permasalahan tersebut berkaitan dengan masalah aritmetika sosial. Misalnya, menentukan harga satuan barang, menentukan panjang atau lebar sebidang tanah, dan lain sebagainya.
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Indikator Materi Pembelajaran Evaluasi
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
3.1 Menyelesaikan sistem persamaan linier dan sistem persamaan campuran linier dan kuadrat dalam dua variabel
3.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier
3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dan penafsirannya
Standar Kompetensi
Kompetensi Dasar
Menentukan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel
Memberikan tafsiran geometri dari penyelesaian sistem persamaan linier
Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan dua variabel
Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier, menentukan besaran masalah tersebut sebagai variabel, membuat model matematikanya, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil penyelesaian masalah tersebut
Silahkan ditambah.....
Siswa mampu menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik.
Siswa mampu menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi.
Siswa mampu menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi.
Siswa mampu menerapkan SPLDV dalam masalah sehari-hari.
• Pengertian• Metode• Penerapan
Inget-inget yaa….
Persamaan-persamaan tersebut memiliki dua variabel yang belum diketahui nilainya. Bentuk inilah yang dimaksud dengan persamaan linear dua variabel. Jadi, persamaan dua variabel adalah persamaan yang hanya memiliki dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu.
Mari kita simak….
Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem persamaan yg mengandung dua variabel yang tidak diketahui.
Bentuk Umumnya :
ax + by = c … persamaan (1)px + qy = r … persamaan (2)
Dengan a, b, c, p, q & r ϵ Ra, p = koefisien dari xb, q = koefisien dari y
Ada 4 metode penyelesaian SPLDV tersebut, yaitu :
Metode EliminasiMetode SubstitusiMetode CampuranMetode Grafik
1. Metode Eliminasi1. Metode EliminasiMetode ini digunakan dengan cara
mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabelnya, sehingga diperoleh sebuah persamaan dengan satu variabel.Contoh :Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari persamaan linear berikut dengan metode eliminasi !2x + 3y = 1 … pers.(1)3x + y = 5 … pers.(2)Jawab :Mengeliminasi x2x + 3y = 1 x3 6x + 9y = 33x + y = 5 x2 6x + 2y = 10 –
7y = - 7 y = -1
Mengeliminasi y2x + 3y = 1x1 2x + 3y = 13x + y = 5 x3 9x + 3y = 15 –
- 7x = - 14 x = 2
Jadi, HP = { 2, -1 }
Catatan :“ Jika kita mengeliminasi (menghilangkan)
variabel x maka yang akan kita dapatkan nantinya adalah nilai dari variabel y dan sebaliknya, jika kita mengeliminasi variabel y maka yang akan kita dapatkan nantinya adalah nilai dari variabel x “
Tentukan HP dari SPL berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi !
1) 2x – y = 2
3x – 2y = 1 Jawab
2) 3x + 5y = 4
3x – y = 10 Jawab
3) 5x + y = 5
17x + y = - 5 Jawab
4) 2p – 3q = 4
7p + 2q = 39 Jawab
Ke slide Metode Substitusi
Jawab1) * Mengeliminasi variabel y
2x – y = 2 x 2 4x – 2y = 43x – 2y = 1 x 1 3x – 2y = 1 -
x = 3
* Mengeliminasi variabel x2x – y = 2 x 3 6x – 3y = 63x – 2y = 1 x 2 6x – 4y = 2 -
y = 4
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah = { 3, 4}
Kembali ke slide soal
Jawab2) * Mengeliminasi variabel x
3x + 5y = 4
3x – y = 10 -
6y = - 6
y = - 1
* Mengeliminasi variabel y
3x + 5y = 4 x 1 3x + 5y = 4
3x – y = 10 x 5 15x – 5y = 50 +
18x = 54
x = 3
Jadi, Himpunan Penyelesaian = { 3, - 1}
Kembali ke slide soal
Jawab3) * Mengeliminasi variabel y
5x + y = 5
17x + y = - 5 -
- 12x = 10
* Mengeliminasi variabel x
5x + y = 5 x 17 85x + 17y = 85
17x + y = - 5 x 5 85x + 5y = - 25 -
12y = 110
Kembali ke slide soal
6
5
12
10
x
6
19
12
29
12
110y
}{6
19,
6
5HP
Jawab4) * Mengeliminasi variabel p
2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 28
7p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -
- 25q = - 50
* Mengeliminasi variabel q
2p – 3q = 4 x 2 4p – 6q = 8
7p + 2q = 39 x - 3 - 21p - 6q = - 117 -
25p = 125
Jd, HP = { 5, 2} Kembali ke slide soal
225
50
q
525
125p
2. Metode Substitusi2. Metode SubstitusiPada metode ini, salah satu variabel dari salah
satu persamaan disubstitusikan sehingga diperoleh sebuah persamaan dengan satu variabel saja
Perhatikan Contoh berikutPerhatikan Contoh berikuta)Tentukan HP dari persamaan linear berikut dengan metode substitusi !
