PPG MT-MAJOR

TOPIK 1

NOMBOR Pengenalan Kursus Mengajar Nombor, Pecahan, Perpuluhan dan Peratusan ini memberi peluang kepada pelajar menghayati dan mengembangkan amalan pengajaran yang baik dalam nombor, pecahan, perpuluhan dan peratus. Perbincangan meliputi aspek-aspek yang berkaitan dengan perkembangan konsep kanak-kanak, aktiviti pengajaran dan pembelajaran serta pembinaan resos pembelajaran. Pengalaman praktikal diperoleh melalui sesi pengajaran mikro/makro. Modul ini dibina untuk membimbing pelajar- pelajar menjana ide dan menggilap kreativiti menjadi guru matematik yang berkesan. Tiga aspek utama yang mesti diberi perhatian ialah: i. Tahu tentang kemahiran- kemahiran matematik yang perlu murid

kuasai pada akhir persekolahannya. ii. Ada kemahiran pedagogi untuk menyampaikan isi kandungan

pelajaran supaya murid faham dan jelas. iii. Tahap- tahap perkembangan dalam pembinaan sesuatu konsep

matematik Topik- topik dalam kursus ini ialah Nombor, diikuti dengan Pecahan, Perpuluhan dan Peratus. Dalam tajuk 1, kita akan fokus kepada Nombor Bulat sahaja dan Empat Operasi Asas. Kita juga akan bincangkan tentang Fakta Asas, Celik Operasi (Operation Sense) dan Pengiraaan serta Isu- isu Utama dalam Pengajaran Nombor Bulat. Hasil Pembelajaran Pada akhir pembelajaran topik ini, pelajar- pelajar dapat: i. Menerangkan tentang perkembangan awal nombor. ii. Meningkatkan kemahiran-kemahiran pedagogi yang berkesan dalam

pengajaran Nombor Bulat. iii. Merancang aktiviti- aktiviti pengajaran dan pembelajaran bagi tajuk

Nombor Bulat. iv. Membincangkan isu- isu yang berkaitan dalam tajuk ini.

1.1 Nombor Bulat Kemahiran - kemahiran matematik dalam tajuk Nombor Bulat yang perlu

ada dan mesti dikuasai murid- murid setelah tamat sekolah rendah ialah:

PPG MT-MAJOR

Menggunakan istilah seperti banyak, sedikit, sama banyak, tidak sama banyak atau lebih besar daripada, lebih kecil daripada semasa membuat perbandingan.

Mengenal dan menamakan nombor bulat Mengira, membaca dan menulis nombor bulat Menentukan nilai tempat bagi digit dalam nombor bulat Membanding beza nilai- nilai nombor bulat Menyusun nombor bulat secara menaik atau menurun Membundar nombor bulat kepada puluh, ratus, ribu dan puluh ribu

yang hampir.

Kemahiran Pedagogi ialah satu aspek yang amat penting bagi guru untuk menyampaikan isi kandungan semasa sesi pengajaran dan pembelajaran. Kemahiran pedagogi bermaksud guru dapat menguasai kaedah, teknik dan strategi yang bersesuaian dalam pengajaran dengan tujuan membantu murid memahami dan menguasai sesuatu konsep.Seorang guru matematik yang efektif perlu arif tentang langkah- langkah perkembangan yang perlu diambil kira dalam pembinaan sesuatu konsep khususnya bagi nombor bulat.

1.1.1 Tahap Perkembangan Nombor Bulat

Perkembangan suatu konsep matematik selalunya akan melalui beberapa langkah- langkah tertentu. Ia berlaku secara berturutan dari konsep yang mudah ke konsep yang agak sukar dan seterusnya ke tahap yang susah. Murid- murid perlu didedahkan mengikut pemeringkatan seperti dalam tajuk nombor bulat iaitu:

Celik Nombor Pra Nombor Nombor Awal Pengenalan Nilai Tempat Pengukuhan tentang Nilai Tempat Lanjutan tentang Nilai Tempat

1.1.2 Celik Nombor Celik nombor merangkumi: • Pemahaman tentang konsep nombor dan operasi ke atas

nombor.

• Pembentukan strategi berguna bagi memahami nombor dan operasi ke atas nombor.

PPG MT-MAJOR

• Kebolehan untuk mengira dengan tepat dan efisyen, boleh mengesan kesilapan.

• Kebolehan dan kecenderungan untuk menggunakan kefahaman tentang nombor , dan dalam pelbagai cara yang fleksibel apabila ingin membuat keputusan.

• Mempunyai jangkaan bahawa nombor adalah berguna, dan bekerja dengan nombor adalah bermakna dan boleh diterima akal (make sense).

- cth: dapat tempat pertama dalam kelas

1.1.3 Pra Nombor Pada peringkat ini, kanak- kanak perlu ada kemahiran pra

syarat untuk mempelajari tentang nombor. Kemahiran pra syarat ini termasuklah: mengklafikasi /mengisih objek melalui sifat- sifat fizikal

seperti warna, saiz membandingkan kuantiti dua objek melalui padanan satu ke

satu. menentukan hubungan kuantiti antara dua set sebagai sama

banyak, lebih banyak atau kurang daripada. Keabadian kuantiti

Konsep Pranombor adalah yang bukan berkaitan dengan nombor tetapi kemahiran ini penting sebagai asas kepada konsep dan kemahiran nombor yang seterusnya.

1.1.4 Nombor Awal

Di sini, kanak- kanak akan menumpukan perhatian untuk mempelajari nombor 1 ke 10, juga sifar. Mereka akan diajar membaca, menulis dan menyusun nombor berasaskan objek- objek konkrit dahulu, diikuti dengan objek- objek dalam gambar dan akhirnya hanyalah simbol atau nombor sahaja. Mereka juga perlu faham konsep sifar yang mewakili kuantiti kosong atau tiada.Guru matematik perlu berhati- hati di sini kerana kanak- kanak biasanya menghadapi masalah untuk memahami makna sifar.Oleh itu, adalah wajar untuk mengenalkan sifar hanya setelah kanak- kanak kenal nombor sekurang- kurangnya sehingga nombor 3. Begitu juga dengan nombor 10 kerana ia melibatkan nombor dua digit dan nilai tempat. Penerangan berkenaan Nilai Tempat akan dihuraikan kemudian.

PPG MT-MAJOR

Kemahiran/konsep penting yang perlu dikembangkan dalam peringkat awal nombor • Mengenal, menama, dan menentukan nilai nombor 1 hingga

10, dan 0

Membilang nombor 1 hingga 10

• Menulis angka 1 hingga 10

• Menyusun nombor 1 hingga 10 mengikut tertib menaik dan menurun.

1.1.5 Perkembangan Nombor (Number Development)

Mengajar awal nombor Dengar, lihat, sebut dan tunjuk Strategi Membilang • Membilang secara menaik (Counting on)

• Membilang secara menurun (Counting back)

• Membilang secara lisan (Verbal counting)

• Membilang secara sentuhan (Touch counting)

• Membilang secara visual (Visual counting)

• Membilang secara melangkau (Skip counting)

Mengajar Menulis Angka Teknik Biasa

• Menulis di udara (write in the air)

• Menulis di atas pasir (write on sand board)

• Menekap angka putus-putus (trace dashed numerals)

• Menulis di atas ruang kosong (write on empty space)

PPG MT-MAJOR

1.1.6 Pengiraan

Apabila kita mengira, kita sebenarnya mencari bilangan elemen dalam satu set objek. Ia melibatkan nombor- nombor selain dari 1. Contohnya kita mengira wang, baki wang, mengira dalam kiraan dua (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) atau dalam kiraan lima (5, 10, 15, 20, 25, ...).

Kita boleh mengira dalam pelbagai cara yang berbeza. Mengira secara lisan biasanya digunakan bagi objek yang ada di depan mata.Menggunakan gundal atau tally marks, untuk mengira dilakukan dengan mencatatkan satu tanda untuk mewakili satu kuantiti dan kemudian menjumlahkan tanda yang dicatat . Ini adalah pengiraan menggunakan asas 1. Pengiraan biasa ialah menggunakan asas 10

Selain dari itu kita juga boleh menjalankan pengiraan menggunakan jari (finger-counting) terutamanya untuk mengira nombor kecil. Di sini kita menggunakan 1 jari= 1 unit dan terhad kepada mengira 10 sahaja. Lain- lain simbol tangan juga digunakan seperti dalam Sistem Cina di mana 1 tangan mewakili 10. Finger binary (base 2 counting) juga ialah satu cara mengira di mana pengiraan sehingga 1023 = 210 – 1 boleh dilakukan.

Guru matematik sepatutnya mendedahkan teknik- teknik untuk mengira seperti teknik counting on (0, 1,2,3,4,....), teknik counting back (10, 9,8,7,6,.....) dan juga skip counting (2, 4,6,8,....) . Kita patut mula dengan nombor yang lebih kecil dahulu misalnya nombor 0 hingga 10. Apabila murid- murid sudah mahir, barulah beralih ke nombor- nombor yang lebih besar.

Pelbagai alat dan kaedah boleh digunakan untuk membantu mengira seperti hand tally counters, menggunakan pensel dan kertas, penganggaran, aritmetik mental, abakus, kalkulator dan komputer. Kita sepatutnya dapat membuat pilihan yang bijak melalui pengalaman untuk memilih yang mana satu yang lebih baik dan sesuai.

1.1.7 Peranan Algoritma dan Perwakilan Nombor

Algoritma ialah satu prosedur yang mengandungi langkah- langkah khusus untuk diikuti dalam pengiraan. Mengikut al-Khwārizmī, algoritma merujuk kepada peraturan- peraturan dalam menjalankan aritmetik menggunakan nombor- nombor Arab- Hindu. Kepentingan untuk memahami dan menggunakan algoritma adalah perlu dalam mempelajari matematik. Terdapat

PPG MT-MAJOR

pelbagai algoritma dalam matematik dengan kegunaannya tersendiri.

Untuk menjadi mahir dalam pengiraan, seorang mestilah mempunyai kaedah yang efisen dan tepat untuk mengira, dan ada kemahiran celik nombor dan operasi. Kita perlu tahu dan faham bagaimana sesuatu algoritma itu digunakan dan berfungsi. Ini dapat menyokong kita untuk terus maju dalam matematik kerana algoritma itu bermakna untuk kita. Sekiranya kita mengamalkan pembelajaran secara menghafal semasa menjalankan algoritma matematik, maka ini akan menghalang perkembangan celik nombor kita. Pelajar yang dapat mencipta algoritma alternatif selalunya lebih berjaya dalam matematik kerana ia dibina berasaskan pemikiran dan kefahaman mereka.

Dalam pengajaran dan pembelajaran matematik, latihan perlu diberi setelah mempelajari tajuk matematik. Kadangkala latihtubi dan latihan tidak akan menjadi berkesan dan perlu sekiranya ia tidak membawa apa-apa makna kepada pelajar. Jadi seharusnya pelajar perlu jelas dan faham apa yang mereka buat. Kefahaman konseptual mesti dilengkapi dulu sebelum latihan dijalankan. Konsep yang kukuh tentang ide- ide matematik akan memudahkan lagi menyelesaikan masalah yang berkaitan. Kelajuan dan kecekapan menggunakan algoritma matematik melibatkan nombor- nombor besar bukan lagi merupakan satu isu kritikal kerana isu ini dapat diatasi menggunakan teknologi. Kita memerlukan fasiliti kepada algoritma untuk pengiraan itu. Walaupun begitu, teknologi tidak boleh menafikan keperluan untuk memahami dan menjalankan algoritma- algoritma asas.

1.1.8 Nilai Tempat

Dalam sistem Arab- Hindu , nilai tempat merupakan satu konsep utama.Nilai bagi sesuatu nombor ditentukan melalui kedudukannya dalam nombor itu. Sebagai contoh nombor 3578 dibaca sebagi tiga ribu lima ratus tujuh puluh lapan. Ribu, ratus, puluh dan sa menunjukkan tempat bagi nilai. 3 5 78

8 sa 7 puluh, atau 70 sa 5 ratus, atau 500 sa 3 ribu, ataqu 3000 sa

PPG MT-MAJOR

Dalam bentuk kembangan (expanded form), 3578 boleh ditulis sebagai 3000 + 500 + 70 +8. Guru perlu membimbing murid memahami nilai tempat asas sepuluh supaya mereka faham sistem nombor Arab Hindu. Ini membolehkan mereka membina sebarang nombor menggunakan 10 digit itu dan menentukan nilai tempatnya. Konsep nilai tempat dapat dikukuhkan lagi melalui pengalaman mencerakinkan nombor dalam bentuk expanded form. Apabila tajuk nilai tempat diperkenalkan, murid- murid akan mula menggunakan nombor 11 hingga 20 . Ide tentang nilai tempat dikaitkan terus dengan konsep pengumpulan semula dalam nombor asas 10 (10 sa = 1 puluh). Satu contoh bahan untuk menunjukkan nombor asas sepuluh ialah dengan menggunakan straw. Kita katakan satu straw mewakili nilai 1 dan 1 ikatan yang mengandungi 10 straw menunjukkan ide mengumpulkan 10 straw kepada satu kumpulan 10. Lihat rajah di bawah.

Ide nilai tempat diteruskan lagi kepada nombor 20 sehingga 100. Untuk membina kefahaman dan pengalaman ini, kita mesti melalui proses mengumpulkan objek dalam kumpulan sepuluh- sepuluh. Sekali lagi kita boleh gunakan straw untuk menunjukkan ide 1 ratus = 10 puluh = 100 sa. Di sini guru memainkan peranan penting untuk membimbing murid untuk belajar dan memahami konsep nilai tempat dengan mudah melalui pengalaman konkrit.

Kini masanya untuk anda berfikir.

Aktiviti 1

Apakah bahan- bahan lain yang boleh anda gunakan sebagai objek asas 10 semasa mengajar konsep nilai tempat?

Bagaimana anda menggunakan bahan itu untuk menunjukkan nilai sa, puluh dan ratus?

sa puluh

PPG MT-MAJOR

Catatkan di bawah.

Konsep nilai tempat dilanjutkan kepada nombor melebihi 100. Idea pengumpulan sepuluh- sepuluh dilakukan untuk menunjukkan 10 puluh = 1 ratus; 10 ratus = 1 ribu dsb. Sehubungan dengan itu, kefahaman murid tentang nilai tempat diperluaskan kepada ratus, ribu, puluh ribu, ratus ribu dan juta. Murid perlu diingatkan tentang digit 0 dalam ide nilai tempat. Sifar di sini ada makna tertentu. Guru perlu membimbing murid supaya faham. Contohnya dalam nombor 709, sifar terletak pada tempat puluh dan tiada nilai puluh di sini.

Ada banyak cara yang baik yang boleh digunakan untuk mengajar konsep nombor. Sebagai seorang guru matematik kita tahu, murid membina konsep melalui kefahamannya dan pembelajaran akan berlaku daripada pengalaman belajar yang bermakna. Oleh itu, guru harus merancang pengajaran yang menyediakan ruang untuk berfikir melalui aktiviti – aktiviti yang melibatkan penglibatan aktif , mencabar, praktikal dan relevan.

a) Contoh Aktiviti P&P - Mengira

Hasil Pembelajaran:

Mengira sekumpulan objek dari 1 hingga 10 Mengira ke belakang dari nombor 10 to 0.

Bahan : 10 pembilang Kad Nombor 0 – 10

Prosedur:

1. Guru berkata: “Lihat, saya ada banyak pembilang.

Mari kita kira bilangan pembilang yang saya ada.”

2. Guru mengalihkan satu kaunter ke tepi dan berkata “satu”. 3. Guru mengalihkan satu lagi pembilang dan berkata “dua”.

PPG MT-MAJOR

4. Guru ulang untuk “tiga”, “empat” sehingga “sepuluh”. 5. Kerja berpasangan:

Secara bergilir lakukan seperti di atas- seorang alihkan pembilang sambil seorang lagi menyebut bilangan yang dialih. Beri pujian jika dapat mengira dengan betul.

6. Murid- murid bermain “Permainan Mengira” dalam kumpulan berlima mengikut peraturan berikut:

Kocok kad (0 – 10) dan terbalikkannya. Seorang pemain ambil kad teratas dan terbalikkan sambil

menyebut nombornya , contoh : “tujuh”. Pemain lain mengira ke belakang “enam, lima , empat,

tiga,....., sifar” mengikut giliran. Pemain yang menyebut sifar akan mengambil kad

seterusnya dan permainan diteruskan seperti di atas.

b) Contoh Aktiviti P&P – Nilai Tempat Hasil Pembelajaran:

Menukar nombor 10 hingga 20 dalam puluh dan sa menggunakan strip-puluh dan kepingan sa. Bahan: Bahan Asas 10 : strip- puluh dan kepingan sa Kad nombor : 0 hingga 9 Kad Manila dengan dua poket.

Prosedur: 1. Guru bimbing murid untuk menukar 10 kepingan sa dengan

satu strip- puluh

strip- puluh

kepingan sa

2. Murid diminta menyebut satu nombor antara 11 dan 20. Contohnya 15. Guru bimbing murid tukar 15 sa dengan 1 strip- puluh dan 5 sa

PPG MT-MAJOR

3. Guru bimbing murid pilih satu kad nombor untuk mewakili nombor di atas dan letakkan dalam poket seperti di bawah:

4. Guru bimbing murid untuk menulis 15 = 1 puluh + 5 sa = 10 + 5 5. Murid kemudian menyebut nombor itu dalam dua cara iaitu :

satu puluh dan lima sa dan lima belas.. 6. Ulang langkah- langkah di atas untuk nombor- nombor lain. Ringkasan: 1. Nombor mewakili kuantiti sesuatu objek dan diterjemahkan dalam

bentuk simbol digit.

2. Ide sifar diperkenalkan selepas murid- murid kenal sekurang- kurangnya tiga nombor pertama.

3. Ide pengumpulan bersepuluh penting untuk membina konsep nilai

tempat.

4. Tiada satu cara terbaik yang tertentu untuk mengajar tajuk nombor bulat. Oleh itu, gunakan kreativiti anda untuk menghasilkan pelbagai kaedah yang boleh digunakan untuk menyokong pengajaran.

1.2. Operasi Nombor dan Fakta Asas

Operasi Tambah dan Tolak 1.2.1 Pengenalan

Murid-murid sekolah rendah perlu mempunyai kemahiran asas

mengira. Ada empat operasi asas iaitu :

Penambahan TADIKA dan TAHUN 1

penolakan

pendaraban

Pembahagian

Puluh

Sa

1 5

PPG MT-MAJOR

1.2.2 Peringkat Pembelajaran Bagi Penambahan Dan Penolakan

Ada 3 langkah asas dalam pembelajaran ini:

Tambah dan Tolak sehingga nombor 10 – pengalaman

mengira awal dan memahami konsep dan makna

penambahan dan penolakan

Tambah dan Tolak sehingga nombor 18 – menekankan

kemahiran mengingat fakta asas bagi penambahan dan

penolakan

Tambah dan Tolak bagi nombor lebih daripada 2 digit –

menekankan tentang algoritma simbolik bagi penambahan

dan penolakan.

1.2.3 Makna Penambahan Dan Penolakan

Penambahan - operasi yang mengumpulkan dua nombor

(addends) untuk menghasilkan nilai unik ketiga yang dikenali

sebagai hasil tambah.

Dalam ayat matematik, ia ditulis sebagai

3 + 4 = 7, 3 dan 4 adalah addends, dan 7 adalah hasil

tambah.

Penolakan – kita mula dengan hasil tambah dan menarik

keluar satu daripada addends untuk mencari satu lagi

addend yang tinggal.

Hasil tambah sebenar adalah minuend; addend yang ditolak

adalah subtrahend; addend yang tertinggal adalah baki

Dalam ayat matematik, ia ditulis sebagai

o 7 – 3 = 4, 7 adalah minuend, 3 adalah subtrahend, dan 4

merupakan baki.

PPG MT-MAJOR

Ada dua model asas untuk menggambarkan penambahan.