3x + 4y = 11 … persamaan (1) x + 7y = 15 … persamaan (2)Jawab :Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … pers.(3)Kemudian substitusikan pers.(3) ke pers.(1) :3x + 4y = 11 Harga y = 2 lalu
⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 substitusikan ke pers(3) :
⇔ 45 – 21y + 4y = 11 x = 15 – 7y⇔ - 21y + 4y = 11 – 45 x = 15 – 7(2)⇔ - 17y = - 34 ⇔ x = 15 – 14
x = 1Jadi, Himpunan Penyelesaian = { 1, 2 }
2x + 3y = 1 … pers.(1)
3x + y = 5 … pers.(2)
Jawab :
Dari pers.(2) didapat : y = 5 – 3x … pers.(3). Harga x = 2 lalu
lalu substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : disubstitusikan ke pers.(3) :
2x + 3y = 1 y = 5 – 3x
2x + 3(5 – 3x) = 1 y = 5 – 3(2)
2x + 15 – 9x = 1 y = 5 – 6
2x – 9x = 1 – 15 y = - 1
- 7x = - 14
x = 2
Jadi, Himpunan Penyelesaian = { 2, - 1}
1) 2x – y = 23x – 2y = 1 Jawab
2) 3x + 5y = 43x – y = 10 Jawab
3) 5x + y = 517x + y = - 5 Jawab
4) 2p – 3q = 47p + 2q = 39 Jawab
Jawab1) 2x – y = 2 … pers.(1)
3x – 2y = 1 … pers.(2)
Dari pers (1) didapat : Harga x = 3
kemudian disubstitusikan
- y = 2 – 2x ⇔ y = - 2 + 2x … pers.(3) ke pers.(1) :
Kemudian substitusikan
pers.(3) ke pers.(2) : 2x – y = 2
⇔ 3x – 2y = 1 ⇔ 2(3) – y = 2
⇔ 3x – 2(-2 + 2x) = 1 ⇔ 6 – y = 2
⇔ 3x + 4 – 4x = 1 ⇔ - y = 2 – 6
⇔ 3x – 4x = 1 – 4 ⇔ - y = - 4
⇔ - x = - 3 ⇔ y = 4
⇔ x = 3
Jadi, HP = { 3, 4}
Jawab
2) 3x + 5y = 4 … pers.(1)
3x – y = 10 … pers.(2)
Dari pers (2) didapat : Harga x = 3 lalu disubstitusikan
y = 10 – 3x ⇔ y = - 10 + 3x … pers (3) ke pers (2) :
lalu substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : 3x – y = 10
⇔ 3x + 5y = 4 ⇔ 3(3) – y = 10
⇔ 3x + 5(-10 + 3x) = 4 ⇔ 9 – y = 10
⇔ 3x – 50 + 15x = 4 ⇔ - y = 10 – 9
⇔ 3x + 15x = 4 + 50 ⇔ - y = 1
⇔ 18x = 54 ⇔ y = - 1
⇔ x = 3
Jadi, HP = { 3, - 1 }
Jawab
3) 5x + y = 5 … pers.(1)
17x + y = - 5 … pers.(2)
Dari pers (1) didapat : Harga
y = 5 – 5x … pers (3) lalu disubstitusikan ke pers.(1) :
Lalu substitusikan pers (3) ke pers (2) : 5x + y = 5
17x + y = - 5
⇔ 17x + 5 – 5x = - 5
⇔ 17x – 5x = - 5 – 5 ( x 6 )
⇔ 12x = - 10 ⇔ - 25 + 6y = 30
⇔ 6y = 30 + 25
⇔ 6y = 556
5
12
10
x
6
5x
56
55 )( y
56
25)( y
6
19
6
55 y
}{6
19,
6
5HP
Jawab4) 2p – 3q = 4 … pers.(1)
7p + 2q = 39 … pers.(2)
Dari pers (1) didapat : Harga q = 2 lau disubstitusikan
2p – 3q = 4 ⇔ 2p = 4 + 3q ke pers (1) :
2p – 3q = 4
lalu substitusikan pers (3) ke pers (2) : ⇔ 2p – 3(2) = 4
⇔ 7p + 2q = 39 ⇔ 2p – 6 = 4
⇔ 2p = 4 + 6
⇔ 2p = 10
⇔ p = 5
( x 2)
⇔ 28 + 21q + 4q = 78 Jadi, HP = { 5, 2 }
⇔ 21q + 4q = 78 – 28
⇔ 25q = 50 ⇔ q = 2
)3.(...2
34pers
qp
3922
347 )(
q
q
3922
2128 )(
3. Metode Campuran3. Metode CampuranPada metode ini, merupakan gabungan dari metode
eliminasi dan substitusi.Contoh :a) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dengan metode campuran !