(a) Model Set: kombinasi objek konkrit; dan

(b) Model Garis Nombor : kombinasi kuantiti tidak konkrit

Contoh :

Masalah 1: Abu mempunyai 3 biji bola berwarna merah dan

5 biji bola biru. Berapa jumlah bola yang Abu punyai?

Masalah 2: Suhu air dalam sebuah bikar adalah 38o C.

Selepas memanaskannya, suhu meningkat sebanyak 4o C.

Apakah bacaan suhu baru bagi air tersebut?

Masalah 2 berkenaan kombinasi dua bacaan suhu, kuantiti bukan konkrit. Gambaran rajah adalah seperti berikut: MODEL GARIS NOMBOR

Masalah 1 berkenaan penambahan dua biji bola, dua objek konkrit. Gambaran rajah adalah seperti berikut: MODEL SET

0 0C 10 0C 20 0C 30 0C 40 0C 50 0C

38 0C

42 0C

4 0C

PPG MT-MAJOR

Ada empat model asas untuk menunjukkan makna Penolakan :

(a) Model Take-Away

(b) Model Perbandingan (Comparison)

(c) Model Missing-Addend

(d) Model Garis Nombor

Contoh :

Masalah 1: Bibah mempunyai 5 ekor ayam. Semalam, 2

daripada ayam-ayam tersebut dicuri orang. Berapa ekor ayam yang

tinggal ? (MODEL TAKE AWAY)

(b) MODEL PERBANDINGAN (COMPARISON)

Masalah 2: Nina mempunyai 5 biji oren. Sari pula mempunyai 2 biji

oren. Berapa biji oren yang Nina punyai, melebihi oren yang dipunyai

oleh Sari ?

PPG MT-MAJOR

(c) MODEL MISSING-ADDEND

Masalah 3: Bob bercadang memelihara 5 ekor arnab. Pakciknya

memberi 2 ekor arnab sebagai permulaan.Berapa ekor arnab lagi yang

perlu Bob beli ?

(d) MODEL GARIS-NOMBOR)

Masalah 4: Suzy mempunyai 5 liter jus oren. Dia memberi 2 liter

kepada adiknya. Berapa liter jus oren yang masih tinggal pada Suzy ?

5 liter

1.2.4 Hubungan Antara Penambahan Dan Penolakan

Penambahan dan penolakan adalah operasi songsang

(inverse).

Contohnya:

disebabkan 3 + 4 = 7, maka 7 – 3 = 4 dan 7 – 4 = 3.

Aktiviti mengenai hubungan antara penambahan dan penolakan

adalah sangat penting pada tahap awal pembelajaran kanak-

kanak.

0 1 2 3 4 5 6

2 liter

3 liter

PPG MT-MAJOR

Sebagai guru matematik, adalah sangat penting untuk

membimbing mereka memahami hubungan ‘inverse’ ini melalui

aktiviti yang dirancang dengan teliti.

Contoh Mengenai Penolakan Merupakan ‘Inverse’ Kepada

Penambahan

Isi tempat yang kosong:

8 + 4 = 12

12 – 8 = _____ 12 – 4 = _____

5 + 9 = 14

14 – 5 = _____ 14 – 9 = _____

1.2.5 Sifat Penambahan

Identiti Penambahan(Additive identity)

Sifar adalah identiti bagi Penambahan sebab dengan

menambah sifar

kepada sebarang nombor, tetap akan menghasilkan

nombor tersebut, contohnya 4 + 0 = 4 (tekankan bahawa

(a + 0) and (0 + a) adalah sama.

Tukar tertib/Komutatif (Commutative property)

Menukar tertib kedudukan dua addend tidak mengubah

hasil tambah, contohnya: (4 + 3 = 3 + 4).

Ini memudahkan murid-murid jika yang telah mengetahui

5 + 7 = 12, tidak perlu lagi menghafal (7 + 5).

Identiti Penambahan(Additive identity)

Sifar adalah identiti bagi penambahan sebab dengan

menambah sifar kepada sebarang nombor, tetap akan

menghasilkan nombor tersebut, contohnya 4 + 0 = 4

(tekankan bahawa (a + 0) and (0 + a) adalah sama.

PPG MT-MAJOR

1.2.6 Fakta Asas Penambahan

1.2.7 Algoritma Bagi Penambahan Dan Penolakan

Untuk mengajar algoritma bagi penambahan dan penolakan,

kita perlu menggunakan bahan konkrit ( seperti bahan asas-10

dan carta nilai tempat ).

Rajah berikut menunjukkan contoh bagi proses penambahan

menggunakan bahan konkrit asas-10 serta proses bagi

penolakan.

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

PPG MT-MAJOR

Model Konkrit bagi (16 + 18).

PPG MT-MAJOR

Contoh Algoritma Penambahan

Contoh Algoritma Penolakan

Disamping algoritma tersebut di atas, terdapat lain-lain algoritma untuk

mengira penambahan dan penolakan.

Algoritma 1 Algoritma 2 1 1 3 7 8 3 7 8 + 9 5 8

+ 9 5 8 1 6 1 3 3 6 1 2 0 1 2 0 0 1 3 3 6

Algoritma 1 Algoritma 2

7 15 7 10

8 5 8 5

- 6 7 15 - 7 = 8 - 6 7 (10 – 7) + 5 = 8

1 8 1 8

Pu Sa 7 6 - 2 3

Pu Sa 7 6 - 2 3

3

Pu Sa 7 6 - 2 3

5 3Model Konkrit bagi (76 – 23).

PPG MT-MAJOR

1.3 Operasi Darab dan Bahagi

Pendaraban dan pembahagian adalah dua konsep penting yang digunakan dalam semua topik Matematik. Pendaraban merupakan antara asas pengiraan yang dianggap sukar selain membahagi. Oleh itu pelajar harus membina asas yang kukuh tentang pendaraban dan pembahagian semasa di sekolah rendah sebelum memasuki peringkat menengah.

1.3.1 Kemahiran Asas Matematik – Pendaraban dan

Pembahagian Kanak kanak membina pengetahuan pendaraban dan pembahagian daripada kefahaman tentang topik penambahan dan pendaraban. Kemahiran Asas Matematik yang berkaitan dengan pendaraban dan pembahagian ialah: Menulis ayat pendaraban dan pembahagian. Menyatakan dengan cepat fakta asas pendaraban sehingga 9 x 9

dan fakta asas pembahagian sehingga 81 ÷ 9. Menulis pendaraban dan pembahagian dalam bentuk algorithma

piawai. Mendarab sebarang dua nombor. Membahagi sebarang nombor dengan nombor lain, dengan baki

dan tanpa baki. Menyelesaikan masalah seharian yang melibatkan pendaraban

dan pembahagian.

1.3.2 Maksud Pendaraban dan Pembahagian Pendaraban secara umumnya dikenali sebagai penambahan berulang nombor yang sama. Di dalam ayat pendaraban 3 x 4 = 12, 12 dipanggil hasil darab bagi 3 dan 4 di mana 3 ialah multiplier dan 4 ialah multiplicand. Sebaliknya. pembahagian dikenali sebagai suatu proses mengagihkan suatu kuantiti kepada bahagian yang sama. Bagi pernyataan bahagi 305=6, 30 dipanggil dividend, 5 ialah pembahagi (divisor ) dan 6 ialah hasil bahagi (quotient). Walau bagaimanapun ada banyak lagi maksud pendaraban dan pembahagian.

PPG MT-MAJOR

Rajah 1 menggambarkan dua maksud umum pendaraban dan Rajah 2 menerangkan dua maksud umum pembahagian.

(3 X 4) bermaksud 4 + 4 + 4 TAMBAH BERULANG

(3 X 4) bermaksud 3 baris; 4 di dalam setiap baris.

SUSUNAN

Terdapat 3 bungkusan buah tomato. Setiap bungkusan ada 4 biji tomato .Berapakah jumlah buah tomato semuanya.

Terdapat 3 baris buah tomato. 4 biji tomato pada setiap baris. Berapakah jumlah buah tomato kesemuanya. ?

Rajah1. Maksud Pendaraban.

Terdapat 12 biji tomato.Seorang kanak-kanak makan 3 biji tomato. Berapakah orang kanak-kanak yang dapat makan semua tomato?

12 ÷ 3 = 4 bermaksud 3 boleh di tolak daripada 12 sebanyak 4 kali; iaitu.

12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0

TOLAK BERTURUT-TURUT

Terdapat 12 biji tomato untuk dibahagi kepada 3 orang kanak-kanak. Berapakan biji tomato untuk setiap kanak-kanak tersebut?

12 ÷ 3 bermaksud 12 diagihkan kepada 3 orang kanak-kanak; Seorang kanak-kanak mendapat 4. AGIHAN SAMA

Rajah 2. Maksud Pembahagian.

PPG MT-MAJOR

Banding dan beza (3 x 4 = 12) dan (4 x 3 = 12). Bagaimanakah perbezaan pendaraban ini mempengaruhi proses anda dalam pengajaran pendaraban?

Cikgu menyuruh Ahmad melukis gambar menunjukkan maksud 8 2 = 4. Ahmad melukis gambar berikut: Arif ,rakan Ahmad ,menyatakan gambar di atas tidak menunjukkan maksud pembahagian yang betul. Kerana untuk pembahagian 8 2, Ahmad harus melukis 8 objek yang dikongsi sama oleh 2 orang. Gambar yang betul adalah seperti di bawah.:

Apakah respon anda tentang perbezaan pendapat antara Ahmad dan Arif ? Kenapa anda fikir perbezaan pendapat ini timbul antara mereka ?

PPG MT-MAJOR

1.3.3 Hubungan antara Pendaraban dan Pembahagian Pendaraban dan pembahagian adalah suatu operasi songsangan (inverse operation). Sebagai contoh, oleh kerana 5 x 3 = 15, maka 15 3 = 5 dan 15 5 = 3. Kanak-kanak perlu diberi ruang yang luas untuk meneroka hubungan ini secara aktif. 1.3.4 Sifat-Sifat Pendaraban Pendaraban mempunyai beberapa ciri yang boleh digunakan untuk meringkaskan prosedur pengiraan secara mental dan lazim. Dua ciri yang berguna ialah identiti penambahan,ciri tukar tertib dan pendaraban dengan sifar.

i) Identiti Penambahan (Additive identity).

Satu ialah identiti penambahan kerana mendarabkan 1 dengan sebarang nombor akan meghasilkan nombor itu sendiri. (4 x 1 = 4).

ii) Tukar tertib/Komutatif (Commutative property).

Pendaraban adalah operasi komutatif kerana untuk sebarang nombor a dan b, (b x a) akan memberi nilai yang sama seperti (a x b). Sebagai contoh, 2 x 3 = 3 x 2 = 6.

iii) Pendaraban dengan sifar.

Sebarang nombor yang didarabkan dengan sifar akan memberi nilai sifar.

Model Konkrit bagi (76 – 23).

Bagaimanakah ciri-ciri pendaraban ini dapat membantu pelajar meringkaskan tugasan mereka dalam menghafal fakta asas pendaraban?

PPG MT-MAJOR

1.3.5 Fakta Asas Pendaraban Fakta asas pendaraban adalah pendaraban daripada sebarang dua nombor 1 digit. Terdapat 100 fakta asas bagi pendaraban. Fakta asas pendaraban boleh di terjemahkan dalam bentuk jadual. 1.3.6 Fakta Asas Pembahagian Sekiranya pelajar anda telah mengetahui fakta asas pendaraban, mereka boleh mengaitkan dengan fakta asas pembahagian. Sebagai contoh, jika mereka tahu bahawa 6 x 5 = 30, maka tidaklah sukar untuk mengaitkan bahawa 30 5 = 6 dan 30 6 = 5. Oleh itu, tidak perlu untuk mempelajari fakta asas pembahagian secara berasingan. Sebaliknya guru perlu menekankan tentang hubungan songsang antara pendaraban dan pembahagian. 1.3.7 Algoritma bagi pendaraban dan Pembahagian Terdapat berbagai jenis algoritma untuk melakukan operasi pendaraban dan pembahagian. Rajah 3 di bawah menunjukkan empat jenis algoritma yang berbeza untuk pendaraban dan Rajah 4 menunjukkan 2 jenis algoritma untuk pembahagian.

Algoritma 1 Algoritma 2 Algoritma 3 3 2 4 3 2 4 3 2 4

X 2 6 X 2 6 X 2 6 1 9 4 4 2 4 2 4 6

X 46 4 8 1 2 1 2 0 6 X

208 4 2 4 1 8 1 8 0 0 6 X

300 8 8 0 20

X 4 4 4 0 0 20 X

20 6 6 0 0 0 20 X

300 8 4 2 4 8 4 2 4

Bincangkan dengan rakan anda di sekolah. Apakah aktiviti pembelajaran yang digunakan untuk mengajar kanak-kanak tentang hubungan songsangan antara pendaraban dan pembahagian? Senaraikan semua idea utama anda.

PPG MT-MAJOR

Algoritma 4

X 300 20 4

20 6000 400 80

6 1800 120 24

324 x 26 = 6000 + 400 + 80 + 1800 + 120 + 24

= 8424

Rajah 3. Algoritma Pendaraban

Algoritma 1 Algoritma 2

4 3 0 134 1 3 4 1 0 0

7 9 4 1 7 9 4 1 7 7 0 0 tolak 100 x 7 2 4 2 4 1 2 1 2 1 0 tolak 30 x 7 3 1 3 1 2 8 2 8 tolak 4 x 7 3 baki 3 baki

Rajah 4. Algoritma Pembahagian

Maksud pendaraban dan pembahagian yang manakah setiap algoritma di atas di asaskan? Terangkan sebab anda.

Bagaimanakah anda menggunakan bahan konkrik untuk menunjukkan proses pendaraban dan pembahagian algoritma?

Algoritma yang manakah yang anda pilih untuk mengajar pelajar anda? Mengapa?

PPG MT-MAJOR

1.3.8 Contoh Aktiviti Pengajaran dan Pembelajaran. Sebagai guru matematik, anda seharusnya mencari peluang untuk mengumpulkan aktiviti p-p yang baik untuk pengajaran anda. Jika anda mempunyai koleksi aktiviti yang pelbagai, anda secara semulajadi akan mendapat idea yang banyak semasa merancang pengajaran anda. Dengan membaca contoh aktiviti di bawah diharap akan dapat memberi gambaran dan idea untuk memulakan koleksi anda. Aktiviti 1: Pendaraban sebagai Penambahan Berulang. Hasil Pembelajaran:

Menerangkan bahawa pendaraban adalah penambahan berulang. Menulis ayat pendaraban.

Bahan:

Pinggan kertas Pembilang

Langkah perlaksanaan: 1. Guru bercerita tentang penambahan berulang;murid melakonkan setiap

cerita menggunakan pembilang dan pinggan kertas.Contoh cerita ditunjukkan dalam Rajah 5.

Rajah 5. Contoh menunjukkan 3 x 2 = 2 + 2 + 2.

2. Setelah membuat model cerita yang lain, guru memperkenalkan pendaraban sebagai penambahan berulang dan ayat matematik yang berkaitan seperti 3 x 2 = 2 + 2 + 2.

3. Di dalam kumpulan 4 orang, setiap murid bergilir-gilir melakukan main

peranan bagi situasi di bawah:

Murid A: Ambil sebarang bilangan pinggan(tidak lebih dari 9) dan letakkan ditengah setiap kumpulan.

Sediakan jadual untuk menunjukkan fakta asas pendaraban.Apakah pola yang dapat dilihat dalam jadual ini?Bagaimanakah anda menggunakan pola ini untuk mengalakkan pelajar anda mengingat fakta asas dengan mudah?

PPG MT-MAJOR

Murid B: Letakkan sebarang bilangan pembilang (tidak lebih dari 9) atas setiap pinggan.

Murid C: Mulakan bercerita “3 pinggan; 2 pembilang setiap satu; 6 pembilang semuanya”

Murid D: Tuliskan ayat penambahan berulang dan ayat pendaraban yang berkaitan. Aktiviti 2: Pendaraban sebagai Suatu Susunan.

: Hasil Pembelajaran:

Menerangkan bahawa pendaraban adalah suatu susunan. Menulis ayat pendaraban.

Bahan :

Pembilang Jalur Kertas

Langkah perlaksanaan : 1. Guru membincangkan masalah susunan mudah dengan murid dan

menggunakan jalur kertas dan pembilang untuk menyelesaikan masalah. Contoh masalah adalah seperti dalam Rajah 6.

Rajah 6. Contoh untuk menunjukkan 3 x 4 sebagai 3 baris dengan 4 objek dalam setiap baris.

2. Selepas menyelesaikan masalah yang sama, guru memperkenalkan

pendaraban sebagai susunan baris dan lajur. 3. Dalam kumpulan 4 orang,setiap murid bergilir-gilir melakukan main

peranan bagi situasi di bawah:

Murid A: Ambil beberapa bilangan jalur kertas(tidak lebih daripada 9 jalur) dan susun dalam baris ditengah-tengah setiap kumpulan.

Murid B: Letakkan sebarang bilangan pembilang (tidak lebih daripada 9 ) di atas setiap jalur kertas.

3 pinggan. 2

PPG MT-MAJOR

Murid C: Ceritakan situasi”3 baris;2 pembilang dalam setiap baris; 6 pembilang semuanya”

Murid D: Tuliskan ayat matematik tentang pendaraban. Aktiviti 3: Pembahagian sebagai Pengagihan Sama Rata.

Hasil Pembelajaran:

Menerangkan pembahagian sebagai pengagihan sama rata. Menulis ayat metematik mengenai pembahagian.

Bahan;

Pinggan kertas Pembilang

Langkah Perlaksanaan: 1. Guru menceritakan tentang pengagihan sama rata. Murid menggunakan

pembilang dan pinggan kertas untuk melakonkan cerita guru. Contoh ditunjukkan dalam Rajah 7.

Rajah 7. Contoh menunjukkan pembahagian 8 ÷ 2 sebagai pengagihan sama rata.

2. Setelah menggunakan model cerita yang lain, guru memperkenalkan

maksud pembahagian sebagai pengagihan sama rata dan menulis ayat matematik yang berkaitan iaitu 8 ÷ 2 = 4.

3. Dalam kumpulan 4 orang, setiap murid bergilir-gilir memain peranan bagi

situasi di bawah: Murid A: Ambil sebarang bilangan pembilang dan letakkan di tengah

kumpulan.

Murid B: Ambil sebarang bilangan pinggan (tidak lebih daripada 9) dan letakkan bilangan pembilang yang sama di atas setiap pinggan tadi.

3 baris; 4 murid dalam setiap baris; berapakah bilangan murid semuanya?

PPG MT-MAJOR

Murid C: Mulakan bercerita “6 pembilang;letakkan sama banyak di atas 3 pinggan; 2 pembilang pada setiap pinggan.” atau “ 9 pembilang; letakkan di atas 4 pinggan; 2 pembilang diatas setiap pinggan dengan 1 baki.”

Murid D: Tulis ayat pembahagian. Aktiviti 4: Pembahagian sebagai Penolakan Berulang

Hasil Pembelajaran:

Menerangkan pembahagian sebagai penolakan berulang. Menulis ayat matematik pembahagian.

Bahan:

Pinggan kertas Pembilang

Langkah Perlaksanaan: 1. Guru memperkenalkan masalah penolakan berulang; Murid menggunakan

model bagi setiap masalah dengan pinggan kertas dan pembilang.Contoh cerita ditunjukkan dalam Rajah 8.

Rajah 8. Contoh untuk menunjukkan 12 ÷ 3 sebagai penolakan berulang.

2. Selepas beberapa kali bercerita, guru memperkenalkan pembahagian sebagai penolakan berulang dan ayat matematik yang berkaitan seperti 12 ÷ 3 = 4.

3. Dalam kumpulan 4 orang, setiap murid bergilir-gilir melakonkan peranan

bagi situasi di bawah: Murid A: Ambil sebarang bilangan pembilang dan letakkan ditengah

kumpulan.

Murid B: Letakkan sebarang bilangan pembilang atas pinggan( tidak lebih daripada 9 pembilang).