3x + 4y = 11 … pers (1) x + 7y = 15 … pers (2)Jawab :3x + 4y = 11 x 1 3x + 4y = 11x + 7y = 15 x 3 3x + 21y = 45 -
- 17y = - 34 ⇔ y = 2
Harga y = 2 lalu substitusikan ke pers (2) :
x + 7y = 15⇔ x + 7(2) = 15⇔ x + 14 = 15⇔ x = 15 – 14 ⇔ x = 1 Jadi, HP = { 1, 2 }
2x + 3y = 1 … pers.(1)4x – 3y = 11 … pers.(2)
Jawab :2x + 3y = 14x – 3y = 11 +⇔ 6x = 12⇔ x = 2
Harga x = 2 lalu substitusikan ke pers (1) : 2x + 3y = 1⇔ 2(2) + 3y = 1⇔ 4 + 3y = 1⇔ 3y = 1 – 4⇔ 3y = - 3⇔ y = - 1 Jadi, HP = { 2, -1 }
1) 5x + y = 5
17x + y = - 5 Jawab
2) 2p – 3q = 4
7p + 2q = 39 Jawab
1) 5x + y = 5 … pers.(1)17x + y = - 5 … pers(2)
5x + y = 5 Harga kmd17x + y = - 5 - disubstitusikan ke pers(1) : - 12x = 10 5x + y = 5
( x 6 )⇔ - 25 + 6y = 30⇔ 6y = 30 + 25⇔ 6y = 55
6
5
12
10
x
6
5x
56
55 )( y
56
25)( y
6
19
6
55 y
}{6
19,
6
5HP
2) 2p – 3q = 4 … pers.(1)7p + 2q = 39 … pers(2)
2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 287p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -
- 25q = - 50
2p – 3q = 4⇔ 2p – 3(2) = 4⇔ 2p – 6 = 4⇔ 2p = 4 + 6⇔ 2p = 10⇔ p = 5
Jadi, HP = { 5, 2 }
225
50
q
4. Metode Determinan4. Metode DeterminanSistem persamaan, misalkan :
ax + by = cpx + qy = r
Menurut aturan determinan diubah menjadi :
Artinya dan untuk variabel x dan ydidefinisikan :
,
qp
ba
pbqaqp
ba..
pbqa
rbqcqr
bc
x..
..
pbqa
pcrarp
ca
y..
..
4x – 5y = 22
7x + 3y = 15
Kita cari dulu determinannya :
Jd, HP = { 3, -2}
347
141
47
7566
47
15)5(3.22315
522
x
4735127)5(3.437
54
247
94
47
15460
47
7.2215.4157
224
y
1) 2x – y = 23x – 2y = 1
Kita cari dulu determinannya :
Jadi, HP = { 3, 4}
31
3
1
14
1
1)1()2(221
12
x
1343)1()2(223
12
41
4
1
62
1
3.21.213
22
y
2) 3x + 5y = 43x – y = 10
Kita cari dulu determinannya :
Jadi, HP = { 3, -1}
318
54
18
504
18
10.5)1(4110
54
x
181533.5)1(313
53
118
18
18
1230
18
3.410.3103
43
y