Murid C: Ikut bilangan nombor yang dipilih oleh murid B dan letakkan baki pembilang ke atas pinggan dan bercerita seperti “ 24 pembilang; 3 pembilang pada setiap pinggan; 8 pinggan mempunyai

Terdapat 8 ekor kupu-kupu berehat di atas 2 kuntum bunga , dan setiap bunga mempunyai bilangan kupu-kupu yang sama.Berapa banyakkah kupu-kupu pada setiap bunga?

PPG MT-MAJOR

pembilang. atau “9 pembilang; letak 2 pembilang pada satu pinggan; 4 pinggan mempunyai pembilang dengan baki 1”

Murid D: Tuliskan ayat matematik tentang pembahagian. Aktiviti 5: Pencarian Fakta Pendaraban. Hasil Pembelajaran:

Untuk mengingat semula fakta asas pendaraban dengan pantas. Bahan:

Carta mencari fakta ( Rajah 9) terdiri daripada fakta asas pendaraban dan kad L bagi setiap pasangan murid.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 0 7 14 21 28 35 42 47 56 63 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Rajah 9. Carta pendaraban mencari fakta menunjukkan 3 x 6 = 18.

Langkah Perlaksanaan: 1. Secara berpasangan, murid membina carta pendaraban masing-masing. 2. Secara berpasangan, murid bergilir-gilir melakukan main peranan berikut: Murid A : Gunakan fakta mencari pendaraban untuk mencari fakta; kemudian

tanya soalan pendaraban seperti “berapakah 5 x 8 ?”. Kemudian semak jawapan yang diberi oleh murid B.

Murid B : Ingat semula fakta pendaraban.

PPG MT-MAJOR

1.4 Abakus dan Kalkulator 1.4.1 Bahagian-bahagian Abakus

Jari hantu – menaik dan menurunkan manik atas Jari telunjuk – menurunkan manik bawah menjauhi palang pemisah Ibu jari – menaikkan manik bawah mendekati palang pemisah

PPG MT-MAJOR

1.4.2 Perwakilan Nombor z

1 2 3

4 5 6

7 8 9

PPG MT-MAJOR

1.4.3 Menentukan Nilai Tempat

Tuliskan nilai-nilai di bawah :

PPG MT-MAJOR

1.4.4 Penambahan dan Penolakan

PPG MT-MAJOR

OPERASI TAMBAH

KAWAN KECIL (LITTLE FRIEND)/

KOMBINASI 5

KAWAN BESAR (BIG FRIEND)/

KOMBINASI 10

+ 1 = naik 5 turun 4 (+5 – 4)

+1 = turun 9 naik 10 (-9 +10)

+ 2 = naik 5 turun 3 (+5 – 3)

+ 2 = turun 8 naik 10 (-8 + 10)

+ 3 = naik 5 turun 2 (+5 – 2)

+ 3 = turun 7 naik 10 (-7 + 10)

+ 4 = naik 5 turun 1 (+5 – 1)

+ 4 = turun 6 naik 10 (-6 + 10)

+ 5 = turun 5 naik 10 (-5 + 10)

+ 6 = turun 4 naik 10 (-4 + 10)

+ 7 = turun 3 naik 10 (-3 + 10)

+ 8 = turun 2 naik 10 (-2 + 10)

+ 9 = turun 1 naik 10 (-1 + 10)

OPERASI TOLAK

KAWAN KECIL (LITTLE FRIEND)/

KOMBINASI 5

KAWAN BESAR (BIG FRIEND)/

KOMBINASI 10

- 1 = naik 4 turun 5 (+5 – 4)

-1 = turun 10 naik 9 (-10 +9)

- 2 = naik 3 turun 5 (+3 – 5)

- 2 = turun 10 naik 8 (-10 + 8)

- 3 = naik 2 turun 5 (+2 – 5)

- 3 = turun 10 naik 7 (-10 + 7)

- 4 = naik 1 turun 5 (+1 – 5)

- 4 = turun 10 naik 6 (-10 + 6)

- 5 = turun 10 naik 5 (-10 + 5)

- 6 = turun 10 naik 4 (-10 + 4)

- 7 = turun 10 naik 3 (-10 + 3)

- 8 = turun 10 naik 2 (-10 + 2)

- 9 = turun 10 naik 1 (-10 + 1)

PPG MT-MAJOR

1.5 Kalkulator

Kalkulator merupakan bahan bantu belajar berasaskan teknologi yang boleh menarik

dan memotivasikan pelajar. Harganya juga murah dan hanya memerlukan beberapa

kemahiran asas untuk menggunakannya. Penggunaannya semakin penting untuk

peringkat persekolahan yang lebih tinggi. Malah dengan menekan beberapa butang

kalkulator sahaja akan dapat mengira dengan menghasilkan jawapan yang tepat

dengan pantas. Kalkulator juga mempunyai pelbagai peranan dan boleh digunakan

untuk sebilangan besar topik dalam matematik. Melalui penggunaan kalkulator

pelajar berpeluang membuat penerokaan dan mengaplikasikannya secara lebih

mendalam tentang konsep dan kemahiran matematik untuk topik-topik yang

berkaitan.

Masalah matematik harus diterjemahkan kepada sebutan dan bahasa matematik

sebelum ianya diselesaikan. Langkah terjemahkan seperti ini memerlukan fahaman

yang lengkap terhadap struktur konsep yang terkandung dalam masalah tersebut.

Keadaan ini telah menyebabkan kesukaran pembelajaran di kalangan setengah-

setengah pelajar. Masalah dan kesukaran ini boleh diatasi melalui penggunaan

kalkulator mahu pun komputer.

Kalkulator dicipta oleh Colmur pada tahun 1820 dan pada tahun 1875,

Boldwin dari Amerika Syarikat telah menambah baik penggunaan kalkulator

dengan melibatkan permasalahan operasi-operasi tambah, tolak, darab dan

bahagi. Sejak itu, beberapa model baru muncul dan tidak terhad kepada

pengiraan permasalahan empat operasi tetapi juga untuk mendapatkan nilai

tepat punca kuasa, gandaan, fungsi trigonometri, logaritma dan aplikasi

statistik.

Penggunaan kalkulator ke atas sistem pendidikan di Malaysia mahupun di

negara-negara maju belumlah dikatakan menyeluruh, tetapi penggunaan

kalkulator menjadikan murid lebih bermotivasi dan menunjukkan pencapaian

yang lebih baik dan memberangsangkan daripada mereka yang tidak

menggunakannya. Terdapat kajian yang menunjukkan pelajar takut terhadap

matematik ekoran daripada penggunaan algoritma kertas-pensel yang

panjang lebar dan memerlukan banyak langkah, proses dan peraturan yang

harus diikuti, terutama dalam operasi pendaraban dan pembahagian. Telah

PPG MT-MAJOR

banyak kajian yang menunjukkan bahawa penggunaan kalkulator akan

menukar sikap pelajar terhadap matematik dan juga meningkatkan keyakinan

diri mereka serta minat terhadap matematik.

kalkulator dan komputer alatan penting dalam penyelesaian masalah

matematik. Alat ini membekalkan imej visual bagi idea-idea matematik , selain

mempermudahkan jalan kerja untuk mengatur dan menganalisis data serta

menjalankan pengiraan dengan cekap dan tepat. Justeru, murid ;akan lebih

bermotivasi, menumpu perhatian ke atas aktiviti-aktiviti membuat keputusan

atau kesimpulan , merenung atau membuat refleksi, menaakul dan

menyelesaikan masalah dan dapat memupuk pemahaman konsep matematik

disamping menyemak semula jawapan baik.

Kalkulator penting dalam kehidupan seharian. Kepentingan kalkulator adalah seperti berikut:

i) memberi motivasi terhadap pembelajaran matematik

ii) membantu menyelesaian masalah dengan lebih mudah dan berkesan

iii) membantu menyelesaikan masalah untuk soalan yang lebih mencabar

iv) memberi peluang dan membuat penerokaan yang lebih mendalam tentang topik-topik yang berkaitan

v) membolehkan murid mensintesis jawapan melalui ramalan

berdasarkan pola-pola yang diperhatikan

vi) menguasai nilai nombor sama ada besar atau kecil

v) merasa yakin bahawa kalkulator dapat membantu memperbaiki kebolehan untuk menyelesaikan masalah matematik mereka.

Bagaimana kalkulator dapat membina kemahiran menganggar dan membuat penghampiran seterusnya mampu memperkembangkan minda pelajar. Bincangkan.

PPG MT-MAJOR

vi) membina sikap yang positif dalam matematik. Murid akan merasa seronok dengan matematik “seeing the beauty and enjoying the fun of mathematics”.

vii) membina keyakinan diri dan matematik mempunyai sikap yang lebih positif terhadap dirinya dalam menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.

viii)akses kendiri dan murid berdikari.

ix) mengukuhkan kemahiran jangkaan dan menganggar

x) menyemak jawapan tanpa perlu bantuan guru.

1.6 Pengiraan Mental dan Penganggaran

Pengiraan mental dan teknik menganggar adalah elemen- elemen penting

dalam melakukan pengiraan dan menggunakan matematik. Untuk menguasai

kemahiran pengiraan mental dan membuat penganggaran kita mestilah

mempunyai asas yang mantap tentang nombor bulat dan nilai tempat. Faktor

lain yang dapat meningkatkan kemahiran pengiraan mental dan

penganggaran ialah pemahaman dan penguasaan tentang fakta- fakta asas

dalam matematik. Orang yang dapat membuat perkaitan dan menganalisis

pola atau trenda juga akan lebih mudah menjalankan pengiraan mental dan

penganggaran.

Apakah masalah yang dihadapi oleh murid sekolah rendah apabila menyelesaikan masalah algoritma operasi matematik? Adakah kalkulator diperlukan untuk membantu mereka menyelesaikan masalah tersebut? Bincangkan.

PPG MT-MAJOR

1.6.1 Pengiraan mental

Pengiraan mental merupakan satu proses mengira untuk mencari jawapan

tanpa menggunakan pensil dan kertas, kalkulator atau apa-apa alat bantuan

pengiraan. Kekuatan minda akan memudahkan pengiraan mental dan

penganggaran dilakukan. Kebanyakan kanak- kanak mampu mencongak

sebelum mereka mempelajari pengiraan secara formal disekolah.

Berpengetahuan baik dalam fakta asas nombor adalah satu keperluan bagi

melakukan pengiraan mental dengan cekap dan ini mengurangkan

kebergantungan terhadap ingatan sementara. Kebolehan menggunakan

teknik mencerakinkan nombor dapat membantu dalam pengiraan mental.

1.6.1.1 Aplikasi Fakta Asas Matematik dalam pengiraan mental

bagi operasi tambah dan tolak

1 Tukar tertib Susunan nombor boleh bertukar tempat

3+4 =4+3

2 Tambah 1 Tambah 1 kepada suatu nombor ialah nombor berikutnya dalam urutan menaik

5+1=6 6+1=7 7+1=8

3 Tambah 0 Identiti sifar (nombor yang ditambah 0 tidak berubah)

5+0=5 7+0=7 9+0=9

4 Tambah nombor gandaan dua

Gandaduakan nombor 4+4=8 8+8=16

5 Tambah nombor hampir dengan gandaan dua

Untuk nombor yang satu lebih atau satu kurang daripada nombor gandaan dua

7+8= Fikirkan 7+7=14 14+1=15

6 Kombinasi 10 9 pasangan 1+9 2+8 3+7 4+6 5+5 6+4 7+3 8+2 9+1

PPG MT-MAJOR

7 Tambah menjadi 10 dan selanjutnya

Cerakinkan satu nombor yang besar

Buat kombinasi 10 Tambahkan

8+5= 8+2 +3=10+3 =13

8 Membilang mengikut tertib menaik

Ambil nombor lebih besar Sambung membilang

secara menaik

2+7= Bilang 7... 8, 9

9 Kurangkan satu Tolak satu daripada suatu nombor ialah nombor berikutnya dalam urutan menurun

8-1=7 7-1=6 6-1=5

10 Gandaan 16-8=8 Fikirkan 8+8=16 songsang 16-8=8

11 Membilang secara tertib menurun

9-3=6 9 ... 8, 7, 6 Bilang 3 kali tertib menurun dan dapat jawapan 6

12 Membilang secara menaik

8-6=2 6 ... 7, 8 Bilang 2 kali tertib menaik untuk dapat 8

1.6.1.2 Pengiraan Mental Secara Kreatif Bagi Pendaraban

Bil Cara Huraian cara

Contoh Contoh

1 Doubling (Gandaan Dua)

Gandaduakan faktor pertama atau faktor kedua

Hasil darab juga digandaduakan

4x12=48 4x24=96 4x48=192 32 x 125=4000 16x250=4000 8x500=4000 4x1000=4000

2x9=18 4x9=36 8x9=72

2 Halving(separuh) Apabila diseparuhkan faktor pertama atau faktor kedua, maka hasil darab

4x12=48 4x6=24 4x3=12

26x3=78 13x3=39

PPG MT-MAJOR

juga diseparuhkan Sesuai untuk

nombor genap sahaja

3 Darab /bahagi dengan gandaan 10

Nombor didarab dengan gandaan 10, maka hasil darab digandakan pada kadar yang sama

Nombor asal ditambahkan bilangan sifar mengikut gandaan 10(pendaraban)

Nombor asal dikurangkan bilangan sifar mengikut gandaan 10(pembahagian)

24x10=240 24x100=2400 24x1000=24000

360÷10=36 3600÷100=36 36000÷10=3600

4 Nombor serasi (compatible numbers)

Bentukkan nombor serasi(compatible number) kepada 10, 100

Cari hasil darab dengan gandaan 10

Tolak /tambah hasil darab

99x5=? 100x5=500 1x5=5 500-5=495

254x98=? 254x100=25400 254x2=508 1000-508=492 24400+492=24892

5 Bundarkan nombor kepada gandaan 10

Bundarkan nombor pertama /kedua

Tambah/tolak hasil darab

68x12=? 70x12=840 2x12=24 840-24=816

6 Taburkan faktor kepada nombor yang mudah

Taburkan nombor pertama kepada nombor kecil yang mudah dikendali

Darab dengan faktor kedua

Tambahkan hasil

24x12=288 20x12=240 4x12=48 240+48=288

15x36=540 15x10=150 15x10=150 15x10=150 15x3=45 15x3=45

PPG MT-MAJOR

1.6.1.3 Teknik Mendarab dalam pengiraan mental Bil Cara Huraian cara Contoh

1 Mendarab dengan

4 Darabkan dengan 2, darab

dengan 2 Tambahkan hasil darab

58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232

2 Mendarab dengan 11

Ambil nombor asal (52) dan bayangkan terdapat ruang di antara 2 digit

Tambah kedua-dua digit dan letak pada ruang kosong

Jika hasil tambah kedua-dua digit lebih daripada 10, tambahkan digit pertama kepada digit pertama pada nombor asal

52x11= 5 (5+2) 2 572 99x11= 9 (9+9) 9 (9+1) 89 =1089

3 Darab dengan 5 Darab dengan 10 Bahagi dengan 2

4 Darab dengan 6 Darab dengan 3 kemudian darab dengan 2

5 Darab dengan 9 Darab nombor dengan 10 Tolak nombor asal

6 Daran dengan 12 Darab dengan 10 Tambah nombor asal

sebanyak 2 kali

7 Darab dengan 13 Darab dengan 3 Tambah 10 kali nombor

asal

8 Darab dengan 14 Darab 4 Tambah 10 kali nombor

asal

9 Darab dengan 15 Darab dengan 10 Darab dengan 5 Tambahkan kesemua hasil

darab

10 Darab dengan 16 Darab dengan 8, kemudian darab dengan 2

11 Darab dengan 17 Darab dengan 7 Tambah 10 kali nombor

asal

12 Darab dengan 18 Darab dengan 20

PPG MT-MAJOR

Tolak nombor asal sebanyak 2 kali

13 Darab dengan 19 Darab dengan 20 Tolak nombor asal

sebanyak satu kali

4x19= 4x20=80 80-4=76

14 Darab dengan 24

Darab 8 dan darab 3

1.6.1.4 Prinsip umum dalam pengiraan mental

Kebanyakan kanak- kanak akan melakukan pengiraan minda sebelum

mereka diajar mengira secara bertulis. Dalam pengajaran kelas biasanya

pelajar akan mereka dan menggunakan cara sendiri dalam mengira. Kita

sepatutnya sedar mengajar tatacara mengira secara formal akan

mengakibatkan mereka tidak menggunakan daya berfikir bahkan sangat

bergantung kepada kaedah yang diajar. Kamii and Dominick (1997)

menyatakan yang “apabila kita mengajar pelajar membuat hubungan antara

nombor (pengetahuan matematik logik) dengan mengajar algoritma kepada

mereka (pengetahuan bersosial ), kita secara tak langsung menarik perhatian

mereka dari cuba menggunakan kepekaan terhadap nombor kepada

mengingati prosedur pengiraan. Pengajaran algorithma secara bertulis perlu

bagi mendorong pelajar mengembangkan kefahaman mereka kepada

hubungan nombor saja.

 Apabila guru matematik mengajar kemahiran pengiraan mental , penekanan

hanya perlu diberi kepada bagaimana jawapan diperolehi tanpa menekankan

speed maupun ketepatan jawapannya. Untuk membina keyakinan pelajar,

guru tidak perlu fokus kepada speed pelajar mendapatkan jawapan.

Pengajaran pengiraan mental yang baik haruslah pelbagai. Guru perlu tahu

bagaimana menerangkan kepada pelajar. Penekanan dibuat kepada

kepekaan nombor dan kefahaman terhadap nilai tempat. Sowder (1990, p.19)

menekankan yang pengiraan minda tidak boleh dilengahkan sehingga pelajar

menguasai menulis algorithma secara formal. Perbincangan secara kelas

PPG MT-MAJOR

adalah penting bagi berkongsi kaedah minda diantara pelajar. Sesetengah

strategi boleh diajar melalui perbincangan kelas, penerangan dan latihan.

Secara umumnya, guru perlu menekankan penggunaan pengiraan mental

dan penganggaran bagi pengiraan mudah dan sederhana dan hanya

menggunakan kalkulator bagi pengiraan yang sukar sahaja.

1.6.2 Penganggaran dalam pengiraan matematik

The NCTM Principle and Standards of School Mathematics (2000)

mendefinisikan kecekapan pengiraan sebagai mempunyai kecekapan,

kebolehlenturan dan kaedah tepat bagi mengira. Apa yang perlu diberi

penekanan semasa guru mengajar matematik ialah membina kemahiran

mengira tanpa kertas dan pensil. Pelajar perlu cekap mencongak iaitu

mengira secara mental di samping boleh menggunakan kertas dan pensil dan

alat teknologi seperti kalkulator dalam pengiraan.

Pada kebiasaannya pengajaran matematik di sekolah lebih menekankan

algoritma (tatacara pengiraan) bagi pengiraan aritmetik. Walau bagaimana

pun congak dan anggaran juga sama penting dalam kehidupan harian bagi

meningkatkan pembelajaran matematik. Dalam kehidupan harian adalah

sangat biasa memberi jawapan hampir kepada masalah arithmatik yang

diperlukan berbanding jawapan yang tepat. Ini berlaku terutamanya apabila

jawapan diperlukan dengan cepat tanpa penggunaan alatan seperti kertas

dan pensil, kalkulator atau mesin kira.

Apabila jawapan tepat diperlukan, biasanya penggunaan kalkulator dan mesin

kira akan digunakan. Namun pelajar perlu juga diajar kepentingan

menganggar dalam mendapatkan jawapan. Biasanya pelajar yang selalu

menggunakan strategi penganggaran dan congak atau mental dalam

pengiraan lebih memahami secara mendalam tentang hubungan nombor. Ini

akan mendorong mereka menjadi lebih cekap dalam matematik.

PPG MT-MAJOR

1.6.2.1 Hubungan antara penganggaran dalam pengiraan dan

penggunaan kalkulator

Pelajar seharusnya di ajar membuat penganggaran pada permulaan bagi

menjawab soalan sebelum menggunakan kalkulator , kemudian barulah

menyemak prosedur pengiraan. Sowder (1990) menyatakan kefahaman

kepada nombor adalah asas menguasai penggunaan kalkulator dan ianya

mengembangkan penekanan kepada pengiraan mental bagi semua nombor

yang membantu mengembangkan kepekaan nombor bagi memahami

aritmetik, membuat anggaran dan berurusan dengan tekhnologi

1.6.2.3 Kepentingan Penganggaran dalam kehidupan seharian

Penganggaran dalam pengiraan didefinisikan sebagai mencari jawapan

terdekat kepada masalah aritmetik tanpa mengira jawapan itu tepat atau

sebaliknya. Ia merupakan komponen penting bagi kognitif matematik, dimana

ia menyediakan maklumat terhadap kefahaman orang secara umum tentang

konsep matematik, hubungan dan strategi dan perkembangan kognitif pelajar

dalam domain matematik.

Selain itu kemahiran penganggaran adalah berguna dalam kehidupan harian

di mana ia lebih realistik dan digunakan secara menyeluruh dalam setiap

akiviti kita.

1.6.2.4 Teknik dalam mengira menggunakan penganggaran

Penganggaran selalu digunakan dalam situasi berikut:

1. Anggaran Kuantiti (mencari bilangan pelajar, hari, kelas dsb)

2. Anggaran Ukuran ( mencari panjang , luas , isipadu, masa dsb)

3. Anggaran Jawapan( mencari jumlah, perbezaan dsb )

1.6.3 Pembundaran

Tetapkan digit bagi nilai tempat yang hendak dibundarkan. Ianya sebagai digit

kekunci.Kenalpasti digit dalam nilai tempat dalam kedudukan kanan dari digit

PPG MT-MAJOR

kekunci.

Sekiranya digit tersebut kurang dari 5, bundarkan ke bawah, dengan

mengekalkan digit kekunci dan ganti semua digit di kanannya dengan sifar.

Sekiranya digit tersebut lebih besar dari 5, bundarka ke atas, dengan

menambah 1 kepada digit kekunci dan menggantikan semua digit di

kanannya dengan sifar.

Contoh: menganggarkan 589 + 217 , kita membundarkan 589 kepada

600 dan 217 kepada 200 dan mengira secara minda dengan 600 + 200

bagi memperolehi anggaran 800.

500 550 589 600

200 17 250 300

1.6.4 Penukargantian nombor yang serasi

Digunakan apabila nombor hampir kepada nombor asal pengiraan menjadi

mudah untuk dianggarkan secara minda

-Kenalpasti nombor dalam pengiraan asal yang boleh diganti dengan lain

nombor bagi menghasilkan anggaran yang mudah dengan minda.

-Kirakan dengan nombor baru bagi mendapatkan anggaran.

Contohnya : anggarkan nilai 524 x 33 dengan gantian nombor serasi.

Jelaskan dan 10 cara berfikir

Mendarabkan 100 dan 10 adalah senang digunakan , satu cara

menggantikan nombor serasi ialah 500 x 30 = 15000. Hasilnya 15000.

1.6.5 Anggaran depan ke hujung

PPG MT-MAJOR

Cara paling ringkas yang melibatkan pengiraan paling kiri , atau depan ke

hujung, digit setiap nombor seperti jika digit yang baki semuanya sifar.

Digunakan bila menganggar diperlukan secara pantas dan anggaran kasar

saja.

- Anggapkan semua digit kecuali permulaan atau digit depan ke hujung

dalam nombor yang dikira adalah 0

- Buat pengiraan dengan nombor baru

- Sekiranya memerlukan anggaran lebih hampir,laraskan anggaran pertama

dengan menggunakan digit lain atau nombor bagi anggapan menjadi 0

dan anggar semula.

Contohnya: anggarkan nilai 569 + 375 dengan menggunakan

anggaran depan ke hujung yang dilaraskan. Jelaskan cara berfikir.

Tambahkan digit depan ke hujung, kita akan dapat 500 + 300

adalah 800.nombor yang tinggal adalah 69 + 75 atau lebih kurang

150. Jadi 569 + 375 adalah hampir 950.

1.6.6 Pengelompokan

Digunakan bagi menganggar jumlah apabila addends pada pengiraan

kelompok sekitar nombor yang sama.

-Kenalpasti nombor yang setiap addends adalah hampir dan senang untuk

mencongak secara minda dengan senang

-Gantikan setiap addends dengan nombor yag sama.

-Guna pendaraban untuk menganggar jumlah campuran asal pengiraan

tambah.

Contoh Penyelesaian Masalah : Penderma Darah

Bilangan penderma darah di sebuah hospital adalah hampir sama bagi empat

bulan terawal pada tahun tersebut :

Bulan Bilangan Penderma Darah

Januari 145

PPG MT-MAJOR

Februari 154

Mac 148

April 153

Jika corak bilangan tersebut berterusan, anggarkan bilangan penderma darah

yang dijangkakan pada tahun tersebut.

Penyelesaian

Setiap nombor adalah hampir kepada 150. Kita mahu menganggarkan jumlah

untuk 12 bulan, maka kita berfikir 12 x 150 adalah lebih kurang 10 darab 150,

atau 1500. Bilangan penderma berkemungkinan hampir 1500 pada tahun

tersebut.

[ Giliran Anda ]

Latihan : Anggarkan bilangan penderma unutk masa lain adalah

seperti berikut. Gunakan kelompok untuk menganggar jumlah yang

dinyatakan.

a. Penderma untuk jangka masa empat bulan adalah

September, 97 Oktober, 120

November, 89 Disember, 106

Berapakah bilangan penderma yang menderma darah dalam masa

tersebut ?

b. Bilangan penderma bagi enam bulan pertama pada suatu tahun

adalah 126, 124, 125, 127, 129, dan 123. Berapakah bilangan

anggaran penderma darah untuk jangka masa enam bulan

tersebut?

Refleksi : Adakah pengelompokan sentiasa memberi anda anggaran

yang sama dengan membundar ? Gunakan contoh dan bahagian (a) di

dalam latihan, dengan nombor yang dibundarkan dengan puluh yang

terdekat, untuk menguji konklusi anda.

PPG MT-MAJOR

Mengelompok juga boleh digunakan untuk menganggar hasil darab.

Contohnya, untuk menganggar hasil darab 9 x 13 x 8 x 12, kita melihat

bahawa nombor tersebut berkelompok dengan kelompok 10. Kita

mencari hasil darab secara mental daripada 10 x 10 x 10 x 10, atau

10,000, untuk mencapai anggaran.

1.7 ISU-ISU UTAMA DALAM PENGAJARAN NOMBOR BULAT

1.7.1 Pendahuluan

Dari segi sejarah nombor menjadi asas keseluruhan kurikulum matematik.

Semua isi kandungan matematik yang digariskan untuk murid daripada

peringkat pra persekolahan sehingga ke sekolah rendah adalah berasaskan

nombor. Standard Nombor dan Operasi menggambarkan keperluan bagi

kefahaman yang mendalam serta kelancaran bagi kemahiran mengira,

nombor dan aritmetik.Memahami nombor dan operasi, membangunkan

‘number sense’, dan memperoleh kemahiran dalam pengiraaan aritmetik

membentuk pendidikan asas matematik di peringkat sekolah rendah.

Semasa melalui pembelajaran di peringkat ini, murid seharusnya menguasai

kefahaman yang baik tentang nombor – apakah itu nombor, bagaimana ianya

diwakilkan dengan objek, angka, atau atas garis nombor; bagaimana mereka

ini berkait antara satu sama lain; bagaimana nombor-nombor termaktub

dalam sistem yang mempunyai struktur dan ciri-ciri; dan bagaimana

menggunakan nombor dan operasi bagi menyelesaikan masalah matematk.

Konsep dan algoritma bagi aritmetik peringkat rendah juga adalah

sebahagian daripada nombor dan operasi. Keutamaan dalam Standard ini

ialah pembangunan ‘number sense’ – antaranya ialah kemampuan untuk

meleraikan nombor menggunakan nombor tertentu misalnya 100 atau ½

sebagai rujukan, menggunakan perkaitan antara operasi aritmetik untuk

menyelesaikan masalah, memahami sistem asas-sepuluh, memahami nilai

nombor serta menganggar (Sowder 1992).

PPG MT-MAJOR

Kajian juga telah menunjukkan bahawa pembelajaran tentang nombor dan

operasi adalah satu proses yang kompleks untuk kanak-kanak

(contohnya,Fuson(1992)).Adalah penting bagi murid mengetahui kombinasi

nombor asas (basic number combinations - penambahan satu digit dan

pasangan pendaraban juga untuk penolakan dan pembahagian. Murid juga

harus menguasai kelancaran pengiraan-mempunyai dan menggunakan

kaedah yang efisen dan tepat untuk pengiraan.

Kelancaran boleh dilihat dengan jelas menerusi kombinasi penggunaan

strategi mental dan catatan atas kertas, juga menggunakan algoritma dengan

pensil dan kertas terutamanya apabila nobor semakin besar untuk

enghasilkan jawapan yang tepat dengan cepat. Apa pun kaedah yang

digunakan murid, mereka harus boleh menerangkan kaedah yang digunakan,

memahami bahawa terdapat pelbagai kaedah yang ada, dan boleh melihat

kebergunaan mana-mana kaedah yang efisen, tepat dan umum.

Murid juga harus mampu membuat anggaran dan menilai kemunasabahan

jawapan mereka. Kelancaran pengiraan seharusnya dibangunkan selari

dengan kefahaman murid terhadap peranan dan makna operasi aritmetik

dalam sistem nombor. Justeru dalam melaksanakan pengajaran, isu yang

sering dibincangkan melibatkan pengetahuan guru, murid dan juga tentang

pedagogi.

1.7.2 Pengetahuan Guru

Ma (1999) melaporkan bahawa guru yang hanya memiliki pengetahuan

prosedural mempunyai kecenderungan untuk mengajar muridnya secara

algoritma sahaja serta gagal membuat perkaitan antara topik matematik.

Contohnya walau pun guru ini mengetahui bagaimana untuk menolak dan

mendarab tetapi tidak dapat mempamerkan kefahaman matematik melebihi

daripada tindakan yang diperlukan dalam melaksanakan operasi tersebut. Ini

bertentangan dengan mereka yang mempunyai kefahaman konseptual. Guru

sebegini mampu membuat perkaitan antara konsep matematik, operasi dan

PPG MT-MAJOR

perkaitan untuk memberikan kefahaman yang mendalam tentang sesuatu

topik matematik.

Pengetahuan guru-guru yang mengajar nombor bulat juga menjadi

sebahagian daripada masalah dalam pengajaran nombor bulat. Masih

terdapat guru yang tidak menguasai secara keseluruhannya dengan

mendalam tentang nombor bulat dan nilai tempatnya. Ma (1999) juga

mendapati bahawa ramai guru sekolah rendah kekurangan pengetahuan

tentang konsep dan operasi nombor bulat. Ini sekaligus menjejaskan

kemahiran pedagogi apabila mengajar di dalam kelas.

Aktiviti 2

Dapatkan maklumat dan bincangkan apakah konsep yang terlibat dalam pengajaran isi kandungan matematik tentang nombor bulat. Apakah idea penting yang seharusnya disampaikan tentang topik nombor bulat?

1.7.3 Cara Pengajaran Guru Matematik Sebagai guru matematik kita perlu tahu beberapa perkara. Antaranya kita

perlu tahu di mana kita berada sekarang (dari segi pengetahuan murid-murid

di dalam kelas kita di mana atas pengetahuan sedia ada inilah yang perlu kita

bina pengetahuan matematik selanjutnya). Kita juga perlu tahu di mana kita

mahu pergi (dari segi pengetahuan kita harus tahu apa yang kita inginkan

semua murid di dalam kelas untuk peroleh dan kuasai sepanjang tahun

persekolahan mereka).

Akhirnya, kita perlu tahu apakah cara terbaik untuk sampai kepada matlamat

tersebut (sebagai guru kita akan menyediakan peluang pembelajaran yang

membolehkan semua murid di dalam kelas untuk mencapai objektif

pembelajaran mereka). Adalah perlu bagi guru untuk merekabentuk

pengajaran matematik yang berkesan.

Seterusnya apabila kita bercakap mengenai reformasi dalam pendidikan

matematik, adalah penting untuk menyedari bahawa penguasaan fakta asas

PPG MT-MAJOR

tetap merupakan sesuatu yang amat penting dalam pengajaran matematik

terutamanya di peringkat awal pembelajaran matematik dalam kalangan

murid.Justeru, antara isu dalam pengajaran guru ialah mengenal perbezaan

di antara membantu murid menguasai fakta asas dan membantu mereka

tentang makna operasi.

1.7.4 Mengetahui Fakta Asas

Fakta asas bagi empat operasi asas adalah sangat penting dan menjadi asas

dalam pembelajaran matematik. Kebanyakan murid berfikir bahawa nombor

yang besar adalah yang mempunyai nilai yang besar. Namun jika mereka

diajar tentang fakta asas nombor, nombor yang paling besar ialah 9 manakala

cara penyelesaian untuk nombor lain hanya melibatkan konsep.

Contoh:

888÷8 (murid mengandaikan sebagai satu nombor besar)

Bagi murid yang mengetahui fakta asas, soalan ini hanya melibatkan sifir 8.

Masalah yang sering terjadi ialah guru tidak mengajarkan fakta asas secara

keseluruhannya. Di sekolah, biasanya hanya fakta asas pendaraban sahaja

diajarkan manakala fakta asas untuk 3 operasi yang lain diabaikan begitu

sahaja. Keadaan ini menyebabkan ramai murid terus ketinggalan dan tidak

menguasai penambahan dan penolakan yang sebenarnya lebih mudah

daripada pendaraban.

Sekalipun mudah bagi guru, namun fakta asas ini perlu disampaikan secara

terperinci kepada murid untuk membantu mereka memahami fakta sebenar

dalam matematik. Murid yang tidak dapat menguasai fakta asas memerlukan

bantuan lebih daripada sekadar latih tubi. Antara cadangan bagi membantu

murid yang belum menguasai fakta asas ialah dengan mengenal pasti fakta

asas yang dikuasai dan yang tidak dikuasai murid juga mengenal pasti

kekuatan dan kelemahan murid. Sebelum sesuatu strategi fakta asas menjadi

automatik, murid harus membangunkan habit mental menggunakan strategi

yang sesuai bagi sesuatu fakta yang muncul dalam situasi bukan berbentuk

latih tubi. Adalah sangat penting untuk menyedari bahawa pengetahuan murid

PPG MT-MAJOR

yang terhad tentang fakta asas seharusnya tidak mengecualikan mereka

daripada mengalami pengalaman matematik yang sebenar.

Aktiviti 3

Dapatkan maklumat tentang fakta asas bagi empat operasi dalam

matematik dan bincangkan strategi bagi penguasaan fakta asas

bagi setiap operasi berkenaan.

Contoh :

a) strategi bagi fakta asas untuk operasi tambah : ‘zero facts’,

‘doubles’, ‘near doubles’

b) strategi bagi fakta asas untuk operasi tolak : ‘think addition’ atau ‘think

missing part’

c) strategi bagi fakta asas untuk operasi darab : fakta ‘doubles’, ‘fives’, ‘

nines’

1.7.5 Pengajaran Nilai Tempat

Mengetahui nilai tempat adalah sangat penting sebelum murid dapat

membaca dan mengenali nombor yang lebih besar. Nilai tempat ini

sebenarnya tidak dapat diajarkan dengan mudah dalam tempoh yang singkat.

Murid dapat memahami tentang nilai tempat dengan sempurna hanya apabila

mereka telah mempelajari dan memahami tentang operasi.

Istilah nilai tempat bermaksud kedudukan atau nama tempat bagi sesuatu

digit. Bagi murid untuk memahami nilai tempat, mereka perlu terlebih dahulu

menamakan nombor-nombor kecil, melaksanakan penambahan dan

penolakan bagi nombor-nombor kecil serta memahami tentang kumpulan

dalam pengiraan ‘group in counting’ atau ‘skip counting’. Mereka juga perlu

boleh membuat pengiraan ke atas atau ke bawah dalam nilai dua-dua, tiga-

tiga, lima-lima, sepuluh-sepuluh atau seratus-seratus. mereka perlu

diterangkan bahawa apabila nilai semakin besar, cara yang lebih efisen ialah

mengira dalam kumpulan bukannya secara individu.

PPG MT-MAJOR

Yang paling penting dalam nilai tempat ialah lajur tertentu mewakili saiz

kumpulan tertentu iaitu sa, puluh, ratus dan sebagainya. Digit dalam lajur

berkenaan memberikan maklumat tentang berapa banyak kumpulan dalam

saiz berkenaan. Kesukaran murid antaranya ialah untuk memahami bahawa

setiap lajur berkenaan adalah saling berkaitan dan ini mungkin abstrak bagi

mereka. Masalah yang sering terjadi ialah, guru mulai mengabaikan

pengajaran tentang nilai tempat apabila mengajar operasi kerana memikirkan

bahawa pengajaran nilai tempat telah dilakukan sebelum itu.

Aktiviti 4

Melalui pengalaman anda, senaraikan kesukaran, kekeliruan

serta kesilapan murid dalam mempelajari dan memahami

tentang nilai tempat.

ii. Bincangkan dalam kumpulan anda bagaimana untuk

mengatasi kesukaran dan kesilapan yang telah dikenal

pasti.

1.7.6 Perkembangan konsep nombor bulat dan operasi dalam kalangan murid Perkembangan dan pembangunan pengetahuan murid tentang nombor dan

pengiraan adalah penting dalam kefahaman asas matematik murid-murid.

Penerokaan awal biasanya diklasifikasikan dalam bentuk intuitif, secara terus

dan menerusi pengalaman konkrit (Kilpatrick et al. 2001).Baroody (1987) pula

mendapati bahawa kanak-kanak menggunakan kedua-dua strategi pengiraan

konkrit dan juga strategi pengiraan mental.

Strategi pengiraan konkrit digunakan apabila objek dikira bagi setiap nombor

yang ditambah sebelum semua dikira sebagai satu jumlah. Manakala strategi

pengiraan mental merupakan strategi untuk menjejaki sejauh mana

seseorang perlu kira daripada nombor kardinal bagi nombor pertama yang

ditambah. Strategi ini seterusnya berkembang kepada strategi operasi

PPG MT-MAJOR

penambahan dan penolakan termasuk pengiraan ke belakang, ‘skip counting’

dan pengiraaan sepuluh-sepuluh (Fosnot & Dolk, 2001).

Apabila berhadapan dengan pengiraan, murid-murid menggunakan pelbagai

kaedah untuk menyelesaikan masalah termasuklah menggunakan bahan-

bahan manipulatif untuk memodelkan situasi, mencipta prosedur bertulis,

melukis gambar, melaksanakan pengiraan mental, mengunakan pensil dan

kertas(Carroll & Porter, 1998). Bass (2003) menyarankan penggunaan satu

penyelesaian generik yang munasabah untuk menyelesaikan masalah

matematik yang kerap ditemui. penggunaan algoritma bertulisatau prosedur

yang boleh dilaksanakan dengan cara yang sama dan melibatkan nombor

yang berbeza adalah perlu (Kilpatrick, et al. 2001, p.7).

Oleh kerana pengiraan menjadi semakin sukar untuk dilaksanakan apabila

nombor menjadi semakin besar, adalah penting untuk menjejaki (keep track)

pengiraan dan algoritma menggunakan pensil dan kertas yang masih

merupakan satu kaedah yang penting.

Aktiviti 5

Beberapa persoalan yang harus digunakan guru dalam mengajar sebarang topik matematik dan pengajaran nombor bulat khususnya ialah: i) Apakah masalah ataupun kesukaran dalam pengajaran konsep

nombor bulat?

ii) Apakah kesilapan biasa ataupun kekeliruan yang selalu dihadapi oleh murid dalam topik ini? Bincang dalam kumpulan untuk menjawab persoalan-persoalan di atas. Laksanakan pembentangan kumpulan untuk berkongsi hasil perbincangan anda. Buat rumusan terhadap tindakan yang dicadangkan bagi mengatasi kesukaran dan kesilapan murid berkenaan, seterusnya memperoleh pengajaran yang lebih efektif.